1. Verso preliminar 24 de setembro de 2002Notas de Aula de Fsica11. ROTAO .................................................................................................................... 2 AS VARIVEIS DA ROTAO.................................................................................................. 2 Posio angular ............................................................................................................ 2 Deslocamento angular .................................................................................................. 2 Velocidade angular ....................................................................................................... 3 Acelerao angular ....................................................................................................... 3 ROTAO COM ACELERAO ANGULAR CONSTANTE .............................................................. 3 AS VARIVEIS LINEARES E ANGULARES ................................................................................. 4 A posio ...................................................................................................................... 4 A velocidade escalar ..................................................................................................... 4 A acelerao ................................................................................................................. 4 ENERGIA CINTICA DE ROTAO.......................................................................................... 5 MOMENTO DE INRCIA ......................................................................................................... 5 Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 6 Alguns exemplos de clculo de momento de inrcia .................................................... 7 TORQUE .......................................................................................................................... 10 A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA A ROTAO .................................................................... 11 TRABALHO, POTNCIA, E O TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINTICA............................... 12 SOLUO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 13 02 ................................................................................................................................ 13 10 ................................................................................................................................ 13 12 ................................................................................................................................ 14 23 ................................................................................................................................ 14 34 ................................................................................................................................ 15 40 ................................................................................................................................ 15 42 ................................................................................................................................ 16 51 ................................................................................................................................ 17 73 ................................................................................................................................ 18 74 ................................................................................................................................ 19 75 ................................................................................................................................ 19 81 ................................................................................................................................ 20

