Inflessione delle traviIn precedenza si è esplicitato il legame sollecitazione-curvature-tensioni nelle travi, ma non è ancora stato affrontato il problema del calcolo delle frecce di inflessione

Il calcolo delle frecce è importante per diverse ragioni;

Determinare rotazioni subite in corrispondenza degli appoggi (e.g. cuscinetti)

Verificare che gli spostamenti non siano tali da compromettere l’integrità di una struttura (e.g. edifici) o addirittura l’aspetto

Calcolare lo stato di sollecitazione in strutture staticamente indeterminate

Verificare che l’ampiezza delle vibrazioni indotte sia compresa in limiti accettabili

Stimare le condizioni di carico di instabilità (o di punta) onde evitarne l’insorgere

Verificare il corretto accoppiamento tra organi in movimento (e.g. ingranaggi)

Associata ad una freccia v(x) vi è anche una rotazione θ(x)

Tra le due tangenti in m1e m2 vi è un angolo di rotazione aggiuntiva dθ

Detto ρ il raggio di curvatura:

d dsρ θ = e la curvatura:1 d

dsθκ

ρ= =

Notare che la curvatura è positiva se cresce l’angolo θ

Considerando una trave incastrata - libera, l’applicazione di un carico P provoca una inflessione v(x), nulla al vincolo e massima in corrispondenza di P

Si assume che xy sia piano di simmetria e che tutti i carichi agiscano sul piano xy

Essendo θ definito come l’angolo che identifica la tangente tan dvdx

θ =

Assumendo che rotazioni e frecce siano piccole rispetto alle dimensioni geometriche (teoria differenziale approssimata al I ordine)

ds dx≈1 d

dxθκ

ρ= = Confondendo anche la

tangente con l’angolo

2

2

1 d vdx

κρ

=

Ricordando anche il legame già introdotto tra curvatura e momento, si deduce l’equazione differenziale che governa la inflessione

1 MEI

κρ

= =

( )2

2

M xd vdx EI

=

Adottando la convenzione dei segni riportata a lato, e ricordando (dall’equilibrio del concio elementare) ( )dV q x

dx= −

( )dM V xdx

=

Si perviene ad altre 2 equazioni differenziali

( ) ( )2

2

d d v dMEI x V xdx dx dx

= =

( ) ( )

2 2

2 2

d d v dVEI x q xdx dx dx

= = −

Le e equazioni si semplificano ulteriormente se I(x) risulta costante lungo x

( )2

2

d vEI M xdx

= ( )3

3

d vEI V xdx

= ( )4

4

d vEI q xdx

= −

( ) ( )1 2 3 4

0 0 0 0

x x x x q xv x dx C dx C dx C dx C

E I

= + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )3

130

xd v x q xdx C

dx E I= +∫ ( ) ( )3

3 d v x

T x E Idx

=

( ) ( )2

1 220 0

x xd v x q xdx C dx C

dx E I

= + + ∫ ∫ ( ) ( )2

2 d v x

M x E Idx

=

( ) ( )1 2 3

0 0 0

x x xdv x q xdx C dx C dx C

dx E I

= + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( )dv x

xdx

θ = −

A seconda che si conosca: andamento del carico distribuito, taglio o momento applicati, il problema si risole integrando 2, 3 o 4 volte (con 2,3 o 4 condizioni al contorno)

( ) ( )4

4

d v x q xdx E I

= − ( ) ( )4

4 d v x

q x E Idx

= −

libero

( ) ( )0 0T x M x= =

Le condizioni al contorno possono essere date su v , θ ma anche su taglio T e momento M

Incastro

( ) ( )0 0v x x= θ =

appoggio

( ) ( )0 0v x M x= =

Ogni elemento ha 4 costanti di integrazione. Nell’esempio sono 20

Tra un elemento e l’altro si impone la congruenza (stessa freccia e rotazione)

vincoli

carichi concentrati

x

y

A ogni connessione si hanno 2 eq. Congruenza e 2 eq. di equilibrio, totale 16

altre 2 eq. si hanno negli estremi liberi, totale 4

20 equazioni e 20 incognite

Nell’integrazione lungo x occorre integrare un elemento della trave alla volta, intendendo per elemento un tratto ove non si abbiano all’interno variazioni vincolari, o applicazione dei carichi concentrati

Il momento flettente in x è:

