Α

μ

Σύνοψη Αντικείμενο πρανών και μοντέλα τεσσεπίπεδη εππαρακατακόρκατανόηση κανάλυση τηςαυτά τα πρω

ΠροαπαιτούΚεφάλαιο 1,

11.1. Μορ Οι μηχανισμπαρουσία κασχέση με τοτης βραχομάτης, τότε ηολίσθησης μτεμάχη του μπορεί να ισοδύναμο σεντοπίζεται ο

Στο προκύπτει α150α απεικοάρρηκτου πκατακερματιτη βραχομάζσε συνεκτικάβραχομάζαςσυμπεριφέρετης στρώσηςκαθορίζεται

Σχήμα 150 (απάνω στις στρ

του 11ου Κεφο τρόπος υπσάρων μηχανπιφάνεια, ορυφων δομώκαι δείχνουν ς ευστάθειας ωτογενή μοντέ

ύμενη γνώση 6, 9, 10. Τεχ

ρφές αστο

μοί αστοχίααι τη μηχανικο μέγεθος τηάζας είναι τη ευστάθεια

μεμονωμένωνάρρηκτου πθεωρηθεί πσυνεχές μέσο βασικός μηΣχήμα 150

από την αριθονίζει την ασπετρώματος εισμού της, σζα, και ομοιά εδάφη. Το , με ασυνέχεεται ως ασυνς. Η κατάστααπό συγκεκ

α) Ολίσθηση σρώσεις σε στρω

11. Ε

φαλαίου είναπολογισμός τνισμών αστοχολίσθηση πών. Παρά τοτις σημαντικμίας πραγμέλα, και η κα

η χνική Γεωλογ

οχίας σε β

ς επιφανειακκή συμπεριφς εκσκαφής.

ης ίδιας τάξητης εκσκαφ

ν τεμαχών πετρώματος νροσεγγιστικά

σο. Κατά τη ηχανισμός τη0 απεικονίζοθμητική προσστοχία ενός είναι μικρά

συμπεριφέρετιάζει με ολίσ Σχήμα 150βειες στρώσηνεχές μέσο καση αυτή είνριμένες προϋ

σε καμπύλη επωσιγενή και εγ

Ευστάθει

αι η παρουσίου αντίστοιχοχίας: ολίσθηπρισματικών ο γεγονός ότκές παραμέτρατικής επιφάαταλληλότητά

γία.

βραχώδη

κών εκσκαφφορά των ασυ

Όπως αναπς με εκείνο τ

φής θα πρέππετρώματος. να είναι πολύά ως ισότρομελέτη της

ης πιθανής αονται δύο δισομοίωση τοπρανούς σε σε σχέση μ

ται ως ένα ψσθηση σε καβ, απεικονίζες μεγάλης εμκαι η αστοχί

ναι συνήθης σϋπάρχουσες

ιφάνεια σε πολγκάρσια διακλ

ια βραχω

ίαση των συνχου συντελεστηση σε καμπύτεμαχών

τι τα μοντέλαρους, μαζί με άνειας εκσκαά τους για το

πρανή

φών σε πετρυνεχειών του

πτύχθηκε καιτης εκσκαφήπει να αναλΌταν η βραύ μικρά σε σοπη και η ευστάθειας

αστάθειας τωνιαφορετικοί ου πρανούς μία πολύ ασ

με την εκσκψευδοσυνεχέςαμπύλη επιφάει την αστοχίμμονής και ία εμφανίζετστα ογκοτεμασυνέχειες.

λύ πτωχής ποιλασμένη βραχο

ωδών πρ

νηθέστερων μτή ασφαλείαύλη επιφάνειπετρώματοςα αυτά είνατην ευαισθηαφής, θα πρέπραγματικό π

ρώματα σχετυ πετρώματοι στο Κεφάλής και λίγες αλύεται εξετάαχομάζα είνασχέση με τηβραχομάζα επιφανειακ

ν πρανών τημηχανισμοί με κώδικα ησθενή κατακ

καφή, και έτς μέσο. Η επάνεια, όπως ία ενός πρανδιακλάσεις εται με ολίσθ

μαχισμένα πε

ιότητας βραχοομάζα.

ρανών

μηχανισμών ς. Παρουσιάα, ολίσθηση ς (ολίσθησι πολύ απλοσία τους. Καέπει να λαμβπρόβλημα.

τίζονται σε ος, και με τηνλαιο 1, όταν ασυνέχειες ε

άζοντας τουςαι πολύ πυκνν εκσκαφή, μπορεί να

ών εκσκαφώς εκσκαφής.αστοχίας β

ηλεκτρονικούκερματισμένησι η βραχομιφάνεια αστοσυμβαίνει κα

νούς ογκοτεμεγκάρσια στηηση τεμαχώ

ετρώματα, όπ

ομάζα. (β) Ολί

αστοχίας τωάζονται τα εξτεμάχους πε

ση σφήνας)οποιημένα, βατά τον σχεδιβάνεται υπόψ

μεγάλο ποσν υφή της βρτο μέγεθος τ

ελέγχουν τη σς πιθανούς νά διακλασμτότε η συμπαντιμετωπισ

ών, θα πρέπ.

βραχωδών πρύ υπολογιστη βραχομάζαμάζα, λόγω οχίας διέρχετ

κατά την αστμαχισμένης ση στρώση. Η

ών επάνω στιπου η επιφάν

ίσθηση τεμαχώ

227

ων βραχωδώνξιδανικευμέναετρώματος σε, ανατροπήβοηθούν στηνιασμό και τηνψη, πέρα από

σοστό με τηνραχομάζας σετων τεμαχώνσυμπεριφοράμηχανισμούςένη, ώστε ταπεριφορά τηςσθεί ως έναει αρχικά να

ρανών, όπωςτή. Το Σχήμαα. Τα τεμάχητου έντονουται μέσα από

τοχία πρανώνστρωσιγενούΗ βραχομάζαις ασυνέχειεςνεια αστοχίας

ών πετρώματο

7

ν α ε ή ν ν ό

ν ε ν ά ς α ς α α

ς α η υ ό ν ς α ς ς

ς

228

Οι τέσσερις μηχανισμοί, που παραδοσιακά θεωρούνται ως οι βασικοί μηχανισμοί αστοχίας των βραχωδών πρανών, συνοψίζονται ως εξής:

Ολίσθηση σε καμπύλη επιφάνεια. Εμφανίζεται σε πολύ πτωχής ποιότητας βραχομάζες, πυκνά

διακλασμένες, με πτωχό αλληλοκλείδωμα τεμαχών, αποσαθρωμένες και χωρίς προεξέχον σύστημα ασυνεχειών.

Ολίσθηση τεμάχους πετρώματος σε επίπεδη επιφάνεια. Δύναται να συμβεί όταν υπάρχει σαφής επικράτηση ενός συστήματος ασυνεχειών, συνήθως της στρώσης, που έχει διεύθυνση σχεδόν παράλληλη με το πρανές και κλίση ομόρροπη και μικρότερη της κλίσης του πρανούς.

Ολίσθηση σφήνας σε δύο τεμνόμενες ασυνέχειες. Δύναται να συμβεί όταν η κλίση της ευθείας τομής των δύο επιπέδων των ασυνεχειών είναι ομόρροπη και μικρότερη από την κλίση του πρανούς.

Ανατροπή παρακατακόρυφων δομών. Δύναται να συμβεί για μεγάλη κλίση ασυνεχειών των στρωμάτων, η οποία να είναι αντίρροπη προς την κλίση της επιφάνειας του πρανούς.

Στην περίπτωση ολίσθησης σε καμπύλη επιφάνεια, η γεωμετρία της επιφάνειας αστοχίας είναι συνάρτηση της γεωμετρίας του πρανούς και της αντοχής της βραχομάζας. Στους υπόλοιπους τρεις βασικούς μηχανισμούς η επιφάνεια αστοχίας καθορίζεται από τις ασυνέχειες, οι οποίες δημιουργούν επίπεδα ολίσθησης και ανατροπής τεμαχών πετρώματος από την επιφάνεια της εκσκαφής.

11.2. Αναγνώριση των πιθανών μηχανισμών αστοχίας του πρανούς

Οι διαφορετικές μορφές αστοχίας των βραχωδών πρανών, οι οποίες σχετίζονται με διαφορετικές γεωλογικές δομές, θα πρέπει να αναγνωρίζονται έγκαιρα, ώστε να εφαρμόζεται η κατάλληλη μέθοδος για την ανάλυση της ευστάθειας του πρανούς κατά τον σχεδιασμό. Στο στάδιο της γεωλογικής έρευνας, που προηγείται του σχεδιασμού ενός γεωτεχνικού έργου, αποτυπώνεται ο τεκτονισμός της βραχομάζας και καταγράφονται τα στοιχεία προσανατολισμού (π.χ. κλίση και διεύθυνση κλίσης) των ασυνεχειών της. Οι πόλοι των επιπέδων των ασυνεχειών της βραχομάζας προβάλλονται σε διαγράμματα στερεογραφικής προβολής, όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 151α, με τη βοήθεια των οποίων, και ύστερα από την κατάλληλη στατιστική επεξεργασία, εντοπίζονται και επισημαίνονται εκείνοι οι προσανατολισμοί, όπου συγκεντρώνονται οι περισσότερες ασυνέχειες (Σχήμα 151β). Διακρίνονται έτσι οι οικογένειες ασυνεχειών της βραχομάζας, και προβάλλονται γραφικά οι μέγιστοι κύκλοι και οι πόλοι του (κατά προσέγγιση) κοινού προσανατολισμού κάθε οικογένειας (Σχήμα 151γ). Ο μηχανικός μπορεί να αξιοποιήσει αυτά τα στοιχεία για την αναγνώριση των ασυνεχειών, που δύνανται να αποτελέσουν επίπεδα αστοχίας του πρανούς, και εκείνων που είναι λιγότερο ή καθόλου πιθανό να συμμετέχουν στην αστοχία του πρανούς.

Κάθε ένας από τους βασικούς μηχανισμούς αστοχίας των βραχωδών πρανών αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη τυπική μορφή της στερεογραφικής προβολής του τεκτονισμού της βραχομάζας. Για την εκτίμηση της ευστάθειας, το επίπεδο της επιφάνειας του πρανούς πρέπει να συμπεριλαμβάνεται στη στερεογραφική προβολή, αφού η ολίσθηση μπορεί να συμβεί μόνο ως αποτέλεσμα της κίνησης προς την ελεύθερη επιφάνεια του μετώπου του πρανούς. Στην περίπτωση ολίσθησης τμήματος ασθενούς βραχομάζας σε καμπύλη επιφάνεια οι ασυνέχειες είναι τυχαία προσανατολισμένες και συνεπώς δεν υπάρχει κάποιο προεξέχον επίπεδο, όπου θα μπορούσε να συμβεί η ολίσθηση. Η παρουσία μίας οικογένειας ασυνεχειών με κλίση προς το μέτωπο του πρανούς και γωνία κλίσης μικρότερη από εκείνη του πρανούς, δημιουργεί τις προϋποθέσεις για αστοχία με ολίσθηση σε επίπεδη επιφάνεια. Σφηνοειδής ολίσθηση μπορεί να συμβεί κατά μήκος της ευθείας τομής των δύο επιπέδων ασυνεχειών ή σε ένα από τα δύο επίπεδα. Τέλος, η παρουσία ασυνεχειών μεγάλης κλίσης αντίρροπα προς την κλίση του πρανούς υποδεικνύει τον κίνδυνο ανατροπής.

Η αναγνώριση των πιθανών μηχανισμών αστοχίας του πρανούς με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής ακολουθείται από τη διερεύνηση της δυνατότητας κίνησης ογκοτεμαχίων πετρώματος προς την ελεύθερη επιφάνεια του πρανούς, χωρίς να γίνεται αναφορά στις δυνάμεις που την παράγουν. Η μελέτη της δυνατότητας κίνησης, και συνεπώς της δυνατότητας εμφάνισης ενός συγκεκριμένου μηχανισμού αστοχίας, καλείται κινηματική ανάλυση (π.χ. Hudson & Harrison 2007). Ανάλογα με τη γεωμετρία του πρανούς και τον προσανατολισμό των ασυνεχειών, η αστοχία μπορεί να είναι κινηματικά εφικτή ή όχι. Η κινηματική ανάλυση δεν παρέχει ένα μέτρο της ασφάλειας του πρανούς έναντι αστοχίας, αλλά μία αρχική εκτίμηση για τη δυνατότητα εμφάνισης της αστοχίας.

