FERRORESONANCIA SERIEEN TRANSFORMADORES DE TENSIÓN

SERIAL FERRORESONANCEIN VOLTAGE TRANSFORMERS

1. Descripción del Fenómeno de la Ferrorresonancia Serie ......................

2. Ferrorresonancia Fundamental y Subarmónica ....................................

2.1. Ferrorresonancia Fundamental ....................................................

2.2. Ferrorresonancia Subarmónica ...................................................

3. Cálculos y Ecuaciones .......................................................................

4. Resultados experimentales obtenidos con ensayos sobre Circuitos en

Ferrorresonancia Fundamental ...........................................................

5. Referencias ......................................................................................

1

3

3

4

6

11

11

1

3

3

4

6

11

11

1. Description of the Serial Ferroresonance Phenomenon ..............................

2. Fundamental and Subharmonic Ferroresonance ........................................

2.1. Fundamental Ferroresonance ...........................................................

2.2. Subharmonic Ferroresonance ...........................................................

3. Calculations and Equations ......................................................................

4. Results of Tests on Circuits in Fundamental Ferroresonance .....................

5. References ..........................................................................................

INDICE PÁGINA

PAGEIND EX

RESUMEN

Se describe en este artículo el fenómeno de la ferrorre-sonancia serie en los casos de ferrorresonancia funda-mental y subarmónica. Partiendo del circuito completo R-L-C en ferrorresonancia se determina el valor mínimo detensión de red que sostiene el fenómeno. Se compara,para el caso de ferrorresonancia fundamental, el resulta-do de diversas experiencias de laboratorio con los cálcu-los efectuados. La aplicación de lo aquí desarrollado esinmediata al caso de los transformadores de tensióninductivos y capacitivos.

1. DESCRIPCION DEL FENOMENO DE LA FERRORRESONANCIA SERIE

En un circuito serie R-L-C, para una tensión aplicada,siempre circula la misma corriente, puesto que sus com-ponentes están caracterizados por ser constantes y portanto invariables con la corriente, la tensión o el tiempo.

Sin embargo, si en el mismo circuito introducimos comoparámetro del circuito una autoinducción (1) variable con lacorriente o la tensión en sus bornes, nos encontramos conla posibilidad de que se produzca un régimen sostenido decorrientes y tensiones dentro del circuito totalmente distintoal esperado para una determinada tensión de alimentación.

ABSTRACT

This article describes the serial ferroresonance pheno-menon in the cases of fundamental and subharmonicferroresonance. Starting from the complete R-L-C circuitin ferroresonance, the minimum network voltage whichsustains the phenomenon is determined. In the case offundamental ferroresonance, the results of various labo-ratory experiments are compared with the carried out cal-culations. These points are immediately applicable to thecase of inductive and capacitive voltage transformers.

1. DESCRIPTION OF THE SERIAL FERRORESONANCE PHENOMENON

In a serial R-L-C circuit, for an applied voltage, a constantcurrent always flows through the circuit, since its compo-nents are characterized by being constant and thereforenon-variable with current, voltage or time.

However, if we introduce as a parameter of the same circuita self inductance (1) variable with the current or the volta-ge in its terminals, we find ourselves with the possibilitythat a sustained range of currents and voltages may be pro-duced within the circuit totally different from that expectedfor a determined supply voltage.

Ferrorresonancia Serie enTransformadores de TensiónInductivos y Capacitivos.

Serial Ferroresonance in Inductive and Capacitive Voltage Transformers.

ADOLFO IBEROElectrotécnica Arteche Hnos., S.A. - Mungia

1

La forma clásica de explicar el fenómeno [1], aunque dauna primera aproximación suficiente, sin embargo no con-duce a la comprensión real del fenómeno y a su cuantifi-cación matemática al no tener en cuenta que la autoin-ducción es una curva de transferencia compleja y no elcociente directo entre valores de tensión e intensidad enrégimen permanente.

En la fig. 1 tenemos el circuito serie R-L-C y la caracterís-tica magnética de autoinducción.