( )M x P x=

( )2

2

d v x P xdx E I

=

( )2 3

31 1 1 6 2 3 P P L P Lv x x xE I E I E I

= − +

2

11 2 P LCE I

= −

3

21 3 P LCE I

=

Le condizioni al contorno sono

( )2

11 02 x L

P Lx CE I=

= θ = +

( )3

1 21 06 x L

P Lv x C L CE I=

= = + +

Nel punto di applicazione del carico (x=0) ( )31 0

3 P LvE I

= ( )21 0

2 P LE I

θ =

( ) 2

1

2 dv x P x Cdx E I

= + ( )3

1 2

6 P xv x C x CE I

= + +

x

vEsempio 1: Trave incastrata libera

Esempio 2: Carico distribuito v

4

4 d vE I wdx

= −

3

13 d vE I wx Cdx

= − +

2 2

1 22 2

d v xE I w C x Cdx

= − + +

3 2

1 2 3 6 2

dv x xE I w C C x Cdx

= − + + +

4 3 2

1 2 3 4 24 6 2x x xE I v w C C C x C= − + + + +

( )0 0v =

( )2

2

0 0d v

E Idx

=

Estremità sin Estremità dx

( )2

2 0d v L

E Idx

=

( ) 0v L =

4 0C =

2 0C =

33

124

C wL=

112

C wL=

( ) ( )4 3 31 224

v x x Lx L xE I

= − + −

Andamento della freccia

Valore massimo (al centro)3

max5

2 384 L w Lv

E I = −

Annullando la derivata prima

Esempio 3: Trave caricata oltre gli appoggi

La struttura in acciaio presenta un carico oltre l’ultimo appoggio. Calcolare l’equazione della freccia ed il valore all’estremità caricata

Soluzione:

Data la presenza dell’appoggio in B, occorre risolvere due elementi di trave separati

Non essendo presenti carichi distribuiti si può procedere a partire dal taglio, di conoscenza immediata (dall’equilibrio dell’intera struttura)

( )02PV x L= − < < 3

2V P L x L = < <

2

12 2

d v PE I x Cdx

= − +2

22 d vE I Px Cdx

= +

Momento nullo in A e C( )2

2

00

d vdx

=( )2

2

3 20

d v Ldx

=

1 0C =2

32

C PL= −

Si deducono quindi le due equazioni che risolvono il momento flettente

( )02PM x x L= − < < ( )3 2 3

2 2P L x

M L x L− = − < <

La successiva integrazione fornisce l’andamento dell’angolo

23

4dv PE I x Cdx

= − +( )

4

3

2Px L xdvE I C

dx−

= − +

La condizione di continuità dell’inclinazione ci dà una prima equazione

2 23 44

P L C PL C− + = − +

L’ulteriore integrazione ci fornisce la freccia

33 5

12PE I v x C x C= − + +

( )2

4 6

9 2

12Px L x

E I v C x C−

= − + +

24 3

34

C C PL= +

Mentre per l’elemento BC si può applicare una sola c.c.( ) 0v L = 3

614

C PL= −

Prendendo ora l’elemento AB abbiamo anche le c.c.

( ) ( )0 0 e 0v v L= =

52

3

0

12

C

PLC

=

= 24

56

C PL=

Ora che tutte le 6 costanti (siamo partiti da eq. diff. del III ordine) sono state determinate, sostituendo si risolve il problema

( ) ( ) ( )2 2 012Pxv x L x x LEI

= − < <

( ) ( )3 2 2 3 33 10 9 212 2Pv x L L x Lx x L x LEI

= − − + − < <

Infine, nel punto di applicazione del carico

332 8c

PLv LEI

δ = = −

ESPRESSIONE ESATTA DELLA CURVATURA

Essa è da utilizzare quando la trave si infletta maggiormente e non potendo più confondere ascissa curvilinea con cartesiana e angolo con tangente,

( )arctan1 d dv dxd dxds dx dsθκ

ρ = = = ⋅

2 2ds dx dv= +Dal teorema di Pitagora

12 2

1ds dvdx dx

= +

La derivata dell’arcotangente si risolve come derivata notevole( )

( )

2 2

2

arctan

1

d dv dx d v dxdx dv dx

=+

Sostituendo nella prima le due equazioni trovate si ha

( )

2 2

32 2

1

1

d d v dxds dv dx

θκρ

= = = +

Si vede che considerare la curvatura come legata solo alla derivata seconda equivale a trascurare il quadrato della derivata prima rispetto all’unità

