1.1.2 slenkamojo ir sukamojo judejimo dinamika (fizika.ktu.2006)

Slenkamojo judėjimo dinamika

Dinamika – [gr. Dynamis – jėga] - fizikos šaka, kuri nagrinėja kūnų judėjimą ir jį sukėlusiais ar keičiančias priežastis.

© doc. dr. Vytautas Stankus, Fizikos katedra, KTU

Slenkamojo judėjimo dinamikaJudėjimą apibūdina padėtis, kryptis ir greitis.

Judėjimo kitimą apibūdina pagreitis.

Judėjimo kitimą lemiantys faktoriai (priežastys) yra du:

1. Pagrindinė priežastis, dėl kurios atsiranda ar kinta kūnų judėjimasyra jėga.

1. Pagrindinė priežastis, dėl kurios judėjimas nekinta ar priešinasi pokyčiui yra masė.

,

;)()()()(

dtrdv

ktzjtyitxtr

F

m

,2

2

dtrd

dtvda


Slenkamojo judėjimo dinamika – atskaitos sistemos

Judėjimas visada aprašomas kokioje nors atskaitos sistemoje.

Kad galima būtų įvertinti judėjimo pokyčių dėsningumą, atskaitos sistematuri tenkinti vieną reikalavimą – būti inercine atskaitos sistema.

Inercinės atskaitos sistemos - tai sistemos, kurios yra reliatyviojerimtyje arba juda viena kitos atžvilgiu tolygiai ir tiesiaeigiai, t.y. be pagreičio.

Neinercinės atskaitos sistemos – juda netolygiai ir su pagreičiu inercinėssistemos atžvilgiu.

Šių sistemų (neinercinių) atžvilgiu mes negalime aprašyti dinaminiųparametrų ir charakteristikų.


Slenkamojo judėjimo dinamika – atskaitos sistemos

Inercinėse atskaitos sistemose galioja

Galilėjaus reliatyvumo principas: visi mechaniniai reiškiniai vienodomis sąlygomis bet kurioje inercinėje sistemoje vyksta vienodai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistemaKad atskaitos sistema būtų Inercinė (a=0), turi būti išpildytos kelios taisyklės.

1. Materialaus taško padėtis priklauso, pagal kurią inercinę atskaitos sistemą ši padėtis yra aprašoma. Pereinant iš vienos I.S. į kitą I.S., naudojamos Galilėjaus transformacijos.

Padėties transformacija. Turim tašką B, kurio padėtį S’ sistemoje aprašo vektorius

S ir S’ atskaitos sistemos, kur S’ juda pastoviu greičiu S atžvilgiux ašies kryptimi.

S sistemoje taško B padėtį apibūdina vektorius:

O jo projekcijos:

Ir atvirkščiai - taško B padėtis S’ atskaitos sistemoje:

r


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistemaGreičio transformacija.

2. Materialiojo taško greitis nejudančios sistemos atžvilgiu lygus jo greičio judančios sistemos atžvilgiu ir pačios šios sistemos greičio sumai – Greičių sudėties teorema.

Taško B greitis nejudančios sistemos atžvilgiu:

Greičio projekcijos yra:


Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistemaPagreičio transformacija.

2. Materialiojo taško pagreitis nejudančios sistemos atžvilgiu yra lygus jo pagreičiuibet kokios kitos judančios sistemos atžvilgiu.

Taško B pagreitis nejudančios sistemos atžvilgiu:

,0)()( 00

2

2

2

2aa

dtconstvd

dtvd

dtvd

dtrd

dtrda

aa

pagreičiai abiejose inercinėse sistemose yra vienodi. Sakome, kad pagreitis yra invariantinis Galilėjaus transformacijų atžvilgiu. Vadinasi, ir dinamikos dėsniai, pereinant iš vienos inercinės sistemos į kitą nekinta.


Apibendrinant – klasikinės mechanikos dėsniai gali būti įvertinti tik aprašant juos inercinių atskaitos sistemų atžvilgiu.

