10 φυλλάδιο ενέργεια

ΕΝΕΡΓΕΙΑ laquoΗ έννοια της ενέργειας είναι ίσως η βασικότερη σrsquo ολόκληρη την φυσική Επιστήμη Ο συνδυασμός ενέργειας και ύλης αποτελεί το Σύμπαν η ύλη είναι ουσία και η ενέργεια είναι η κινητήρια δύναμη της ουσίας Την έννοια της ύλης είναι εύκολο να τη συλλάβουμε επειδή η ύλη έχει μάζα κατέχει χώρο και μπορούμε να τη δούμε να τη μυρίσουμε να την αισθανθούμε Αντίθετα η έννοια της ενέργειας είναι μάλλον αφηρημένη επειδή την ενέργεια δεν μπορούμε να την δούμε να την αισθανθούμε να την γευτούμε ή να την μυρίσουμε Εμφανίζεται μόνον όταν μεταβάλλεται Η ενέργεια είναι μια έννοια˙ είναι ο άπιαστος συνδυασμός των φυσικών ιδιοτήτων και των αντιδράσεων και φανερώνεται σε διάφορες οικείες μορφές όπως η θερμότητα το φως και ο ηλεκτρισμός ή στον μικροσκοπικό πυρήνα του ατόμου Βρισκόμαστε στο ξεκίνημα μιας εποχής στην οποία οι άνθρωποι θα έχουν τον έλεγχο ανεξάντλητων ποσοτήτων ενέργειας Ο έλεγχος της ενέργειας μπορεί να υπόσχεται ένα ειρηνικό μέλλον μπορεί όμως και να είναι το μέσο για την καταστροφή του κόσμου Στην κρίσιμη εποχή μας είναι επιτακτικό να κατανοήσουμε βαθύτερα αυτήν την πρωταρχική κινητήρια δύναμηraquo

Paul G Hewitt laquoΟι έννοιες της Φυσικήςraquo (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)

Ας ξεκινήσουμε με μια σχετική έννοια την έννοια του ΕΡΓΟΥ

ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ Ένα σώμα κινείται κατά μήκος μιας ευθείας με την επίδραση των δυνάμεων που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα

ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε έργο της σταθερής δύναμης Fur

που ασκείται στο σώμα το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί το μέτρο της μετατόπισης Δ x

r επί το

συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζουν τα διανύσματα Fur

και Δ xr

W = F∙Δx∙συνφ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το έργο ορίζεται για κάθε δύναμη χωριστά και είναι ανεξάρτητο από την παρουσία άλλων δυνάμεων

2

bullΈτσι με βάση τον παραπάνω ορισμό το έργο του βάρους στην παραπάνω μετατόπιση είναι

WB = B∙Δx∙συν90ordm = B∙Δx∙0 = 0 (επειδή συν90ordm = 0)

bull Ομοίως το έργο της κάθετης στο δάπεδο δύναμης Nuur

που ασκείται από το δάπεδο

στο σώμα (στην παραπάνω μετατόπιση) είναι

WΝ = Ν∙Δx∙συν90ordm = Ν∙Δx∙0 = 0 (επειδή συν90ordm = 0)

παρατηρούμε ότι οι δύο αυτές δυνάμεις δεν παράγουν έργο επειδή η διεύθυνσή τους είναι κάθετη στη διεύθυνση της μετατόπισης Αυτό σημαίνει ότι οι δύο αυτές δυνάμεις δεν επηρεάζουν ενεργειακά το σώμα ούτε του προσθέτουν αλλά ούτε του αφαιρούν ενέργεια

bull Το έργο της τριβής στην παραπάνω μετατόπιση είναι

WΤ = Τ∙Δx∙συν180ordm = Τ∙Δx∙(-1) = -Τ∙Δx (επειδή συν180ordm = - 1)

παρατηρούμε ότι η τριβή επειδή είναι δύναμη αντίθετης φοράς από τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της παράγει αρνητικό έργο Αυτό σημαίνει ότι μέσω της δύναμης αφαιρείται (ή καταναλώνεται) ενέργεια που στην συγκεκριμένη περίπτωση μετατρέπεται σε θερμότητα

bull Τέλος το έργο της δύναμης F είναι

W = F∙Δx∙συν60ordm = W = F∙Δx∙(1

2) = W =

1

2F∙Δx (επειδή συν60ordm =

1

2)

παρατηρούμε ότι η δύναμη F επειδή είναι δύναμη ίδιας φοράς με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της παράγει θετικό έργο Αυτό σημαίνει ότι μέσω της δύναμης προστίθεται (ή παράγεται) ενέργεια που στην συγκεκριμένη περίπτωση προέρχεται από το αίτιο της δύναμης

3

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

Η μονάδα μέτρησης του έργου στο SI είναι το J (Τζάουλ) Προς δόξα και τιμή στο μεγάλο Φυσικό

ΟΡΙΣΜΟΣ 1 loule 1J = 1N ∙1m

ΠΡΟΣΟΧΗ

bullΗ έννοια του έργου απαιτεί laquoδράσηraquo ΔΥΝΑΜΗΣ και ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ η οποία (μετατόπιση) μάλιστα ΔΕΝ πρέπει να είναι ΚΑΘΕΤΗ στη δύναμη

bullΔεν μπορούμε να πούμε για παράδειγμα ένα σώμα που ισορροπεί laquoέχει έργο hellipraquo έστω και αν του ασκείται κάποια δύναμη F

ur (η οποία προφανώς μαζί με τις άλλες

θα δίνουν συνισταμένη μηδέν λόγω ισορροπίας)

bullΕπίσης πρέπει να προσέξουμε ότι αν και το έργο προκύπτει ως γινόμενο μέτρων διανυσματικών μεγεθών (F

urκαι Δ x

r) είναι μονόμετρο μέγεθος δηλαδή μας αρκεί η

αριθμητική τιμή του γινομένου F∙Δx∙συνφ

bullΠρέπει να γνωρίζουμε ότι το συνημίτονο για γωνίες που κυμαίνονται από

0ordm le φ le 180ordm

Οπότε το έργο μιας δύναμης παίρνει τιμές ΘΕΤΙΚΕΣ ΜΗΔΕΝ ή ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ

Επειδή το έργο είναι μονόμετρο φυσικό μέγεθος το πρόσημό του μας δίνει σημαντικές πληροφορίες

Το ΕΡΓΟ αντιστοιχεί με την ενέργεια που μετατρέπεται από μια μορφή ενέργειας σε κάποια άλλη

Ένα σώμα Α ασκεί δύναμη Fur

σε ένα σώμα Β

α Όταν το έργο της Fur

κατά τη μετατόπιση του

σώματος είναι ΘΕΤΙΚΟ αυτό γίνεται όταν η γωνία φ που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης με τη μετατόπιση Δx του σημείου εφαρμογής της κυμαίνεται από 0ordm le φ lt 90ordm τότε μέσω (του έργου) της F

ur γίνεται

προσπάθεια αύξησης της κινητικής ενέργειας (αύξησης της ταχύτητας) Δηλαδή η ενέργεια που καταναλώνεται από το σώμα Α μεταφέρεται μέσω του έργου της δύναμης στο σώμα Β οπότε αυξάνεται η κινητική του ενέργεια

