1) · web viewmỘt sỐ phƯƠng phÁp xÂy dỰng bÀi tẬp * lời đầu: Đề thi tuyển...

Phương pháp xây dựng bài tập *** Dương Châu Dinh

Đông Hà, tháng 11 năm 2010

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG

BÀI TẬP

* Lời đầu:

Đề thi tuyển sinh đại học những năm gần đây sát với chương trình phổ

thông và cấu trúc đề thi tuyển sinh của Bộ GD-ĐT đã ban hành. Để gây hứng

thú cho học sinh học tập tích cực, chủ động và tiếp cận được đề thi tuyển sinh,

một phần không thể thiếu ở người thầy giáo là sáng tạo trong hoạt động giảng

dạy. Trong bài viết này tác giả trình bày một số phương pháp xây dựng bài tập

theo xu hướng mới này như là ví dụ minh họa.

Mong rằng nhận được những ý kiến đóng góp các bạn đọc và đồng

nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn!

* Nội dung:

Tuỳ theo ý tưởng mà chúng ta sáng tạo ra các bài tập có mức độ khó, dễ,

thú vị khác nhau, ở đây, tôi chỉ trình bày:

1) Kết quả trung gian xây dựng các bài tập mới.

2) Khái quát hình thành một số bài tập.

3) Một số kỷ năng sáng tạo.

1


PHẦN I

KẾT QUẢ TRUNG GIAN XÂY DỰNG BÀI TẬP MỚI

A. Phương pháp

(1) (?)

(2) (?)

(3) (?)

B. Xây dựng một số bài tập trong BĐTBài tập cơ bản

* Cho ba số bất kì và ba số dương . Chứng minh rằng

CM: (đpcm)

Vận dụng: (1)

(2) CMR:

(ĐH: A/2005)

(3) CMR:

(4) ; . CMR:

CM:

(5) Cho

CMR: (Quốc tế 1995 - Canađa)

2


(6) CMR:

(7) CMR:

HD:

(8) ;

(9) CMR:

Ứng dụng:

(1)

GPT:

(2)

3


Đặt ; ;

(3)

Tức là:

Vì:

(4)

(?)

Do:

(5)

4


thoả mãn

CMR: (1)

Đặt: ; ;

(1)

(!)

(6)

(7)

CMR:

(8)

CMR:

Do

(9) Tìm Min của

Phân tích:

5


(10) Min

Luyện tập

Tìm Min của:

Tam thức bậc hai (Viét)

có nghiệm

(1)

Thay đổi điều kiện

(2)

“=” chẳng hạn:

Thay bởi 6


(3) Xét các số thực dương thoả mãn

Tìm Max, min của và

(gt)

Xét các số thực dương x, y, z thoả mãn

Tìm max, min của:

“chuẩn hóa” ( )

(1) Xác định m để hệ sau có nghiệm?

, ĐS:

Thay đổi cách phát biểu !

(2) Xét các số thực thoả mãn đk:

Hãy tìm GTLN, GTNN của (HSG QG _ 2005).

(3) Xác định m để phương trình:

, có nghiệm.

7


Phát biểu lại:

Các số thực thay đổi có tổng bằng 2 - Tìm Max, min của biểu thức:

(4) Giã sử pt: ;có 3 nghiệm .

Hãy tính: . ( )

Phát biểu dưới dạng khác

a) Tính tổng

b) Giải phương trình

c) Giải hệ (T9/333)

(5)

Đặt

(6) Cho (1)

CMR: Hoặc tìm nghiệm nguyên của (1)

Bài luyện tập:

Cho CMR:

(7) Xét các số thực thoả mãn hệ

Tính giá trị của ta có:

8


(1)

(2)

(8) Tìm cặp số sao cho y nhỏ nhất thoả mãn:

HD:

(9) CMR:

(10) CMR:

Bài tập 1: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Nhận xét:

Tuy nhiên, việc biến đổi đưa đến (*) không phải sử dụng (1), mà là:

Vậy khi

Khai thác bài tập 1, đưa đến:

Bài tập 2:

Cho tìm

Lời giải: 9


Từ (gt)

Vậy, khi

Nhận xét:

(*)

Đưa đến:

Bài tập 3: Cho x >0, y>0 và x+y 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải : Từ (gt)

Sử dụng (*) ta có :

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi

Nhận xét :

đưa đến :

Bài tập 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

10


(Đề thi HSG lớp 10 - 30/4)

Lời giải :

Tập xác định [ [

Do .