Ar sistema yra inercinė parodo jos parametrai, kurie turi tenkinti sąlygas:

Pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą galima naudoti vadinamasGalilėjaus transformacijas:

Iš kitos pusės – jei, aprašant judėjimą ir jo kitimo dėsnius, naudojant Galilėjaustransformacijas, yra tenkinamos trys sąlygos – atskaitos sistema, kurios atžvilgiuaprašome judėjimo dėsnius, yra inercinė.

Svarbiausia yra trečioji. Jei abi sistemos yra inercinės, tai pereinant iš vienos įkitą:

Slenkamojo judėjimo dinamika – Inercinė atskaitos sistema

aa

aa


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniai

Judėjimo dėsniai siejantys kūnų judėjimo charakteristikas su parametrais yra vadinami Dinamikos dėsniais.

Pagrindiniai dinamikos dėsniai yra trys Niutono dėsniai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniaiPirmasis Niutono dėsnis - inercijos dėsnis, teigia, kad kiekvienas kūnas išlaiko rimties arba tolyginio tiesiaeigio judėjimo būseną tol, kol pašalinis poveikis nepriverčia šią būseną pakeisti.

T.y., jei kūną neveikia jokie pašaliniai poveikiai jis judės tolygiai ir tiesiaeigiai amžinai.

Ši kūno savybė vadinama inercija.


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniaiĮveskime paprasčiausią dydį, kuris galėtų nusakytį bet kokio kūno mechaninę būseną.

Kadangi, aprašant m masės judantį greičiu v kūną, paprasčiausiai toks dydis bus:

Impulsas arba judesio kiekis.

Kiekvienas realus kūnas pasižymi tik jam būdinga savybe, vadinama mase.

Masės m kūnas, judantis pastoviu greičiu v pasižymi mechanine būsena, kuri vadinama impulsu. Ši sąvoka postuluojama ir yra pirminė mechanikoje.

Impulsu arba judesio kiekiu vadiname kūno masės ir greičio sandauga.Impulsas yra vektorinis dydis, kurio kryptis sutampa su kūno judėjimo kryptimi.

Sudėtinio kūno impulsas yra lygus sumai visų tą kūną sudarančių elementariųjų materialių taškų impulsų sumai:

Matematiškai Pirmąjį Niutono dėsnį galime užrašyti:

,vmp

,1

N

iiivmp

;;0,0 constpFkaidtvdm

dtpd

,vmp


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniaiAntrasis Niutono dėsnis – materialiojo taško impulso kitimo sparta tiesiogiai proporcinga jį veikiančiai jėgai.

Inercinėje atskaitos sistemoje materialiojo taško greitį, o kartu ir impulsą pakeičiajį veikiančios jėgos.

Antrojo Niutono dėsnio matematinė (kiekybinė) išraiška formuluojama taip:

arba

Taigi, kūno įgytas pagreitis tiesiog proporcingas jį veikiančiai jėgai ir atvirkščiai proporcingas masei.

Jeigu kūną veikia kelios jėgos, jų poveikį galima pakeisti atstojamuoju poveikiu.

,Fdtvdm

dtpd

,Famdtvdm

,mFa

,1

mF

m

Fa ats

N

ii

F m a


Slenkamojo judėjimo dinamika – dėsniaiTrečiasis Niutono dėsnis – teigia, kad kūnų sąveikos jėgos lygios, bet priešingųkrypčių:

,2112 FF

21F

212F

1


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametraiIš Pirmojo ir Antrojo Niutono dėsnių fizikinės prasmės galima įvertinti jėgos dydžio kiekybinę prasmę.

Jėga – mechaninio poveikio matas, charakteristika, skaitine verte lygi kūno impulso kitimo spartai.

Pagrindinė jėgos savybė – keisti kūno judėjimo greitį arba jį deformuoti.

Jėga pilnai nusakoma, jei yra žinoma: jos modulis, kryptis ir poveikio taškas.Ji yra vektorinis dydis.

Jėgos poveikio linija - tiesė, išilgai kurios kryptimi yra nukreipta jėga.