β Όταν το έργο της Fur


σώματος είναι ΜΗΔΕΝ αυτό γίνεται όταν η γωνία φ που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης με τη μετατόπιση Δx του σημείου

4

εφαρμογής της είναι ίση με φ = 90ordm τότε δε μεταφέρεται ενέργεια ούτε από το σώμα Α στο σώμα Β ούτε από το Β στο Α (η κινητική ενέργεια ούτε ελαττώνεται ούτε ενισχύεται)

γ Όταν το έργο της Fur


σώματος είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟ αυτό γίνεται όταν η γωνία φ που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης με τη μετατόπιση Δx του σημείου εφαρμογής της κυμαίνεται από (90ordm lt φ le 180ordm οπότε μέσω του έργου της F

ur γίνεται

προσπάθεια μείωσης της κινητικής ενέργειας (μείωσης της ταχύτητας) Δηλαδή καταναλώνεται ενέργεια μέσω του έργου της δύναμης (μειώνεται η κινητική ενέργεια του σώματος) και μεταφέρεται στο αίτιο της δύναμης

ΕΡΓΟ ΒΑΡΟΥΣΤο Βάρος είναι μια ειδική περίπτωση δύναμης (όπως και οι ελαστικές δυνάμεις ελατηρίου) και ονομάζεται συντηρητική δύναμη Οι δυνάμεις αυτές έχουν τις εξής χαρακτηριστικές ιδιότητες

bullΤο έργο τους κατά μήκος κλειστής διαδρομής ισούται με μηδέν

bullΤο έργο τους δεν εξαρτάται από την διαδρομή του σημείου εφαρμογής τους αλλά μόνο από την αρχική και τελική θέση του σώματος ειδικότερα από την κατακόρυφη απόσταση h ανάμεσα στις δύο θέσεις

Έτσι

α Όταν μια σφαίρα μάζας m αφήνεται από το σημείο Α παρατηρούμε ότι η φορά της δύναμης είναι ίδια με τη φορά της μετατόπισης h οπότε το έργο του βάρους της μέχρι να φθάσει στο σημείο Γ του εδάφους που απέχει κατακόρυφη απόσταση h είναι

WB = w∙h∙συν0ordm = w∙h∙1 = w∙h = mgh gt 0

β Όταν μια σφαίρα μάζας m εκτοξεύεται από το σημείο Α του εδάφους και φτάνει στο Γ που βρίσκεται σε ύψος h παρατηρούμε ότι η φορά του βάρους είναι αντίθετη από τη φορά της μετατόπισης h οπότε το έργο του βάρους της είναι

WB = w∙h∙συν180ordm = w∙h∙(-1) = - w∙h = - mgh lt 0

5

γ Υπολογίζουμε το έργο του βάρους μικρής μάζας m που μετατοπίζεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης 30ο

α από το Α στο Γ και

β από το Γ στο Α

α WB = w∙s∙ συν60ordm = w∙h = B∙h = mgh gt 0

β WB = w∙s∙συν120ordm = w∙s∙συν (180ordm- 60ordm) = w∙s∙[- συν(60ordm)] = - B∙s∙συν60ordm =

= - B∙h lt 0

Παρατήρηση

ΓΕΝΙΚΑ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΚΑΙ ΑΝ ΕΙΝΑΙ Η ΤΡΟΧΙΑ ΠΟΥ ΔΙΑΓΡΑΦΕΙ ΤΟ ΣΩΜΑ ΕΙΝΑΙ

bull WB = w∙h = mgh gt 0 (Όταν το σώμα Κ Α Τ Ε Ρ Χ Ε Τ Α Ι)

bull WB = - w∙h = - mgh lt 0 (Όταν το σώμα Α Ν Ε Ρ Χ Ε Τ Α Ι)

Όπου h η υψομετρική διαφορά των δύο θέσεων

Παράδειγμα

Να υπολογίσετε το έργο του βάρους της μικρής σφαίρας που είναι δεμένη στην άκρη αβαρούς νήματος μήκους L μεταφέρεται

α) από την οριζόντια θέση του ΟΑ στην ΟΓ η οποία σχηματίζει με την κατακόρυφη που διέρχεται από το Ο γωνία φ = 60ordm

επειδή το σώμα ΚΑΤΕΡΧΕΤΑΙ

WB = w∙h1 = mgh1 όπου h1 = L∙συν60ordm

β) ενώ από την κατακόρυφη θέση ΟΔ στην οριζόντια ΟΑ

επειδή το σώμα ΑΝΕΡΧΕΤΑΙ WB = - w∙h = - mgh όπου h = L

6

ΣΧΕΣΗ ΕΡΓΟΥ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ndash ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

bull Το έργο της FΑΝΘΡΩΠΟΥ όταν είναι θετικό ισούται με την ενέργεια που προσφέρεται από τον άνθρωπο στο σώμα ενώ όταν είναι αρνητικό ισούται με την ενέργεια που απορρόφησε ο άνθρωπος από το σώμα

WFΑΝΘΡΩΠΟΥ = ΕΧΗΜΙΚΗ

bull ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ και ΜΕΤΑΒΟΛΗ της ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Όταν ένα σώμα μάζας m βρίσκεται κατά h ψηλότερα από κάποιο επίπεδο αναφοράς η δυνατότητα της δύναμης που ασκεί η Γη στο σώμα δηλ του βάρους να παράγει έργο είναι (όπως είδαμε παραπάνω) Β∙h (όποια διαδρομή και αν ακολουθήσει το σώμα για να βρεθεί από τη θέση αυτή στο επίπεδο αναφοράς)

Από τη στιγμή που αυθαίρετα θα ορίσουμε ένα επίπεδο αναφοράς κάθε σώμα μάζας m που θα βρίσκεται υψομετρικά κατά h ψηλότερα από το επίπεδο αυτό θα λέμε ότι ως σύστημα μαζί με τη Γη έχουν

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U = w∙h = mgh

Όταν το σώμα βρεθεί στο επίπεδο αναφοράς η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ θα είναι ίση με μηδέν U = 0 δηλαδή UΑ = w∙h = mgh και UΓ = 0

Άλλο παράδειγμα

UΑ = mg∙h1 UΓ = mg∙h2 και UΔ = 0

Παρατηρούμε

ότι το έργο του βάρους από το

Α στο Γ είναι W1 = mg∙(h1-h2)

Α στο Δ είναι W2 = mg∙h1

Γ στο Δ είναι W3 = mg∙h2

Δ στο Α είναι W4 = - mg∙h1

Δ στο Γ είναι W5 = - mg∙h2

Γ στο Α είναι W6 = - mg∙(h1-h2)

