1.1. Itseisarvo

* luvun etäisyys nollasta

0kun x ,x -

0kun x , x x

E.2. Poista itseisarvot

lausekkeesta

1x

x – 1 ≥ 0

x ≥ 1

1x

1 x 1x-

1 x,1x

2x

E.3. a)

= x2

13 2 xb) = 3x2 + 1

koska

3x2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0

1.1.3. Itseisarvofunktio1.1.3. Itseisarvofunktio

E.7. Piirrä funktion kuvaaja1 xy

x 1 xy

-3

-2

-1

0

1

213

112

011

110

211

abs

1.2. Itseisarvoyhtälöt

1) 1)

E.2.

31 x

x +1 = 3 tai x+1 = -3

x = 3 -1 tai x = -3 - 1

x = 2 tai x = -4

xx 21

x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x

x - 2x = 1 tai x +2x = 1

-x = 1 tai 3x = 1

x = -1 tai x =1/3

Vastaus: x = 1/3

x 0

2)2)

E.4.

xx 26

x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x

x - 2x = 6 tai x +2x = 6

-x = 6 tai 3x = 6 | : 3

x = -6 tai x = 2

Vastaus: x1 = -6, x2 = 2

4)4)

xx 26

(x - 6)2 = (2x)2

x2 – 12x + 36 = 4x2

3x2 + 12x - 36 = 0

x2 + 4x – 12 = 0

Vastaus: x1 = -2, x2 = -6

2

)12(1444 2 x

2

84 x

| 3x + 12 | < 3-3 < 3x + 12 < 3-15 < 3x < -9 -5 < x < -3

E.1. E.2.

| 3x -7 | > 2

3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2

3x > 9 tai 3x < 5

x > 3 tai x < 5/3

2.

E.3.(46a) E.4.(46b)

3.

E.5.

82

384)10(10 2

x

Nollakohdat:

16

210 2

1 x

4

321 x

Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa

Etäisyys x-akselista = | y | . Etäisyys y-akselista = | x |

E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys

a) x-akselista b) y-akselista c) origosta?

a) |-5| = 5

|-5| = 5

b) |4| = 4

|4| = 4222 54 d

412 d

41d

c)

Janan pituus yleisesti P1P2 = 212

212 )()( yyxx

E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys

P1= (x1,y1)

P2= (x2,y2)

22 )31()25( d 25)4(3 22 = 5

Janan keskipiste

E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8)

Pisteiden (x1,y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipiste on

)2

,2

( 2121 yyxx

)2

80,

2

24(

= (1, -4)

Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä

E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3?

4 = 2 3½ - 34 = 4tosi

V: Piste on suoralla

E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0?

3 2 – 3a + 6 = 06 – 3a + 6 = 0-3a = -12a = 4

2.2 Suora y = kx + b

E.1.

Piirrä suora y = 2x + 4

2.2.1 Suoran piirtäminen

TAPA I

x y .

-1 2 (-1) + 4 = 2

0 4

1 6

y = 2x + 4

TAPA II

Koordinaattiakselien leikkauspisteet:

y-akseli, x = 0: y = 2 0 + 4 = 4

x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4

2x = - 4 x = -2

2.2 Suora y = kx + b

2.2.1 Suoran piirtäminen

12

12

xx

yy

x

yk

x1 ≠ x2

E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

313

28

k 331

82

k

KULMAKERROINKULMAKERROIN

2.2.3 Suoran suuntakulma2.2.3 Suoran suuntakulma

kxx

yy

12

12tan

E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on a) 45° b) - 30 °

a) k = tan 45° = 1b) k = tan -30° = -tan30°=

E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2tan = 2 63,4

E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma?k = 4tan = 4 76,0

y - yy - y00 = k(x - x = k(x - x00))

missä(x0, y0) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin

Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on

x = xx = x00

E.1.

Kulmakerroin on 4

suoralla on piste (2, -3).

Mikä on suoran yhtälö?

y - (-3) = 4(x - 2)

y + 3 = 4x - 8

y = 4x - 8 -3

y = 4x - 11

E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1) kulkevan suoran yhtälö?

3

4

25

)3(1

12

12

xx

yyk

y – yy – y00 = k(x – x = k(x – x00))

)5(3

41 xy

3

20

3

41 xy

20433 xy

01734 yx

E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit?