2. Prof. Romero Tavares da Silva11. Rotao A cinemtica dos corpos rgidos trata dos movimentos de translao e rotao. No movimento de translao pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento linear. Por outro lado, no movimento de rotao pura as partes de um corpo descrevem trajetrias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada de eixo de rotao. No movimento de rotao pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situao real aquele que incorpora tanto a translao quanto a rotao. As variveis da rotao semelhana do movimento de translao, para a anlise da rotao utilizamos de parmetros equivalentes a aqueles definidos anteriormente. Posio angular Quando um objeto de um formato arbitrrio, tem uma trajetria circular em torno de um certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descrevero esse movimento. Podemos marcar um dado ponto do objeto e analisar o seu movimento. A distncia deste ponto ao eixo de rotao chamado de raio r da trajetria. A sua trajetria descreve um arco de comprimento s . A posio angular associada ao arco e o raio o ngulo .rs = rs =s rDeslocamento angular Quando um corpo est em rotao, ele est variando a sua posio angular de modo que num dado momento ela definida pelo ngulo 1 e num instante posterior definida pelo ngulo 2 , de modo que o deslocamento angular entre os instantes considerados :21 = 2 - 1Cap 11romero@fisica.ufpb.br2 3. Prof. Romero Tavares da Silva Velocidade angular A velocidade angular a taxa com que a posio angular est variando; a razo entre o deslocamento angular e o tempo necessrio para fazer esse deslocamento. Definimos a velocidade angular mdia como: w = 2 1 = t 2 t1 tDefinimos a velocidade angular instantnea como: w = Lim t 0 d = dt tAcelerao angular Quando a velocidade angular de um corpo no constante mas varia no tempo com uma certa taxa, esse corpo ter uma acelerao angular. Definimos a acelerao angular mdia como: =w 2 w 1 w = t 2 t1 tDefinimos a acelerao angular instantnea como: = Lim t 0w dw = dt tRotao com acelerao angular constante semelhana do movimento de translao com acelerao constante, as equaes para rotao so obtidas integrando-se a equao de movimento:=dw = cons tan te dt dw = w 0 + dt w = w 0 + t e tambm: w=d dt(1) d = 0 + w dt = 0 + (w 0 + t )dtou seja: = 0 + w 0 dt + dt Cap 11t2 = 0 + w 0t + 2romero@fisica.ufpb.br(2) 3 4. Prof. Romero Tavares da Silva A velocidade angular mdia foi definida de modo que: w = 0 t = 0 + w tmas quando estamos analisando o movimento com acelerao constante, tambm podemos definir a velocidade angular mdia como: w =w + w0 2e usando essa equao na anterior, temos que: w + w0 w + w0 w w0 = 0 + t = 0 + 2 2 ou seja:2 w 2 = w 0 + 2 ( 0 )(3)As variveis lineares e angularesA posio Ao analisarmos o movimento de rotao de um objeto o parmetro que descreve o deslocamento espacial s=r A velocidade escalar Quando observamos os corpos rgidos, a rotao se faz com raio constante, ou seja: cada ponto observado mantm uma distncia constante ao eixo de rotao. Desse modo: v=ds d =r dt dtv =rwonde v a velocidade linear de um certo ponto do corpo e w a velocidade angular desse ponto considerado. Na realidade, w a velocidade angular do corpo por inteiro. A acelerao De maneira equivalente, a acelerao de uma dado ponto de um corpo definida como: a= Cap 11dv dw =r dt dtromero@fisica.ufpb.bra = r 4 5. Prof. Romero Tavares da Silva Essa acelerao tambm conhecida como acelerao tangencial, pois d conta da variao do mdulo da velocidade. Como a velocidade tangencial