1/14/2010

1

MODEL ANTRIAN

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

Pertemuan Ke- 11

Riani LRiani L.

JurusanTeknik Informatika

Universitas Komputer Indonesia

1/14/2010

2

Pendahuluan Teori antrian merupakan teori yang menyangkut studi Teori antrian merupakan teori yang menyangkut studi

matematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan, dimana formasi baris-baris penungguan ini merupakanfenomena yang biasa terjadi jika kebutuhan akan suatufenomena yang biasa terjadi jika kebutuhan akan suatupelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untukmenyelenggarakan pelayanan itu.K b k d k i d Keputusan yang berkenaan dengan kapasitas dapatditentukan meski tidak mungkin dapat diprediksi dengantepat kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanantersebut akan datang atau berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.

Jika pelayanan terlalu banyak, maka akan memerlukanp y y ,ongkos yang besar, sebaliknya, jika kapasitas pelayanankurang maka akan terjadi baris penungguan dalam waktuyang cukup lama sehingga menimbulkan ongkos.y g p gg g

2

1/14/2010

3

Contoh : Kendaraan berhenti berderet deret menunggu di traffic Kendaraan berhenti berderet-deret menunggu di traffic

light Pesawat menunggu lepas landas di bandara Mesin rusak antri untuk diperbaiki di sebuah bengkel Surat antri untuk ditik oleh sekretaris

P g gg di l h k t digit l Program menunggu diproses oleh komputer digital

Tujuan : Menentukan karakteristik yang mengukur kinerja sistem Menentukan karakteristik yang mengukur kinerja sistem

sehingga sistem pelayanan dapat bekerja secara optimal Keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos

yang disebabkan oleh adanya waktu menunggu.

3

1/14/2010

4

Hubungan Tk Pelayanan dgn Biaya Waktu Menunggu

E(C ) = n X CE(CW) = nt X CW

Dimana :E(CW) = Total biaya menungguE(CW) Total biaya menunggunt = Jumlah rata-rata individu yang menunggu dalam suatu sistemCW =Biaya menunggu pada seorang individu menganggur dalam sistem

4

1/14/2010

5

Hubungan Tk Pelayanan dgn Biaya Pengadaan Fasilitas

E(CS) = s X CSE(CS) s X CS

Dimana :E(C ) T l bi l i dE(CS) = Total biaya pelayanan per periodes = Jumlah fasilitas pelayananC = Biaya penambahan fasilitas

5

CS = Biaya penambahan fasilitas

1/14/2010

6

Contoh : Jika diketahui biaya menunggu (mencakup biaya Jika diketahui biaya menunggu (mencakup biaya

menganggurnya para karyawan, kehilangan penjualan, kehilangan kepercayaan dalam manajemen) adalahRp. 20.000,- per jam. Bila jumlah rata-rata individu dalamp , p j jsistem adalah 5 orang, maka total biaya tunggu yang diharapkan sebesar :

E(CW) = (5) (20.000) = Rp. 100.000,-

• Jika biaya per periode waktu per fasilitas pelayanany p p p p yadalah Rp. 120.000,- per jam dan jumlah fasilitaspelayanan adalah 3 unit, maka total biaya pelayananyang diharapkan sebesar :yang diharapkan sebesar :

E(C ) = (3) (120 000) = Rp 360 000

6

E(CS) = (3) (120.000) = Rp. 360.000,-

1/14/2010

7

Stuktur Dasar Model Antrian

Ada 4 struktur dasar berdasarkan fasilitas pelayanan :p y• Single Channel Singel Phase• Single Channel Multiple Phase• Multiple Channel Singel Phase• Multiple Channel Multiple Phase

7

1/14/2010

8

8

1/14/2010

9

Contoh Antrian Bank Satu Kasir

9

1/14/2010

10

10

1/14/2010

11

Notasi Model AntrianN t i St dNotasi Standar :