Suoran ja x-akselin leikkauspiste:

y=0:

-3x + 4 0 = 12

-3x = 12 |:(-3)

x = -4

V: (-4,0)

Suoran ja y-akselin leikkauspiste:

x=0:

-3 0 + 4 y = 12

4y = 12 |:4

y = 3

V: (0,3)

Kirjan E.2. – s. 53

Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta.

2x – 3y + 5 = 0

3

5

3

2

523

xy

xy

))2((3

23 xy

3

4

3

23 xy

4293 xy

01332 yx

TAITAI2x – 3y + c = 0sijoitus-4 – 9 + c = 0 c = 132x – 3y + 13 = 0

E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi. y = 3x + c

E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi. y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2k + 3 tai x = 2

E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta 2x + 3y + c = 0 2 7 + 3 (-8) + c = 0 c = 10 V: 2x + 3y + 10 = 0

Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorastaEtäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta

Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x0,y0)

(a ≠ 0 tai b ≠ 0)

22

00

ba

cbyaxd

E.2. Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 53x – 4y = 53x – 4y – 5 = 0

22 )4(3

52413

d

25

583 2

5

10

E.1. Mikä on pisteen a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4?b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3?

a) d = | 2 - 4 | = 2a) d = | 2 - 4 | = 2

b)b) d = | 5 – (-3) | = 8d = | 5 – (-3) | = 8

*************

E.1. Tutki suorien y = 3x - 4 , 6x + 2y = 3 ja 6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta

y = 3x – 4 k1 = 3

6x + 2y = 3 2y = -6x + 3

y = -3x + 3/2 k2 = .36x - 2y + 3 = 0

-2y = -6x – 3 y = 3x + 3/2 k3 = 3 V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat yhdensuuntaisia

E.2. E.2. Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?

k = 3

y – y0 = k(x – x0)

y – 2 = 3(x – 1)

y – 2 = 3x – 3

y = 3x - 1y = 3x - 1

TAITAIMikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö?3x – y + 4 = 0

b

ak 3

1

3

Kuten edellä…

TAI

3x – y + c = 0

3 1 – 2 + c = 0

c = -1

3x – y – 1 = 0

3.1.2. Suorien kohtisuoruus3.1.2. Suorien kohtisuoruus

E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4

3

1Nk 4

1

4

1

Nk

E.2. Tutki suorien L1:y = 2x + 3 , L2:y = ½x - 1 ja L3:y = -½x + 2 kohtisuoruutta.k1 = 2 k2 = ½ k3 = -½L1 L3, koskak1 k3 = 2 (-½)= -1

E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran y = 2x + 3 normaalin yhtälö.k = 2

2

1Nk

y - 2 = -½(x - 1)y – 2 = -½x + ½ y = -½x + 2½

3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA

21

12

1tan

kk

kk

Olkoon

y = k1x + b1

y = k2x + b2

= suorien välinen kulmaKun < 90, niin

E.x. (t. 198)

Laske suorien

a) 2x – 8y + 1 = 0 ja 2x + y – 2 = 0

3.2.1 Suorien leikkauspiste

E.1. (t. 220)

Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala.

x + 2x + 1 + 2 = 0 3x = -3 x = -1y = 2 (-1) + 1 = -1

1 2x y

0 2 y x

2x

0 2 y x 2 + y + 2 = 0 y = -4leikkauspiste B = (2, -4)

2x

12xy y = 2 2 + 1 y = 5leikkauspiste C = (2, 5)

A =

Kirjan E.3., s. 78

E.1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y 1

1) x + y = 1

y = -x + 1

3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1,2)

Sijoitetaan piste yhtälöön:

1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi

4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0,0)

Sijoitetaan piste yhtälöön:

0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi

5) Vastaus: Epäyhtälö toteutuu suoralla x + y = 1 ja sen yläpuolella

2)

E.2.

