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Princípio de Saint-Venant
• O princípio Saint-Venant afirma que a tensão e deformação
localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a
“nivelar-se” a uma distância suficientemente afastada dessas regiões.
Carga axial
1
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Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
• Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, pode-se
determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.
• Suponha um elemento sujeito a cargas,
( )( ) dx
dδε
xA
xP== e σ
( )( )∫=
L
ExA
dxxP
0
δ
δ = deslocamento de um ponto
na barra relativo a outro
L = distância original
P(x) = força axial interna na
seção
A(x) = área da seção
transversal da barra
E = módulo de elasticidade
2
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1 caso. Carga e área de seção transversal constantes
• Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra,
Convenção de sinais
• Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento; e
negativos causarão compressão e contração.
AE
PL=δ
3
Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
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O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção
transversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está
acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração
de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C
da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa)
Exemplo 1
4
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( )[ ]( )( )[ ] ( )[ ] →=−=
−== − m 001143,0001143,0
107010400
4,0108096
3
AE
PLBδ
O deslocamento da extremidade B em relação à extremidade fixa A é
Visto que ambos os deslocamentos são para direita, o deslocamento resultante de
C em relação à extremidade fixa A é, portanto,
Resposta)(mm 20,4m 0042,0/ →==+= BCCC δδδ
Solução:
Encontre o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B.
( )[ ]( )( ) ( )[ ] →+=+
== m 003056,010200005,0
6,010809
3
/ πδ
AE
PLBC
5
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Um elemento é feito de um material com peso específico γ
e módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver forma de um cone,
determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da
gravidade, quando suspenso na posição vertical.
Exemplo 2
6
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Como peso= γV, a força interna na seção torna-se ( ) 3
2
2
3 ;0 y
L
ryPF o
y
γπ==↑+ ∑
Solução:
O raio x do cone em função de y é determinado por cálculo
proporcional, isto é,y
L
rx
L
r
y
x oo == ;
O volume de um cone com raio r0 base x e altura y é 3
2
22
33y
L
ryxV oππ
==
7
Exemplo 2
A área de seção transversal também é função da posição y. ( ) 2
2
22
yL
rxyA oπ
π ==
Entre os limites y = 0 e y = L,( )( )
( )[ ]( )[ ] (Resposta)
6
3 2
0
22
22
0E
L
ELr
dyLr
EyA
dyyPL
o
o
L γγπ
γπδ === ∫∫
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Princípio da superposição
• Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a
tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este
estiver sujeito a um carregamento complicado.
• A barra é estatisticamente indeterminada quando as equações de
equilíbrio não são suficientes para determinar as reações.
• ΣF = 0 FA+FB-P=0 (???)
• δAB=0 (condição de compatibilidade)�����
��−
�����
��= 0
• Ou por superposição!����
��−
���
��= 0
Elemento com carga axial estaticamente indeterminado
8
A
B
CP
FA
FB
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A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de
ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze
o tamanho do colar em C. (Eaço = 200 GPa)
Exemplo 3
9
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( ) ( ) (2) mN 0,927.38,04,0
001,0/
⋅=−
−==
BA
CBBACAAB
FF
AE
LF
AE
LFδ
A condição de compatibilidade para a haste é m 001,0/ =ABδ
Usando a relação carga-deslocamento,
As equações 1 e 2 nos dão FA = 16,6 kN e FB = 3,39 kN. (Resposta)
Solução:
O equilíbrio da haste exige ( ) (1) 01020 ;0 3 =+−−=→+ ∑ BAx FFF
10
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O parafuso de liga de alumínio 2014-T6 (E = 75 GPa) e é apertado de modo a
comprimir um tubo cilíndrico de liga de magnésio Am 1004-T61 (E = 45 GPa). O tubo
tem raio externo de 10 mm, e consideramos que o raio interno do tubo e o raio do
parafuso são ambos 5 mm. As arruelas nas partes superior e inferior do tubo são
consideradas rígidas e têm espessura desprezível. Inicialmente, a porca é apertada
levemente a mão; depois é apertada mais meia-volta com uma chave de porca. Se o
parafuso tiver 20 roscas por polegada, determine a tensão no parafuso.