METODO DI SOVRPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Le equazioni differenziali che sono state introdotte presentano tutte derivate elevate alla potenza unitaria. Pertanto trattasi di equazioni differenziali lineari e gli effetti (deformazioni) dipendono linearmente dalle cause (carichi)

Nell’esempio a fianco si può trovare la soluzione sommando le deformate ottenute per effetto del carico concentrato e di quello distribuito

3 4548 384C C CP q

PL qLEI EI

δ = δ + δ = +

2 3

16 24A B A AP q

PL qLEI EI

θ = θ = θ + θ = +

Nei manuali di meccanica strutturale si trovano le soluzioni base di molte tipologie di travi che consentono di ricavare soluzioni complesse sovrapponendo gli effetti

Il principio di sovrapposizione degli effetti può essere applicato se:

il materiale è lineare elasticospostamenti e deformazioni sono piccoli (lineari)la deformata associata al carico non modifica le sollecitazioni presenti

In presenza di carichi distribuiti q(x) qualsivoglia, sfruttando la sovrapposizione è possibile prima trovare la soluzione associata ad un elementino di carico e poi sommare (integrare) tutti i contributi applicati a ciascun elementino caricato.

Introducendo l’equazione che fornisce

( ) ( )2

2 20 3 424qdx

q xv C L x dxEIL

= −

( ) 02 xq x qL

=

Che viene integrata secondo i carichi applicati

( ) ( ) ( )2 42 22 2 2 2 40 0 0

0 03 4 3 4

24 24 240L Lq x q q Lv C L x dx L x x dx

EIL EIL EI= − = − =∫ ∫

Si rimarca che l’integrale non rappresenta altro che la somma delle risposte ai carichi e quindi va esteso solo alle zone effettivamente caricate

I carichi concentrati danno invece contributi unici, ossia non integrati sul dominio di estensione

Per un carico dP= qdx lo spostamento al centro C:

( ) ( ) ( )2 23 448qdx

qdx xv C L x

EI= − ( )0 2x L≤ ≤

( ) ( )2 2 3 448qdx

dP xv C L xEI

= −

ENERGIA DI DEFORMAZIONE ASSOCIATA ALLA FLESSIONE

Il calcolo vale solo in piccoli spostamenti e per materiale lineare elastico

La relazione tra angolo e momento applicato vale

L MLEI

θ = =ρ

Quindi tra momento applicato e angolo di inflessione vi è una relazione lineare del tipo:

L’energia esterna spesa quindi è l’area sottesa, ossia

2 2

2 2 2M M L EIU

EI Lθ θ

= = =

Se il momento varia lungo l’asse, si può calcolare l’energia sommando i contributi energetici di ciascun elementino dx e sommandoli (integrando)

2

2

d vd dxdx

θ =

2MddU θ

=( )2

02 2L M x dxMdU

EIθ

= =∫ ∫22

20 2L EI d vU dx

dx

==

∫

DEFORMATA DOVUTA AD UN SOLO CARICO

Se un solo carico agisce sulla struttura, la corrispondente deformazione può essere correlata direttamente al carico

2UP

δ =2UM

θ =

Se ad esempio sono presenti due carichi generalizzati di estremità

( ) 0M x P M= − −

Dalla precedente definizione di energia immagazzinata

( ) ( )2 2 22 3

2 0 000 0

1 2 2 6 2 2

L LM x dx PM L M LP LU Px M dxEI EI EI EI EI

= = − − = + +∫ ∫

Termine addizionale

Energia associata al solo carico M0

Energia associata al solo carico P

In termini energetici si avrebbe 2 22 30 0 0

2 2 6 2 2A AM PM L M LP P L

EI EI EIδ + θ = + +

Sistema non risolvibile in quanto sono presenti 2 incognite in una unica equazione

In caso contrario il legame non è più lineare (compaiono termini misti di energia

TEOREMA DI CASTIGLIANO (Carlo Alberto Pio n. Milano 1847 m. Asti 1884)

Il teorema consente di determinare la deflessione di una struttura nota che sia la sua energia di deformazione

2 3

6P LUEI

= Si può derivare la precedente rispetto a P

2 3

6dU d P LdP dP EI

=

3

3dU PLdP EI

=31

3 AP LE I

δ =

La derivata dell’energia di deformazione fatta rispetto al carico applicato eguaglia la deformata subita dal punto di applicazione del carico

Derivazione del teorema Si considera una struttura in cui sono presenti molteplici carichi Pi cui si associano deformate δi

