1.1reel sayılarkisi.deu.edu.tr/ozlem.kiren/matematik 1/bölüm 1(1).pdfreel sayılar sıralamaya...

Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.

1

TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde reel sayılar, denklemler ve koordinat düzlemi gözden geçirilecektir.

Muhtemelen bu kavramlarla tanıştınız, ancak gerçek dünya problemlerini modelleme

(tanımlama) ve problem çözme ile birlikte bunların nasıl çalıştığına yeniden bakmak yararlı

olacaktır.

Gerçek yaşam durumlarında bu kavramların nasıl kullanıldığına bakalım: Varsayalım ki

yarı zamanlı işinizde saat başına $9 alıyorsunuz. Ödemenizi y ve çalışma saatinizi x ile

göstererek y = 9x denklemi ile modelleyebiliriz. 200 dolar kazanmak için ne kadar saat

çalışmanız gerektiğini bulmak için, 200 = 9x denklemini çözeriz. y = 9x denklemini koordinat

düzleminde çizmek, çalışılan saatlerle birlikte ödemelerin nasıl değiştiğini görmemizde bize

yardımcı olur.

1.1 Reel Sayılar

Reel Sayıların Özellikleri Toplama ve Çıkarma Çarpma ve Bölme Reel Doğru

Kümeler ve Aralıklar Mutlak Değer ve Uzaklık


2


3


4


5

Farklı paydalara sahip kesirleri topladığımızda, genellikle Özellik 4 ‘ü kullanmayız.

Bunun yerine, en küçük mümkün ortak paydaya (sıklıkla paydaların çarpımından daha küçük)

sahip olacak şekilde kesirleri yeniden yazarız ve ardından Özellik 3 ‘ü kullanırız. Bu payda,

gelecek örnekte En Küçük Ortak Payda (EKOP) olarak tanımlanmıştır.

ÖRNEK 3: Kesirleri Toplamada EKOP Kullanımı

Hesapla:

Çözüm Her paydayı asal çarpanlarına ayırdığımızda

Her çarpanın en yüksek kuvveti kullanılarak, bu çarpanlara ayırmada ortaya çıkan tüm

çarpanların çarpılmasıyla en küçük ortak payda (EKOP) bulunur.

Böylece EKOP ‘dır. Yani:


6

Şekil 3 ‘de gösterildiği gibi, reel sayılar bir doğru üzerindeki noktalarla temsil edilebilir. Pozitif

yön (sağa doğru) bir ok ile gösterilir. Sıfır (0) reel sayısına karşılık gelen ve orijin olarak

adlandırılan keyfi bir referans noktası O seçeriz. Herhangi bir uygun ölçü birimi verilmişken,

her pozitif x sayısı orijin sağında x birim uzaklığında bulunan nokta ile temsil edilir ver her

negatif -x sayısı orijinin solunda x birim uzaklığında bulunan nokta ile gösterilir. Sayı ile

ilişkilendirilen P noktası, P ‘nin koordinatı olarak adlandırılır ve doğru ise koordinat doğrusu

veya reel sayı doğrusu veya basitçe reel doğru olarak adlandırılır. Çoğunlukla noktayı

koordinatı ile tanımlarız ve bir sayıyı reel doğru üzerindeki bir nokta olarak düşünürüz.

Şekil 3. Reel doğru

Reel sayılar sıralamaya tabi tutulur. Eğer b – a pozitif bir sayı ise, a sayısı b ‘den küçüktür

deriz ve a < b yazarız. Geometrik olarak, bu sayı doğrusu üzerinde a ‘nın b ‘nin solunda

uzanması demektir. Eş değer olarak, b sayısı a ‘dan büyüktür de deyip b > a yazabiliriz. 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏

(veya 𝑏𝑏 ≥ 𝑎𝑎) sembolü a < b veya a = b anlamına gelir ve “a sayısı b ‘e eşit veya küçüktür”

şeklinde okunur. Örneğin, aşağıdakiler doğru eşitsizliklerdir (Şekil 4 ‘e bakın):

Şekil 4

Bir küme nesnelerin bir araya gelmesidir ve bu nesneler kümenin elemanları olarak

adlandırılır. Eğer S bir kümeyse, 𝑎𝑎 ∈ 𝑆𝑆 gösterimi a ‘nın S ‘in bir elemanı olduğu ve 𝑏𝑏 ∉ 𝑆𝑆 ise b

Ortak payda kullanılır

Özellik 3: Aynı paydaya sahip kesirler toplanır.


7

‘nin S ‘in bir elemanı olmadığı anlamına gelir. Örneğin, Z tamsayılar kümesini temsil ediyorsa,

bu durumda −3 ∈ 𝑍𝑍 ancak 𝜋𝜋 ∉ 𝑍𝑍 ‘dir.

Bazı kümeler ayraçlar içinde elemanların listelenmesi ile tanımlanabilir. Örneğin, 7 ‘den

küçük tüm pozitif tam sayılardan oluşan bir A kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

A kümesi ayrıca ortak özellik gösterimi kullanarak da şöyle yazılabilir:

𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 | x tam sayıdır ve 0 < 𝑥𝑥 < 7}

gösterimi “A kümesi, x ‘in tamsayı ve 0 < 𝑥𝑥 < 7 olduğu tüm x ‘lerden oluşur.” olarak okunur.

Eğer S ve T küme ise, 𝑆𝑆 ∪ 𝑇𝑇 birleşimi S veya T (veya her ikisinde) ‘de bulunan tüm

elemanlardan oluşan kümedir. S veya T ‘nin kesişimi is S ve T ‘nin her ikisinde bulunan tüm

elemanlardan oluşan 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 kümesidir. Başka bir deyişle, 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 kümesi S ve T ‘nin ortak

kısmından oluşur. ∅ ile gösterilen boş küme, eleman içermeyen kümedir.

ÖRNEK 4: Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi

𝑆𝑆 = {1,2,3,4,5}, 𝑇𝑇 = {4,5,6,7} ve 𝑉𝑉 = {6,7,8} ise 𝑆𝑆 ∪ 𝑇𝑇, 𝑆𝑆 ∩ 𝑇𝑇 ve 𝑆𝑆 ∩ 𝑉𝑉 bulunuz.

Çözüm

Aralık olarak adlandırılan reel sayıların bazı kümeleri kalkülüs içerisinde sıklıkla ortaya

çıkar ve geometrik olarak doğru parçasına karşılık gelirler. Eğer 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 ise, a ile b arasındaki

tüm sayılardan oluşan a ‘dan b ‘ye açık aralık (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ile gösterilir. a ‘dan b ‘ye bitim noktalarını

içeren kapalı aralık kapalı aralık [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] ile gösterilir. Ortak özellik gösterimiyle aşağıdakiler

yazılabilir:

Şekil 5. Açık aralık (a, b)

S veya T ‘deki tüm elemanlar

S ve T ‘deki ortak elemanlar

S ve T ‘de ortak eleman yoktur


8

Şekil 6. Kapalı aralık [a, b]

Dikkat edilirse aralık gösterimindeki parantezler ( ) ve Şekil 5 ‘deki grafikteki içi boş

çemberler, aralıktan bitim noktalarının dışlandığını gösterir. Oysaki, köşeli parantezler ve Şekil

6 ‘daki içi dolu çemberler bitim noktalarının dahil edildiğini gösterir. Aynı zamanda aralıklar

bir bitim noktasını içerebilir veya tek veya iki yönde sonsuza kadar genişleyebilir. Aşağıdaki

tablo, mümkün aralık tiplerini listelemektedir.

ÖRNEK 5: Aralıkların Çizimi

Eşitsizliklere göre her aralığı ifade ediniz ve ardından aralığın grafiğini çiziniz.

ÖRNEK 6: Aralıkların Birleşimi ve Kesişimi Bulma

Her kümenin grafiğini çiziniz.

Çözüm

a) İki aralığın kesişimi iki aralığın her ikisinde bulunan sayılardan oluşur. Bu yüzden


9

Bu küme Şekil 7 ‘de gösterilmiştir.

b) İki aralığın birleşimi, bir aralık veya diğer aralıktaki (veya her ikisindeki) sayılardan

oluşur. Bu yüzden

Bu küme Şekil 8 ‘de gösterilmiştir.

Şekil 7. Şekil 8.

|𝑎𝑎| ile gösterilen bir a sayısının mutlak değeri, reel sayı doğrusunda a ‘dan 0 ‘a olan

uzaklıktır (Şekil 9 bakın). Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır, bu yüzden her a sayısı için

|𝑎𝑎| ≥ 0 ‘dır. Hatırlanırsa, a negatif iken −𝑎𝑎 pozitiftir. Böylece aşağıdaki tanım yapılır.

Şekil 9

Mutlak Değerin Tanımı

a reel bir sayı ise, bu durumda a ‘nın mutlak değeri:

|𝑎𝑎| = � 𝑎𝑎 eğer a ≥ 0−𝑎𝑎 𝑒𝑒ğ𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑎𝑎 < 0

ÖRNEK 7: Sayıların Mutlak Değerlerinin Hesaplanması


10

Mutlak değerler ile çalışırken aşağıdaki özellikleri kullanırız.

Reel doğru üzerinde −2 ile 11 arasındaki uzaklık nedir? Şekil 10 ‘dan uzaklığın 13

olduğunu görürüz. Bu sonuca |11 − (−2)| = 13 veya |(−2) − 11| = 13 ‘den ulaşırız. Bu

gözleme dayanarak aşağıdaki tanımı yaparız (Şekil 11 bakın).

Şekil 10 Şekil 11. Doğru parçasının uzunluğu |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|

Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık

Eğer a ve b reel sayılar ise, reel doğru üzerindeki a ve b noktaları arasındaki uzaklık

şöyledir:

𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|

Negatiflerin Özellik 6 ‘sından şu ortaya çıkar:

|𝑏𝑏 − 𝑎𝑎| = |𝑎𝑎 − 𝑏𝑏|

Bu, bekleneceği üzere a ‘dan b ‘ye uzaklık ile b ‘den a ‘ya uzaklığın aynı olduğunu söyler.

ÖRNEK 8: Reel Doğru Üzerindeki Noktalar Arası Uzaklık


11

−8 ve 2 noktaları arasındaki uzaklık:

𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |−8 − 2| = |−10| = 10

Şekil 12 ‘de gösterildiği gibi, geometrik olarak bu hesaplamayı kontrol edebiliriz.

Şekil 12

1.2 Üslü Ve Köklü İfadeler

Bu kısımda m/n üssünün rasyonel sayı olduğu gibi ifadeleri inceleğeceğiz. Bunu başarmak için tamsayılı üsler, köklü sayılar ve n. kök konularını anımsamalıyız.

Tanmsayılı Üsler

Aynı sayıların çarpılması sıklıkla üssel notasyonla ifade edilir. Örneğin 5.5.5 , 53 olarak ifade edilir.

Üstel Noasyon:

Eğer a bir reel sayı ve n pozitif tamsayı ise a nın n inci kuvveti

olur.

a ya taban n e ise üs denir.

Örnek 1

Üstel Notasyon

Üstel notasyonla çalışırken pek çok faydalı kural kullanabiliriz. Çarpma için kuralı bulmak için

54 ü 52 ile çarpalım


12

Aynı tabana sahip iki kuvveti çarpmak için bunların üslerini toplarız.

Genelleştirilecek olursa

böylelikle

Olur.

Bu kural m ve n sıfır veya negatif bile olsa geçerli olmasını isteriz. Örneğin

Bu ancak

Sağlandığında geçerli olur.

Buna benzer olarak :

Bu da ancak sağlanırsa geçerlidir.

Buna göre şu tanım yapılabilir.

Sıfır veya negatif Üsler

Eğer olmak şartıyla bir tamsayı ise ve n pozitif bir tamsayı ise

dir ve

Örnek 2

Sıfır ve Negatif Üsler


13

Üslerle Çalışmak İçin Kurallar

Üslerle ve tabanlarla çalışmak için aşağıdaki kurallar ile aşina olmamız gerekir. Tabloda a ve b sayıları reel sayılardır ve m ve n üsleri tamsayıdır.

Kural Örnek

Kural 3 ün ispatı:

m ve n pozitif tamsayı ise


14

veya olması halinde ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir.

Kural 4 ün ispatı

n pozitif tamsayı ise

Burada olursa ispat negatif üslerin tanımı kullanılarak yapılabilir

Örnek 3

Üslerle ilgili kuralların kullanılması

Örnek 4

Üstel İfadelerin basitleştirilmesi

Şu ifadeleri basitleştirin


15

Çözüm

Bir ifadeyi basitleştirirken aynı sonuca götüren pek çok farklı metot bulabiliriz. Bu bilgilere ek olarak negatif üslerle ilgili şu ek kurallar verilebilir:

Kural Örnek

7. Kuralın ispatı

Negatif üslerin tanımı ve kesirlerdeki ikinci özellik kullanılarak

elde edilir.

Örnek 5


16

Negatif üslü ifadelerin basitleştirilmesi

Negatif üsleri yok edip aşağıdaki ifadeleri basitleştirin

Çözüm

a) 7. Kuralı ve sonra 1.kuralı kullanarak

b) Önce Kural 6 yı sonra 5 ve 4 ü kullanarak

Bilimsel Notasyon

Bilim insanları çok büyük veya çok küçük sayıları daha kolay yazabilmek için üstel ifadelerden yararlanırlar.Örneğin güneşin ötesindeki en yakın yıldız Proxima Centauri 40.000.000.000.000 km uzaktadır. Bir hidrojen atomunun kütlesi 0,00000000000000000000000166 gr dır. Böyle sayıların okunması ve yazılması çok zor olduğundan bilim insanları bunları bilimsel notasyon ile gösterirler .

Bilimsel Notasyon:

Bir x pozitif sayısı aşağıdaki gibi yazılırsa bilimsel notasyon ile gösterilmiştir denir


17

burada dır ve n tam sayıdır.

Örneğin Proxima Centauri yıldızına olan uzaklık dir. Üsteki 13 sayısı virgülü 13 kez sağa götürmemiz gerektiğini söyler.

Hidrojen atomunun kütlesinin olduğu söylendiğinde üsteki -24 sayısı virgülü 24 kes sola götürmemiz gerektiğini gösterir.

Örnek 6

Ondalık sayıdan bilimsel notasyona geçiş

Aşağıdaki ifadeleri bilimsel notasyonda yazın

Çözüm

Bilimsel notasyon hesap makinelerinde de çok büyük ve küçük sayıları göstermek için kullanılır. Örneğin 1.111.111 sayısının karesi alındığında makine

veya şeklinde görüntü verebilir.

Burada son basamaklar 10 un kuvvetini belirtir, yani sonucu şöyle ifade edebiliriz.


18

Köklü İfadeler

n tamsayı iken 2n in ne anlama geldiğini biliyoruz. 24/5 şeklindeki rasyonel sayı şeklindeki bir kuvveti açıklamak için köklü ifadeleri anlamak gerekir.

sembolü pozitif karekök anlamına gelir. Böylece

şu demektir: ve de

olduğundan sadece iken anlamlıdır. Örneğin:

çünkü ve de

Karekökleri, n. köklerin özel bir halidir. x in n. kökü n. kuvveti alındığında x i veren sayı demektir.

n. kökün tanımı:

Eğer n bir pozitif tam sayı ise temel n. kök şu şekilde tanımlanır:

, anlamına gelir.

Eğer n çift ise ve de olmalıdır.

Böylece

Ancak ve de tanımlanmamıştır. Örneğin tanımlanmamıştır çünkü reel sayıları karesi negatif olamaz.

Dikkat edilirse

çünkü

çünkü

ve


19

ancak

Böylece eşitliğinin her zaman doğru olmadığı görülmüş olur. Sadece

iken doğru olur. Ancak her zaman yazabiliriz Son denklem sadece karekökler için değil tüm çift kökler için geçerlidir. n. kökler ile ilgili bu ve diğer özellikler aşağıda verilmiştir. Her özellik için verilen köklerin mevcut olduğu varsayılmıştır.

Özellikler

Özellik Örnek

Örnek 8 n. köklü ifadelerin basitleştirilmesi


20

Bazen gibi benzer kökleri birleştirmek faydalı olabilir. Bu dağılma özelliği kullanılarak yapılabilir. Böylelikle

yazılabilir.

Örnek 9 Kökleri birleştirmek

Rasyonel Üsler

gibi rasyonel üslerin ne anlama geldiğini anlamak için köklü ifadeleri kullanmalıyız.

i üstel sayılarla ilgili kurallarla uyumlu olarak anlamlandırmak için:

yazılmalıdır.

n. kök tanımı ile

Olur.

Genel olarak rasyonel üsler şu şekilde tanımlanır.

m ve n nin tamsayı olduğu ve olan tüm m/n şeklindeki rasyonel üsler için

veya buna denk olarak olur

Eğer n çift ise olması gerekir.


21

Bu tanıma göre üsteller için kurallar rasyonel üsler için de geçerlidir.

