10. osnovna analiza vremenskih nizova

10. OSNOVNA ANALIZA 10. OSNOVNA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVAVREMENSKIH NIZOVA

• Vremenski niz - niz kronološki uređenih vrijednosti (frekvencija) neke pojave

• Postoje 2 vrste vremenskih nizova ovisno o tome je li riječ o pojavi promotrenoj u nekom trenutku vremena ili u nekom vremenskom intervalu:

intervalni – frekvencije se odnose na vremenske intervale i nastaju zbrajanjem, imaju svojstvo kumulativnosti (npr. zbrajanjem dnevnih proizvodnji dobivamo tjednu proizvodnju) – prikazuju se linijskim i površinskim grafikonima

trenutačni – frekvencije se odnose na neki trenutak vremena, frekvencije se ne smiju zbrajati (npr. isti iznos duga na tekućem računu u 2 uzastopna dana ne znači dvostruki iznos duga) – prikazuju se samo linijskim grafikonima

godina novoprijavljeni radi zapošljavanja prijavljeni, stanje potkraj godine1982. 133 1071983. 134 1131984. 141 1211985. 139 1241986. 137 1221987. 133 1271988. 142 1441989. 117 1451990. 183 1951991. 218 283

Tabela 1. Novoprijavljeni i broj prijavljenih u zavodima za zapošljavanje u RH (u 000)

Izvor: SLJRH 1992, str.103

Tabela 1. sadrži dva vremenska niza, jedan intervalni i jedan trenutačni. Slijede njIhovi grafički prikazi

Graf 1. Novoprijavljeni u zavodima za zapošljavanje u RH (u 000)

0

50

100

150

200

250

1982. 1983. 1984. 1985. 1986. 1987. 1988. 1989. 1990. 1991.

godina

broj

oso

ba

Izvor: SLJRH 1992, str. 103.

Graf 2. Novoprijavljeni u zavodima za zapošljavanje u RH (u 000)

0

50

100

150

200

250

1982. 1983. 1984. 1985. 1986. 1987. 1988. 1989. 1990. 1991.

godina

broj

oso

ba


Graf 3. Broj prijavljenih u zavodima za zapošljavanje u RH (u 000), stanje potkraj godine

0

50

100

150

200

250

300

1982. 1983. 1984. 1985. 1986. 1987. 1988. 1989. 1990. 1991.

godina

broj

oso

ba


• Ako vremenska razdoblja na koja se odnose frekvencije intervalnog vremenskog niza nisu jednaka, potrebno je korigirati frekvencije, i to tako da se smanje frekvencije koje se odnose na veća vremenska razdoblja

• Kod grafičke usporedbe dviju pojava na istom grafikonu uglavnom se koriste zajedničke koordinatne osi (moraju se odnositi na ista vremenska razdoblja i biti izražena u istim mjernim jedinicama)

godina izvoz uvoz1991. 3292 38281992. 4597 44611993. 3903 46661994. 4260 52291995. 4633 75101996. 4512 77881997. 4171 9104

Tabela 2. Vanjskotrgovinska bilanca RH u mil $ po tekućem tečaju


Primjer usporedbe vremenskih nizova linijskim grafikonom uz korištenje aritmetičkog mjerila na obje koordinatne osi

Graf 4. Vanjskotrgovinska bilanca RH u mil $ po tekućem tečaju

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. godina

kamatna stopa

izvoz

uvoz

Izvor: SLJRH 1998., str. 321.

• konstrukcija logaritamskog mjerila na osi ordinata: na dužinu proizvoljne veličine, koja se odabere kao jedinična, nanesu se oznake na mjestima koja odgovaraju logaritmima brojeva od 1 do 10

npr. ako je 10 cm jedinična dužina:– početak te dužine označi se s 1 (log 1 = 0),

– na udaljenosti 3 cm od početka stavljamo oznaku 2 (log 2 = 0.30103, tj. otprilike 3/10 jedinične dužine),

– na udaljenosti 4.48 cm od početka oznaka je 3 (log 3 = 0.47712), ...

– zadnja točka jedinične dužine je 1 (log 10 = 1)

• Koristi se kod nizova kod kojih su frekvencije:

– brojčano jako različite

– izražene u različitim mjernim jedinicama

Usporedba noćenja turista u RH (u 000) prikazana je linijskim grafikonom

Razlika između odgovarajućih ordinata predočuje broj noćenja domaćih turista

OSNOVNI STATISTIČKI POKAZATELJI

VREMENSKIH NIZOVA

• Pojedinačne apsolutne promjene pojave su razlike dviju frekvencija vremenskog niza

• Pojedinačne uzastopne promjene neke pojave (koeficijenti dinamike), uz oznaku yt za frekvenciju vremenskog niza koja se odnosi na vrijeme t :