Piirrä epäyhtälöiden x2, y 1, x+y 6 ja x +2y 8 rajaama alue

x2 y 1

x+y 6x+y = 6 y = -x + 6

Piste yläpuolelta:

(5,5)

5 + 5 = 10 > 6

tosi

Piste alapuolelta:

(0,0)

0 + 0 = 0 > 6

epätosi

x +2y 8 2y = -x + 8 y = -0,5x + 4

Piste yläpuolelta:

(4,5)

4 + 2*5 = 14 > 8

tosi

Piste alapuolelta:

(0,0)

0 + 0 = 0 > 8

epätosi

Yhdistetään tulokset

x+y 6

x +2y 8

y 1,

x2,

E.1. Ratkaise yhtälöpari

74

1024

yx

yx | 2

| 1

7 4y x

204y -8x

9x = 27

x = 3

V: x = 3, y = 1

y sijoittamalla

3 + 4y = 7

4y = 7 – 3

4y = 4

y = 1

Tarkistus:

4 3 – 2 1 = 10 ./.

3 + 4 1 = 7 ./.

E.2.

52

1332

174

cba

cba

cba

52

174

cba

cba

1332

174

cba

cba | 1|(-1)

| 1| (-1)

13 c 3b 2a

17c b 4a

52

174

cba

cba

2a - 4b = -4 6a -2b = -12

12- b2 a6

(-3) 4 b4 2a

12- b2 a6

12 12b 6a-

10b = 0 |:10

Sijoittamalla

2a - 4 0 = -4

2a = -4

a= -2

V: a = -2, b = 0 ja c = -9

Ratkaise:

c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9b = 0

ttaarrkkiissttuuss

Kirjan esimerkki 2, sivu 96

3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia

E.1. (t. 260)

Ratkaise yhtälöryhmät

a)

032

032

xzy

zyx(-1)

032

032

zyx

zyx

V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0

b)

0523

04532

zyx

zyx

3

523

4532

zyx

zyx

15639

4532

zyx

zyx

11x = -11z + 11

| :11

x = -z + 1

Sijoitus:

3(-z + 1) + y + 2z = 5

-3z + 3 + y + 2z = 5

y = z + 2

x = 1 – z, y = z +2, z R

V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t R

c)

052

042

xyz

zyx

(-1)

052

042

zyx

zyx

V: Ei ratkaisua

52

42

zyx

zyx

3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia

E.1. (t. 264)

Ratkaise yhtälöryhmä

0134

0423

072

06435

zyx

zyx

zyx

zyx Valitaan osaryhmä

0134

0423

072

zyx

zyx

zyx

0423

072

zyx

zyx

0134

0423

zyx

zyx

5x - z + 3 = 0 7x - 5z - 3 = 0

357

35

zx

zx (-5)

35z7x

15 5z25x

-18x = 18

x = -1

z: 5 (-1) – z = -3

z = -2

y: 3 (-1) + y – 2 (-2) – 4 = 0

y = 3

Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0

Sijoitus:

5 (-1) – 3 3 – 4 (-2) + 6 = 0

0 = 0

tosi

V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2

*************

4.1 YMPYRÄ4.1 YMPYRÄYhtälö keskipistemuodossa

(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 ,

missä keskipiste on (x0,y0) ja säde on r.

P0(x0,y0)

E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ?

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 42

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16

E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde?(1, 3)r = 2

Yhtälön muodostamisia eri tilanteissaYhtälön muodostamisia eri tilanteissa* Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde.

E.3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee pisteen (5,-1) kautta?

22 )31()25( r

E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa y-akselia?

525

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 52

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25

r = 3(x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat ´ (1,2) ja (-3,4)?

22 )24()13( d 5220

52

52r

32

42

12

)3(1

0

0

y

x 222 )5()3())1(( yx

5)3()1( 22 yx

4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa

x2 + y2 + ax + by + c = 0

E.6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa.

x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 3

x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0

E.7. Mikä on ympyrän x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde?

x2 – 2x + y2 + 4y = 4

x2 – 2x + 1+ y2 +4y + 4 = 4 + 1 + 4

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9

V: K = (1,-2) , r = 3

Yleisen yhtälön xYleisen yhtälön x22 + y + y22 + ax + by + b = 0 kuvaajat + ax + by + b = 0 kuvaajat

E.8. Mikä on yhtälön a) x2 + y2 - 4x + 8y + 20 = 0 b) x2 + y2 - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja?

a) x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 0 Kuvaaja piste (2, -4)

b) x2 – 10x + 25 + y2 + 12y + 36 = -62 + 25 + 36 (x – 5)2 +(y + 6)2 = -1 Ei kuvaajaa

E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x2 + y2 + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä?

x2 +2x + 1 + y2 – 4y + 4 = -a + 1 + 4(x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5Ympyrä, jos - a + 5 > 0

a < 5

Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminenSuoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminenRatkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari.

