11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥 -...
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제 11 장 기둥
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11.4 그 밖의 지지조건을 갖는 기둥
지지점의 조건이 다른 경우도 pin-pin 기둥의 해석 절차와 동일함
1) 좌굴상태를 가정한 기둥에 대해 굽힘모멘트에 대한 식을 구함
2) 굽힘모멘트 방정식 ( )EIv M 을 이용하여 처짐곡선의 미분방정식 수립
3) 미분방정식을 풀어 일반해를 구함
4) 처짐 v 와 기울기 v에 관련된 경계조건 적용
5) 임계하중과 좌굴된 기둥의 처짐모양 구함
* 유효좌굴길이
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하단은 고정되고 상단이 자유로운 기둥 (Fix-Free Column)
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( )EIv M P v
2 2v k v k 여기서 2 Pk
EI
1 2sin cosHv C kx C kx
Pv
1 2sin cosPH
v C kx C kxvv
경계조건 (0) 0v 2C
경계조건 (0) 0v 1 0C
따라서 (1 cos )v kx ;
처짐 곡선의 형상만 나타냄( 은 임의의 미소 크기)
경계조건 ( )v L cos 0kL
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해-1) 0 자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, 좌굴은 일어나지 않음
해-2) cos 0kL 1, 3, 5,2
nkL n
임계하중
2 2
2 1, 3, 5,4cr
n EIP nL
좌굴 모드형상 1 cos 1, 3, 5,2
n xv nL
최저 임계하중은 1n 일 때
2
24crEIPL
이 때 모드형상은 1 cos2
xvL
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기둥의 유효 길이
길이가 L 인 fix-free column 은
길이가 2L 인 pin-pin column 과 동일함. (그림 참조)
이 경우의 2L 은 유효길이 (effective length) eL
처짐곡선 내의 변곡점 (모멘트가 0) 사이의 거리 eL
Fix-free column 의 경우 2eL L
유효길이를 이용하여 임계하중을 표현하면,
2
2cre
EIPL
유효길이는 보통 eL KL 로 표현됨. (fix-free 의 경우 2K )
이 경우는
2
2( )crEIP
KL
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양단고정 기둥 (fix-fix column)
12eL L (그림참조)
12K
2 2
2 2
4( )cr
EI EIPKL L
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하단 고정, 상단 핀인 기둥 (Fix-pin column)
이 경우는 기하학적 대칭 조건을 이용할 수 없으므로 관찰에 의해 eL (혹은 K )를 구할 수 없음
처짐곡선의 미분방정식을 풀어서 구함.
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A 점에서의 반력은 수직반력 P , 수평반력 R , 모멘트 반력 0M RL
하단으로부터 x 떨어진 곳의 좌굴된 기둥에서의 굽힘모멘트는
0 ( )M M Pv Rx Pv R L x
따라서, 미분방정식은
( )EIv M Pv R L x , 2 Pk
EI 로 하고 정리하면,
2 ( )Rv k v L xEI
1 2sin cos ( )H
P
Rv C kx C kx L xPv v
경계조건: (0) 0 (0) 0 ( ) 0v v v L
2 1 1 20 0 tan 0RL RC C k C kL CP P
해-1) 1 2 0C C R ; 자명해 (trivial solution); 기둥은 곧은 상태 유지, No Buckling
해-2) 처음 두 식에서 2 1C C kL , 이 식을 마지막 식에 대입 tankL kL
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좌굴방정식 : tankL kL
이 식을 수치해법으로 풀면 (해석적인 해는 없음) 4.4934kL
따라서
2
2 2
20.19 2.046cr
EI EIPL L
- Fix-pin column 은 예상대로 Pin-pin column 과 Fix-fix column 사이의 임계하중.
- 식을 비교하여, 0.699 0.7eL L L
- 모드형상은 2 1C C kL 과 1 0RC k P 을 일반해에 대입하여,
- 1[sin cos ( )]v C kx kL kx k L x
제한: 처짐이 작아야 함, Hooke 의 법칙을 따르는 경우만 유효
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요약
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예제 11-2
문제
3.25 mL , 100 mmd , 100 kNP
안전계수 3n ,을 고려하여 두께 t 구하기.
pl( 72 GPa, 480 MPa)E
풀이
기둥은 fix-pin 으로 모델링함.
이 경우
2
2
2.046cr
EIPL
4 4( 2 )64
I d d t
100 mm 0.1 md 이므로
4 4(0.1 m) (0.1 m 2 )64
I t
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기둥은 다음의 하중에 의해 설계되어야 함. 3(100 kN) 300 kNcrP nP
2 94 4
2
2.046 (72 10 Pa)300,000 N (0.1 m) (0.1 m 2 )(3.25 m) 64
t
0.006825 m 6.83 mmt
보조계산
4 4 6 4( 2 ) 2.18 10 mm64
I d d t
2 2 4( 2 ) 1,999 mm4
A d d t , 33.0 mmIrA
98Lr (가느다란 기둥), 15d
t (국부 좌굴 방지 범위에 들어감)
cr 2
300 kN 150 MPa1999 mm
crPA
, 이 값은 비례한도 pl 480 MPa 보다 작으므로
Euler 좌굴이론을 이용한 임계하중에 대한 계산은 유효함.
