Le precipitazioni estreme Chi quadro

Riccardo Rigon

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19

13

R. Rigon

Il 2

Se una variabile X distribuita secondo un curva normale a media nulla e

varianza unitaria, allora la variabile

e distribuita secondo la distribuzione del Chi quadrato (come fu provato

da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con

che una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione

Gamma. Lunico parametro chiamato gradi di libert

!2

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

La distribuzione, in effetti, :

E la sua cumulata:

dove la funzione gamma incompleta()

Il 2

from Wikipedia

!3

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

La funzione gamma incompleta

La funzione Gamma

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Il 2

from Wikipedia

!5

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Il valore atteso della distribuzione pari al numero di gradi di libert

Il 2

La varianza pari a due volte il numero di gradi di libert

E(k) = k

V ar(k) = 2k

from Wikipedia

!6

La moda pari a

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

In generale il usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per

stimare la bont di una inferenza, ed in particolare luguguglianza di una

distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il

test ha la forma generale

Il 2

2

from Wikipedia

!7

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Il 2

Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia

distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei

quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libert pari al numero

di addendi diminuito di 1.

2

from Wikipedia

!8

In altre parole, nellipotesi di ripetere un numero illimitato di volte

lesperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione

degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dellesperimento, sia un con

k-1 gradi di libert.

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Ovvero

Se i dati riproducono perfettamente lipotesi,

Il valore atteso dellerrore per pari al numero di gradi di libert, k.

Un certo numero di campioni sfortunati avr un elevato

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Ovvero

Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:

se i dati provengono dalla distribuzione ipotizzata, ma il campione relativamente raro

se i dati NON sono rari MA provengono da unaltra distribuzione 10

Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Il ha importanza perch possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. Lipotesi zero:

Il 2

2

from Wikipedia

E il suo contrario, l ipotesi alternativa:

che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione

che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Non c possibilit di distinguere un caso dallaltro

Lanalisi statistica NON in grado di distinguere il falso dal

vero con certezza

Per ci si pu accordare che, per esempio, il nostro campione ha una

differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),

ovvero un X2, che si rivela pi di una volta su venti su possibili

ripetizioni dellesperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti

tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) lipotesi che

i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.

Dunque lipotesi zero si accetta e si rigetta lipotesi alternativa, con una

confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Laccettazione dellipotesi zero

E dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato

secondo un criterio assunto come ragionevole.

Per questo si usa tradizionalmente la dizione: non si pu rigettare, invece di si

accetta.

A ben vedere per, la questione di come si dice, non veramente sostanziale.

Il criterio per quanto soggettivo organizzato quantitativamente, e d risultati

ripetibili.

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

In pratica

Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilit

ovvero:

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Se

Si rigetta lipotesi zero

Viceversa

si accetta (nel gergo statistico: non si pu rigettare)

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Ancora sul test di Pearson

R. Rigon

Corollario

Avendo a disposizione pi ipotesi zero valide

Si accetta

Quella con pi piccolo

Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di

confidenza.

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Ancora sul test di Pearson