Formelsammlung 1.S1

a0 = 1 a-m = 1 / amap/q = q√a p an · am = an + m

an · bn = ( a · b ) n (an) m = a n · m an/a-m= an - m an/bn=(a/b)n an/bm= an·b-m

n√a · n√b=n√a·b m√ n√a=m·n√a n√a : n√b= n√a: b ( n√a )m= n√am a−mn = 1

n√am

√ x2=x √ n2

m= nm·√m √ 1

4=√ 1

22 =12

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

( a + b )3 = (a+b)(a2 + ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 ( a - b )3 = (a-b)(a2 - ab + b2) = a3 - 3a2b - 3ab2 +b3

loga(u) + loga(v) = loga(u· v) loga(u) - loga(v) = loga(u/v) loga(uk )= k· loga(u) loga(u) = log(u) / log(a)

a = ln(ae) = eln(a)

log a ( x )=logb ( x )log b (a )

log ( x )= ln ( x )ln (10 )

Ln(1)=0

Log(10)=1

Konvergiert : Wert geht gegen 0 oder eine best. Zahl Divergiert: Wert geht gegen Unendlich

Gerade Funktion: f (−x )=f ( x ) Ungerade Funktion: f (−x )=−f ( x ) f (gerade ) · f (ungerade )=f ( x )→ungerade

Symmetrisch an der y-Achse Punktsymmetrisch im Ursprung f (gerade ) · f (gerade )=f ( x )→gerade

f (ungerade ) · f (ungerade)=f ( x )→gerade

Ganzrationale Funktion: ∑k=0

n

ak · xk

Gebrochenrationale Funktion:

∑k=0

n

ak · xk

∑k=0

m

ak · xk

Keins von Beidem

Funktion Df W fFunktion Df W f

Funktion Df W f

y=ax+b R R für a≠0b für a=0 y=

1x

R ¿{0 ¿}R ¿{0 ¿} y=√x ¿ [ 0 ,∞ )

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y=a x2+xb+c R ¿sgn ( x )={ |x|

x0 , x=0

R {−1,0,1 }

y=√x−a ¿ [ 0 ,∞ )

y=|x| R R+¿ ¿{0¿}¿

Definition Funktion: Operation welche jedem Element aus Df genau ein Element aus Wf zuordnet.

Polstelle: 1

f (x )=0

Quadratische Funktion y=a x2 · bx·cS (x0 , y0 ) : S(−b2a |−b2+4ac

4 a )Ns (x1,x2):

−B±√B2−4 AC2 A

−p2±√( p2 )

2

−qy=a· (x−x1 ) ·(x−x2)

Diskriminate:D=B2−4 AC=0 D=( p2 )2

−q=0 S (x0 , y0 ) : y=a·(x−x0)2+ y0

y = 2x2-4x+1

y = 2(x2-2x)+1

y = 2((x-1)2-1)+1

y = 2(x-1)2-2+1

y = 2(x-1)2-1 => Schnittstelle S(x/-1)

Verschiedene Funktionen und ihr Aussehen

-10=1 , -11=1

100=1

0x=0

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Verschiebung von Funktionen

Verschiebung um a in y-Richtung: y=f ( x )+a Verschiebung um a in x-Richtung: y=f ( x−a ) ; + , -

Spiegelung an x-Achsse:y=−f ( x ) Spiegelung an y-Achsse:

y=f (−x )

Eine speigeleung an der y- Achse ist wird

analog einer Verschiebung um a in x-Richtung

durchgeführt, jedoch kehrt einfach das

Vorzeicheny=f ( x−a ) wird also zu

y=f ( x+a )

Streckung von der x-Achse aus in y-Richtung um den Faktor a:y=a· f ( x ) Streckung von der y-Achse aus in x-Richtung um den Faktor 1/a:

y=f (a· x )

Ableitung

Differenzialquotient ∆ y∆x

=f (x )∆ x

=f (x0+∆ x )−f (x0)

∆x Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f ist der

Differentialquotient.

Analytische Ableitung

f ' ( x ):=limh→∞

f (x0+h )−f ( x0)h

, h=∆ x=x−x0≠0 Bemerkung: für x0 wird die Funktion

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eingesetzt.

Ableitungsregeln

Summenregel f ( x )=T 1+T 2→f ' ( x )=T 1 '+T 2 '

Faktorregel f ( x )=a·T 1→ f ' ( x )=a·T 1 '

Produktregel f ( x )=T 1 ·T 2→f ' ( x )=T 1' · T 2+T 1 · T 2 '

Quotienten Regel

f ( x )=T 1

T 2→f ' ( x )=

T 1' ·T 2−T 2

' · T1

T 22

Kettenregel Äussere Ableitung · Innere Ableitung , ¿

Wichtige Ableitungen

f ( x ) f ' ( x ) f ( x ) f ' ( x )

y=ax y '=a y=b y '=0

y=1x

y '=−1x2 y= c

xay '=−c·a

xa+1

y=√x y '= 12 ·√x

ex ex ·(x ')

ln ( x ) x−1 ·( x' )

Rotationskörper:

1. f ( x )2

2. π·f (x )2=H3. Integrieren von H

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