Jėgos tipai: 1. Lauko - 4 fundamentalius visatos sąveikos tipus:

1.1 Gravitacinė,1.2 Elektromagnetinė,1.3 Stiprioji,1.4 Silpnoji.

2. Kontaktinis

2.1 Tamprumo jėga (Elektromagnetinės prigimties),2.2 Trinties jėga (Elektromagnetinės prigimties),


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametraiTamprumo jėga (Elektromagnetinės prigimties), nusakoma iš Huko dėsnio:

k – tamprumo modulis (koeficientas)

Trinties jėga (Elektromagnetinės prigimties),

k – trinties koeficientas.

21, xxxkxF

mgNkNFtr ,


Slenkamojo judėjimo dinamika – dinaminiai parametraiIš PirmojoIš Pirmojo ir Antrojo Niutono dėsnių fizikinės prasmės galima įvertinti ir nusakyti masės dydžio fizikinę prasmę.

Kaip minėjome:

Inercija – materialaus kūno savybė išlaikyti pastovų greitį, neveikiant jį išoriniais poveikiais.

Tačiau:

Inertiškumas – yra kūno savybė priešintis jo greičio pakeitimui.

To priešinimosi dydis yra vadinamas inertiškumo matu ir skaitine verte lygus kūną veikiančio jėgos ir tos jėgos sukelto pagreičio santykiui, kitaip tariant masei. Todėl:

Masė – kūno inertiškumo matas.

Esant greičiams žymiai mažesniems nei šviesos greitis, kūno masė nepriklausonei nuo jį veikiančių jėgų, greičio, pagreičio ir kitų faktorių.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Impulso tvermės dėsnisTrijų kūnų sąveika apsirašo trim II Niutono dėsniais (čia F1, F2, F3- išorinės jėgos,o fij – kūnų sąveikos jėgos)

Pirmasis indeksas reiškia kūną, kuris veikia jėga, o antrasis nurodo, kurį kūną veikia.

Susumuojame ir sugrupuojame pagal indeksus:

Kadangi pagal III Niutono dėsni , tai

Kai sistema nėra uždara, tuomet sistemos impulso kitimo greitis lygus išorinių jėgų sumai:

Uždaros sistemos yra lygi nuliui, todėl: arba:

Impulso tvermės dėsnis, kuris teigia, kad uždaros sistemos impulsas nekinta, kaijos viduje vyksta bet kokie procesai.


Slenkamojo judėjimo dinamika – Sistemos masių centras

Kiekvienas realus kūnas sudarytas iš daugybės materialiųjų mi masės taškų. Šie taškai ar sistemos kūnai gali būti išsidėstę įvairiai.

Tačiau bet kokį sudėtingą kūną ar kūnų sistemą galima nagrinėti kaip materialų tašką, turinį masę m ir padėtį erdvėje.

Tokios masių sistemos dinaminis aprašymas vykdomas pasinaudojant masių centro dydžiu,

Masių centras randamas:kai masė sistemoje pasiskirsčiusi diskretiškai:

Kai masė pasiskirsčiusi tolygiai, centro koordinatės nustatomos integruojant:

arba koordinatėmis:

Masės centrui taip pat galioja greičio irpagreičio kinematinės lygtys: ,

dtrdv c

c

dtvda c

c


SUKAMOJO judėjimo dinamika

Sukamojo judėjimo tipai – pagal tai, ko atžvilgiu sukasi:

1. Sukimasis apie ašį,2. Sukimasis apie tašką.

pagal judėjimo kitimą laike:...


Sukamasis judėjimas

R - Materialaus taško judėjimo spindulys ašies arba taško atžvilgiu.

- Spindulio posūkio kampas

- MT judėjimo kampinis greitis

- MT judėjimo kampinis pagreitis

MT judėjimo kampinio greičio ir pagreičio vektoriųkryptys yra nukreiptos išilgai sukimosi ašies taip,kad žiūrint vektoriaus kryptimi taškas sukasi pagallaikrodžio rodyklę

Kinematinės charakteristikos:


Sukamasis judėjimas

Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu:

Kinematinės charakteristikos:

RRdtd

dtdva

RRvan

)(

22


Dinaminiai parametrai (būdingi besisukančiam objektui)

• Inercijos momentas - I,• Judesio kiekio arba impulso momentas - L,

Dinaminės charakteristikos (apibūdinančios sukimosi procesą)

• Posūkio kampas, spindulys, ašis,• Kampinis ir linijinis greitis,• Kampinis pagreitis,• Tangentinis ir normalinis pagreičiai,• Jėgos momentas – M.