Örnek 10 Rasyonel üsleri kullanmak

Örnek 11 Üsteller için kuralların rasyonel üsler için kullanımı

Örnek 12 Köklü ifadeleri rasyonel üsler olarak yazıp basitleştirmek

Paydayı Rasyonelleştirme


22

Sıklıkla paydadaki köklü ifadeyi yok etmek için pay ve payda uygun ifade ile çarpılır. Bu

prosedüre paydayı rasyonelleştirmek denir. Eğer payda formunda ise payı ve paydayı

ile çarparız. Böylece değeri “bir” ile çarpmış oluruz ve değer değişmez.

Örneğin:

Dikkat edilirse son kesrin paydasında köklü ifade yoktur. Genel olarak payda

formundaysa ve ise payı ve paydayı ile çarpmak ( iken) paydayı rasyonelleştirir çünkü

Örnek 13 Paydanın Rasyonelleştirilmesi

1.3 Cebirsel İfadeler

Ekleme Ve Çıkarma, Cebirsel İfadelerin Çarpılması, Özel Çarpım Formülleri, Ortak Çarpana Göre

Çarpanlara Ayırma, Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayrılması, Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri, Grup

Terimine Göre Çarpanlara Ayırma

Değişken belirli bir sayı kümesinden gelen herhangi bir sayıyı temsil edebilen bir harftir. Eğer

x,y ve z gibi değişkenler ve bazı reel sayılar ile başlarsak ve bunları toplama, çıkarma, çarpma,

bölme, kuvvet ve kök için birleştirirsek cebirsel ifade elde edilir. Örneğin,

22x 3x 4− + x 10+ 2y 2xy 4−+


23

Tek terimli axk ifadesinde a reel sayı ve k negatif olmayan tamsayıdır. İki terimli iki tek

terimlinin toplamı, üç terimli üç tek terimlinin toplamıdır. Genellikle, tek terimlilerin toplam

polinom olarak adlandırılmaktadır. Yukarıda verilenlerden ilk ifade polinom iken diğerleri

değildir.

Polinomlar

X değişkeni polinom a0, a1, …., an reel sayılar ve n pozitif tamsayıdır. Eğer an ≠ 0 ise polinomun

derecesi n’dir. Tek terimliler akxk terimlerine polinom terimleri denir.Bir polinom derecesinin,

polinomdaki değişkenin en yüksek kuvveti olduğuna dikkat edin.

Polinom Tür Terimler Derece 22x 3x 4− + Üç Terimli 22x , 3x,4− 2

8x 5x+ İki Terimli 8x ,5x 8

2 313 x x x2

− + − Dört Terimli 2 313, x,x , x

2− −

3

5x 1+ İki Terimli 5x,1 1

59x Tek Terimli 59x 5

6 Tek Terimli 6 0

Polinomlara Ekleme ve Çıkarma

Reel sayıların özelliklerini kullanarak bölüm 1.1 de bahsedildiği şekilde polinomları ekler ve

çıkarırız.

Bölüm 1.1'de tartışılan reel sayıların özelliklerini kullanarak polinomlar ekleyip çıkartılabilir.

Dağılma özelliğini kullanarak benzer terimlerin terimleri (yani, aynı değişkenlerin aynı

kuvvete sahip terimlerin) birleştirilmesidir. Örneğin,

( )7 7 7 75 3 5 3 8x x x x+ = + =


24

Polinomları çıkartırken, eksi işareti parantez içindeki bir ifadeden önce gelirse, parantez

kaldırılırken parantez içerisindeki her bir terimin işaretinin değiştirilmesi gerektiği

hatırlanmalıdır.

( )b c b c− + = − −

[ Bu dağılma özelliğine bir örnektir. ( ) 1a b c ab ac, a+ = + = − ]

ÖRNEK 1: Polinomlara ekleme ve çıkarma

(a) Toplamı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + + + −

(b) Farkı bul ( ) ( )3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x− + + − + −

ÇÖZÜM 1:

(a) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 3 2 2

3 2

6 2 4 5 7

= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması

=2 5 4 Benzer terimlerin birleştirilmesi

x x x x x x

x x x x x x

x x x

− + + + + −

+ + − + + − +

− − +

(b)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

3 2 3 2

3 3 2 2

2

6 2 4 5 7

= 6 2 4 5 7 Dağılma Özelliği

= 6 5 2 7 4 Benzer terimlerin gruplandırılması

=-11x 9 4

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x

− + + − + −

− + + − − +

− + − − + + +

+ + Benzer terimlerin birleştirilmesi

Cebirsel İfadelerin Çarpılması

Polinomların veya diğer cebirsel ifadelerin çarpımını bulmak için, Dağılma Özelliğini tekrar

tekrar kullanmak gerekir. Özellikle iki terimlinin çarpımında üç kez kullanmak gerekir.

Bu, iki faktörün çarpımında; bir faktördeki her bir terimin diğer faktördeki her terimle

çarpılarak toplanacağını ifade etmektedir.


25

İki cebirsel ifadenin çarpımında genellikle Dağılma Özelliği ve Üs Kuralları kullanılır.

ÖRNEK 2: İki Terimlilerin Çarpımında FOIL Kullanımı

Üç terimlileri veya diğer polinomları daha fazla terimlerle çarptığımızda, Dağılım Özelliğini

kullanırız.

ÖRNEK 3: Polinomların Çarpımı:

( ) ( )22 3 5 4x x x+ − + çarpımını bulun.

ÇÖZÜM : Dağılma Özelliğini kullanarak:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2

3 2

2 3 5 4 2 5 4 3 5 4 Dağılma Özelliği

2 2 5 2 4 3 3 5 3 4 Dağılma Özelliği

2 10 8

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x

+ − + = − + + − +

= − + + − +

= − +

( ) ( )2

3 2

3 15 12 Üs Kuralı

2 7 7 12 Benzer Terimlerin Birleştirilmesi

x x x

x x x

+ − +

= − − +

ÇÖZÜM 2: Tablo Formu kullanarak:

Özel Çarpım Formülleri:

A ve B herhangi bir reel sayı yada cebirsel ifade olmak üzere

1. ( ) ( )+ − = −2 2 Benzer Terimlerin çarpılması ve toplanmasıA B A B A B

2. ( )+ = + +2 2 22 Toplamın KaresiA B A AB B

3. ( )− = − +2 2 22 Farkın KaresiA B A AB B

Dağılma Özelliği

Benzer Terimlerin Birleştirilmesi


26

4. ( )+ = + + +3 3 2 2 33 3 Toplamın KübüA B A A B AB B

5. ( )− = − + −3 3 2 2 33 3 Farkın KübüA B A A B AB B

Bu formüllerin (veya cebirde başka bir formülün kullanılması) temel fikri Yerine koyma

Prensipidir. Formüldeki herhangi bir harf için herhangi bir cebir ifadesinin yerini koyabiliriz.

Örneğin, ( )22 3x y+ bulabilmek için, çarpım formülü 2 kullanarak 2x yerine A ve 3y yerine B

koyabiliriz.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 22 3 2 2 3 3

2 2 2

2

2

x y x x y y

A B A AB B

+ = + +

+ = + +

ÖRNEK 4: Özel Çarpım Formüllerini Kullanarak

Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdakilerin her birini bulunuz.

(a) ( )23 5x + (b) ( )32 5x −

ÇÖZÜM:

(a) 2. Çarpım formülünde A=3x ve B= 5 yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 5 3 2 3 5 5 9 30 25x x x x x+ = + + = + +

(b) 5. Çarpım formülünde A = x2 ve B = 2 yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 22 2 2 2 3 6 4 22 3 2 3 2 2 6 12 8x x x x x x x− = − + − = − + −

ÖRNEK 5: Özel çarpım formüllerini kullanarak aşağıdaki çarpımları bulunuz.

(a) ( ) ( )2 2x y x y− + (b) ( ) ( )1 1x y x y+ − + +

ÇÖZÜM:

(a) 1. Çarpım formülünde A=2x ve B= y yerine koyarak

( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 2 4x y x y x y x y− + = − = −

(b) Eğer x + y bir grup olarak alınırsa cebirsel ifade de A = x + y ve B = 1 ise 1. çarpım

formülü kullanılarak

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 2

1 1 1 1

1 1.Çarpım Formülü

2 1 2.Çarpım Formü

x y x y x y x y

x y

x xy y

+ − + + = + − + +

= + −

= + + − lü


27

Ortak Çarpanlara Ayırma:

Cebirsel ifadeleri genişletmek için Dağılma Özelliğini kullanırız. Bazen, bir ifadeyi daha basit

olanların çarpımı olarak çarpanlara ayırma işlemi tersine çevirerek uygulanabilir (tekrar

Dağılma Özelliğini kullanarak). Örneğin,

x -2 ve x + 2, x2 – 4 ün çarpanlarıdır. En kolay çarpanalaara ayırma ortak faktör olduğunda

gerçekleşmektedir.

ÖRNEK 6: Ortak Faktöre Göre Çarpanlara Ayırma:

Her bir ifadeyi çarpanlarına Ayırın.

(a) 23 6x x− (b) 4 2 3 3 48 6 2x y x y xy+ −

(c ) ( ) ( ) ( )2 4 3 5 3x x x+ − − −

ÇÖZÜM:

(a) 3x2 ve 6x için en büyük ortak çarpan 3x;

( )23 6 3 2x x x x− = −

(b) Dikkat edilecek olursa;

8, 6 ve -2 için ortak çarpan 2

x4, x3 ve x için ortak çarpan x

y2, y3 ve y4 için ortak çarpan y2 olmak üzere

3 terimin en büyük ortak çarpanı 2xy2 ise,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

4 2 3 3 4 2 3 2 2 2 2

2 3 2 2

8 6 2 2 4 2 3 2

2 4 3

x y x y xy xy x xy x y xy y

xy x x y y

+ − = + + −

= + −

( c) iki terimde de ortak çarpan x – 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 4 3 5 3 2 4 5 3 Dağılma Özelliği

2 1 3 Basitleştirme

x x x x x

x x

+ − − − = + − − = − −

Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma

Üç terimli 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma

( ) ( ) ( )2x r x s x r s x rs+ + = + + +

r + s= b ve rs = c i sağlayacak r ve s nin bulunması gerekmektedir.

Çarpanlara Ayırma

Genişletme


28

ÖRNEK 7: Deneme ve hata ile 2x bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma 2 7 12x x+ + çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM: Çarpımları 12 ve toplamları 7 olan iki tamsayı bulmak gerekmektedir. Deneme ve

hata ile 3 ve 4 tamsayılarını elde edebiliriz. Sonuçta çarpanlara ayırma;

( ) ( )2 7 12 3 4x x x x+ + = + +

2ax bx c+ + ifadesini çarpanlarına ayırmak için ( )px r+ ve ( )qx s+ çarpanlarının bulunması

gerekmektedir.

pq a,= rs c= , ps qr b+ = eşitliklerini sağlayan p, q, r ve s sayılarının bulunmaya çalışılması gerekmektedir.

Eğer bu sayıların hepsi tamsayı ise, p, q, r ve s bulmak için sınırlı sayıda imkana sahip oluruz.

ÖRNEK 8: Deneme ve hata ile 2ax bx c+ + ifadesini çarpanlara ayırma

26 7 5x x+ − çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM: 6 sayısını 6 1 ya da 3 2 olarak, -5 sayısını -5 1 veya ( )5 1− olarak çarpanlara

ayırabiliriz. Bütün durumları deneyerek, çarpanlara ayrılabilir.

( ) ( )26 7 5 3 5 2 1x x x x+ − = + −

ÖRNEK 9: Bir ifadenin formunu fark etmek

Her bir ifadeyi çarpanlara ayırınız.

(a) 2 2 3x x− − (b) ( ) ( )25 1 2 5 1 3a a+ − + − ÇÖZÜM:

(a) Deneme ve hata ile ( ) ( )2 2 3 3 1x x x x− − = − + (b) Aşağıdaki formdaki ifade

12’nin çarpanları

-5 ’ in çarpanları

6 ’ in çarpanları


29

(a) da olduğu gibi çarpanlar ( - 3 )( + 1)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ − + − = + − + + − +

25 1 2 5 1 3 5 1 3 5 1 1

= 5 2 5 2

a a a a

a a

Özel Çarpanlara Ayırma Formülleri

Formül İsim

1. ( ) ( )− = − +2 2 Farkın KaresiA B A B A B

2. ( )+ + + 22 22 = Tam KareA AB B A B

3. ( )− + − 22 22 = Tam KareA AB B A B

4. ( ) ( )− = − + +3 3 2 2 Farkın KübüA B A B A AB B

5. ( ) ( )+ = + − +3 3 2 2 Küp ToplamıA B A B A AB B

ÖRNEK 10: Farkın Karesini Çarpanlara Ayırma

Her bir ifadeyi çarpanlara ayırın.

(a) −24 25x (b) ( )+ −2 2x y z ÇÖZÜM:

(a) A = 2x ve B = 5 ile kare Farkı formüllerini kullanarak ( ) ( ) ( )

( ) ( )− = − = − +

− = − +

22 2

2 2

4 25 2 5 2 5 2 5

x x x x

A B A B A B

(b) A = x + y ve B = z ile kare farkı formüllerini kullanarak

( ) ( ) ( )+ − = + − + +2 2x y z x y z x y z ÖRNEK 11: Farkın ve toplamın küpün çarpanlara ayrılması

Her bir polinomu çarpanlara ayırınız.

(a) −327 1x (b) +6 8x ÇÖZÜM:

(a) A = 3x ve B = 1 ile Küp farkını kullanarak

Burada ile ifade edilmektedir.


30

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) − = − = − + +

− + +

3 23 3 2

2

27 1 3 1 3 1 3 3 1 1

= 3 1 9 3 1

x x x x x

x x x

(b) A = x2 ve B = 2 ile Küp toplamı kullanarak

( ) ( ) ( )+ = + = + − +36 2 3 2 4 28 2 2 2 4x x x x x

Üç terimli tam kare aşağıdaki formlarda ise,

+ +2 22A AB B − +2 22A AB B

Eğer ortadaki terimler dıştaki terimlerin kareköklerinin çarpımın artı veya eksi iki katı ise (2AB yada -2AB) kusursuz bir karesel ifade olduğunu fark ederiz.

ÖRNEK 12: Kusursuz karesel ifadeleri fark etme

Her bir üç terimliyi çarpanlara ayırınız.

(a) + +2 6 9x x (b) − +2 24 4x xy y ÇÖZÜM:

(a) A = x ve B = 3, = = 2 2 3 6AB x x . Orta terim 6x olduğu için üç terimli tam karedir. Tam kare formülü kullanarak

( )+ + = + 22 6 9 3x x x (b) A = 2x ve B = y, = = 2 2 2 4AB x y xy . Orta terim -4xy olduğu için üç terimli tam

karedir. Tam kare formülü kullanarak

( )− + = − 22 24 4 2x xy y x y Bir ifadeyi çarpanlara ayırırken bazen çıkan sonucu tekrar çapanlara ayırmak gerekebilir. Çarpanlara ayırma işlemi ifade tamamen çarpanlara ayrılana kadar devam edecektir.

ÖRNEK 13: İfadenin Tamamen Çarpanlara Ayrılması

Her bir ifadeyi tamamen çarpanlara ayırın.

(a) −4 22 8x x (b) −5 2 68x y xy ÇÖZÜM:

(a) ( )( ) ( )

− = −

− + −

4 2 2 2 2

2 2

2 8 2 4 Ortak çarpan 2x

=2 2 2 x 4 kare farkı

x x x x

x x x


31

(b) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

− = −

= + − −

+ − + −

5 2 6 2 4 4 2

2 2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2

8 xy ortak çarpanı

x kare farkı

= x kare farkı

x y xy xy x y

xy x y x y y

xy x y x y x y y

Yeni örnekler kesirli üslere göre değişkenlerin çarpanlara ayrılması ile ilgilidir.

ÖRNEK 14: Kesirli Üslere Göre İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

(a) −− +3 2 1 2 1 23 9 6x x x (b) ( ) ( )−+ + +2 3 1 32 2x x x ÇÖZÜM:

(a) En küçük x in üssüne göre çarpanlara ayrılırsa, yani 1 2x− ( )( ) ( )

− − −

−

− + = − +

− − − +

3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2

1 2 2

3 9 6 3 3 2 3x göre ortak çarpan

=3 1 2 3 2 çarpanlara ayrılır

x x x x x x

x x x x x

(b) (x + 2)’in en küçük üssüne göre çarpanlara ayrılırsa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

− − −

−

−

+ + + = + + + +

+ +

+ +

2 3 1 3 2 3 2 3

2 3

2 3

2 2 2 2 2 göre ortak çarpan

= 2 2 2 basitleştirme

=2 2 1

x x x x x x x

x x

x x ortak çarpan 2

Gruplama İle Çarpanlara Ayırma

En az dört terimli polinomlar bazen gruplandırılarak çapanlara ayrılırlar.

