12 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย

โดย ผชวยศาสตราจารย วาสนา สขกระสานต

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซง

ประกอบดวย 1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - การอางเหตผล - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

สอปฏสมพนธ เรอง เกมหอคอยฮานอย

หอคอยฮานอยเปนเกมทมต านานอนยาวนานจากวดแหงหนงในอนเดยซงมเสาอย 3 ตนและมจานทองค า 64 ใบคลองอยกบเสาตนหนง และพราหมณในวดนมหนาทยายจานทองค าไปไวทเสาอกตนหนง โดยมเงอนไขวายายไดครงละใบเทานน และจะวางจานใหญทบจานเลกไมได ต านานกลาวไววาวนใดทภารกจในการยายจานสนสดลง วาระสดทายของโลกจะมาถง อยางไรกตาม นกคณตศาสตรเชอวาเกมหอคอยฮานอยทคดคนโดยนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ Edouard Lucas ในป ค.ศ. 1883

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอยเปนสอทชวยใหผเรยนไดรจกเกมคณตศาสตรซงเปนทรจกกนอยางกวางขวางและเปนจดเรมตนส าคญทชวยใหผเรยนรจกการวางแผนทงการเลนและการคดอยาง เปนระบบ ซงจะเปนพนฐานส าคญในการศกษาวชาคณตศาสตรตอไป รวมทงรจกการรจกการใหค าตอบในกรณงาย ๆ แลวสงเกตแบบรป เพอสรางขอคาดการณ จากนนจงจะพสจนขอคาดการณดวยการใหเหตผลทางคณตศาสตร

นอกจากน สอชดนยงเสนอรปแบบของเกมหอคอยฮานอยททาทายมากกวาเกมปกต ซงจะชวยใหผเรยนรจกการขยายแนวคดเชงคณตศาสตร รจกการวเคราะหแบบคดยอนกลบเพอหาผลเฉลย และรจกการวางแผนอยางเปนระบบเพอวเคราะหขนตอนวธของการเลน

ในตอนทาย สอชดนยงใหปญหาเปดของเกมหอคอยฮานอยสเสา และเลาถงการปรบรปแบบเกมหอคอยฮานอยใหมความทาทายใหลกษณะอน ๆ เพอใหผเรยนไดเสรมสรางจนตนาการและพฒนาแนวคดในการแกปญหาทางคณตศาสตรดวยตนเอง

สอปฏสมพนธเรอง หอคอยฮานอย แบงออกเปน 6 สวน ประกอบดวย

1. ประวตและกตกา 2. จ านวนครงนอยสดและขนตอนวธการเลน 3. เกมททาทายกวาเดม 4. การวเคราะหแบบคดยอนกลบ 5. หอคอยฮานอยรปแบบอน ๆ 6. ปญหาทาใหคด


3

เรอง หอคอยฮานอย หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 1 (8/9) หวขอยอย 1. ประวตและกตกา

2. จ านวนครงนอยสด และขนตอนวธการเลน 3. เกมททาทายกวาเดม 4. การวเคราะหแบบคดยอนกลบ 5. หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ 6. ปญหาทาใหคด

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธศกษาประวต กตกา ขนตอนวธการเลน ตลอดจนไดทดลองเลนสงเกตแบบรปของผลเฉลยในกรณตางๆ และสรางขอความคาดการณในกรณทวไป โดยใชการใหเหตผลแบบอปนย ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายกฎ กตกา และขนตอนวธการเลนเกมหอคอยฮานอยได 2. ใชสอปฏสมพนธในการเลมเกมหอคอยฮานอยได 3. สงเกตแบบรปของผลเฉลยในกรณตางๆ และสรางขอความคาดการณในกรณทวไปได


4

สารบญ

หนา การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 5

1. ประวตและกตกา 10 2. จ านวนครงนอยสด และขนตอนวธการเลน 12 3. เกมททาทายกวาเดม 28 4. การวเคราะหแบบคดยอนกลบ 35 5. หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ 46 6. ปญหาทาใหคด 50


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และกลอง

เครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ในทนจะ

ใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกตใน

โปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏ

หนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง

จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ


7

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

5. หนาตางแรกของโปรแกรม

4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล

ระดบแรก

ระดบทสอง


8

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางจอภาพ ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “ประวต และกตกา” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอถา

อยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


9

การเรมตนใชงานผใชสามารถคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญดงน

เมอผใชเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย หนาตางสารบญจะแสดงรายการบทเรยน

ออกเปน 6 หวขอ

1. ประวตและกตกา

2. จ านวนครงนอยสด และขนตอนวธการเลน

3. เกมททาทายกวาเดม

4. การวเคราะหแบบคดยอนกลบ

5. หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ

6. ปญหาทาใหคด

ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยมเพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได


10

1. ประวตและกตกา

หอคอยแหงฮานอย หรอ ทาวเวอรออฟฮานอย (Tower of Hanoi) เปนเกมคณตศาสตรในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงประวตและกตกาของการเลนเกมหอคอยฮานอย

ซงประกอบดวย 1. ต านานหอคอยฮานอย 2. วาระสดทายของโลก 3. ผคดคนหอคอยฮานอย 4. กตกาและเปาหมาย

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอ

1.1 ต านานหอคอยฮานอย

1.2 วาระสดทายของโลก

ต านานเลาขานเกยวกบโบสถ ในอนเดย ซงมหองทภายใน มเสา 3 ตน และแผนจานทองค า 64 ใบ คลองวางซอนกนอยกบเสาตนหนง

