10c 1 eaiee fusione nucleare tokamak

8/18/2019 10c 1 Eaiee Fusione Nucleare Tokamak

1/37

M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK( ultima modifica 11/12/2013)

MULTI-FISICHE DEL PLASMA

1


2/37

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK

Fisica del plasmaIl plasma , conosciuto come il " quarto stato della materia ", è una

sostanza in cui molti degli atomi o molecole sono effettivamente

ionizzati, permettendo alle cariche di fluire liberamente.

I plasmi hanno proprietà fisiche specifiche rispetto ai solidi, liquidi e

gas.

Poiché circa il 99 % dell'universo conosciuto si trova nello stato di

plasma ed è esistente dal Big Bang, il plasma potrebbe essereconsiderato il primo Stato della Materia.

Un gas è completamente ionizzato e diventa plasma quando esso è

interamente composto da ioni ed elettroni , componenti che hanno

molte proprietà comuni ad un normale gas estremamente caldo equesto consente che possano essere descritti per mezzo della

densità delle par ti cel le e della temperatura, utilizzando per diversi

aspetti fisici, gli stessi modelli matematici usati per i gas.

M. Usai 2


3/37


Fisica del plasma

Ma il plasma presenta due proprietà specifiche che lo caratterizzano.

In primo luogo la densità delle particelle non va intesa come densità di

particelle neutre, ma come densità di carica elettr ica degli elettroni e

degli ioni (che separati danno luogo a forze di campo elettrico di

ripristino molto grandi) per cui le densità di carica elettronica degli

elettroni e degli ioni distribuiti in tutto il plasma possono essereconsiderate circa uguali.

La seconda proprietà è la capacità di trasportare corrente in presenza di

un campo elettrico , come risulta dalla velocità di deriva o drift

***degli ioni ed degli elettroni. In particolare nel Tokamak questa

proprietà fa si che la corrente del plasma genera una aliquota

importante del campo magnetico complessivo poloidale B p.

*** velocità di deriva o drift è la velocità del moto ordinato delle cariche che costituiscono la

corrente

M. Usai 3


4/37


Proprietà diamagnetiche del plasma

M. Usai 4

Inoltre ricordando che una barretta

di materiale diamagnetico si dispone

in direzione trasversale rispetto al

campo a cui esse è sottoposta,

riducendo a sua volta il campo,

analogamente nel plasma le orbite giroscopiche delle particelle cariche

inducono una variazione del campo di segno contrario rispetto a quella

del campo principale e quindi lo riducono inducendo gli stessi effetti di un

materiali diamagnetico per cui si può ritenere che↓

i l plasma èdiamagnetico .


5/37


Fisica del plasma

Quando la corrente del plasma attraversa il campo magnetico le

singole particelle sono vincolate nel loro movimento.

Esse si muovono parallelamente al campo magnetico, ruotando nelle

orbite di Larmor perpendicolari al campo.

M. Usai 5


6/37


Fisica del plasma

La concentrazione delle particelle in un Tokamac è circa 1020 m-3.

I plasmi Tokamak tipicamente raggiungono temperature di diversi keV,

(1keV corrisponde a 10 milioni di gradi Kelvin).

Il campo magnetico di base è il campo magnetico toroidale prodotto dalle

bobine esterne al plasma.

Il campo poloidale prodotto dalla stessa corrente del plasma toroidale è

tipicamente 10 volte più piccolo.

Le forze dovute alla pressione del plasma sono equilibrate dal campo

magnetico esterno e la stessa corrente del plasma che attraversa ilcampo magnetico da origine essa stessa a una forza magnetica che può

bilanciare il gradiente di pressione del plasma.

M. Usai 6


7/37


Fisica del plasma

Molti processi nel plasma sono determinati dalle collisioni delle particelle. Le coll isioni tra ioni ed elettroni causano una resistenza

elettr ica, che induce un riscaldamento ohmico del plasma .

Si definisce resistività elettrica ρ del plasma :

La densità di potenza ohmica puntuale o locale è:

M. Usai 7

JρE

plasmadelraggioa

etorodelraggioR

ntoriscaldameditotale potenzalaP

essendo

)(Jρ(r)2)(Jρ(r))( p

0

22

dr r R P r r a

R

a


8/37


Fisica del plasma

La resistività del plasma, che cresce con la temperatura e la densità di

corrente sono limitate dalla stabilità magnetoidrodinamica per cui non

è utilizzato il riscaldamento ohmico per portare il plasma alle

condizioni di ignizione.

Le collisioni producono trasporto di particelle ed energia che possonocausare la perdita di ioni e di elettroni dal plasma.