Σχήμα 151 Γρπολική προβοισοεπιφανειακ

11.3. Ολί

Στα βραχώδόπως στρώσυπάρχουν πακολουθήσεκαλείται ολίτα τεμάχη τολόγω του σχfailure), αν κνα χαρακτηρΣχήμα 152β

Το επικρατούν εδαφοποιημέμία εφελκυσσχιστοποιημσε διεύθυνσεπιπέδου αδυ

Γραφική παρουολή, (β) ισοπληκό δίκτυο των

ίσθηση σε

δη πρανή η ασεις και διαπροεξέχοντα ει τη διαδρομίσθηση σε καου πετρώματχήματός τουςκαι η επιφάνρίζεται από π. ακριβές σχστο πρανές

ένη βραχομστική ρωγμήμένη και τεκτση παράλληλυναμίας (π.χ

υσίαση μεγάλοηθείς των πόλωμεσημβρινών

ε καμπύλη

αστοχία εκδηκλάσεις. Εν

δομικά επμή ελάχιστηςαμπύλη επιφτος είναι πολς. Συχνά, μία

νεια αστοχίαςπολύ πυκνές

χήμα της επς. Σε ομοιο

μάζα) η επιφάή κοντά στο τονικώς διατλη με τη στχ. ρήγμα, ενδ

ου αριθμού υπαων των ασυνεχν.

η επιφάνε

ηλώνεται κυρτούτοις, σε

πίπεδα, η επς διατμητικήςφάνεια και μπλύ μικρά σε σας τέτοιας μς είναι γενικάκαι τυχαίου

πιφάνειας ολογενείς ασθεάνεια ολίσθηφρύδι του π

τμημένη, τόττρώση ή τη διάμεση αργι

αίθριων μετρήχειών, (γ) κυκ

εια

ρίως με ολισκατακερματ

πιφάνεια ασς αντίστασηςπορεί να εκδσχέση με το

μορφής αστοχά καμπύλη. Τ

υ προσανατολ

λίσθησης κενείς βραχο

ησης τείνει ναπρανούς. Εάντε η επιφάνε

φύλλωση. ιλική στρώση

ήσεων του προκλογραφική πρ

σθήσεις σε πτισμένα ή αστοχίας, με ς μέσα στο πδηλωθεί ότανμέγεθος τουχία αναφέρεΤυπικά, ο τελισμού ασυν

αθορίζεται ομάζες (πυκνα είναι κυκλιν η βραχομάια ολίσθησηΕξάλλου, μεη) η επιφάνε

οσανατολισμούοβολή των μέ

προκαθορισμποσαθρωμένκαμπυλόγρ

ρανές (Σχήμν η βραχομάπρανούς, με

ται και ως κκτονισμός τη

νέχειες, όπως

από τις γεωνά διακλασική και ρηχή

άζα είναι στρς τείνει να λε την παρουεια ολίσθηση

ύ των ασυνεχεέγιστων κύκλω

μένα επίπεδανα πετρώματ

ραμμο σχήμμα 152α). Η αάζα είναι αποε πτωχό αλληκυκλική αστοης βραχομάζς φαίνεται εν

ωλογικές συσμένη, αποσή και συχνά πρωσιγενής ή λάβει μία επιυσία κάποιοης τείνει να α

229

ειών: (α) ων σε

ασυνεχειώντα, όταν δενα, τείνει νααστοχία αυτήοσαθρωμένηηλοκλείδωμαοχία (circulaζας θα πρέπενδεικτικά στο

υνθήκες πουαθρωμένη ήπεριλαμβάνεφυλλώδης ή

ιμήκη μορφήου κυρίαρχουακολουθήσει

9

ν, ν α ή

η, α ar ει ο

υ ή ει ή ή υ ι,

Σ

σε μεγάλο τολίσθησης μπεριπτώσειςστρώσεις μικ

Σχήμα 152 (αΣτερεογραφικ

11.3.1. Αν Για την ανάλο προσδιοριυπολογισμόςδιάσταση κπροσέγγιση,

Για που μπορεί ν(τ) στην επιφ

= Εκφράζονταασφαλείας γ

= + Sm, φm είναΥπενθυμίζετενεργές τάσσυναρτήσει

= +

τμήμα του μμπορεί να είνς, η επιφάνεκρής κλίσης

α) Ενδεικτικό κή προβολή τω

νάλυση ευσ

λυση της ευσισμός του συς του συντε

κατά μήκος , καθώς οι πρτην εκτίμησνα ορισθεί ωφάνεια ολίσθ

ας τη διατμητγράφεται ως:tan

ι η συνοχή ται ότι τα κρσεις. Από τητου συντελεtan

μήκους της, ναι ρηχή καιεια ολίσθησηστον πόδα τ

σκαρίφημα ολων πόλων των

στάθειας

στάθειας τουυντελεστή ασελεστή ασφατου πρανού

ραγματικές εση των συνθηως ο λόγος τηθησης:

τική αντοχή

και η γωνίριτήρια αστοην (11.256) εστή ασφαλεί

αυτό το επίπι μεγάλης ακης μπορεί ν

του πρανούς.

λίσθησης τμήμασυνεχειών τη

υ πρανούς απσφαλείας ένααλείας πραγύς. Η θεώρ

επιφάνειες είνηκών ευστάθης διαθέσιμη

της βραχομά

ία τριβής τηχίας του πετπροκύπτει η

ίας ως:

πεδο αδυναμκτίνας καμπυνα περιορίζε

ματος ασθενούης βραχομάζα

παιτείται ο καντι ολίσθησγματοποιείταρηση διδιάσναι γενικά τρ

θειας του πραης διατμητικ

άζας σύμφων

ης βραχομάζτρώματος καη διατμητικ

μίας. Σε μη υλότητας ώσεται από τη

ύς βραχομάζαςας. Οι ασυνέχε

αθορισμός τησης στην προαι συνήθως στατης επιφάριδιάστατες. ανούς υπολοκής αντοχής (

να με το κριτ

ζας, σn η οραι της βραχομκή τάση κατ

συνεκτικές στε να ομοιάν ύπαρξη σ

ς σε καμπύλη ειες είναι τυχαί

ης πιθανής εοκαθορισμένστο επίπεδο

άνειας ολίσθ γίζεται ο συν(τav) προς τη

τήριο Mohr-

ρθή τάση στμάζας είναι δτά μήκος τη

βραχομάζες άζει με επίπεσκληρού πετ

επιφάνεια. (β) ία προσανατολ

επιφάνειας ολνη καμπύλη ο, αγνοώνταθησης είναι

ντελεστής αη δρώσα διατ

-Coulomb, ο

τη επιφάνειαδιατυπωμένα

ης επιφάνεια

230

η επιφάνειαεδη. Σε άλλετρώματος με

λισμένες.

λίσθησης καεπιφάνεια. Ο

ας την τρίτηι γενικά μία

σφαλείας (Fτμητική τάση

(11.255

συντελεστής

(11.256

α ολίσθησηςα ως προς τιας ολίσθηση

(11.257

0

α ς ε

αι Ο η α

F) η

)

ς

)

ς. ς ς

)

Για τον πρχωρίζεται σελωρίδων εξαλωρίδα (για (Wi), τις οριαντίστοιχα),περίπτωση πδυνάμεις λόοποίο μπορεάλλες δυνάμ

Σχήμα 153 Μ

Η διατμητικτης βάσης Δ

= Αντικαθιστώ

= Η ορθή δύνNi=σnΔli. Αν

=

Από την παυπολογιστούΕντούτοις, εείναι μεγαλύαόριστο, καιεπίλυσης τοπαραδοχές παριθμό των διαφέρουν ω

Δύομέθοδο Bishτων λωρίδωισορροπία δυ

οσδιορισμό ε (νοητές) καρτάται απόξηρές συνθή

ιζόντιες (ορθ την ορθή παρουσίας υ

όγω των υδρεί να υπολογμεις είναι άγν

Μέθοδος των λ

κή δύναμη στΔli:

ώντας τη διατ+ tanναμη Ni ισούντικαθιστώντ+ tanραπάνω ανάύν από τις εεπειδή ο αριύτερος από τι συνεπώς γιου προβλήμαπου υιοθετοαγνώστων ώ

ως προς το ποο πολλοί γνωhop, γίνεται ων (αγνοούνυνάμεων κατ

του συντελκατακόρυφες ό τη γεωμετρήκες πρανούθές) και κατκαι τη διατ

υπόγειου νεροστατικών πγιστεί από τηνωστες και π

λωρίδων για τη

τη βάση της

τμητική τάσηn

ύται με το γιτας στην (11.

άλυση προκύεξισώσεις στιθμός των αγτον αριθμό τια την επίλυσατος, γνωστ

ούν ώστε ναώστε να συμοιες εξισώσεωστές μέθοδη παραδοχή

νται οι διαττά την κατακ

λεστή ασφαλλωρίδες, όπ

ρία και τη γύς) φαίνονταιτακόρυφες (τμητική δύναρού στο πρπιέσεων στη γεωμετρία τ

πρέπει να υπο

ην ανάλυση τη

λωρίδας μπ

η από τη σχέ

ινόμενο της .259) προκύπ

ύπτει ότι, εάντατικής ισοργνώστων δυνων διαθέσιμσή του θα πρτές ως «μέθ καταστήσο

μπίπτει με τοεις ισορροπίαοι είναι η α κυκλικής επμητικές δυνκόρυφη διεύ

λείας, η βρπως φαίνεταιγεωλογία τουαι στο Σχήμα

διατμητικές)αμη στη βά

ρανές θα πρη βάση κάθετης λωρίδας ολογιστούν έ

ης ευστάθειας

πορεί να υπο

έση (11.257)

ορθής τάσηπτει:

ν η ορθή δύρροπίας, τότενάμεων, που

μων εξισώσεωρέπει να γίνο

θοδοι των λουν το πρόβον αριθμό τωας ικανοποιούαπλοποιημένηπιφάνειας ολ

νάμεις στις ύθυνση και σ

αχομάζα επι στο Σχήμαυ πρανούς. Ο

α 153β και πε) δυνάμεις σάση της λωρέπει να συν

ε λωρίδας. Εκαι το μονα

έτσι ώστε να

πρανούς έναν

ολογιστεί από

προκύπτει:

ης σn επί το

ύναμη και ο ε η διατμητιυ ισούται με ων ισορροπίουν ορισμένε

λωρίδων», διλημα στατικ

ων διαθέσιμωύνται από τηη Bishop καλίσθησης καδιεπιφάνειες

στη συνέχεια

άνω από τη 153α. Ο απΟι δυνάμεις εριλαμβάνουστις πλευρές ρίδας (Ni κανυπολογίζοντΕκτός από τοαδιαίο βάρος

ικανοποιείτα

τι ολίσθησης σ

ό τη διατμητ

μήκος της β

συντελεστήςική δύναμη 4n – 2 (n τ

ας (=3n), το ες παραδοχέιαφέρουν μεκά ορισμένοων εξισώσεωην ανάλυση. αι η Janbu. Και οριζόντιωνς των λωρίδ την ισορροπ

ην επιφάνειαπαιτούμενος

που ασκούνυν: το βάροςς της λωρίδααι Ti, αντίσται και οι σο βάρος της της βραχομαι η στατική

σε καμπύλη επ

τική τάση τ κ

βάσης της λ

ς ασφαλείαςστη βάση ε

το πλήθος τωο πρόβλημα εές. Οι διαθέσεταξύ τους

ο, δηλ. να μων ισορροπία Κατά την αν δυνάμεων δων). Λαμβπία ροπών γ

23

α ολίσθησηςαριθμός των

νται σε κάθε της λωρίδας

ας (Ei και Xiστοιχα). Στηνσυνισταμένες

λωρίδας, τοάζας, όλες ο ισορροπία.

πιφάνεια.

και το μήκος

(11.258

(11.259

λωρίδας, δηλ

(11.260

ς μπορούν ναείναι γνωστήων λωρίδων)είναι στατικάσιμες μέθοδο

ως προς τιςμειώσουν τονας. Επιπλέον

απλοποιημένηστις πλευρέ

βάνοντας τηνια το σύνολο

1

ς ν ε ς

Xi, ν ς ο

οι

ς

)

)

λ.