curva, para que o seu mdulo varie necessrio uma acelerao nesta direo. Com a definio dessa acelerao, temos agora dois tipos de acelerao no movimento circular: a acelerao tangencial e a acelerao radial (ou centrpeta), ou seja:! ! ! a = aT + aRonde aT = r v2 aR = = w 2r r Energia cintica de rotao Vamos considerar um conjunto de N partculas, cada uma com massa mi e velo! cidade v i girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri . A energia cintica deste sistema : N 1 N 1 1 N 1 2 K = m i v i2 = m i (w r i ) = m i r i 2 w 2 = I w 2 i =1 2 i =1 2 2 i =1 2onde ri a distncia de cada partcula ao eixo, w a velocidade angular das partculas em torno do eixo considerado e definimos o momento de inrcia I do conjunto de partculas como: NI = mi ri 2 i =1Vamos usar a definio de momento inrcia principalmente para calcular a energia cintica de rotao de corpos rgidos. Quando uma roda est girando em torno do seu eixo, as diversas partes da roda se movem com velocidade diferentes, mas todas as suas partes tm a mesma velocidade angular. Da a importncia da definio do momento de inrcia para computar a energia cintica associada ao movimento de rotao de um sistema de partculas ou um corpo rgido. Momento de inrcia Se dividirmos um corpo rgido em pequenas partes, cada parte com uma massa mi , podemos em tese calcular o momento de inrcia deste corpo usando a equao anteriormente apresentada para um sistema de partculas: NI = r i 2 m i i =1Se aumentarmos essa subdiviso de modo que aqueles elementos de massa mi se transformem em grandezas diferencias dm , poderemos identificar como: NI = Lim r i 2 m i = r 2 dm m 0 i 1 =Cap 11romero@fisica.ufpb.br5 6. Prof. Romero Tavares da Silva onde essa uma integral simblica que significa a integrao sobre todo o volume do corpo rgido considerado, seja ele de uma, duas ou trs dimenses. Teorema dos eixos paralelos Se conhecermos o momento de inrcia de um corpo em relao a um eixo qualquer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o momento de inrcia desse corpo em relao a qualquer eixo paralelo ao primeiro eixo considerado. Se a distncia entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM for o seu momento de inrcia em relao a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inrcia I mencionado: I = ICM + M H2 Para demonstrar essa equao vamos considerar um corpo de um formato qualquer, como no desenho a seguir. O momento de inrcia em relao ao eixo perpendicular ao papel, que cruza com a origem do referencial (xy) e que passa pelo centro de massa ICM I CM = R 2 dm onde dm um elemento de massa (representado pelo pequeno crculo) localizado pelo ! vetor posio R . y' y ! ! ! R = r +H ! R! R = ix + y j ! H = ia + b j ! r = i (x a ) + (y b ) j! H! rx' xPara calcular o outro momento de inrcia vamos considerar um segundo referencial (x'y') e um segundo eixo que passe pela origem desse referencial e seja perpendicular ao papel. O momento de inrcia em relao a esse segundo eixo :[]I = r 2 dm = (x a ) + (y b ) dm = [(x 2 + y 2 ) + (a 2 + b 2 ) 2(ax + by )]dm MasCap 11222 2 2 (x + y )dm = R dm = I CMromero@fisica.ufpb.br6 7. Prof. Romero Tavares da Silva 2 2 2 2 (a + b )dm = H dm = MH 2ax dm = 2a x dm = 2a X CM M = 0 2by dm = 2b y dm = 2b YCM M = 0 onde nas duas ltimas equaes utilizamos a premissa inicial que o centro de massa seria escolhido como origem do referencial, e desse modo XCM = YCM = 0 . Coletando os resultados das ltimas equaes, encontramos que: I = ICM + M H2 Alguns exemplos de clculo de momento de inrcia a.Momento de inrcia de um basto fino de massa M e comprimento L em relao a um eixo perpendicular ao basto e que passa por seu centro de massa. I = r 2 dm dxVamos considerar a fatia dx , distante