ÖRNEK 15: Gruplama İle Çarpanlara Ayırma

(a) 3 2x x 4x 4+ + + (b) 3 2x 2x 3x 6− − + ÇÖZÜM:

(a) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 3 2

2

2

x x 4x 4 x x 4x 4 Terimleri gruplama

=x x 1 4 x 1 ortak çarpana göre

= x 4 x 1 her bir terim x+1 e göre çarpa

+ + + = + + +

+ + +

+ + nlara ayrılır

(b) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 2 3 2

2

2

x 2x 3x 6 x 2x 3x 6 Terimleri gruplama

=x x 2 3 x 2 ortak çarpana göre

= x 3 x 2 her bir terim x-2 e göre çar

− − + = − − −

− − −

− − panlara ayrılır


32

1.4 RASYONEL İFADELER

Cebirsel İfadelerin Tanım Kümesi, Rasyonel İfadeleri Basitleştirme, Rasyonel İfadeleri Çarpma

ve Bölme, Rasyonel İfadeleri Toplama ve Çıkarma, Bileşik Kesirler, Pay veya Paydayı

Rasyonel Hale Getirme, Genel Hatalardan Kaçınma

İki cebirsel ifadenin oranı kesirli ifade olarak adlandırılır. Aşağıda birkaç örnek verilmiştir:

Rasyonel ifade, pay ve paydanın her ikisinin de polinomlar olduğu kesirli ifadedir.

Bu bölümde rasyonel ifadeler üzerinde cebirsel işlemleri nasıl yapacağımız öğreneceğiz.

Cebirsel İfadenin Tanım Kümesi

Genellikle, cebirsel ifade değişkenin tüm değerleri için tanımlı olmayabilir. Cebirsel ifadenin

tanım kümesi değişkenin almasını izin verilen reel sayıların bir dizisidir. Aşağıdaki tablo bazı

temel ifadeleri ve tanım kümelerini vermektedir

İfade Tanım kümesi

ÖRNEK 1 Bir İfadenin Tanım Kümesini Bulmak

Aşağıdaki ifadelerin tanım kümelerini bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) Bu polinom her x için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi reel sayıların kümesidir.

(b) Önce paydayı çarpanlarına ayırırız.

x=2 veya x=3 olursa payda 0 olur.


33

x=2 veya x=3 iken payda sıfır olduğundan, ifade bu sayılar için tanımlı değildir. Tanım kümesi

(c) Payın tanımlı olması için, olmalıdır. Aynı zamanda, sıfır ile bölemeyiz, yanı

Karekökünü almak için olmalı olursa payda 0 olur

Böylece, tanım kümesi

Rasyonel İfadeleri Basitleştirme

Rasyonel ifadeleri basitleştirmek için, pay ve paydayı çarpanlarına ayırıyoruz ve kesirlerin

aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:

Bu pay ve paydadan ortak çarpanları sadeleştirmemize izin verir.

ÖRNEK 2 Sadeleştirme ile Rasyonel İfadeleri Basitleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM

Çarpanlarına ayırın

Ortak çarpanları sadeleştirin

bir çarpan olmadığı için, ifadesindeki 'leri sadeleştiremeyiz.

Rasyonel İfadelerde Çarpma ve Bölme

Rasyonel ifadeyi çarpmak için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanıyoruz:

Bu özellik iki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmamızı söylüyor.

ÖRNEK 3 Rasyonel İfadelerin Çarpımı


34

Belirtilen çarpımı yapın ve basitleştirin:

ÇÖZÜM Önce çarpanlarına ayırırız.

Çarpanlara ayırın

Kesirlerin özelliği


Kesirli ifadeleri bölmek için, kesirlerin aşağıdaki özelliğini kullanırız.

Bu özellik bir kesri başka bir kesirle bölmek için, böleni ters çeviririz ve çarparız.

ÖRNEK 4 Rasyonel İfadelerin Bölümü

Belirtilen bölümü yapın ve basitleştirin:

ÇÖZÜM

Ters çevirin ve çarpın



Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Rasyonel ifadelerde toplama ve çıkarma için, öncelikle ortak paydayı buluruz ve kesirlerin

aşağıdaki özelliğini kullanırız:


35

Herhangi bir ortak paydayı kullanabilmemize rağmen, Bölüm 1.1'de açıklandığı gibi en küçük

ortak paydayı (LCD) kullanmak en iyisidir. LCD her paydayı çarpanlarına ayırarak ve

çarpanların hepsinde görünen en yüksek kuvveti kullanan farklı çarpanların bileşkesini alarak

bulunur.

Aşağıdaki hatayı yapmaktan kaçının:

Örnek olarak, eğer ve alırsak, hatayı görebiliriz:

ÖRNEK 5 Rasyonel İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Belirtilen işlemleri yapın ve sadeleştirin:

ÇÖZÜM

(a) Burada LCD sadece bu ifadedir:

LCD kullanarak çarpanları yazın

Çarpanları ekleyin

Terimleri pay içinde birleştirin

(b) ve ifadelerinin LCD'si 'dir.


LCD kullanarak kesirleri birleştirin


Payda terimleri birleştirin


36

Bileşik Kesirler

Bileşik kesir, payın, paydanın veya her ikisinin de kesirli ifadelerden oluştuğu bir kesirdir.

ÖRNEK 6 Bileşik Kesri Sadeleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM 1 Paydaki terimleri bir tek kesir içinde birleştiriyoruz. Aynısını paydada yapıyoruz.

Sonra ters çevirip çarpıyoruz.

ÇÖZÜM 2 İfadedeki tüm kesirlerin LCD'sini buluruz, sonra payı ve paydayı bununla çarparız.

Bu örnekte tüm kesirlerin LCD'si 'dir. Böylece

Pay ve paydayı ile çarpın

Sadeleştirin


Sonraki iki örnek kesirli ifadelerle çalışma yeteneği gerektiren kalkülüs durumlarını gösterir.

ÖRNEK 7 Bileşik Kesri Basitleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM Ortak paydayı kullanarak kesirleri pay içinde birleştirerek başlıyoruz.


37

Pay içinde kesirleri birleştirin

Kesirlerin 2. Özelliği (böleni ters çevirin ve çarpın)


Sadeleştirme

Kesirlerin 5. Özelliği (Ortak kesirleri sadeleştirin)

ÖRNEK 8 Bileşik Kesri Basitleştirme

Basitleştirin:

ÇÖZÜM 1 Paydan ifadesini çarpanlarına ayırın

En küçük üslü 'nin kuvvetini çarpanlarına ayırın, bu örnekte

ÇÖZÜM 2 = bir kesir olduğundan, pay ve paydayı ile

çarparak tüm kesirleri ortadan kaldırabiliriz.

Pay ve Paydayı Rasyonelleştirme

Bir kesir şeklinde bir paydaya sahipse, pay ve payda eşlenik köküyle

çarpılarak payda rasyonelleştirilebilir. Bölüm 1.3'teki Özel Çarpım Formülü 1 ile paydanın ve

eşlenik kökünün çarpımı bir kök içermeyeceğinden bu işlem uygulanır:


38

ÖRNEK 9 Paydayı Rasyonelleştirme

Paydayı rasyonelleştirin:

ÇÖZÜM Pay ve paydanın her ikisini 'nin eşlenik kökü ile çarparız.

Pay ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.

Özel Çarpım Formülü 1


ÖRNEK 10 Payı Rasyonelleştirme

Payı rasyonelleştirin:

ÇÖZÜM Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarparız.

Payı ve paydayı eşlenik köküyle çarpın.


Kesirlerin 5. Özelliği (ortak çarpanları

sadeleştirme)

Ortak Hatalardan Kaçınma

Toplama operatörüne çarpımın özelliklerini uygularken hata yapmayın. Cebirde ortak

hataların çoğu böyle hataları içerir. Aşağıdaki tablo çarpmanın birkaç özelliğini belirtir ve

bunların toplamaya uygulanmasındaki hataları gösterir.


39

Sağ sütundaki eşitliklerin yanlış olduğunu kanıtlamak için, basitçe a ve b yerine sayıları koyun

ve her iki tarafı hesaplayın. Örneğin, dördüncü hatada a=2 ve 2 ve b=2 alırsak, sol tarafı şu

şekilde iken

sağ tarafı şu şekilde buluruz

olduğundan, verilen eşitlik yanlıştır. Siz de diğer eşitliklerin her birindeki hatayı benzer

şekilde kanıtlamalısınız.

1.5 Denklemler

Bir denklem iki matematiksel ifadenin eşit olduğuna dair bir deyimdir. Örneğin:

3 + 5 = 8

bir denklemdir. Cebirde çalıştığımız çoğu denklemde, sayıları belirten semboller (genellikle

harfler) olan değişkenler bulunur.

4𝑥𝑥 + 7 = 19

denkleminde x harfi bir değişkendir. Denklemde x’ i “bilinmeyen” olarak düşünüyoruz ve

amacımız denklemi doğru yapan (gerçekleyen) x değerini bulmaktır. Denklemi doğru kılan

bilinmeyen değerlere denklemin çözümleri veya kökleri denir ve çözümleri bulma işlemine

denklemin çözümü denir.


40

Tam olarak aynı çözümlere sahip iki eşitlik denklemi eş değer denklemler olarak

adlandırılır. Bir denklemi çözmek için değişkenin “eşit” işaretinin bir tarafında tek başına

durduğu daha basit eşdeğer bir denklem bulmaya çalışıyoruz.

Aşağıda bir denklemi çözmekte kullandığımız özellikler vardır. (Burada A, B ve C

herhangi bir cebir ifadesini ve ⇔ sembolü eşdeğerdir anlamına gelir.)

Bu özellikler eşitliği çözerken bir denklemin her iki tarafında da aynı işlemi

gerçekleştirmenizi gerektirir. Bu nedenle bir denklemi çözerken “−7 eklemeyi” söylersek, bu

“denklemin her iki yanına −7 ekleme” nin kısa bir yoludur.

Doğrusal Denklemlerin Çözümü

Denklemin en basit türü her terimin değişkeninin sabit veya sıfırdan farklı bir değişkeni

olduğu bir denklem olan doğrusal denklemdir veya birinci dereceden denklemdir.

Doğrusal Denklemler

Tek değişkenli doğrusal denklem 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 = 0 biçiminde tanımlanmaktadır. Burada a ve

b reel (gerçel) sayılar ve x değişkendir.

Aşağıda doğrusal denklemler ile doğrusal olmayan denklemler arasındaki farkı görmek için

bazı örnekler vardır.

Doğrusal denklemler Doğrusal olmayan denklemler

Örnek 1 Doğrusal Denklemlerin Çözümü

denklemini çözünüz.

Çözüm Bunu, bir tarafta x değişkeni ve diğer tarafta da sabitleri içeren tüm terimlerle eş değer

bir denklem haline getirerek çözeriz.

Değişkenin karesini içerir, doğrusal değil.

Değişkenin kare kökünü içerir, doğrusal değil. Değişkenin tersini içerir, doğrusal değil.

Verilen denklem


41

Cevabı Kontrol Et: x = 3 için denklemin sol yanı = 7(3)− 4 = 17

denklemin sağ yanı = 3(3) + 8 = 17

Bilimlerdeki birçok formül çeşitli değişkenleri içerir ve değişkenlerden birini diğerleri

açısından ifade etmek genellikle gereklidir. Sonraki örnekte, Newton ‘un Yerçekimi Kanunu

‘ndaki değişkene çözüm buluyoruz.

Örnek 2 Diğerleri Cinsinden Bir Değişken İçin Çözüm

Aşağıdaki denklemi M değişkeni cinsinden çözünüz.

Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da M ‘yi bir tarafta bırakarak diğer

değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.

Çözüm ‘dir.

Örnek 3 Diğerleri Cinsinden Bir Değişkeni Çözme

Şekil 1 ‘de gösterilen kapalı dikdörtgen kutunun alanı formülüyle

hesaplanır. h yükseklik, l boy ve w eni temsil etmektedir.

“4 ekle” “sadeleştir”

“3x çıkar”

“sadeleştir”

“14 ile çarp”

“sadeleştir”

Sağ tarafta M çarpanlarına ayırıldı.

𝐺𝐺𝐺𝐺𝑟𝑟2 ‘nin tersi ile çarp.

sadeleştir.


42

Şekil 1. Bir kapalı dikdörtgen kutu

Bu denklemde w değişkenini diğerleri cinsinden elde ediniz.

Çözüm Bu denklem birden fazla değişkene sahip olsa da w değişkenini bir tarafta bırakarak

diğer değişkenlere sayı gibi davranarak çözeriz.

Çözüm:

İkinci Derece Denklemlerin Çözümleri

2𝑥𝑥 + 1 = 5 veya 4 − 3𝑥𝑥 = 2 gibi doğrusal denklemler birinci derecedendir. 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0

veya 2𝑥𝑥2 + 3 = 5𝑥𝑥 gibi kuadratik (karesel) denklemler ikinci derecedendir.

İkinci Derecen Denklem

Bir ikinci derece denklemin genel formu

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0

biçimindedir. Burada a, b ve c reel sayı olup 𝑎𝑎 ≠ 0 ‘dır.

Bazı kuadratik denklemler, reel sayıların aşağıdaki temel özelliklerini ve çarpanlarına ayırmayı

kullanarak çözülebilir.

Sıfırla-Çarpım Özelliği

0=AB ancak ve ancak 0=A veya 0=B ’dır.

Bu özellik bir kuadratik (veya diğer) denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırabilirsek

her çarpanı sırayla sıfıra eşitleyerek çözebileceğimiz anlamına gelir. Bu yöntem

yalnızca denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda çalışır.

Örnek 4: Çarpanlara ayırma yöntemiyle ikinci dereceden denklem çözme

2452 =+ xx denklemini çözünüz.

Çözüm: Denklemin sağ tarafını sıfır olacak biçimde yeniden yazmalıyız.

2452 =+ xx

02452 =−+ xx “24 çıkar”

0)8)(3( =+− xx “çarpanlarına ayır”

w içeren terimler bir araya toplanır. 2lh çıkar.

sağ tarafta w çarpanlarına ayrılır.

2l + 2h ‘a böl.


43

𝑥𝑥 − 3 = 0 veya 𝑥𝑥 + 8 = 0 “sıfırla çarpım özelliği”

𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = 8 “çözüm”

Kontrol: 24159)3(532 =+=+ , 244064)8(5)8( 2 =−=−++−

Örnek 4’de denklemin bir tarafının neden 0’a eşit olması gerektiğini gördünüz mü? Denklem

𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 5) = 24 biçiminde çarpanlarına ayırılması çözümü bulmaya yardımcı olmaz. Çünkü 24

sayısı sonsuz yolla çarpanlarına ayırabilir (6.4,1/2.48,-60.-2/5).

𝑐𝑐 bir sabit olmak üzere 𝑥𝑥2 − 𝑐𝑐 = 0 denkleminin çarpanlarına ayırılışı �𝑥𝑥 − √𝑐𝑐��𝑥𝑥 + √𝑐𝑐� = 0

biçimdedir. Çözümler: 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐, 𝑥𝑥 = −√𝑐𝑐’dir. Genellikle bu çözümler 𝑥𝑥 = ±√𝑐𝑐 olarak yazılır.

Basit Bir Kuadratik Denklem Çözümü

𝑥𝑥2 = 𝑐𝑐 denkleminin çözümleri 𝑥𝑥 = √𝑐𝑐, 𝑥𝑥 = −√𝑐𝑐 ‘dir.

Örnek 5: a) 𝑥𝑥2 = 5 b) (𝑥𝑥 − 4)2 = 5 denklemlerini çözünüz.

Çözüm: a) 𝑥𝑥 = ±√5

b) Her iki tarafın karekökü alınıp denklem düzenlenirse;

(𝑥𝑥 − 4)2 = 5

𝑥𝑥 − 4 = ±√5

𝑥𝑥 = 4 ± √5 “4 ekle”

Çözümler 𝑥𝑥 = 4 − √5 ve 𝑥𝑥 = 4 + √5 ‘dir.

Örnek 5’te görüldüğü gibi (𝑥𝑥 ± 𝑎𝑎)2 = 𝑐𝑐 biçimindeki bir denklemin çözümü her iki tarafın

karekökü alınarak bulunur. Bu formdaki denklemin sol tarafı tam kare’dir (perfect square).

Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklem kolayca çarpanlarına ayrılamıyorsa o zaman kareye

tamamlama tekniğini kullanarak denklemi çözebiliriz. Bu, bir ifadeyi tam kare yapmak için bir

sabit eklediğimiz anlamına gelmektedir. Örneğin, 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 ifadesini tam kare yapmak için 9

eklemeliyiz. Çünkü 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = (𝑥𝑥 − 3)2’dir.

Kareye Tamamlama (Tam Kare Yapmak)

𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 ifadesini tam kare yapmak için x katsayısının yarısının karesi

�𝑏𝑏2�

2eklenir. Bu durumda;

𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + �𝑏𝑏2�

2

= �𝑥𝑥 +𝑏𝑏2�

2

olur.

Kare tamamlanırken, 𝑥𝑥2 katsayısının 1 olduğundan emin olun.

