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UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIAUNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

CARLOS ALBERTO PALACIO TOBÓN.CARLOS ALBERTO PALACIO TOBÓN.

MedellínMedellín

2007 – 2007 – II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (ODE)

CONDICIONES INICIALES

•MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA MATEMÁTICAS AVANZADASMATEMÁTICAS AVANZADAS

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ContenidoContenido

• Ecuaciones Diferenciales OrdinariasMotivaciónProblemas de Valor Inicial .vs. Problemas de fronteraProblemas Estables .vs. Inestables

• Problemas de Valor InicialMétodo de EulerMétodos de HeunMétodos de Runge – Kutta

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¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?

– Es una ecuación de la forma:

– Es decir una ecuación en las cual existen relaciones de una función con sus derivadas.

0),...,,,(2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyxF

MotivaciónMotivación

4

CLASIFICACIÓN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

– La primera gran clasificación es si la ecuación contiene derivadas ordinarias o derivadas parciales:

(EDP) parcial diferenciaEcuacion ,

(EDO) ordinaria ldiferenciaEcuacion ,

2

2

2

2

t

u

t

u

u

u

xdx

dv

dx

du

MotivaciónMotivación

5

OTROS ELEMENTOS DE CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

– El orden de una ecuación diferencial: es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en ella.

– El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la potencia más alta a la que aparece elevada alguna de las variables de la ecuación.

1 gradoy 4 orden cuarto de EDP ,t

u

x

ua

3 gradoy 2 orden segundode EDO ,xdx

ud

dx

ud

2

2

4

42

2

2

2

MotivaciónMotivación

6

¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?

–Solución analítica: expresa la solución general en funciones elementales (polinomios, exponenciales, etc.). No se abordará

–Solución numérica: obtiene las soluciones particulares de una ecuación diferencial. Pare ello se formula de tal forma que su solución sea posible usando operaciones aritméticas. Se abordará en esta presentación.

MotivaciónMotivación

7

MotivaciónMotivación

vm

cg

dt

dv

tmcec

gmv 1

Analítica Numérica

tvm

cgvv iii

1

Ley Física EDO Solución

8

Solución numérica

Aproximación por funciones

Método de diferencias(step by step)

•Polinomios ortogonales•Series de Fourier•Funciones ortogonales

•Metodo de Euler•Metodo de Runge-Kuta•...•...

MotivaciónMotivación

9

¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?

–Para hallar la solución particular de una ecuación de grado “n” se requieren “n” condiciones independientes; la forma como un problema entrega estas condiciones da origen a dos tipos de problemas:

• Los de valores iniciales

• Los de valores de frontera.

MotivaciónMotivación

10

PROBLEMAS DE VALORES INICIALES

– Dada una EDO de orden “n” un problema con condiciones iniciales es:

0),...,,,(2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyxF

n

n

cdx

axdy

cdx

axdy

caxy

)(

.

.

)(

)(

1

2

1

11

PROBLEMAS DE VALORES DE FRONTERA

– El orden mínimo de la ecuación diferencial para un problema de valores de frontera es dos:

2

1

2

2

)(

)(

0),,,(

cbxy

caxydx

yd

dx

dyyxF

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PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Y DE VALORES DE FRONTERA

– En problemas de valores iniciales entregan condiciones en el extremo inicial del intervalo de solución. Los problemas de valores de frontera establecen condiciones en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de solución.

– Ejemplo en una dimensión, si el dominio de solución es a<x<b, hay dos puntos frontera, x=a y x=b; las condiciones son f(x=a)=C1 y f(x-b)=C2.

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Valor inicial

Valor de frontera

y’= ySolución y(t) = c exp(t)

y’ = z z’ = -ySolución y(t) = A sin(t+a) z(t) = A cos(t+a)

y(0)=0y(π)=0 muchas soluciones

Como verificar la solución ?

Problemas de Valor Inicial .vs. Problemas de frontera

14

ECUACION DIFERENCIAL

Inestable Estable

y’ = -ySolución y(t) = c exp(-t)

y’ = ySolución y(t) = c exp(t)

a < 0 a > 0

Problemas Estables vs. Inestables

y’ = a y y(t) = c exp(at)

15

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Los métodos numéricos que estudiaremos se podrán aplicar a una ecuación o a sistemas de ecuaciones diferenciales:

0 0

0

( ) ( , )

( )

[ , ]f

dy t f t y

dty t y

t t t

C.I.