( a / b / c / d / e )Dimana :Dimana :

a = distribusi kedatangan

b = distribusi waktu pelayanan

c = jumlah fasilitas pelayanan (s = 1, 2, 3, … , )

d = jumlah konsumen maksimum dalam sistem

k l i be = ukuran populasi atau sumber

Notasi standar untuk simbol a dan b :Notasi standar untuk simbol a dan b :M = Poisson (Markovian)

D = interarrival atau service time konstan (deterministik)( )

Ek = intearrival atau service time berdistribusi Erlang atau Gamma11

1/14/2010

12

Model (M / M / 1 / / )Syarat kondisi Model Server Tunggal :Syarat kondisi Model Server Tunggal :1. Jml kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson

2. Wkt pelayanan berdistribusi eksponensial

3. Disiplin antrian yang pertama datang pertama dilayanan (FCFS)

4. Sumber populasi tak terbatas

5. Ada jalur tunggalj gg

6. Tk rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan

7. Panjang antrian tidak terbatas

Notasi persamaan : = Tk rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu)g p ( / )

= Tk rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu)

Lq = Rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit)

L R t t j l h i di id d l i t ( it)Ls = Rata-rata jumlah individu dalam sistem (unit)

Wq = Rata-rata waktu dalam antrian (jam)12

1/14/2010

13

Ws = Rata-rata waktu dalam sistem (jam)

Pn = Probabilitas terdapat n individu dalam sistem (frekuensi relatif)

Po = Probabilitas tidak ada individu dalam sistem (frekuensi relatif)

Pw = Probabilitas menunggu dalam sistem (frekuensi relatif)

r = Tk kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)r = Tk kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)

13

1/14/2010

14

CONTOH :

Sebuah minimarket mempunyai satu cash register dan satu orangpetugas kasir untuk mengoperasikannya dalam transaksipembayaran terhadap konsumen. Konsumen harus antri dalamsatu jalur di depan kasir untuk membayar belanjaannya. Tingkat rata-rata kedatangan konsumen =24 per jam dan sesuai dengandistribusi Poisson. Waktu pelayanan berdistribusi eksponensialdengan tingkat rata-ratanya adalah =30 konsumen per jam. Manajer minimarket ingin mengevaluasi karakteristik operasionaldari sistem antrian tersebut. Tentukan :

a. Probabilitas tidak ada konsumen dalam sistemb. Rata-rata jumlah konsumen dalam antrianc. Rata-rata jumlah konsumen dalam sistem

R t t kt d l t id. Rata-rata waktu dalam antriane. Rata-rata waktu dalam sistemf. Tingkat kegunaan fasilitas cash registerg g g

14

1/14/2010

15

Model (M / M / s / / ) Merupakan model antrian fasilitas pelayanan (server) Merupakan model antrian fasilitas pelayanan (server)

ganda. Diasumsikan rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil

d i d i k l k l h ( ) daripada tingkat pelayanan keseluruhan (agregat) ataupenjumlahan segenap rata-rata tingkat pelayanan di tiapjalur.

Syarat & kondisi lain sama dengan Model Server Tunggal

Probabilitas bahwa tidak ada konsumen dalam sistem (semua server menganggur) :

15

1/14/2010

16

Probabilitas bahwa seorang konsumen memasuki sistem dan hasrusmenunggu untuk dilayani (probabilitas semua server sibuk) :

Rata-rata jumlah konsumen dalam sistem dan antrian masing-masing :

R k d l i d k i i iRata-rata waktu dalam sistem dan rata-rata waktu antrian masing-masing :

Tk kegunaan fasilitas :

16

1/14/2010

17

CONTOH :Sebuah departemen store mempunyai bagian khusus yang menanganimasalah dan keluhan konsumen terhadap transaksi pembayaran melaluikartu kredit. Bagian ini mempunyai tiga petugas pelayanan dan konsumenyang datang harus menunggu giliran untuk mendapatkan pelayanan, t t d d k di g t gg di t h t b i K g tempat duduk di ruang tunggu diatur hanya satu baris. Konsumen yang datang pertama dilayani lebih dulu.