öyle değilse, bu katsayıyı, 𝑥𝑥 içeren her iki terimden de hesaba katmalısınız:


44

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 �𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥�

Ardından, parantez içindeki ifadeyi kareye tamamlayın. Teriminin parantez içine eklenen

terimin a ile çarpıldığını unutmayın.

Örnek 6: Kareye Tamamlayarak Kuadratik Denklemi Çözme

a) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 13 = 0 b) 3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 6 = 0 denklemlerini tam kare yaparak

çözünüz.

Çözüm: a) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 = −13 “13 çıkar”

𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 16 = −13 + 16 “Kare yapmak için (−8 2⁄ )2 = 16 ekle”

(𝑥𝑥 − 4)2 = 3 “tam kare”

𝑥𝑥 − 4 = ±√3 “karekök al”

𝑥𝑥 = 4 ± √3 “4 ekle”

b) Denklemin her iki yanından 6 çıkarıldıktan sonra

3𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 = −6

3(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥) = −6 “sol taraf 3 çarpan parantezine al”

3(𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 4) = −6 + 3.4 “Tam kare için parantezin içine (−4/2)2 = 4 ekle ve sol

taraf 3 parantezinde olduğun için sağ tarafa da 3.4=12 ekle”

3(𝑥𝑥 − 2)2 = 6 “Tam kare”

(𝑥𝑥 − 2)2 = 63

= 2 “3’e böl”

𝑥𝑥 − 2 = ±√2 “karekök al”

𝑥𝑥 = 2 ± √2 “2 ekle”

Genel 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 kuadratik denkleminin kökleri için genel bir formül elde etmede tam

kare tekniğini kullanabiliriz.

Kuadratik Formül

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 (𝑎𝑎 ≠ 0) denkleminin kökleri;

𝑥𝑥 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎

dır.

İspat: sol tarafta 𝑥𝑥2 teriminin katsayısını 1 yapmak için denklem 𝑎𝑎 ile bölünürse;

𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥 = −

𝑐𝑐𝑎𝑎


45

Şimdi kareye tamamlamak için � 𝑏𝑏2𝑎𝑎

�2 her iki tarafa eklenildiğine,

𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎 𝑥𝑥 + �

𝑏𝑏2𝑎𝑎�

2

= −𝑐𝑐𝑎𝑎 + �

𝑏𝑏2𝑎𝑎�

2

�𝑥𝑥 +𝑏𝑏

2𝑎𝑎�2

=−4𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2

Tam kare ifadesi elde edilir. Burada her iki tarafın karekökü alınır ve b/2a çıkarılırsa;

𝑥𝑥 =−𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐

2𝑎𝑎

olarak bulunur.

Örnek 7: Kuadratik formülü kullanma

a) 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 − 1 = 0 b) 4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 9 = 0 c) 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 2 = 0 denklemlerinin

her biri için tüm çözümleri bulunuz.

Çözüm: a) Bu denklemde 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 = −5, 𝑐𝑐 = −1 olduğundan formül gereği,

𝑥𝑥 =−(−5) ± �(−5)2 − 4(3)(−1)

2(3) =5 ± √37

6

𝑥𝑥 =�5 + √37�

6 ≈ 1.8471, 𝑥𝑥 =�5 − √37�

6 ≈ −0.1805

b) 𝑎𝑎 = 4, 𝑏𝑏 = 12, 𝑐𝑐 = 9 olduğundan

𝑥𝑥 =−12 ± �122 − 4(4)(9)

2(4) = −32

Denklemin tek kökü vardır.

c) 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = 2, 𝑐𝑐 = 2 olup;

𝑥𝑥 =−2 ± �22 − 4(1)(2)

2(1) =−2 ± √−4

2 = −1 ± √−1

Herhangi bir reel sayının karesi negatif olamaz. √−1 sayısı reel sayı sisteminde tanımlı

değildir. Bu denklemin reel çözümü yoktur. Bölüm 3.5’te karmaşık sayı sistemini çalışacağız.

Bu sistemde negatif sayıların karekökleri mevcuttur. Örnek 7 (c) karmaşık sistemde bir çözüme

sahiptir.

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 denklemi için oluşturulan kuadratik formülde 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 ifadesine

diskriminant denir. D(veya ∆) sembolü ile gösterilir. Eğer 𝐷𝐷 < 0 ise √𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 tanımlı değildir

ve denklemin reel çözümü yoktur. Eğer 𝐷𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit iki reel çözümü

vardır. Eğer 𝐷𝐷 > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki reel çözümü vardır.


46

DİSKRİMİNANT

İkinci dereceden 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 denkleminin diskriminantı 𝐷𝐷 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 bçiminde

tanımlanmaktadır.

1. 𝐷𝐷 > 0 ise denklemin iki farklı reel(gerçel) kökü(çözümü) vardır.

2. 𝐷𝐷 = 0 ise denklemin birbirine eşit olan iki reel kökü vardır.

3. 𝐷𝐷 < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.

Örnek 8: Diskriminant Kullanma

Denklemlerinin diskriminantını kullanarak kaç tanesinde reel çözüm olduğunu bulunuz.

Çözüm: a) 𝐷𝐷 = 42 − 4(1)(−1) = 20 > 0 → iki farklı reel kök var.

𝑏𝑏) 𝐷𝐷 = (−12)2 − 4(4)(9) = 0 → eşit iki reel kök var.

𝑐𝑐) 𝐷𝐷 = (−2)2 − 4 �13� (4) = −4/3 → reel kök yoktur.

Şimdi gerçek hayattaki bir durumu ikinci dereceden bir denklem ile modelleyelim.

Örnek 9: Mermi Yörüngesi

Başlangıçta 𝑉𝑉0 hızına sahip olarak fırlatılan ya da yukarı doğru atılan bir nesne 𝑡𝑡 saniye sonunda

ℎ yüksekliğinde olduğuna göre ℎ ve 𝑡𝑡 için;

ℎ = −16𝑡𝑡2 + 𝑉𝑉0𝑡𝑡

formülü ile verilmektedir. Mermi ateşlendiğinde ilk hızının 800 𝑓𝑓𝑡𝑡/𝑠𝑠𝑠𝑠 olduğu varsayılsın.

Merminin izlediği yol şekil 1 de gösterildiğine göre

a) Mermi yere ne zaman düşer?

b) 6400 ft yüksekliğe ne zaman ulaşır?

c) Ne zaman 2 mil yüksekliğe ulaşır?

d) Merminin ulaştığı en yüksek nokta kaç ft’ dir?

Çözüm: a) 𝑉𝑉0 = 800 olduğundan

ℎ = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡

olur. Mermi yere geldiğinde ℎ = 0 olacağından,

0 = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡

denklemi çözülmelidir.


47

0 = −16𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 50)

𝑡𝑡 = 50 veya 𝑡𝑡 = 0 dır. 𝑡𝑡 = 0 başlangıç olduğundan cisim yere 50 𝑠𝑠𝑠𝑠 sonra ulaşır.

b) ℎ = 6400 alınırsa;

6400 = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡

Tüm terimler sol tarafa toplanırsa;

Mermi 6400 ft yüksekliğe 10 sn sonra(çıkışta) ve daha sonra 40 sn (inişte) sahip olur.

c) 2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2 × 5280 = 10.560 𝑓𝑓𝑡𝑡

𝐷𝐷 = (−50)2 − 4(1)(660) = −140 < 0

Denklemin reel çözümü yoktur. Mermi asla 2 mil yüksekliğe ulaşamaz

d) Mermi hareketi boyunca aldığı yollarda bir iniş ve bir çıkış vardır. Yalnız en yüksek

noktada istisna olarak tek bir çıkış söz konusudur. Bu ise t için aşağıdaki denklemin

her sadece bir çözümü olduğunu gösterir;

ℎ = −16𝑡𝑡2 + 800𝑡𝑡

16𝑡𝑡2 − 800𝑡𝑡 + ℎ = 0

Denklemin tek bir çözüme sahip olması için diskriminantı sıfır olmalıdır.

Mermi maksimum 10.000 ft yüksekliğe ulaşabilir.


48

DİĞER DENKLEM TİPLERİ

Şimdiye kadar doğrusal ve kuadratik denklemlerin nasıl çözüleceğini gördük. Şimdi daha

yüksek kuvvete sahip, kesirli ve köklü ifade içeren denklem türlerini inceleyeceğiz.

Örnek 10: Kesirli(rasyonel) ifade içeren Denklem

Çözüm: Paydaları yok etmek için denklemin eşitliğin her iki tarafını paydaların en küçük ortak

katı ile çarpılmalıdır:

Örnek 11: Köklü İfade İçeren Denklem

2𝑥𝑥 = 1 − √2 − 𝑥𝑥 denklemini çözünüz.

Çözüm: Karekökü yok etmek için, köklü ifade eşitliğin bir tarafında yalnız bırakıldıktan sonra

her iki tarafın karesi alınarak aşağıdaki biçimde çözüm gerçekleştirilir.


49

𝑥𝑥 = − 14 ve 𝑥𝑥 = 1 potansiyel çözümlerdir. Orijinal denklemde bu çözümler kontrol

edilmelidirler.

𝑥𝑥 = 1 çözüm değildir.

𝑎𝑎𝑊𝑊2 + 𝑏𝑏𝑊𝑊 + 𝑐𝑐 = 0 bir denklem formu W cebirsel bir ifadedir. Bu denklem ikinci

derecedendir. Bir sonraki iki örnekte göreceğiniz gibi cebirsel ifadeyi uygun bir şekilde yerine

koyarak denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülüp çözüm gerçekleştirilir.

Örnek 12: Dördüncü dereceden denklem –Kuadratik Form

𝑥𝑥4 − 8𝑥𝑥2 + 8 = 0 denkleminin tüm çözümlerini bulunuz

Çözüm: 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥2 yazılırsa W yeni kuadratik denklemin değişkeni olur.

Bir denklemi çözdüğümüzde bir veya daha fazla

yabancı(gereksiz) bulabiliriz. Yani bu çözümler orijinal

denklemi sağlamayan çözümlerdir. Bir denklemin her iki

tarafında kare alındığında yabancı(gereksiz) çözümler

ortaya çıkabilir. Çünkü kare alma işlemi yanlış olan bir

denklemi doğru hale getirebilir. Örneğin; −1 ≠ 1 dir.

Fakat, (−1)2 = (1)2’dir. İşte bu gibi durumlarda

cevaplar orijinal denklemde kontrol edilmelidir.


50

Örnek 13: Kesirli Kuvvete Sahip Denklem

𝑥𝑥1/3 + 𝑥𝑥1/6 − 2 = 0 denklemini çözünüz.

Çözüm: 𝑊𝑊 = 𝑥𝑥1/6 olarak alınırsa 𝑊𝑊2 = �𝑥𝑥1/6�2= 𝑥𝑥1/3 olur.

Cevap kontrol edildiğinde çözüm sadece 𝑥𝑥 = 1’dir.


51

Örnek 14: Mutlak Değerli Denklem

|2𝑥𝑥 − 5| = 3 denklemini çözünüz.

Çözüm: Mutlak değer tanımından;

1.6 Denklemlerle Modelleme

Fen bilimleri, ekonomi, finans, tıp ve diğer çeşitli alanlardaki birçok problem bir cebir

problemi diline dönüştürülebilir. Bu nedenle, cebir oldukça yararlıdır. Bu bölümde gerçek-

yaşam problemlerini çözmek için denklemleri matematiksel modeller olarak kullanacağız.

Model Oluşturma ve Kullanma

Aşağıdaki kılavuzu, kelimelerle tanımlanan durumları modelleyen denklemleri oluşturmada

bize yardımcı olması için kullanacağız. Kılavuzun denklemleri oluşturmada nasıl yardımcı

olabileceğini göstermek için, bu bölümdeki her örnek üzerinde çalışırken kılavuzdaki adımları

kenara yazacağız.


52

Aşağıdaki örnek, bu kılavuzun kelime içeren bir problemi nasıl cebirin diline çevirmede

kullanıldığını örneklemektedir.

ÖRNEK 1. Araba Kiralama

Araba kiralama şirketi bir arabayı kiralamak için günlük 30$ ve mil başına 15 cent ücret

istemektedir. Helen iki gün için araba kiralamıştır ve 108$ fatura gelmiştir. Ne kadar mil

boyunca arabayı kullanmıştır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Bizden Helen ‘in sürdüğü mil miktarını bulmamız istenmektedir. Böylece

x = sürülen mil miktarı

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen tüm bilgiyi cebir diline dönüştürelim.

Kelimelerle Cebirle

Sürülen mil miktarı x

Mesafe maliyeti (mil başına 0.15$) 0.15x

Günlük maliyet (günlük 30$) 2(30)

Modeli Kur. Şimdi modeli oluşturalım.

mesafe maliyeti + günlük maliyet = toplam maliyet

0.15 x + 2(30) = 108

Çöz. x için çözümü bulalım.

60 çıkar

0.15 böl

hesapla


53

Helen, kiralık arabasını 320 mil boyunca sürmüştür.

Takip eden örnek ve alıştırmalarda, birçok farklı gerçek-yaşam durumunda ortaya çıkan

problemleri modelleyen denklemleri oluşturacağız.

Faiz Problemleri

Bir bankadan borç para aldığınızda veya bir banka paranızı tasarruf hesabında sizin için tutarak

sizden borç aldığında, her iki durumda da borçlu paranın kullanım sebebiyle ödeme yapmak

zorundadır. Ödenecek ücret, faiz olarak isimlendirilir. En temel faiz türü, mevduata yatırılmış

ve borçlanılmış toplam miktarın yıllık yüzdesi olan basit faizdir. Depozito veya borç miktarı,

P anapara olarak isimlendirilir. Paranın kullanımı için ödenen yıllık yüzde, r faiz oranıdır.

Hesapta bulunan paranın toplam yıl sayısı t değişkeni ve toplam kazanılan faizi ise I değişkeni

ile göstereceğiz. Aşağıdaki basit faiz formülü, r faiz oranından t yıl için yatırılan P anaparadan

kazanılan I faiz miktarını vermektedir.

𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑡𝑡

Bu formülü kullanırken, r ‘yi yüzdeden ondalık sayıya çevirmeyi unutmayınız. Örneğin, %5,

ondalık formunda, 0.05 ‘dir. Böylece %5 faiz oranında, 3 yıllık zaman diliminde 1000$

depozitoya ödenecek faiz: 𝐼𝐼 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑡𝑡 = 1000(0.05)(3) = 150$.

ÖRNEK 2. Yatırımdaki Faiz

Mary ‘e 100.000$ miras kalmıştır ve bunu iki mevduat sertifikasına yatırmıştır. Bir sertifika %6

diğeri ise %412 yıllık basit faiz ödemektedir. Eğer Mary ‘nin toplam faizi yıllık 5025$ ise, her

bir faiz oranına ne kadar para yatırmıştır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem, Mary ‘nin her bir faiz oranına yatırdığı miktarı bizden

istemektedir. Bu yüzden,

𝑥𝑥 = %6 ‘dan yatırılan miktar

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Mary ‘e kalan toplam miras miktarı 100.000$ olduğundan, %412

oranından 100.000 −𝑥𝑥 para yatırdığı anlaşılmaktadır. Verilen tüm bilgiyi, cebir diline

dönüştürülelim.

Kelimelerle Cebirle

%6 ‘dan yatırılan miktar x

%412 ‘dan yatırılan miktar 100.000 −x

%6 ‘dan kazanılan faiz 0,06 x


54

%412 ‘dan kazanılan faiz 0,045(100.000 −x)

Modeli Kur. Mary ‘nin toplam kazandığı faizin 5025$ olduğu gerçeğini kullanarak modeli

kurarız.

%6 ‘dan faiz + %412 ‘dan faiz = toplam faiz


Böylece, Mary %6 ‘dan 35.000$ yatırmış ve kalan miktar olan 65.000$ ‘ı %412 ‘dan yatırmıştır.

Cevabı Kontrol Et: toplam faiz = 35.000$ ‘ın %6 sı + 65.000$ ‘ın %412 ‘sı

= 2100$ + 2925$ = 5025$

Alan ve Uzunluk Problemleri

Fiziksel bir durumu modellemek için cebiri kullandığımızda, bazen geometriye ait temel

formülleri kullanmamız gerekir. Örneğin, bir alan veya çevre uzunluğu formülüne veya benzer

üçgenlerin kenarlarıyla ilişki kuran formüle veya Pisagor Teoremine ihtiyaç duyarız. Bu

formüllerin çoğu, kitabın ön-arka sayfasında listelenmiştir. Sonraki iki örnek, bazı gerçek-

yaşam problemlerini çözmek için bu geometrik formülleri kullanmaktadır.

ÖRNEK 3. Bir Bahçenin Boyutları

Kare bir bahçe, Şekil 1 ‘de gösterildiği gibi dış kenarı etrafında 3 ft genişliğe sahip bir yürüme

yolu bulundurmaktadır. Eğer yürüme yolu da dahil olmak üzere tüm bahçenin alanı 18.000 ft2

ise, ekili alanın boyutları nedir?

