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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PARMA

FACOLTA’ DI ECONOMIA

Corso di Corporate Bankinga.a. 2009-2010

(Professor Eugenio Pavarani)

Evoluzione della teoria del rischio finanziarioEvoluzione della teoria del rischio finanziario

da Markowitz al teorema della separazione e al CAPMda Markowitz al teorema della separazione e al CAPM

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Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz

• Markowitz ha mostrato l’esistenza della Frontiera Efficiente

• Ma quale portafoglio sulla Frontiera è preferibile? • Dipende dall’avversione/propensione al rischio

dell’investitore (la scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza)

E (R)

X

Y

Portafogli oggettivamente dominanti

Portafogli

dominati

Spazio oltre-frontiera

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Indice

• La Capital Market Theory di Markowitz• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital

Market LineMarket Line• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line

Evoluzione della teoria del rischio Evoluzione della teoria del rischio finanziariofinanziario

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• Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi

• Tobin ipotizza ora l’esistenza di titoli caratterizzati da rischio nullo ( = 0) che garantiscono quindi un rendimento sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate (Rf).

• E’ ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli sulla frontiera efficiente (es. portafoglio A) con titoli privi di rischio (es. titolo B)

Investimento al tasso privo di rischio

²p = a²∙²A+b²∙²B+2∙a∙b∙A∙B∙AB

La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita La frontiera efficiente è ora una spezzata costituita da portafogli con minor rischio a parità di da portafogli con minor rischio a parità di rendimentorendimento

²p = a²∙²A

E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p/ A

a = p / A

E(Rp) = p / A ∙ E(RA) + (1- p / A ) ∙ Rf

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Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una

spezzata

Rf

A’’

xx’

y

A

A’

p

E (Rp)

E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p

A

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Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una

spezzata

Rf

A’’ y

p

E (Rp)

E(Rp) = Rf + [E(RA) – Rf] ∙ p

A

1^ ipotesi:p = 0

2^ ipotesi:p = A

3^ ipotesi: 0 < p < A

x’

E (RA)

p = a * A

p /A= a

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Indebitamento al tasso privo di rischio

• Abbiamo ipotizzato la possibilità di investire al tasso privo di rischio

• Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di rischio

• Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso Risk Free, e investire al rendimento offerto dal portafoglio di mercato (= effetto di leva finanziaria maggior rendimento e maggior rischio)

• Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera

efficiente che diventa una semiretta

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La nuova frontiera efficiente: una semiretta

Rf

Ax’

y’

y

E (R)

E(RA) = 100 * 0,20 = 20%

pA = 100% * A

E(Ry) = (200 * 0,20) – (100 * 0,10) = 30%

py = 200% * A

E(Rx) = (50 * 0,20) + (50 * 0,10) = 15%

pA = 50% * A

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La Capital Market Line

p

Rf

m

E (R)

(m)

R(m)

CML

Pendenza CML

Rf = Risk Free Rate

R(m)= rendimento atteso del portafoglio di mercato

(m)= sqm del portafoglio di mercato

R(m) - Rf

(m)

R(p) = Rf + (p)

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Il portafoglio di mercato

• Il portafoglio mm, detto Portafoglio di Mercato, è oggettivamente il migliore portafoglio di soli titoli rischiosi e domina qualsiasi altro portafoglio di soli titoli rischiosi.

• La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è detta Capital Market Line (CML).

• Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato da una quota del titolo privo di rischio e da una quota del portafoglio di mercato.

• La scelta del portafoglio rischioso è oggettiva: non dipende dalla propensione al rischio dell’investitore.