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x=0

Vậy, khi

Tổng quát :

Cho . Khi đó :

Chứng minh :

Từ (gt)

(đpcm)

Bài tập 5 :

Cho Chứng minh rằng :

11


Nhận xét: Việc chứng minh bài tập trên không phải sử dụng (2) mà phải

thực hiện phép biến đổi sau :

Từ (gt) (đpcm)

Bài toán 6 :

Cho Chứng minh rằng:

Lời giải:

Từ (gt) (đpcm)

Nhận xét:

(do )

(do )

(do

Tương tự:

(do

(do )

Hay:

(do

Từ đó, ta có:

Bài tập 7:

12


Cho

Tìm: a)

b)

Lời giải: Tương tự nhận xét trên, và ta được kết quả:

a) khi

b) khi

Tổng quát :

Cho

Khi đó

Chứng minh :

Từ (gt) ta có :

(đpcm)

Bài tập 8

Cho Chứng minh rằng:

Lời giải:

Từ (gt) nên theo đẳng thức Côsi, ta có:

13


(đpcm)

Nhận xét:

Theo bài toán trên, ta có thể tìm được:

Từ đó ta có:

Bài tập 9.

Cho

Tìm: a)

b)

a)

Lời giải:

a) Từ (gt) theo bất đẳng thức Côsi, ta có:

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi

Từ đó:

b)

c)

Nhận xét:

Nếu thì với phương pháp này

không chứng minh được:

Tuy nhiên ta có:

Bài tập 10:

Cho Tìm

14


Lời giải:

Từ (gt) theo bất đẳng thức Côsi, ta có:

Dấu “=” xảy ra

Vậy, khi

Tổng quát:

Cho

Khi đó:

Chứng minh:

Từ (gt) ta có:

(đpcm)

Khai thác theo hướng khác ta có:

Bài tập 11:

Cho Chứng minh:

Lời giải:

Từ (gt)

(đpcm)

Nhận xét:

Từ (gt), ta suy ra:

Vì thế, ta có :

15


Bài tập 12 :

Cho Chứng minh rằng

a)

b)

c)

Lời giải:

Từ (gt), ta có:

a)

b) (gt)

Theo câu a)

c)

Vậy: (đpcm)

C. Luyện tập

Bài 1: Cho Tìm Đáp số:

Bài 2: Cho 2 số dương x,y thay đổi, có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

Bài 3: Cho 2 số dương x,y thay đổi thoả mãn:

16


Tìm GTNN của Đáp số:

Bài 4:

Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đáp số:

Bài 5.

Cho Tìm

Đáp số:

17


PHẦN II

KHÁI QUÁT HÌNH THÀNH MỘT SỐ BÀI TẬP

I. Các yếu tố thường gặp trong hình học không gian qua các kỳ thi, đó là “góc”, “khoảng cách”; “diện tích”; “thể tích”...

A. Xét các hình chóp tam giác đều, biết 2 yếu tố

Ta được một số bài tập:

Bài tập 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều, có góc tạo bởi 2 mặt bên là , khoảng cách từ tâm của đáy đến cạnh bên bằng .

ĐS: ; )

Bài tập 2. Tìm thể tích của hình chóp tam giác đều SABC, có cạnh đáy AB= , lập với mặt bên (SBC) một góc

ĐS: ;

Bài tập 3.

Tính thể tích của hình chóp tam giác đều SABC có các góc phẳng ở đỉnh S bằng ; khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m.

ĐS: ;

Và tiếp tục khai thác, ta được các bài tập tương tự:

B. Sử dụng qua trung gian

Trên SA, SB, SC của hình chóp SABC có thể tích V lấy các điểm Ao, Bo,

Co tương ứng sao cho SAo = SBo = SCo = 1, khi đó:

Trong đó:

Bài tập 4:

18

V = abcVo


Tính thể tích hình chóp SABC, có góc tam diện đỉnh S ba mặt bằng 60 o ; SA= a, SB = b, SC = c.