Dağılma Özelliği x ifadelerini birleştir

4500 çıkar

0,015 ‘e böl


55

Şekil 1

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Ekili alanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑥𝑥 = ekili alanın uzunluğu

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 1 ‘deki bilgiyi cebirin diline dönüştürelim.

Kelimelerle Cebirle

Ekili alan uzunluğu x

Tüm bahçenin uzunluğu x + 6

Tüm bahçenin alanı (𝑥𝑥 + 6)2

Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.

Tüm bahçenin alanı = 18.000 ft2


Bahçenin ekili alanı, yaklaşık 128 ft ‘e 128 ft ‘dir.

ÖRNEK 4. İnşaat Sahasının Boyutları

Dikdörtgen şeklindeki bir inşaat sahasının uzunluğu genişliğinden 8ft büyüktür ve alan

büyüklüğü 2900 ft2 ‘dir. Sahanın boyutlarını bulunuz.

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Sahanın uzunluğu ve genişliğini bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑤𝑤 = sahanın genişliği

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Problemde verilen bilgiyi cebirin diline dönüştürelim (Şekil 2

bakın).

Kelimelerle Cebirle

Sahanın genişliği w

Sahanın uzunluğu w + 8

Kare kökünü al 6 çıkar


56

Şekil 2

Modeli Kur. Şimdi modeli kurarız.

Sahanın genişliği × Sahanın uzunluğu = Sahanın alanı

𝑤𝑤(𝑤𝑤 + 8) = 2900


Sahanın genişliği pozitif bir sayı olması gerektiğinden, w = 50 ft olması gerektiğini anlarız.

Sahanın uzunluğu ise (𝑤𝑤 + 8) = 50 + 8 = 58 ft ‘dir.

ÖRNEK 5. Benzer Üçgenleri Kullanarak Bir Binanın Yüksekliğinin Bulunması

6ft uzunluğundaki bir adam, dört katlı bir binanın yüksekliğini bulmak istemektedir. Binanın

gölgesini ölçüp, bunun 28ft uzunluğunda olduğunu buluyor. Bu arada kendi gölgesinin

uzunluğu ise 312 ft ‘dir. Binanın yüksekliğini bulunuz.

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem binanın yüksekliğini bulmamızı istemektedir. Böylece

𝑤𝑤 = binanın yüksekliği

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekil 3 ‘deki üçgenlerin benzer olduğu gerçeğini kullanırız.

Hatırlanırsa, herhangi bir iki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı eşittir. Şimdi, bu

gözlemi cebirin diline çevirelim.

Genişletme işlemi 2900 çıkar

Çarpanlarına ayır

Sıfır-Çarpım Özelliği


57

Şekil 3

Kelimelerle Cebirle

Binanın yüksekliği h

Büyük üçgendeki yüksekliğin

tabana oranı

ℎ28

Küçük üçgendeki yüksekliğin

tabana oranı

63.5

Modeli Kur. Büyük ve küçük üçgenler benzer olduğundan, aşağıdaki denklemi elde ederiz.

Büyük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı = Küçük üçgendeki yüksekliğin tabana oranı

Çöz. h için çözümü bulalım.

Böylece, binanın yüksekliği 28ft ‘dir.

Karışım Problemleri

Birçok gerçek-dünya problemi farklı tip maddelerin karıştırılmasını içerir. Örneğin,

inşaat işçileri çimento, çakıl ve kumu karıştırabilir; meyve suyu konsantresi farklı tip meyve

sularının karıştırılmasını gerektirebilir. Karışımları ve konsantrasyonları içeren problemler, bir

maddenin x miktarının V hacimli bir çözeltide çözüldüğünde maddenin C konsantrasyonunun

aşağıdaki denklemle elde edildiği gerçeğini kullanırlar.

Böylece eğer 10g şeker 5L suda çözülürse, bu takdirde şeker konsantrasyonu 𝐶𝐶 = 105

= 2𝑔𝑔/𝐿𝐿

‘dir. Bir karışım problemini çözmek genellikle çözeltide bulunan bir maddenin x miktarını

analiz etmemizi gerektirir. Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶𝑉𝑉 olduğunu görürüz.

28 ile çarp


58

Dikkat edilirse, birçok karışım probleminde C konsantrasyonu gelecek örnekte olduğu gibi

yüzde olarak ifade edilir.

ÖRNEK 6. Karışımlar ve Konsantrasyon

Soft içecek imalatçısı, sadece %5 portakal suyu içerse de portakal sodasının doğal olarak

tatlandırıldığı şeklinde pazarlama yapmaktadır. Yeni yasal düzenleme, doğal olarak

adlandırılması için bir içeceğin en azından %10 meyve suyu içermesi gerektiğini şart

koymaktadır. Bu imalatçı yeni düzenlemeye uyum sağlamak için portakal sodasının 900 gal

‘ına ne kadar saf portakal suyu eklemelidir?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Problem eklenecek saf portakal suyu miktarını bizden istemektedir.

Böylece

𝑥𝑥 = eklenecek saf portakal suyu miktarı (galon olarak)

Kelimeleri Cebire Dönüştür. İki farklı maddenin karıştırılacağı bu tip problemlerde, verilen

bilgiyi organize etmek için bir diyagram çizilmesi yardımcı olacaktır (Şekil 4 bakın).

Hacim 900 galon x galon 900 + x galon

Portakal suyu 900 galonun x galonun 900 galonun %10 ‘u

miktarı %5 ‘i = 45 galon %100 ‘ü = x galon =0,1(900 + x) galon

Şekil 4

Şekildeki bilgi, cebir diline aşağıdaki gibi çevrilir.

Kelimelerle Cebirle

Eklenecek portakal suyu miktarı x

Karışımın miktarı 900 + x

İlk varildeki portakal suyu miktarı (0,05)900 = 45

İkinci varildeki portakal suyu miktarı 1 . x = x

Karışımdaki portakal suyu miktarı 0.10(900 + x)


59

Modeli Kur. Modeli kurmak için, karışımdaki portakal suyu toplam miktarının ilk iki varildeki

portakal suyuna eşit olduğu gerçeğini kullanalım.

İlk varildeki portakal + İkinci varildeki portakal = karışımdaki portakal

suyu miktarı suyu miktarı suyu miktarı


Böylece, imalatçı sodaya 50 gal saf portakal suyu eklemelidir.

Cevabı Kontrol Et:

Karışımdan önce meyve suyu miktarı = 900 gal ‘ın %5 ‘i + 50 gal saf portakal suyu

= 45 gal + 50 gal = 95 gal

Karışımdan sonra meyve suyu miktarı = 950 gal ‘ın %10 ‘u = 95 gal

Miktarlar eşittir.

Bir İşi Yapmak İçin Gereken Zaman Problemleri

Bir işi birkaç kişi ile tamamlamanın ne kadar zaman alacağını belirlemeyi içeren bir

problem çözdüğümüzde, eğer bir kişi veya makine bir görevi yerine getirmek için H birim

zamana ihtiyaç duyarsa, birim zamanda görevin tamamlanma kısmı 1/𝐻𝐻 kadar olur bilgisini

kullanırız. Örneğin eğer bir işçi çimenleri 5 saate biçiyorsa, bu takdirde söz konusu işçi 1 saatte

çimenlerin 1/5 ‘ini biçecektir.

ÖRNEK 7. Bir İşi Yapmak İçin Gerekli Zaman

Beklenen yoğun sağanak yağış nedeniyle, barajdaki su seviyesi 1ft kadar azaltılmalıdır. A

boşaltma kanalını açmak, 4 saatte su seviyesini bu miktara indirmektedir. Oysaki daha küçük

olan B boşaltma kanalını açmak, aynı işi 6 saate yapmaktadır. Her iki boşaltma kanalı da

açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak ne kadar zaman alır?

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak için gereken

zamanı bulmamız istenmektedir. Böylece

𝑥𝑥 = her iki boşaltma kanalı açıldığında su seviyesini 1ft kadar azaltmanın aldığı (saat olarak)

zaman

Şekil 4 ‘den

Dağılma özelliği

0.1x ve 45 çıkar

0.9 ‘a böl


60

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bu problemde x değişkenini diğer niceliklerle ilişkilendiren bir

denklem bulmak kolay değildir. Açıkçası x basitçe 4 + 6 değildir. Çünkü bu, iki boşaltma

kanalının birlikte su seviyesini azaltmak için tek başına olduklarından daha fazla zamana ihtiyaç

duyması anlamına gelirdi. Bunun yerine, her bir boşaltma kanalı tarafından 1 saate işin ne

kadarlık kısmının yapılabileceğine bakarız.

Kelimelerle Cebirle

A ve B ‘nin birlikte su seviyesini 1ft azaltmak için gerek duyduğu süre x saat

1 saate A ‘nın düşürdüğü su seviyesi miktarı 14 ft

1 saate B ‘nin düşürdüğü su seviyesi miktarı 16 ft

1 saate A ve B ‘nin birlikte düşürdüğü su seviyesi miktarı 1𝑥𝑥 ft

Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.

A tarafından yapılan kısım + B tarafından yapılan kısım = Her ikisi tarafından yapılan kısım


Her iki boşaltma kanalı açılırsa, su seviyesini 1ft azaltmak 2 25 saat veya 2 saat 24 dakika zaman

alacaktır.

Uzaklık, Oran ve Zaman Problemleri

Bir sonraki örnek uzaklık, oran (hız) ve zaman ile ilgilidir. Burada akılda tutulması

gereken formül:

Uzaklık = oran × zaman

formülde, oran ya sabit hız ya da hareket eden bir nesnenin ortalama hızıdır. Örneğin, 4 saat

süresince 60 mi/h ile araba sürmek 60 × 4 = 240 mi bir uzaklığa sizi götürür.

ÖRNEK 8. Uzaklık-Hız-Zaman Problemi

Bir jet, 4200 km mesafesindeki New York ‘dan Los Angeles ‘a uçmaktadır. Dönüş yolculuğu

için hız gidiş hızından 100 km daha fazladır. Toplam seyahat 13 saat sürerse, New York ‘dan

Los Angeles ‘a giderken jeti hızı ne kadardı?

ÇÖZÜM

EKOP ile çarp, 12x Topla

5 ‘e böl


61

Değişkeni Tanımla. New York ‘dan Los Angeles ‘a giderken jeti hızı bizden istenmektedir.

s = New York ‘dan Los Angeles ‘a hız

Böylece s +100 = Los Angeles ‘dan New York ‘a hız

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Bilgiyi bir tabloda organize edelim. Şehirler arasının 4200 km

olduğunu bildiğimizden, ilk önce “Uzaklık” sütununu doldururuz. Ardından s değişkenine göre

her iki hızı (oran) da ifade etmiş olduğumuzdan, “Hız” sütununu doldururuz. Son olarak,

aşağıdaki formülü kullanarak “Zaman” sütununu hesaplarız.

Zaman = Uzaklıkoran

Modeli Kur. Toplam seyahat 13 saat almaktadır, bu yüzden aşağıdaki model söz konusudur.

Çöz. Ortak payda ile çarparak s (s+100), şu elde edilir:

Her ne kadar bu denklem büyük sayılarla çarpanlarına ayrılsa da, ikinci dereceden formül ve

bir hesaplayıcı yardımıyla hızlıca hesaplanabilir.


62

s hızı temsil ettiğinden, negatif cevap red edilir ve jetin New York ‘dan Los Angeles ‘a hızının

600 km/saat olduğu sonuncuna varılır.

ÖRNEK 9. Kuş Uçuşundaki Enerji Tüketimi

Kuş bilimciler, bazı kuş türlerinin gün ışığı saatlerinde büyük su kütleleri üzerinden uçmaktan

kaçınma eğilimi gösterdiklerini belirlemişlerdir. Çünkü, gündüzleri hava genellikle toprak

üzerine yükselmekte ve su üzerine düşmektedir. Böylece su üzerinde uçmak daha çok enerji

gerektirmektedir. Bir ada üzerinde kıyı şeridine en yakın nokta olan B ‘den 5 mi uzaklığındaki

A noktasından bir kuş serbest bırakılmıştır. Kuş kıyıdaki C noktasına uçmaktadır ve ardından

kıyı boyunca uçarak Şekil 5 ‘de gösterildiği gibi D yuva alanına hareket etmektedir. Kuşun 170

kcal ‘lık enerji stoğu olduğunu varsayalım. Kuş kara üzerinde uçarken 10 kcal/mi ve su üzerinde

14 kcal/mi kullanmaktadır.

a) Kuşun uçuş boyunca tam olarak 170 kcal enerji kullanabilmesi için C noktası nereye

yerleştirilmelidir?

b) Kuş A noktasından D noktasına doğrudan uçmaya yetecek kadar enerjiye sahip midir?

Şekil 5

ÇÖZÜM

Değişkeni Tanımla. C ‘nin yerini bulmamız bizden istenmektedir. Böylece

x = B ‘den C ‘ye uzaklık

Kelimeleri Cebire Dönüştür. Şekle ve aşağıdaki bilgiye dayanarak aşağıdaki tablo oluşturulur.

kullanılan enerji = mil başına enerji × uçulan mi

Kelimelerle Cebirle

B ‘den C ‘ye uzaklık x

Su üzerinde uçulan uzaklık (A ‘dan C ‘ye) �𝑥𝑥2 + 25

Kara üzerinde uçulan uzaklık (C ‘dan D ‘ye) 12 − 𝑥𝑥

Pisagor Teoreminden


63

Su üzerinde harcanan enerji 14�𝑥𝑥2 + 25

Kara üzerinde harcanan enerji 10(12 − 𝑥𝑥)

Modeli Kur. Şimdi modeli kuralım.

toplam kullanılan enerji = su üzerinde kullanılan enerji + karada kullanılan enerji

Çöz. Bu denklemi çözmek için, ilk olarak eşitliğin sol tarafına tüm diğer terimler getirilir ve

ardından her iki tarafın karesi alınarak karekök yok edilir.

Bu denklem çarpanlarına ayrılabilir, ancak sayılar çok büyük olduğundan ikinci dereceden

formül ve bir hesaplayıcı yardımıyla daha kolaydır.

C noktası B noktasından 6 23 mi veya 3 3

4 mi uzakta olmalıdır, böylece kuş uçuş esnasında tam

olarak 170 kcal enerji kullanır.

b) Pisagor Teoreminden, A ‘dan D ‘ye doğrudan uçuş uzunluğu √52 + 122 = 13 mi ‘dir. Bu

rota için kuşun ihtiyacı olan enerji miktarı 14 × 13 = 182 kcal ‘dır. Bu, kuşun mevcut

enerjisinden daha fazladır. Dolayısıyla bu rotayı kullanmaz.

1.7 EŞİTSİZLİKLER

Cebirdeki bazı problemler denklemler yerine eşitsizliklere neden olur. Eşitsizlik, eşitlik

işaretinin yerine sembollerden biri olması dışında sadece bir denklem gibi görünür <, >, ≤ ve

≥. Aşağıda eşitsizliğe örnek verilebilir:

Karekök terimini sağ tarafta bırak

Sol tarafı sadeleştir

Her iki yanın karesini al

Genişlet (Aç)

Tüm terimler sağ tarafa


64

4𝑥𝑥 + 7 ≤ 19

Yukarıdaki tablo bazı sayıların eşitsizliği sağladığını ve bazı sayıların eşit olmadığını

göstermektedir.

Değişken içeren bir eşitsizliği çözmek demek; eşitsizliği sağlayan değişkenin tüm değerlerini

bulmak demektir. Eşitliklerden farklı olarak, bir eşitsizlik genelde gerçek sayı doğrusu üzerinde

bir aralık veya aralıkların birleşmesinden oluşan sınırsız sayıda çözüme sahiptir.

Aşağıdaki örnek denklemle ile eşitsizlik farkını göstermektedir.

Eşitsizlikleri çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafındaki değişkeni izole etmek için

aşağıdaki kuralları kullanırız. Bu kurallar, iki eşitsizlik eşit olduğunu söyler (⇔ sembolü eşittr

(eşdeğerdir anlamına gelir). Bu kurallardaki A, B ve C sembolleri gerçek sayılar veya cebirsel

ifadeler için kullanılmaktadır. Burada ≤ sembolü içeren eşitsizliklerin kurallarını

belirtmekteyiz, ancak dört eşitsizlik sembolü için de geçerlidir.

Eşitsizlik Kuralları Tanımlama

1. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 Ekleme. Eşitsizliğin her bir yanına aynı

değeri eklemek eşitsizliğin değerini

değiştirmez.

2. 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 Çıkarma. Eşitsizliğin her bir yanından aynı

değeri çıkarmak eşitsizliğin değerini

değiştirmez.

Denklem:

Eşitsizlik:

Çözüm Grafik


65

3.Eğer C > 0 ise, 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐶𝐶𝐴𝐴 ≤ 𝐶𝐶𝐵𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını pozitif

bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü

değiştirmez.

4.Eğer C < 0 ise, 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐶𝐶𝐴𝐴 ≥ 𝐶𝐶𝐵𝐵 Çarpma. Eşitsizliğin her bir yanını negatif

bir değer ile çarpmak eşitsizliğin yönünü

değiştirir.