Berdasarkan pengamatan selama 6 bulan, menunjukkan rat-rata ada 10 k d t ti j ( i di t ib i P i ) d t t konsumen yang datang tiap jam (sesuai distribusi Poisson), dan rata-rata ada 4 konsumen per jam bisa dilayani oleh tiap petugas (berdistribusiPoisson).

Pih k j i gi g li i i t t i t b t bil kta. Pihak manajemen ingin menganalisis sistem antrian tersebut, bila waktutunggu berlebihan di bagian ini maka akan membuat konsumen kesaldan cenderung tidak sabar, sehingga bisa dengan mudah mencaritempat lain untuk berbelanja tempat lain untuk berbelanja.

b. Untuk meningkatkan pelayanan maka manajemen mempertimbangkanuntuk menambah seorang petugas pelayanan di bagian ini. Apakahkeputusan pihak manajemen ini sudah tepat ?keputusan pihak manajemen ini sudah tepat ?

17

1/14/2010

18

Model (M / M / 1 / N / )T d t b t j l h d l i t Terdapat batas jumlah dalam sistem

Jumlah maksimum meliputi individu yang menunggudan yang sedang dilayanidan yang sedang dilayani.

Bila individu mencapai N atau lebih, individu yang datang berikutnya akan meninggalkan antrian dan tidakg y ggkembali.

Jenis model ini merupakan perkiraan logis untukmemecahkan persoalan antrian dalam sektor industrijasa.Contoh : Rumah Makan dengan kapasitas parkir yang Contoh : Rumah Makan dengan kapasitas parkir yang terbatas. Bila pelanggan tiba dan tidak mendapatkantempat parkir, maka pelanggan pasti langsung pergi ketempat lain

18

1/14/2010

19

19

1/14/2010

20

CONTOH :Pak Budi membuka usaha jasa cuci mobil yang berada diy gpingir jalan raya. Rata-rata pelanggan yang datang adalah 5 mobil per jam (sesuai distribusi Poisson). Waktu yang diperlukan untuk mencuci dan membersihkan setiap mobildiperlukan untuk mencuci dan membersihkan setiap mobilberbeda-beda, tetapi mengikuti distribusi eksponensialdengan rata-rata 10 menit per mobil. Kapasitas lahan parkirh bi 5 bil Jik l h ki d hhanya bisa menampung 5 mobil. Jika lahan parkir sudahpenuh, pelanggan yang datang akan segera pergi dan mencaritempat lain. Jam kerja selama 8 jam dari pagi hingga sore.

a. Pak Budi ingin mengetahui beberapa pelanggan yang hilangkarena keterbatasan lahan parkir, serta karakteristik-karakteristiksistem antrian lainnya.sistem antrian lainnya.

b. Pak Budi juga ingin mengetahui berapa rata-rata waktu antrianhingga sebuah mobil selesai dicuci

20

1/14/2010

21

Model (M / M / 1 / / N )Sumber populasi dibatasi sebesar N Sumber populasi dibatasi sebesar N

Model ini banyak dijumpai dalam sistem antrian padaperbaikan mesin di suatu pabrik.p p

dimana n = 1, 2, …, N (N= ukuran populasi)

21

1/14/2010

22

CONTOH :Sebuah industri manufaktur mempunyai 20 mesin bubut yang y y gsecara periodik memerlukan perbaikan karena mengalamikerusakan. Perusahaan mempunyai satu karyawan senior dibantu asistennya untuk mereparasi mesin tersebut Setiapdibantu asistennya untuk mereparasi mesin tersebut. Setiapmesin membutuhkan perbaikan setelah beroperasi rata-rata selama 200 jam dan rata-rata waktu perbaikan adalah 3,6 j ti i R t t ti k t k k ijam tiap mesin. Rata-rata tingkat kerusakan mesinberdistribusi Poisson dan waktu perbaikan eksponensial. Perusahaan ingin menganalisis beberapa rata-rata lama mesin yang menganggur karena kerusakan dan bila perlu adatambahan karyawan bagian reparasi.

22