1.1 teoría básica. forma normal de los juegos y el equilibrio de nash
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Teoría de juegosTRANSCRIPT
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Teora de
JuegosM.C. Victor Acxel Amarillas
Urbina
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Juegos
Estticos con
Informacin
CompletaTeora Bsica
Forma normal de los juegos
y el equilibrio de Nash
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Representacin de los
juegos en forma normal
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Representacin de los juegos
en forma normal
En la representacin de un juego en
forma normal cada jugador elige de
forma simultnea una estrategia, y la
combinacin de las estrategias elegidas
por los jugadores determina la ganancia
de cada jugador.
Para ilustrar esta situacin, veamos un
ejemplo clsico, denominado: El dilemadel prisionero.
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El dilema del prisionero Dos sospechosos son arrestados y acusados
de un delito.
La polica no tiene evidencia suficiente paracondenar a los sospechosos, a menos queuno confiese.
La polica encierra a los sospechosos enceldas separadas y les explica lasconsecuencias derivadas de las decisionesque tomen.
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El dilema del prisionero Si ninguno confiesa, ambos sern
condenados por un delito menor ysentenciados a un mes de crcel.
Si ambos confiesan, sern sentenciados a seismeses de crcel.
Finalmente, si uno confiesa y el otro no, elque confiesa ser puesto en libertadinmediatamente y el otro ser sentenciado anueve meses de prisin.
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El dilema del prisionero
El problema de los presos puede
representarse mediante la siguiente
matriz binaria.
Prisionero 1
Prisionero 2
No
ConfesarConfesar
No
Confesar-1 , -1 -9 , 0
Confesar 0 , -9 -6 , -6
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El dilema del prisionero
En este juego, cada jugador cuenta condos estrategias posibles:
Confesar.
No Confesar.
Las ganancias de los dos jugadorescuando eligen un par concreto deestrategias aparecen en la casillacorrespondiente de la matriz binaria.
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Representacin de los juegos
en forma normal
La representacin en forma normal de un
juego especifica:
Los jugadores en el juego.
Las estrategias de las que dispone cada
jugador. 1, , ; La ganancia de cada jugador en cada
combinacin posible de estrategias.
1, ,
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Representacin de los juegos
en forma normal
Definicin.
La representacin en forma normal de un
juego con jugadores especifica losespacios de estrategias de los jugadores
1, , y sus funciones de ganancias1, , ; denotando un juego como =1, , ; 1, , .
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas En el dilema del prisionero, si un sospechoso
va a confesar, sera mejor para el otroconfesar y con ello ir a la crcel seis meses,en lugar de no confesar y pasar nueve mesesen prisin.
Del mismo modo, si un sospechoso noconfiesa, para el otro sera mejor confesar ycon ello ser puesto en libertadinmediatamente en lugar de no confesar ypermanecer en prisin durante un mes.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas As, para el preso , la estrategia de no
confesar est dominada por la de
confesar.
Para cada estrategia que el preso puedeelegir, la ganancia del prisionero es menorsi no confiesa que si confiesa.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadasDefinicin.
En el juego en forma normal =1, , ; 1, , , sean
y posibles
estrategias del jugador ; la estrategia est
estrictamente dominada por la estrategia
si para cada combinacin posible de lasestrategias de los restantes jugadores laganancia de por utilizar
es estrictamentemenor que la ganancia de por utilizar
.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadasDefinicin.
En trminos matemticos:
1, , 1, , +1, , < 1, , 1,
, +1, ,
Para cada 1, , 1, +1, , que pueda serconstruida a partir de los espacios de estrategiasde los otros jugadores 1, , 1, +1, .
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Los jugadores racionales no utilizan
estrategias estrictamente dominadas,
puesto que bajo ninguna conjetura que
un jugador pudiera formarse sobre las
estrategias que elegirn los dems
jugadores sera ptimo utilizar tales
estrategias.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas As, en el dilema del prisionero, un jugador
racional elegir confesar, por lo que
(Confesar, Confesar) ser el resultado al
que llegan dos jugadores racionales,
incluso cuando (Confesar, Confesar)
supone unas ganancias peores para
ambos jugadores que (No Confesar, No
Confesar).
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Considere el siguiente juego:
Donde las estrategias posibles para los
jugadores son:
1 = ,
2 = , ,
Jugador 1
Jugador 2
Izquierda Centro Derecha
Alta 1 , 0 1 , 2 0 , 1
Baja 0 , 3 0 , 1 2 , 0
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Para el jugador 1, ni alta ni baja estn
estrictamente dominadas.
Sin embargo, para el jugador 2, derecha
est estrictamente dominada por centro.
Entonces, si el jugador 1 sabe que el
jugador 2 es racional, puede eliminar
derecha del espacio de estrategias del
jugador 2.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Entonces, el juego se convierte en el
siguiente:
Jugador 1
Jugador 2
Izquierda Centro Derecha
Alta 1 , 0 1 , 2 0 , 1
Baja 0 , 3 0 , 1 2 , 0
-
Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas En ste nuevo juego, para el jugador 1,
baja est estrictamente dominada por
alta.
