10.1.1.50.9398[1]

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]

http://slidepdf.com/reader/full/10115093981 1/10

I n v e s t i g a t i n g a P a r a l l e l B r e e d e r G e n e t i c

A l g o r i t h m o n t h e I n v e r s e A e r o d y n a m i c D e s i g n

I . D e F a l c o , A . D e l l a C i o p p a , R . D e l B a l i o a n d E . T a r a n t i n o

R e s e a r c h I n s t i t u t e o n P a r a l l e l I n f o r m a t i o n S y s t e m s ( I R S I P )

N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f I t a l y ( C N R )

V i a P . C a s t e l l i n o , 1 1 1

8 0 1 3 1 N a p l e s - I t a l y

A b s t r a c t . B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s r e p r e s e n t a c l a s s o f r a n d o m

o p t i m i s a t i o n t e c h n i q u e s g l e a n e d f r o m t h e s c i e n c e o f p o p u l a t i o n g e n e t i c s ,

w h i c h h a v e p r o v e d t h e i r a b i l i t y t o s o l v e h a r d o p t i m i s a t i o n p r o b l e m s

w i t h c o n t i n u o u s p a r a m e t e r s . I n t h i s p a p e r w e t e s t a p a r a l l e l v e r s i o n

o f t h i s t e c h n i q u e a g a i n s t a s e q u e n t i a l B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m o n

a t y p i c a l i n v e r s e d e s i g n p r o b l e m i n A e r o d y n a m i c s , t h e p r o b l e m o f a n

a e r o f o i l g e o m e t r y r e c o v e r s t a r t i n g f r o m a t a r g e t p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n .

O u r r e s u l t s s h o w t h a t P a r a l l e l B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s a r e w e l l s u i t e d

f o r a p p l i c a t i o n s i n A e r o d y n a m i c s .

K e y w o r d s : B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s , A e r o d y n a m i c D e s i g n , P a r a l l e l

G e n e t i c A l g o r i t h m s .

1 I n t r o d u c t i o n

T h e r e a r e t w o p r o b l e m s i n A e r o d y n a m i c s : t h e a n a l y s i s a n d t h e d e s i g n 1 , 2 ] .

T h e f o r m e r ( d i r e c t p r o b l e m ) c o n s i s t s i n d e s c r i b i n g a o w e l d g i v e n t h e

g e o m e t r y o f t h e o b j e c t , w h e r e a s t h e l a t t e r ( i n v e r s e p r o b l e m ) r e q u i r e s t o n d

t h e g e o m e t r y o f t h e o b j e c t c a u s i n g t h e g i v e n o w e l d . A s a n e x a m p l e o f t h e

s e c o n d c l a s s o f p r o b l e m s , w e m a y b e a s k e d t o d e t e r m i n e t h e s h a p e o f a n a e r o f o i l

w h e n w e a r e a s s i g n e d a g i v e n s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . F u r t h e r m o r e , t h e

d e s i g n m a y b e s u b j e c t t o c o n s t r a i n t s a l l o w i n g t h e a e r o d y n a m i c s h a p e t o a c h i e v e

s o m e e x t r e m e l y i m p o r t a n t f e a t u r e s : t h e a e r o f o i l i s s o m e t i m e s i m p o s e d t o b e

c o m p a t i b l e w i t h e n t i r e l y s h o c k { f r e e t r a n s o n i c o w e l d s o r t o p r o d u c e o w e l d s

w i t h m i n i m u m e n t r o p y g e n e r a t i o n , m i n i m u m n o i s e g e n e r a t i o n o r u n i f o r m s u r f a c e

h e a t u x , a n d s o o n . T h e r e a r e s o m e m a t h e m a t i c a l m o d e l s u s e d f o r t h e s h a p e

d e s i g n w h i c h a r e b a s e d o n p a r t i a l d i e r e n t i a l , i n t e g r a l a n d a l g e b r a i c e q u a t i o n s .

I t m a y s o m e t i m e s h a p p e n , h o w e v e r , t h a t t h e r e s u l t o f a n i n v e r s e d e s i g n b a s e d

o n t h e a b o v e m o d e l s i s a s h a p e w h i c h i s m a t h e m a t i c a l l y a c c e p t a b l e y e t i t i s

n o t p h y s i c a l l y m e a n i n g f u l a n d c a n n o t b e m a n u f a c t u r e d ; t h i s i s , f o r e x a m p l e , i f

t h e l o w e r a n d t h e u p p e r s u r f a c e s o f t h e a e r o f o i l c r o s s o v e r ( ` s h t a i l s h a p e s ' ) o r

n e v e r m e e t ( o p e n t r a i l i n g e d g e s h a p e s ) . A n o t h e r k e y p o i n t i n t h e i n v e r s e d e s i g n

m e t h o d o l o g i e s i s t h a t a n a e r o f o i l o b t a i n e d e v e n b y m a t h e m a t i c a l m o d e l s h a s t h e

d e s i r e d c h a r a c t e r i s t i c s o n l y a t t h e d e s i g n c o n d i t i o n s , b u t i f j u s t o n e o f t h e m ( a n g l e

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


o f a t t a c k , f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r , : : : ) c h a n g e s t h e n t h e s h a p e w i l l h a v e t o

b e c h a n g e d . F u r t h e r m o r e , i n s o m e c a s e , t h e r e s u l t o f t h e d e s i g n m a y b e a m i l d l y

c o n c a v e s h a p e , p a r t i a l l y c o v e r e d b y t h e s u p e r s o n i c o w . I n t h i s c a s e ( ` h a n g i n g

s h o c k ' ) e v e n a t t h e p r o j e c t o p e r a t i n g p o i n t t h e a e r o d y n a m i c e c i e n c y w i l l n o t b e

s a t i s f a c t o r y , t h o u g h a l l t h e m a t h e m a t i c a l c o n d i t i o n s a r e p e r f e c t l y s a t i s e d . A s a

c o n s e q u e n c e o f a l l o f t h e a b o v e , i t i s w e l l k n o w n t o p e o p l e w o r k i n g i n a e r o d y n a m i c

e l d t h a t i t i s m o r e a p p r o p r i a t e t o d r a w a n a l m o s t s h o c k { f r e e s h a p e e v e n a t