• La quota di portafoglio rischioso da detenere è soggettiva: dipende dalla propensione al rischio del singolo investitore. i due momenti decisionali sono i due momenti decisionali sono “separati”“separati”

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• La pendenza della CML è il prezzo di mercato del rischio

• esprime il premio di rendimento pagato dal mercato per ogni unità di rischio aggiuntiva

• il rendimento di un portafoglio efficiente è determinato dall’equazione della CML

Il prezzo di mercato del rischio

R(m) - Rf

(m)

R(p) = Rf + (p)

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Il teorema della separazione di Tobin

• L’introduzione del tasso privo di rischio e la nuova frontiera efficiente (CML) separano:

– l’individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta oggettivascelta oggettiva indipendente dalla propensione al rischio

– la scelta soggettivascelta soggettiva di posizionamento lungo la CML, cioè la quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di indifferenza)

– ogni investitore razionale detiene il portafoglio di mercato per importi diversi

– quindi la reale composizione del portafoglio di mercato rispecchia la composizione ottimale

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Indice

• La Capital Market Theory di Markowitz• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital

Market Line• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line

Evoluzione della teoria del rischio Evoluzione della teoria del rischio finanziariofinanziario

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Diversificazione e valore

• La diversificazione consente di ridurre il rischio di un portafoglio • Un portafoglio di n titoli ha

– un rendimento pari alla media ponderata dei singoli rendimenti;

– per contro, ha un rischio complessivo inferiore alla media ponderata dei rischi dei singoli titoli

• In sostanza, è meno rischioso a parità di rendimento

• Domanda: il valore del portafoglio è maggiore della somma ponderata dei valori dei singoli titoli ?

LA RISPOSTA E’ : NO, NON HA UN VALORE MAGGIORE

• Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore del fondo è dato dalla somma del valore dei titoli presenti nel fondo stesso

• Il mercato non riconosce nessun premio alla diversificazione. Perché ?

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Perchè non è prezzato il rischio diversificabile

• Non c’è premio, da parte del mercato, per chi fa semplicemente scelte razionali; è invece penalizzato chi non segue la strada della razionalità

• Il rischio che viene prezzato dal mercato è il contributo fornito dal singolo titolo al rischio ineliminabile del portafoglio di mercato

• Chi preferisce tenersi anche il rischio diversificabile, non ottiene un rendimento corrispondente a quella componente del rischio

• Come misurare la componente rilevante del rischio ?

• Il 22 di un titolo è un indicatore inadatto poiché ingloba nella misura del rischio anche la componente eliminabile tramite la diversificazione

• Ciò che conta è l’insieme delle covarianze ponderate del singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti sul mercato

• E’ quindi necessaria una nuova misura di rischio

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Il Capital Asset Pricing Model

• Come misurare il contributo di ogni singolo titoloogni singolo titolo al rischio complessivo del portafoglio di mercato?

– solo questa componente di rischio è rilevante per determinare il rendimento del titolo

– essendo eliminabile con la diversificazione la componente specifica, il mercato finanziario considera nella determinazione del rendimento atteso soltanto la componente non diversificabile

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Indice

• La Capital Market Theory di Markowitz• Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital

Market Line• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

– Il rischio sistematico e il rischio diversificabileIl rischio sistematico e il rischio diversificabile– L’intuizione di Sharpe e la Security Market Line

Evoluzione della teoria del rischio Evoluzione della teoria del rischio finanziariofinanziario

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La varianza di un portafoglio di tre titoli : la matrice varianza-

covarianza

a²∙²A

b²∙²B

c²∙²C

a∙b∙AB

b∙a∙B

A

c∙a∙C

A

a∙c∙AC b∙c∙AC

c∙b∙CB

A

B

C

CBA

²P = a²∙²A+b²∙²B+ c²∙²C + 2∙a∙b∙AB+2∙a∙c∙AC+2∙b∙c∙BC

a = peso del titolo A nel portafoglio

b = peso del titolo B nel portafoglio

c = peso del titolo C nel portafoglio

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Ipotizziamo che il portafoglio di mercato sia composto da 8 titoli

C

D

E

F

G

H

A B C D E F H

B

A

G

Matrice Varianze-Covarianze portafoglio di mercato con 8 titoli.

Varianze dei singoli titoli

covarianze tra i singoli

titoli

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Aggiungendo il titolo I al portafoglio…

A B C D E F HG

C

D

E

F

G

H

B

A

I

I

Il contributo del nuovo titolo alla varianza del portafoglio di mercato è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli.