La aparición del régimen de ferrorresonancia en el circui-to, partiendo de un régimen senoidal en permanencia, seproduce siempre por una variación en la tensión de ali-mentación del circuito, la cual puede volver de nuevo a lascondiciones originales pero manteniendo la ferrorreso-nancia.

En la fig. 2 aparecen las formas de onda de tensión ycorriente en los distintos elementos de un circuito serie R-L-C. De esta figura podemos deducir lo siguiente: en elcircuito en ferrorresonancia sostenida se producen 2 regí-menes transitorios cada medio ciclo de red y que son sin-cronizados por la corriente senoidal que circula por el cir-cuito.

La inducción pasa bruscamente del valor L1 a Lm y vice-versa con dos regímenes de carga y descarga en sentidocontrario de C a través suyo.

Cuando la corriente de descarga y carga en sentido con-trario de C a través de Lm llega a valer a' se tiene queL = Lm pasa a ser L = L1. En este momento, el condensa-dor C se descarga a través de L1 con una corriente tran-sitoria en forma de semisinusoide y frecuencia:

Cuando la intensidad transitoria de esta descarga se vaacercando hacia cero ( ) entonces para valoresde corriente menores que a', la autoinducción pasa

The classic method of explaining the phenomenon [1], although good enough as a first approximation, doesn’tlead to real understanding of the phenomenon and its mat-hematical quantification because it doesn’t take intoaccount that the self-induction is a complex transferencecurve and not the direct quotient between values of volta-ge and current in a continuous rating.

In fig. 1 we have the serial R-L-C circuit and the magneticcharacteristic of self-inductance.

The appearance of the condition of ferroresonance in thecircuit, starting from a permanent sine-wave condition, isalways due to a variation in the supply voltage to the circuit,which may return to the original conditions but maintainingthe ferroresonance.

Fig. 2 shows the voltage and current wave forms in thedifferent elements of an R-L-C serial circuit. From thisfigure we can deduce the following: in a circuit in sustai-ned ferroresonance there are 2 transient conditionsevery half-cycle of the network, and they are synchroni-zed by the sine-wave current which circulates through thecircuit.

The inductance goes sharply from the L1 to the Lm valueand vice versa, with two conditions of charge and dischar-ge in opposite directions of C through it.

When the discharge and charge current in opposite direc-tions of C through Lm reachs the value a', then L = Lm beco-mes L = L1. At this point the capacitance C dischargesthrough L1 with a transient current in semi-sine wave andfrequency equal to

When the transient current of this discharge approaches tozero ( ), then for current values lower than a', theself-inductance becomes L = Lm.

Fig. 1

R

C

L1 Lm

C

L1

Lm

a’i

2

a valer L = Lm. El condensador C cargado en sentidoopuesto se encuentra con una Lm muy grande y se produ-cirá una oscilación de frecuencia:

mucho más baja que la anterior.

La corriente de este transitorio crece muy lentamente y apenas se aprecia variación de tensión en el conden-sador.

Cuando la corriente de este lento transitorio sumada conla senoidal de la red llega a valor a' entonces L = L1 y serepite el fenómeno indefinidamente.

Se debe tener en cuenta lo siguiente:

Cuando L = Lm a la frecuencia de red se tiene

y, por tanto, el circuito es fuertemente inductivo. Estoimplica que por el circuito circulará una débil corrientesenoidal de carácter inductivo en los intervalos en que laautoinducción no esté saturada y hará que casi toda latensión de red aparezca como rizado sobre la tensión dela autoinducción.

2. FERRORRESONANCIA FUNDAMENTAL Y SUBARMÓNICA

2.1. Ferrorresonancia fundamental

De lo descrito en el apartado anterior se deducen las con-diciones que un circuito R-C-L debe cumplir para que semantenga en ferrorresonancia fundamental:

a) La frecuencia de oscilación propia del circuito L1-C debeser mayor que la de la red (generalmente mucho mayor),es decir:

Esto equivale a decir que a la frecuencia de red el circui-to L1-C sea capacitivo, es decir:

b) La frecuencia de oscilación propia del circuito Lm-C debe ser menor que la de la red, ya que de esta forma sesincroniza el fenómeno cada medio ciclo. Si gm>g enton-ces es imposible sincronizarlo.