Si è nelle condizioni di poter applicare il principio di sovrapposizione degli effetti

L’energia totale del sistema sarà funzione di tutti i carichi agenti e vale

( )1 2, , , nU P P P

Supponendo ora di fornire ad uno dei carichi (i - generico) un piccolo incremento dPi l’energia si incrementa di i

i

UdU dPP∂

=∂

Per effetto della applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti, l’ordine di applicazione dei carichi non modifica l’energia complessiva

Se si applica prima il carico piccolo 2i idPddU δ

= Mentre tutti i successivi danno di nuovo ( )1 2, , , nU P P P

tot ii

UU U dU U dPP∂

= + = +∂

In questa seconda applicazione vi è tuttavia un piccolo ulteriore contributo, legato al lavoro

compiuto da dPi per effetto dello spostamento δi conseguenza di tutti i P1,…, Pn

2i i

tot idPdU U dPδ

= + + δ

Trascurando il termine differenziale del II ordine ed uguagliando le energie totali

ii

UP

∂δ =

∂

Il teorema, qui sviluppato per le travi inflesse, ha una validitàmolto più generale e si applica anche ad ogni solido elastico, considerando forze e spostamenti generalizzati

2P

2P

3M

iP

Vediamo come lo si utilizza nel caso dei due carichi estremali già considerato

( ) 0M x Px M= − −2 22 3

0 0

6 2 2PM L M LP LU

EI EI EI= + +

230

3 2AM LU PL

P EI EI∂

δ = = +∂

20

0 2AM LU PL

M EI EI∂

θ = = +∂

Metodo del carico fittizio

Il teorema determina lo spostamento solo nel punto di applicazione di un carico. Tuttavia, se si vuole un altro spostamento generalizzato si può applicare una forza fittizia generalizzata in esso, calcolare l’energia totale, derivare rispetto al carico fittizio e annullare il carico fittizio stesso

Supponiamo di voler determinare lo spostamento in mezzeria

1Q =

( ) 0M x Px M= − −

( ) ( ) ( )0 2 2M x Px M Q x L L x L= − − − − < ≤

( )0 2x L≤ ≤

( )2 22 32 2 0 0

00

12 48 8 4

L

ACPM L M LP LU Px M d

EI EI EI EI= − + θ = + +∫

( )202

1 22

L

BC LU Px M Qx Q L d

EI= − − − + θ∫

2 2 22 3 3 2 30 0 05

48 8 48 4 8 48PM L M L M QLP L PQL Q L

EI EI EI EI EI EI= + + + + +

23 30

0

548 8 24

totC Q

U M LPL QLQ EI EI EI≠

∂δ = = + +

∂

Ora si deriva rispetto al carico fittizio

tot AC CBU U U= +

Alla rimozione del quale si ottiene lo spostamento cercato

230

0

548 8C C Q

M LPLEI EI=

δ = δ = +

Il metodo proposto è del tutto universale, tuttavia la sua applicazione analitica può essere molto rallentata dalla necessità di integrare delle funzioni al quadrato che producono molti termini nell’integrando

Differenziazione all’interno dell’integrale

L’idea di base è di derivare (rispetto al carico Pi) direttamente all’interno dell’integrale

2

2i

i i i

U M dx M M dxP P EI EI P

∂ ∂ ∂ δ = = = ∂ ∂ ∂ ∫ ∫

Questa ultima equazione viene indicata come il teorema di Castigliano modificato

Il vantaggio di questa II formulazione sta nel numero di termini da integrare che, in virtù del prodotto con la derivata, è sicuramente minore

Riprendendo il precedente problema di spostamento in mezzeria:

( ) 0M x Px M= − −

( ) ( )0 2M x Px M Q x L= − − − −

( )0 2x L≤ ≤

( )2L x L< ≤

( )0

M xQ

∂=

∂( )

2M x LxQ

∂= − −

∂

( )( )2

0 000 2

1 02 2

L L

C QL

L LPx M dx Px M Q x x dxEI≠

δ = − − − − − − − − ∫ ∫

22

002

14

L

C QL

LPx M Qx Q QLx dxEI≠

δ = − − − − − +

∫

230

0

548 8C C Q

M LPLEI EI=

δ = δ = +

2

2i

i i i

U M dx M M dxP P EI EI P

∂ ∂ ∂ δ = = = ∂ ∂ ∂ ∫ ∫

Questa derivata può avere anche una interpretazione fisica interessante:momento prodotto da un carico unitario Pi

Questa specificazione dà luogo al metodo del carico unitario

In base alle forze si può determinare l’andamento dei momenti

( )2

1 11 1 1 12 2 2 2AB A

qx qxqL PM x R x x x= − = − − ( )0 x L≤ ≤

( )2 2CBM x Px= − ( )22L x L≤ <

differenziando ( )112

ABM x P xP

∂= −

∂( )2

2CBM x

xP

∂= −

∂

EsempioDeterminare lo spostamento e l’angolo di rotazione in corrispondenza del punto C.

