10 io

Modelos de Redes: Problemas de Modelos de Redes: Problemas de la Ruta mla Ruta ms cortas corta

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farasas

Problemas de la Ruta mProblemas de la Ruta ms cortas corta Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o

costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.destino o nodo terminal.

DefiniciDefinicin del Probleman del Problema

-- Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.el nodo final n.-- Arcos Arcos bibi--direccionales conectan los nodos i y j con distancias direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, mayores que cero, ddijij-- Se desea encontrar la ruta de mSe desea encontrar la ruta de mnima distancia que conecta el nima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.nodo 1 con el nodo n.

3EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Ruta mRuta ms cortas corta

LineasLineas FairwayFairway VanVan

Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.para la siguiente red de carreteras.

Salt Lake City

1 2

3 4

56

7 8

910

11

1213 14

15

1617 18 19

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyenne

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San Diego Tucson

Phoenix

599

691497180

432 345440

102

452

621

420

526

138

291280

432

108

469207

155114

386403118

425 314

602

SEA.SEA.Salt Lake City

1 2

3 4

56

7 8

9

1011

1213 14

15

1617 18 19

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyene

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San Diego Tucson

Pheonix

599

691497180

432 345

440

102

452

621

420

526

138

291

280

432

108

469207

155114

386403

118

425 314

BUT599

POR

180

497BOI

599

180

497POR.POR.

BOI432

SAC602

+

+

=

=

612

782

BOI

BOIBOI.BOI.

345SLC+ =

842

BUT.BUT.SLC

420

CHY.691

+

+

=

=

1119

1290

SLC.

SLCSLC.

SAC.SAC.

Una representacin del algoritmo de Dijkstras

Y de esta manera hasta cubrir toda la red..

7 SoluciSolucin n -- AnalogAnaloga de un problema de programacia de un problema de programacin n lineallineal

-- Variables de decisiVariables de decisinn

XXijij = 1 si un transporte debe viajar por la carretera que = 1 si un transporte debe viajar por la carretera que une la ciudad i con la ciudad j.une la ciudad i con la ciudad j.

00 En cualquier otro casoEn cualquier otro caso

Objetivo = Minimizar Objetivo = Minimizar ddijijXXijij

87

2

Salt Lake City

1

3 4

Seattle

Boise

Portland

599

497180

432 345

Butte

[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1X12 + X13 + X14 = 1

De una forma similar:[El nmero de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1

[El nmero de carreteras para entrar a la cuidad] = [El nmero de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.

Sujeto a las siguientes restricciones

Restricciones mayores que cero

Salt Lake City

1 2

3 4

56

7 8

9

1011

1213 14

15

1617 18 19

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyene

Reno

Sac.

Bakersfield

Las VegasDenver

Albuque.

KingmanBarstow

Los Angeles

San Diego Tucson

Pheonix

599

691497180

432 345

440

102

452

621

420

526

138

291

280

432

108

469207

155114

386403

118

425 314

9EJEMPLO 2EJEMPLO 2

RUTA MRUTA MS CORTAS CORTA

10

ENCONTRAR LA RUTA MS CORTA ENTRE O Y T.LOS NMEROS SOBRE LOS ARCOS SE MIDEN ENMILLAS.

11

SOLUCISOLUCINN

12

(2, 0)

13

(2, O)

(4,O)

14

(2, O)

(4,O)

(5,O)

15

(2, O)*

(4,O)*

(5,O)(2,A)(4,A)*

16

(2, O)*

(4,O)*

(5,O)(2,A)(4,A)*

(7,A)

(3,B)

17

(2, O)*

(4,O)*

(5,O)(2,A)(4,A)*

(7,A)(8,B)*

(3,B)(7,B)*

18

(2, O)*

(4,O)*

(5,O)(2,A)(4,A)*

(7,A)(8,B)*

(3,B)(7,B)*

(7,E)

19

(2, O)*

(4,O)*

(5,O)(2,A)(4,A)*

(7,A)(8,B)*

(3,B)(7,B)*

(7,E)(13,D)*

LA RUTA MS CORTA REQUIERE 13 MILLAS.