7

Παρατηρούμε επίσης

UΑ-UΓ = mg∙h1 - mg∙h2 = mg∙(h1- h2) = W1

UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5

UΓ-UΑ = mg∙h2 - mg∙h1 = - mg∙(h1-h2) = W6

ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΠΑΝΤΟΤΕ ΘΑ ΕΙΝΑΙ WΒΑΡΟΥΣ = UΑΡΧΙΚΗ - UΤΕΛΙΚΗ

i Το ΕΡΓΟ της ΤΡΙΒΗΣ σχετίζεται με την ΕΝΕΡΓΕΙΑ που laquoΡΕΕΙ ΘΕΡΜΙΚΑraquo από το σώμα προς το περιβάλλον επομένως για να υπολογίσουμε το ποσό της θερμότητας που παράγεται σε μια περίπτωση που ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε κάποιο επίπεδο αρκεί να καταφύγουμε στη σχέση

Q = WΤ

ii Το έργο της ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ WΣF σχετίζεται με τη ΜΕΤΑΒΟΛΗ της ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ laquoΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣraquo

(Θ Μ Κ Ε)

Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω η συνισταμένη δύναμη (ως laquoμόνη δύναμηraquo που δρα σε ένα σώμα) θα πρέπει μέσω του έργου της να laquoπροσφέρειraquo ή να laquoαφαιρείraquo ενέργεια από το σώμα και βέβαια να το επιταχύνει ή να το επιβραδύνει δηλαδή να συμβάλλει στην αύξηση ή στην ελάττωση της ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ του

Επομένως μπορούμε να πούμε ότι ως συνέπεια της ΑΡΧΗΣ της ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ της ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ θα ισχύει

Το ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΚ = WΣF ή ΚΤΕΛΙΚΗ - ΚΑΡΧΙΚΗ = WΣF

Τέλος αν στο σώμα ασκούνται ν δυνάμεις προφανώς προσθέτουμε αλγεβρικά τα έργα τους δηλαδή ισχύει

WΣF = W1 + W2 + hellip + Wν

επομένως

ΚΤΕΛΙΚΗ - ΚΑΡΧΙΚΗ = W1 + W2 + hellip + Wν

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει για κάθε είδους δύναμη (συντηρητική ή όχι) Όταν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο μιας δύναμης με άμεσο τρόπο χρησιμοποιούμε το παραπάνω θεώρημα και το υπολογίζουμε έμμεσα

8

Πως εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ

bull Σχεδιάζουμε το σώμα που μελετάμε σε δύο θέσεις Α και Γ αρχική και τελική αντίστοιχα της τροχιάς που πρόκειται να ακολουθήσει Οι παραπάνω θέσεις ορίζουν προφανώς και την μετατόπιση S του σώματος Επίσης αν το σώμα διαθέτει ταχύτητα (ή όχι) στις θέσεις Α και Β καλό είναι να εμφανίζονται στο σχήμα μας

bull Συνήθως επιλέγουμε μια τυχαία θέση της τροχιάς του και σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που δέχεται Αν χρειάζεται αναλύουμε σε κατάλληλες συνιστώσες και υπολογίζουμε το έργο κάθε δύναμης με κάποιο από τους γνωστούς τρόπους προσέχοντας ιδιαίτερα στο πρόσημό του Αν βέβαια το έργο μιας δύναμης δεν μπορεί να υπολογιστεί τότε αφήνουμε το έργο της δύναμης αυτής ως άγνωστο και υπολογίζεται τελικά η αλγεβρική του τιμή από το θεώρημα

bull Αν στην άσκηση διαθέτουμε και συντηρητικές δυνάμεις μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο τους πιο εύκολα με τρόπους που θα αναλύσουμε πιο κάτω

bull Η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο φυσικό μέγεθος οπότε δεν πρέπει να μας απασχολεί η κατεύθυνση της ταχύτητας του σώματος

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΤο άθροισμα της ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ενέργειας ενός σώματος και της ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ που έχουν μαζί με τη Γη ονομάζεται ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Ε = Κ + U

Αν σε ένα σώμα ασκείται ΜΟΝΟ το ΒΑΡΟΣ (συντηρητική δύναμη) ή ασκούνται και άλλες δυνάμεις οι οποίες όμως ως κάθετες στη μετατόπιση δεν παράγουν έργο τότε η ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ κατά τη μετακίνηση του σώματος μεταξύ δύο θέσεων ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ (Α Δ Μ Ε )

ΕΜΗΧ ΑΡΧΙΚΗ = ΕΜΗΧ ΤΕΛΙΚΗ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αφήνουμε ένα σφαιρίδιο μάζας m από τον εξώστη πολυκατοικίας ύψους h Να αποδείξετε ότι καθώς κατέρχεται η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου θα αυξάνεται εις βάρος της δυναμικής που θα ελαττώνεται αλλά το άθροισμά τους δηλ η μηχανική ενέργεια θα παραμένει σταθερή (Οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται ασήμαντες)

9

Το σφαιρίδιο κάνει ελεύθερη πτώση

Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση είναι

υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)

Η αρχική μηχανική ενέργεια είναι

ΕΜΗΧ ΑΡΧΙΚΗ = Κ ΑΡΧΙΚΗ + U ΑΡΧΙΚΗ

ή

ΕΜΗΧ ΑΡΧΙΚΗ = 0 + m∙g∙h (3)

Η τελική μηχανική ενέργεια σε μια τυχαία θέση που απέχει ψ από τη θέση που αφέθηκε και h - ψ από το έδαφος είναι

ΕΜΗΧ ΤΕΛΙΚΗ = Κ ΤΕΛΙΚΗ + U ΤΕΛΙΚΗ

ή

ΕΜΗΧ ΤΕΛΙΚΗ = 1

2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)

Αντικαθιστώ στην (4) τα υ και ψ από τις (1) και (2)


2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)

Από (3) και (5) rarr


ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Συντηρητικές δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις οι οποίες κατά μήκος οποιαδήποτε κλειστής διαδρομής παράγουν συνολικό έργο ίσο με μηδέν

Τέτοιες δυνάμεις είναι το ΒΑΡΟΣ που δέχεται ένα σώμα γενικότερα οι βαρυτικές δυνάμεις οι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ και οι ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (όπως στα ιδανικά ελατήρια)

10

Ε Ρ Γ Ο Δ Υ Ν Α Μ Η Σ Μ Ε Τ Α Β Λ Η Τ Ο Υ Μ Ε Τ Ρ Ο Υ

Όταν ένα σώμα κινείται επί ευθείας γραμμής και του ασκείται σταθερή κατά μέτρο δύναμη της ίδιας κατεύθυνσης με τη μετατόπιση το έργο της δίνεται (όπως είδαμε) από τη σχέση