Pagrindiniai dėsniai

• Sukamojo judėjimo pagrindinis dinamikos dėsnis,• Judesio kiekio momento (impulso) tvermės dėsnis.

Sukamasis judėjimas© doc. dr. Vytautas Stankus, Fizikos katedra, KTU

Sukamajame judėjime mechaninio poveikio matas, sukantis materialųjį taškąapie kokią nors ašį yra jėgos momentas.

Jėgos momento fizikinė prasmė yra jėgos gebėjimas sukti.

Jėgos momentas yra vektorinis dydis M, lygus materialaus taško spinduliovektoriaus r ir jėgos vektoriaus F, veikiančio tą tašką vektorinei sandaugai.

Jėgos momento vektoriaus kryptis yra statmena vektorių r ir F plokštumai.

Jėga F tašką P gali veikti ne statmenai spinduliui vektoriui, o kampu .

Tada jėgos momento modulis yra lygus:

Jėgos momentas taško atžvilgiu

,FrM

,sin),sin( dFrFFrrFM

sinrd - vadinamas jėgos petimi O atžvilgiu


Materialus taškas P, ašis Oz ir jėga Fi

Materialus taškas gali judėti tik aplink ašį Oz.

Jėgą Fi išskaidome į tris komponentesstačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje.

Tašką P suks tik komponentė , kuri yra statmena vektoriui

Jėgos momentas ašies atžvilgiu

P

iRizii FFFF

iF

BOrR i

R - modulis, lygus atstumui iki sukimosi ašies - jėgos veikimo petys.iF

Todėl jėgos gebėjimą sukti tašką apie ašį Oz apibūdina ne vektorius ,o šio vektoriaus projekcija Oz ašyje, kuris yra skaliarinis dydis:

,FrM

,)( iizzi FRFrM

Jeigu materialųjį tašką veikia ne viena jėga, o kelios, atstojamasis jėgosMomentas yra lygus visų jėgų momentų algebrinei sumai:

Kokia kiekvienos komponentės įtaka sukimui?

ziz MM Vadinamas Sukimo momentu


Materialusis, m masės taškas, veikiamas jėgos F juda spinduliu apie ašį.

Jo tangentinis pagreitis aprašomaspagal II Niutono dėsnį: , o kadangi:

Tai: arba:

Čia dydis: yra jėgos momentas,

o dydis, vadinamas materialaus taško inercijos momentu.

Inercijos momentas yra materialaus taško ar kūno inertiškumo matassukamajame judėjime.

Nuo ko jis priklauso?

Atitinkamai pažymėję dydžius gauname vadinamą pagrindinę materialiojo taško sukamojo judėjimo dinamikos lygtį.

Materialiojo taško Inercijos momentas

,mFR

z

z

IM

2mRI z

RRdtd

dtdva )(,

mFa

,2mRFR

mRF

,zMFR


Kietam kūnui, besisukančiam apie kokią nors ašį inercijos momentas yra lygusvisų elementarių masių, sudarančių kietąjį kūną inercijos momentų sumai:

Kietojo kūno Inercijos momentas

2233

222

211 ... NNz RmRmRmRmI

dVRdmRdI z22

Kiekvieno nykstamai mažo tūrio, turinčio masę inercijos momentas:

suintegravus, t.y. susumavus nykstamai mažo tūrio kūno inercijos momentus to pačio tankio kūnui gausime pilną inercijos momentą:

dVRdVRIVV

z 22


Kietojo kūno Inercijos momentas

įvairūs kūnai:


Kietam kūnui inercijos momentas visada nusakomas konkrečios ašies atžvilgiu.Tarkime turim kūną, kurio sukimosi ašis O’Z’ eina per masės centrą, o kita jai lygiagreti OZ l atstumu nuo jos.