t h e d e s i g n c o n d i t i o n s , p r o v i d e d t h a t t h i s s h o c k d o e s n o t i n c r e a s e s i g n i c a n t l y

a t o { d e s i g n c o n d i t i o n s . A l t h o u g h s k i l f u l e n g i n e e r s a r e c a p a b l e o f p r o d u c i n g

s u c c e s s f u l s h a p e s w h e n c o n s i d e r i n g o n e o p e r a t i n g c o n d i t i o n , d i c u l t i e s a r i s e

e s p e c i a l l y w h e n t h e p r o b l e m c o n s i s t s i n m o r e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . I n s u c h a

c a s e t h e p r o b l e m s h o w s a l l i t s d i c u l t y , s o o p t i m i s a t i o n m e t h o d s a r e n e e d e d t o

h e l p t h e d e s i g n e r . M a n y o p t i m i s a t i o n t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d a n d u s e d

b y r e s e a r c h e r s 3 , 4 ] . A b a s i c f e a t u r e f o r a n u m e r i c a l o p t i m i s a t i o n a l g o r i t h m t o

b e c o n s i d e r e d o f i n t e r e s t i s i t s r o b u s t n e s s , b e c a u s e o n l y i n t h i s c a s e i t m a y b e a

k e y f a c t o r f o r t h e d e v e l o p m e n t o f a e r o d y n a m i c o p t i m i s a t i o n m e t h o d s .

D u r i n g l a s t y e a r s G e n e t i c A l g o r i t h m s ( G A s ) 5 , 6 ] h a v e b e e n m o r e a n d m o r e

w i d e l y a p p l i e d i n m a n y a n d v e r y d i e r e n t a p p l i c a t i o n e l d s , r a n g i n g f r o m t h e

s c i e n t i c t o t h e c o m m e r c i a l a n d t h e i n d u s t r i a l o n e s , a n d t h e y h a v e p r o v e d t h e i r

a b i l i t y i n e c i e n t l y s o l v i n g v e r y d i e r e n t p r o b l e m s . T h e r e f o r e t h e y a r e b e i n g

a p p l i e d a l s o i n t h e i n v e r s e d e s i g n p r o b l e m . S o m e f e a t u r e s o f t h e G A s ( t h e u s e

o f o b j e c t i v e f u n c t i o n r a t h e r t h a n d e r i v a t i v e s o r a n y a u x i l i a r y k n o w l e d g e , t h e

u s e o f p r o b a b i l i s t i c t r a n s i t i o n r u l e s i n s t e a d o f d e t e r m i n i s t i c o n e s , t h e s e a r c h

f r o m a p o p u l a t i o n o f p o i n t s r a t h e r t h a n a s i n g l e p o i n t ) m a k e t h e m v e r y r o b u s t

a n d t h e r e f o r e a t t r a c t i v e f o r a e r o d y n a m i c a p p l i c a t i o n s . G o o d r e s u l t s h a v e b e e n

o b t a i n e d b y a p p l y i n g G A s t o t h e a e r o d y n a m i c d e s i g n p r o b l e m 7 , 8 ] , m u c h b e t t e r

t h a n t h o s e a c h i e v e d b y u s i n g g r a d i e n t { b a s e d t e c h n i q u e s . N o n e t h e l e s s , t h e c u r r e n t

s t a t e o f t h e a r t i s n o t f u l l y s a t i s f a c t o r y . I n f a c t , t w o p r o b l e m s a r e t o b e f a c e d .

T h e r s t i s r e p r e s e n t e d b y t h e h u g e c o m p u t a t i o n t i m e s r e q u i r e d b y a l l t e c h n i q u e s

( G A s i n c l u d e d ) t o n d g o o d s o l u t i o n s , d u e t o t h e n e e d o f p e r f o r m i n g l o t s , s a y

t h o u s a n d s , o f e v a l u a t i o n s e a c h o n e i s , i n t h i s e l d , v e r y t i m e { c o n s u m i n g . T h e

s e c o n d i s g i v e n b y t h e h u g e w i d t h o f t h e s e a r c h s p a c e . F o r t y p i c a l r e a l p r o b l e m s ,

e v e n n o t t o o d i c u l t , a t l e a s t a b o u t t w e n t y v a r i a b l e s a r e t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t ,

m a n y o f t h e m b e i n g r e a l v a r i a b l e s v a r y i n g i n l a r g e a d m i s s i b l e r a n g e s , s o t h e

s e a r c h a l g o r i t h m h a s t o c h o o s e a m o n g b i l l i o n s o f b i l l i o n s o f p o s s i b l e s o l u t i o n s .

B e c a u s e o f t h i s , n e w h e u r i s t i c o p t i m i s a t i o n t e c h n i q u e s a r e w e l c o m e c a p a b l e o f

p e r f o r m i n g e c i e n t s e a r c h e s a n d r e d u c i n g t h e e x e c u t i o n t i m e s . O n e m o r e p o i n t

t o b e f o c u s s e d i s t h a t s u c h a t e c h n i q u e s h o u l d , i f p o s s i b l e , b e e a s i l y p a r a l l e l i s a b l e ,

s o a s t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e n o w a d a y s w i d e l y a v a i l a b l e p a r a l l e l c o m p u t e r s , w i t h

t h e a i m t o f u r t h e r r e d u c e t h e s e a r c h t i m e .

I n t h e l a s t y e a r s M u h l e n b e i n a n d S c h l i e r k a m p { V o o s e n p r o p o s e d a n a p p r o a c h

c a l l e d B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s ( B G A s ) 9 , 1 0 , 1 1 ] w h i c h c a n b e s e e n a s a

r e c o m b i n a t i o n b e t w e e n E v o l u t i o n S t r a t e g i e s ( E S s ) 1 2 ] a n d G A s . I n f a c t B G A s

u s e t r u n c a t i o n s e l e c t i o n w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o t h e ( ; ) { s t r a t e g y i n E S s a n d

t h e s e a r c h p r o c e s s i s m a i n l y d r i v e n b y r e c o m b i n a t i o n m a k i n g B G A s v e r y s i m i l a r

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


t o G A s . I t h a s b e e n p r o v e d t h a t B G A s c a n s o l v e p r o b l e m s m o r e e c i e n t l y t h a n

G A s d u e t o t h e t h e o r e t i c a l f a s t e r c o n v e r g e n c e t o t h e o p t i m u m 1 0 ] a n d t h e y c a n ,

l i k e G A s , b e e a s i l y w r i t t e n i n a p a r a l l e l f o r m , s o w e w i s h t o t e s t t h e m o n t h e

i n v e r s e d e s i g n .