5.Eğer A > 0 ve B > 0 ise, , 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 ⇔ 1𝐴𝐴

≥ 1𝐵𝐵 Tersini Almak. Eşitsizliğin her iki tarafının

tersi alınırken pozitif değerler eşitsizliğin

yönünü değiştirir.

6. Eğer 𝐴𝐴 ≤ 𝐵𝐵 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝐶𝐶 ≤ 𝐷𝐷 ise 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≤ 𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 Eşitsizlikler Toplanabilir

Kural 3 ve 4'e özel dikkat edin. Kural 3, bir eşitsizliğin her bir yanını pozitif bir sayı ile

çarpabildiğimizi (veya bölebildiğimizi) söyler; ancak Kural 4, bir eşitsizliğin her iki yanını

negatif bir sayı ile çarparsak, eşitsizlik yönünü tersine çevirdiğimizi söyler. Örneğin, aşağıdaki

eşitsizlikle başlarsak;

3 < 5

ve bu eşitsizliği 2 ile çarparsak

6 < 10 elde edilir

Eğer -2 ile çarparsak

-6 > -10 olur.

Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü

Her terim sabit veya değişkenin bir katı olduğunda bir eşitsizlik doğrusaldır. Doğrusal eşitsizliği

çözmek için, eşitsizlik işaretinin bir tarafındaki değişkeni izole etmek gerekmektedir.

ÖRNEK 1: Doğrusal Eşitsizliklerin Çözümü

3𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 eşitsizliğini çözünüz ve sonucu çiziniz.

ÇÖZÜM

3𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 Verilen eşitsizlik

3𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 < 9𝑥𝑥 + 4 − 9𝑥𝑥 9x çıkartılır

−6𝑥𝑥 < 4 Basitleştirme

− �− 16� 6𝑥𝑥 > 4 �− 1

6� Her iki tarafı �− 1

6�çarpıp eşitsizliğin yönünü değiştir.

𝑥𝑥 > − 23


66

Çözüm kümesi − 23 den büyük olan bütün sayıları içermektedir. Diğer bir ifadeyle eşitsizliğin

çözüm kümesi �− 23

, ∞� aralığıdır.

ÖRNEK 2 : Eşzamanlı Eşitsizlik Çözme

Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz.

4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 < 13

ÇÖZÜM

Çözüm kümesi her iki eşitsizliği sağlayacak x değerlerini içermelidir.

4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 ve 3𝑥𝑥 − 2 < 13. Kural 1 ve 3 kullanılarak

4 ≤ 3𝑥𝑥 − 2 < 13

6 ≤ 3𝑥𝑥 < 15

2 ≤ 3𝑥𝑥 < 5

Çözüm aralığı [2,5) dir.

Doğrusal Olmayan Eşitsizliklerin Çözümü

Değişkenlerin ikinci yada diğer kuvvetlerinin eşitsizliğini çözmek için aşağıdaki kurallar takip

edilmelidir.

Kesirlerin yada Çarpımların İşareti

Eğer çarpım yada kesirler çift sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri pozitiftir.

Eğer çarpım yada kesirler tek sayıda negatif çarpana sahip ise, değeri negatiftir.

Örneğin 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6 eşitsizliğini çözerken, çarpanlara ayırabilmek için bütün

terimleri eşitsizliğin sol tarafına taşırız.

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) ≤ 0

Eşitsizlik (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) çarpımının negatif yada sıfır olması gerektiğini söyler. Bu

nedenle çözüm için her bir çarpanın negatif yafa pozitif olma durumu düzenlenmelidir.

Çarpımın işareti çarpanların işaretine bağlıdır.

DOĞRUSAL OLMAYAN EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZERKEN KILAVUZ


67

1. Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Gerekirse, sıfır olmayan tüm terimlerin

eşitsizlik işaretinin bir tarafında görünmesi için eşitsizliği yeniden yazılır. Eşitsizliğin

sıfır olmayan tarafı kesirli ifade içeriyorsa, bunları ortak bir payda getirilmesi gerekir.

2. Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sıfırdan farklı tarafı çarpanlara ayrılır.

3. Aralık Bulma. Her çarpanın sıfır olduğu değerler belirlenir. Bu sayılar reel sayı

doğrusuna aralıklar yerleştirilir. Bu sayılarla sağlanan aralıklar yazılır.

4. Tablo yada Diyagram Yapma. Her aralıkta her çarpanın işaretlerinin bir tablo veya

diyagramını oluşturmak için test değerlerini kullanılır. Tablonun son satırında, bu

çarpanların çarpımının (veya bölümün) işareti belirlenir.

5. Çözüm. İşaret tablolarının son satırındaki eşitsizlik çözümü belirlenir. Eşitsizliğin

aralıkların bitiş noktalarının bir kısmı veya tamamı tarafından sağlanıp sağlanmadığı

kontrol edilir. (Eşitsizlik ≤ ya da ≥ içeriyorsa bu durum ortaya çıkabilir).

ÖRNEK 3: İkinci Dereceden Eşitsizliklerin Çözümü


𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6

ÇÖZÜM: Yukardaki kurallar takip edilirse;

Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınır.

𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 ≤ −6

𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 ≤ 0

Çarpanlara Ayırma. Eşitsizliğin sol tarafı çarpanlara ayrılır.

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) < 0

Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar x – 2 ve x – 3 dür. Bu çarpanlar sırasıyla x, 2 ve 3 iken

sıfır olur. Şekilde görüldüğü gibi reel sayı doğrusu üç aralığa ayrılırsa

(−∞, 2), (2,3), (3, ∞)

(𝑥𝑥 − 2) 𝑣𝑣𝑒𝑒 (𝑥𝑥 − 3) çarpanları sırasıyla 2 ve 3 de işaret değiştirmektedir.

Tablo yada Diyagram Yapma. Bulunan her aralıkta her bir çarpanın işaretini belirlemek için

test değerlerini kullanılır. Her aralıkta bir sayı seçilir. Seçilen sayı ile x - 2 ve x - 3 çarpanlarının

işaretleri kontrol edilir. (−∞, 2) aralığı için 1 test değeri seçilirse,

x – 2 = 1 – 2 = -1 < 0


68

x – 3 = 1 – 2 = -1 < 0

Her içi çarpanda bu aralıkta negatiftir. Her aralık için tek bir test değerinin kullanılması

yeterlidir.

(2,3), (3, ∞) aralıkları için 𝑥𝑥 = 2 12 ve 𝑥𝑥 = 4 değerleri kullanarak aşağıdaki tablo

oluşturulabilir.

Çözüm. Eğer tablo yada diyagram okunursa (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3), (2,3) aralığında negatif

olmaktadır. (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 3) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi;

{𝑥𝑥| 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3} = [2, 3]

2 ve 3 sınırları eşitsizliği sıfırdan küçük ve eşit yaptığı için dahil edilmesi gerekmektedir.

ÖRNEK 4: Tekrarlı Çarpanlarda Eşitsizlik Çözümü


𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3) < 0

ÇÖZÜM: Sıfırdan farklı bütün terimler tek tarafta ve çarpanlara ayrılmış durumdadır.

Aralık bulma. Sol taraftaki çarpanlar 𝑥𝑥, (𝑥𝑥 − 1)2 𝑣𝑣𝑒𝑒 (𝑥𝑥 − 3) dür. Bu çarpanlar sırasıyla

𝑥𝑥 = 0,1,3 de sıfır olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,

(−∞, 0), (0,1), (1,3), (3, ∞)

Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak

düzenlenir.

x- 2 x - 3

( x- 2) (x - 3)

Aralık

x- 2

x - 3

(x- 2) (x - 3)


69

Çözüm. Tablodan 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3) < 0 eşitsizliğinin x için çözümü (0,1) 𝑦𝑦𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎(1,3)dir.

(0,1) ∪ (1,3)

ÖRNEK 6: Kesirli Eşitsizliklerin Çözümü

Aşağıdaki eşitsizliği çözünüz. 1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 1

ÇÖZÜM:

Terimlerin Tek Bir Tarafa Alınması. Bütün terimler sol tarafa alınıp ortak payda da

basitleştirilir. 1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 1

1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0

1 + 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 −

1 − 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 0

1 + 𝑥𝑥 − 1 + 𝑥𝑥

1 − 𝑥𝑥 ≥ 0

2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥 ≥ 0

Aralık Bulma. Sol taraftaki çarpanlar 2𝑥𝑥 ve 1 − 𝑥𝑥 dir. Bu çarpanlar x 0 ve 1 de sıfır

olmaktadır. Bu sayılar reel sayı doğrusuna aşağıdaki aralıklar yerleştirilirse,

(−∞, 0), (0,1), (1, ∞)

Tablo Yapma. Aşağıdaki diyagram her bir çarpan için her bir aralıkta test noktaları konarak

düzenlenir.

x

(𝑥𝑥 − 1)2

(𝑥𝑥 − 3)

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)2(𝑥𝑥 − 3)


70

Çözüm. Tablodan 2𝑥𝑥1−𝑥𝑥

≥ 0 [0,1) aralığı için geçerlidir. 0 eşitsizliği 1 den büyük ve eşit

yaptığı için sağlamaktadır. Bununla birlikte 1 dahil değildir. Çünkü kesir 1 noktasında tanımlı

değildir. Çözüm aralığı [0,1) dir.

Örnek 5 bize sınır noktalarının orijinal eşitsizliğin çözümü için kontrol edilmesi

gerektiğini göstermektedir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki özellikleri kullanırız.

Özellik 1’i ispat etmek için |𝑥𝑥| < 𝑐𝑐 , x'den 0'a olan uzaklığın c'den küçük olduğunu söylediğini

unutmayın. Aşağıdaki şekilden, x'in -c ve c arasında olması durumunda bunun doğru olduğunu

görebilirsiniz.

2𝑥𝑥

1 − 𝑥𝑥

2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Özellikleri

Eşitsizlik Eşitlik Formu Grafik


71

ÖRNEK 6: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü


|𝑥𝑥 − 5| < 2

ÇÖZÜM 1: |𝑥𝑥 − 5| < 2 eşitsizliği

−2 < 𝑥𝑥 − 5 < 2 eşittir.

3 < 𝑥𝑥 < 7

Çözüm aralığı (3,7) dir.

ÇÖZÜM 2: Geometrik olarak şekilden de görüldüğü gibi Geometrik olarak, çözüm seti, 5'den

2 birim uzakta olan tüm sayılardan oluşur.

Çözüm aralığı (3,7) dir.

ÖRNEK 7: Mutlak Değerli Eşitsizlik Çözümü


|3𝑥𝑥 + 2| ≥ 4

ÇÖZÜM: Özellik 4 ü kullanarak

|3𝑥𝑥 + 2| ≥ 4

3𝑥𝑥 + 2 ≥ 4 yada 3𝑥𝑥 + 2 ≤ −4

3𝑥𝑥 ≥ 2 3𝑥𝑥 ≤ −6

𝑥𝑥 ≥ 23 𝑥𝑥 ≤ −2

Çözüm kümesi

�𝑥𝑥| 𝑥𝑥 ≤ −2 ≤ 𝑦𝑦𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑥𝑥 ≥23

� = (−∞, −2] ∪ �23 , ∞)


72

Eşitsizliklerle Modelleme

Gerçek hayat problemlerini modellemek sıklıkla eşitsizliklere yol açtığından, genellikle bir

niceli diğerinden daha fazla (veya daha az) belirlemeyle ilgileniyoruz.

ÖRNEK 8: Karnaval Biletleri

Bir karnavalın bilet için iki planı vardır.

Plan A: 5 $ giriş ücreti ve her binişe 25 ¢

Plan B: 2 $ giriş ücreti ve her binişe 50 ¢

Plan A için kaç tane binmeniz Plan B'den daha ucuza almanız gerekir?

ÇÖZÜM: Değişkeni Tanımla. Plan A'nın Plan B'den daha ucuz olduğu binişlerin sayısı

soruluyor. Bu nedenle

x = biniş sayısı

Kelimeleri cebire çevirme. Sorudaki bilgiler aşağıdaki şekilde organize edilebilir.

Kelime Cebirsel İfade

Biniş sayısı x

Plan A ücreti 5 + 0.25 x

Plan B ücreti 2 + 0.50 x

Model Kurma.

Plan A ücreti < Plan B ücreti

5 + 0.25𝑥𝑥 < 2 + 0.50𝑥𝑥

Çöz.

3 + 0.25x < 0.50x

3 < 0.25𝑥𝑥

12 < 𝑥𝑥

Sonuç olarak 12'den fazla yolculuk yapmayı planlıyorsanız, Plan A daha ucuzdur.

ÖRNEK 9: Fahrenheit ve Celsius Ölçekleri Arasındaki İlişki

1.8 KOORDİNAT GEOMETRİSİ


73

Koordinat Düzlemi, Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri, İki Değişkenli Denklemlerin Grafikleri,

Kesişimler, Çemberler, Simetri

Koordinat düzlemi, cebir ve geometri arasındaki bağlantıdır. Koordinat düzleminde, cebirsel

denklemlerin grafiklerini çizebiliriz. Grafikler, böylece bize denklemdeki değişkenlerin

arasındaki ilişkiyi "görmemizi" sağlar. Bu bölümde, koordinat düzlemini işleyeceğiz.

Koordinat Düzlemi

Nasıl ki bir doğru üzerindeki noktalar reel sayılarla koordinat doğrusu şeklinde

tanımlanabilirse, bir düzlemdeki noktalar da sıralı sayı çiftleri ile koordinat düzlemi veya

Cartesian düzlem olarak tanımlanabilir. Bunu yapmak için, her doğrunun 0'da kesiştiği iki dik

reel doğru çizeriz. Genellikle, bir doğru sağa doğru pozitif yönlü yataydır ve x-ekseni denir,

diğer çizgi yukarı doğru pozitif yönlü dikeydir ve y-ekseni denir. X-ekseni ve y-ekseninin

kesişim noktası orijin O adını alır ve iki eksen düzlemi dört kadrana (quadrant) böler, Şekil

1'de I, II, III ve IV ile gösterilmiştir. (Koordinat eksenlerinin üzerindeki noktalar herhangi bir

kadrana ait değildir).

ŞEKİL 1 ŞEKİL 2

Koordinat düzlemindeki herhangi bir P noktasının yeri Şekil 1'de gösterildiği gibi bir tek (a,b)

sıralı sayı çifti ile saptanabilir. İlk sayı a'ya, P'nin x-koordinatı denir, ikinci sayı b'ye P'nin y-

koordinatı denir. P'nin koordinatlarını "adresi" olarak düşünebiliriz, çünkü düzlemdeki yerini

belirtirler. Şekil 2'de birkaç nokta koordinatlarıyla gösterilmiştir.

ÖRNEK 1 Koordinat Düzleminde Bölgelerin Grafiğini Çizme

Her kümede verilen bölgeleri tanımlayın ve çizin.


74

ÇÖZÜM

(a) x-koordinatları 0 veya pozitif olan noktalar, Şekil 3(a)'da gösterildiği gibi y-ekseni üzerinde

veya onun sağında yayılır.

(b) y-koordinatı 1 olan tüm noktaların kümesi, Şekil 3(b)'de gösterildiği gibi x-ekseninin bir

birim üzerinde yatay bir doğrudur.

(c) Bölüm 1.7'den yalnızca ve yalnızca −1 < 𝑦𝑦 < 1 olduğunda |𝑦𝑦| > 1 olduğunu hatırlayalım.

Bu nedenle, verilen bölge y-koordinatı -1 ve 1 arasında uzanan düzlemdeki bu noktalardan

oluşur. Böylece, bölge yatay doğru y=1 ve y=-1 arasında (fakat üzerinde değil) uzanan tüm

noktalardan oluşur. Bu doğrular, küme içinde yayılan noktaları değil, bu doğruların üzerindeki

noktaları belirtmek için kesikli çizgiler ile Şekil 3(c)'de gösterilmektedir.

ŞEKİL 3

Uzaklık ve Orta Nokta Formülleri

Şimdi düzlemdeki iki nokta 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ve 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) arasındaki 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝐵𝐵) uzaklığı için bir

formül buluyoruz. Bölüm 1.1'den hatırlayacağımız üzere, sayı doğrusunda a ve b arasındaki

uzaklık 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎| olmaktadır. Şekil 4'te görüyoruz ki, yatay doğru üzerinde 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1)

ve 𝐶𝐶(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦1) noktaları arasındaki uzaklık |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1| olmalıdır ve düşey doğru üzerinde 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)

ve 𝐶𝐶(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦1) arasındaki uzaklık |𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1| olmalıdır.

ŞEKİL 4


75

ABC üçgeni dik üçgen olduğu için, Pisagor Teoremi aşağıdaki ifadeyi verir

UZAKLIK FORMÜLÜ

Düzlemde 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ve 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) noktaları arasındaki uzaklık

ÖRNEK 2 Uzaklık Formülünün Uygulanması

𝑃𝑃(1, −2) veya 𝑄𝑄(8,9) noktalarının hangisi 𝐴𝐴( ,3) noktasına daha yakındır?