20

EJEMPLO 3EJEMPLO 3


21

El problema del reemplazo de El problema del reemplazo de equipoequipo

23

SoluciSolucinn

29

310

30

(0,1)* (110,1)* (110,2) (160,3) (455,1) (610,1)(185,1)* (295,2)* (310,2) (420,2)*(455,2) (565,2)

(235,3) (420,3) (360,3) (545,3)(160,4) (455,4) (235,4) (530,4)*

(160,5) (580,5)

31

EJEMPLO 4EJEMPLO 4


32

QQ El costo de un automEl costo de un automvil cuesta 12,000 vil cuesta 12,000 ddlares, el costo de mantenimiento depende lares, el costo de mantenimiento depende de la edad del auto al inicio del ade la edad del auto al inicio del ao (ver o (ver tabla). tabla).

QQ Con la finalidad de evitar el costo de Con la finalidad de evitar el costo de mantenimiento alto, se da como cuota inicial mantenimiento alto, se da como cuota inicial de un nuevo que es valorado de acuerdo a su de un nuevo que es valorado de acuerdo a su edad (ver tabla). edad (ver tabla).

QQ La preocupaciLa preocupacin es minimizar el costo neto n es minimizar el costo neto incurrido en los princurrido en los prximos 5 aximos 5 aos.os.

33

PRECIO DE MANTENIMIENTO

ANUALEDAD DEL AUTO PRECIO DEL AUTO POR COTA INICIAL

2000 1 70004000 2 60005000 3 20009000 4 100012000 5 50

34

SOLUCISOLUCINN

35

QQ La red tendrLa red tendra {1,2,3,4,5,6} seis nodos el nodo i a {1,2,3,4,5,6} seis nodos el nodo i corresponde al inicio del acorresponde al inicio del ao i; para i < jo i; para i < j

QQ El arco (i, j) corresponde a la compra del auto nuevo El arco (i, j) corresponde a la compra del auto nuevo al inicio del aal inicio del ao i y conservarlo hasta el inicio del ao i y conservarlo hasta el inicio del ao o j.j.

QQ La longitud del arco (i, j): llamado La longitud del arco (i, j): llamado CiCi, j es el costo , j es el costo neto total incurrido por ser el dueneto total incurrido por ser el dueo y tener el auto o y tener el auto desde el inicio del adesde el inicio del ao i hasta el principio del ao i hasta el principio del ao j, si o j, si se compra un auto nuevo al inicio del ase compra un auto nuevo al inicio del ao i y se da o i y se da como adelanto al inicio del acomo adelanto al inicio del ao jo j

37

En miles de pesos:En miles de pesos:C12C12 == 22 ++ 1212 77 = 7 = 7 C13C13 == 22 ++ 44 ++ 66 = 12 = 12 C14C14 == 22 ++ 44 ++ 55 ++ 1212

22 = 21 = 21 C15C15 =2 + 4=2 + 4 + 5+ 5 ++ 99 ++ 1212 1 = 31 1 = 31 C16C16 =2+=2+ 44 +5+5 +9+9 ++ 1212 + 12 = 44 + 12 = 44 C23C23 == 22 ++ 1212 77 == 7 7 C24C24 == 22 ++ 44 ++ 1212 66

== 1212C25C25 =2+=2+ 4+4+ 55 ++ 1212 22 = 21= 21C26C26 =2=2 ++ 44 +5+5 +9+9 +12+12 1 = 311 = 31

39

(0,1)*(0,1)* (7,1)*(7,1)* (12,1)*(12,1)* (21,1)(21,1) (31,1)(31,1) (44,1)(44,1)

(7,2)(7,2) (12,2)(12,2) (21,2)(21,2) (31,2)(31,2)

(7,3)(7,3) (12,3)(12,3) (21,3)(21,3)

(19,2)*(19,2)* (7,4)(7,4) (12,4)(12,4)

(24,3)*(24,3)* (7,5)(7,5)

(31,4)*(31,4)*

41

SOLUCISOLUCINN

42

SOLUCION EN EL TORA :SOLUCION EN EL TORA :

RUTA1RUTA1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*** SHORTEST ROUTE SOLUTION ****** SHORTEST ROUTE SOLUTION ***Node 12:Node 12:Shortest distance = 10.000000Shortest distance = 10.000000Optimal Path:Optimal Path:N1 N1 -- N2 N2 -- N5 N5 -- N9 N9 -- N12N12

Modelos de Redes: Problemas de la Ruta ms cortaProblemas de la Ruta ms cortaEJEMPLO 1EJEMPLO 2SOLUCINEJEMPLO 3El problema del reemplazo de equipoSolucinEJEMPLO 4SOLUCINSOLUCINSOLUCION EN EL TORA :

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