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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Simulacion y graduacion de tablas demortalidad por medio de copulas
Dr. Arturo Erdely 1
1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN – U.N.A.M.
XXV Congreso Nacional deActuarios 2011
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
“Leyes” de mortalidadLeyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Funciones CopulaConcepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Ejemplo practicoGraduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Que es una ley cientıfica?
Henri Poincare (1858-1912):
Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Que es una ley cientıfica?
Henri Poincare (1858-1912):
Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros
Sean X1,X2, . . . variables aleatorias
independientes e identicamente distribuıdas,
y sea X n := 1n
∑nj = 1 Xj . Entonces
P(
limn→∞
X n = µ)
= 1
para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros
Sean X1,X2, . . . variables aleatorias
independientes e identicamente distribuıdas,
y sea X n := 1n
∑nj = 1 Xj . Entonces
P(
limn→∞
X n = µ)
= 1
para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“El interes en buscar funciones analıticas
simples de supervivencia ha declinado en
anos recientes. Muchos piensan que la
creencia en leyes universales de mortalidad es
ingenua...”
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“El interes en buscar funciones analıticas
simples de supervivencia ha declinado en
anos recientes. Muchos piensan que la
creencia en leyes universales de mortalidad es
ingenua...”
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:
“En el pasado se han hecho esfuerzos para
deducir expresiones analıticas universales para
la funcion de supervivencia a partir de ciertos
postulados basicos, en analogıa con las leyes
de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto
de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos
y rodeados de cierto misticismo.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:
“En el pasado se han hecho esfuerzos para
deducir expresiones analıticas universales para
la funcion de supervivencia a partir de ciertos
postulados basicos, en analogıa con las leyes
de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto
de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos
y rodeados de cierto misticismo.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
EDAD x
TAS
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OB
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DE
M
OR
TALI
DA
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q(x
)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.
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MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuestas, no leyes
Gerber (1997): Life Insurance Mathematics
A continuacion, algunos ejemplos de
distribuciones analıticas de supervivencia,
seguida cada una del apellido de su
“ inventor”: De Moivre, Gomperz,
Makeham, Weibull,. . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuestas, no leyes
Gerber (1997): Life Insurance Mathematics
A continuacion, algunos ejemplos de
distribuciones analıticas de supervivencia,
seguida cada una del apellido de su
“ inventor”: De Moivre, Gomperz,
Makeham, Weibull,. . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuesta o invento de Makeham (1860)
qx = 1− exp
{− A − B(c − 1)
log cc x
}
c > 1 B > 0 A ≥ −B
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuesta o invento de Makeham (1860)
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SUAVIZAMIENTO DE MAKEHAM
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q(x
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Enfoque probabilıstico
Teugels (2004) Encycl. Act. Science:
“Sorprendentemente, los modelos lineales
generalizados (GLMs), que bien podrıan
utilizarse para graduacion de tablas de
mortalidad, no han atraıdo mucho la
atencion del gremio actuarial.”
Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon
(2005), Neves (2007), . . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Enfoque probabilıstico
Teugels (2004) Encycl. Act. Science:
“Sorprendentemente, los modelos lineales
generalizados (GLMs), que bien podrıan
utilizarse para graduacion de tablas de
mortalidad, no han atraıdo mucho la
atencion del gremio actuarial.”
Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon
(2005), Neves (2007), . . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
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q(x
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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20 40 60 80 100
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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−8
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TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
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−8
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TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE
VARIANZA NO CONSTANTE
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE
VARIANZA NO CONSTANTE
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
ANÁLISIS DE RESIDUALES
Den
sity
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
ANÁLISIS DE RESIDUALES
Den
sity
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk
H0 : ε ∼ Normal
p − value = 0.0000006
SE RECHAZA H0
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk
H0 : ε ∼ Normal
p − value = 0.0000006
SE RECHAZA H0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS
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Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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20 40 60 80 100
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0.15
TASAS OBSERVADAS DE MORTALIDAD
EDAD
q(x)
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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0.4
0.6
0.8
1.0
PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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0.8
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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2000
0025
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DISTRIBUCIÓN DE EXPUESTOS POR EDAD
edad
expu
esto
s
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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1.0
PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v C1
C2
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
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Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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0.4
0.6
0.8
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SIMULACIÓN
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Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
DENSIDAD DE q
q
Den
sity
0.00 0.05 0.10 0.15
05
1015
2025
30
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012
050
010
0015
00
DENSIDAD DE q(18)
q
f(q)
0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024
050
100
150
200
DENSIDAD DE q(65)
q
f(q)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
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0.10
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CÓPULAS
EDAD
q(x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
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MAKEHAM
EDAD
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CÓPULAS
EDAD
q(x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Simulacion por medio de copulas
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Simulacion por medio de copulas
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
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DATOS ORIGINALES
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SIMULACIÓN
EDAD
q(x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
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DATOS ORIGINALES
EDAD
q(x)
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20 40 60 80 100
0.00
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0.10
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SIMULACIÓN
EDAD
q(x)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
CARTERA 1
050
000
1000
0015
0000
2000
0025
0000
18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
CARTERA 2
050
000
1000
0015
0000
2000
0025
0000
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
VPT
Fre
quen
cy
64000 65000 66000 67000 68000 69000
010
0020
0030
0040
0050
00
CARTERA 2
VPT
Fre
quen
cy230000 240000 250000 260000 270000 280000
010
0020
0030
0040
0050
00
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
VPT
Fre
quen
cy
64000 65000 66000 67000 68000 69000
010
0020
0030
0040
0050
00
CARTERA 2
VPT
Fre
quen
cy230000 240000 250000 260000 270000 280000
010
0020
0030
0040
0050
00
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)VaRα
[g(X ,Y )
]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)
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Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)
VaRα[
g(X ,Y )]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)VaRα
[g(X ,Y )
]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
Utilizar un nivel de confianza 99.5% en la
tabla de mortalidad NO se traduce en un
VaR99.5% de la siniestralidad.Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
En este caso se requiere un nivel de
confianza 59.6% en la tabla de mortalidad
para obtener el RC = 1, 653Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 2
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 251, 480 270, 393 18, 913
A1x |n 257, 125 499, 998 242, 873
En este caso se requiere un nivel de
confianza 67.2% en la tabla de mortalidad
para obtener el RC = 18, 913Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
EDAD
q(x)
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GRACIAS
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