x da origem, que contm uma massa dm . -L/2 Podemos usar a proporo: dm dx = M LxM dm = dx L +L / 2M +L / 2 2 M x3 I = x dm = x dx = L 3 L L / 2 L / 2 b.L/2 x+L / 2ML2 = 122L / 2Momento de inrcia de um anel de raio R e massa M , em relao a um eixo que passa pelo centro, perpendicular ao plano do anel. I = r 2 dm Vamos considerar o pedao de anel limitado pelo ngulo d , que contm umaVamos considerar o pedao de anel limitado pelo ngulo d , que faz um ngulo com a horizontal e que contm uma massa dm . Podemos usar a proporo: dm d = M 2 Cap 11dAnel de raio R M dm = d 2 romero@fisica.ufpb.br7 8. Prof. Romero Tavares da Silva I = r dm 2c.2 M MR 2 I = R d = d 2 0 0 2 22 I = MR 2Momento de inrcia de um anel de raio R e massa M , em relao a um eixo que passa por um dimetro qualquer. I = r 2 dm rA distncia r de um elemento de massa dm ao eixo : r = R cosd O elemento de massa dm e o ngulo d que limita essa massa se relacionam como: dm d = M 2M dm = 2I = r 2 dm d Anel de raio R2 2 2 M MR 2 2 I = (R cos ) d = cos d 2 0 0 2 Mas cos 2 =1 + cos 2 2MR 2 2I=1 2 1 2 d + cos 2 d 20 2 0 ou seja MR 2 I= 2 d.1 2 2 01 sen 2 + 2 2202 MR 2 { } I = MR = 2 2 Momento de inrcia de um cilindro anular em torno do eixo central. O cilindro tem raio interno R1 , raio externo R2 , comprimento L e massa M . I = r 2 dm Vamos considerar uma casca cilndrica de raio r , espessura dr e comprimento L.. O volume dV dessa casca dV = (2 r L) dr A massa dm contida nessa casca : dm = dV logoCap 11dm = 2 L r dr romero@fisica.ufpb.br8 9. Prof. Romero Tavares da Silva I = r 2 dm = r 2 [2L rdr ] = 2L r 3 dr = 2L R2R2R1R1R 24 R14 4Mas V = L(R 22 R12 ) =M M = V L(R 22 R12 )ento R 24 R14 M I =L 2 L(R 22 R12 ) e.I=M 2 (R 2 + R12 ) 2Momento de inrcia de um cilindro slido de massa M , raio a e comprimento L em relao ao dimetro central zz r dmEixoEixoI = R 2 dm dm = dV =zM M dV = dV a 2L VrO elemento de massa dm est limitado pelo ngulo d e dista R do eixo , que no desenho est na horizontal. zR EixoR 2 = r ' 2 +z 2 r'r ' = r sen zdV = (rd )(dr )(dz ) rRr'I = (r ' 2 + z 2 )[ (r d dr dz )] +L / 2 a2L / 2 00I = d r dr (r 2 sen 2 + z 2 ) = sen 2 d r 3 dr dz + d r dr z 2 dz dz 2+L / 22a+L / 22a+L / 20Cap 11a0L / 200L / 200L / 2romero@fisica.ufpb.br9 10. Prof. Romero Tavares da Silva Mas sen 2 =1 cos 2 2logo 21 21 2112 sen d = 2 d + 2 cos 2 d = 2 2 2 2 sen 2 0 0 02 0=ou seja: a4 I = ( ) 4 a2 (L ) + (2 ) 2 a 2 L2 I = a 2 L 4 + 12 1 L3 3 4 La 4 a 2 L3 + = 4 12 I=Ma 2 ML2 + 4 12Torque ! ! Define-se o troque produzido pela fora F quando ela atua sobre uma partcula como sendo o produto vetorial dessa fora pelo vetor posio da partcula: ! F ! ! ! = r F M Se no exemplo da figura ao lado de! r finirmos o plano da folha de papel com sendo x - y o torque estar ao longo do eixo z o e ser um vetor saindo da folha Conveno para simbolizar um vetor saindo perpendicular folha. Conveno para simbolizar um vetor entrando perpendicular folha.y! FNesse exemplo ao lado, em particular, o resultado do produto vetorial ! ! ! = r F = k (r F sen ) onde = r F sen = r FF F|| ! rxPodemos perceber que apenas a ! componente F da fora F quem contribui para o torque.Cap 11romero@fisica.ufpb.br10 11. Prof. Romero Tavares da SilvayPodemos visualizar o resultado do produto vetorial de uma maneira equivalente anterior, ou seja: ! ! ! = r F = k (r F sen ) onde! F ! r = r F sen = r F r||r = brao de alavanca r|| = linha de aox rA segunda Lei de Newton para a rotao A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotao. Se fizermos a decomposio da fora aplicada a uma partcula segundo as suas componentes perpendicular e paralela ao vetor posio dessa partcula, teremos: ! ! F = ma F|| = m a|| e F = m a Mas, quando consideramos