Es decir:

The capacitor C charged in the opposite direction meets avery large Lm and an oscillation of frequency:

much lower than the one before is produced.

The current of this transient condition increases very slowlyand hardly any voltage variation can be appreciated in thecapacitance.

When the current of this slow transient added to the sine-wave current of the network reaches the value a'then L = L1 and the phenomenon repeats indefinitely.

The following must be taken into account:

When L = Lm at the network frequency we find out that

and therefore the circuit is very inductive. This implies thata weak sine-wave current of an inductive nature will circu-late through the circuit in the intervals in which the self-inductance is not saturated, and will make nearly all theline voltage appear as rippled over the self-inductance vol-tage.

2. FUNDAMENTAL AND SUBHARMONIC FERRORESONANCE

2.1. Fundamental ferroresonance

From what has been described in the section above, we candeduce the conditions which a R-C-L circuit must fulfill inorder to maintain a fundamental ferroresonance:

a) The characteristic oscillation frequency of the L1-C circuitmust be higher than that of the network (usually much hig-her), that is to say:

This is the same as saying that at the network frequency, theL1-C circuit should be capacitive, that’s to say:

b) The characteristic oscillation frequency of the Lm-C circuit must be lower than that of the network, since in thisway the phenomenon is synchronized every half-cycle. Ifgm>g, then it is impossible to synchronize it.

That is:

3

Esto equivale a decir que a la frecuencia de la red el cir-cuito Lm-C debe ser inductivo y por tanto:

c) La descarga de C a través de L1 debe ser oscilante,para lo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir:

De esta forma garantizamos que la corriente pasa porcero, con una go>g, y se conmuta L1 pasando a valer Lm

y viceversa.

d) La tensión de red debe ser suficiente para aportar laenergía perdida en la resistencia R en los momentos deconmutación. Además suponemos que las pérdidas en Rpor la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsa-ción gm son despreciables debido a sus bajos valores.

2.2. Ferrorresonancia subarmónica.

En la fig. 3 se observan las formas de onda de tensionesy corrientes en el circuito en el caso de ferrorresonanciasubarmónica.

La ferrorresonancia subarmónica se produce cuando laautoinducción Lm no saturada junto con la capacidad C delcircuito tienen una frecuencia propia de oscilación fmmenor que la del subarmónico que se pueda producir.

De esta forma, sumadas la corriente oscilatoria de fre-cuencia fm y la componente fundamental, pueden ser capa-ces de saturar la autoinducción de forma síncrona cada1’5 ciclos de red, 2’5 ciclos, 3’5 ciclos, etc, es decir conun período de oscilación de 3 ciclos, 5 ciclos, 7 ciclos, etc,(3er subarmónico, 5o subarmónico, 7o subarmónico, etc).

El caso anterior de la ferrorresonancia fundamental es, enrealidad, este mismo pero sincronizado cada 1/2 ciclo.

En la figura 3 se observa que si la frecuencia de oscila-ción libre

es p. ej. menor que el noveno subarmónico, podrían apare-cer ferrorresonancias de 1er subarmónico (fundamental),después del 3er subarmónico, después del 5o subarmónico,después del 7o e incluso del 9o, pero nunca del 11o, esdecir, de una frecuencia inferior a la de oscilación libre:

Los subarmónicos van aumentando su período (rango) amedida que la tensión de red va decreciendo.

This is equivalent to saying that at the network frequency,the Lm-C circuit must be inductive and therefore:

c) The discharge of C through L1 must be in an oscillatingway, for which the circuit must be under-damped, that is:

In this way we guarantee that the current passes throughzero, with a go>g, and L1 is commuted to the value of Lm

and vice versa.

d) The network voltage must be enough to provide theenergy lost in the resistor R while commutation. In additionwe assume that the losses in R because of the sine-wavecurrent of the network or the pulse current gm are negligi-ble due to their low values.