Entonces, si el jugador 2 sabe que el
jugador 1 es racional, y el jugador 2 sabe
que el jugador 1 sabe que el jugador 2 es
racional, el jugador 2 puede eliminar baja
del espacio de estrategias del jugador 1.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Entonces, el juego se convierte en el
siguiente:
Donde, para el jugador 2, izquierda est
estrictamente dominada por centro.
Jugador 1
Jugador 2
Izquierda Centro Derecha
Alta 1 , 0 1 , 2 0 , 1
Baja 0 , 3 0 , 1 2 , 0
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Entonces, el resultado del juego es el
siguiente:
(Alta, Centro)
Jugador 1
Jugador 2
Izquierda Centro Derecha
Alta 1 , 0 1 , 2 0 , 1
Baja 0 , 3 0 , 1 2 , 0
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Este proceso se denomina eliminacin
iterativa de las estrategias estrictamente
dominadas, el cual, presenta dos
inconvenientes:
En primer lugar, cada paso requiere de un
supuesto adicional sobre lo que los jugadores
saben acerca de la racionalidad del otro.
En segundo lugar, el proceso por lo general
conduce a una prediccin imprecisa sobre eldesarrollo del juego.
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Eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente
dominadas Considere el siguiente juego:
Donde no hay estrategias estrictamentedominadas para ser eliminadas, por tanto, elproceso no permite ninguna prediccin sobre eldesarrollo del juego.
Jugador 1
Jugador 2
I C D
A 0 , 4 4 , 0 5 , 3
M 4 , 0 0 , 4 5 , 3
B 3 , 5 3 , 5 6 , 6
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Fundamentacin y
definicin del equilibrio de
Nash
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Suponga que la teora de juegos hace una nicaprediccin sobre las estrategias elegidas por losjugadores.
Para que esta prediccin sea correcta esnecesario que cada jugador est dispuesto aelegir la estrategia predicha por la teora.
Por ello, la estrategia predicha de cada jugadordebe ser la mejor respuesta de cada jugador a lasestrategias predichas de los otros jugadores.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Definicin.
En el juego en forma normal de jugadores, = 1, , ; 1, , , lasestrategias 1
, , forman un equilibrio
de Nash si, para cada jugador , es la
mejor respuesta del jugador a lasestrategias de los otros 1 jugadores,1, , 1
, +1 , ,
.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Definicin.
En trminos matemticos:
1, , 1
, , +1
, , 1
, , 1 , , +1
, ,
Para cada posible estrategia en ; esto es, es
una solucin de:
max
1, , 1
, , +1 , ,
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Para concretar, considere el siguiente
ejemplo:
Jugador 1
Jugador 2
I C D
A 0 , 4 4 , 0 5 , 3
M 4 , 0 0 , 4 5 , 3
B 3 , 5 3 , 5 6 , 6
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Donde, para conocer los equilibrios de
Nash en el juego, simplemente se debe
de comprobar si cada combinacin
posible de estrategias satisface la
definicin anterior.
Entonces, para cada jugador y para cada
estrategia posible con la que cuenta cada
jugador se puede determinar la mejor
respuesta del otro jugador a esa estrategia.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Subrayando la ganancia de la mejor
respuesta del jugador a cada una delas posibles estrategias del jugador ,tenemos:
Jugador 1
Jugador 2
I C D
A 0 , 4 4 , 0 5 , 3
M 4 , 0 0 , 4 5 , 3
B 3 , 5 3 , 5 6 , 6
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Donde, un par de estrategias satisface la
condicin del equilibrio de Nash si la
estrategia de cada jugador es la mejor
respuesta a la del otro, es decir, si ambas
ganancias estn subrayadas en la casilla
correspondiente de la matriz binaria.
Por ello (B,D) es el nico par de estrategias
que satisface la definicin del equilibrio de
Nash.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Noten que existe una relacin entre el
equilibrio de Nash y la eliminacin iterativa de
las estrategias estrictamente dominadas.
Si las estrategias 1, ,
constituyen un
equilibrio de Nash, sobreviven a la eliminacin
iterativa de las estrategias estrictamente
dominadas, pero pueden existir estrategias que
sobrevivan a la eliminacin iterativa de
estrategias estrictamente dominadas pero que
no formen parte de ningn equilibrio de Nash.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Para concluir, considere el siguiente
ejemplo clsico, denominado: Labatalla de los sexos.
Chris
Pat
pera Boxeo
pera 2 , 1 0 , 0
Boxeo 0 , 0 1 , 2
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
Donde (pera, pera) y (Boxeo, Boxeo)
son equilibrio de Nash.
Entonces, pueden existir situaciones para
las cuales la teora de juegos no ofrece
una solucin nica y en las que no se
llegar a ningn acuerdo.
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Fundamentacin y definicin
del equilibrio de Nash
En resumen:
Si la teora de juegos ofrece una nica solucina un juego, sta debe ser un equilibrio de Nash.
Si se llega a un acuerdo sobre cmocomportarse en un juego, las estrategiasestablecidas en el acuerdo deben ser unequilibrio de Nash.
Para casos en que existan mltiples equilibriosde Nash, existe la posibilidad de que unequilibrio sobresalga como la solucin msatractiva del juego.
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