Tiempo

EDO

16

PROBLEMAS DE n-ésimo ORDEN

Se podrán aplicar a problemas de n-ésimo orden con condición inicial, de la forma:

Para lo que se debe transformar el P.V.I. dado, en un sistema equivalente, introduciendo las variables:y1 = y y2 = y′ y3 = y′′ ... yn = y (n-1) = dn-1/ dt n-1

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PROBLEMAS DE n-ésimo ORDEN

Derivando miembro a miembro cada una de estas últimas ecuaciones con respecto a t, se obtiene el sistema equivalente:

y1′ = y′ = y2 y2′ = y′′ = y3

y3′ = y′′′ = y4

... yn′ = f(t,y1,y2,y3,....,yn)

Condición inicialy1(t0)=y1,0 , y2(t0)=y2,0 , ..., yn(t0)=yn,0

18

EJEMPLO: EDO de orden 22

2

0 0

( ) sin( ) 0

( ) 1; ( ) 1

[0,10]

dt

dtd

t tdt

t

C.I.

Tiempo

EDO

y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 y2′ = θ′′ = -sin(θ)Condiciones iniciales: y1(0) = 1, y2(0) = 1

19

Método de EulerMétodo de Euler

donde y′(ti) es la ecuación diferencial evaluada en ti y yi. Esta estimación puede sustituirse en la ecuación:

yi+1 = yi + f(ti, yi) h

Conocido como método de Euler.

Del teorema de Taylor se sabe que:

)(,..........)(')()( 11 iiiii tthhtytyty

Dada la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

)(,,),()(' aybtaytfdtdy

ty

20ti ti+1

t

y Predicho

Verdadero

Error

Método de Método de EulerEuler

y’ = pendiente = f(ti,yi)

Tamaño de paso, h

yi+1 = yi + f(ti, yi)h

21

( ) ( ) 5 sin(5 )

(0) 1

[0,3]

tdy t y t e t

dty

t

C.I.

Tiempo

EDO

EJEMPLO:EDO de orden 1

% Matlab asume función derivada con respecto a la 1a variable

function yprime = myf(t,y)

yprime = -y -5*exp(-t)*sin(5*t);

22

Programa método de Eulerfunction [t,y] = euler_1(fun,ti,tmax,h,ci)% METODO DE EULER% fun: función programada% ti : tiempo inicial% tmax : tiempo final% h : intervalo de tiempo% ci : condiciones inicialesfor n=1:length(ci)

Y(n,1) = ci(n);%condicion inicialend T(1) = ti; %tiempo inicialfin=(tmax-ti)/h;for n=1:fin Y(:,n+1)=Y(:,n)+h*feval(fun,T(n),Y(:,n)); T(n+1)=T(n)+h;endt=T'; y=Y';plot(t,y)

23

Programa método de Euler

% METODO DE EULER% fun: función programadati=0; % Tiempo inicialtmax=3; % Tiempo finalci=1; % Condición inicialh=0.01; % Intervalo de tiempo

[t,y] = euler_1('myf',ti,tmax,h,ci)

% Solución exactaye = exp(-t).*cos(5*t);hold onplot(t,ye,'r*') % grafico de la solución

24

Fórmula de predictor-corrector o Método de Heun

Es mejorada porque se puede demostrar que el error total de la fórmula es O(h2), mientras que en Euler es O(h). O sea, la fórmula de Euler-mejorada o Heun es de orden dos.

En la fórmula de Euler mejorada se obtiene una mayor exactitud pero un trabajo de cálculo mayor, ya que para ir de tk a tk+1 hay que evaluar dos veces la función f(t,y).

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ti ti+1

t

y

ti ti+1

t

y

011

'1 , iii ytfy

y’i =f(ti, yi)

2

,,'

01 1

iytfytf

y iii

Predictor

Corrector

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Métodos de Runge-Kutta (RK) El método de RK se fundamenta en el método de la serie de Taylor. Existen métodos de RK de diferentes ordenes, el orden del método lo define el orden de la derivada en el término de la serie de Taylor donde ésta se corte. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

yi+1 = yi + (xi,yi,h)hdonde (xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. = a1k1+ a2k2 +…+ ankn

donde las a son constantes y las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc. n = 1, es el método de Euler. n = 2, es el método de Heun.

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Método de RK de segundo ordenMétodo de RK de segundo orden

• La versión de segundo orden para la ecuación de RK es:yi+1 = yi + (a1k1+a2k2)h

• dondek1 = f(xi,yi)k2 = f(xi+p1h, yi+q11k1h)

• Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación de RK con la expansión de la serie de Taylor.

• Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas:a1+a2=1 a2p2= ½ a2q11 = ½

• Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas.

28

Método de RK de segundo ordenMétodo de RK de segundo orden

Suponiendo que se especificó un valor para a2, se puede resolver de manera simultánea la ecuación de RK:

a1 = 1 – a2

p1 = q11 = 1/ (2a2)

Como se puede elegir un número infinito de valores para a2, hay un número infinito de métodos RK de segundo orden.

Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante

29

Método de RK de segundo ordenMétodo de RK de segundo orden

a2 = ½: Método de Heun con un solo corrector, donde.

yi+1 = yi + (k1/2+k2/2)h

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi+h, yi+k1h) a2 = 1: Método del punto medio.

yi+1 = yi + k2h

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2) a2 = 2/3: Método de Ralston.

yi+1 = yi + (k1/3+2k2/3)h

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi+3h/4, yi+3k1h/4)

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Método de RK de Método de RK de tercertercer orden orden• Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3.

• El resultado es seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones.

• Una versión ampliamente usada es:

yi+1 = yi + 1/6 (k1 + 4k2 + k3)h

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2)

k3 = f(xi+h, yi – k1h + 2k2h)

• Si la derivada es solo una función de x, el método se reduce a la regla de Simpson 1/3.

31

• Es el más popular de los métodos RK.

• También cuenta con infinitas versiones. La más usada es:

yi+1 = yi + 1/6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2)

k3 = f(xi+h/2, yi + k2h/2)

k4 = f(xi+h, yi + k3h)

Método de RK de Método de RK de cuartcuarto ordeno orden

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Programa método de R-K o4

function [t,y] = rko4_1(fun,ti,tmax,h,ci)% METODO DE Runge-Kutta de orden 4% [t,y] = rko4_1(fun,ti,tmax,h,ci)% fun: nombre del archivo con la función programada% ti : tiempo inicial% tmax : tiempo final% h : intervalo de tiempo% ci : condiciones inicialesfor n=1:length(ci)

Y(n,1) = ci(n);%condicion inicialend T(1) = ti; %tiempo inicialfin=(tmax-ti)/h;for n=1:fin

k1 = h*feval(fun,T(n),Y(:,n));k2 = h*feval(fun,T(n)+(0.5*h),Y(:,n)+0.5*k1);k3 = h*feval(fun,T(n)+(0.5*h),Y(:,n)+0.5*k2);k4 = h*feval(fun,T(n)+h,Y(:,n)+k3);

Y(:,n+1) = Y(:,n) + (1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); T(n+1)=T(n)+h;endt=T'; y=Y';plot(t,y)

33

% METODO R-K o4% fun: función programadati=0; % Tiempo inicialtmax=3; % Tiempo finalci=1; % Condición inicialh=0.01; % Intervalo de tiempo

[t,y] = rko4_1(‘myf’,ti,tmax,h,ci)% Solucion exactaye = exp(-t).*cos(5*t);hold onplot(t,ye,'r*') % grafico de la soluciónfunction yprime = myf(t,y) yprime = -y -5*exp(-t)*sin(5*t);

Programa método de R-K o4

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APLICANDO MATLAB

ODE45: Nonstiff Explicit Runge-Kutta pair, order 4 and 5[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the m system of differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y).

To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL].

35

APLICANDO MATLAB

% Solución de la función myftspan = [0 3]; %Intervalo de la variable independienteyzero = 1; %Condicion inicial

ode45('myf',tspan,yzero) % solución con grafico[t,y] = ode45('myf',tspan,yzero); % solución con datos

plot(t,y,'r*--') % grafico de la soluciónxlabel t, ylabel y(t)% Solucion exactaye = exp(-t).*cos(5*t);hold online(t,ye)

36

EJEMPLO: EDO de orden 22

2

0 0

( ) sin( ) 0

( ) 1; ( ) 1

[0,10]

dt

dtd

t tdt

t

C.I.

Tiempo

EDO

y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 y2′ = θ′′ = -sin(θ) = -sin(y1)Condiciones iniciales: y1(0) = 1, y2(0) = 1

37

function yprime = pend(t,y)

yprime = [y(2); -sin(y(1))];

FUNCION EN MATLAB

38

Ejemplo: 1/2% Solución de la funcion pend

tspan = [0 10]; % %Intervalo de la variable independiente

yazero = [1; 1]; % condiciones iniciales a

ybzero = [-5;2]; % condiciones iniciales b

yczero = [5; -2];% condiciones iniciales c

[ta,ya] = ode45('pend',tspan,yazero); % solucion con CI a

[tb,yb] = ode45('pend',tspan,ybzero); % solucion con CI b

[tc,yc] = ode45('pend',tspan,yczero); % solucion con CI c

plot(ta,ya) % grafico de la solucion con CI a

plot(tb,yb) % grafico de la solucion con CI b

plot(tc,yc) % grafico de la solucion con CI c

39

Ejemplo: 2/2

% Grafico del campo vectorial

[y1,y2] = meshgrid(-5:.5:5,-3:.5:3);