)

α ή. ), ά οι ς ν ν,

η ς ν ο

της ολισθαίνσυντελεστή

Η μμέθοδος Bisείναι ίσες σεδίνει τιμές ολίσθησης, μεθόδου μειεξισώσεις τη

Για ολίσθησης δυσμενέστερτην υπολογικάθε μεθόδουπολογισμούεπιλέχθηκε ηεπιφάνειες οασφαλείας γδίνει το χαμπρανές για τ

Σχήμα 154 Εέγινε με το πρ

νουσας μάζαασφαλείας (έθοδος Janbshop, επίσηςε όλες τις λωτου συντελπου θεωρούιώνεται σημαης μεθόδους τον έλεγχο υπολογίζοντρη εξ’ αυτώνιστική διαδικου μαζί με ύ με πρόγραη απλοποιημολίσθησης μγια κάθε μία μηλότερο συντη συγκεκριμ

Εικόνα αποτελερόγραμμα SLID

ας ως προς τπ.χ. Duncan

bu επιτρέπει ς δέχεται ορι

ωρίδες. Η ανάλεστή ασφαλύνται τυπικέςαντικά για βδίνονται σε πτης ευστάθε

τας για κάθν, για την οπκασία χρησιτις αντίστοιμμα Η/Υ του

μένη μέθοδομε κέντρα εαπό αυτές. Σντελεστή ασ

μένη γεωμετρ

εσμάτων υπολDE του οίκου λ

ο κέντρο του& Wright 20την ανάλυσηιζόντιες μόν

άλυση ικανοπλείας με ικας σε βραχομ

βαθιές επιφάνπολλά γνωστειας του πρα

θε μία ξεχωποία προκύπιμοποιούνταιιχες παραδου συντελεστής Janbu. Το ντός του πρ

Στην εικόνα φσφαλείας, F=ρία και με τις

λογισμού του σλογισμικού Ro

υ κύκλου ολ005). η καμπύλης

νο δυνάμεις ποιεί την κατανοποιητική

μάζες με γωννειες ολίσθητά εγχειρίδιαανούς θα πρ

ωριστά τον πτει η ελάχισι προγράμμαοχές. Στο Σχή ασφαλείαςπρόγραμμα

ροκαθορισμέφαίνεται ο δ

=1.65. Η τιμς δεδομένες

συντελεστή ασφocscience.

λίσθησης, πρ

επιφάνειας οστις πλευρέτακόρυφη ισ

ακρίβεια σνία τριβής μησης σε βραχα εδαφομηχαρέπει να εξε

συντελεστή στη τιμή του ατα Η/Υ, τα χήμα 154 δίς πρανούς σεεπέλυσε τις

ένου τετραγώυσμενέστερο

μή του συντειδιότητες της

φαλείας για πρ

οκύπτει η εξ

οποιουδήποτς των λωρίδ

σορροπία δυνστις περιπτώμεγαλύτερη αχομάζες με χ

ανικής (π.χ. Dτάζονται όλ

ασφαλείας,συντελεστήοποία ενσω

ίνεται εικόναασθενή βραεξισώσεις τη

ώνου και υπος κύκλος ολελεστή ασφας βραχομάζα

ρανές ασθενού

ξίσωση υπολ

τε σχήματοςδων, οι οποίνάμεων. Η μέώσεις ρηχώναπό 30ο. Η χαμηλή γωνίDuncan & Wλες οι πιθανέ, και να εν

ή ασφαλείας.ωματώνουν τα από τα α

αχομάζα. Γιατης μεθόδου πολόγισε τολίσθησης, δηαλείας υποδηας είναι ευστ

ύς βραχομάζας

232

λογισμού του

. Όπως και ηες, επιπλέονέθοδος Janbuν επιφανειώνακρίβεια τηςία τριβής. Ο

Wright 2005).ές επιφάνειεντοπίζεται η Σήμερα, γιατις εξισώσειποτελέσματα

α την επίλυσηγια κυκλικές

ο συντελεστήηλ. αυτός πουηλώνει ότι τοαθές.

ς. Η επίλυση

2

υ

η ν, u ν ς

Οι

ς η α ς α η ς ή υ ο

233

Οι μέθοδοι των λωρίδων εμπίπτουν στη γενικότερη κατηγορία μεθόδων υπολογισμού, που είναι γνωστές ως μέθοδοι οριακής ισορροπίας. Οι μέθοδοι αυτές έχουν χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα στο παρελθόν κυρίως λόγω της σχετικής απλότητάς τους. Με τον προγραμματισμό των εξισώσεων επίλυσης σε κώδικες Η/Υ (ή ακόμη και σε ένα απλό υπολογιστικό φύλλο εργασίας), δίνεται η δυνατότητα στον μηχανικό να αξιολογήσει την ευαισθησία που παρουσιάζει ο σχεδιασμός του στη μεταβολή των γεωτεχνικών παραμέτρων. Η πολυετής χρήση των μεθόδων, κυρίως για την εκτίμηση της ευστάθειας εδαφικών πρανών, έχει οδηγήσει στη διατύπωση προτεινόμενων τιμών του συντελεστή ασφαλείας για διάφορες περιπτώσεις, ώστε αφενός να διασφαλίζεται η ευστάθεια του πρανούς λαμβάνοντας υπόψη και τις διάφορες αβεβαιότητες, και αφετέρου να περιορίζονται οι παραμορφώσεις εντός αποδεκτών ορίων. Ωστόσο, υστερούν σε ακρίβεια και ευελιξία έναντι άλλων μεθόδων, όπως είναι οι αριθμητικές μέθοδοι, ειδικότερα για προβλήματα ευστάθειας που περιλαμβάνουν και μέτρα στήριξης της βραχομάζας.

11.3.2. Υπολογισμός συντελεστή ασφαλείας από διαγράμματα Μία γρήγορη εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας, για απλές περιπτώσεις, μπορεί να γίνει με τη χρήση διαγραμμάτων (Hoek & Bray 1981), τα οποία συσχετίζουν τον συντελεστή ασφαλείας με το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος, τις παραμέτρους αντοχής της βραχομάζας και το ύψος και τη γωνία κλίσης του πρανούς. Η χρήση αυτών των διαγραμμάτων προϋποθέτει ότι ικανοποιούνται οι επόμενες παραδοχές:

Η βραχομάζα είναι ομοιογενής και ισότροπη, και η διατμητική της αντοχή καθορίζεται από

το κριτήριο Mohr-Coulomb. Η επιφάνεια ολίσθησης είναι κυκλική και διέρχεται από τον πόδα του πρανούς. Υφίσταται εφελκυστική ρωγμή στην άνω επιφάνεια ή στο μέτωπο του πρανούς. Η θέση της εφελκυστικής ρωγμής και της επιφάνειας ολίσθησης είναι εκείνες που

ελαχιστοποιούν τον συντελεστή ασφαλείας για τη συγκεκριμένη γεωμετρία πρανούς και για δεδομένες συνθήκες υπόγειου νερού.

Οι συνθήκες υπόγειου νερού είναι προκαθορισμένες. Οι Hoek & Bray δίνουν διαγράμματα για πέντε περιπτώσεις: ξηρές συνθήκες, κορεσμένο πρανές και τρεις διαφορετικές γεωμετρίες της επιφάνειας του υπόγειου νερού.

Τα διαγράμματα ισχύουν για μοναδιαίο βάρος πετρώματος 18.9 kN/m3. Εάν το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος διαφέρει σημαντικά, μπορεί να απαιτείται ακριβής ανάλυση.

Για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας με τη χρήση των διαγραμμάτων των Hoek & Bray ακολουθούνται τα εξής βήματα: (1) Καθορίζονται οι συνθήκες υπόγειου νερού, επιλέγοντας μεταξύ των πέντε περιπτώσεων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια επιλέγεται το αντίστοιχο διάγραμμα από το οποίο θα προκύψει ο συντελεστής ασφαλείας. (2) Καθορίζονται οι παράμετροι αντοχής της βραχομάζας του πρανούς. Στο βήμα αυτό μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι εμπειρικές μέθοδοι εκτίμησης της αντοχής της βραχομάζας, οι οποίες παρουσιάσθηκαν στο κεφάλαιο 10. (3) Υπολογίζεται ο αδιάστατος συντελεστής c/[γHtan(φ)] και σημειώνεται η τιμή του στην εξωτερική κυκλική κλίμακα του αντίστοιχου διαγράμματος. c=Sm, φ=φm, γ είναι οι παράμετροι διατμητικής αντοχής και το μοναδιαίο βάρος της βραχομάζας αντίστοιχα. Η είναι το ύψος του πρανούς. (4) Με αφετηρία την τιμή του αδιάστατου συντελεστή c/[γHtan(φ)] ακολουθείται η ακτινική γραμμή μέχρι την τομή με την καμπύλη που αντιστοιχεί στη γωνία κλίσης του πρανούς. (5) Υπολογίζονται οι λόγοι tan(φ)/F και c/(γ H F), ο ένας εκ των οποίων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας F.

11.3.3. Υπολογισμός με αριθμητική προσομοίωση

Η αριθμητική προσομοίωση είναι μία εναλλακτική μέθοδος υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας του πρανούς, η οποία μπορεί να δώσει πολύτιμες πληροφορίες για τη συμπεριφορά της βραχομάζας και των στοιχείων ενίσχυσης και στήριξής της, ειδικότερα σε προβλήματα με πολύπλοκη γεωμετρία και γεωλογία. Με τον όρο αριθμητική προσομοίωση νοείται η εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας, κίνησης, ροής, μετάδοσης θερμότητας, κλπ., του προβλήματος.

Σήμερα, οι αριθμητικές μέθοδοι τείνουν να επικρατήσουν έναντι των εμπειρικών και αναλυτικών μεθόδων, που χρησιμοποιούνταν στο παρελθόν. Διακρίνονται σε εκείνες που επιλύουν το πρόβλημα

234

θεωρώντας τη βραχομάζα ως συνεχές υλικό, και σε εκείνες που συμπεριλαμβάνουν στους αλγόριθμους επίλυσης τόσο τα διακριτά τεμάχη άρρηκτου πετρώματος όσο και τις ασυνέχειες που τα διαχωρίζουν. Στην πρώτη κατηγορία περιλαμβάνονται, μεταξύ άλλων, οι μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων (finite elements method, FEM) και πεπερασμένων διαφορών (finite differences method, FDM). Στη δεύτερη ανήκουν η μέθοδος διακριτών στοιχείων (distinct elements method, DEM) και η μέθοδος ανάλυσης ασυνεχούς παραμόρφωσης (discontinuous deformation analysis, DDA). Η πρώτη κατηγορία μεθόδων προτιμάται για την προσομοίωση πυκνά διακλασμένης ή ασθενούς ή πολύ αποσαθρωμένης βραχομάζας. Η δεύτερη κατηγορία είναι περισσότερο κατάλληλη για την προσομοίωση ογκοτεμαχισμένων πετρωμάτων, όπου η αστοχία καθορίζεται κυρίως από τη γεωμετρία και τις ιδιότητες των ασυνεχειών.

Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος ευστάθειας βραχώδους πρανούς με αριθμητική προσομοίωση ξεκινάει με την επιλογή και απεικόνιση αρχικά του δοθέντος προβλήματος με τημορφή ενός μοντέλου, στο οποίο σημειώνονται τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά. Στη συνέχεια η περιοχή του μοντέλου, που καταλαμβάνεται από τη βραχομάζα, διακριτοποιείται, χωρίζεται δηλαδή σε ζώνες ή στοιχεία του ίδιου ή διαφορετικού μεγέθους και γνωστής γεωμετρίας (τρίγωνα ή τετράπλευρα σε δυο διαστάσεις, πυραμίδες ή εξάεδρα πρίσματα σε τρεις διαστάσεις). Η συμπεριφορά των στοιχείων καθορίζεται από την καταστατική σχέση τάσης-τροπής, σύμφωνα με το μοντέλο συμπεριφοράς του πετρώματος, που θεωρείται περισσότερο κατάλληλο στην κάθε περίπτωση. Κατά την επιλογή της κατάλληλης καταστατικής σχέσης λαμβάνεται υπόψη ο χαρακτηρισμός της βραχομάζας από πλευράς συμπεριφοράς (π.χ. γραμμικά ελαστική, ελαστοπλαστική, ψαθυρή κλπ.) και ανισοτροπίας και επιλέγεται εκείνο το κριτήριο αστοχίας, που θεωρείται ότι περιγράφει καλύτερα την κορυφαία αντοχή της βραχομάζας. Στη συνέχεια προσδίδονται στη βραχομάζα (ή στο άρρηκτο πέτρωμα και στις ασυνέχειες) οι κατάλληλες ιδιότητες, που θα πρέπει να είναι γνωστές είτε από την προγενέστερη γεωτεχνική έρευνα είτε από εκτιμήσεις. Καθορίζονται οι τάσεις του φυσικού εντατικού πεδίου και οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος, οι οποίες μπορεί να έχουν τη μορφή κινηματικών περιορισμών (απαγόρευση μετατόπισης ή στροφής) ή προκαθορισμένων εντατικών συνθηκών κατά μήκος των συνόρων του μοντέλου (ή και στο εσωτερικό του). Στη συνέχεια το μοντέλο επιλύεται αριθμητικά. Η διαδικασία της επίλυσης εξαρτάται από τη χρησιμοποιούμενη μέθοδο και τον αντίστοιχο αλγόριθμο επίλυσης.