T h e p a p e r i s o r g a n i s e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 d e s c r i b e s t h e B G A s . I n s e c t i o n

3 t h e p r o b l e m f a c e d i s d e s c r i b e d i n d e t a i l a n d i n s e c t i o n 4 t h e P a r a l l e l B G A

( P B G A ) i s d e p i c t e d . S e c t i o n 5 r e p o r t s o u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h t h e

c o m p a r i s o n o f a s e q u e n t i a l a n d a p a r a l l e l v e r s i o n o f B G A s o n t h e a b o v e p r o b l e m .

F i n a l l y , s e c t i o n 6 c o n t a i n s o u r c o n c l u s i o n s a n d f o r e s e e n f u t u r e w o r k i n t h i s a r e a .

2 B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s

T h e B G A s a r e b a s e d o n t h e c o n c e p t s o f e v o l u t i o n o f s p e c i e s a n d s e l e c t i o n t y p i c a l

o f G A s ; h o w e v e r t h e y d i e r i n t h e f a c t t h a t t h e e v o l u t i o n o f t h e p o p u l a t i o n

i s ` d r i v e n ' b y t h e b r e e d i n g m e c h a n i s m . T h i s c o n s i s t s i n t h e s e l e c t i o n , a t e a c h

g e n e r a t i o n , o f t h e T % b e s t e l e m e n t s w i t h i n t h e c u r r e n t p o p u l a t i o n o f N e l e m e n t s

( T % i s c a l l e d t r u n c a t i o n r a t e a n d i t s t y p i c a l v a l u e s a r e w i t h i n t h e r a n g e 1 0 % t o

5 0 % ) . T h e s e e l e m e n t s a r e l e t f r e e t o m a t e r a n d o m l y , w i t h o u t r o u l e t t e w h e e l

s e l e c t i o n , s o t h a t t h e y g e n e r a t e a n e w p o p u l a t i o n o f N ? 1 e l e m e n t s . T h e

f o r m e r b e s t e l e m e n t i s t h e n i n s e r t e d i n t h i s n e w p o p u l a t i o n , a n d t h e c y c l e o f l i f e

c o n t i n u e s . B y d o i n g s o , t h e b e s t e l e m e n t s a r e t r e a t e d a s ` s u p e r - i n d i v i d u a l s ' a n d

m a t e d t o g e t h e r , h o p i n g t h a t t h i s c a n l e a d t o a t t e r p o p u l a t i o n . T h e s e c o n c e p t s

a r e t a k e n f r o m o t h e r s c i e n c e s a n d m i m i c a n i m a l b r e e d i n g . A n o t h e r f e a t u r e o f

B G A s i s t h e f a c t t h a t t h e y r e p r e s e n t s o l u t i o n s a s s e q u e n c e s o f r e a l n u m b e r s ,

r a t h e r t h a n s e q u e n c e s o f b i t s o r i n t e g e r s , s o t h e y a l l o w a r e p r e s e n t a t i o n o f a

p h e n o m e n o n m u c h c l o s e r t o t h e r e a l i t y t h a n d i s c r e t e G A s .

A B G A c a n b e f o r m a l l y d e s c r i b e d b y :

B G A = ( P

0

; N ; T ; ? ; ; A ; ) ( 1 )

w h e r e P

0

i s t h e i n i t i a l r a n d o m p o p u l a t i o n , N t h e p o p u l a t i o n s i z e , T t h e

t r u n c a t i o n t h r e s h o l d , ? t h e r e c o m b i n a t i o n o p e r a t o r , t h e m u t a t i o n o p e r a t o r ,

A t h e t n e s s f u n c t i o n a n d a t e r m i n a t i o n c r i t e r i o n .

T y p i c a l r e c o m b i n a t i o n o p e r a t o r s a r e t h e D i s c r e t e R e c o m b i n a t i o n ( D R ) ,

t h e E x t e n d e d L i n e R e c o m b i n a t i o n ( E L R ) a n d t h e E x t e n d e d I n t e r m e d i a t e

R e c o m b i n a t i o n ( E I R ) 1 0 ] . D R m i x e s t h e a l l e l e s i n t h e s e q u e n c e s a n d c a n

o n l y g e n e r a t e c o r n e r s i n t h e h y p e r c u b e d e n e d b y t h e s e q u e n c e s , w h e r e a s

E L R a n d E I R g e n e r a t e a n e w a l l e l e b y m e a n s o f a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

t h e c o r r e s p o n d i n g a l l e l e s a n d c a n g e n e r a t e r e s p e c t i v e l y a n y p o i n t o n t h e l i n e s

c o n n e c t i n g t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t i c e s a n d i n t h e v o l u m e o f t h e h y p e r c u b e d e n e d

b y t h e s e q u e n c e s . T y p i c a l m u t a t i o n o p e r a t o r s a r e d i s c r e t e a n d c o n t i n u o u s B G A

m u t a t i o n s c h e m e s . A w i d e r e x p l a n a t i o n o f t h e s e o p e r a t o r s c a n b e f o u n d i n 1 0 ] .

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


3 T h e t e s t p r o b l e m f a c e d

W e h a v e c h o s e n a t y p i c a l i n v e r s e d e s i g n p r o b l e m , k n o w n i n l i t e r a t u r e a s E u r o p t

T 4 p r o b l e m , a s a t e s t f o r o u r t e c h n i q u e . G i v e n a s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n C p ,

a t a p r e x e d o p e r a t i n g c o n d i t i o n , t h e i n v e r s e p r o b l e m f a c e d c o n s i s t s i n r e a c h i n g

t h e a e r o f o i l c o n g u r a t i o n w i t h t h e x e d C p d i s t r i b u t i o n a t t h e s a m e o p e r a t i n g

c o n d i t i o n . T h e c l o s e r w e g e t t o t h i s g o a l c o n g u r a t i o n , t h e b e t t e r t h e t e c h n i q u e .