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11.5 편심 축하중을 받는 기둥
- 지금까지는 이상기둥으로 가정
1) 임계하중 도달시까지는 곧은 상태
2) 임계하중 도달 후 급격한 굽힘 (불확정한 크기)
하지만,
- 편심기둥
1) 하중이 작용하면 즉시 굽힘 발생 (확정된 크기)
2) 하중이 커지면 처짐량도 증가
0 ( )EIv M M P v Pe Pv
2 2v k v k e
여기서 2 Pk EI
1 2sin cosPH
v C kx C kx evv
경계조건 (0) 0 ( ) 0v v L
2 1(1 cos ) tan
sin 2e kL kLC e C e
kL
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처짐곡선 방정식은
tan sin cos 12
kLv e kx kx
기둥 중앙에서의 처짐은
tan sin cos 1 sec 12 2 2 2 2L kL kL kL kLv e e
한편
2
2cr cr
P P PkEI P L L P
cr
PkLP
sec 12 cr
PeP
( P 에 대한 비선형식)
1) 0 when 0e
2) 0 when 0P
3) when crP P
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최대 굽힘모멘트
max ( )M P e
max sec sec2 2 cr
kL PM Pe PeP
(정역학적으로 발생하는 모멘트가 증폭됨)
다른 단부 조건
- Fix-Free 의 경우는 2eL L 로 하면 앞의 식을
그대로 사용가능
- Fix-Pin 의 경우는 0.699eL L 로 하여도 앞의 식을 사용할 수 없음
이 경우는 미분방정식을 다시 수립하여 해석하여야 함
- Fixed End 에 편심이 있으면 그 영향이 없음.
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예제 11-3
문제
B 단에 편심 0.45 in, 1500 lbe P ,
1.2 in, 0.6 inh b
0.12 inallow 일 때 최대 허용길이 maxL =?
6( 16 10 psi)E
풀이
3 34(1.2 in)(0.6 in) 0.02160 in
12 12hbI
2 2 4 2
2 2 2
(16,000,000 psi)(0.02160 in ) 852,700 lb-in4 4 4cr
EIPL L L
이 값을 sec 12 cr
PeP
에 대입하면,
2
1500 lb0.12 in (0.45 in) sec 12 852,700 / L
0.2667 sec(0.06588 ) 1L max 10.0 inL
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11.6 기둥의 시컨트 공식
편심축하중을 받는 기둥에서 최대응력은
기둥의 중앙점에 발생
(압축력에 의한 응력과 굽힘응력의 합성응력)
maxmax
M cPA I
여기서 max sec2 cr
PM PeP
,
2 22 , cr
EIP I ArL ( r 은 회전반지름)
따라서 발생되는 최대응력은
max 2sec 1 sec2 2
P Pec L P P ec L PA I r EA A r r EA
시컨트 공식 (secant formula)
편심거리 e 를 가진 축력 P 가 작용하는 기둥(E, A, L, r, c)에서 좌굴을 고려할 때 발생하는 최대응력
산정
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여기서 편심비 (eccentricity ratio)는 2
ecr (0~3 사이의 값, 보통 1 보다 작은 값)
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0e 인 경우 Euler’s Curve 에 의한 임계응력과 동일
2 2
2 2( / )cr
crP EI EA AL L r
(11-61)
시컨트 공식에 대한 논의
- 세장비 Lr 가 증가함에 따라, 특히 L
r 값의 중간 구간에서 하중-지지능력이 급격히 감소
길고 가느다란 기둥은 짧고 뭉툭한 기둥보다 덜 안정적임
- 하중-지지능력은 편심 e 가 증가함에 따라 감소함.
이러한 영향은 긴 기둥보다 짧은 기둥에 대하여 상대적으로 더 큼.
- 시컨트 공식은 2eL L 로 하면 Fix-Free Column 에서도 적용 가능
(그러나 다른 단부 조건에서는 사용할 수 없음)
- 기둥은 항상 결함이 있으므로 편심비 2
ecr 를 적절히 가정하여 사용함.
(구조용 강재의 경우 0.25)
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예제 11-4
문제
W14 82 WF 기둥, 25 ftL , 중앙하중 1 320 kP , 편심하중 2 40 kP , 편심위치 13.5 in
(a) 30,000 ksiE 인 경우 시컨트공식을 이용한 최대압축응력 구하기
(b) 항복응력 42 ksiY 일 때 항복에 대한 안전계수는?
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풀이
(a) 최대압축응력:
두개의 조합 하중은 그림 (c)와 같이 편심 1.5 ine , 크기 360 kP 인 하중과 등가.