All’aumentare delle temperatura i tempi di collisione degli elettroni e

degli ioni diminuiscono e conseguentemente aumentano le perdite percollisione e anche il riscaldamento ohmico.

M. Usai 8


9/37


Fisica del plasma

Le instabilità sono classificate in relazione agli effetti prodotti sul plasma,

per esempio instabilità dovute ai profili di pressione ( pression driven )

nella fig.(a) e instabilità dovute alle correnti nella fig (b) ( current

driven ).

Un’altra classificazione è fatta rispetto allo spostamento della superficiedel plasma: f ixed boundary ( hanno effetto all’interno della colonna

del plasma e non incidono sui movimenti della superficie del plasma) e

free-boundary (comportano lo spostamento dell’interfaccia plasma-

vuoto)M. Usai 9

PlasmaPlasma


10/37


Fisica del plasma

Allo stato di plasma è legato alla distanza minima tra elettroni e ioni

necessaria perchési verif ichi una separazione completa tra di loro e

non si abbia la neutralizzazione delle cariche come nei gas, questa

distanza è chiamata lunghezza di Debye .

Uguagliando l’energia Fd , dovuta alla forza F di attrazione tra ioni ed

elettroni, per la distanza d tra ioni ed elettroni, alla energia interna del

plasma si ottiene la lunghezza di Debye:

M. Usai 10

C10×1,602eelettronedell'caricae

volumediunità perelettroniedioninumeroossia

10nelettroniedionideglidensitàn

keVin plasmadelatemperatur T

F/m10 628171878,854=εvuotoneladielettriccostanteε

mm1010λ Tokamacdei plasmii permne

Tελ

19-

320

12-00

12D

1/2

2

0D

m


11/37


Analisi Fisica del Plasma

Lo studio del plasma è molto complesso e comporta l’analisi di fenomenidi natura fisica diversa. I principali campi della fisica da analizzare per

studiare il plasma sono:

• Elettromagnetismo,

• Fluidodinamica e

• Magnetoidrodinamica (dinamica dei fluidi elettricamente conduttori)

• Trasmissione di energia termica (nei solidi, nei liquidi, nei gas, nei plasmi)

• Cinetica dei gas (al variare della pressione e della temperatura)

• Criogenia (studia come ottenere basse temperature e il comportamento dei materialialle basse temperature)

M. Usai 11


12/37

M. Usai 10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAK 12

Le equazioni fondamentali relative ai campi elettrici e

magnetici sono le Equazioni di Maxwell.

in forma dif ferenziale vettori ale e in f orma integrale vettori ale

Legge di F araday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

tδ

BδE

tδ

DδH J

D

0B

SC

sdd t

BdldE

C S

sdt

DJldH

dvρsdDVS

0 sd BS

Elettromagnetismo


13/37


10998,2μ

1 ;10854,8 ;104μ

HμB Eμ

1 EεD :con

ερE

0B

tδ

Eδ

c

1JμB

tδBδE

ρD

0B

tδ

DδJH

tδ

BδE

E eB difunzioneinevettorialaledifferenziformainMaxwellidiequazioniLe

8

00

120

70

020

0

0

20

s

mc

m

F

m

H

c

Elettromagnetismo


14/37


f A'A

cVV'

:staticicampii perlibertàdigradodelzionetrasformadellaazionegeneralizzf A'A

t

f VV'

:invariatirimangono campiilibertàdigradodelzionetrasformalaconma,E de Bcampi

stessigligenerare possonocheAeV potenzialideivaloridiversiesistono

tδ

AδVE

AB

:cui per,A magneticoevettorial potenzialedel

eVelettricoscalare potenzialedelfunzioneinespressoessere puòEvettoreIl

Elettromagnetismo


15/37


cariche. particellealleenergiadientotrasferimilarappresentJE termineIl

P:Poyntingdivettoredalespresso

netica,elettromagenergiadellaflussodeldivergenzalaètermine primoIl

tδ

Eδ

c

1JμB

tδBδE

temponelenergiadidensitàdellavariazione

dellaeespressionl'trovasiMaxwelldirelazionidalle

21

21

:magneticaeelettricaenergiadidensitàdella

sommaallaugualeèneticaelettromagenergiad'densitàLa

0

0

20

0

2

20

B E

J E B E

t

w

B E εwwwme

Elettromagnetismo


16/37


.EedB campodigrandezzeoeffetti""gli

questidae AeV potenzialii

calcolaredi Jeρ :cause""lenote

consente matematicomodelloQuesto

.-V cheottienesi tδ

AδVE

:relazionedelladivergenzalacalcolando

e A cheottienesi AB

:relazionedellarotoreil calcolando

0,AchetaleAscegliendostatici,campiiPer

0

2

02

J

Elettromagnetismo


17/37


Equazioni della teoria cinetica

M. Usai 17

L'energia cinetica è l'energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento.