I n t h i s w o r k , t h e B G A s t e c h n i q u e h a s b e e n e m p l o y e d f o r t h e r e c o n s t r u c t i o n o f

t h e K o r n A e r o f o i l f o r s u b s o n i c i n v i s c i d o w s t a r t i n g f r o m t h e N A C A 6 4 A 4 1 0

a e r o f o i l ( F i g . 1 ) . T h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n s c o n s i d e r e d f o r t h e d e s i g n t a s k a r e t h e

f o l l o w i n g : M = 0 : 7 5 a n d a n g l e o f a t t a c k

1

e q u a l t o z e r o , w h e r e M i s t h e M a c h

n u m b e r

2

.

T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n u s e d f o r o u r i n v e r s e p r o b l e m i s t h e c l a s s i c a l r e f e r r e d

t o i n l i t e r a t u r e f o r t h i s k i n d o f p r o b l e m s d e n e d a s f o l l o w s :

O b j ( x ) =

I

?

C p ( x ; s ) ? C p

t

( s )

2

d s ( 2 )

w h e r e C p a n d C p

t

a r e r e s p e c t i v e l y t h e c u r r e n t a n d t h e t a r g e t p r e s s u r e

d i s t r i b u t i o n a t t h e o p e r a t i n g c o n d i t i o n a n d s i s t h e a r c l e n g t h a l o n g t h e C p s h a p e

. T h e t n e s s f u n c t i o n o f a g e n e r a t e d a e r o f o i l i s p r o p o r t i o n a l t o t h e i n v e r s e o f t h e

o b j e c t i v e f u n c t i o n ( 2 ) s o t h e p r o b l e m b e c o m e s a t y p i c a l m a x i m i s a t i o n p r o b l e m

a n d a t n e s s o f i n n i t e v a l u e w o u l d m e a n t h a t t h e t w o C p s h a p e s a r e a b s o l u t e l y

i d e n t i c a l .

3 . 1 A e r o f o i l g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n

T h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e a e r o f o i l g e o m e t r y i s a v e r y i m p o r t a n t i s s u e f o r t h e s e

p r o b l e m s . U s u a l l y , r e s e a r c h e r s w o r k i n g i n t h e e l d o f t h e a e r o d y n a m i c d e s i g n u s e

e i t h e r a r e p r e s e n t a t i o n g i v e n i n p o i n t s m o d i f y i n g t h e g e o m e t r y b y m e a n s o f a

s e t o f a d h o c m o d i c a t i o n f u n c t i o n s o r a B - s p l i n e r e p r e s e n t a t i o n 1 3 ] c o n s i s t i n g

i n a s e t o f p o i n t s w h i c h c o n t r o l t h e c u r v e ( t h e a e r o f o i l ) g e o m e t r y . T h e l a t t e r

r e p r e s e n t a t i o n s e e m s b e t t e r b e c a u s e i t a l l o w s t o g e n e r a t e c u r v e s i n a g e n e r a l w a y

a n d , i f i t i s n e e d e d , p e r m i t s t o x s o m e c o n t r o l p o i n t s a n d m o v e t h e r e m a i n i n g

o n e s a l l o w i n g a l o c a l o p t i m i s a t i o n . T h i s i s t h e r e a s o n w h y w e h a v e u s e d i t d e n i n g

a c l o s e d c u r v e w i t h a s e t o f m c o n t r o l p o i n t s . S u c h a c u r v e v a r i e s a s a f u n c t i o n

o f a p a r a m e t e r c a l l e d d e g r e e o f t h e c u r v e ( t h e h i g h e r t h e d e g r e e t h e s o f t e r t h e

c u r v e , w i t h o u t s p i k e s , a n d t h e f a r t h e r t h e s h a p e f r o m t h e c o n t r o l p o i n t s ) . I f w e

l e t t h e s e c o n t r o l p o i n t s s l i g h t l y m o v e w i t h i n g i v e n r a n g e s , w e w i l l o b t a i n n e w

c u r v e s , s o n e w a e r o f o i l s . T h e p a r a m e t e r s t o b e o p t i m i s e d a r e , t h u s , t h e p o s i t i o n s

o f t h e s e c o n t r o l p o i n t s .

1

T h e a n g l e o f a t t a c k i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e s e g m e n t c o n n e c t i n g t h e T r a i l i n g w i t h

L e a d i n g E d g e s a n d t h e d i r e c t i o n o f t h e f r e e s t r e a m .

2

T h e M a c h n u m b e r i s d e n e d a s t h e r a t i o b e t w e e n t h e o w v e l o c i t y V a n d t h e s o u n d

v e l o c i t y c a t t h e s a m e p o i n t .

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y / c

x/c

TARGET (NACA64A410 Airfoil)INITIAL (KORN Airfoil)

F i g . 1 . T h e i n i t i a l a n d t a r g e t a i r f o i l .

F o r o u r p r o b l e m w e h a v e d e n e d a s e t o f c o n t r o l p o i n t s b o t h f o r t h e u p p e r

a n d t h e l o w e r a e r o f o i l s h a p e B

0

= f B

0

1

; : : : ; B

0

m

g a n d t h e f o l l o w i n g v a r i a t i o n

h a s b e e n a l l o w e d W = f W

1

; : : : ; W

m

g . H e n c e , t h e v a r i a t i o n l a w t h a t h a s b e e n

d e n e d f o r e a c h c o n t r o l p o i n t i s t h e f o l l o w i n g :

B

i

x

= B

0

i

x

+ W

i

x

; B

i

y

= B

0

i

y

+ W

i

y

( 3 )

T h e a e r o f o i l s h a p e h a s b e e n d e n e d u s i n g t w o o p e n B - s p l i n e c u r v e s o f d e g r e e