W = Fx

Ας σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση F- x

Το εμβαδόν του ορθογώνιου που δημιουργήθηκε ισούται με Fx δηλ

Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν ισούται με το έργο της δύναμης F


bull Όταν μία δύναμη είναι ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ και η τροχιά του σώματος είναι ευθύγραμμη τότε το έργο της ισούται με το εμβαδόν που δημιουργείται στο διάγραμμα της Fx (συνιστώσα της F στη διεύθυνση της τροχιάς) και της μετατόπισης x


Ένας μικρός κύβος αρχικά ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο Κάποια στιγμή ασκείται στον κύβο οριζόντια δύναμη της μορφής

F = 4x + 2

Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης

α από τη θέση x1 = 0 m έως τη θέση x2 = 2 m και

β από τη θέση x2 = 2 m έως τη θέση x3 = 4 m

Απάντηση

W1 = (Εμβ τραπ ΟΑΒΓ) = 2 10

22

+J = 12 J

W2 = (Εμβ τραπ ΒΓΔZ) = 10 18

(4 2)2

+ minus J = 28 J

11

ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 Όταν ζητείται το έργο δύναμης

α Εφόσον η δύναμη είναι ΣΤΑΘΕΡΗ και η ΤΡΟΧΙΑ ΕΥΘΕΙΑ το έργο υπολογίζεται από τον τύπο ορισμού

W = F∙ Δx∙ συνφ

β Εφόσον η δύναμη είναι ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ και η ΤΡΟΧΙΑ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ τότε το ΕΡΓΟ της ΙΣΟΥΤΑΙ με το ΕΜΒΑΔΟΝ που δημιουργείται στο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ της Fx (ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ της F στη ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ) και της ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ x

γ Όταν η δύναμη είναι μεταβλητής διεύθυνσης ή μεταβλητού μέτρου χωρίς να μπορώ να υπολογίσω εμβαδό ή τελείως άγνωστη τότε το έργο της F το υπολογίζω από το ΘΜΚΕ

ΚΤΕΛΙΚΗ - ΚΑΡΧΙΚΗ = W1 + WF + hellip + Wν

2 Το έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από την υψομετρική διαφορά h αρχικής και τελικής θέσης του σώματος W = plusmn mgh

3 Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος μεταξύ δύο θέσεων ΔΕΝ γίνεται ΑΝΑΦΟΡΑ στο ΧΡΟΝΟ τότε μεταξύ των θέσεων αυτών εφαρμόζω ΘΜΚΕ

4 Ειδικά αν στο σώμα ασκείται ΜΟΝΟ το ΒΑΡΟΣ και ή ασκούνται και άλλες δυνάμεις αλλά δεν παράγουν έργο τότε μπορώ να εφαρμόσω και ΑΔΜΕ

5 Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος μεταξύ δύο θέσεων ΓΙΝΕΤΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑ στο ΧΡΟΝΟ ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΕΣ τότε μεταξύ των θέσεων αυτών εφαρμόζω

α ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΝΟΜΟ της ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

β ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ και ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ

12

Έργο

1 Να χαρακτηρίσετε το έργο καθεμίας από τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα του σχήματος ως θετικό αρνητικό ή μηδενικό

2 Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε σταθερό ύψος Το έργο του βάρους του είναι

α) θετικό

β) αρνητικό

γ) μηδέν

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

3 Ένας αρσιβαρίστας σηκώνει κατακόρυφα την μπάρα με τα βάρη w = 3000 N Αν η δύναμη που ασκεί ο αθλητής στην μπάρα είναι F Ποιο είναι το πρόσημο του έργου της F και του βάρους της μπάρας κατά τη διάρκεια ανύψωσης

4 Σ ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα ασκούνται οι δυνάμεις F1 F2 F3 και F4 οι οποίες σχηματίζουν με την κατεύθυνση της μετατόπισης του σώματος γωνίες 30deg 90deg 120deg και 180deg αντίστοιχα Να σχεδιάσετε το κατάλληλο σχήμα και να βρείτε ποιες από τις δυνάμεις αυτές έχουν θετικό και ποιες αρνητικό έργο

5 Σε ποια από τις περιπτώσεις του σχήματος το έργο της δύναμης F για την ίδια μετατόπιση είναι μεγαλύτερο και σε ποια μικρότερο

6 Σ ένα σώμα που είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο ασκείται σταθερή δύναμη F που σχηματίζει γωνία φ = 60ο με το οριζόντιο επίπεδο Όταν το σώμα έχει μετακινηθεί κατά 10 m και το έργο της δύναμης F είναι 100 J Το μέτρο της δύναμης είναι

α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν


7 Ένα σώμα είναι δεμένο στη μια άκρη ενός σκοινιού η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται σε σταθερό σημείο Το σώμα διαγράφει κυκλική τροχιά σε οριζόντιο

13

επίπεδο Ποιο είναι το έργο της δύναμης που ασκεί το σκοινί στο σώμα κατά τη διάρκεια μίας περιστροφής του

8 Από το ίδιο σημείο (Σ) εκτοξεύονται τα σώματα Α Β και Γ που έχουν την ίδια μάζα Το σώμα Α εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα κάτω το Β οριζόντια και το Γ κατακόρυφα προς τα πάνω Το έργο του βάρους από το σημείο Σ μέχρι το έδαφος

α) είναι μεγαλύτερο στην περίπτωση του σώματος Α

β) είναι μεγαλύτερο στην περίπτωση του σώματος Β

γ) είναι μεγαλύτερο στην περίπτωση του σώματος Γ

δ) σε όλες τις περιπτώσεις είναι το ίδιο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

9 Ένα παιδί βάρους w = 500 N ανεβαίνει στην τσουλήθρα από κατακόρυφη σκάλα ύψους h = 2 m Στη συνέχεια το παιδί φτάνει στο έδαφος μέσω της τσουλήθρας η οποία έχει κλίση 30deg Να υπολογίσετε το έργο του βάρους του παιδιού

α) κατά την άνοδο του μέσω της σκάλας

β) κατά την κάθοδο του μέσω της τσουλήθρας

10 Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν

α) το έργο της είναι μηδέν

β) ασκείται σε σώμα το οποίο κινείται σε κλειστή τροχιά

γ) το έργο της μεταξύ δύο θέσεων δεν εξαρτάται από τη διαδρομή

δ) το έργο της δεν εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση του σώματος

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση

11 Ποιες από τις παρακάτω δυνάμεις είναι συντηρητικές

α) Η δύναμη της παγκόσμιας έλξης

β) Η τριβή

γ) Η δύναμη μεταξύ φορτισμένων σωμάτων

δ) Η δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο

ε) Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη

στ) Η αντίσταση που προβάλλει ο αέρας στην κίνηση των σωμάτων

14

Κινητική ενέργεια - Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας

1 Ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ έχει κινητική ενέργεια Κ Το ίδιο σώμα όταν κινείται με ταχύτητα μέτρου 2υ θα έχει κινητική ενέργεια