Το θεωρητικό υπόβαθρο και οι λεπτομέρειες εφαρμογής των διαφόρων αριθμητικών μεθόδων δεν αναπτύσσονται εδώ, καθώς αυτό εκπίπτει του σκοπού του παρόντος. Δίνονται μόνο τα απαραίτητα εκείνα στοιχεία για την κατανόηση της μεθοδολογίας υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας σε βραχώδη πρανή ασθενούς βραχομάζας, η οποία θεωρείται ως συνεχές (ή ισοδύναμο συνεχές) μέσο.

Στην παρ. 11.3.1 ο συντελεστής ασφαλείας ορίσθηκε ως ο λόγος της διαθέσιμης διατμητικής αντοχής προς τη δρώσα διατμητική τάση στην επιφάνεια ολίσθησης. Εάν η διατμητική αντοχή είναι ίση με τη δρώσα διατμητική τάση, τότε από την εξίσωση (11.255) προκύπτει F=1.0 και η ισορροπία του πρανούς είναι οριακή. Η εξίσωση (11.255) γράφεται αλλιώς ως:

= / (11.261) Σύμφωνα με την εξίσωση (11.261), F είναι ο συντελεστής με τον οποίο πρέπει να μειωθεί η διατμητική αντοχή της βραχομάζας, ώστε να προκληθεί στο πρανές κατάσταση οριακής ισορροπίας. Εάν η διατμητική αντοχή της βραχομάζας περιγράφεται από το κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb, η εξίσωση (11.261) γράφεται ως:

= + tan = + tan (11.262)

Ο υπολογισμός του συντελεστή ασφαλείας μπορεί να πραγματοποιηθεί με αριθμητική προσομοίωση. Η μεθοδολογία αναφέρεται γενικά ως «μείωση διατμητικής αντοχής» (shear strength reduction, SSR) ή «μείωση c-φ» (c-φ reduction). Κατ’ αυτήν, οι παράμετροι διατμητικής αντοχής της βραχομάχας μειώνονται σταδιακά κατά ένα συντελεστή SRF (συντελεστής μείωσης αντοχής, strength reduction factor), σύμφωνα με τις σχέσεις (π.χ. Griffiths & Lane 1999, Rocscience 2004):

∗ = ; tan ∗ = tan (11.263)

Επιλύεται τοασφαλείας θ

Σχήμα 155 (aτριγωνικά στουπολογίσθηκα

ο αριθμητικόθεωρείται ίσο

a) Αριθμητικό οιχεία και οι σαν από την επίλ

ό μοντέλο γος με τον συν

μοντέλο προσσυνοριακές συνίλυση του αριθ

ια κάθε τιμήντελεστή SR

σομοίωσης πρανθήκες στα όρθμητικού μοντέ

ή SRF και αRF κατά την ο

ανούς σε ασθερια του μοντέλοέλου. Χρησιμο

αξιολογείται οριακή ισορρ

ενή βραχομάζαου. (β) Μετατοοποιήθηκε ο κώ

η συμπεριφροπία του πρ

α. Φαίνεται η οπίσεις της βρώδικας RS2 το

φορά του. Ο ρανούς.

διακριτοποίησραχομάζας, ποου οίκου Rocs

235

συντελεστή

ση σε ου science.

5

ς

236

Για την παρουσίαση της μεθοδολογίας, εξετάζεται η συνολική ευστάθεια (και όχι οι ενδεχόμενες τοπικές αστοχίες) πρανούς ύψους H=30 m και γωνίας κλίσης a=60ο σε βραχομάζα με παραμέτρους διατμητικής αντοχής Sm=150 kPa, φm=20ο (π.χ. μέσες τιμές παραμέτρων διατμητικής αντοχής βραχομάζας κατηγορίας IV κατά RMR) και μέτρο παραμορφωσιμότητας Em=2000 MPa. Στο Σχήμα 155 φαίνεται το αριθμητικό μοντέλο που προετοιμάσθηκε σε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων.

Στο Σχήμα 155α η βραχομάζα έχει διακριτοποιηθεί σε πεπερασμένα στοιχεία τριγωνικού σχήματος, στα οποία έχουν αποδοθεί οι ιδιότητες της. Καθώς τα όρια του μοντέλου βρίσκονται αρκετά μακριά από την περιοχή του πρανούς, είναι λογικό να υποτεθεί ότι δεν θα επηρεάζονται από την παρουσία του. Έτσι, στις κορυφές των τριγωνικών στοιχείων (κόμβοι), που βρίσκονται στο αριστερό, στο δεξιό και στο κάτω όριο του μοντέλου έχουν τοποθετηθεί στηρίξεις, που αντιστοιχούν σε απαγόρευση της οριζόντιας και κατακόρυφης μετακίνησης.

Αρχικά, επιλύεται το αριθμητικό μοντέλο για τις δεδομένες παραμέτρους αντοχής και παραμορφωσιμότητας της βραχομάζας. Στο Σχήμα 155β φαίνονται οι υπολογιζόμενες τιμές του μέτρου του διανύσματος της μετατόπισης σε κάθε θέση εντός της βραχομάζας. Συνεκτιμώντας τις υπολογιζόμενες μετατοπίσεις, μαζί με άλλες παραμέτρους απόκρισης του αριθμητικού μοντέλου (π.χ. την επίτευξη της κορυφαίας αντοχής στα στοιχεία πεπερασμένων διαφορών, τη μέγιστη διατμητική τροπή, κλπ.) μπορεί να εκτιμηθεί η κατάσταση του πρανούς από πλευράς ευστάθειας. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση το πρανές θεωρείται ευσταθές. Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν ο συντελεστής ασφαλείας του πρανούς είναι επαρκής.

Στη συνέχεια, το αριθμητικό μοντέλο επιλύεται μειώνοντας τις παραμέτρους αντοχής της βραχομάζας για διάφορες τιμές του συντελεστή μείωσης της διατμητικής αντοχής, σύμφωνα με την εξίσωση (11.262). Για την κάθε περίπτωση αξιολογείται η συμπεριφορά του μοντέλου, ώστε να εντοπισθεί ο κρίσιμος συντελεστής ασφαλείας. Στον κώδικα Η/Υ, που χρησιμοποιήθηκε για αυτό το παράδειγμα, η υπολογιστική διαδικασία είναι τυποποιημένη, και το πρόγραμμα δίνει έναν κρίσιμο συντελεστή μείωσης της αντοχής SRF=1.55. Για το ίδιο παράδειγμα η μέθοδος Janbu έδωσε συντελεστή ασφαλείας 1.65. Στο Σχήμα 156 δίνεται η κατανομή της μέγιστης διατμητικής τροπής σε κάθε θέση εντός της βραχομάζας για SRF=1.55. Από αυτό μπορεί να παρατηρηθεί ότι η μέγιστη διατμητική τροπή αναπτύσσεται κατά μήκος καμπύλης επιφάνειας, η γεωμετρία της οποίας είναι παρόμοια με τον κρίσιμο κύκλο ολίσθησης που έδωσε η επίλυση με τη μέθοδο Janbu (βλ. Σχήμα 154).

Η μέθοδος SSR (ή c-f reduction) σήμερα είναι ενσωματωμένη ως αυτοματοποιημένη διαδικασία σε αρκετούς γεωτεχνικούς κώδικες πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων διαφορών. Μπορεί ωστόσο να εφαρμοσθεί με οποιονδήποτε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων ή πεπερασμένων διαφορών, αρκεί αυτός να ενσωματώνει τα κατάλληλα κριτήρια αστοχίας για τη βραχομάζα. Επιπλέον, σημειώνεται ότι δεν είναι απαραίτητο να μειώνονται ταυτόχρονα όλες οι παράμετροι αντοχής της βραχομάζας, εάν κατά την κρίση του μηχανικού αυτό δεν είναι ρεαλιστικό.

Η μέθοδος παρουσιάζει αρκετά πλεονεκτήματα, μεταξύ των οποίων είναι η δυνατότητα προσδιορισμού του πεδίου των μετατοπίσεων στη βραχομάζα και των εντατικών μεγεθών των στοιχείων ενίσχυσης και στήριξης, τόσο κατά τις συνθήκες λειτουργίας, όσο και κατά την οριακή κατάσταση. Ένα από τα μειονεκτήματα της μεθόδου είναι ότι δεν υπάρχει ακόμη μεγάλη συσσωρευμένη εμπειρία από την εφαρμογή της σε πρακτικά προβλήματα ευστάθειας πρανών. Για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας της μεθόδου, οι Hammah et al. (2005) υπολόγισαν τον συντελεστή ασφαλείας με τη μέθοδο SSR για περισσότερες από 30 περιπτώσεις μελέτης πρανών από τη διεθνή βιβλιογραφία. Στη συνέχεια σύγκριναν τα αποτελέσματα, με εκείνα που προκύπτουν από τις μεθόδους οριακής ισορροπίας, διαπιστώνοντας ότι δίνουν παρόμοιες τιμές του συντελεστή ασφαλείας.

Μία από τις δυσκολίες εφαρμογής της μεθόδου είναι η επιλογή των κατάλληλων κριτηρίων αξιολόγησης της κατάστασης ισορροπίας του πρανούς. Κατά τους Griffiths & Lane (1999), ένα κατάλληλο κριτήριο μπορεί να είναι η σύγκλιση ή μη των αποτελεσμάτων της επίλυσης εντός ενός προκαθορισμένου οριακού σφάλματος. Εάν ο αλγόριθμος της επίλυσης δεν έχει συγκλίνει ύστερα από πολλές επαναλήψεις του υπολογισμού, τότε δεν έχει υπολογιστεί μία στατικά αποδεκτή εντατική κατάσταση, που να ικανοποιεί ταυτόχρονα και το κριτήριο αστοχίας της βραχομάζας. Συνήθως αυτή η κατάσταση συνοδεύεται από ραγδαία αύξηση των μετατοπίσεων στη βραχομάζα. Οι Griffiths & Lane (1999) παρουσιάζουν τα αποτελέσματά τους με διαγράμματα μεταβολής του αδιάστατου συντελεστή Εmδmax/(γH2) ως προς τον συντελεστή SRF. Εm είναι το μέτρο παραμορφωσιμότητας, δmax η μέγιστη τιμή του μέτρου της μετατόπισης στους κόμβους του μοντέλου, γ το μοναδιαίο βάρος και Η το ύψος του πρανούς. Η διερεύνηση πραγματοποιήθηκε για εδαφικά πρανή, όμως με ελαφρές τροποποιήσεις μπορεί να εφαρμοσθεί και σε πρανή ασθενούς βραχομάζας. Τέτοια γραφήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με την παραμόρφωση της γεωμετρίας του πρανούς

και την απειμηχανισμού

Σχήμα 156 Ηεπιφάνειας, πουπολογίσθηκε

11.4. Ολί Σε ογκοτεμακαι από τονσυνδυασμό οποία δύνανπεριπτώσειςπροσανατολεπίπεδη επιφεμπίπτει στηπρανές, οι ρήγματα, δαποσαθρωμέ

Κατεμφανίζεται ορισμένες αυχρήσιμη, διόολίσθησης εκμεταλλεύσεπίπεδη αστπαρατηρούμως τη δεύανθρακωρυχδιατύπωση

ικόνιση των αστοχίας το

Η μέγιστη διατμου διέρχεται αε με ανάλυση ο

ίσθηση τε

αχισμένα πετν προσανατομε την ελεύθνται να ολι

ς, η ολίσθησλισμό ως προφάνεια» ή πη γενικότερηεπιφάνειες ιακλάσεις ήένο πέτρωματά τους Hoek

πολύ συχνυστηρές γεω

ότι καταδεικνκαι στις σ

σεων, εξαιτίτοχία είναι

μενων αστοχύτερη συχνχείων στη Μτων εξισώσ

διανυσμάτωνου πρανούς.