Le equazioni della teoria cinetica descrivono il plasma in movimento in termini

di funzione di distr ibuzione f(x,v,t) che è una funzione di 7 variabili. Per diversi

scopi è adatta per descrivere il plasma in termini di variabili del fluido come ladensità delle particelle n(x,t) , la velocità del fluido v(x,t) e la pressione p(x,t) che

sono funzioni di sole 4 variabili. Le equazioni richieste sono derivate per ciascuna

specie di particella dalla equazione cinetica di coll isione del plasma o

equazione di Fokker- Plank:

fluido.delvelocità' particelladellavelocitàcon

''

: particellasullaagiscechemagneticoeelettricocampodiforzala

Fconindicandoe

j particelladellamassa

j particelladellacarica

vv

t

f

v

f

m

F

x

f v

t

f

Bv E e

m

e

t f

v f Bv E

me

x f v

t f

c j

j

j

j

c j

j


18/37

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAKM. Usai 18

Le equazioni cinetiche e quelle più complesse e specifiche che da queste

possono essere derivate, risultano valide solo se sufficientementelocalizzate, ossia se il percorso libero medio delle particelle è

sufficientemente piccolo rapportato alle lunghezze macroscopiche del

sistema in esame.


19/37

10c_EAIEE_FUSIONE_NUCLEARE_TOKAMAKM. Usai 19

La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei f luidi elettr icamente

conduttori .Essa descrive il comportamento dinamico del fluido del plasma come unico

fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due entità separate.

Idea di base e le condizioni della Magnetoidrodinamica MHD consistno i nel

considerare

la corrente complessivamente neutra che trasporta il plasma ma costituita da:

- ioni che trasportano massa, quantità di moto ed energia e

- elettroni che trasportano corrente ed energia termica.

Magnetoidrodinamica MHD


20/37



M. Usai 20

Le equazioni della Magnetoidrodinamica sono basate su:

• equazione di conservazione della massa ,

• dalla equazione del moto e

• dalle equazioni di Maxwell e

• dalla equazione delle trasformazioni adiabatiche, considerando il plasma

resistivo.

Quindi da tali equazioni si possono ottenere:

le Equazioni dell’ MHD ideale, che

legano l’effetto ( velocità ) alla causa ( campi elettro-magnetici )


21/37



M. Usai 21

La Magnetoidrodinamica o MHD studia la dinamica dei fluidi elettr icamente

conduttori . Con essa si descrive il comportamento dinamico del fluido del

plasma come unico fluido, senza considerare gli ioni e gli elettroni come due

entità separate. Dalla equazione di conservazione della massa , dalla equazionedel moto e dalle equazioni di Maxwell e dalla equazione delle trasformazioni

adiabatiche, considerando il plasma resistivo, si possono ottenere le seguenti

Equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto ( velocità ) alla causa ( campi

elettro-magnetici )

) pressioneerenza dia una diff si verificounti quand tra due p(presente

sionete di presal gradienta forza dovu p laessendo

0BvE v pγt

p

Et

B pBJ

t

vρ

μ

BJ vρt

ρ

0


22/37


Plasma in equilibrio

M. Usai 22

Le equazioni dell’ MHD ideale, che legano l’effetto (velocità) alla causa ( campi

elettro-magnetici) possono essere utilizzate per determinare le condizioni econfigurazioni di equilibrio del plasma, imponendo le condizioni di regime

stazionario , per le quali le grandezze non variano nel tempo ossia si

trascurano i termini delle derivate temporali dove compare l’operatore .

Quindi considerando la velocità del plasma costante , si ottengono le

equazioni del plasma in equil ibri o .

0B

JμB μ

BJ

BJ p pBJt

vρ

0

0

t

0

t

v


23/37


Plasma in equilibrio

M. Usai 23

La prima equazione,

stabilisce l’equilibrio delle forze. Essa afferma che quando una corrente fluisce

perpendicolarmente al campo magnetico, essa esercita una forza sull’elementofluido.

In condizioni di equilibrio questa forza bilancia la pressione cinetica del plasma,

ossia in ogni punto nel plasma, il gradiente puntuale o locale della pressione è

bilanciato dalla forza di Lorenz.