4 w i t h 9 c o n t r o l p o i n t s f o r b o t h t h e u p p e r a n d l o w e r s u r f a c e . T h e i n i t i a l a n d

n a l p o i n t s , i . e . B

0

1

= ( 0 : 0 ; 0 : 0 ) a n d B

0

9

= ( 1 : 0 ; 0 : 0 ) , h a v e b e e n x e d o n b o t h t h e

c u r v e s f o r c l o s i n g t h e a e r o f o i l a n d t h e r e m a i n i n g o n e s a r e l e t f r e e t o m o v e . S o ,

w e h a v e 1 4 c o n t r o l p o i n t s c o r r e s p o n d i n g t o 2 8 c o o r d i n a t e s t o b e o p t i m i s e d . T h e

v a r i a t i o n s W

i

x

a n d W

i

y

o f e a c h c o n t r o l p o i n t a r e i n t h e r a n g e ? 0 : 0 4 ; 0 : 0 4 ] . T h i s

i s a v e r y g e n e r a l a p p r o a c h b e c a u s e n o s p e c i c k n o w l e d g e o f t h e d e s i r e d n a l

s h a p e h a s b e e n u s e d , d i e r e n t l y f r o m o t h e r a p p r o a c h e s w h i c h a l l o w a d i e r e n t

r a n g e f o r e a c h p o i n t . H e n c e , w e h a v e c o m p u t e d t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y g o n w h i c h

d e n e s t h e N A C A 6 4 A 4 1 0 a e r o f o i l g e o m e t r y u s i n g i t a s t h e i n i t i a l p o l y g o n f o r

t h e g e n e t i c o p t i m i s a t i o n .

4 A p a r a l l e l B G A v e r s i o n

T h e h i g h c o m p u t a t i o n t i m e , r e q u i r e d b y b o t h t h e o w e l d s o l v e r f o r t h e

e v a l u a t i o n o f t h e g o o d n e s s o f e a c h p r o l e a n d t h e h i g h n u m b e r o f e v a l u a t i o n s

n e e d e d b y c l a s s i c a l G A s o r B G A s t o e x p l o r e h u g e s e a r c h s p a c e s , l e a d s t o e x p l o i t

e x p l i c i t p a r a l l e l i s m .

M a n y r e s e a r c h e s h a v e b e e n e e c t e d o n G A s w i t h t h e a i m t o d e s i g n e e c t i v e

p a r a l l e l a p p r o a c h e s 1 4 , 1 5 , 1 6 ] . T h e m o t i v a t i o n b e h i n d t h e s t u d i e s o f p a r a l l e l

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


v e r s i o n s i s t w o f o l d . T h e r s t g o a l i s t o r e d u c e t h e p r o c e s s i n g t i m e n e c e s s a r y

t o r e a c h a n a c c e p t a b l e s o l u t i o n a n d t h e s e c o n d i s t o n d b e t t e r s o l u t i o n s w i t h

r e s p e c t t o t h e s e q u e n t i a l v e r s i o n .

A m o n g t h e p a r a l l e l a p p r o a c h e s i n t r o d u c e d , t h e c o a r s e { g r a i n e d m o d e l 1 7 ] ,

u s u a l l y i m p l e m e n t e d o n d i s t r i b u t e d M I M D c o m p u t e r s , s e e m s t o b e t h e m o s t

i n t e r e s t i n g . I n t h i s a p p r o a c h , t h e p o p u l a t i o n s h o u l d b e d i v i d e d i n t o a f e w

s u b p o p u l a t i o n s a n d a m i g r a t i o n p r o c e s s i s u s e d t o s e n d s o m e i n d i v i d u a l s f r o m o n e

s u b p o p u l a t i o n t o a n o t h e r . I n t h i s c o n t e x t w e h a v e i m p l e m e n t e d a s i m p l e p a r a l l e l

v e r s i o n w h i c h c o n s i s t s o f a s e t o f f o u r c l a s s i c a l B G A s , r u n n i n g i n p a r a l l e l , e a c h

a s s i g n e d t o a d i e r e n t p r o c e s s i n g e l e m e n t i n a c o m p l e t e l y c o n n e c t e d t o p o l o g y ,

t h u s t h e l o c a l s e a r c h e s a r e l i n k e d t o g e t h e r a l l o w i n g , i n e a c h g e n e r a t i o n , a n

e x c h a n g e o f t h e c u r r e n t b e s t i n d i v i d u a l s a m o n g a l l p r o c e s s e s .

F r o m t h e C o m p u t e r S c i e n c e p o i n t o f v i e w , t h e r e i s n o t a u n i q u e d e n i t i o n t o

m e a s u r e t h e p e r f o r m a n c e o f p a r a l l e l a l g o r i t h m s , s o r e s e a r c h e r s a d o p t d i e r e n t

c r i t e r i a t o e v a l u a t e t h e g o o d n e s s o f t h e i r a l g o r i t h m s . T h e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n

b e c o m e s e v e n m o r e d i c u l t f o r t h e p r o b a b i l i s t i c s e a r c h s t r a t e g i e s . S i n c e i n a

p r e v i o u s p a p e r 1 8 ] w e h a v e t e s t e d t h e B G A o n t h e s a m e p r o b l e m a n d w e h a v e

f o u n d t h e b e s t s e q u e n t i a l v e r s i o n i n t e r m s o f t h e o p t i m a l s e t o f t h e g e n e t i c

p a r a m e t e r s ( p o p u l a t i o n s i z e N , t r u n c a t i o n r a t e T , : : : ) , i n t h i s w o r k t h e a p p r o a c h

a d o p t e d c o n s i s t s i n d e s i g n i n g a p a r a l l e l v e r s i o n s t a r t i n g f r o m t h e o p t i m a l s e t o f

v a l u e s f o u n d . C o n s e q u e n t l y , a s e t o f N

P r o c

p r o c e s s e s w i t h a p o p u l a t i o n s i z e N

p

e q u a l t o N = N

P r o c

i s a l l o c a t e d o n t h e p a r a l l e l s y s t e m . W e w i l l a d o p t t w o c r i t e r i a

f o r t h e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n : a t p a r i t y o f t h e n a l s o l u t i o n a n d o f t h e n u m b e r

o f e v a l u a t i o n s .