μητική τροπή σαπό τον πόδα τοριακής με τη μ

εμάχους σ

τρώματα οι πολισμό των θερη επιφάνεισθήσουν πρση των τεμαος την επιφάπιο συνοπτικη κατηγορίαεπίπεδης ολ

ή η επιφάνα. k & Bray (19νά στην πράωμετρικές πρνύει την ευαισυνθήκες υπίας της συνεπερισσότερο

χιών. Για παρνότερα παρΜεγάλη Βρεων υπολογ

ν της μετατό

στα τριγωνικάτου πρανούς. Ημέθοδο Janbu

σε επίπεδη

πιθανοί μηχαασυνεχειών.εια του πρανρος τον κεναχών συμβαάνεια του πρκά ως «επίπα των μηχανλίσθησης είννεια επαφής

981) και τουάξη, καθώς, οϋποθέσεις.ισθησία της πόγειου νερεχούς μεταβο συχνή. Αράδειγμα, οι ατηρούμενη

ρετανία. Εξάγισμού του σ

όπισης για τη

ά πεπερασμέναΗ επιφάνεια εu (βλ. Σχήμα 1

η επιφάνε

ανισμοί αστο. Συνήθως, νούς, σχηματνό χώρο υπαίνει σε επίπρανούς. Ο μ

πεδη ολίσθησνισμών αστοναι συνήθωςς του υγιού

υς Wyllie & για να συμΘεωρούν ωευστάθειας τ

ρού. Εντούτολής του πρ

Αυτό επιβεβαι Stead & Sc αστοχία άλλου, κατάσυντελεστή

ην αξιολόγησ

α στοιχεία αναίναι παρόμοια

154).

ια

χίας καθορίζτο δίκτυο ττίζουν πρισμ

πό της επίδρπεδα ασυνεχμηχανισμός ση» ή «επίποχίας με μετς δομικές α

ύς βραχώδου

Mah (2004)μβεί, θα πρέστόσο ότι η του πρανούςτοις, στα προσανατολισαιώνεται καcoble (1983)σε 226 π

ά τον Goodασφαλείας

ση του συντε

πτύσσεται κατα με τον κρίσιμ

ζονται από τηων ασυνεχει

ματικά τεμάχραση της βαχειών μεγάληαυτός αναφέ

πεδη αστοχίαταφορική κίασυνέχειες, υς υποβάθρ

, ολίσθηση σέπει να ικανεξέταση αυτστη διατμητ

πρανή των σμού και τουαι από τα σ

αναγνώρισαεριπτώσεις dman (1989για την επί

ελεστή ασφαλ

τά μήκος καμπμο κύκλο ολίσ

η γεωμετρία ιών του πετχη διαφόρωναρύτητας. Σης εμμονής έρεται ως «α». Η επίπεδίνηση. Σε ένόπως επίπεδ

ρου με το

σε επίπεδη εανοποιούνταιτού του μηχατική αντοχή μεγάλων ε

υ ύψους τωστατιστικά σαν την επίπε

μελέτης ε9), η απλή ίπεδη ολίσθη

237

λείας και του

πύλης θησης που

του πρανούτρώματος, σεν μεγεθών, ταΣε ορισμένε

με δυσμενήολίσθηση σεδη ολίσθησηνα βραχώδεςδα στρώσηςυπερκείμενο

επιφάνεια δενταυτόχρονα

ανισμού είνατου επιπέδου

επιφανειακώνν πρανών, ηστοιχεία τωνεδη ολίσθησηεπιφανειακών

μαθηματικήηση δίνει τη

7

υ

ς ε α ς ή ε η ς ς, ο

ν α

αι υ ν η ν η ν ή η

δυνατότητα της διατμητι

Για πρέπει να ικεπιπέδου ολείναι περίποκλίση μικρόνα είναι μεγπρανούς (Σχτου πρανούς(π.χ. διακλάσ

Σχήμα 157 Π

11.4.1. Υπ Στην παρ. 1προς τη δρώνα ολισθήσελαμβάνεται οφείλεται απ

= = σn είναι η ορτάση μπορεολίσθησης: = cos

απλών ανάσικής αντοχήςνα συμβεί ο

κανοποιούνταλίσθησης πρέου ±20ο. β) Τότερη από τηνγαλύτερη απχήμα 157) ή ς ή σε προγεσεις) που να

Προοπτική απε

πολογισμός

1.3.1 ο συντεώσα διατμητιει, υπό την μία λωρίδα

ποκλειστικά tan

ρθή τάση στεί να υπολο

στροφων ανας των ασυνεχολίσθηση τεαι οι παρακάέπει να είναι

Το επίπεδο ολν κλίση του

πό τη γωνία να καταλήγεενέστερα σχελευθερώνο

εικόνιση ολίσθ

ς του συντ

ελεστής ασφική τάση (τ) επίδραση τομοναδιαίου

στην τριβή,

την επιφάνειγιστεί από

αλύσεων απόχειών επιτόποεμάχους πετράτω συνθήκει σχεδόν παρλίσθησης θα πρανούς (Σχτριβής. δ)

ει σε κάποιαχηματισμένη ουν το τέμαχο

θησης τεμάχου

τελεστή ασ

φαλείας (F) οστην επιφάν

ου βάρους τομήκους. Θε

τότε η εξίσω

ια ολίσθησηςτη συνιστώσ

ό παρατηρούου. ρώματος σε ες (π.χ. Hoekράλληλη με τα πρέπει να τχήμα 157). γΤο επίπεδο

α κατακόρυφεφελκυστικ

χος του πετρώ

υς σε επίπεδη ε

σφαλείας

ορίσθηκε ως νεια ολίσθησου, σε επίπεεωρώντας ότωση (11.255)

ς. Εάν το εμσα του βάρ

ύμενες αστο

μία επίπεδηk & Bray 198την επιφάνειέμνει την επ

γ) Η γωνία κλολίσθησης

φη ή παρακατκή ρωγμή. ε)ώματος.

επιφάνεια.

ο λόγος της σης. Στο Σχήεδη επιφάνειτι η διατμητ) γράφεται ω

μβαδό της επρους του τεμ

χίες πρανών

η επιφάνεια σ81, Kliche 19ια του πρανοιφάνεια του λίσης του επή να τέμνει τακόρυφη ασ) Να υπάρχο

διαθέσιμης δήμα 158α τέια. Για την αική αντοχή ς:

πιφάνειας ολμάχους κάθε

ν με σκοπό τ

σε βραχώδε999): α) Η πούς. Η μέγισπρανούς, δη

πιπέδου ολίσθι την άνω επσυνέχεια στοουν πλευρικέ

διατμητικής έμαχος πετρώανάλυση τητου επιπέδο

λίσθησης είνετα προς τη

238

την εκτίμηση

ς πρανές, θαπαράταξη τουστη απόκλισηηλαδή να έχεθησης πρέπεπιφάνεια τουο πίσω μέροές επιφάνειε

αντοχής (τavώματος τείνες ευστάθειας

ου ολίσθηση

(11.264

αι Α, η ορθήην επιφάνεια

(11.265

8

η

α υ η ει ει υ ς ς

v) ει ς ς

)

ή α

)

Ομοίως, η δεπιφάνεια ολ = sin Αντικαθιστώ

= tan

Σχήμα 158 (aκαι εξωτερική

Στο Σχήμα 1προς την ορσυνιστώσες επιφάνεια ολ = cos και = sin Αντικαθιστώ

διατμητική τλίσθησης:

ώντας τις (11

= cossin

a) Τέμαχος πεή δύναμη Ε.

158β στο τέμριζόντιο. Ακο

κάθετα καιλίσθησης γρά+ sin(− cos(

ώντας τις (11

τάση μπορεί

1.265) και (1⁄ ⁄ tan

τρώματος που

μαχος ασκείτολουθώντας ι παράλληλαάφονται ως: ( + ) + )

1.268) και (1

ί να υπολογ

1.266) στην

= tantan

υ τείνει να ολισ

ται εκτός απτη μεθοδολ

α προς την

1.269) στην

γιστεί από τ

(11.264) προ

σθήσει υπό την

πό το βάρος λογία των K

επιφάνεια ο

(11.264) προ

τη συνιστώσ

οκύπτει:

ν επίδραση το

του και μία Kovári & Frit

ολίσθησης.

οκύπτει:

α του βάρου

υ βάρους του.

εξωτερική δtz (1975), η Η ορθή και

υς παράλλη

(β) Στο τέμαχ

δύναμη Ε υπδύναμη Ε α

ι διατμητική

239

λα προς την

(11.266

(11.267

χος ασκείται

ό γωνία γ ωαναλύεται σεή τάση στην

(11.268

(11.269

9

ν

)

)

ς ε ν

)

)

240

= tan = cos + sin( + )sin − cos( + ) tan (11.270)

Στην περίπτωση που στη διατμητική αντοχή του επιπέδου ολίσθησης συνεισφέρει εκτός από την τριβή και μία συνιστώσα συνοχής, τότε η εξίσωση (11.264) γίνεται (για μοναδιαίο μήκος πρανούς):

= + tan = + cos + sin( + ) tansin − cos( + ) (11.271)

Από τις εξισώσεις (11.270) ή (11.271) μπορεί να υπολογιστεί ο συντελεστής ασφαλείας έναντι ολίσθησης τεμάχους σε επίπεδη επιφάνεια υπό την επίδραση του βάρους του και εξωτερικής δύναμης Τ. Οι εξισώσεις είναι ανεξάρτητες από το σχήμα του τεμάχους, αρκεί να είναι δυνατός ο υπολογισμός του βάρους του και η επιφάνεια ολίσθησης να είναι επίπεδη. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την περίπτωση του πρανούς που εικονίζεται στο Σχήμα 157 ή όταν το επίπεδο ολίσθησης τέμνει κάποια κατακόρυφη ή παρακατακόρυφη ασυνέχεια (π.χ. εφελκυστική ρωγμή) στο πάνω μέρος του πρανούς ή όταν η άνω επιφάνεια του πρανούς είναι κεκλιμένη, κλπ. Η εξωτερική δύναμη Τ αντιπροσωπεύει την προσφερόμενη δύναμη λόγω τοποθέτησης προεντεταμένων αγκυρίων. Εάν Τ=0, τότε η εξίσωση (11.270) ταυτίζεται με την (11.267).

Το βάρος του τεμάχους ανά μέτρο μήκος πρανούς μπορεί να υπολογιστεί από το γινόμενο του μοναδιαίου βάρους ρg επί το εμβαδό του τετραπλεύρου που το περικλείει. Το τελευταίο μπορεί να υπολογιστεί από τις συντεταγμένες των κορυφών του (1, 2, 3 και 4 στο Σχήμα 159), θεωρώντας ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων με αρχή την κορυφή 1. Ο τύπος υπολογισμού του βάρους είναι: = 2 [ ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − )] (11.272)

Για τη γεωμετρία στο Σχήμα 159 είναι: = = 0 = / tan ; = = / tan + ; = + tan = / tan + ; = / tan + tan Η επιφάνεια Α του τεμάχους ανά μέτρο μήκους πρανούς είναι: = / tan + / cos (11.273)

Στη γενική περίπτωση, εκτός από τη δύναμη Τ θα ασκούνται και άλλες δυνάμεις, όπως οι υδροστατικές δυνάμεις λόγω της πίεσης του νερού στο επίπεδο ολίσθησης ή στην εφελκυστική ρωγμή ή η συνισταμένη της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώσας της σεισμικής δράσης, όταν χρησιμοποιείται η «ψευδοστατική» μέθοδος. Η περίπτωση αυτή μπορεί να αντιμετωπισθεί με τις ίδιες εξισώσεις, εάν όλες οι εξωτερικές δυνάμεις αναλυθούν κατά τη διεύθυνση της δύναμης Τ και του βάρους του τεμάχους. Στη συνέχεια χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις (11.270) ή (11.271) με τροποποιημένες τις δυνάμεις Τ και W ως εξής:

= cos + sin( + )sin − cos( + ) tan (11.274)

= + cos + sin( + ) tansin − cos( + ) (11.275)

Η βασική υβάρους του τεμάχους. Εκίνδυνος αναη οποία εξεεπιφάνεια.

Σχήμα 159 Τ

Το πρανές κκλίσης βp. Σ

πόθεση για τεμάχους. Δ

Εντούτοις, σεατροπής. Γιαετάζεται κατ

Τέμαχος πετρώ

και η άνω επτο τέμαχος α

Το βάρο Η δύναμ

εξετάζετU1.

Η δύναμπίεσης τ

Η δύναμδύναμη

τη χρήση τωΔεν λαμβάνοε πρανή μεγα την παρουστά τον σχεδ

ώματος που τεί

πιφάνεια έχοασκούνται οι

ος του W. μη U1 λόγωται η κατανο

μη U2 λόγω ττου νερού θαμη Τ λόγω τΤ δρα σε γων

ων εξισώσεωονται υπόψη άλης κλίσηςσίαση της με

διασμό βραχ

ίνει να ολισθήσ

υν γωνίες κλι εξής δυνάμε

της πίεσης ομή της πίεση

της πίεσης τα πρέπει να είτοποθέτησης νία γ από την

ων είναι ότι ροπές που

ς με στρώσεεθοδολογίαςχωδών πρανώ

σει υπό την επ

λίσης βf και εις:

του νερού ης, η οποία θ

ου νερού στίναι γνωστή

ς προεντεταμν οριζόντιο.