Dy1Dt = y2; Dy2Dt = -sin(y1);

quiver(y1,y2,Dy1Dt,Dy2Dt)

hold on

plot(ya(:,1),ya(:,2),yb(:,1),yb(:,2),yc(:,1),yc(:,2))

axis equal, axis([-5 5 -3 3])

xlabel y_1(t), ylabel y_2(t)

hold off

40

Sistemas de EDO

1 2 3

2 1 2

3 3 1

1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ( ) )

(0) 1; (0) 1; (0) 1;

[0,100]

dy t y t y t

dtd

y t y t ay tdtd

y t b y t y t cdty y y

t

C.I.

Tiempo

SistemaEDO

Parametros: a = 0.2, b = 0.2, c = 5, 2.5, 1, 0.5

41

function yprime = rossler(t,y)% ROSSLER: Rossler system

a=0.2; b=0.2; c=2.5;

yprime = [-y(2)-y(3); y(1)+a*y(2); b+y(3)*(y(1)-c)];

FUNCIÓN EN MATLAB

42

% Solución de la función Rossler

tspan = [0,100]; % Intervalo de la variable independiente

yzero = [1;1;1]; % Condición inicial

ode45('rossler',tspan,yzero); % solucion con grafico

[t,y] = ode45('rossler',tspan,yzero); % solución con datos

plot(t,y(:,1)) % Grafico solución de y1

plot(t,y(:,1),t,y(:,2)) % Grafico solución de y1,y2

plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)) % grafico de la solución de y1,y2,y3

plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) % grafico de la solución

APLICANDO MATLAB

43

OTROS MÉTODOS

Runge-Kutta-Fehlberg Paso adaptativo: METODO DE PASO VARIABLE

Métodos de Adams-Bashforth: METODOS MULTIPASOS EXPLÍCITOS

Métodos Adams-Moulton: METODOS MULTIPASOS IMPLÍCITOS

METODOS PREDICTOR-CORRECTOR

44

EDO RIGIDAS

Problema de valor inicial

)sin(31

)cos(9

)sin(31

)cos(5

5124

249

2

1

2

1

tt

tt

u

u

u

u

Natural- homogénea Forzada

45

Solución analítica al problema

Para la solución de numérica de problemas rígidos se usan métodos absolutamente estables (implícitos). Un ejemplo es el método implícito del trapecio:

46

Solución en Matlab

function uprima=rigida(t,x)uprima=[9*x(1)+24*x(2)+5*cos(t)-1/3*sin(t);... -24*x(1)-51*x(2)-9*cos(t)+1/3*sin(t)]************************************************tspan = [0 3]; %Intervalo de la variable independienteuzero = [4/3 2/3]; %Condicion inicial[t,u] = ode23s('rigida',tspan,uzero); % solucion con datosplot(t,u) % grafico de la solucion% Solucion exactahold on;ue1 = 2*exp(-3*t)-exp(-39*t)+1/3*cos(t);ue2 = -exp(-3*t)+2*exp(-39*t)-1/3*cos(t);plot(t,ue1,'r*',t,ue2,'r*')

47

Solución en Matlab

48

ode45 is based on an explicit Runge-Kutta (4,5) formula, the Dormand-Prince pair.

ode23 is an implementation of an explicit Runge-Kutta (2,3) pair of Bogacki and Shampine.

ode113 is a variable order Adams-Bashforth-Moulton PECE solver. It is a multistep solver.

ode15s is a variable order solver based on the numerical differentiation formulas, NDFs. (also known as Gear's method) is a multistep solver

APLICANDO MATLAB

49

ode23s is based on a modified Rosenbrock formula of order 2. it is a one-step solver

ode23t is an implementation of the trapezoidal rule using a "free" interpolant.

ode23tb is an implementation of TR-BDF2, an implicit Runge-Kutta formula,trapezoidal rule and backward differentiation

APLICANDO MATLAB

50

ODE23: NonstiffExplicit Runge-Kutta pair, order 2 and 3

ODE45: NonstiffExplicit Runge-Kutta pair, order 4 and 5

ODE113: Nonstiff Explicit linear multistep, orders 1 to 13

ODE15S: Stiff Implicit linear multistep, orders 1 to 5

ODE23S: Stiff Modified Rosenbrock pair (one-step), orders 2 and 3

ODE23T: Mildly stiff Trapezoidal rule (implicit), orders 2 and 3

ODE23TB: Stiff Implicit Ringe-Kutta type algorithm, orders 2 and 3

APLICANDO MATLAB

51

APLICANDO MATLAB