E.10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x2 + y2 = 16 leikkauspisteet.

16

422 yx

yx

16

422 yx

xy

x2 + (x – 4)2 = 16

x2 + x2 – 8x + 16 = 16

2x2 – 8x = 0

2x(x – 4) = 0

x = 0 tai x – 4 = 0

x = 4

y sijoittamalla:

y = 0 – 4 = -4 y = 4 – 4 = 0

V: (0, -4) ja (4, 0)

E.11. Laske ympyröiden x2 + y2 = 5 ja x2 + y2 - 2x - 6y + 5 = 0 leikkauspisteet.

V: (2,1) , (-1,2)

0562

522

22

yxyx

yx

(-1)

0562

522

22

yxyx

yx

2x + 6y – 5 = 5

2x + 6y = 10

5

106222 yx

yx

5

5322 yx

yx

5)53( 22 yy 525309 22 yyy 0203010 2 yy

0232 yy Ratkaisukaavalla: y1 = 1 y2 = 2

x1 = -3 1 + 5 = 2

x2 = -3 2 + 5 = -1

4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti

Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä

Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa

* tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä

vastaan

* keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista

E.12. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö?

Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä(4 – 1)2 + (3 – 2)2 = 10

(x0, y0) = (1, 2)

Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin:

3

1

14

23

k 3Tk

tangentin yhtälö:

y - 3 = -3(x – 4)

3x + y – 15 = 0

E.13. Mikä on ympyrän x2 + y2 = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2x suuntainen?K = (0, 0) 5r

tangentin yhtälö

y = 2x + c

2x – y + c = 0

5)1(2

010222

c 55

c

55c 5 c

5c V: y = 2x c

E.14. Laske pisteen (0,-5) kautta kulkevien ympyrän x2 + y2 = 5 tangenttien yhtälöt

02 + (-5)2 = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella

tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on

y + 5 = k(x – 0)kx – y – 5 = 0x0, y0 = (0, 0) ja säde 5r

Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista:

5)1(

501022

k

k5

1

52

k

155 2 k 555 2 k 5525 2 k

205 2 k 242 kk

2x – y – 5 = 0 -2x – y – 5 = 0 2x + y + 5 = 0

Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin suuntainensuuntainen

Yhtälön y - y0 = a(x - x0)2 kuvaaja on paraabeli, jonka

huippu on pisteessä (x0,y0) ja joka on yhtenevä paraabelin y = ax2 kanssaakseli on y-akselin suuntainen, x = x0

E.1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x2 + 3 b) y = x2 + 2xa) y – 3 = x2 y – 3 = (x – 0)2

b) y = x2 + 2x y + 1 = x2+ 2x + 1 y + 1 = (x + 1)2

Huipun laskeminenHuipun laskeminenSievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu.

E.2. Laske paraabelin y = x2 - 4x + 5 huippu y – 5 = x2 – 4xy – 5 + 4 = x2 – 4x + 4y – 1 = (x – 2)2

Huippu pisteessä (2, 1)

Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja x-akselin leikkauspisteiden avulla:

x0 on leikkauspisteiden keskiarvo

y0 saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön

Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminenSuoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen

E.3. Laske paraabelin y = x2 - 2x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet.

32

52 xxy

xy

325 2 xxx

0232 xx

2

13

2

214)3(3 2

x

x1 = 2 , x2 = 1

y sijoittamalla:

y1 = 2 – 5 = -3

y2 = 1 – 5 = -4

V: (2, -3) ja (1, - 4)

Paraabelin tangentin laskeminenParaabelin tangentin laskeminen

E.4. Mikä on a, kun suora y = x + a sivuaa paraabelia y = x2 - 3x + 1?

132 xxy

axy

132 xxax

0142 axx

D = (-4)2 – 4 1 (1 – a)

= 16 – 4 + 4a = 12 + 4a

D = 0: 12 + 4a = 0 4a = -12

a = -3

V: y = x - 3