ÇÖZÜM Uzaklık formülünden;

Bu, 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐴𝐴) < 𝑑𝑑(𝑄𝑄, 𝐴𝐴) olduğunu gösterir, böylece P, A'ya daha yakındır (Bakınız Şekil

5)

Şimdi de 𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) noktasını 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) noktası ile birleştiren doğru parçasının M orta

noktasının (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) koordinatlarını bulalım. Şekil 6'da APM ve MQB üçgenlerinin eş olduğuna

dikkat edin, çünkü 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑀𝑀) = 𝑑𝑑(𝑀𝑀, 𝐵𝐵) ve yöndeş açıları eşittir.


76

ŞEKİL 6

Bundan 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑀𝑀, 𝑄𝑄) sonucu çıkar, bu nedenle 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥

Bu denklemi x için çözdüğümüzde, 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 dir, böylece 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥22

olur. Benzer

şekilde, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1+𝑦𝑦22

olur.

ORTA NOKTA FORMÜLÜ

𝐴𝐴(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) 'dan 𝐵𝐵(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2)'ye doğru parçasının orta noktası

ÖRNEK 3 Orta Nokta Formülünün Uygulanması

Köşe noktaları 𝑃𝑃(1,2), 𝑄𝑄(4,4), 𝑅𝑅(5,9) ve 𝑆𝑆(2,7) olan dörtgenin paralelkenar olduğunu

iki köşegenin birbirini iki eşit parçaya böldüğünü kanıtlayarak gösterin.

ÇÖZÜM Eğer iki köşegen aynı orta noktaya sahipse, birbirini kesmelidir. PR

köşegeninin orta noktası

ve QS köşegeninin orta noktası

Böylece her köşegen diğerini keser, Şekil 7'de gösterilmektedir.


77

ŞEKİL 7

İki Değişkenli Denklemlerin Grafiği

İki değişkenli denklem, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 1 gibi, iki miktar arasındaki ilişkiyi açıklar. Eğer x ve y için

değerler denklemde yerine konulduğunda denklemi gerçekleştiriyorsa, (x,y) noktası denklemi

sağlar. Örneğin, (3,10) noktası 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 1 denklemini sağlar, çünkü 10=32+1, fakat (1,3)

noktası sağlamaz, çünkü 3 ≠ 12 + 1.

BİR DENKLEMİN GRAFİĞİ

x ve y 'li bir denklemin grafiği, koordinat düzleminde denklemi sağlayan tüm (x,y) noktalarının

kümesidir.

Bir denklemin grafiği bir eğridir, bu nedenle bir denklemin grafiğini çizmek için,

yapabildiğimiz kadar çok noktayı işaretleriz, sonrasında düzgün bir eğri ile bunları birleştiririz.

ÖRNEK 4 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 denkleminin grafiğini çizin.

ÇÖZÜM Öncelikle y için verilen denklemi çözelim

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3

Bu bize aşağıdaki tabloda y-koordinatlarını hesaplamamamıza yardım eder:


78

Tabii ki, grafikte sonsuz sayıda nokta vardır, ve bunların hepsini göstermek mümkün değildir.

Fakat, ne kadar çok nokta işaretlersek, denklem ile verilen grafiğin neye benzediğini o kadar

iyi hayal edebiliriz. Şekil 8'de bulduğumuz noktaları işaretliyoruz; bir doğru üzerinde

yayıldıkları görünmektedir. Böylece, bir doğru ile birleştirilen noktalarla grafiği tamamlarız.

(Bölüm 1.10'da bu denklemin grafiğinin gerçekten bir doğru olduğunu kanıtlıyoruz.)

ŞEKİL 8

ÖRNEK 5 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizmek

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2 denkleminin grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM Denklemi sağlayan noktaların bazıları aşağıdaki tabloda bulunmaktadır. Şekil 9'da

bu noktaları işaretleriz ve düzgün bir eğriyle bunları birleştiririz. Bu şekildeki eğri parabol

olarak adlandırılır.


79

ŞEKİL 9

Parabollerin ayrıntılı bir tartışması ve geometrik özellikleri Bölüm 10'da verilmektedir.

ÖRNEK 6 Mutlak Değer Denkleminin Grafiği

ÇÖZÜM Değerlerin bir tablosunu yapıyoruz:

Şekil 10'da bu noktaları işaretliyoruz ve bunları denklemin grafiğini çizmek için kullanıyoruz.

ŞEKİL 10

Kesişimler

Grafiğin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatları, grafiğin x-kesişimleri olarak adlandırılır

ve grafiğin denkleminde y=0 yazarak elde edilir. Grafiğin =0 yazarak elde edilir. Grafiğin y-


80

eksenini kestiği noktaların y-koordinatları, grafiğin y-kesişimleri olarak adlandırılır ve grafiğin

denkleminde x=0 yazılarak elde edilir.

KESİŞİMLERİN TANIMI Kesişimler Nasıl Bulunduğu Grafikteki yerleri x-kesişimleri: Denklemin grafiğinin x-eksenini kestiği noktaların x-koordinatlarıdır.

y=0 yazılır ve x için çözülür

y-kesişimleri: Denklemin grafiğinin y-eksenini kestiği noktaların y-koordinatlarıdır.

x=0 yazılır ve y için çözülür

ÖRNEK 7 Kesişimleri Bulma

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2 denkleminin grafiğinin x- ve y-kesişimlerini bulunuz.

ÇÖZÜM x-kesişimini bulmak için, y=0 yazarız ve x için çözeriz. Böylece

y=0 yazın

Her iki tarafa 2 ekleyin

Karekökünü alın

x-kesişimleri √2 ve −√2

y-kesişimlerini bulmak için, x=0 yazarız ve y için çözeriz. Böylece

x=0 yazın

y-kesişimi -2'dir.

Bu denklemin grafiği Örnek 5'te çizilmişti. Şekil 11'de x- ve y-kesişimleri gösterilerek tekrar

verilmiştir.


81

ŞEKİL 11

Çemberler

Bir denklemin x ve y içinde grafiğinin nasıl bulunacağını tartışmıştık. Bu problemin tersi

bir grafiğin denklemini bulmaktır, bu da xy-düzleminde verilen bir eğriyi gösteren bir

denklemdir. Böyle bir denklem, diğer noktalarla değil, eğri üzerindeki noktaların

koordinatlarıyla sağlanır. Bu Descartes ve Fermat tarafından formüle edilen analitik

geometrinin temel prensibinin diğer yarısıdır. Eğer geormetrik bir eğti cebirsel denklemlerle

gösterilebilirse, cebir kuralları eğriyi analiz etmek için kullanılabilir fikrine dayanır.

Bu tip problemlerin bir örneği olarak, r yarıçaplı ve merkezi (h,k) olan bir çember

denklemini bulalım. Tanım gereği, çember, C(h,k) merkezinden uzaklığı r olan tüm P(x,y)

noktaların bir kümesidir (bakınız Şekil 12). Böylece yalnızca ve yalnızca d(P,C)=r ise P

çemberin üzerindedir. Uzaklık formülünden;

Her iki tarafın karesi alınır.

Bu istenen denklemdir.


82

ŞEKİL 12

ÇEMBER DENKLEMİ

(h,k) merkezli ve r yarıçaplı bir çemberin denklemi

Buna çemberin denklemi için standart form denir. Eğer çemberin merkezi orijin (0,0)

ise, denklem

ÖRNEK 8 Çemberin Grafiğini Çizme

Her denklemin grafiğini çizin.

ÇÖZÜM

(a) Denklemi 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi orijinde yarıçapı 5

olan bir çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 13'te gösterilmektedir.

(b) Denklemi (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 = 52 olarak yeniden yazdığımızda, merkezi (2,-1)

noktasında, yarıçapı 5 olan çember denklemi olduğunu görürüz. Grafiği Şekil 14'te

gösterilmektedir.


83

ŞEKİL 13 ŞEKİL 14

ÖRNEK 9 Bir Çemberin Denklemini Bulmak

(a) Yarıçapı 3 ve merkezi (2,-5) olan bir çemberin denklemini bulun.

(b) Çapının uç noktaları P(1,8) ve Q(5,-6) olan çemberin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

(a) r=3, h=2 ve k=-5 olan çember denklemini kullandığımızda, aşağıdaki ifadeyi elde

ederiz

(𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 + 5)2 = 9

Grafik Şekil 15'te gösterilmektedir.

ŞEKİL 15

(b) Öncelikle merkezin PQ çapının orta noktası olduğunu görüyoruz, bu nedenle Orta

Nokta Formülünden, merkez;

�1 + 5

2 ,8 − 6

2 � = (3,1)

Yarıçap r, P'den merkeze olan uzaklıktır, böylece Uzaklık Formülünü kullanarak,

𝑒𝑒2 = (3 − 1)2 + (1 − 8)2 = 22 + (−7)2 = 53

Bu nedenle, çemberin denklemi

(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 53

Grafik Şekil 16'da gösterilmektedir.


84

ŞEKİL 16

Önceki örnekteki çember denklemini genişletelim.

(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 53 Standart form

𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 + 1 = 53 Kareleri açın

𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2 − 2𝑦𝑦 = 43 Genişletilmiş formu elde etmek için 10 çıkarın

Çemberin denkleminin genişletilmiş şekilde verildiğini varsayıyoruz. Merkezini ve

yarıçapını bulmak için, standart formdaki denkleme dönmeliyiz. Bu demektir ki önceki

hesaplamadaki adımları tersine çevirmeliyiz ve bunu mükemmel kare haline getirmek için 𝑥𝑥2 −

6𝑥𝑥 gibi bir ifadeyi eklemeyi bilmemiz gerekiyor. Yani kareye tamamlamamız gerekiyor,

sonraki örnekteki gibi.

Kareye tamamlama cebirdeki bir çok konuda kullanılmaktadır. Bölüm 1.5'te kuadratik

denklemleri çözmek için kareye tamamlamayı kullandık.

ÖRNEK 10 Bir Çember Denklemini Tanımlamak

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 7 = 0 denkleminin bir çember belirttiğini göster,n ve bu

çemberin merkezini ve yarıçapını bulun.

ÇÖZÜM ncelikle x-terimleri ve y-terimlerini gruplarız. Sonra her grup içinde kareye

tamamlarız. Bu, 𝑥𝑥2 + +2𝑥𝑥 için (12

. 2)2 = 1 ekleyerek kareye tamamlarız ve 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 için

[12

. (−6)]2 = 9 ekleyerek kareye tamamlarız, demektir.

Terimleri gruplayın

Her iki tarafa 1 ve 9 ekleyerek

kareye tamamlayın.

Çarpanlara ayırın ve basitleştirin.


85

Eşitliği sağlamak için her iki tarafa aynı sayıları eklemeliyiz.

Bu denklemi çemberin standart denklemiyle karşılaştırdığımızda görüyoruz ki h=-1,

k=3 ve r=√3, böylece verilen denklem merkezi (-1,3) ve yarıçapı √3 olan çemberi gösterir.

Simetri

Şekil 17 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2'nin grafiğini göstermektedir. Grafiğin y-ekseninin solunda kalan

kısmının y-ekseninin sağında kalan kısmının yansıması olduğuna dikkat edin. Buradan

çıkarılacak sonuç, (x,y) noktası ve (-x,y) grafiğin üzerindeyse ve bu noktalar birbirinin y-

eksenindeki yansımalarıdır. Bu durumda, grafik y-eksenine göre simetriktir deriz. Benzer

şekilde, (x,y) noktası ve (x,-y) grafiğin üzerindeyse, grafik x-eksenine göre simetriktir deriz.

(x,y) ve (-x,-y) grafiğin üzerindeyse, grafik orijine göre simetriktir.

ŞEKİL 17

SİMETRİNİN TANIMI Simetri Türü Simetrinin Nasıl

Test Edildiği Grafiğin neye benzediği (bu bölümdeki şekiller)

Geometrik anlamı

x-eksenine göre simetri

y,--y ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

x-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez

y-eksenine göre simetri

x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

y-ekseninde yansıtıldığında grafik değişmez


86

Orijine göre simetri

y,--y ile ve x,-x ile yer değiştirdiğinde denklem değişmez

Orijinde 180𝑜𝑜 döndürüldüğünde grafik değişmez.

Bu bölümde geri kalan örnekler denklemlerin grafiğini çizerken simetrinin bize nasıl

yardım ettiğini gösterir.

ÖRNEK 11 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin

ÇÖZÜM Eğer 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denkleminde -y, y ile yer değiştirirse,

𝑥𝑥 = (−𝑦𝑦)2 y'yi -y ile yer değiştirin.

𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 Basitleştirin

ve böylece denklem değiştirilmez. Bu nedenle, grafik x-eksenine göre simetriktir. Fakat

x'i -x ile değiştirmek −𝑥𝑥 = 𝑦𝑦2 denklemini verir, bu orijinal denklem ile aynı değildir, bu

nedenle grafik y-eksenine göre simetrik değildir.

Şekil 18'de gösterildiği gibi, öncelikle noktaları y>0 için işaretleyerek ve sonra x-

ekseninde grafiği yansıtarak, grafiği çizmek için x-eksenine göre simetriyi kullanıyoruz.

ŞEKİL 18

ÖRNEK 12 Grafik Çizmek için Simetrinin Kullanılması

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥 denklemini simetri için test edin ve grafiğini çizin.


87

ÇÖZÜM Eğer denklemde x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirirsek, aşağıdaki ifadeleri elde

ederiz

−𝑦𝑦 = (−𝑥𝑥)3 − 9(−𝑥𝑥) x'i -x ile ve y'yi -y ile değiştirin

−𝑦𝑦 = −𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥 Basitleştirin

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥 -1 ile Çarpın

ve böylece denklem değiştirilmez. Bu, grafik orijine göre simetriktir demektir.

Öncelikle x>0 için noktaları işaretleyerek çizeriz, sonra orijine göre simetriyi kullanırız (bakınız

Şekil 19).

ŞEKİL 19


88

1.10 Doğrular

Bu bölümde bir koordinat düzleminde bulunan düz doğruların denklemlerini bulacağız. Denklem

doğrunun nasıl bir eğim gösterdiğine göre bağlı olacağı için öncelikle doğrunun doğrunun eğimi

kavramını ele alacağız.

Bir Doğrunun Eğimi

Öncelikle bir doğrunun dikliğini ölçmek için veya soldan sağa gidildiğinde ne kadar hızlı yükseldiğini ve

alçaldığını gösteren bir yol bulmalıyız. Sağa giderken ki hareket mesafesine “yatay gidiş”, buna karşılık

gelen yükseliş veya düşüş ise “yükselti” olarak adlandırılacaktır. Bir doğrunun eğimi yatay gidişin

yükselişe oranı ile hesaplanır.

Yüksellti

EĞİM=

Yatay gidiş

Şekil 1 bize eğimin önemli olduğu durumları göstermektedir. Bir çatının veya merdivenlerin açısı için

veya yol eğimi için meyil terimini kullanılır.

Eğer bir doğru koordinat düzlemi üzerinde yer alıyorsa doğru üzerindeki her hangi iki nokta arasındaki

“yatay gidiş” x koordinatı boyunca hareketi, “ yükselti” ise y koordinatı üzerindeki hareketi ifade eder.

(Bknz şekil2) Bu da bize aşağıdaki eğim tanımını verir.

Eğim Eğim Eğim


89

Doğrunun Eğimi:

ve de noktalarından geçen düşey olmayan bir doğrunun eğimi

olur

Düşey doğrunun eğimi tanımlanmamıştır.

Eğim, doğru üzerindeki hangi iki noktanın seçildiğinden bağımsızdır. Bunun doğru olduğu şekil 3 teki

benzer üçgenlerden anlaşılabilir.

Şekil 4 eğimleri ile etiketlenmiş farklı doğruları göstermektedir. Pozitif eğimli olanlar sağa gittikçe yukarı

gitme eğilimindedir, negatif olanlar ise sağa gidildikçe aşağı hareket etmektedir. En dik doğrular eğimi

mutlak değerce en büyük doğrulardır, yatay doğruların eğimi sıfır olur.

Eğim

Yükselti

Y koordinatındaki

Değişim (pozitif)

Yükselti

Y koordinatındaki

Değişim (negatif)

Yükselti

Yatay Gidiş


90

Şekil 4 Farklı eğimli doğrular.

Örnek 1

İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulmak

ve noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun.

Çözüm:

Herhangi iki nokta tek bir doğru tanımlayacağından dolayı, bu iki noktadan tek bir doğru geçer.

Eğimin tanımından

bulunur.

Bu şu demektir; sağa 3 birim ilerlediğimizde doğru 2 birim yükselir. Doğru şekil 5 te çizilmiştir.


91

Doğru Denkleminin Nokta Eğim Formu

Şimdi verilen bir noktasından geçen ve eğimi m olan bir noktanın eğimini bulmaya

çalışalım. olan bir noktası , ancak ve ancak P1 ve den geçen doğrunun eğimi m e

eşitse bu doğru üzerindedir. (Şekil6) Böylece

Bu denklem formunda da yazılabilir. Denklem ancak ve

olduğunda sağlanır. Bu yüzden verilen doğrunun denklemine eşittir.