T h e p s e u d o { c o d e o f a g e n e r i c l o c a l s e a r c h p r o c e s s i s d e l i n e a t e d i n t h e

f o l l o w i n g :

P r o c e d u r e B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m

b e g i n

r a n d o m l y g e n e r a t e a n i n i t i a l p o p u l a t i o n o f N

p

i n d i v i d u a l s ;

e v a l u a t e g o o d n e s s o f e a c h i n d i v i d u a l ;

w h i l e ( t e r m i n a t i o n c r i t e r i o n n o t f u l l l e d ) d o

s a v e t h e b e s t i n d i v i d u a l i n t h e n e w p o p u l a t i o n ;

s e l e c t t h e b e s t T % i n d i v i d u a l s ;

f o r i = 1 t o N

p

? 1 d o

r a n d o m l y s e l e c t t w o e l e m e n t s a m o n g t h e T % ;

r e c o m b i n e t h e m s o a s t o o b t a i n o n e o s p r i n g ;

p e r f o r m m u t a t i o n o n t h e o s p r i n g ;

e v a l u a t e g o o d n e s s o f t h e o s p r i n g ;

o d

s e n d t h e c u r r e n t b e s t i n d i v i d u a l t o t h e m a s t e r p r o c e s s ;

b r o a d c a s t t h e c u r r e n t b e s t i n d i v i d u a l ;

e x p l o i t t h e r e c e i v e d s o l u t i o n s ;

u p d a t e v a r i a b l e s f o r t e r m i n a t i o n ;

o d

e n d

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


Wix,Wiy Flow FieldPBGA

Solver

AerofoilB-spline

Physical requirements

Cp

Initial Population

Module

F i g . 2 . T h e c a s c a d e o f t h e s y s t e m s e m p l o y e d .

T h e m a s t e r p r o c e s s i s s i m p l y a c o l l e c t o r o f t h e c u r r e n t l o c a l b e s t s o l u t i o n s o f

t h e ` s l a v e ' p r o c e s s e s a n d s a v e s t h e b e s t e l e m e n t a t e a c h g e n e r a t i o n . A s r e g a r d s

t h e e x p l o i t a t i o n o f t h e r e c e i v e d s o l u t i o n s , t h e s e r e p l a c e t h e w o r s t e l e m e n t s ( i n

o u r c a s e 3 e l e m e n t s ) i n e a c h l o c a l p o p u l a t i o n .

T h e o v e r a l l s y s t e m i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 .

5 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s

W e h a v e m a d e p r e l i m i n a r y s e t s o f e x p e r i m e n t s f o r t h e s e q u e n t i a l B G A i n o r d e r

t o n d t h e b e s t v a l u e s f o r t h e c o n t r o l p a r a m e t e r s a n d t h e b e s t c o m b i n a t i o n

f o r t h e g e n e t i c o p e r a t o r s 1 8 ] . T h e r e s u l t s h a v e l e d t o a B G A v e r s i o n w i t h E I R

a n d c o n t i n u o u s m u t a t i o n o p e r a t o r s , w h i c h d e n e s t h e r e c o m b i n a t i o n i n t e r v a l

? ; 1 + ] e q u a l t o 0 : 2 5 a n d a w h i c h s p e c i e s t h e m u t a t i o n i n t e r v a l e q u a l t o

0 : 5 . T h e p o p u l a t i o n s i z e i s N = 1 2 0 a n d t h e t r u n c a t i o n r a t e T = 1 0 % . A l l t h e

t e s t s h a v e b e e n p e r f o r m e d o n a p a r a l l e l m a c h i n e , t h e M e i k o C o m p u t i n g S u r f a c e

2 . I t i s a d i s t r i b u t e d g l o b a l m e m o r y a r c h i t e c t u r e i n w h i c h e v e r y p r o c e s s i n g

e l e m e n t h a s m o r e C P U s , a n d i t s o w n l o c a l m e m o r y s y s t e m . W e h a v e u s e d f o r t h e

p a r a l l e l i m p l e m e n t a t i o n t h e P a r a l l e l V i r t u a l M a c h i n e ( P V M ) a s m e s s a g e { p a s s i n g

p a r a d i g m a m o n g t h e n o d e s . I t s h o u l d b e p o i n t e d o u t t h a t a o a t r e p r e s e n t a t i o n

h a s b e e n c h o s e n f o r t h e v a r i a b l e s i n v o l v e d a n d , a s a c o n s e q u e n c e , t h e r e s u l t i n g

p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s o f t h e s e a r c h s p a c e a r e ' 1 0

1 6 3

. B G A c o d e s h a v e b e e n

w r i t t e n i n A N S I C p r o g r a m m i n g l a n g u a g e , w h i l e t h e a e r o d y n a m i c a n a l y s i s c o d e

i s a n i n v i s c i d f u l l p o t e n t i a l o w e l d s o l v e r w r i t t e n i n F O R T R A N 7 7 .

A d e c o m p o s i t i o n o f t h e p o p u l a t i o n s i z e N h a s b e e n e e c t e d , s o e a c h p r o c e s s

h a s N

p

= 3 0 w i t h t h e s a m e t r u n c a t i o n p e r c e n t a g e , s o 3 e l e m e n t s a r e s e l e c t e d

f o r m a t i n g . D u e t o t h e a p p r o x i m a t i o n s , a t n e s s v a l u e s o f a b o u t 1 0 0 ; 0 0 0 h a s

b e e n x e d a s s t o p c r i t e r i u m . T h i s v a l u e r e p r e s e n t s t h e m i n i m u m t n e s s v a l u e

r e p r e s e n t a t i v e o f s h a p e s s a t i s f y i n g t h e p r o b l e m . I n F i g . 3 ( a ) , t h e e v o l u t i o n

p r o c e s s i n t e r m s o f m a x i m u m a n d a v e r a g e t n e s s o v e r 1 0 r u n s i s d e p i c t e d .

