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Università degli Studi di Padova

SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica

Laboratorio di Rilevamento e Geomatica

ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI LINEARI

CON LASER A SCANSIONE

Relatori: Prof. Giuseppe Salemi

Prof. Francesco Fassò

Laureanda: TINA BABETTO

A. A. 2004 / 2005

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Settore di interesse

Settore ARCHITETTONICOARCHITETTONICO:

Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser scanning :

I dati vengono acquisiti con uno scanner laser, capace di determinare velocemente e con un alto grado di precisione la geometria dell’oggetto.

L’acquisizione avviene su una griglia di campionamento, per definizione discreta

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Esempi di acquisizione

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Problema

Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante software attualmente il mercato offre strumenti in grado di effettuare elaborazione globaleglobale dei dati

Punto debolePunto debole

Non è possibile effettuare un’analisi del singolo dettaglio

SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo linea per linea , punto per punto

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Strumento

• scanner Cyrax 2500

• Software Cyclone

LASER A SCANSIONE

Dimensione: 35,6 x 30,48 x 58,42 cm

Angolo di ripresa: 40° x 40°

Range di utilizzo medio: 1,5 – 50 m

Range di utilizzo massimo: 80 –100 m

Velocità di acquisizione: 1000 punti/secondo

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Acquisizione:

rappresenta un possibile profilo di una struttura architettonica

Linea iniziale dell’acquisizione

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Acquisizione:

In realtà:

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Funzioni di interpolazione polinomiali SPLINE

Strumenti matematici utilizzati:

SPLINE

Cubica

Bézier

Composite Bézier

Ambiente di lavoro: Mathematica 4.1

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Definizione:

Sia a = x0< x1<…. < xn = b una suddivisione dell’intervallo [a,b] e sia m N.

Una funzione sm: [a,b] R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa

suddivisione se s Cm-1[a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo [xi,xi+1]

è un polinomio di grado al più m.

Utilizzo:

Nella grafica 3D sono utilizzate per l’approssimazione di curve.

Funzioni di interpolazione SPLINE

SPLINE CUBICA (m=3)

s3= a0i + a1ix + a2i x2 + a3ix

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Definizione:

i coefficienti b0,b1…..,bn R 2 nella rappresentazione di un polinomio p Pk nella base di Bernstein

x [a,b],

sono chiamati punti di controllo , o punti di BÉZIER, di p.

COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C1 che interpola alternativamente nodi e punti di controllo

Funzioni di interpolazione SPLINE

),;()(0

baxBbxp nk

n

kk

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Acquisizione

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Acquisizione

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I morfotipi I modelli campionati sono 5:

Punti allineati

Box

Curva

Triangolo

Picco

Box

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Applicazione

Per ogni tipologia di spline si è eseguita l’interpolazione :

• su ogni singolo morfotipo

• su composizioni di morfotipi diversi

• su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi

• su ripetizioni dello stesso morfotipo

• su sequenze con morfotipi distanziati (“effetto rilassamento”)

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Muro.jpg

Codice in Mathematica 4.1

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Singolo morfotipo

Interpolazione CompositeBézier a confronto: Box con 2 passi di campionamento diversi

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Esempi di interpolazioni su 2 sequenze di morfotipi

BÉZIER :

Triangolo + 2*Box

COMPOSITE

BÉZIER :Curva + Linea + Box + Picco + Triangolo

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Campionatura diversa

Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo

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Sequenza “rilassata”

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Costruzione 3D

Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n volte…

21… si ottiene una parete

Muro.jpg

Costruzione 3D

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Conclusioni

• La sperimentazione ha indicato alcune “linee” guida per l’analisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con laser a scansione.

• Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari, variandone la composizione, la ripetizione e la complessità strutturale.

• E’ stato approntato un metodo alternativo di analisi delle linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse.

• I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).

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Perturbazioni

errore umano

morfotipo affetto da errore

errore di macchina

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Perturbazioni

gli effetti dell’interpolazione cambiano

In caso di perturbazioni l’interpolazione non approssima esattamente l’andamento cercato è necessario effettuare una depurazione dall’ errore (se possibile)