– računanjem razlike uzastopnih frekvencija:

– računanjem razlike frekvencija u odnosu prema frekvenciji nekog odabranog (fiksnog) razdoblja yB:

1 , 1, 2,...,t t ty y y t n

, 1, 2,...,t t By y y t n

• Indeksi su relativni brojevi dinamike koji pokazuju odnos jedne pojave (ili skupine pojava ako su u pitanju skupni indeksi) u različitim vremenskim trenutcima ili različitim vremenskim razdobljima

• Primjenjuju se kod trenutačnih i kod intervalnih nizova

• Podjela indeksa:

– S obzirom na obuhvat promatranih pojava: individualni i skupni indeksi

– S obzirom na bazu usporedbe: indeksi stalne baze usporedbe i indeksi promjenjive baze usporedbe

– U polju privredne statistike: indeksi cijena, indeksi količina i indeksi vrijednosti ili prometa

INDIVIDUALNI INDEKSI

• pomoću njih prati se dinamika jedne pojave

• dijele se na:

– verižne indekse - pokazuju relativne promjene pojave u razmatranom razdoblju u odnosu prema prethodnom razdoblju

– indekse na stalnoj bazi – odabrana frekvencija služi kao baza usporedbe razine pojave u različitim vremenima (oprez pri izboru baze!)

1

100 , 1, 2,...,tt

t

yV i n

y

100 , 1, 2,...,tt

B

yI i n

y

• Stopa promjene st – relativna pojedinačna mjera promjena razine pojava u uzastopnim razdobljima izražena postotno

• Prosječna stopa promjene (reprezentativna je ako ne postoje velike varijacije pojedinačnih stopa):

100 , 2,3,...,t ts V t n

1

1

1 100nn

ys

y

godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000.BDP po stanovniku 3137 4029 4422 4398 4805 4399 4179stope promjene - 28,43 9,75 -0,54 9,25 -8,45 -5,00

Bruto domaći proizvod po stanovniku RH (u USD)

Izvor: Hrvatska narodna banka

PRIMJER 1. Indeksi proizvodnje pšenice i kukuruza u RH

godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.

Izvor: SLJRH, 1997, str. 205,206.

128.67

indeksi proizvodnje kukuruza 1998 = 100

85.12 87.59 95.16 110.14 100.00 107.72 76.99 97.93

111.20 136.00 74.40 137.60indeksi proizvodnje pšenice 1994 = 100

100.00 116.93 98.80

a) izračunajte indekse proizvodnje kukuruza kojima je bazna proizvodnja 1994. godina. Indekse prikažite grafički.

b) izračunajte verižne indekse proizvodnje pšenice i verižne indekse proizvodnje kukuruza, te ih prikažite grafički.

1994. 100.00 - - 7501995. 102.90 116.93 102.90 8771996. 111.80 84.49 108.64 7411997. 129.39 112.55 115.74 8341998. 117.48 122.30 90.79 10201999. 126.55 54.71 107.72 5582000. 90.45 184.95 71.47 10322001. 115.05 93.51 127.20 965

proizvodnja pšenice (u

000 t)

indeksi proizvodnje

kukuruza 1994 = 100

godinaverižni indeksi

proizvodnje pšenice

verižni indeksi proizvodnje kukuruza

• Relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu

• Najčešće se računaju 3 vrste skupnih indeksa:

– skupni indeksi količina,

– skupni indeksi cijena,

– skupni indeksi vrijednosti

• Kako je broj podataka u pojedinim skupinama često golem, izabire se njihov uzorak, odnosno reprezentativni dio skupine, a dinamika se prati na podacima iz uzorka

SKUPNI INDEKSI

• Laspeyresov indeks cijena – pokazuje kolike su prosječne relativne promjene cijena skupine k pojava koje čine neku logičnu cjelinu (potrošnja, proizvodnja, izvoz, ...) polazeći od količina odabranog baznog razdoblja

sa 0 su označene sve veličine baznog razdoblja, a sa i veličine tekućeg razdoblja

količine su označene sa q, a cijene sa p

produkti količina i cijena qi0 pi0 čine vrijednosti baznog razdoblja

0

10 0

0 01

100

k

it ii

t k

i ii

p qP q

p q

• Laspeyresov indeks količina – pokazuje kolike su prosječne relativne promjene količina skupine k pojava koje čine neku logičnu cjelinu (potrošnja, proizvodnja, izvoz, ...) polazeći od cijena odabranog baznog razdoblja

sa 0 su označene sve veličine baznog razdoblja, a sa i veličine tekućeg razdoblja

količine su označene sa q, a cijene sa p

produkti količina i cijena qi0 pi0 čine vrijednosti baznog razdoblja

0

10 0

0 01

100

k

it ii

t k

i ii

q pQ p

q p

• Paascheov indeks cijena:

• Paascheov indeks količina:

10

01

100

k

it iti

t t k

i iti

p qP q

p q

10

01

100

k

it iti

t t k

i iti

q pQ p

q p

• Indeks vrijednosti:

• Fischerovi indeksi cijena i količina nazivaju se i idealnim skupnim indeksima – geometrijska sredina odgovarajućeg Laspeyresova i Paascheova indeksa

10

01

100

k

it iti

t k

i iti

p qV

p q

0 01 1 1 1

0 0

0 0 0 0 0 01 1 1 1

100 , 100

k k k k

it i it it it i it iti i i i

F t F tk k k k

i i i it i i i iti i i i

p q p q q p q pP Q

p q p q q p q p

• Za potrebe ekonomskih analiza u statističkim se zavodima računaju različiti posebni oblici skupnih indeksa

• Od posebne je važnosti skupni indeks troškova života – pri njegovu se računanju prate promjene cijena samo artikala i usluga potrebnih za svakodnevni život – služi za izračunavanje realnih plaća i indeksa realnih plaća:

nominalni iznosrealni iznos plaće 100

indeks troškova života

iznos nominalnih plaćaindeks realnih plaće 100

indeks troškova života

PRIMJER 2. U supermarketu A zabilježen je u 2 godine sljedeći promet triju vrsta robe

1999. 2000. 1999. 2000.staklo 18 20 25 22porculan 24 25 18 20keramika 10 8 28 35

vrsta robecijena po toni u 000 kn količina u tonama

Izračunajte:

a) Laspeyresove indekse količina i cijena,

b) Paascheove indekse količina i cijena,

c) Fisherove indekse količina i cijena.

1999. 2000. 1999. 2000.p i0 p i1 q i0 q i1 q i0 p i0 q i1 p i0

staklo 18 20 25 22 450 396porculan 24 25 18 20 432 480keramika 10 8 28 35 280 350ukupno 1162 1226

Količine 2000. po cijenama 1999.

količina u tonamacijena po toni u 000 knvrsta robe

Vrijednosti 1999.

Količine navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 5.5% u prosjeku, računano po cijenama 1999. godine

3

1 01

01 0 3

0 01

1226100 100 105.5

1162

i ii

i ii

q pQ p

q p

a)





Vrijednosti 1999.

3

1 01

01 0 3

0 01

1174100 100 100.9

1162

i ii

i ii

p qP q

p q

Cijene navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 0.9% u prosjeku, računano po količinama 1999. godine

Količine navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 3.9% u prosjeku, računano po cijenama 2000. godine

b)

3

1 11

01 1 3

0 11

1220100 100 103.9

1174

i ii

i ii

q pQ p

q p





Vrijednosti 2000.

Cijene navedenih triju vrsta robe smanjene su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 0.5% u prosjeku, računano po količinama 2000. godine

3

1 11

01 1 3

0 11

1220100 100 99.5

1226

i ii

i ii

p qP q

p q

1999. 2000. 1999. 2000.p i0 p i1 q i0 q i1 p i1 q i1 p i0 q i1




Vrijednosti 2000.

c) Fischerov skupni indeks računamo kao geometrijsku sredinu dvaju indeksa količina (odnosno cijena), od kojih je jedan Laspeyresov, a drugi Paascheov

01

01

105.5 103.9 104.7

100.9 99.5 100.2

Q

i

P

TREND

• Kod dinamičkih vremenskih serija često se pokušava na pogodan analitički način izraziti tendencija razvoja pojave u vremenu

• Vremenska se serija Y uobičajeno predstavlja kao zbroj nekoliko komponenti:

Y = T + C + S + R

T – oznaka za dugoročnu tendenciju razvoja pojave u vremenu (trend komponenta)C – ciklička komponenta kojom su izražena odstupanja od trenda koja se pripisuju općim poslovnim i ekonomskim uvjetimaS – sezonska komponenta kojom se opisuju fluktuacije vremenskog niza koje se ponavljaju u određenim razdobljimaR – rezidualna komponenta koja se može pripisati nepredvidivim rijetkim događajima

• Ako se npr. na temelju grafičkog prikaza pojave Y zaključi da se pojava linearno mijenja u vremenu, pravac trenda s procijenjenim parametrima je:

1

22

1

(kao i kod linearne regresije),

a ocjene parametara:

,

tt

n

t tt

n

tt

y a bx

x y n x yb a y b x

x n x

Ocjena reprezentativnosti izračunatog trenda provodi se na isti način kao ocjena reprezentativnosti linearne regresije.

PRIKAZI SERIJA S RAZLIČITIM TRENDOVIMA

10. osnovna analiza vremenskih nizova

Documents