C o m p a r i n g t h e B G A a n d t h e P B G A a t p a r i t y o f t h e n a l s o l u t i o n , t h e

s p e e d u p i n t e r m s o f r a t i o o f s e q u e n t i a l a n d p a r a l l e l c o n v e r g e n c e t i m e i s e q u a l

t o 6 : 1 5 . T h i s v a l u e h a s b e e n c o m p u t e d n e g l e c t i n g t h e t i m e d u e t o t h e m e s s a g e

p a s s i n g b e c a u s e t h e t i m e c o n s u m e d b y t h e B G A a n d b y t h e o w e l d s o l v e r

i s m u c h h i g h e r . O n t h e o t h e r h a n d , t h e r a t i o b e t w e e n t h e t o t a l n u m b e r o f

e v a l u a t i o n s p e r f o r m e d b y t h e B G A a n d b y t h e P B G A i s e q u a l t o 1 : 5 4 . T h e s e

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


r e s u l t s p r o v e t h a t w h i l e f o r t h e r s t s p e e d u p i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n g o o d v a l u e s

a n d ` s u p e r { s p e e d u p s ' f o r t h e s e c o n d t h e g a i n i s n o t c o m p a r a b l e t o t h e r s t

o n e . F r o m t h e g e n e t i c p o i n t o f v i e w i t i s i n t e r e s t i n g t o e v a l u a t e t h e m i g r a t i o n

e e c t s i n t h e e v o l u t i o n p r o c e s s b y c o m p a r i n g t h e B G A a n d t h e P B G A a t t h e

s a m e n u m b e r o f e v a l u a t i o n s . I n F i g . 3 ( a ) i t c a n b e n o t e d t h a t t h e n a l s o l u t i o n

o f t h e P B G A s h o w s a l w a y s h i g h e r q u a l i t y . I t s h o u l d a l s o b e p o i n t e d o u t t h a t

t h i s s o l u t i o n h a s b e e n o b t a i n e d i n a q u a r t e r o f t h e t i m e r e q u i r e d b y t h e B G A .

N o t e t h a t t h e c o m p a r i s o n s h o u l d b e d o n e a g a i n s t a B G A w i t h a p o p u l a t i o n s i z e

e q u a l t o 3 0 a n d t h a t , a s s a i d , t h e B G A e m p l o y e d w i t h N = 1 2 0 o u t p e r f o r m s

t h e a b o v e , s o t h e r e s u l t s o b t a i n e d a r e e v e n m o r e m e a n i n g f u l f r o m t h e p a r a l l e l

p o i n t o f v i e w . T h e s e r e s u l t s h a v e a v e r y i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n i n t h e i n d u s t r i a l

a p p l i c a t i o n s , l i k e t h a t u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I n f a c t , t h e n a l a i m i n t h i s c o n t e x t i s

t o d e s i g n a i r c r a f t w i n g s , s o i t s h o u l d b e d e s i r a b l e t o o b t a i n a s o l u t i o n a s c l o s e a s

p o s s i b l e t o t h e p h y s i c a l r e q u i r e m e n t s f o r b o t h i n { a n d o { d e s i g n c o n d i t i o n s i n t h e

l o w e s t p o s s i b l e t i m e . F i g . 3 ( b ) a n d F i g . 3 ( c ) r e p o r t r e s p e c t i v e l y t h e i n i t i a l , t h e

t a r g e t a n d t h e c o m p u t e d a e r o f o i l s a n d t h e r e l a t i v e d i s t r i b u t i o n s o f t h e p r e s s u r e

c o e c i e n t C p o b t a i n e d b y t h e B G A a n d t h e P B G A i n t h e b e s t e x e c u t i o n .

6 C o n c l u s i o n s a n d f u t u r e w o r k

I n t h i s w o r k w e h a v e a p p l i e d a p a r a l l e l v e r s i o n o f t h e B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m s

t o a t y p i c a l d e s i g n p r o b l e m i n A e r o d y n a m i c s , t h e i n v e r s e p r o b l e m f o r a e r o f o i l

o p t i m i s a t i o n . T h e p a r a l l e l a l g o r i t h m c o n s i s t s i n a s i m p l e c o a r s e { g r a i n e d m o d e l

c o n s t i t u t e d b y f o u r B G A p r o c e s s e s w h i c h e x c h a n g e l o c a l b e s t i n d i v i d u a l s .

P e r f o r m a n c e o f t h e p a r a l l e l a l g o r i t h m i s s h o w n i n t e r m s o f s p e e d u p a t p a r i t y

o f t h e n a l s o l u t i o n a n d o f t h e n u m b e r o f e v a l u a t i o n s .

A l l t h e e x p e r i m e n t s h a v e e v i d e n c e d t h e e e c t i v e n e s s a n d t h e e c i e n c y o f t h e

p a r a l l e l a p p r o a c h t o B G A s .

A s c o n c e r n s o u r f o r e s e e n f u t u r e w o r k i n t h i s a r e a , w e w i s h t o p e r f o r m f u r t h e r

t e s t s w i t h B G A s o n m u l t i - o b j e c t i v e c o n s t r a i n e d p r o b l e m s . F u r t h e r m o r e w e a i m

t o i m p l e m e n t a m o r e s o p h i s t i c a t e d p a r a l l e l a p p r o a c h t o f a c e h a r d e r p r o b l e m s .

R e f e r e n c e s

1 . G . N . V a n d e r p l a a t s , N u m e r i c a l O p t i m i z a t i o n T e c h n i q u e s f o r E n g i n e e r i n g D e s i g n :

w i t h A p p l i c a t i o n s . M c G r a w H i l l , N e w Y o r k , 1 9 8 4 .

2 . G . S . D u l i k r a v i c h , \ A e r o d y n a m i c S h a p e D e s i g n a n d O p t i m i z a t i o n , " T e c h . R e p . 9 1 -

0 4 7 6 , A I A A P a p e r , J a n . 1 9 9 1 .

3 . P . D . F r a n k a n d G . R . S h u b i n , \ A C o m p a r i s o n o f O p t i m i z a t i o n { b a s e d A p p r o a c h e s

f o r a M o d e l C o m p u t a t i o n a l A e r o d y n a m i c D e s i g n P r o b l e m , " B o e i n g C o m p u t e r

S e r v . , A p r . 1 9 9 0 .

4 . J . A . v a n E g m o n d , \ N u m e r i c a l O p t i m i z a t i o n o f T a r g e t P r e s s u r e D i s t r i b u t i o n s f o r

S u b s o n i c a n d T r a n s o n i c A i r f o i l D e s i g n , " i n P r o c e e d i n g s o f A G A R D C o n f e r e n c e o n

C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s f o r A e r o d y n a m i c D e s i g n ( I n v e r s e ) a n d O p t i m i z a t i o n , n o .