Soluzione:

In corrispondenza dei supporti si ha2 2AqL PR = −

32 2BqL PR = +

[spostamento]

( )( )22

1 11 1 2 2

0 0

1 12 2 2 2

LL

Cqx xM M qL Pdx x x dx Px x dx

EI P EI EI ∂ δ = = − − − + − − ∂

∫ ∫ ∫

24 3 43 3 311 1 2

00

1 112 12 16 3 8 48

L L

CqxqL P P PL qLx x x

EI EI EI EI δ = − + + + = −

Il segno è indicativo, se positivo è diretto come P, altrimenti in verso opposto

P

q

[ angolo di rotazione ]

Non è previsto un momento applicato, quindi se ne aggiunge uno fittizio MC

2 2C

AMqL PRL

= − −3

2 2C

BMqL PRL

= + +

L’andamento dei momenti si modifica nel modo seguente

( )2

1 11 1 1 1 1

2 2 2 2C

AB AMqx qxqL PM x R x x x xL

= − = − − − ( )10 x L≤ ≤

( )2 2CB CM x Px M= − − ( )20 2x L≤ <

Differenziando ora rispetto al carico fittizio MC

( )1 1AB

C

M x xM L

∂= −

∂

( )2 1CB

C

M xM

∂= −

∂

( )( )22

1 11 1 1 2

0 0

1 1 12 2 2

LLC

C CC

M qx xM M qL Pdx x x x dx Px M dxEI M EI L L EI

∂ θ = = − − − − + − − − ∂ ∫ ∫ ∫

Annullando ora il valore del momento fittizio MC

( )( )22

1 11 1 2

0 0

1 1 12 2 2

LL

Cqx xqL Px x dx Px dx

EI L EI θ = − − − + − −

∫ ∫

24 2 33 3 211 1 2

00

1 1 76 6 8 2 24 24

L L

Cqxq P P PL qLx x x

EI EI EI EI δ = − + + + = −

Eseguendo i calcoli si ricava infineSe il segno è positivo la rotazione ha lo stesso verso ipotizzato al carico fittizio MC

1 2

2mT TT +

=

Se l’appoggio è tale da non impedire l’allungamento medio (da T0) o le rotazioni, la struttura non si tensionerà ma si deformerà. Ciascuna fibra secondo la legge T Lδ = α ∆

Facendo riferimento alla figura a fianco

( )2 1hd T T dxθ = α −

2dθ

( )2 1T Tddx h

α −θ=

( )22 1

2

T Td vdx h

α −=

Se T2 > T1 allora la curvatura è positiva

Nel caso in cui la rotazione sia impedita il calcolo si può fare sovrapponendo gli effetti: prima si lascia la trave libera di deformarsi in temperatura, poi, da questa posizione essa viene caricata imponendo il rispetto dei vincoli –questa ultima condizione comporta l’insorgere di tensioni

EFFETTI TERMICI

Nel caso della deflessione delle travi, ha interesse trattare il caso di variazioni termiche lungo l’altezza della trave

2 1 0T T T> >

Su di esso viene applicato un riferimento radiale-circonferenziale e si supponga che lo spessore sia piccolo al punto da non spostare significativamente il raggio neutro da quello baricentrico

R

P0M

r

O

β θ

s

Si suppone di poter trascurare la deformabilità dovuta a sforzo assiale e taglio

DEFORMAZIONE DI TRAVI CURVILINEE

Si considera il caso di una trave di curvatura iniziale costante (linea media = tratto circonferenza) soggetta ad un carico radiale estremale composto da una forza P ed un momento M0