La varianza del titolo I incide sul

rischio del portafoglio

soltanto per 1 / 81 = 1 / N*N

se i titoli hanno tutti lo stesso peso

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Il contributo del singolo titolo al rischio del portafoglio di mercato

• Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze del titolo con gli altri titoli sul mercato

• La varianza del titolo è una componente minima

• All’aumentare del numero di titoli sul mercato il contributo della sola varianza diventa sempre più piccolo ed irrilevante: in tal modo viene realizzata la diversificazionediversificazione

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Il rischio sistematico e il rischio diversificabile

• Il rischio di un qualsiasi portafoglio può essere distinto in due componenti– rischio non sistematico (o diversificabile) – rischio sistematico

• Rischio non sistematico: deriva da fattori legati alla società emittente il titolo. E’ eliminabile con la diversificazione.

• Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici, è ineliminabile e corrisponde al rischio del portafoglio di mercato.

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La riduzione della varianza di un portafoglio con la diversificazione

Rischio non sistematico

Rischio sistematico

n

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Indice

• La Capital Market Theory di Markowitz• Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital

Market Line• Il Capital Asset Pricing Model (CAPM)

– Il rischio sistematico e il rischio diversificabile– L’intuizione di Sharpe e la Security Market LineL’intuizione di Sharpe e la Security Market Line

Evoluzione della teoria del rischio Evoluzione della teoria del rischio finanziariofinanziario

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La Security Market Line

E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] (i, m) / 2 (m)

È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a

Rapporto

tra il rischio rilevante del singolo titolo

e il rischio del portafoglio di mercatoEs: se i valori sono uguali, il rapporto è = 1

il titolo ha stesso rischio e stesso rendimento del portafoglio di mercato

> 1 più elevato rendimento atteso

< 1 più basso rendimento atteso

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E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] i

La Security Market Line

• Per visualizzare l’equazione che definisce il rapporto rischio rendimento per un singolo titolo occorre passare dal piano (R,(R,) ) al piano (R,(R,))

(i, m)

2 (m)i =

• La SML consente di stimare il rendimento atteso di un titolo in funzione del suo contributo al rischio del portafoglio di mercato

• Il contributo al rischio generale di portafoglio da parte del singolo titolo è misurato dall’indice BetaBeta dato dal rapporto della covarianzacovarianza tra titolo e mercato con la varianzavarianza del mercato

E[R(i)] = Rf + [ R(m) – Rf] (i, m) / 2 (m)

È possibile dimostrare che il rendimento atteso di un titolo i è pari a

(m, m)

2 (m) m = = 1

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La Security Market Line

Rf

m

(m) = 1

R(m)

SMLE (Ri)

ii

MRP

Alto rendiment

o

Basso rendiment

o

Alto rischi

o

Basso rischi

o

Pendenza SML

E[R(i)] = Rf + i [ R(m) – Rf]

Market risk Premium (MRP)

es. 3,0%

es. 4,75%

es. 7,75%

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L’indice Beta

• La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e quelli del portafoglio di mercato

• Il rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato

• Il del mercato è per definizione pari ad uno, poichè la covarianza tra il mercato e se stesso è pari alla varianza

• Il del mercato è la media ponderata dei dei diversi titoli presenti sul mercato

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Il Beta e il Market Risk Premium

• Un titolo che fornisce un modesto contributo al

rischio sistematico del mercato ha un inferiore ad 1

• Un titolo che fornisce un rilevante contributo al

rischio sistematico del mercato ha un superiore ad 1

• Il MRPMRP è il premio per il rischio del mercato, poiché indica quante unità di rendimento è possibile

attendersi per avere assunto rischio nella misura = 1

• Uno studio di Banca d’Italia, ha stimato nel 5,69% il MRP sul mercato finanziario italiano

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• Il rendimento atteso dall’azionista è il costo opportunità del capitale azionario per l’impresa

• per non distruggere valore, l’impresa deve remunerare l’azionista in misura coerente con il rischio assunto e con il rendimento atteso

L’applicazione della SML la stima del costo del capitale

azionario

R(i) = Rf + i [ R(m) – Rf]

Costo del capitale Costo del capitale azionarioazionario

Rendimento atteso dagli azionisti che hanno investito nel titolo i