όλες οι εξωθα μπορούσις επίσης με, στο Σχήμα ών έναντι τ

πίδραση του βά

βs αντίστοιχ

στην επιφάνθα πρέπει να

ην εφελκυστγια τον υπολ

μένων αγκυρ

ωτερικές δυναν να προκα

εγάλης κλίση159 δίνεται ου κινδύνου

άρους του.

χα. Το επίπε

νεια ολίσθησείναι γνωστή

τική ρωγμή. λογισμό της ίων για τη σ

νάμεις δρουναλέσουν περης πρέπει ναμία συνήθη

υ ολίσθησης

εδο ολίσθηση

σης. Προς τή για τον υπο

Ομοίως, η κU2. στήριξη του

24

ν στο κέντροριστροφή τουα ελέγχεται ος περίπτωσης σε επίπεδη

ης έχει γωνία

το παρόν δενολογισμό της

κατανομή τη

τεμάχους. Η

1

ο υ ο

η, η

α

ν ς

ς

Η

242

Η δύναμη Ε λόγω σεισμικών δράσεων, η οποία θεωρείται ότι είναι οριζόντια. Στην πράξη, το μέγεθος και η διεύθυνση εφαρμογής της σεισμικής δράσης καθορίζονται με βάση τον εφαρμοζόμενο κανονισμό (π.χ. τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό ή τον Ευρωκώδικα 8). Στην περίπτωση όπου στους υπολογισμούς υπεισέρχεται κατακόρυφη συνιστώσα, απαιτείται μικρή τροποποίηση των εξισώσεων παρακάτω.

Όλες οι δυνάμεις θεωρείται ότι ασκούνται στο κέντρο βάρους του τεμάχους. Για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας αναλύονται οι δυνάμεις κατά τη διεύθυνση της δύναμης Τ και του βάρους του τεμάχους.

= sincos ; = cos +cos (11.276)

= cos( ); = tan (11.277)

= cos( ) ; = tan (11.278)

Οι τροποποιημένες δυνάμεις W΄ και Ε΄ υπολογίζονται ως:

= − − − (11.279) = − − − (11.280)

Ο συντελεστής ασφαλείας υπολογίζεται από τις εξισώσεις (11.274) ή (11.275).

Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν με την ίδια μορφή ανεξάρτητα από τον αριθμό των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο τέμαχος. Εάν, για παράδειγμα, στην άνω επιφάνεια του τεμάχους ασκείται ένα φορτίο λόγω θεμελίωσης, αρκεί αυτό να αναλυθεί κατά τη διεύθυνση της Τ και του βάρους, και οι προκύπτουσες δυνάμεις να συμπεριληφθούν στις W΄ και T΄. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν ως προς Τ για τον υπολογισμό της απαιτούμενης δύναμης προέντασης, ώστε να επιτυγχάνεται ένας επιθυμητός συντελεστής ασφαλείας.

11.4.2. Επίδραση του υπόγειου νερού Για ξηρές συνθήκες πρανούς, U1=0 και U2=0. Εάν μόνον η εφελκυστική ρωγμή περιέχει νερό, όπως μπορεί να συμβεί π.χ. σε περιπτώσεις έντονων βροχοπτώσεων ύστερα από περίοδο ξηρασίας, και ταυτόχρονα πτωχή στράγγιση του νερού στο επίπεδο διάτμησης, τότε U1=0, ενώ για τον υπολογισμό της U2 απαιτείται να γίνει παραδοχή για το ύψος του νερού στην εφελκυστική ρωγμή. Το ύψος της εφελκυστικής ρωγμής προκύπτει από τη γεωμετρία του πρανούς, την κλίση του επιπέδου διάτμησης και την απόστασης της εφελκυστικής ρωγμής από το φρύδι του πρανούς. Στο Σχήμα 159 είναι:

ℎ = − = + tan − / tan + tan (11.281) Εάν θεωρηθεί ότι η εφελκυστική ρωγμή είναι πληρωμένη με νερό μέχρι ύψους ξ*h, τότε στο βάθος της εφελκυστικής ρωγμής η πίεση του νερού θα είναι:

= ℎ (11.282) Συνεπώς η δύναμη U2 θα είναι:

= 12 ℎ = ( ℎ) 2 (11.283)

243

γw είναι το μοναδιαίο βάρος του νερού.

Εάν θεωρηθεί ότι το νερό εισέρχεται από την εφελκυστική ρωγμή στην άνω επιφάνεια του πρανούς και στραγγίζεται στην επιφάνεια του πρανούς, μέσω του επιπέδου διάτμησης, τότε η κατανομή της πίεσης του νερού τόσο στην εφελκυστική ρωγμή όσο και στην επιφάνεια ολίσθησης θα είναι τριγωνική. Η U2 θα δίνεται από τη σχέση (11.283), ενώ η U1 θα υπολογίζεται από τη σχέση:

= 12 = ℎ2 (11.284)

L είναι το μήκος του επιπέδου διάτμησης, που δίνεται από τη σχέση: = / tan + / cos (11.285)

Τέλος, για κορεσμένο πρανές θα πρέπει να τίθεται ξ=1 για τον υπολογισμό των U1 και U2.

11.4.3. Ολίσθηση σε τραχεία επιφάνεια Εάν η επιφάνεια ολίσθησης είναι τραχεία, θα πρέπει να υιοθετηθεί ένα μη γραμμικό κριτήριο διατμητικής αντοχής. Έστω ότι η διατμητική αντοχή της επιφάνειας ολίσθησης περιγράφεται από το μη γραμμικό κριτήριο Barton-Bandis. Τότε, θεωρώντας ότι το επίπεδο ολίσθησης έχει μηδενική συνοχή, η εξίσωση (11.264) γίνεται:

= = tan + log (11.286)

Καθώς η ενεργός γωνία τριβής εξαρτάται από την ορθή τάση, θα μεταβάλλεται κατά μήκος της επιφάνειας ολίσθησης. Το πρόβλημα κανονικά θα πρέπει να επιλυθεί αριθμητικά. Για την εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας μπορούν να γίνουν δυο παραδοχές: (1) η ορθή τάση να θεωρηθεί ομοιόμορφα κατανεμημένη και ίση με τη μέση ορθή τάση στο επίπεδο διάτμησης. Την υπόθεση αυτή διατυπώνει ο Nilsen (1999) για τη διερεύνηση της ευστάθειας βραχώδους πρανούς με διάφορους μεθόδους. (2) Να υπολογιστεί ο συντελεστής ασφαλείας για τη μέγιστη ορθή τάση, η οποία για τη γεωμετρία στο Σχήμα 159 αναπτύσσεται κάτω από το φρύδι του πρανούς (για βs<βp). Η δυνατότητα αυτή αναφέρεται από τους Wyllie & Mah (2004).

Στη συνέχεια οι εξισώσεις του συντελεστή ασφαλείας διατυπώνονται για τη συγκεκριμένη τιμή της ορθής τάσης. 11.4.4. Σεισμικές δράσεις Σεισμικές δράσεις μπορούν να ληφθούν υπόψη στην ανάλυση με την ψευδοστατική μέθοδο. Κατ’ αυτήν, εφαρμόζεται μία ισοδύναμη αδρανειακή δύναμη λόγω της σεισμικής διέγερσης, η οποία υπολογίζεται με βάση την οριζόντια αh και την κατακόρυφη αV συνιστώσα του σεισμικού συντελεστή που εφαρμόζονται επί του βάρους του ολισθαίνοντος τεμάχους. Λαμβάνοντας υπόψη τις σεισμικές δράσεις, για ξηρές συνθήκες πρανούς χωρίς δυνάμεις προέντασης, ο συντελεστής ασφαλείας γίνεται (Wyllie & Mah 2004):

= + cos − sin + tansin + cos + (11.287)

αΤ=tan-1(αV/αH) η γωνία της αδρανειακής δύναμης από την οριζόντιο.

Κατά τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό (ΕΑΚ-2000, παρ. 5.4.1(1)) η ευστάθεια φυσικών ή τεχνητών πρανών κατά τον σεισμικό κραδασμό θα πρέπει να ελέγχεται με θεώρηση των ακόλουθων πρόσθετων ενεργών επιταχύνσεων που δρουν στην βραχώδη μάζα: οριζόντια αh=απ και κατακόρυφη αv=±0.50απ. απ είναι η σεισμική επιτάχυνση σχεδιασμού του πρανούς. Λαμβάνεται ίση με 0.5α, όπου α είναι η επιτάχυνση σχεδιασμού ανάλογα με τη ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας της περιοχής.

Έ

11.5. Σφη Ένας από τοείναι η ολίστεμαχών, ταολίσθηση». επιφάνεια τοσυμβαίνει σδιεύθυνση τηείναι η μονα

Η αστερεογραφιεπιφάνειας συνθήκες. Μπαράδειγμα,

Το μμέτρα ή πεπρανούς. Οισφηνοειδείς ασυνεχειών εκφάνσεις τοDagh του Ιρεικόνα στο Σ

Σχήμα 160 ΑCommons Att

ηνοειδής ο

ους συνηθέσσθηση πρισμα οποία συχΗ σφήνα τουου πρανούς.ε ένα επίπεδης ολίσθηση

αδική κοινή δαναγνώριση ικής προβολτου πρανού

Μπορεί επίσ, με τη «θεωρμέγεθος του ρισσότερο) ι περισσότερ

ολισθήσειςκαι υπολογιου γεωλογικράν) εμφανίζΣχήμα 160.

Αστοχία σφηνοtribution Inter

ολίσθηση

στερους μηχαματικών τεμαχνά ομοιάζου πετρώματο. Ανάλογα μδο ασυνέχειαης συμπίπτει διεύθυνση για

της διεύθυλής, όπου οι μύς απεικονίζσης να πραγρία τεμαχώντεμάχους μπκαι καθορίζοι βραχώδεις

ς. Για παράδσμούς ευστά

κού σχηματισζονταν συστη

ειδούς ολίσθηrnational Lice

η

ανισμούς ασαχών πετρώμουν με σφήνος σχηματίζεμε τη γεωμεας ή σε δύο τμε τη διεύθυα τα δύο επίπυνσης ολίσμέγιστοι κύκζονται στο γματοποιηθε» (block theoπορεί να ποιζει τις απαιτς σχηματισμδειγμα, ο Sάθειας πρανώσμού που μεληματικά αστ

ησης σε πρανέςense (CC BY),

στοχίας στα βματος προς νες, ο μηχαεται από την ετρία της σφτεμνόμενα επυνση της ευθπεδα.

σθησης μπορκλοι των επιπδίκτυο των

εί με πιο πρory, Goodmaικίλει από ποτήσεις της υ

μοί έχουν, τουShidrel (201ών έναντι σφλέτησε (γεωλτοχίες σφηνο

ς. Πηγή: Shirdhttp://creativ

βραχώδη πρτο μέτωπο τ

ανισμός αυτότομή των ασφήνας και τπίπεδα ταυτό

θείας τομής τ

ρεί να πραπέδων των α

μεσημβρινώροχωρημένεan & Shi 198ολύ μικρό έωυποστήριξηςυλάχιστον κι5), πραγματ

φηνοειδούς ολογικός σχημ

οειδούς ολίσθ

del (2015). Η vecommons.org

ανή σε ογκοτου πρανούςός καλείται συνεχειών μεου πρανούς,όχρονα. Στηντων επιπέδων

αγματοποιηθεασυνεχειών, τών και εξετς κινηματικ85, Goodmanως πολύ μεγάς για την ασινηματικά, τητοποιώντας λίσθησης, διματισμός Artθησης, όπως

φωτογραφία δg/licenses/by/

οτεμαχισμένας. Λόγω της

γενικά ως ε το μέτωπο κ, η ολίσθησν τελευταία ν των ασυνεχ

εί με τη του μετώπουτάζονται οι

κές μεθόδουςn 1989). άλο (εκατοντσφαλή διαμη δυνατότητσυστηματικέιαπίστωσε ότtamir στην π

ς αυτή που φ

διατίθεται με ά/4.0/.

244

α πετρώματαμορφής των«σφηνοειδήςκαι την πάνω

ση μπορεί ναπερίπτωση ηχειών, καθώς

βοήθεια τηυ και της άνω

κινηματικέςς, όπως, για

τάδες κυβικάμόρφωση τουτα να δώσουνές μετρήσειςτι σε όλες τι

περιοχή Kopeφαίνεται στην

άδεια Creative

4

α ν ς

ω α η ς

ς ω ς α

ά υ ν ς ς e ν

e

ΌΌταν η ολίστις μεθόδουςτου βάρους πίεσης του ντην ανάλυσολίσθησης σ

11.5.1. Κιν Στο Σχήμα επιπέδων αστρισορθογώντέμνει την εκάθετος προεπίπεδο s-n)

Σχήμα 161 Π

Για να είναισε ευθεία. Ημε τη βοήθετεμαχών ή αJ1 και J2, αναπό την κλίσάξονα x οριζκαι τον άξον

Για τομής να είνπου σχηματίόταν η διεύθπρέπει να εί

σθηση συμβας που αναπτύτης σφήνας

νερού στις αση του μηχασε δύο επίπεδ

ινηματικές

161 φαίνετασυνεχειών J1νιο σύστημαεπιφάνεια τοος αυτόν. Το.