o torque associado a essa fora, temos: = r F = m r a = m r ( r ) = ( m r2 ) e o torque toma a forma:=I onde I o momento de inrcia da partcula considerada. Se tivermos N partculas girando em torno de um eixo cada uma delas sob a ao de uma fora, teremos um torque associado essa fora, onde: ! N ! ! N = i = r i Fi i =1Masi =1 = ri Fi = ri mi ai = ri mi ( ri ) = ( mi ri2) =ICap 11romero@fisica.ufpb.br11 12. Prof. Romero Tavares da Silva Trabalho, potncia, e o teorema do trabalho - energia cinticadW que:Para calcular o trabalho elementar ! executado por uma fora F temos ! F ! dr! ! dW = F dr = F dr = F r d dW = ddfW if = d! riMas = I = Idw dte d dw d = I = I w dw d = (Idw ) dt dt ou seja: fwfiiw2 W if = d = I I w dw = I 2 w wf W if = wi1 1 I w f2 I w i2 = K f K i 2 2! Para calcular a potncia P associada atuao da fora F , devemos considerar que: dW = d e tambm que: dW d P= = P = w dt dtCap 11romero@fisica.ufpb.br12 13. Prof. Romero Tavares da Silva Soluo de alguns problemas Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 02 Durante um intervalo de tempo t , a turbina de um gerador gira um ngulo = a t + b t3 - c t4 , onde a , b e c so constantes. a) Determine a expresso para sua velocidade angular. w=d = a + 3bt 2 4ct 3 dtb) Determine a expresso para sua acelerao angular.=dw = 6bt 12ct 2 dtCaptulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 10 Uma roda tem oito raios de 30cm . Est montada sobre um eixo fixo e gira a 2,5rev/s . Voc pretende atirar uma flecha de 20cm de comprimento atravs da roda, paralelamente ao eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os raios so muito finos. a) Qual a velocidade mnima que a flecha deve ter? r = 30cm = 0,30m w = 2,5rev/s = 2,5 . 2rad/s L = 20cm = 0,20m A flecha vai atravessar a roda usando as "fatias" de vazio entre dois raios. A distncia angular entre dois raios de 2/8 radianos. Quando a roda gira, os raios se movem e depois de um certo tempo t0 um raio passa a ocupar a posio do raio adjacente. Nesse tempo, cada raio "varre" totalmente o espao entre a sua posio inicial e a posio do raio adjacente e nesse movimento se desloca de 0 = 2/8 radianos . precisamente esse tempo que dispe a flecha para atravessar a roda. 0 = wt 0 t0 =0 wA flecha tem comprimento L , e dispe de um tempo t0 para atravessar a roda, logo: L Lw L = vt 0 v = = 4,0m/s = t0 0 Cap 11romero@fisica.ufpb.br13 14. Prof. Romero Tavares da Silva b) A localizao do ponto em que voc mira, entre o eixo e a borda, tem importncia? Em caso afirmativo, qual a melhor localizao? No tem importncia a distncia do eixo onde se mira, pois sempre teremos disponvel o mesmo ngulo. Se perto da borda dispomos de um espao linear maior, mas a velocidade linear da roda tambm maior. Se mirarmos perto do eixo teremos um espao linear menor, mas a velocidade linear da roda tambm menor. Em suma, a velocidade angular a mesma para todos os pontos. Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 12 Um prato de toca-discos, rodando a 33 1/3 rev/min , diminui e pra 30s aps o motor ser desligado. a) Determine a sua acelerao angular (uniforme) em rev/min2 . w0 = 33,33rev/min t = 30s = 0,5min w=0 w = w 0 + t =w w0 w = 0 = -66,66rev/min2 t tb) Quantas revolues o motor realiza neste intervalo? = w 0t +t 2 =8,33rev 2Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 23 Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com acelerao angular constante, at alcanar a rotao de 10rev/s . Depois de completar 60 revolues , a sua velocidade angular de 15rev/s .2 = 60rev w2 = 15rev/sw0 = 0 w1 = 10rev/sa) Calcule a acelerao angular. w = w + 2 2 22 12 w 2 w 12 = 1,02rev/s2 = 2b) Calcule o tempo necessrio para completar as 60 revolues . w 2 = w 1 + t 2Cap 11t2 =romero@fisica.ufpb.brw 2 w1 = 4,80s 14 15. Prof. Romero Tavares da Silva c) Calcule o tempo necessrio para alcanar a rotao de 10rev/s . w 1 = w 0 + t 1t1 =w1 w 0 = 9,61s d) Calcule o nmero de revolues desde o repouso at a velocidade de 10rev/s . 