In particolare , per

pressione,digradientealdovutafluidosulagenteforzala pessendo

BJ p

forze)dalleliberaregione( dicondizioneunaverificasi

retta)lineastessasulla(giacciono parallelisonoBeJcampii quando0 p

region force free


24/37


Plasma in equilibrio per una configurazione

cilindrica lineare ( Linear Pinch)

M. Usai 24

Si consideri il toro del plasma equivalente a un cilindro di lunghezza pari alla

lunghezza dell’asse del toro, riportando lo studio al caso semplice in cui lacorrente fluisce in un cilindro nella direzione del suo asse, coincidente con l’asse

di riferimento z. Questa configurazione semplifica lo studio dell’effetto pinch

(effetto di compressione del plasma)z

r

B

J

a

z

r

p(r)

J

B

a

BJ p

per a < 0: J = 0→ p = 0

per a > 0: J ≠ 0→ p ≠ 0

2

22

2

12

)(a

r

a

I r p


25/37




M. Usai 25

In regime stazionario la forza delle correnti diamagnetiche bilanciala forza dovuta al gradiente di pressione

BJ p


26/37




M. Usai 26

BJr

p

z

Il campo magnetico è puramente azimutale ( tangente alle linee di forza ossia alle

circonferenze di raggio r, perpendicolari a z) per cui Jz e B sono sempre perpendicolari e il bilancio delle forze è espresso da:

Per calcolare come varia p(r) occorre definire come varia Jz(r).

Supponendo che la densità di corrente Jz= J0 sia costante nel plasma di raggio a enulla all’esterno per r>a, risolvendo l’equazione per una geometria cilindrica si ha:

plasmanelfluiscechecorrentelaèJIdove

ar per2

ar per2

JμB

20

2

0

a

r

I B

r

a

I B

o

o

BJ p


27/37




M. Usai 27

2

22

2

zz

14

)(

dr BJ p(r) BJr

p

a

r

a

I r p

Per determinare p(r) occorre integrare la relazione seguente, utilizzando le

espressioni della induzione trovate:

Questo semplice calcolo dell’equilibrio non contiene una analisi della stabilità .

Mostra che esiste uno stato per δv/ δt = 0, ma non si sa se questa è una soluzione

stabile. In realtà si tratta di una soluzione instabile che può diventare stabileapplicando un campo magnetico nella direzione z.

In questo caso le linee del campo magnetico risultante si avvolgono a spirale intorno

all’asse magnetico.


28/37




M. Usai 28

2

22

2

2

22

2

22

2

22

42

2

22

zz

14

)(

2

22

2

2

r

2)(

dr r

2

dr r

2

)(

dr BJ p(r) BJr p

a

r

a

I r p

r

a

I

a

I a

a

I

a

I

a

I

a

I r p

a

I

a

I

a

I r p

a

r

a

r

a

r

a

r


29/37


Plasma in equilibrio per la configurazione toroidale del Tokamak

M. Usai 29

Se si piega il cilindro per formare un toro si ottiene la geometria del tokamak.

Per un rapporto R/a grande, il Tokamak può essere approssimato a una sequenzacilindri collegati uno di seguito all’altro. Le proprietà delle linee di flusso

risultante sono caratterizzate dal rapporto di sicurezza q:

Dalle condizioni di stabilità risulta che → q >1.

Per es. per il Tokamak ASDEX Upgrade con

dimensioni tipiche: a=0.5m R=165m q = 3 e

questo valore comporta che Bt=10 B p.

toro.nel presentemagneticocampodel

lineealleoriferisconsiche rotazioni

polidalirotazionidinumero

toroidalirotazionidinumeroq

Ra

z


30/37



M. Usai 30

I l fattore di sicurezza q,è così chiamato a causa del ruolo che essa svolge nella

determinazione stabilità. In termini generali, i valori più elevati di q portano ad

una maggiore stabilità. In condizioni di equilibrio asialsimmetrico ciascuna linea

del campo magnetico ha un valore di q. La linea del campo segue un percorso

elicoidale come va il giro del toro sulla sua superficie magnetica associato. La

linea del campo segue un percorso elicoidale mentre ruota intorno al toro sulle

sue superfici magnetiche.

La linea del campo segue un percorso elicoidale come va il giro del toro sulla

sua superficie magnetica associato. Se ad un certo angolo toroidale, Ф, la linea

di campo ha una certa posizione nel piano poloidale, tornerà quella posizione

nel piano poloidale dopo una variazione dell'angolo toroidale ΔФ.

Il valore q di queste linee di campo è definito da:

2

q


31/37



M. Usai 31

Pertanto, se una linea di campo magnetico ritorna alla sua posizione iniziale dopo

esattamente una rotazione attorno al toro, quindi q = 1.