Προοπτική απε

ι κινηματικά Η κλίση της εεια της στεραλλιώς από τντίστοιχα, όπση και τη διεζόντιο με κανα z κατακόρνα υπάρχει

ναι μικρότερίζεται από τθυνση κλίσηίναι μεγαλύτ

αίνει σε ένα ύχθηκαν στης από τη γεωασυνέχειες. Εανισμού. Γιαδα ασυνεχειώ

ς συνθήκες

αι σφήνα πε και J2. Για

α αξόνων Οsου πρανούς. ο επίπεδο s-

εικόνιση γεωμε

δυνατή η σφευθείας τομήεογραφικής

το εξωτερικόπως παρουσιεύθυνση κλίσατεύθυνση πρυφο με κατε

κινηματική ρη από τη φαους άξονες s

ης της επιφάντερη από τη γ

επίπεδο ασυην παρ. 11.4.ωμετρία τηςΕντούτοις, ηα τον λόγο ών ταυτόχρον

ς

ετρώματος, τη διευκόλυνnt με αρχή Ο άξονας s

-n είναι κατα

ετρίας σφηνοε

φηνοειδής ολής είναι βsi κπροβολής (β

ό γινόμενο τωάζεται από τσης των επιπρος τον βορεύθυνση προ

δυνατότητααινόμενη κλίs-n. Η φαινόνειας του πργωνία τριβής

υνέχειας, ο σ. Η πρόσθετης, καθώς επί δυσκολία εαυτό, στα ενα.

που σχηματνση της παρτων αξόνων

s έχει τη διεακόρυφο. Τέ

ειδούς ολίσθησ

λίσθηση, θακαι η διεύθυνβλ. π.χ. Wylων μοναδιαίωτους Kovári πέδων θεωρώρρά, τον άξονος τα πάνω. α ολίσθησης ίση της επιφόμενη κλίση ρανούς είναι ς φj. Τέλος,

συντελεστής η δυσκολία πσης και των

είναι απλά υπεπόμενα εξε

τίζεται σε βουσίασης τω

ν το σημείο όύθυνση της έλος, ο άξον

σης.

α πρέπει τα δνσή της asi. Αllie & Mah 2ων κάθετων & Fritz (197

ώντας ένα τρινα y οριζόντ

της σφήναςφάνειας του πβfi θα είναι ίση με asi. Εκινηματική

ασφαλείας μπου εισάγεταν συνισταμένπολογιστική ετάζεται ο μ

ραχώδες πρων γεωμετρικόπου η ευθείευθείας τομ

νας h είναι

ύο επίπεδα αΑυτές μπορο2004), είτε αδιανυσμάτων

75, 1984). Ταισορθογώνιοτιο με κατεύθ

ς, θα πρέπει πρανούς βfi, ίση με την π

Επιπλέον, η δυνατότητα

μπορεί να υπαι αφορά τοννων δυνάμεω και όχι καθμηχανισμός

ρανές από τηκών συνθηκώία τομής τωνμής και ο άξοριζόντιος (

ασυνεχειών ούν να υπολοαναλυτικά, μν n1 και n2 τ

α n1 και n2 υο σύστημα αξθυνση προς

ι η κλίση βsiμετρούμενηπραγματική κλίση της ευολίσθησης υ

245

πολογιστεί μεν υπολογισμόων λόγω τηςθοριστική γιασφηνοειδούς

ην τομή δύοών, θεωρείταν ασυνεχειώνξονας n είνα(κάθετος στο

να τέμνονταογιστούν είτεμε τη θεωρίατων επιπέδωνπολογίζονταξόνων με τοντην ανατολή

i της ευθείας στο επίπεδοκλίση μόνονυθείας τομήςυπάρχει μόνο

5

ε ό ς α ς

ο αι ν

αι ο

αι ε α ν

αι ν ή

ς ο ν ς ο

όταν η διεύθκαθορίζοντα

11.5.2. Υπ Στα επόμεναπρανούς, διαδύο ασυνέχεστις δύο ασυσεισμικές δρ

Η γεκαι της σφήνστο επίπεδοφαινόμενη γεπιπέδων J1162β και είν

Σχήμα 162 Γπεριλαμβάνει

Ο συντελεσδιατμητική τN1 και N2 στδυνάμεων κπρος την ορι

cos =

Από την ισο sin +

Από τις εξισ

θυνση της ευαι από τον πρ

πολογισμός

α ακολουθείατμητική αντειες. Σημειώυνέχειες, όπωράσεις). εωμετρία τηςνας σε κατα

ο των αξόνωγωνία κλίση-J2, δηλαδή

ναι: N1, N2, ο

Γεωμετρία για την ευθεία τομ

στής ασφαλετάση. Στην οτα επίπεδα τατά την οριζιζόντια διεύθcos

ορροπία δυνάsin =σώσεις (11.28

υθείας τομής ροσανατολισ

ς συντελεσ

ίται η μεθοδτίσταση στα

ώνεται ότι η ως και εξωτε

ς σφήνας δίνκόρυφο επίπ

ων n-s. Η ευς βfi. Στο Σχστο επίπεδοι ορθές δυνά

την ανάλυση τμής, (β) τομή

ίας υπολογίζολίσθηση αντων ασυνεχεζόντια διεύθυθυνση (κατά

άμεων ως προcos

88) και (11.2

των δύο επιπσμό της επιφά

στή ασφαλ

δολογία τωνεπίπεδα τωνανάλυση τωερικές δυνάμ

νεται στο Σχήπεδο που περυθεία τομής χήμα 162β δο των αξόνωνάμεις στα επίπ

της ευστάθειαςσε επίπεδο κά

ζεται ως ο λθίσταται η δ

ειών. Οι δυνάυνση και τη τον άξονα h

ος τη διεύθυν

289) προκύπτ

πέδων ασυνεάνειας του πρ

λείας

ν Kovári & ν ασυνεχειώνων Kovári &μεις (π.χ. λόγ

χήμα 161. Στριλαμβάνει τ έχει γωνία δίνεται τομήν h-n. Οι δυνίπεδα J1 και

ς σφηνοειδούςάθετα προς την

λόγος της δδύναμη τριβήάμεις N1 καιδιεύθυνση κ

h):

νση του άξον

τει:

εχειών κυμαίρανούς και ε

Fritz (1975,ν λόγω τριβή Fritz περιλαγω υδροστατ

ο Σχήμα 162ην ευθεία τοκλίσης βsi,

ή σε επίπεδονάμεις που δJ2, αντίστοιχ

ς ολίσθησης: (ν ευθεία τομής

διαθέσιμης δής, η οποία αι N2 υπολογίκάθετα στη ε

να n:

ίνεται μεταξύεκείνο των ασ

, 1984), θεωής και επιπλέαμβάνει και τικών πιέσεω

2α δίνεται η ομής των επι

ενώ η επιφκάθετο προ

δρουν στη σφχα, και το βά

(α) τομή σε κατς.

διατμητικής αναπτύσσεταίζονται από τευθεία τομής

ύ asi1 έως asiσυνεχειών.

ωρώντας ξηρέον ίση γωνί

την περίπτωων, δύναμη π

πλάγια όψη ιπέδων J1 καφάνεια του πος την ευθείφήνα δίνονταάρος W.

τακόρυφο επίπ

αντοχής προαι λόγω των τις εξισώσεις. Από την ι

246

i2, γωνίες που

ρές συνθήκεα τριβής στιςωση συνοχήςπροέντασης ή

του πρανούςαι J2, δηλαδήπρανούς έχεία τομής τωναι στο Σχήμα

πεδο που

ος τη δρώσααντιδράσεων

ις ισορροπίαισορροπία ως

(11.288

(11.289

6

υ

ς ς ς ή

ς ή ει ν α

α ν ς ς

)

)

247

+ = cos + cossin( + ) cos (11.290)

Ο συντελεστής ασφαλείας είναι:

= = tan = ( + ) tansin = cos + cossin( + ) × cos tansin = tantan (11.291)

Συγκρίνοντας την εξίσωση (11.291) με την εξίσωση (11.267) προκύπτει ότι η περίπτωση σφηνοειδούς ολίσθησης είναι μία γενίκευση της περίπτωσης επίπεδης ολίσθησης, τουλάχιστο για την απλή περίπτωση που εξετάσθηκε στην παράγραφο αυτή. Οι Kovári & Fritz (1975) απέδειξαν ότι η γενίκευση έχει ισχύ και για πιο σύνθετες περιπτώσεις, όπως, όταν τα επίπεδα των ασυνεχειών έχουν συνοχή, όταν οι γωνίες τριβής των επιπέδων είναι διαφορετικές και όταν ασκούνται στη σφήνα εξωτερικές δυνάμεις. Εξάλλου, δίνουν εξισώσεις υπολογισμού των γωνιών θ1 και θ2 συναρτήσει του προσανατολισμού της ευθείας τομής των ασυνεχειών J1 και J2.

Περαιτέρω, οι Hoek & Bray (1981) ανέπτυξαν μία αναλυτική λύση για τον υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας της σφήνας, όταν τα επίπεδα έχουν συνοχή και γωνία τριβής (διαφορετικές για κάθε επίπεδο), με κεκλιμένη άνω επιφάνεια του πρανούς διαφορετικής εν γένει διεύθυνσης από εκείνη του μετώπου. Για την ανάλυση της ευστάθειας, υιοθετούν την υπόθεση ότι το πέτρωμα από το οποίο συνίσταται η σφήνα είναι αδιαπέραστο, το νερό εισέρχεται στις ασυνέχειες από την άνω επιφάνεια του πρανούς και στραγγίζεται στο μέτωπο του πρανούς. Η μέγιστη υδροστατική πίεση θεωρείται ότι ασκείται σε ύψος Η/2 κατά μήκος της ευθείας τομής. Κατά τους Hoek και Bray (1981) αυτή η κατανομή αντιπροσωπεύει συνθήκες που μπορεί να συμβούν λόγω έντονων βροχοπτώσεων. Θεωρώντας ότι η ολίσθηση της σφήνας συμβαίνει κατά μήκος της ευθείας τομής, δίνουν αναλυτική σχέση υπολογισμού του συντελεστή ασφαλείας. Για ξηρές συνθήκες πρανούς, και εφόσον δεν ληφθεί υπόψη η συνοχή των επιπέδων των ασυνεχειών στην ανάλυση της ευστάθειας της σφήνας, ο συντελεστής ασφαλείας γίνεται:

= tan + tan (11.292)

Οι αδιάστατοι συντελεστές Α και Β είναι συνάρτηση του προσανατολισμού των επιπέδων των ασυνεχειών και μπορούν να υπολογιστούν από τα διαγράμματα των Hoek και Bray (1981).

Σήμερα, οι διάφορες αναλυτικές λύσεις είναι προγραμματισμένες σε κώδικες Η/Υ, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον γρήγορο υπολογισμό του συντελεστή ασφαλείας, καθώς και για τη διενέργεια παραμετρικών ή πιθανοτικών αναλύσεων. 11.6. Ανατροπή παρακατακόρυφων δομών

Ο μηχανισμός της ανατροπής περιλαμβάνει περιστροφή στρώσεων ή τεμαχών πετρώματος γύρω από σημείο ή άξονα, που βρίσκεται χαμηλότερα από το κέντρο βάρους του τεμάχους και ανήκει σε σταθερή βάση (Σχήμα 163). Η δυνατότητα εκδήλωσης του μηχανισμού σε συγκεκριμένη περίπτωση μπορεί να εξεταστεί με τις μεθόδους της στερεογραφικής προβολής. Κατά τους Goodman και Bray (1976) διακρίνονται οι ακόλουθοι κύριοι τύποι ανατροπής: 1) Ανατροπή λόγω κάμψης (flexural toppling): συνεχή στρώματα πετρώματος, που βυθίζονται απότομα και αντίρροπα προς το πρανές, κάμπτονται προς την επιφάνεια του πρανούς και θραύονται. Κατά την κάμψη, οι διεπιφάνειες των στρώσεων ολισθαίνουν και η πάνω επιφάνεια του πρανούς αποκτά βαθμιδωτή μορφή. 2) Ανατροπή τεμαχών (block toppling): ανατροπή εγκάρσια ρωγματωμένων παρακατακόρυφων στρωμάτων ή στηλοειδών τεμαχών πετρώματος. 3) Ανατροπή τεμαχών εμφανιζόμενη ως κάμψη (block-flexure toppling): ψευδοσυνεχής κάμψη παρακατακόρυφων στρωμάτων με πολλαπλές εγκάρσιες ασυνέχειες. Η εικόνα της κάμψης οφείλεται στην ολίσθηση των εγκάρσιων ασυνεχειών.