α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4


2 Τα σώματα Α και Β έχουν μάζες m και 2m και ταχύτητες μέτρου υ και u2 αντίστοιχα Ποιο σώμα έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια

3 Ένα σώμα που αρχικά είναι ακίνητο εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Να σχε-διάσετε το διάγραμμα κινητικής ενέργειας-χρόνου για το σώμα αυτό

4 Το μέτρο της ταχύτητας ενός σώματος μένει σταθερό αλλά η κατεύθυνση της κίνησης μεταβάλλεται Η κινητική ενέργεια του σώματος μεταβάλλεται Η ορμή του μεταβάλλεται Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας

5 Σε ποια ή ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις η κινητική ενέργεια του σώματος που κινείται παραμένει σταθερή

α) Όταν η κίνηση του είναι ευθύγραμμη ομαλή

β) Όταν κάνει ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

γ) Όταν κάνει ομαλή κυκλική κίνηση

δ) Όταν εκτοξεύεται οριζόντια από ύψος h από το έδαφος

6 Δύο σώματα έχουν μάζες m και 2m και ορμές που έχουν ίσα μέτρα Ποιο σώμα έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια

7 Σ ένα σώμα που αρχικά ήταν ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται σταθερή δύναμη F Η κινητική ενέργεια του σώματος όταν έχει μετατοπιστεί κατά Δx είναι Κ Όταν θα έχει μετατοπιστεί κατά 2x η κινητική του ενέργεια θα είναι

α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4


9 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λανθασμένες

15

α) Το έργο του βάρους ενός σώματος εξαρτάται μόνο από την κατακόρυφη απόσταση της αρχικής και της τελικής θέσης

β) Αν για μια μετατόπιση ενός σώματος το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του είναι μηδέν το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

γ) Το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται σ ένα σώμα το οποίο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι μηδέν

δ) Το έργο του βάρους ενός αλεξιπτωτιστή που πέφτει με σταθερή ταχύτητα είναι ίσο με μηδέν

Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

1 Ένα σώμα με μάζα m βρίσκεται σε ύψος h Ένα άλλο σώμα με μάζα m2 βρίσκεται σε ύψος 2h Να συγκρίνετε τις δυναμικές ενέργειες των σωμάτων

2 Ένα πουλί μάζας 02 kg πετάει σε ύψος h = 10 m με ταχύτητα 5 ms Ποια είναι η μηχανική του ενέργεια Δίνεται g = 10ms2

3 Κατά την ελεύθερη πτώση ενός σώματος σταθερή παραμένει

α) η δυναμική ενέργεια του

β) η κινητική ενέργεια του

γ) η μηχανική ενέργεια του


4 Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα που αναφέρεται σ ένα σώμα το οποίο πέφτει ελεύθερα

Δυναμική ενέργεια Κινητική ενέργεια Μηχανική ενέργεια

Ανώτερη θέση 100 J

Ενδιάμεση θέση 20 J

Κατώτερη θέση

5 Τα σώματα (α) (β) και (γ) του σχήματος έχουν αντίστοιχα μάζες mα = 3m mβ = 2m και mγ = m και αφήνονται από το ίδιο ύψος Το σώμα (α) κάνει ελεύθερη πτώση ενώ

16

τα σώματα (β) και (γ) ολισθαίνουν σε λεία κεκλιμένα επίπεδα με γωνίες κλίσης 30ο και 45ο αντίστοιχα Να συγκρίνετε τις

α) κινητικές ενέργειες και

β) ταχύτητες των σωμάτων τη στιγμή που φτάνουν στο έδαφος

7 Το σώμα εκτοξεύεται από τη βάση Α λείου πλάγιου επιπέδου προς την κορυφή του με ταχύτητα μέτρου υ0 = 20 ms Σε ποιο ύψος θα φτάσει Δίνεται g = 10 ms2

8 Ένα σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h Σε ποιο ύψος η κινητική ενέρ-γεια του σώματος είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του

9 Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος h = 2 m και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα 4 ms Διατηρείται η μηχανική ενέργεια του κατά τη διάρκεια της καθόδου του Δίνεται g = 10 ms2

Έργο

1 Ένα σώμα μάζας m = 1 kg είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο Στο σώμαασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 4 N με την επίδραση της οποίας μετατοπίζεται κατά Δx = 10 m Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το δάπεδο είναι μ = 02 Δίνεται g = 10 ms2Να υπολογίσετε τα έργα

α) της δύναμης F

β) της τριβής

γ) του βάρους

2 Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m = 2 kg και μετατοπίζεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο κατά Δx = 8 m Η δύναμη F έχει μέτρο 10 N και σχηματίζει γωνία φ = 30deg με την οριζόντια διεύθυνση και με φορά προς τα κάτω Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F και το έργο της τριβής Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το οριζόντιο δάπεδο είναι μ = 04 και ότι g = 10 ms2

3 Σώμα έχει βάρος w = 20 Ν και ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα σε λείο πλάγιο επίπεδο που έχει κλίση φ = 30deg Το σώμα μετατοπίζεται πάνω στο πλάγιο επίπεδο κατά Δx = 10 m Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F που ασκείται στο σώμα

17

4 Σ ένα σώμα μάζας m = 1 kg που αρχικά είναι ακίνητο στο έδαφος ασκείται τη χρονική στιγμή to = 0 κατακόρυφη δύναμη μέτρου F = 30 N με φορά προς τα πάνω Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F μέχρι τη χρονική στιγμή t1 = 2 s Δίνεται g = 10 ms2

Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας

1 Σ ένα σώμα μάζας m = 2 kg που αρχικά είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 10 N Να υπολογίσετε την ταχύτητα που θα έχει αποκτήσει το σώμα αφού μετατοπιστεί κατά x = 10 m

2 Σ ένα σώμα μάζας m = 2 kg που αρχικά είναι ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο ασκεί-ται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 12 N Να υπολογίσετε το διάστημα που θα έχει διανύσει το σώμα μέχρι η ταχύτητα του γίνει υ = 4 ms Δίνονται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το οριζόντιο δάπεδο μ = 05 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 ms2

3 Ένα σώμα κινείται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο και σε κάποια θέση έχει ταχύτηταυ0 = 10 ms To σώμα σταματάει εξαιτίας της τριβής αφού μετατοπιστεί κατά Δx = 10 m Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης του σώματος με το δάπεδο Δίνεται g = 10ms2

4 Ο οδηγός ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου του οποίου η συνολική μάζα είναι 800 kg φρενάρει απότομα και μειώνει την ταχύτητα του από 60 ms σε 10 ms Στη διάρκεια του φρεναρίσματος το αυτοκίνητο μετατοπίστηκε κατά 40m

α) Πόσο μεταβλήθηκε η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου

β) Ποιο είναι το μέτρο της συνολικής δύναμης που δέχτηκε το αυτοκίνητο στη διάρκεια του φρεναρίσματος (Θεωρούμε ότι το μέτρο της δύναμης αυτής είναι σταθερό)