Exemplo 4
11
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Considerando dois módulos de elasticidade,
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( ) (2) 911251255
10755
605,0
1045510
6032322
bt
bt
FF
FF
−=
−=−
πππ
(1) 0 ;0 =−=↑+ ∑ tby FFF
( ) bt δδ −=↑+ 5,0
Solução:
O equilíbrio exige
Quando a porca é apertada contra o parafuso, o tubo encurta.
12
Resolvendo as equações 1 e 2 simultâneamente, temos kN 56,31556.31 === tb FF
As tensões no parafuso e no tubo são, portanto,
( )
( ) (Resposta) MPa 9,133N/mm 9,133510
556.31
(Resposta) MPa 8,401N/mm 8,4015
556.31
2
22
2
==−
==
====
πσ
πσ
t
tt
b
bb
A
F
A
F
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A haste de aço A-36 tem diâmetro de 5 mm. Está presa à parede fixa em A e, antes
de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B’ e a haste. Determine
as reações em A e B’.
Exemplo 5
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(1) 0,001 BP δδ −=→+
( )[ ]( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ] ( ) B
BABBB
ACP
FF
AE
LF
AE
PL
6
9
9
3
103056,0102000025,0
2,1
m 002037,0102000025,0
4,01020
−===
===
πδ
πδ
Solução:
Considere o apoio em B’ como redundante e usando o princípio da superposição
Além,
14
Substituindo na equação 1,temos
( )( ) (Resposta) kN 39,31039,3
103056,0002037,0001,0
3
6
==
−= −
B
B
F
F
(Resposta) kN 6,16
039,320 ;0
=
=−+−=→+ ∑A
Ax
F
FF
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Exercícios
15
1. O eixo de cobre está sujeito às carga axiais mostradas na figura. Determine o
deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de
cada segmento forem dAB = 20 mm; dBC = 25 mm e dCD = 12 mm. Considere Ecobre =
126 Gpa (4.4)
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Exercícios
16
2. A barra tem área de seção transversal de 1800 mm2 e E = 250 Gpa. Determine o
deslocamento da extremidade A da barra quando submetida ao carregamento
distribuído (4.10).
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Exercícios
17
3. A viga rígida está apoiada em suas extremidades por dois tirantes de aço A36.
Os diâmetros das hastes são dAB = 12 mm e dCD = 7,5 mm. Se a tensão admissível
para o aço for σadm = 115 Mpa, determine a intensidade da carga distribuída w e seu
comprimento x sobre a viga para que esta permaneça na posição horizontal quando
carregada (4.21).
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Exercícios
18
4. O tubo de aço A36 tem raio externo de 20 mm e raio interno de 15mm. Se ele se
ajustar exatamente entre as paredes fixas antes de ser carregado, determine a
reação nas paredes quando for submetido à carga mostrada (4.36).
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Exercícios
19
5. Dois cabos de aço A36 são utilizados para suportar o motor de 3,25 kN. O
comprimento original de AB é 800mm e o de A´B´ é 800,2 mm. Determine a força
suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por eles. Cada cabo tem área
de seção transversal de 6,25 mm2 (4.42).
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Exercícios
20
6. Um parafuso de aço com 10 mm de diâmetro está embutido em uma luva de
bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20 mm e seu diâmetro interno é 10 mm. Se
a tensão de escoamento para o aço for σesc/aço = 640 Mpa e para o bronze σesc/bronze
= 520 Mpa, determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao
conjunto. Eaço = 200 Gpa, Ebr = 100 Gpa (4.54).
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Tensão térmica
• Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de
um material.