2.2. Subharmonic ferroresonance

In fig. 3 we can see the wave shapes of voltages andcurrents in the circuit in the case of subharmonic ferrore-sonance.

The subharmonic ferroresonance is produced when the non-saturated self-inductance Lm together with the capacitance Cof the circuit have an own oscillation frequency of fm, lowerthan that of the subharmonic which may be produced.

In this way, the oscillating current of frequency fm and thefundamental component added together may be able to satu-rate the self-inductance in a synchronous way every 1.5 net-work cycles, 2.5 cycles, 3.5 cycles, etc., that’s to say, with anoscillation period of 3 cycles, 5 cycles, 7 cycles, etc. (3rd sub-harmonic, 5th subharmonic, 7th subharmonic, etc.).

The above case of fundamental ferroresonance is in factthe same, but synchronized every 1/2 cycle.

Figure 3 shows that if the free oscillation frequency

is, for example, lower than the 9th subharmonic, ferroreso-nances of the 1st subharmonic (fundamental) may appear,then 3rd subharmonic and 5th subharmonic ones, followed bythe 7th and even the 9th ones, but never the 11th, that is, atfrequencies lower than that of free oscillation:

Subharmonics increase their periods (orders) while networkvoltage decreases.

4

De la figura 3 podemos deducir las condiciones del cir-cuito para que exista la ferrorresonancia subarmónica:

a) La frecuencia de oscilación propia del circuito L1-C debe ser mayor que la del subarmónico considerado, esdecir:

o bien a la frecuencia del subarmónico considerando elcircuito L1-C debe ser capacitivo:

siendo n = rango del subarmónico considerado.

b) La frecuencia de oscilación propia del circuito Lm-C debe ser menor que la del subarmónico considerado deforma que el fenómeno pueda sincronizarse, es decir:

From figure 3 we can deduce the circuit conditions requiredfor the existence of subharmonic ferroresonance:

a) The characteristic oscillation frequency of the circuit L1-C must be higher than that of the considered subharmo-nic, i.e.:

or just at the frequency of the considered subharmonic thecircuit L1-C must be capacitive:

where n = order of the considered subharmonic.

b) The characteristic oscillation frequency of the circuit Lm-C must be lower than that of the considered subharmo-nic so that the phenomenon can be synchronized, i.e.:

Fig. 2

VC

L=Li

a’

L=Lm

i. trans.

i.total=iwm+i.fundamental

i. fundamental

network

VI

iwmπ___g0

5

esto equivale a decir que a la frecuencia del subarmónicoconsiderado el circuito Lm-C debe ser inductivo:

siendo n = rango del subarmónico considerado.

c) La descarga de C a través de L1 debe ser oscilante, paralo cual el circuito debe ser subamortiguado, es decir:

De esta forma garantizamos que la corriente pasa porcero, con una go>gsubarmónico, y se conmuta L1 pasando avalor Lm y viceversa.

d) La tensión de red debe ser suficiente para aportar laenergía pedida en la resistencia R en los momentos deconmutación. Además suponemos que las pérdidas en Rpor la corriente senoidal de la red o la corriente de pulsa-ción son despreciables debido a sus bajos valores.

3. CÁLCULOS Y ECUACIONES

Se exponen a continuación las ecuaciones de equilibriopara el mantenimiento de la ferrorresonancia fundamen-tal y de la subarmónica.

Primeramente suponemos que el núcleo no tiene pérdi-das y comprobamos la influencia de la resistencia serier1. (Fig. 4).

Las hipótesis de partida son las siguientes:

a) La corriente de excitación senoidal es despreciablefrente a los impulsos en los transitorios.

b) La autoinducción tiene 2 valores: Lm cuando está sinsaturar y L1 cuando está saturada. Además, cuando laautoinducción vale Lm, ésta es tan grande que impide quese descargue el condensador.