부록 표 E-1 으로부터
2 14.31 in24.1 in 6.05 in 7.155 in2A r c
시컨트공식에 필요한 상수 계산
2 2 2
360 k (1.5 in)(7.155 in)14.94 ksi 0.293224.1 in (6.05 in)
P ecA r
62
(25 ft)(12 in/ft) 360 k49.59 497.9 106.05 in (30,000 ksi)(24.1 in )
L Pr EA
시컨트 공식에 대입하면,
max 21 sec (14.94 ksi)(1 0.345) 20.1 ksi2
P ec L PA r r EA
오목한 쪽의 기둥 중간 높이에서 발생함.
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(b) 항복에 대한 안전계수
42 ksiY 을 최대응력으로 하는 하중 YP 를 구하여야 한다.
Note: 처음의 하중 P 에 (a)에서 구한 max/Y 의 곱으로는 구해지지 않음
시컨트 공식은 하중에 대해서 비선형 식이기 때문.
즉 21 sec2
Y YY
P Pec LA r r EA
을 YP 에 대해 풀어야 함
2 2
49.5942 ksi 1 0.2932sec24.1 in 2 (30,000 ksi)(24.1 in )
Y YP P
1012 k 1 0.2932sec 0.02916Y YP P 이 식을 수치적으로 풀면 716 kYP
716 k 1.99360 k
YPnP
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11.7 탄성 및 비탄성 기둥의 거동
Euler 곡선이 유효한 세장비의 하한값은
임계응력이 비례한도와 같은 경우이다
2 2
2 2( / )cr
crP EI EA AL L r
에서
2
c pl
L Er
(C 점에 해당)
: 임계세장비
- CD 구간: 긴 기둥 오일러 법칙을 따름.
- BC 구간: 중간기둥
비탄성 좌굴에 의한 파괴
임계하중은 오일러 하중보다 작음
- AB 구간: 짧은 기둥
재료의 항복과 파쇄에 의한 파괴
- 편심축하중을 받을 경우 Secant formula line
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11.8 비탄성 좌굴
중간길이의 기둥
오일러 하중에 도달하기 이전에 응력은 비례한도에 도달함
비탄성 좌굴 이론이 필요함
접선계수 이론
비례한도를 초과하는 응력작용시 (예를 들어 A 점)
탄성계수 = 접선계수 (tangent modulus), 즉
tdEd
(비례한도 이내에서는 탄성계수 E 와 동일)
비탄성 임계하중에 도달할 때까지 기둥은 곧은 상태를 유지
이상태에서 좌굴이 시작되면 그 때의 모멘트는
2
2
1
t
d v Mdx E I
굽힘 모멘트 M Pv 이므로
0tE Iv Pv (앞 식에서 E 를 tE 로 바꾼 식과 동일)
제 11 장 기둥
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이 식을 풀면
2
2 (11 67)tt
EPL
또한
2
2( / )t t
tP EA L r
접선계수 tE 는 작용하는 응력 (P/A)에 따라 변하므로
비탄성 임계하중의 산정을 위해서는 다음과 같은 과정이 필요
1) tP 를 추정값 1P 을 정함 (이 하중은 pl A 보다 큰 값임)
2) 11
PA
3) 응력 변형률 선도에서 tE 를 구함
4)
2
2 (11 67)tt
EPL
에서 새로운 tP 의 추정값을 구함.
위의 과정을 반복함.
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감소계수 이론
- 좌굴이 시작될 때 단면에는 압축응력 PA 에 새로 생기는 굽힘응력이 더해짐
- 단면의 안 쪽 ; 압축 굽힘응력이 더해지므로 응력이 증가 탄성계수= tE
- 단면의 바깥쪽; 인장 굽힘응력이 더해지므로 응력이 감소 탄성계수= E .
두가지 재료로 구성된 보와 같은 거동 tE 와 E 의 중간값을 가진 rE 의 기둥처럼 거동함
rE : 감소계수 (reduced modulus); 응력의 크기 및 단면 모양에 좌우됨. (2 중 계수로도 불리움)
예-1) 직사각형 단면 기둥 2
4 tr
t
EEEE E
예-2) WF 보에서 강한 축에 대한 굽힘에서는 2 t
rt
EEEE E
2
2r
rEP
L
그리고
2
2( / )t r
rP EA L r
접선계수 이론과 마찬가지로 반복 시행을 통하여 구해짐.
토닉(TONIC) 공법 철골구조kshi.kr/02.pdf · 2019. 3. 21. · 토닉(TONIC) 공법 철골구조. 모멘트 발생 크기에 따른 경제적인 철골 보,철골 기둥 제작
PART 01 - 부동산교육 1위 랜드프로 · 2020. 4. 2. · ①고정하중(사하중, D):구조물(기초, 보, 기둥, 벽, 바닥판, 지붕, 고정설비 등) ... 논점 구조기준