2º Teste de Mecânica e Ondas MEEC

24 de Maio de 2013

Duração do Teste: 1h 30m

1. Numa máquina “flipper”, uma mola lança uma pequena bola B

ôca e de superfície homogénea. Na figura está representado o sistema de lançamento, em que a mola tem constante de elasticidade K=15 N/m e comprimento de equilíbrio leq=0,5 m. A mola está inicialmente comprimida em 0,2 m e está ligada a um objecto A de massa mA=0,02 kg num plano horizontal. Encostada ao objecto A, está a bola B de massa mB=0,1 kg e raio rB=0,01 m (e momento de inércia I=(2mBrB

2/3)). Despreze o atrito do objecto A com o solo e com a bola B encostada, e considere que o atrito entre o plano e a bola B é suficiente para impor a esta a condição de rolar sem deslizar, desde o início do seu movimento, quando a mola é libertada.

1.a) Calcule a velocidade do centro de massa e a velocidade de rotação em torno do centro de massa da bola B, quando esta se separa do objecto A ligado à mola. (se não resolver esta alínea, use nas próxima alíneas vB = 1,5 m/s) [R: Como o atrito entre a bola B e o solo é suficiente para esta rolar sem deslizar, a velocidade no ponto de contacto é nula (a bola não derrapa) e o atrito não dissipa energia; por outro lado como não há atrito entre o objeto A e o solo, podemos então concluir que a energia mecânica se conserva em todo o processo. A bola B vai libertar-se do bloco A quando passam no ponto de equilíbrio da mola, ambos com velocidade v0, pois a mola vai começar a travar o movimento do bloco A, mas não da bola B, pois esta não está agarrada ao bloco. No ponto de equilíbrio da mola, esta não tem energia potencial, portanto a energia potencial inicial da mola converte-se na energia cinética do bloco A, energia cinética da bola B, e energia cinética de rotação da bola B: EPi = ECA + ECB + ECRB ó (1/2)K ∆x2 = (1/2)15x0,22 = 0,3 J = (1/2)mA v0

2+(1/2)mBv02+(1/2)IwB

2; como a bola B rola sem deslizar, temos que vB = wrB ó w=vB/rB e no momento em que se separam temos 0,3 = (1/2)( mA + mB + ( I/rB

2) ) v02 ó v0 = [ 0,3x2/(0,02+0,1+(2/3)0,1)]1/2 = 1,793 m/s, e w =

vB/rB = 179,3 rad/s. ] 1.b) Calcule o comprimento máximo atingido pela mola.

[R: Podemos utilizar outra vez a conservação da energia, mas só para a energia cinética do bloco A (o bloco B está desligado da mola e do bloco A). O comprimento máximo da mola corresponde à energia potencial necessária para anular a energia cinética do bloco A: EP = (1/2)mAv0

2 = (1/2)K X2MAX

ó XMAX = v0 (mA/K)1/2 = 0,0655 m.] 1.c) A bola B, depois de percorrer 0,2 m, começa a subir um

plano com inclinação de 10º com o solo. Calcule a altura máxima atingida pela bola B e o espaço percorrido no plano inclinado. [R: Como a energia se conserva, a bola irá subir até converter toda a energia cinética (de movimento e de rotação) em energia potencial: mBgh = (1/2)mBv0

2+(1/2)IwB2 ou mBgh =

(1/2)mB(1+2/3)v02 = 0,268 J ó h = 0,273 m ó ∆s = h/sen(10º) = 1,575 m. Note-se que

aquilo que a bola andou, desde que descolou do bloco A até começar a subir o plano inclinado, é irrelevante para esta alínea.]

1.d) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito desde que a bola B se separou do objecto A ligado à mola até a bola B parar no plano inclinado. [R: Como a bola rola sem deslizar, no ponto de contacto não há movimento relativo, logo o atrito não dissipa energia e não realiza trabalho.]

1.e) Se o plano horizontal não tivesse atrito (e existisse atrito apenas no plano inclinado), o trabalho da força de atrito seria menor, o mesmo, ou maior do que o calculado na alínea anterior? Justifique sumariamente a sua resposta. [Se o plano horizontal não tivesse atrito, a bola não iria rolar – iria apenas deslizar com

[2.0]

[10.0]

B

A B

[2.0]

[2.0]

[2.0]

[2.0]

velocidade constante, e iria chegar ao plano inclinado com velocidade do centro de massa mas rotação. Então, o atrito do plano inclinado iria travar o centro de massa da bola para acelerar a rotação em torno do centro de massa, até atingir a condição de rolamento – rolar sem deslizar, v=wr –, dissipando um bocadinho de energia neste processo. Assim, o trabalho da força de atrito seria menor (porque negativo) do que na alínea anterior em que é nulo.]

2. Suponha que explodiu uma estrela da galáxia Andrómeda, situada a 2x107 anos-luz da

Terra [Nota: para vir realmente de Andrómeda deveria ser 2x106], dando origem a uma supernova, e que, nessa explosão, foram criados protões com uma velocidade quase igual à velocidade da luz no vácuo (factor de Lorentz γ=105; se necessário saiba que

1− x 1− 1

2x para valores pequenos de x ).