Las ecuaciones a aplicar son:

Ec. (1)

Energía aportada por la red = Energía consumida en el cir-cuito Ec. (2)

Desarrollando ambas para el caso de la ferrorresonanciafundamental e integrando la ecuación (1) entre a y b setiene:

This is equivalent to saying that at the frequency of the con-sidered subharmonic the circuit Lm-C must be inductive:

where n = order of the considered subharmonic.

c) The discharge of C through L1 must be oscillating, forwhich the circuit must be under-damped, that’s to say:

In this way, we guarantee that the current passes throughzero, with a go>gsubharmonic and L1 is commuted to thevalue Lm and vice versa.

d) The network voltage must be enough to provide theenergy lost in the resistance R while commutation. In addi-tion we assume that the losses in R because of the sine-wave current of the network or the pulse current arenegligible due to their low values.

3. CALCULATIONS AND EQUATIONS

The equilibrium equations for the maintenance of the fun-damental and the subharmonic ferroresonance are expo-sed bellow.

First of all we assume that the core has no losses and wecheck the influence of the serial resistance r1. (Fig.4).

The initial hypothesis are as follows:

a) The excitation sine-wave current is negligible comparedto the impulses while the transients.

b) Self-inductance has 2 values: Lm when it is not saturated,and L1 when it is saturated. Also when the self-inductancevalue is Lm, it is so large that it prevents the capacitors fromdischarging.

The equations to be applied are:

Eq. (1)

Energy supplied by the network = Energy consummed inthe circuit Eq. (2)

Developing both equations for the case of fundamentalferroresonance and integrating equation (1) between a andb we have:

6

y donde

;

llamando y

se tiene:

Ec. (3)

and where

;

calling and

we have:

Eq. (3)

Fig. 3

V1

V2

VC

0 a

b50Hz

a’

a’

VL1

VLm. sub.

VLm. sub.+VL =

VR50Hz.

VL50Hz.

VL50Hz.

i. trans.

i.total=i.trans + i.fundamental

i. fundamental

network

π___g0

7

De la ecuación (2) se deduce:

Energía aportada por la red: Ec. (4)

Energía perdida en la conmutación: Ec. (5)

Durante la conmutación podemos suponer:

ya que .

Asimismo,

con b’ = 0 y a = π

La corriente de carga y descarga de C pone en juego unacarga que vale:

Supuesto que

Es decir:

Como:

Luego:

La relación entre la tensión mínima que mantiene el fenó-meno ( ), la tensión en el condensador ( ) y la corrienteen los períodos de conmutación ( ) se obtiene:

como , se tiene

From equation (2) we deduce:

Energy supplied by the network: Eq. (4)

Energy lost while commutation: Eq. (5)

While commutation we can assume:

since .

Similarly,

with b’ = 0 and a = π

Charging and discharging current of C implies a charge which value is:

Supposing that

That’s to say:

As:

Therefore:

The relation between the minimum voltage which ( ) main-tains the phenomenon, the voltage in the capacitor ( ) andthe current while conmutation periods ( ) is obtained:

as , we obtain

8

From another way:

Supposing that remains constant along that semiperiodwe have:

Equalling both terms:

As

we have:

that’s to say:

As y

we have:

that’s to say:

Por otra parte:

Suponiendo que permanece constante durante esesemiperíodo se tiene:

Igualando ambos términos:

Como

se tiene:

es decir:

Como y

se tiene:

es decir:

Fig. 4

r1 L1

-Vc

Vc

área+

área-

network

b’ ab

-VL

C

Lm

9

Como , entonces:

Ec. (7)

donde ,

Esat = tensión de saturación de la autoinducción a 50 Hz.

La influencia de las pérdidas en el núcleo de la autoinduc-ción se puede representar por medio de una resistencia Ren paralelo con la autoinducción no saturada Lm (fig. 5).

La ecuación que debe cumplirse en cualquier régimen deferrorresonancia es la siguiente:

Energía aportada por la red = Energía perdida en r1

+ Energía perdida en R Ec. (8)

La ecuación 8 se desarrolla igual que los casos anterio-res, con la diferencia de que el término "Energía perdidaen R" se obtiene como la descarga de C a través de Rcuando la autoinducción vale L = Lm.