5 Ένα σώμα μάζας m1 = 045 kg αφήνεται να πέσει από ύψος h = 18 m To σώμα φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υ = 1 ms Να εξετάσετε αν ο αέρας προβάλλει αντίσταση στην κίνηση του σώματος και - αν υπάρχει αντίσταση - να υπολογίσετε το μέτρο της (θα θεωρήσετε ότι η αντίσταση μένει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του σώματος) Δίνεται g = 10 ms2

6 Ένα σώμα αφήνεται πάνω σε πλάγιο επίπεδο που σχηματίζει με την οριζόντιαδιεύθυνση γωνία φ = 30deg Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το

18

πλάγιο επίπεδο είναι μ = 36 Τι ταχύτητα θα έχει το σώμα σε απόσταση Δx = 5 m

από το σημείο από το οποίο αφέθηκε Δίνεται g = 10ms2

8 Ένα σώμα βάλλεται από τη βάση πλάγιου επιπέδου προς την κορυφή του με ταχύτητα υο = 20 ms Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται αφού μετατοπιστεί κατά Δx = 20 m Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης του σώματος με το πλάγιο επίπεδο Δίνονται η γωνία που σχηματίζει το πλάγιο επίπεδο με το οριζόντιο φ = 30deg και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 ms2

Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας-

Αρχή διατήρησης της ενέργειας

1 Σφαίρα μάζας m = 02 kg εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ = 20 ms

α) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του τη στιγμή της εκτόξευσης

β) Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του στο ανώτερο σημείο της διαδρομής του

γ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το βέλος

(θεωρήστε ότι η σφαίρα έχει μηδενική δυναμική ενέργεια στο σημείο από το οποίο εκτοξεύεται) Δίνεται g = 10 ms2

2 Σφαίρα βάλλεται από το έδαφος με ταχύτητα υ0 = 10 ms κατακόρυφα προς τα πάνω

α) Σε ποιο ύψος θα φτάσει το σώμα

β) Τι ταχύτητα θα έχει όταν θα βρίσκεται σε ύψος h = 32 m

Δίνεται g = 10 ms2

3 Σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος h = 15 m με ταχύτητα υ0 = 10 ms Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία φτάνει στο έδαφος Δίνεται g = 10 ms2

4 Μπαλάκι του τένις μάζας m = 01 kg αφήνεται από ύψος h1 = 32 m To μπαλάκι μετά την πρόσκρουση του στο έδαφος αναπηδά και φτάνει σε ύψος h2 = 18 m Πόση μηχανική ενέργεια έχασε Τι απέγινε η μηχανική ενέργεια που έχασε Δίνεται g = 10 ms2

5 Σώμα μάζας m = 2 kg βάλλεται από τη βάση πλάγιου επιπέδου προς την κορυφή του με ταχύτητα υ0 = 20 ms To σώμα κινούμενο πάνω στο πλάγιο επίπεδο φτάνει

19

σε ύψος h = 10 m Τo πλάγιο επίπεδο σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ = 30deg

α) Ποια είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος στην ανώτερη θέση του Πόση μηχανική ενέργεια έχασε το σώμα ανεβαίνοντας

β) Ποιο είναι το μέτρο της τριβής ολίσθησης του σώματος με το πλάγιο επίπεδο Δίνεται g = 10 ms2

Προβλήματα

1 Σώμα μάζας m = 2 kg που είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 30 N και αρχίζει να κινείται Όταν η μετατόπιση του σώματος είναι Δx = 5 m η ταχύτητα του έχει μέτρο υ1 = 5 ms

α) Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής

β) Τι ταχύτητα θα αποκτούσε το σώμα αν είχε διανύσει το ίδιο διάστημα με την επίδραση δύναμης διπλάσιου μέτρου Δίνεται g = 10 ms2

2 Σ ένα σώμα μάζας m = 1 kg που αρχικά ήταν ακίνητο σε οριζόντιο δάπεδο ασκεί-ται οριζόντια δύναμη μέτρου F = 10 N μέχρι η μετατόπιση του σώματος γίνει Δx1 = 1 m Τo σώμα συνεχίζει να κινείται και μέχρι να σταματήσει μετατοπίζεται ακόμα κατά Δx2 = 1 m Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του οριζόντιου δαπέδου Δίνεται g = 10ms2

3 Σώμα βρίσκεται σε απόσταση d = 44 m από την άκρη της ταράτσας μιας οικο-δομής που έχει ύψος h = 15 m Δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα υ0 = 12 ms για να κινηθεί προς την άκρη της ταράτσας Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα και στο δάπεδο της ταράτσας είναι μ = 05 Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος Δίνεται g = 10 ms2

4 Σ ένα σώμα μάζας m = 2 kg που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο ασκείται δύναμη F που σχηματίζει γωνία φ με την οριζόντια διεύθυνση με φορά προς τα πάνω Το σώμα κινείται στο οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του οριζόντιου δαπέδου είναι μ = 05

α) Να βρείτε το μέτρο της τριβής ολίσθησης

β) Να υπολογίσετε τη θερμότητα που παράγεται μέχρι το σώμα μετακινηθεί κατά Δx = 10 m Δίνεται g = 10 ms2 συνφ = 06 και ημφ = 08

20

5 Ένα βλήμα μάζας m = 10 g βάλλεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ0 = 40 ms Στην πορεία του και σε ύψος h = 35 m από το έδαφος συναντά υλικό πάχους s = 1 m που το διαπερνά και συνεχίζοντας την ευθύγραμμη πορεία του φτάνει σε ύψος Η = 60 m Να υπολογίσετε

α) τη δύναμη που δέχτηκε το βλήμα από το υλικό (που τη θεωρούμε σταθερή)

β) την ταχύτητα με την οποία βγαίνει το βλήμα από το υλικό Δίνεται g = 10 ms2

7 Κατακόρυφο τεταρτοκύκλιο ΑΒ ακτίνας R = 2 m εφάπτεται στο κάτω άκρο του Β με οριζόντιο επίπεδο Σώμα μάζας m = 4 kg αφήνεται να γλιστρήσει κατά μήκος του τεταρτοκύκλιου από το άνω άκρο Α Το σώμα περνά από το σημείο Β του τεταρτοκύκλιου και συνεχίζει να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο μέχρι να σταματήσει διανύει απόσταση Δx = 25 m Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το οριζόντιο επίπεδο είναι μ = 05

α) Με ποια ταχύτητα πέρασε το σώμα από το σημείο Β

β) Πόση θερμότητα παράχθηκε εξαιτίας της τριβής κατά την κίνηση του σώματος στο τεταρτοκύκλιο Δίνεται g = 10 ms2

8 Το σώμα του σχήματος έχει μάζας m = 002 kg αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές στην εσωτερική κοίλη επιφάνεια ενός ημισφαιρίου ακτίνας R = 125 m Να υπολογίσετε

α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν διέρχεται από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του