( )2

0 0

12M Rd dMM Rd

P EI EI dP

β β∂ θδ β = = θ

∂ ∫ ∫

( ) 0 sinM M PRϑ = + θ

In una generica sezione identificata da θ( )2

0 2M Rd

P EI

β∂ θδ β =

∂ ∫

( ) ( )00

1 sin sinM PR R RdEI

β

δ β = + θ θ θ∫

Il modo più pratico di affrontare questo problema èmediante l’utilizzo del Teorema di Castigliano

2

0 2

L M dsUEI

= ∫ ( ) ULP

∂δ =

∂Spostamento radiale

Sviluppando l’integrale ( ) ( )2 3 20

0

1 sin sinM R PR dEI

β

δ β = θ + θ θ∫

Nel caso particolare di quarto di cerchio2 3 3

200

12 4 4

M R PR PRM REI EI EI

π π π δ = + = +

( ) 2 30 0

0

1 1 cos2cos2

M R PR dEI

ββ − θ δ β = − θ + θ ∫

( ) ( )2 3

0 sin 21 cos2 4

M R PREI EI

β β δ β = − β + −

Nel caso particolare del semicerchio ( )2 3 3

200

12 22 2

M R PR PRM REI EI EI

π πδ π = + = +

… Volendo calcolare lo spostamento tangenziale si sarebbe potuto introdurre un carico fittizio Q diretto come s….

TRAVI SU FONDAZIONE ELASTICA

Si ipotizzi ora che una trave sia supportata da una fondazione che reagisce elasticamente

In ogni punto di appoggio, la fondazione reagisce al cedimento η con una reazione elastica kη

Gli equilibri sul generico elementino forniscono

( )dT q kdx

η= − −

T

T+dT

M M+dM

q

kη

dM Tdx

=;

Dall’equazione linea elastica: ( )2

2

dEJ M xdxη

− =4

4

dEJ q kdxη η= −

È questo un caso particolarmente interessante allorché si studino travi orizzontali appoggiate su terreno cedevole, oppure strutture a sviluppo assiale parzialmente sommerse (navi lunghe)

xy

k

q(x)

ηN.B. si utilizza η che ha verso opposto a y

2 22 i α β= ± ; 2 iα β= ± ±( ) 2 1 i iα β β= ± = ± +

( ) 2 1 i iα β β= ± − = ± −

Della equazione differenziale del IV ordine vista, si limita lo studio al solo caso di carichi concentrati (q=0)

4

4 0dEJ kdxη η+ =

4 44 0α β+ =

L’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale è

La soluzione della omogenea assume così la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4

1 1 1 1 i x i x i x i xx C e C e C e C eβ β β βη + − + − − −= + + +

( ) ( ) ( )1 3 4 2 x i x i x x i x i xx e C e C e e C e C eβ β β β β βη − − −= + + +

Questo problema richiede l’utilizzo di 4 condizioni al contorno

( ) ( ) ( )cos sen cos senx xx e A x B x e F x G xβ βη β β β β−= + + +

44

4 4 ddxη β η+

4

4 kE J

β =Riscritta come con

Si consideri ad esempio il caso di una trave infinitamente lunga con un carico concentrato

x

ηk

P Si sceglie l’origine sul punto di applicazione del carico

( ) ( ) ( )cos sen cos senx xx e A x B x e F x G xβ βη β β β β−= + + +

( ) ( )cos senxx e F x G xβη β β−= +

È plausibile supporre che a distanza molto grande dall’origine la deformata svanisca

I primi due termini esponenziali debbono essere nulli 0A B= =

La prima condizione al contorno (simmetria) prevede l’annullarsi della derivata prima all’origine

( )0

cos sen sen cosx

xd e F x G x F x G xdx

βη β β β β=

−= + + − F G=

( ) ( )cos senxx Fe x xβη β β−= +

Per l’altra condizione al contorno, possiamo dire che il taglio (in una direzione della trave) è uguale alla metà del carico applicato ( )0 2V P= −

Derivando tre volte

2 senxd Fe xdx

βη β β−= −

( ) ( )cos senxx Fe x xβη β β−= +

( )2

22 2 sen cosxd Fe x x

dxβη β β β−= −

33

3 4 cosxd Fe xdx

βη β β−=

( )3

30 0

0 2 x x

dM dV P EIdx dx

η

= =

= = − = −

Tenendo conto delle precedenti derivate

342PFEI

β = 38PFEIβ

=

La soluzione generale è allora

( ) ( )3 cos sen8

xPx e x xEI

βη β ββ

−= + La legge di spostamento si annulla rapidamente

31 18PEI

ββ

= =

( )v x

( )xη−