ĐS:

Bài tập 5. Cho góc tam diện đỉnh S, đặt trên các cạnh các đoạn . Hãy xác định để hình chóp SABC có diện tích xung

quanh bằng và thể tích lớn nhất.

ĐS:

Bài tập 6: Tính thể tích hình chóp SABC, có SA=a; SB=b; SC=c

a)

b) ; ;

ĐS: a)

b)

Tứ diện gần đều ngoại tiếp bởi tứ diện vuông (hoặc hình hộp chữ nhật)

Bài tập 7.Tìm thể tích tứ diện gần đều ABCD có:

DA=BC=a; DB=CA=b; DC=AB=c

Bài tập 8: Tính thể tích tứ diện gần đều biết ba đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là

ĐS:

* Hình chóp có hình cầu ngoại tiếp

Bài tập 9. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông, cạnh huyền , các cạnh bên cùng tạo với đáy góc .

ĐS:

Bài tập 10: Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC, có SBC và

ABC là các tam giác đều cạnh ;

19


ĐS:

II. Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần

Tính các tích phân:

1) Đặt:

2) Đặt:

3) Đặt:

4) Đặt:

5) Đặt:

6) Đặt:

7) Đặt:

8) Đặt:

9) Đặt:

10)

11)

12) Đặt:

III. Phương trình lượng giác:

1)

2)

20


3)

4)

5)

6)

7)

8) 9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

IV. Dùng ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ:

21


1) 2) 3) 4) 5) 6)

7)

8) 9) 10) 11)

12)

V. Hệ thức lượng trong tam giác1) Định lý Côsin:

2 ) Định lý Sin: Nội tiếp đường tròn (O;R):

3 ) Công thức trung tuyến

4 ) Công thức tính diện tích S của tam giác

(1)

(2)

(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp)

(3)

( r-là bán kính đường tròn nội tiếp) (4)

(5)22


(6)

(7)

* Một số bài tập trong hệ thức lượng:* Từ Định lý Cosin và định lý Sin:

Tương tự: , do đó ta có:

Bài tập 1:, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:

Công thức tính diện tích tam giác:

Vậy: (1)

Bài tập 2:

thoả mãn:

Chứng minh rằng:

Lời giải: Từ (1) ta có :

Tổng quát:

Khi đó:

Từ đó ta chứng minh được một lớp bài tập tương tự với 23


Bài tập 3: Cho , chứng minh rằng:

2).

Lời giải:

1). Từ (1): tương tự

2).

Nhận xét: Nếu biết rằng:

Thì ta có:

Bài tập 4: Chứng minh rằng trong tam giác bất kỳ, ta có:

Lời giải:Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(1)

Ta có: và bài tập 1, từ đó:

(1)

Bài tập 5: Gọi R, r theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp . Chứng minh rằng:

Nếu thì

24


Lời giải:

Ta có: cba 4

Và:

(đpcm)

Bài tập 6: Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoả mãn:

Lời giải:

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

Từ đó đẳng thức đã cho tương đương với:

đều (đpcm)

Nhận xét:

(Côsi 2 số dương)

Ta có:

Bài tập 7:là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC


25


Lời giải:Theo nhận xét:

Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét: Từ: (*)

(Côsin)

cân tại C

Từ (*)

Từ đó ta có:

Bài tập 8:Tam giác ABC có các cạnh và các góc thoả mãn:

Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Lời giải: Theo trên, đưa đến (*), từ đó suy ra kết quả.

Bài tập 9: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

(1)

Lời giải;

(1) (Định lý Sin)

26


vuông tại A

Bài tập 10: Chứng minh rằng: Nếu thì nhọn và thoả mãn:

Lời giải:(*)

là góc nhọn

Từ (*) suy ra tam giác ABC nhọn

Hơn nữa:

(đpcm)

Bài tập 11: Tam giác cân ABC: , có góc


Lời giải:

Kẻ về phía ngoài tam giác góc khi đó

27


Định lý Côsin trong :

(Đpcm)

Nhận xét:Với cách giải trên đây, ta có thể thay đổi giả thiết góc Â thì được lớp bài

tập tương tự.

Bài tập 12: Cho tam giác ABC ; AB = AC = b, BC = a.


1 ) Nếu góc Â = 1000 thì




5 ) Nếu góc Â = thì

Lời giải: Hoàn toàn tương tự lời giải bài tập 11.