β) τη δύναμη που δέχεται από την επιφάνεια πάνω στην οποία ολισθαίνει σ αυτή τη θέση Δίνεται g = 10 ms2

9 Βλήμα με μάζα m = 002 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 300 ms σφη-νώνεται σε σώμα μάζας Μ =148 kg το οποίο είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιοδάπεδο

α) Με ποια ταχύτητα κινείται το συσσωμάτωμα που προκύπτει από την κρούση

β) Πόση θερμότητα παράγεται κατά την κρούση

γ) Πόσο θα μετακινηθεί το συσσωμάτωμα πάνω στο οριζόντιο δάπεδο μέχρι να σταματήσει Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του συσσωματώματος με το δάπεδο είναι μ = 04 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 ms2

10 Ένας άνθρωπος με μάζα Μ = 60 kg πετάει ένα σώμα που έχει μάζα m = 2 kg οριζόντια με ταχύτητα υ = 6 ms χωρίς ο ίδιος να μετακινηθεί Αν ο άνθρωπος

21

βρισκόταν σε λείο οριζόντιο επίπεδο και δαπανούσε την ίδια ενέργεια πετώντας το σώμα πόση ταχύτητα θα του έδινε

11 Βλήμα μάζας m = 002 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 200 ms και σφη-νώνεται σ ένα ξύλο που έχει μάζα Μ = 098 kg και κρέμεται δεμένο από ένα κατακόρυφο σκοινί το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Να υπολογίσετε

α) την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση

β) πόσο θα ανυψωθεί το συσσωμάτωμα Δίνεται g = 10 ms2

12 Απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα αβαρές νήμα μήκους 10 m το ένα άκρο του οποίου είναι ακλόνητα δεμένο σ ένα σταθερό σημείο Ο ενώ από το άλλο του άκρο κρέμεται σφαιρίδιο μάζας m = 1 kg Εκτρέπουμε το εκκρεμές κατά φ = 60deg και το αφήνουμε ελεύθερο Να υπολογίσετε

α) την ταχύτητα που έχει το σφαιρίδιο τη στιγμή που το

νήμα γίνεται κατακόρυφο

β) το μέτρο της τάσης του νήματος την ίδια στιγμή Δίνεται g = 10 ms2

13 Σώμα μάζας m = 2 kg που ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο αρχίζει να κινείται με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F Η κίνηση του σώματος είναι αρχικά ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση α = 1 ms2 μέχρι η ταχύτητα του να γίνει υ1 = 10 ms και μετά ευθύγραμμη ομαλή με την ταχύτητα που απέκτησε Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα και το οριζόντιο δάπεδο είναι μ = 05 Να κάνετε τα διαγράμματα του μέτρου της δύναμης F με το χρόνο

14 Κύβος μικρών διαστάσεων μάζας m = 16 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει κατά την ολίσθηση συντελεστή τριβής μ = 025 Αν δεχθούμε ότι και ο συντελεστής στατικής τριβής έχει τιμή μστ = 025 να υπολογίσετε πάνω από ποια τιμή πρέπει να έχει οριζόντια δύναμη F που θα ασκηθεί στον κύβο ώστε να τεθεί σε κίνηση Στη συνέχεια αν ενώ ο κύβος είναι ακίνητος του ασκηθεί οριζόντια δύναμη διπλάσιας τιμής από αυτή που απαιτείται για να κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση να υπολογίσετε την ταχύτητα που θα αποκτήσει μετά από διαδρομή 5m Πόση είναι η προσφερόμενη ενέργεια E από τον άνθρωπο που ασκεί τη δύναμη σε τι μορφές μετατρέπεται και σε ποια ποσοστά η κάθε μία Δίνεται g = 10 ms2

Απ F gt 4 N υ = 5ms E = 40J K = 20 J (50) Q = 20 J (50)

22

15 Κύβος μικρών διαστάσεων μάζας m = 16 Kg ηρεμεί σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει κατά την ολίσθηση συντελεστή τριβής μ = 05 Αν δεχθούμε ότι και ο συντελεστής στατικής τριβής έχει τιμή μστ = 05 να υπολογίσετε πάνω από ποια τιμή πρέπει έχει δύναμη F που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία θ (προς τα πάνω) ώστε ο κύβος να τεθεί σε κίνηση Στη συνέχεια αν ο κύβος ενώ είναι ακίνητος του ασκηθεί οριζόντια δύναμη F = 12N να υπολογίσετε την ταχύτητα που θα αποκτήσει μετά από διαδρομή 20 m Πόση είναι η προσφερόμενη ενέργεια Ε από τον άνθρωπο που ασκεί τη δύναμη σε τι μορφές μετατρέπεται και σε ποια ποσοστά η κάθε μία

Δίνεται g = 10ms2 ημθ = 08 και συνθ = 06

Απ F gt 8N υ = 10 ms E = 240 J K = 80 J (3333) Q = 160 J (6667)

16 Σφαίρα μάζας m1 = 1 Kg ισορροπεί ενώ κρέμεται στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους L = 36 m και μόλις που έρχεται σε επαφή με το οριζόντιο δάπεδο Ένα σώμα μάζας m2 = 2 Kg εκτοξεύεται από το σημείο Α του οριζόντιου δαπέδου με αρχική ταχύτητα μέτρου υ0 = 16 ms που έχει τη διεύθυνση του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με τη σφαίρα που βρίσκεται στο σημείο Γ Η μάζα m2 όταν ολισθαίνει εμφανίζει με το οριζόντιο δάπεδο συντελεστή τριβής μ = 025 Αν οι διαστάσεις των σωμάτων συγκρινόμενες με το μήκος του νήματος θεωρηθούν ασήμαντες και η απόσταση ΑΓ = 35 m να υπολογίσετε

α Την ταχύτητα της m2 στη θέση Γ ελάχιστα πριν συγκρουστεί με την m1 (υπόδειξη μελετήσετε την κίνηση ΑΓ)

β Την κοινή ταχύτητα που θα αποκτήσει το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την πλαστική κρούση στη θέση Γ (υπόδειξη εφαρμόστε τη βασική αρχή που διέπει τις κρούσεις)

γ Πόσο θα ανέλθει υψομετρικά το συσσωμάτωμα (υπόδειξη Μελέτη κίνησης του συσσωματώματος από το Γ έως το Δ) και ποια η γωνία φ μεταξύ ΟΓ και ΟΔ

δ Πόση ήταν η αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος των m2 και m1 (όταν η m2

ξεκινούσε από τη θέση Α) και πόση η τελική όταν ως συσσωμάτωμα έφτασαν στο Δ

23

ε Τι απέγινε η μηχανική ενέργεια που laquoχάθηκεraquo

στ Πόσο είναι τελικά το ποσοστό της απώλειας της μηχανικής ενέργειας

Δίνεται g = 10ms2

Απ υ2 = 9 ms V = 6 ms h = 18 m φ = 60ordm ΕΜΗΧΑΡΧ = 256 J ΕΜΗΧΤΕΛ = 54 J ΕΑΠΩΛ

= 202 J Π asymp 789

17 Ένας μικρός κύβος μάζας m=2Kg κινείται ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενος στο οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F=8N Περνώντας από το σημείο Α έχει ταχύτητα υ0=10ms ενώ μετά από 10s και ενώ διέρχεται από τη θέση Γ έχει ταχύτητα υ1=30ms