Koks bus Inercijos momentas OZ ašies atžvilgiu?bet kurio kūno taško mi padėtį ašies OZ atžvilgiu galime išreikšti vektorių suma:

Heigenso ir Šteinerio teorema

ii RlR

Nagrinėjamo taško atstumo iki O’Z’ kvadratas yra , o iki ašies OZ:2iR

2222 2)( iiii RRllRlR

Tada inercijos momentas OZ atžvilgiu bus lygus:

2

111

22

1

2 i

N

iii

N

ii

N

iii

N

iiz RmRmlmlRmI

Tada: - matematinė Heigenso ir Šteinerio teoremos išraiška2mlII cz Teorema – žinodami kūno IM ašies, einančios per masių centrą, atžvilgiu galimesurasti IM bet kurios jai lygiagrečios ašies atžvilgiu.


Pagrindinę materialiojo taško sukamojo judėjimo dinamikos lygtį užrašysimediferencialine forma.

Kai inercijos momentas laikui bėgant nekinta:

Judesio kiekio momentas nejudančio taško atžvilgiu

z

z

IM

- dydis, vadinamas materialiojo taško judesio kiekio (impulso) momentu.

zz

zz

MIdtd

MI

)(

zz IL

Kadangi: , o tada:Rv

2mRI z vmRmRRvLz 2

Bendrąją vektorine forma materialiojo taško P judesio kiekio vektorius apibrėžiamas kaip statmenasspindulio vektoriaus r ir impulso p plokštumaivektorius, lygus jų vektorinei sandaugai:

prvmrL


Masės mi materialiojo taško judesio kiekio momento vektoriaus Li projekcija Ozašyje vadinama šio taško judesio kiekio momentu ašies atžvilgiu.

Kietam kūnui sudėję visų jo materialių taškų judesio kiekio momentus gausimekūno judesio kiekio momentą ašies atžvilgiu:

Projekcinė vertė yra lygi:

Visam kūnui:

Judesio kiekio momentas nejudančios ašies atžvilgiu

zzzi prvmrL )()(

ziz LL

ziiiiizi IRmvL

N

izziz IIL

1


Kaip keisis kūno judesio kiekio momentas laike, veikiant kūną jėga?

Kad atsakyti į šį klausimą, reikia diferencijuotijudesio kiekio momento išraišką:

Visam kietam kūnui reikia susumuoti i-uosiusjudesio kiekio momentus ir jėgos momentus:

tada:

Sukamojo judėjimo dinamikos pagrindinis dėsnis

iiiiii prvmrL

ii

ii

iii

iii

iii

iiiiii

iiiiii

iiii

MLdtd

Fr

amr

vmdtdr

vmdtd

r

vmdtdrvmv

vmdtd

rvmdtrd

vmrdtdL

dtd

)(

)(0

)(

)(

)(

iMM iLL

MLdtd

- vadinamas sukamojo judėjimo dinamikos pagrindiniu dėsniu.

Dėsnis teigia, kad kūno judesio kiekio momento nejudančio taško atžvilgiu kitimosparta yra lygi jį veikiančių išorinių jėgų atstojamajam momentui to paties taško atžvilgiu.


Kaip elgsis besisukanti sistema, kurios neveikia išorinė jėga?Iš pagrindinio sukamojo judėjimo dinamikos dėsnio:

Judesio kiekio momento tvermės dėsnis

MLdtd

,kur , jeigu , tada ir:,FrM

,0F

,0M

0Ldtd

ir .constL

Gavome judesio kiekio momento tvermės dėsnį: Kai kūną veikiančių išoriniųjėgų atstojamasis momentas sukimosi taško atžvilgiu lygus nuliui, kūno judesiokiekio momentas to taško atžvilgiu, laikui bėgant nekinta.

Kūnui besisukant apie nejudamą ašį: , o:,0zM

0)( zz IdtdL

dtd

arba .constIL zz

Gavome judesio kiekio momento tvermės dėsnį ašies atžvilgiu: Kai kūnąveikiančių išorinių jėgų atstojamasis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygusnuliui, kūno judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu, laikui bėgant nekinta.


1.1.2 slenkamojo ir sukamojo judejimo dinamika (fizika.ktu.2006)

Documents

sukamasis

pagrindin

vilgiu lygus

mi vi ri

ta ko

mi vi

atskaitos

gant nekinta