2 w 12 = w 0 + 2 1 1 =2 w 12 w 0 = 48,07rev 2Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 34 Uma certa moeda de massa M colocada a uma distncia R do centro de um prato de um toca discos. O coeficiente de atrito esttico E . A velocidade angular do toca discos vai aumentando lentamente at w0 , quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Determine w0 em funo das grandezas M , R , g e E . ! ! ! ! R Fa + P + N = ma P N = 0 F = ma a Fa = E N = E m g Mas ma = m ou seja:a = E g(w R ) v 2 =m 0 = mw 0 R R R 22! Fa! N ! Pa = w02 R = E g w0 =E g RCaptulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 40 Um carro parte do repouso e percorre uma trajetria circular de 30m de raio. Sua velocidade aumenta na razo constante de 0,5m/s2 . a) Qual o mdulo da sua acelerao linear resultante , depois de 15s ?! ! ! a = aT + aRCap 11onde aT = r v2 = w 2r aR = r romero@fisica.ufpb.br! aT! v! aR 15 16. Prof. Romero Tavares da Silva aT = r =aT 1 = = 0,0166rad / s 2 r 60a R = w 2 r = (w 0 + t ) r = 1,875m/s2 2aT = 0,5m/s2 w0 = 0 t = 15s r = 30m2 a = aR + aT2 = 1,94m/s2b) Que ngulo o vetor acelerao resultante faz com o vetor velocidade do carro nesse instante? ! aa tan = R = 3,75 aT = 75,060Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 42 Quatro polias esto conectadas por duas correias conforme mostrado na figura a seguir. A polia A ( rA = 15cm ) a polia motriz e gira a 10rad/s . A polia B ( rB = 10cm ) est conectada A pela correia 1 . A polia B' ( rB' = 5cm ) concntrica B e est rigidamente ligada ela. A polia C ( rC = 25cm ) est conectada polia B' pela correia 2. a) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1. wA = 10rad/s rA = 15cm = 0,15m rB = 10cm = 0,10m rB' = 5cm = 0,05m rC = 25cm = 0,25mCorreia 1 rA rBPolia B rB' Polia AvA = wA rA = 10 . 0,15 = 1,5 m/s b) Calcule a velocidade angular da polia B.Correia 2 Polia CvA = vB = wB rB rC wB =vA r = w A A =15rad/s rB rBc) Calcule a velocidade angular da polia B'. wB' = wB = 15rad/s Cap 11romero@fisica.ufpb.br16 17. Prof. Romero Tavares da Silva d) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 2. vB' = wB' rB' = wB rB' = 15 . 0,05 = 0,75m/s e) Calcule a velocidade angular da polia C. v B ' = v C = w C rCv B' w B rB' =3rad/s = rC rCwC =Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 51 Duas partculas de massa m cada uma, esto ligadas entre si e a um eixo de rotao em O , por dois bastes delgados de comprimento L e massa M cada um, conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotao com velocidade angular w . a) Determine algebricamente a expresso para o momento de inrcia do conjunto em relao a O . J foi calculado anteriormente que o w momento de inrcia de um basto fino de massa M e comprimento L em L m relao a um eixo perpendicular ao basto e que passa por seu centro de massa, vale ML2/12 . L m Por outro lado, o teorema dos eixos paralelos diz que: se a distncia entre os dois eixos for H , a massa do corpo Eixo (perpendicular folha ) for M e ICM for o seu momento de inrcia em relao a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inrcia I mencionado: I = ICM + M H2 Vamos calcular o momento de inrcia de cada componente desse conjunto: I1 = Momento de inrcia da partcula mais afastada. I1 = M ( 2L )2 = 4 m L2 I2 = Momento de inrcia do basto mais afastado. A distncia do centro de massa desse basto at o eixo vale 3L/2 , logo: 2ML2 28 3L I2 = ML2 + M = 12 12 2 I3 = Momento de inrcia da