* BÀI LUYỆN TẬPBài 1:

Tam giác ABC thoả mãn: tan tan

Chứng minh rằng: ab = 6Rr

Bài 2:Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kỳ, ta có:

Bài 3:Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh B và C

là và thỏa mãn: chứng minh rằng: 2CotA =CotB + CotC

Bài 4:

Chứng minh rằng tam giác ABC đều, nếu:

28


Bài 5:

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, góc .

Tính theo . Hãy xác định để tỷ số đạt giá trị nhỏ nhất.

PHẦN IIIMỘT SỐ KỶ NĂNG SÁNG TẠO

Trong bài viết này, xuất phát từ những đẳng thức cơ bản và ràng buộc các điều kiện, nếu cần, thì chúng ta sẽ có một số bất đẳng thức liên quan. Minh họa điều này ta có các nhận xét và đề xuất một số bài tập sau:

Nhận xét 1: Giả sử là 2 số thực dương cho trước. Xét các số thực dương x,y. Ta

có:

* Nếu: thì , hay .

Từ đó ta được:Bài tập 1: Cho trước các số thực dương . Xét các số thực dương x,y thoả

mãn đồng thời các điều kiện: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:Lời giải:

Từ . Theo BĐT Côsi với 2 số dương:

.

Dấu “=” xảy ra Vậy , khi .

Ví dụ 1: Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn hệ điều kiện sau:

.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Đề thi HSG THPT, bảng B-2001)

Nhận xét (Sử dụng bài toán 1)29


Chọn: (xét dấu “=” xảy ra)

Suy ra: .

Như vậy, các bạn hãy thử chọn các giá trị và ràng buộc bởi hệ điều kiện thích hợp thì sẽ có một lớp các bài tập về bất đẳng thức.

Nhận xét 2:Cho trước các số thực dương Xét các số thực dương x,y. Ta có:

.

i) Nếu: thì: Thay bởi , khi đó:ii) Nếu: thì:

Thay bởi và bởi , khi đó:

iii) Nếu hay

Thì:

Đưa đến:Bài tập 2: Cho trước các số thực dương

Xét các số thực dương x,y thoả mãn hệ điều kiện:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ngoài sử dụng đẳng thức như trên, ta còn có lời giải khác.Lời giải:

Từ .

; (do )

. Dấu “=” xảy ra

30


Vậy khi

Ví dụ 2: Xét các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ điều kiện sau:

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(Đề thi HSG THPT, bảng A-2001).Nhận xét: (Sử dụng bài tập 2)

* Chọn , (Xét dấu “=” xảy ra).

* Chọn ,

Từ đó, các bạn có thể phối hợp nhận xét 2 để tạo ra một số bài tập về bất đẳng thức.Nhận xét 3: Cho trước .

Xét các số thực không âm x,y, ta có:

, (Nếu: ).

* Nếu: thì Thay bởi , khi đó:

* Nếu: thì

Suy ra:Bài tập 3: Cho trước các số thực dương .

Xét các số thực x,y thoả mãn hệ điều kiện:

Chứng minh rằng: .Với bài tập trên, ngoài cách giải xuất phát từ đẳng thức, còn có cách giải

khác, như sau:Lời giải:

. Dấu “=” xảy ra .

31


Ví dụ 3:Cho các số thực x,y,z thoả mãn các điều kiện sau:

Chứng minh rằng:Lời giải:

(Do (1) và (2)).

. Dấu “=” xảy ra khi

(Do (1),(2) và (3)). Dấu “=” xảy ra khi

(Do (1),(4) và (5)).

. Dấu “=” xảy ra khi

Từ nhận xét 3, dễ dàng giải bài toán T3/304 (số 10/2002)

., khi .

Sau đây là một số bài luyện tập về bất đẳng thức, khi đã phối hợp các nhận xét trên. Mời các bạn thử giải và tham gia sáng tạo ra các bài tập khác.

Bài 1:Xét các số thực x,y thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .Bài 2: Xét các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ điều kiện:

32


Bài 3:Xét các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ điều kiện:

Chứng minh rằng: .

------------------------------

33

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1) · web viewmỘt sỐ phƯƠng phÁp xÂy dỰng bÀi tẬp * lời đầu: Đề thi tuyển...

Documents