Nokta Eğim Formu ile Doğru Denklemi:

noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi :

olur

Örnek 2

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denkleminin bulunması

a) (1,-3) noktasından geçen ve eğimş -1/2 olan doğrunun denklemini bulun.

b) Doğruyu çizin

Çözüm

a) ve iken , nokta eğim formu kullanılarak


92

bulunur.

b) Eğimin -1/2 olması sağa iki birim ilerlediğimizde doğrunun düşeyde 1 birim aşağı düşmesi anlamına

gelir.

Buna bağlı olarak şekil 7 yi çizebiliriz.

Örnek 3

İki noktası bilinen doğrunun denkleminin bulunması

(-1,2) (3,-4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun

Doğrunun eğimi

olur

Nokta eğim formu kullanılarak ve de


93

Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu

Varsayalım dikey olmayan bir doğrunun eğimi m ve de y-kesim noktası b olsun (Şekil 8). Bu doğrunun

y y eksenini (0,b) noktasında kestiğini gösterir, böylece doğrunun eğim kesim formu:

olur

Bu da daha basit olarak yazılabilir. Buna da doğrunun denkleminin eğim-kesim

formu denir.

Doğru Denkleminin Eğim-Kesim Formu:

y-kesimi b ve eğimi m olan bir doğrunun eğimi

Örnek 4

Eğim- kesim formundaki doğrular

a) Eğimi 3, y-kesimi -2 olan doğrunun denklemini bulun

b) doğrusunun eğimini ve y kesimini bulun

Çözüm

a) m=3 ve b=-1 olduğundan eğim kesim formu ile

yazılır

b) Denklemi önce formunda yazarız.

Doğru denkleminin eğim kesim formundan , eğimin m=2/3 ve y-kesiminin b=1/3 olduğunu görürüz.


94

Düşey ve Yatay Doğrular

Eğer bir doğru yatay ise eğimi m=0 dır ve dolayısıyla denklemi y=b dir , burada b ise y- kesimidir. (Şekil

9)

Düşey doğrunun eğim, yoktur ancak denklemini x=a şeklinde yazabiliriz, burada a x-kesiminidir, çünkü

doğru üzerindeki bütün noktaların x koordinatı a dır.

Yatay ve Düşey Doğrular:

(a,b) noktasından geçen düşey doğrunun denklemi x=a dır.

(a,b) noktasından geçen yatay doğrunun denklemi x=b dir

Örnek

Yatay ve düşey doğrular

a) (3,5) ten geçen düşey doğrunun denklemi x=3 tür

b) x=3 denkleminin grafiği x kesimi 3 olan bir düşey doğrudur.

c) (8,-2) ten geçen yatay doğrunun denklemi y=-2 dir

d) y=-2 denkleminin grafiği , y kesiminin -2 olduğu yatay doğrudur. (Şekil 10)


95

Bir Doğrunun Genel Denklemi

Bir doğrusal denklem

Formundaki bir denklemdir. Burada A,B,C sabitlerdir ve A ve B nin her ikisi aynı anda sıfır olmamalıdır.

Bir doğrun denklemi “doğrusal bir denklemdir”

- Düşey olmayan bir doğrunun denklemi y=mx+b veya –mx+y-b=0 şeklindedir . Bu da A= -m ,

B=1 , C=- b olan bir doğrusal denklemdir.

- Bir düşey doğrunun denklemi x=a veya x-a =0 dır. Bu da A=1 , B=0 , C=-a olan doğrusal bir

denklemdir.

- Doğrusal bir denklemin grafiği bir doğrudur.

Bu da bir doğru denkleminin eğim-kesim formudur. Burada ve

- Eğer B=0 ise denklem

veya olur ki bu da bir düşey doğrudur.

Böylece,

Doğrunun genel Denklemi:


96

Her doğru doğru denkleminin grafiği :

olur . (A ve B nin her ikisi birden sıfır olmamalı)

Örnek 6

Doğrusal bir denklemin grafiğinin çizilmesi

denklemininin grafiğini çiziniz.

Çözüm 1

Denklem doğrusal olduğundan dolayı grafiği de doğru şeklindedir. Grafiği çizmek için doğru üzerinde

iki nokta bulmak yeterlidir. Kesim noktaları bulunması en kolay noktalardır.

x-kesimi y=0 yazılarak olur ve x=6 olur.

y-kesimi x=0 yazılarak olur ve y=-4 olur.

Bu noktalar ile şekil 11 deki grafiği çizeriz.

Çözüm 2

Denklemi eğim-kesim formunda

Bu denklem formundadır, böylece eğim ve y kesimi de b=-4 olur.

Grafiği çizmek için y kes,m noktasını işaretler ve gösterildiği gibi 3 birim sağa 2 birim yukarı giderek

grafiği şekil 12 deki gibi çizeriz.


97

Paralel ve Dik Doğrular

Eğim bir doğrunun dikliğini ölçtüğünden, paralel doğruların aynı eğime sahip olduklarını söylemek

makul olacaktır.

Paralel Doğrular:

İki tane düşey olmayan doğru ancak ve ancak eğimleri birbirine eşitse paraleldir.

İspat:

Şekil 13 teki ve doğruları ve eğimlerine sahiptir. Eğer doğrular paralel ise sağdaki

ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

Eğimler eşitse üçgenler benzerdir. Böylece ve doğrular paraleldir.


98

Örnek 7

Verilen bir doğruya paralel bir doğrunun denklemini bulmak

(5,2) noktasından geçen ve doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini

bulun.

Çözüm

Önce verilen doğrunun denklemini eğim kesim formunda yazalım

Doğrunun eğimi olur. Böylelikle istenen doğrunun eğiminin de olacağı

aşikardır. Doğru denkleminin nokta eğim formundan

Böylece istenen doğrunun denklemi olur.

Dik kesen doğrular için şart paralel doğrular için olan kadar açık değildir.


99

Birbirine dik doğrular

Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru ancak ve ancak olduğunda yani

Eğimlerin birbirinin tersinin eksilisi yani

olduğunda birbirlerine diktir denir.

Örnek 8

Birbirine dik doğrular

ve noktalarının bir dik üçgenin köşeleri olduğunu gösterin.

Çözüm

PR ve QR doğrularının eğimleri sırası ile

olur

olduğundan bu doğrular birbirine diktir. Böylece PQR şekil 15 deki gibi dik üçgendir.


100

Örnek 9

Verili bir doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmak

doğrusuna dik olan ve orijinden geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm

Örnek 7 de doğrusunun eğiminin olduğunu gördük . Bu durumda

buna dik doğrunun eğimi bu doğrunun tersinin negatifi yani olur. İstenen doğru (0,0) dan geçtiğine

göre nokta eğim formuna göre doğrunun denklemi

olur.

dakika

Doğrusal Denklemlerle Modelleme: Değişimin oranı olarak Modelleme

İki büyüklük arasındaki ilişkiyi modellemek için bir doğru kullanıldığında, bu doğrunun eğimi

büyüklüklerden birinin diğerine göre değişim oranını göstermektedir. Örneğin şekil 17 a daki grafik

doldurulan bir tanktaki gaz miktarını göstermektedir. Belirtilen noktalar arasındaki eğim

Doğrunun eğimi tankın dolum oranını verir ki bu dakikada 2 galondur. Şekil 17 b deki grafiğe göre ise

tank dakikada 0,03 galon oranıyla boşalmaktadır, eğim -0,03 tür.

dakika

galon

Gal/ dakika


101

Rate of Change

Değişim oranı olarak eğim

Bir nehir üzerinde rezervuar oluşturmak için bir baraj inşa edilmektedir. Rezervuardaki su miktarı w şu

denklem ile verilmiştir.

Burada t barajın kurulmasından sonra kaç yıl geçtiği w ise barajdaki su seviyesinin feet cinsinden

değerini göstermektedir.

a) Bu denklemin grafiğini çizin

b) Bu doğrunun eğimi ve w kesimi ne ifade etmektedir.

Çözüm


102

a) Bu denklem bir doğrudur ve bu yüzden grafik te doğru şeklinde olmalıdır. İki nokta bir

doğru belirleyeceğinden buna göre doğru çizilir.

t=0 iken olduğundan (0,28) doğru üzerindedir.

t=2 iken olduğundan (2,37) doğru üzerindedir.

Bu noktalarca oluşturulan doğru şekil 18 de verilmiştir.

b) Eğim su seviyesinin zamana göre değişim oranını gösterir.

Buna göre su seviyesi yılda 4,5 feet yükselir. w-kesimi 28 dir ve bu t=0 da olur , bu da baraj inşa

edildiğindeki su seviyesini gösterir.

Örnek 12

Sıcaklık ile yükseklik arasındaki doğrusal ilişki

a) Kuruyan hava yükseldikçe genleşir ve soğur. Eğer zeminde sıcaklık 200C ve de 1 km yükseklikte

sıcaklık 100C ise T sıcaklığı ile (0C) h yüksekliği arasındaki (km) ilişkiyi ifade edin. (İlişkinin

doğrusal olduğunu varsyın)

b) Denklemin grafiğini çizin , eğim neyi temsil etmektedir?

c) 2,5 km yüksekliğinde sıcaklık ne olur.

Çözüm

a)

T ve h arasındaki ilişkinin doğrusal olduğu varsayımından yola çıkarsak, denklemin formunun

şeklinde olması gerekir.

Burada m ve b katsayıdır. h=0 olduğunda T=20 olmaktadır. Bu yüzden

böylece

h=1 iken T=10 olur. Böylece


103

İstenen ifade

şeklindedir.

b) Grafik şekil 19 da çizilmiştir. Eğim ve bu ifade yerden yüksekliğe göre

sıcaklığın değişim oranını gösterir. Buna göre her bir kilometre yükselmek sıcaklığı 10 0C

düşürür.

c) h=2,5 km olduğunda sıcaklık

olur.


104

1.11 Değişimleri Kullanarak Modeller Oluşturma

Bilim adamları, gerçek dünya olayı için matematiksel bir model hakkında konuştuklarında,

genellikle iki nicelik arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir denklemi ifade eder. Örneğin, model bir

hayvan türünün nüfusunun zamanla nasıl değiştiğini veya sıcaklığı değiştikçe bir gazın

basıncının nasıl değiştiğini tarif edebilir. Bu bölümde varyasyon(değişim) adı verilen bir çeşit

modelleme çalışıyoruz.

İki tip matematiksel model çok sık ortaya çıkar ve özel isimler verilir. İlkine doğrudan değişme

denir ve bir nicelik diğerinin sabit bir katı olduğunda ortaya çıkar, bu bağımlılığı modellemek

için 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 biçiminde bir denklem kullanırız.

Eğer 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 nicelikleri arasında;

𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘 ≠ 0 bir sabit

denklemi varsa 𝑦𝑦 doğrudan 𝑥𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ile doğru orantılıdır ya da basitçe

orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine ise orantı sabiti denir.


105

𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 biçiminde bir denklem grafiğinin 𝑚𝑚 eğimi 𝑏𝑏 ise keseni

olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 doğrusu, doğru orantılı

değişimi tanımlar ve 𝑘𝑘 eğimi 𝑦𝑦 ise ekseni kestiği noktayı gösterir

(bkz.Şekil-1).

Örnek 1: Bir gök gürültülü fırtınada gök gürültüsü duymadan

önce yıldırım görürsünüz çünkü ışık sesden daha hızlı

ilerlemektedir. Sizinle fırtına arasındaki mesafe doğrudan

yıldırım ile gök gürültüsünün arasındaki zaman aralığı olarak

değişir.

a) 5400 ft.'lik bir fırtınadan gelen yıldırımın size ulaşması için 5 saniye sürdüğünü varsayalım.

Oransallık sabitini belirleyin ve varyasyon denklemini yazın.

b) Bu denklemin grafiğini çizin. Orantı sabiti neyi temsil eder?

c) Şimşek ile yıldırım arasındaki zaman aralığı 8 saniyeyse, fırtına ne kadar uzaktadır?

Çözüm: a) 𝑑𝑑 sizin fırtınadan uzaklığını ve 𝑡𝑡 zaman aralığını göstersin Böylece:

𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑡𝑡

olur. Burada 𝑘𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için 𝑡𝑡 = 5 iken 𝑑𝑑 = 5400 olduğu kullanılırsa;

Böylece 𝑑𝑑 = 1080𝑡𝑡 denklemi elde edilmiş olur.

b) 𝑑𝑑 = 1080𝑡𝑡 denkleminin grafiği şekil-2 de gösterilmiştir. Doğru

orijinden geçmektedir. 1080 eğimine sahiptir. 𝑘𝑘 = 1080 sabiti

sesin yaklaşık hızıdır(ft/s cinsinden).

c) 𝑡𝑡 = 8 olduğunda

𝑑𝑑 = 1080.8 = 8640


106

olur. Fırtına 8640 ft uzaklıktadır.

Matematiksel modellemede sıklıkla kullanılan bir başka denklem 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥⁄ ’dir. Burada 𝑘𝑘 bir sabittir. Eğer 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 nicelikleri arasında;

𝑦𝑦 =𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘 ≠ 0

denklemi varsa 𝑦𝑦 ters olarak 𝑥𝑥 ile değişmektedir veya 𝑦𝑦, 𝑥𝑥 ile ters orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine

ise orantı sabiti denir. Şekil- 3 de 𝑥𝑥 > 0 ve 𝑘𝑘 > 0 için ters değişim grafiği gösterilmiştir.

Örnek 2: Ters Değişme

Boyle Yasası, bir gaz örneğinin sabit bir sıcaklıkta sıkıştırılmasında gazın basıncının gazın

hacmiyle ters orantılı olduğunu belirtmektedir.

a) 25 ° C'de 0.106 𝑚𝑚3 'lük bir hava örnekleminin basıncının 50 kPa olduğunu varsayalım.

Orantı sabitini bulun ve tersini ifade eden denklemi yazın

b) Örnek 0.3 𝑚𝑚3' lük bir hacme kadar genişlerse, yeni basıncı bulun.

Çözüm: a) 𝑃𝑃 örnek gaz numunesinin basıncı olsun ve 𝑉𝑉 ise hacmi olsun. Sonra, Boyle yasası

tanımından;

𝑃𝑃 =𝑘𝑘𝑉𝑉

denklemi oluşur. 𝑘𝑘 sabittir bu sabiti bulmak için gerçek değerler 𝑃𝑃 = 50, 𝑉𝑉 = 0.106 orijinal

denklemde yerine konulursa orijinal denklem;


107

𝑃𝑃 =5.3𝑉𝑉

olarak elde edilir.

b) V=0.3 olduğunda yeni basınç;

𝑃𝑃 =5.30.3 ≈ 17.7

olur.

Fiziksel bir nicelik çoğunlukla birden fazla başka niceliğe bağlıdır. Bir nicelik iki veya daha

fazla diğer nicelikle orantılıysa, bu ilişki ortak değişim olarak adlandırırız.

Eğer 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑧𝑧 nicelikleri arasında;

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝑘𝑘 ≠ 0

denklemi varsa 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 ile ortak değişmektedir veya 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑦𝑦 ile orantılıdır denir. 𝑘𝑘 sabitine

ise orantı sabiti denir.

Bilimlerde, üç veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiler yaygındır ve tartıştığımız farklı

oransallıkların kombinasyonu mümkündür. Örneğin;

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝑘𝑘 ≠ 0

Biçiminde ise 𝑧𝑧, 𝑥𝑥 ile doğru orantılı ve 𝑦𝑦 ile ters orantılıdır denir.

Örnek 3: Newton'un Yerçekimi Kanunu

Newton'un Yerçekimi Kanunu, 𝑚𝑚1ve 𝑚𝑚2 kütleli nesnelerin, kütleleri ile ortak olarak orantılı

olan ve nesneler arasındaki mesafenin (𝑒𝑒) karesi ile ters orantılı olan bir 𝐹𝐹 kuvveti ile

birbirlerini çektiğini söylüyor. Newton'un Yerçekimi Yasasını bir denklem olarak ifade ediniz.


108

Çözüm: Genel yer çekimi sabiti G ile gösterilsin. Kanunun

tanımından ters ve doğru oransallıklar düşünülürse

denklem;

𝐹𝐹 = 𝐺𝐺𝑚𝑚1𝑚𝑚2

𝑒𝑒2

olarak yazılır. Eğer 𝑚𝑚1ve 𝑚𝑚2 kütleleri sabitlenirse 𝐹𝐹 =

𝐶𝐶 𝑒𝑒2⁄ olur.(𝐶𝐶 = 𝐺𝐺. 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2) olur. Şekil-4’te 𝐶𝐶 = 1 𝑣𝑣𝑒𝑒 𝑒𝑒 > 0

için bu denklemin grafiği gösterilmiştir. Yerçekimi etkisinin

artan mesafe ile nasıl azaldığını gözlemleyin.

1.1reel sayılarkisi.deu.edu.tr/ozlem.kiren/matematik 1/bölüm 1(1).pdfreel sayılar sıralamaya...

Documents