partcula mais prxima. I3 = M ( L )2 = m L2 Cap 11romero@fisica.ufpb.br17 18. Prof. Romero Tavares da Silva I4 = Momento de inrcia do basto mais prximo. A distncia do centro de massa desse basto at o eixo vale L/2 , logo: 2ML2 4 L I4 = ML2 + M = 12 2 12 Finalmente: I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 4mL2 + I = 5mL2 +28 4 ML2 + mL2 + ML2 12 12 8 ML2 3b) Determine algebricamente a expresso para a energia cintica de rotao do conjunto em relao a O . K =1 2 5 4 I w = m + M w 2 L2 2 3 2Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 73 Numa mquina de Atwood, um bloco tem massa 500g e o outro 460g . A polia, que est montada sobre um suporte horizontal sem atrito, tem um raio de 5cm . Quando ela solta, o bloco mais pesado cai 75cm em 5s . A corda no desliza na polia. a) Qual a acelerao de cada bloco? m1 = 500g = 0,5kg m2 = 460g = 0,46kg R = 5cm = 0,05mv0 = 0 h = 75cm = 0,75m t = 5sat 2 h = v 0t + 22h a = 2 = 0,06m/s2 tb) Qual a tenso na corda que suporta o bloco mais pesado? ! ! ! p1 + T1 = m1a1p1 T1 = m1a! F1! F2! T1 m1! T2! p1T1 = p1 - m1 a = m1 (g - a) = 4,87N c) Qual a tenso na corda que suporta o bloco mais leve? ! ! ! p2 + T2 = m2 a2m2 ! p2 T2 p 2 = m 2 aT2 = p1 + m1 a = m2 (g + a) = 4,93N Cap 11romero@fisica.ufpb.br18 19. Prof. Romero Tavares da Silva d) Qual a acelerao angular da polia? a =r =a = 1,2rad/s2 re) Qual o seu momento de inrcia?=I I=(T1 F1 r - F2 r = I T 2 )r = 0,0141kg.m2 Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 74 A figura a seguir mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades de uma haste rgida, de peso desprezvel, de comprimento L = L1 + L2 , com L1 = 20cm e L2 = 80cm . A haste mantida na posio horizontal e ento solta. Calcule a acelerao dos dois blocos quando eles comeam a se mover. L1 = 20cm = 0,2m L2 = 80cm = 0,8mL1L2 ! FC=I m g L2 - m g L1 = I ! FEMas! FDI = mL2 + mL2 1 2 Logo mg (L2 L1 ) = m (L2 + L2 ) 1 2 L L1 2 = 22 L + L2 g = 8,64rad/s 1 2 a1 = L1 = 1,72m / s 2 2 a 2 = + L2 = +6,91m / s Captulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 75 Dois blocos idnticos, de massa M cada uma, esto ligados por uma corda de massa desprezvel, que passa por uma polia de raio R e de momento de inrcia I . A corda no desliza sobre a polia; desconhece-se existir ou no atrito entre o bloco e a mesa; no h atrito no eixo da polia. Quando esse sistema liberado, a polia gira de um ngulo num tempo t , e a acelerao dos blocos constante Cap 11romero@fisica.ufpb.br19 20. Prof. Romero Tavares da Silva a) Qual a acelerao angular da polia? t2 = w 0t + 2 =2 t2! Nb) Qual a acelerao dos dois blocos? a =R =2 R t2F1 = P1 m a! F2R, I ! F1! P2c) Quais as tenses na parte superior e inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em funo de M , I , R , , g e t . ! ! ! P1 + T1 = m a1! T2M! T1M P1 F1 = ma! P1F1 = m (g a ) 2 R F1 = m g 2 t = IF1R F2 R = IF2 = mg F2 = F1 I R2 I mR + 2 t RCaptulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edio 81 Um basto fino de comprimento L e massa m est suspenso livremente por uma de suas extremidades. Ele puxado lateralmente para oscilar como um pndulo, passando pela posio mais baixa com uma velocidade angular w . a) Calcule a sua energia cintica ao passar por esse ponto. O momento de inrcia de uma haste em relao a um eixo perpendicular que passe por sua extremidade : h I=2mL 3A energia cintica tem a forma: K = Cap 111 2 mw 2 L2 Iw = 2 6 romero@fisica.ufpb.br20 21. Prof. Romero Tavares da Silva b) A partir desse ponto, qual a altura alcanada pelo seu centro de massa? Despreze o atrito e a resistncia do ar. Usando a conservao da energia mecnica, encontramos que: KI = UFCap 11Iw2 1 w 2 L2 I w 2 = mgh h = = 2 2mg 6gromero@fisica.ufpb.br21