Como ahora la tensión en el condensador cae de V1 hastaV2 se tiene una energía perdida de valor:

Además en el proceso de carga-descarga de C desde V2 aV1 se tiene:

y esto vale:

Por tanto, el incremento de tensión de alimentaciónnecesaria para mantener la ferrorresonancia será:

Es decir:

o bien

As , then:

Eq. (7)

where ,

Esat = saturation voltage of the self-inductance at 50 Hz.

The influence of the losses in the self-inductance core canbe represented by means of a resistor R in parallel with thenon-saturated self-inductance Lm (fig.5).

The equation which has to be fulfilled with at any ferrore-sonance condition is as follows:

Energy supplied by the network = Energy lost in r1

+ Energy lost in R Eq. (8)

Equation 8 is developed in the same way as the previouscases, with the only difference that the term "Energy lost inR" is obtained as the discharge from C through R when theself-inductance value is L = Lm.

As now the voltage in the capacitor falls from V1 to V2 wehave a lost energy of value equal to:

Besides in the charge-discharge process of C from V2 to V1

we have:

and this is equal to:

Therefore the feeding voltage increase needed to main-tain the ferroresonance will be:

That’s to say:

or

10

siendo

por lo cual

Ec. (9)

Por lo tanto, si se desean tener en cuenta las pérdidas enla autoinducción, es preciso añadir al segundo término dela ecuación (7) el segundo término de la ecuación (9).

4. RESULTADOS EXPERIMENTALES OBTENIDOS CON ENSAYOS SOBRE CIRCUITOS EN FERRORRESONANCIA FUNDAMENTAL

Se han realizado los siguientes experimentos sobre el cir-cuito de la figura haciéndolo entrar en ferrorresonanciasubiendo la tensión de alimentación. Después se dismi-nuye lentamente la tensión de alimentación y se mide aqué tensión eficaz desaparece el fenómeno. Los resulta-dos obtenidos aparecen en la Tabla 1.

5. REFERENCIAS

[1] Cahen, F.: Electrotechnique, Gauthier-Villars, 1963.

[2] Mahy, P.: Contribution theorique et experimentale à l’etude des phènomènes de ferrorresonancemonophasée, SRBE, 1972.

being

so

Eq. (9)

Therefore, if we want to take into account the losses in theself-inductance, we have to add to the second term of equa-tion (7) the second term of equation (9).

4. RESULTS OF TESTS ON CIRCUITS IN FUNDAMENTAL FERRORESONANCE

The following experiments have been carried out on the cir-cuit shown in figure 5, making it go into ferroresonance byraising the supply voltage. Afterwards the voltage supply isslowly reduced and the effective voltage at which the phe-nomenon disappears is measured. The obtained resultsappear in table 1.

5. REFERENCES

[1] Cahen, F.: Electrotechnique, Gauthier-Villars, 1963.

[2] Mahy, P.: Contribution theorique et experimentale à l'etude des phènomènes de ferrorresonance monophasée, SRBE, 1972.

r1 L1 Lm

R C

Fig. 5

Tabla 1 / Table 1

2,85 6,54 230 80 12,68 10,62,85 6,54 230 180 14,56 14,052,85 6,54 230 240 19,96 16,52,85 6,54 230 300 19,81 19,82,85 6,54 230 360 23,08 23,72,85 6,54 66 80 33,06 322,85 6,54 66 180 23,62 24,22,85 6,54 66 240 23,75 24,52,85 6,54 66 300 25,24 25,62,85 6,54 66 360 27,6 27,4

V. AlimentaciónFeeding Voltage

Parametros de CircuitoCircuit Parameters

r1 0hmr1 0hm

L1x10-3H.L1x10-3H.

R 0hmR 0hm

Cx10-6F Cx10-6F

CALCULADOCALCULATED

MEDIDAMEASURED

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