Se si muove più lentamente nel direzione poloidale ha un valore maggiore di q. I valorirazionali di q svolgono un ruolo importante nella stabilità. Se q = m / n, dove m e n sono

numeri interi, la linea di campo si unisce su se stessa dopo m rotazioni toroidale e n

rotazioni poloidali toro.

La condizione relativa a q = 2 linea è illustrato nella seguente figura:

a) linea di campo superficiale (sulla superficie del toro) per q=2,

b) percorso di integrazione poloidale,c) anello di flusso contenente il flusso toroidale e poloidale.


32/37



M. Usai 32

Il fattore di sicurezza plasma, q, è importante nelle geometrie toroidali di

confinamento magnetico. Esso è anche espresso come il numero di volte cheuna linea di campo magnetico gira intorno un toro (percorso lungo toroidale) per

ogni giro di linea di campo poloidale (percorso breve poloidale).

Il fattore di sicurezza è così chiamato perché a valori maggiori corrispondono

rapporti più elevati di campo toroidale rispetto alla corrente di plasma (e quindi

al campo poloidale), e di conseguenza meno rischi di instabilità del plasmadovute alle correnti di deriva.

Se R>>a vale l’approssimazione della configurazione cilindrica

del plasma e risulta che:

e per la sicurezza deve essere q>1

po l

T

B

B

R

r

q


33/37


The Grad-Shafranov Equation

M. Usai 33

Per un sistema asimmetrico come il Tokamak il modello matematico che descrive

il bilancio delle forze, deve essere adattato e modificato, tenendo conto deiseguenti concetti:

calcolato.statoèflussoilqualenellageometriadallatementeindipendenflusso,divalore

unicounassegnatoessere puòflussodisuperficieciascunaachecomportaCiò.arbitraria

essere puòAdisceltalaquindieCcurvastessadalladelimitataèAarbitrariasuperficielase

costanteun valorehadA,JdA,Bflussodiintergraleogni0,BJ Poichè

scalari.flussodicon valorieetichettatessere possonoe

flussodisuperficichiamatesonosuperficiQueste annulla.siintegralidegli parteogni

superficiequestasugiacionoBeJ poichè,superficiequestasuCcurvaarbitrariauna per

costante pressioneconsuperficisulleun valorehannodAJdA,BflussodelintegraliGli

costante. pressioneasuperficisugiacionoBeJdicampodilineeleQuindi

0B pJ p BJ p Essendo


34/37



M. Usai 34

Sul toro si distinguono due tipi di curve di campo: quelle che si avvolgono sul toro

in senso toroidale e quelle avvolgono sul toro in senso poloidale. Considerando una

curva che si avvolge nella direzione toroidale, integrando l’induzione nel dominioo superficie delimitato da questa curva, si ottiene il flusso magnetico poloidale ψ e

la corrente totale poloidale I pol.

R

z

ϕ

Entrambe le funzioni sono costanti sulla

superficie di flusso le componenti del campo

magnetico poloidale e la corrente poloidale

possono essere calcolate come:

.toroidaledirezionein

lunghezzadiunità per poloidaleflusso con

;r 2

IμB ;

z

ψ

2π

1B ;

z

ψ

r 2

1B

po l0

po lzr

m

Vs

Con queste espressioni il bilancio delle forze diventa l’equazione di Grad -Shafranov

: ψ)(ψ)(ψ)'(2

z

ψ

R

ψ1*- '2

202

2

0 po l pol I I p R

R R R


35/37



M. Usai 35


36/37



M. Usai 36


37/37



M Usai 37

Il bilancio delle forze r isul ta espresso dalle equazione di Grad-Shaf ranov :

L’equazione è non lineare e per risolverla

1. si possono specificare p(ψ) e I pol(ψ) e quindi calcolare ψ(R,z) e inoltre

2. dovranno essere definite le condizioni al contorno.

• Se il plasma è circondato da un contenitore vuoto perfettamente conduttore, esso

costituisce una superficie di flusso e quindi ψ=cost nel contenitore, determina la

forma e la posizione del contorno del plasma.

• Per soddisfare queste condizioni, si deve aggiungere una soluzione della

equazione omogenea cioè una funzione con

Tale campo è prodotto da un avvolgimento esterno, cioè la soluzione della equazione

di Grad-Shafranov con un contorno fissato e funzioni profilo che ci dicono come

definire le correnti esterne di controllo per mantenere il plasma in equilibrio.

ψ)(ψ)(ψ)'(2z

ψ

R

ψ1*- '2

202

2

0 po l pol I I p R

R R R

0- ext

10c 1 eaiee fusione nucleare tokamak

Documents