• Se o material for homogêneo e isotrópico, TLT ∆= αδ
= coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material
= variação na temperatura do elemento
= comprimento inicial do elemento
= variação no comprimento do elemento
α
T∆
T
Tδ
21
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Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes, feitos de aço A-36 e
alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não
há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é de T1 = 20°C. Determine a
força suportada por cada poste se a barra for submetida a um carregamento
distribuído uniformemente de 150 kN/m e a temperatura aumentar até T2 = 80°C.
Exemplo 6
22
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( ) (2) alaço δδ =↓+
( ) (1) 010902 ;0 3
alaço =−+=↑+ ∑ FFFy
Solução:
Do diagrama de corpo livre nós temos
A parte superior de cada poste sofre o mesmo
deslocamento. Em consequência,
23
A posição final da parte superior de cada poste é igual ao deslocamento causado
pelo aumento da temperatura e a força de compressão axial interna.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
FT
FT
alalal
açoaçoaço
δδδ
δδδ
+−=↓+
+−=↓+
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( ) ( ) ( ) ( )FTFT alaçoaçoaço δδδδ +−=+−
Aplicando a equação 2, temos
Com referência às propriedades dos materiais, temos
( )[ ]( )( ) ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) (3) 109,165216,1
101,7303,0
25,025,020801023
1020002,0
25,025,020801012
3
alaço
92
al6
92
aço6
−=
+−−=+−− −−
FF
FF
ππ
Resolvendo equações 1 e 3 simultâneamente, (Resposta) kN 123 e kN 4,16 alaço =−= FF
24
Solução:
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Concentrações de tensão
• Concentrações de tensão ocorrem em seções onde a área da seção
transversal muda repentinamente.
• Tensão máxima é determinada usando uma fator de concentração de
tensão, K, o qual é uma função de geometria.
méd
máx
σσ
=K
25
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A tira de aço está sujeita a uma carga axial de 80 kN. Determine a tensão normal
máxima desenvolvida na tira e o deslocamento de uma de suas extremidades em
relação à outra. A tensão de escoamento do aço é de σe = 700 MPa e Eaço = 200
GPa.
Exemplo 7
26
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( )( )( )
(Resposta) MPa 64001,002,0
10806,1
3
máx =
==
A
PKσ
220
40 ,3,0
20
6====
h
w
h
r
Solução:
A tensão normal máxima ocorre na menor seção transversal (B-C),
Usando a tabela de geometria, nós temos K = 1,6. Portanto, a tensão máxima é
27
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Desprezando as deformações localizadas ao redor da carga aplicada e na
mudança repentina na seção transversal no filete de rebaixo (princípio de Saint-
Venant’s), temos
( )( )( )( ) ( )[ ]
( )( )( )( ) ( )[ ]
(Resposta) mm 20,2
1020001,002,0
8,01080
1020001,004,0
3,010802
9
3
9
3
/
=
+
==∑AE
PLDAδ
28
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Exercícios
29
7. Os diâmetros e materiais de fabricação do conjunto são indicados na figura. Se o
conjunto estiver bem ajustado entre seus apoios fixos quando a temperatura é T1 =
20 oC, determine a tensão normal média em cada material quando a temperatura
atingir T2 = 40 oC (4.72).
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Exercícios
30
8. Os dois segmentos de haste circular, um de alumínio e o outro de cobre, estão
presos às paredes rígidas de tal modo que há uma folga de 0,2 mm entre eles
quando T1 = 15 oC. Qual é a maior T2 exigida para apenas fechar a folga? Cada
haste tem diâmetro de 30 mm, αal = 24 10-6 1/oC, Eal = 70 GPa αcu = 17 10-6 1/oC,
Eal = 126 Gpa. Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 95 oC
(4.77).
![Page 31: 11. Carga axial - Notícias [Engenharia Eletrica 11 Carga axial.pdf · O eixo de cobre está sujeito às carga axiais mostradas na figura. Determine o deslocamento da extremidade](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022021512/5b1698157f8b9a726d8cd35b/html5/thumbnails/31.jpg)
Exercícios
31
9. Se a tensão normal admissível para a barra for σadm= 120 Mpa, determine a
força axial máxima P que pode ser aplicada à barra (4.88).