α Ποιες εξισώσεις θα προτιμήσετε να εφαρμόσετε για να μεταφράσετε αλγεβρικά τους νόμους που διέπουν την κίνηση από το Α ως το Γ (Την εξίσωση του ΘΜΚΕ την εξίσωση της ΑΔΜΕ ή τις εξισώσεις κινητικής και του Θεμελιώδη Νόμου της Μηχανικής) Ποια η επιτάχυνση του κύβου

β Ασκείται δύναμη τριβής στον κύβο Ποια η τιμή της και ποιος ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ μεταξύ κύβου δαπέδου

γ Πόση είναι η απόσταση ΑΓ

δ Αν στο Γ καταργηθεί η F πόσο διάστημα θα διανύσει ο κύβος μέχρι να σταματήσει στη θέση Δ(τί θα εφαρμόσετε στο ΓΔ ΘΜΚΕ ΑΔΜΕ ή ΘΝ της Μηχανικής + Εξισώσεις κινητικής)

18 Μια σφαίρα μάζας m = 16 Kg είναι δεμένη στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος Αρχικά η σφαίρα βρίσκεται στο σημείο Α οριζόντιου εδάφους και έλκεται κατακόρυφα προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα υ = 2 ms Όταν η σφαίρα φτάνει στο σημείο Γ που απέχει h = 10 m από το έδαφος το νήμα σπάει

α Πόσος χρόνος απαιτείται για τη μετακίνηση του σώματος από το Α στο Γ

β Πόση ενέργεια προσφέρθηκε από τον άνθρωπο μέσω του νήματος στη σφαίρα για την παραπάνω μετακίνηση

γ Με ποιο ρυθμό παρέχεται ενέργεια μέσω του νήματος στο σώμα κατά τη μετακίνηση από το Α στο Γ

δ Ποια είναι η αύξηση της Δυναμικής ενέργειας της σφαίρας από το Α στο Γ

ε Πόσο ψηλά σε σχέση με το έδαφος θα φτάσει η σφαίρα μετά το laquoσπάσιμοraquo του νήματος

στ Με τι ταχύτητα φτάνει η σφαίρα στο έδαφος (g = 10ms2)

Κατά την κίνηση της σφαίρας δεν ασκούνται δυνάμεις από τον αέρα

24

25

26

bullΈτσι με βάση τον παραπάνω ορισμό το έργο του βάρους στην παραπάνω μετατόπιση είναι

WB = B∙Δx∙συν90ordm = B∙Δx∙0 = 0 (επειδή συν90ordm = 0)

bull Ομοίως το έργο της κάθετης στο δάπεδο δύναμης Nuur

που ασκείται από το δάπεδο

στο σώμα (στην παραπάνω μετατόπιση) είναι

WΝ = Ν∙Δx∙συν90ordm = Ν∙Δx∙0 = 0 (επειδή συν90ordm = 0)

παρατηρούμε ότι οι δύο αυτές δυνάμεις δεν παράγουν έργο επειδή η διεύθυνσή τους είναι κάθετη στη διεύθυνση της μετατόπισης Αυτό σημαίνει ότι οι δύο αυτές δυνάμεις δεν επηρεάζουν ενεργειακά το σώμα ούτε του προσθέτουν αλλά ούτε του αφαιρούν ενέργεια

bull Το έργο της τριβής στην παραπάνω μετατόπιση είναι

WΤ = Τ∙Δx∙συν180ordm = Τ∙Δx∙(-1) = -Τ∙Δx (επειδή συν180ordm = - 1)

παρατηρούμε ότι η τριβή επειδή είναι δύναμη αντίθετης φοράς από τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της παράγει αρνητικό έργο Αυτό σημαίνει ότι μέσω της δύναμης αφαιρείται (ή καταναλώνεται) ενέργεια που στην συγκεκριμένη περίπτωση μετατρέπεται σε θερμότητα

bull Τέλος το έργο της δύναμης F είναι

W = F∙Δx∙συν60ordm = W = F∙Δx∙(1

2) = W =

1

2F∙Δx (επειδή συν60ordm =

1

2)

παρατηρούμε ότι η δύναμη F επειδή είναι δύναμη ίδιας φοράς με τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της παράγει θετικό έργο Αυτό σημαίνει ότι μέσω της δύναμης προστίθεται (ή παράγεται) ενέργεια που στην συγκεκριμένη περίπτωση προέρχεται από το αίτιο της δύναμης

3




ΠΡΟΣΟΧΗ






urκαι Δ x













ur γίνεται





4





ur γίνεται





Έτσι





5






= - B∙h lt 0













6



















7



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26




ΠΡΟΣΟΧΗ






urκαι Δ x













ur γίνεται





4





ur γίνεται





Έτσι





5






= - B∙h lt 0













6



















7



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26





ur γίνεται





Έτσι





5






= - B∙h lt 0













6



















7



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26






= - B∙h lt 0













6



















7



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



















7



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



UΑ-UΔ = mg∙h1 - 0 = mg∙h1 = W2

UΓ-UΔ = mg∙h2 - 0 = mg∙h2 = W3

UΔ-UΑ = 0 - mg∙h1 = - mg∙h1 = W4

UΔ -UΓ = 0 - mg∙h2 = - mg∙h2 = W5




Q = WΤ


(Θ Μ Κ Ε)







επομένως



8







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26







Ε = Κ + U



ΑΠΟΔΕΙΞΗ


9



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



υ = g∙t (1)

ψ = 1

2 g∙t2 (2)



ή




ή


2 m∙υ2 + m∙g∙(h - ψ) (4)



2 m∙g2 t2 + m∙g∙(h -

1

2 g∙t2)

ή


2 m∙g2t2 + m∙g∙h -

1

2 m∙g∙g∙t2 = m∙g∙h (5)






10



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



W = Fx








F = 4x + 2




Απάντηση


22

+J = 12 J


(4 2)2

+ minus J = 28 J

11














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26














12

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26

Έργο



α) θετικό


γ) μηδέν






α) 10 Ν β) 20 Ν γ) 40 Ν δ) 5 Ν



13


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26


















β) Η τριβή





14



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



α) 2Κ β) 4Κ γ)Κ2 δ) Κ4












α) 2Κ β) 4Κ γ) K2 δ) K4



15



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26



















16







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26







Έργο







17











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26











18


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26


















19













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26













20















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26















21












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26












22










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26










23





= 202 J Π asymp 789














24

25

26





= 202 J Π asymp 789














24

25

26

25

26

10 φυλλάδιο ενέργεια

Education