4 6 3 , r e f . 1 7 , M a r . 1 9 9 0 .

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


5 . J . H . H o l l a n d , A d a p t a t i o n i n N a t u r a l a n d A r t i c i a l S y s t e m s . M I T P r e s s , 1 9 7 5 .

6 . D . E . G o l d b e r g , G e n e t i c A l g o r i t h m s i n S e a r c h , O p t i m i z a t i o n a n d M a c h i n e

L e a r n i n g . A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M a s s . , 1 9 8 9 .

7 . S . O b a y a s h i a n d S . T a k a n a s h i , \ G e n e t i c O p t i m i z a t i o n o f T a r g e t P r e s s u r e

D i s t r i b u t i o n s f o r I n v e r s e D e s i g n M e t h o d s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 2 t h A I A A

C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , S a n D i e g o , C A , J u n 1 9 - 2 2 1 9 9 5 .

8 . I . D e F a l c o , R . D e l B a l i o , A . D e l l a C i o p p a a n d E . T a r a n t i n o , \ A P a r a l l e l G e n e t i c

A l g o r i t h m f o r T r a n s o n i c A i r f o i l O p t i m i s a t i o n , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n E v o l u t i o n a r y C o m p u t i n g , P e r t h , U n i v e r s i t y o f W e s t e r n

A u s t r a l i a , A u s t r a l i a , p p . 4 2 9 { 4 3 4 , 1 9 9 5 .

9 . H . M u h l e n b e i n a n d D . S c h l i e r k a m p - V o o s e n , \ A n a l y s i s o f S e l e c t i o n , M u t a t i o n a n d

R e c o m b i n a t i o n i n G e n e t i c A l g o r i t h m s , " N e u r a l N e t w o r k W o r l d , v o l . 3 , p p . 9 0 7 {

9 3 3 , 1 9 9 3 .

1 0 . H . M u h l e n b e i n a n d D . S c h l i e r k a m p - V o o s e n , \ P r e d i c t i v e M o d e l s f o r t h e b r e e d e r

G e n e t i c A l g o r i t h m I . C o n t i n u o u s P a r a m e t e r O p t i m i z a t i o n , " E v o l u t i o n a r y

C o m p u t a t i o n , v o l . 1 , n o . 1 , p p . 2 5 { 4 9 , 1 9 9 3 .

1 1 . H . M u h l e n b e i n a n d D . S c h l i e r k a m p - V o o s e n , \ T h e S c i e n c e o f B r e e d i n g a n d i t s

A p p l i c a t i o n t o t h e B r e e d e r G e n e t i c A l g o r i t h m , " E v o l u t i o n a r y C o m p u t a t i o n , v o l . 1 ,

p p . 3 3 5 { 3 6 0 , 1 9 9 4 .

1 2 . T . B a c k , F . H o m e i s t e r a n d H . S c h w e f e l , \ A S u r v e y o f E v o l u t i o n S t r a t e g i e s , "

i n P r o c e e d i n g s o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n G e n e t i c A l g o r i t h m s ,

( R . K . B e l e w , L . B . B o o k e r , e d s . ) , p p . 2 { 1 2 , M . K a u f m a n n P u b l i s h e r , 1 9 9 1 .

1 3 . D . E . R o g e r s , M a t h e m a t i c a l E l e m e n t s f o r C o m p u t e r G r a p h i c s . A d d i s o n - W e s l e y ,

R e a d i n g , M a s s . , 1 9 8 9 .

1 4 . R . T a n e s e , \ D i s t r i b u t e d G e n e t i c A l g o r i t h m s , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e 3 r d

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n G e n e t i c A l g o r i t h m s , ( J . D . S c h a e r , e d . ) , p p . 4 3 4 {

4 3 9 , M . K a u f m a n n P u b l i s h e r , 1 9 8 9 .

1 5 . B . M a n d e r i c k a n d P . S p i e s s e n s , \ F i n e { g r a i n e d P a r a l l e l G e n e t i c A l g o r i t h m s , "

i n P r o c e e d i n g s o f t h e 3 r d I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n G e n e t i c A l g o r i t h m s ,

( J . D . S c h a e r , e d . ) , p p . 4 2 8 { 4 3 3 , M . K a u f m a n n P u b l i s h e r , 1 9 8 9 .

1 6 . H . M u h l e n b e i n , M . S c h o m i s c h a n d J . B o r n , \ T h e P a r a l l e l G e n e t i c A l g o r i t h m a s

F u n c t i o n O p t i m i z e r , " P a r a l l e l C o m p u t i n g , v o l . 1 7 , p p . 6 1 9 { 6 3 2 , 1 9 9 1 .

1 7 . E . C a n t u { P a z , \ A S u m m a r y o f R e s e a r c h o n P a r a l l e l G e n e t i c A l g o r i t h m s " I l l i G A L

R e p o r t , n o . 9 5 0 0 7 , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a { C h a m p a i g n , U S A , J u l y 1 9 9 5 .

1 8 . I . D e F a l c o , R . D e l B a l i o , A . D e l l a C i o p p a a n d E . T a r a n t i n o , \ B r e e d e r G e n e t i c

A l g o r i t h m f o r A i r f o i l D e s i g n O p t i m i s a t i o n , " i n P r o c e e d i n g s o f t h e I E E E

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n E v o l u t i o n a r y C o m p u t i n g , N a g o y a , J a p a n , p p . 7 1 { 7 5 ,

1 9 9 6 .

7/30/2019 10.1.1.50.9398[1]


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

F

i t n e s s

Generation

(a)

BGA BestBGA Average

PBGA BestPBGA average

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y / c

x/c

(b)

TARGETCOMPUTED (SEQUENTIAL)

COMPUTED (PARALLEL)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

C p

x/c

(c)

TARGETCOMPUTED (SEQUENTIAL)

COMPUTED (PARALLEL)

F i g . 3 . T h e r e s u l t s o b t a i n e d b y m e a n s o f t h e B G A a n d t h e P B G A .

10.1.1.50.9398[1]

Documents