2.a) Represente num diagrama de espaço-tempo de um observador na Terra os acontecimentos correspondentes à explosão da estrela e à chegada de um desses protões à Terra bem como a trajetória desse protão nesse intervalo de tempo. [R: Consideremos no referencial da Terra a posição da Terra na origem dos eixos (ct;x) e ct=0 o instante em que a estrela explodiu. Então a estrela explode no ponto (ct0;x0)=(0;2x107 anos-luz). O protão viaja para a Terra com velocidade v= β c, e β pode ser obtido a partir de γ : β=[1–(1/γ )2]1/2 = [1–10–10]1/2 ≈ (1–0,5x10–10) = 0,99999999995, ou v=0,99999999995 c. Assim, o protão chegará à Terra em ≈ 2 x107 anos (valor exacto mais próximo de 2 x107 anos menos 8h45min57,6s), no acontecimento A em (ctA;xA) = (2x107anos.c; 0). A representação no diagrama é:

] 2.b) Calcule no referencial próprio do protão o tempo entre a explosão e a chegada à Terra

do protão, e represente num diagrama de espaço-tempo de um observador nesse referencial os acontecimentos correspondentes à explosão da estrela e à chegada desse protão à Terra, bem como a trajetória da Terra nesse intervalo de tempo. [R: Note-se que a chegada à Terra do protão é, no referencial do protão, a chegada da Terra ao protão. Assim, como o protão não se desloca no seu referencial, temos que no seu referencial o tempo é o tempo mínimo, ou tempo próprio, que também se pode obter de ct’ = cτP = c∆tT /γ = 200 anos.c, sendo a trajetória da Terra representada no diagrama espaço-tempo pela linha fina e a do protão representada pela linha cheia com uma seta:

]

[2.0]

[10.0]

[2.0]

2.c) Calcule a massa da estrela que, na explosão, se teve que converter na energia de cada um desses protões, no referencial da Terra. [R: A energia dum protão com fator de Lorentz γ =105 é EP =γ mPc2 = 105x1,67x10–27 c2; para obter esta energia a partir de conversão de massa é necessário converter uma massa M=EP/c2 = 105x1,67x10–27 = 1,67x10–22 kg.]

2.d) Sabendo que a frequência de um fotão da radiação cósmica de fundo é

f=E/h ≈ 10-3 eV / h = 2,4x1011 Hz, calcule a frequência e a energia de um fotão destes que colida frontalmente com o protão, no referencial do protão. [R: Um fotão da radiação cósmica de fundo tem esta frequência para um observador na Terra, que se desloca na direção do protão com velocidade = 0,99999999995 c. Assim, a frequência detectada por um observador no referencial do protão é fP = f [(c+0,99999999995c)/( c–0,99999999995c)]1/2 = 2x105 x 2,4x1011 Hz = 4,8x1016 Hz e a sua energia é dada por Ef = hfP = 198,5 eV. ]

2.e) Na colisão frontal de um destes protões com um fotão da radiação cósmica de fundo,

na situação da alínea anterior, determine a energia no centro de massa do sistema protão-fotão e verifique se é possível produzir um protão e um mesão Pi nessa colisão. (Sugestão: pense na relação entre a energia do centro de massas e o módulo do quadri-vector Energia-Momento). [R: Para produzir um protão e um mesão Pi na colisão, a massa invariante tem de ser igual ou superior aos valores de massa invariante do protão e do mesão Pi: mINV_MIN = mP + mπ = 0,938 GeV/c2 + 0,140 GeV/c2 =1,078 GeV/c2. A massa invariante pode ser calculada no referencial da Terra como sendo MINV.c = [((EP+Eγ )/c)2 –(PP + Pγ )2 ]1/2 = [(105x0,938x109 eV+10–3 eV)2/c2 – (105x0,938x109 eV–10–3 eV)2 ]1/2, se considerarmos PP = [EP

2/c2 –mP2

c2]1/2 =[1010 mP2c2 –mP

2c2 ]1/2 ≈ EP, e notarmos que para um fotão, Eγ = cPγ ó Eγ = 10–3 eV = cPγ . Temos então MINV c2 =[(105x0,938x109 eV+10–3 eV)2 – (105x0,938x109 eV–10–3 eV)2 ]1/2 ou MINV c2 = [ 1010x0,9382x1018 eV2 + 10–6 eV2 + 2x0,938x1014x10–3eV2 – 1010x0,9382x1018 eV2 – 10–6 eV2 + 2x0,938x1014x10–3eV2]1/2 = = 2x9,38x105 eV, muito inferior ao valor 1,078x109 eV correspondente ao mínimo mINV_MIN.c2, portanto não é possível produzir um protão e um mesão Pi nessa colisão. ] c =299 792 458 m/s ~ 3 × 108 m/s; mp = 1,67 × 10-27 kg = 938 MeV/c2; mPi=140 MeV/c2

[2.0]

[2.0]

[2.0]