Περαιτέρω, οι Goodman & Bray (1976) ανέπτυξαν μία αναλυτική υπολογιστική διαδικασία για την εκτίμηση της ευστάθειας ενός πρανούς, με τεμάχη που κινδυνεύουν σε ανατροπή. Η γεωμετρία στην οποία βασίζεται η ανάλυση περιλαμβάνει ένα σύνολο τεμαχών πετρώματος, τα οποία εδράζονται σε βαθμιδωτή βάση γνωστής μέσης κλίσης. Η κλίση των παρακατακόρυφων ασυνεχειών και των εγκάρσιων ασυνεχειών (που αποτελούν τη βάση κάθε τεμάχους) θεωρούνται επίσης γνωστές.

Σχήμα 163 Π

Τα τεμάχη αυπολογιστούσυνθήκες ευτου πρανούανατροπή. Τ

Σχήμα 164 Γ

Περιστροφικές

αριθμούνται ύν τα γεωμευστάθειάς τος. Στη συνέ

Τέλος, διακρί

Γεωμετρικό μο

και μεταφορικ

από τον πόδαετρικά μεγέθους. Αρχικά, έχεια, διακρίνονται ολισθ

ντέλο για την

κές κινήσεις τε

α του πρανούθη κάθε τεμά

διακρίνονταίνονται τα εθαίνοντα τεμ

ανάλυση ορια

εμαχών πετρώ

ύς, ώστε το κάχους, αυτάαι τα ευσταθενδιάμεσα τ

μάχη στον πό

ακής ισορροπία

ώματος κατά τη

κατώτερο τέδιαχωρίζον

θή τεμάχη, ττεμάχη στο όδα του πραν

ας σε βαθμιδω

ην ανατροπή.

μαχος να είνται σε τρεις

τα οποία ευρπρανές, τα

νούς.

ωτή βάση.

ναι το υπ’ αρς ομάδες ανάρίσκονται στ

οποία κινδυ

248

ριθμ. 1. Αφούάλογα με τι

το άνω μέροςυνεύουν από

8

ύ ς ς ό

249

Με την ανάλυση των δυνάμεων που ασκούνται σε κάθε τέμαχος, είναι δυνατός ο προσδιορισμός της απαιτούμενης δύναμης στο τέμαχος 1, ώστε αυτό να έρθει σε κατάσταση οριακής ισορροπίας. Εάν αυτή είναι αρνητική, τότε το τέμαχος είναι ευσταθές, διαφορετικά εάν είναι θετική, τότε είναι ασταθές (συνήθως έναντι ολίσθησης). Οριακή ισορροπία θεωρείται ότι υπάρχει όταν η δύναμη αυτή είναι μηδέν. Ο συντελεστής ασφαλείας μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση (π.χ. Wyllie & Mah 2004): = tantan (11.293)

φavailable είναι η διαθέσιμη γωνία τριβής και φrequired είναι η απαιτούμενη γωνία τριβής, ώστε το τέμαχος 1 να είναι οριακά ευσταθές. Υπολογίζεται από τη διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω, αυξάνοντας ή μειώνοντας τη γωνία τριβής.

Η ανάλυση των Hoek & Bray είναι πολύ χρήσιμη για την εκτέλεση παραμετρικών αναλύσεων, καθώς και για τη διερεύνηση της επίδρασης της διατμητικής αντοχής των ασυνεχειών. Όμως, η γεωμετρία του προβλήματος είναι απλουστευμένη.

Βιβλιογραφία/Αναφορές

Duncan, J.M. Wright, S.G. (2005). Soil Strength and Slope Stability. John Wiley and Sons.

Goodman, R.E. (1989). Introduction to Rock Mechanics. 3rd Ed., John Wiley.

Goodman, R.E. and Bray, J.W. (1976). “Toppling of rock slopes”. Proc. Specialty Conference on Rock Engineering for Foundations and Slopes, Boulder, Colorado, ASCE Vol.2, pp. 201-234.

Goodman, R.E., Shi, G-H. (1985). Block Theory and Its Application to Rock Engineering. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Griffiths, D.V., Lane, P.A. (1999). “Slope stability analysis by finite elements”. Geotechnique, 49(3):387-403.

Kliche, C.A. (1999). Rock Slope Stability. Society for Mining, Metallurgy, and Exploration, Inc. (SME)

Hammah, R., Yacoub, T., Corkum, B., Curran, J. (2005). “A comparison of finite element slope stability analysis with conventional limit-equilibrium investigation”. Proceedings of the 58th Canadian Geotechnical and 6th Joint IAH-CNC and CGS Groundwater Specialty Conferences Saskatoon, Saskatchewan, Canada, September 2005.

Hoek, E., Bray, J. (1981). Rock Slope Engineering. 3rd Ed.. CRC Press, 368 pp.

Hudson, J.A., Harrison, J.P. (1997). Engineering Rock Mechanics – An Introduction to the Principles. Pergamon Press.

Kovári, K., Fritz, P. (1975). “Stability analysis of rock slopes for plane and wedge failure with the aid of a programmable pocket calculator”. 16th US Rock Mech. Symp., Minneapolis, USA, pp. 25-33.

Kovári, K., Fritz, P. (1984). “Recent developments in the analysis and monitoring of rock slopes”. Proceedings IVth Int. Symp. Landslides, Toronto.

Nilsen, B. (2000). “New trends in rock slope stability analyses”. Bulletin of Engineering Geology and the Environment, 58: 173–178.

Rocscience Inc. (2004). Application of finite element method to slope stability. Rocscience Inc. https://www.rocscience.com/rocscience/products/rs2/resources/researchpapers.

Shirdel, B. (2015). “Analysis of engineering geology indices in three units of Atamir Formation in Kope Dagh zone”. Open Journal of Geology, 05,847-875. doi: 10.4236/ojg.2015.512072.

250

Stead, D., Scoble, M.J. (1983). “Rock slope stability assessment in British surface coal mines”. 2nd International Surface Mining and Quarrying Symposium, 4-6 October, Bristol, UK, pp. 205-216.

Wyllie, D.C., Mah, C. (2004). Rock Slope Engineering: Civil and Mining.4th Ed., Spon Press.

251

Ασκήσεις

Άσκηση 1 Πρανές ύψους 22 m και γωνίας κλίσης 60ο εκσκάπτεται σε ασθενή βραχομάζα. Από την επιτόπου παρατήρηση εκτιμήθηκε ότι το πρανές είναι κορεσμένο και βρίσκεται σε οριακή ισορροπία (FS≈1.0). Η βραχομάζα έχει μοναδιαίο βάρος 25 kN/m3 και γωνία τριβής φ=25ο. Υπολογίστε: α) τη συνοχή της βραχομάζας για συντελεστή ασφαλείας 1.0. β) Χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους αντοχής του ερωτήματος: (α) υπολογίστε τον συντελεστή ασφαλείας για ξηρές συνθήκες. γ) Υπολογίστε την απαιτούμενη μείωση του ύψους του πρανούς για κορεσμένες συνθήκες, ώστε να επιτευχθεί συντελεστής ασφαλείας 1.3.

Άσκηση 2 Πρανές, ύψους 12 m, πρόκειται να κατασκευαστεί σε βραχώδη σχηματισμό με καλώς αναπτυγμένα επίπεδα διάστρωσης κλίσης 35ο και διεύθυνση κλίσης ίδια με τη διεύθυνση κλίσης της επιφάνειας του πρανούς. Η γωνία κλίσης της επιφάνειας του πρανούς είναι 60ο. Στην άνω οριζόντια επιφάνεια του πρανούς, υπάρχει εφελκυστική ρωγμή βάθους 4.35 m σε απόσταση 4.0 m από το φρύδι του πρανούς, η οποία είναι πληρωμένη με νερό μέχρι ύψους 3.0 m από το επίπεδο ολίσθησης. Οι στρώσεις έχουν συνοχή 25 kPa και γωνία τριβής 37ο. Το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος είναι 26 kN/m3 και το μοναδιαίο βάρος του νερού είναι 10.0 kN/m3. 1) Υπολογίστε τον συντελεστή ασφαλείας έναντι επίπεδης ολίσθησης: (α) θεωρώντας ότι το υπόγειο νερό στραγγίζεται στον πόδα του πρανούς, (β) εάν η εφελκυστική ρωγμή ήταν πλήρως γεμάτη με νερό, (γ) για ξηρές συνθήκες, (δ) για ξηρές συνθήκες και μηδενική συνοχή του επιπέδου ολίσθησης. 2) Υπολογίστε τη μεταβολή του συντελεστή ασφαλείας για την περίπτωση 1(α) και για φορτίο προεντεταμένων αγκυρίων 400 kN ανά μέτρο μήκους του πρανούς. Η γωνία κλίσης των αγκυρίων ως προς την κατακόρυφη είναι 20ο. 3) Για την περίπτωση του ερωτήματος (2) ελέγξτε την ευστάθεια του πρανούς κατά τον σεισμικό κραδασμό για οριζόντια σεισμική δράση με αh=0.12.

Άσκηση 3 Πρανές ορύγματος οδοποιίας διανοίγεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου σε σκληρό πέτρωμα με σci=100 MPa. Το ύψος του πρανούς είναι 20 m και η γωνία κλίσης 75ο. Τα αναμενόμενα προβλήματα ευστάθειας σχετίζονται με την παρουσία διακλάσεων που δύνανται να δημιουργούν συνθήκες επίπεδης ολίσθησης. Οι διακλάσεις έχουν κλίση 45ο προς το μέτωπο του πρανούς. Η αντοχή των διακλάσεων θεωρείται ότι περιγράφεται από το μη γραμμικό κριτήριο Barton- Bandis, με JRCn=9, JCSn=70 MPa, και βασική γωνία τριβής 35ο. Από την επιτόπου γεωλογική αναγνώριση προέκυψε ότι οι διακλάσεις είναι τραχείες και χωρίς αποσαθρωμένα τοιχώματα, έτσι ώστε η παραμένουσα γωνία τριβής τους να θεωρείται ότι είναι περίπου ίση με τη βασική γωνία τριβής. Η πίεση του νερού κατά τη διάρκεια έντονων βροχοπτώσεων εκτιμήθηκε ότι θα έχει τριγωνική κατανομή στα πιθανά επίπεδα διάτμησης, που αντιπροσωπεύει την ελεύθερη είσοδο του νερού στις διακλάσεις από την άνω επιφάνεια του πρανούς, την πλήρη στράγγιση στον πόδα, και μέγιστη πίεση που αντιστοιχεί στην υδροστατική σε ύψος ίσο με το 50% του ύψους του πρανούς. Αν και η περιοχή θεωρείται χαμηλής σεισμικότητας, μικρής έντασης περιστασιακές σεισμικές δράσεις είναι πιθανές και συνεπώς, από την άποψη της ασφάλειας, συνιστάται η σεισμικότητα να λαμβάνεται υπόψη. Τα σεισμικά φορτία προσομοιώνονται ως ένα ισοδύναμο οριζόντιο φορτίο (ψευδο-στατική μέθοδος). Η μέγιστη δυνατή σεισμική επιτάχυνση θεωρείται ότι είναι amax=0.1 g. Υπολογίστε τον συντελεστή ασφαλείας έναντι επίπεδης ολίσθησης για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς δράσεων. Το μοναδιαίο βάρος του πετρώματος είναι 27 kN/m3.

Άσκηση 4 Σε βραχώδες πρανές εντοπίσθηκαν δύο συστήματα ασυνεχειών, J1 και J2, που μαζί με την επιφάνεια του πρανούς σχηματίζουν τεμάχη πετρώματος με δυνητική αστάθεια σφηνοειδούς ολίσθησης. Ο προσανατολισμός της επιφάνειας του πρανούς είναι (κλίση, διεύθυνση κλίσης)=(65ο, 270ο) και των ασυνεχειών J1(45ο, 230ο) και J2(55ο, 320ο). Η διατμητική αντίσταση των ασυνεχειών οφείλεται στην τριβή, με γωνία τριβής 30ο. Το συνολικό ύψος της σφήνας είναι H = 20 m. Το μοναδιαίο βάρος πετρώματος είναι γr=26 kN/m3. Υπολογίστε τον συντελεστή ασφαλείας έναντι σφηνοειδούς ολίσθησης.