พราหมณในโบสถนนจะท าการเคลอนยายจานทองตามค าสงทระบไวในค าพยากรณ คอตองยายจานทงหมดไปไวยงเสาอกตนหนง โดยการเคลอนยายนนจะตองเปนไปตามเงอนไขของเกมปญหา คอ

1. ยายจานไดครงละ 1 ใบเทานน

2. หามวางจานทมขนาดใหญกวา บนจานทมขนาดเลกกวา

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%A1%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C


11

และยงมค ายากรณวา วนใดทภาระกจนสนสดลง วาระสดทายของโลกจะมาถง ถาต านานเปนจรงแลว วาระสดทายของโลกจะมาถงเมอใด

1.3 ผคดคนหอคอยฮานอย

1.4 กตกา และเปาหมาย

เปาหมายของเกมคอ พยายามยายกองจานทงหมดไปไวทอกเสาหนง โดยการเคลอนยายจานจะตองเปนไปตามกตกาคอ

สามารถยายจานไดเพยงครงละ 1 ใบ ในระหวางการยายจาน จานใบเลกจะตองอยบน

จานใบทใหญกวาเสมอ

หอคอยฮานอย ประกอบดวยเสา 3 แทง และ จานกลมแบนขนาดตางๆ ซงมรตรง กลางส าหรบใหเสาลอด เกมเรมจากจานทงหมดวางอยทเสาเดยวกน โดยเรยงตามขนาดจากใหญทสดอยทางดานลาง จนถงจานขนาดเลกทสดอยดานบนสด เปนลกษณะกรวยคว าตามรป

ผคดคนเกมปญหาหอคอยฮานอยนคดคนขนโดย นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ชอ เอดอารด ลคาส (Edouard Lucas) ในป ค.ศ. 1883

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B9%80%E0%B8%AD%E0%B8%94%E0%B8%B9%E0%B8%AD%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%94_%E0%B8%A5%E0%B8%B9%E0%B8%84%E0%B8%B2%E0%B8%AA&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84.%E0%B8%A8._1883


12

2. จ านวนครงนอยสดในการยายจานและขนตอนวธการเลน ในหวขอน ผเรยนจะไดศกษาถงวธการเลนเกมหอคอยฮานอย คอการยายจานทงหมด ไปยงเสาท

ตองการ โดยท าอยางไรใหมจ านวนครงในการยายจานนอยทสด โดยหวขอน ประกอบดวย 1. จ านวนครงนอยสดในการยายจาน 2. จาน 1 ใบ 3. จาน 2 ใบ 4. จาน 3 ใบ 5. ขนตอนทซบซอนขนตามจ านวนจาน 6. จาน 4 ใบ 7. จาน 5 ใบ 8. จาน 6 ใบ 9. ขอคาดการณ 10. ทดสอบขอคาดการณ 11. เรมทเสา B 12. ลองยายจากเสา B ไปเสา C 13. สองเสาสมมลกนหรอไม 14. จ านวนครงทนอยทสดททราบแลว 15. สรางความสมพนธ 16. หารปปดของจ านวนครงนอยสด 17. วเคราะหการเลน เมอมจาน 3 ใบ 18. วเคราะหการเลน เมอมจาน 4 ใบ 19. ขอสงเกตในขนตอนการยายจาน 20. วฏจกรของจานใบเลกสด 21. ลองเลนเอง 22. วาระสดทายของโลก


13

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบดงน

2.1 จ านวนครงนอยสดในการยายจาน

แตสงทตองการทราบคอกบจ านวนครงนอยสดทจะท าไดเปนเทาใด และ จะพสจนไดอยางไรวาเปนจ านวนครงทนอยทสด

2.2 จาน 1 ใบ

อธบายการท างาน

เมอเรมโปรแกรมจะมจานให 1 ใบ ผเลนตองท าการเลอนจานทงหมดจากเสา A ไปยงเสา C ตามกตกาทก าหนด (ก) ตงชอเสาทงสาม A, B, C (ข) สมมตมจานทงหมด 1 ใบ

ใหผอานลองพจารณาวา ในกรณทวไปเมอมจาน n ใบ จ านวนครงนอยสดในการยายจานจากเสา A ไปเสา C เปนเทาใด เมอมจานจ านวนไมมาก สามารถท าไดไมยาก

เกมหอคอยฮานอย ก าหนดจาน 1 ใบ ใหผอานทดลองเลนยายจาน 1 ใบจากเสา A ไปยงเสา C จ านวนครงทนอยทสดจะเทากบเทาใด

ก

ข

ค ง

จ


14

(ค) กรอบนจะเปนการก าหนดการเลอนจานตามความตองการของผใช การก าหนดนจะเปนการก าหนดโดยชอเสา เชนจากภาพจะเหนวามจานอยบนเสา A เทานน ดงนนทางเลอกของการเลอนจานจงมเพยงสองทางเลอกเทานนคอเลอนจานจากเสา A ไปยงเสา B หรอเลอนจานจากเสา A ไปยงเสา

C เลอกโดยเอาเมาสมาวางทสญลกษณ เมาสจะเปลยนเปนรป คลกพรอมลากสญลกษณนไปวางบนทางเลอกทตองการ ถาตองการเลอนจานจากเสา A ไปยงเสา C จะได

สญลกษณ ถาผใชตองการเปลยนทางเลอกการเลอนจานเปนเลอนจานจากเสา A ไปยงเสา B กสามารถท าไดโดยการเลอนเมาสมาททางเลอกเดม แลวคลกและลากเมาสไปยงทางเลอกใหม เมอไดทางเลอกทตองการแลวใหคลกท เพอยายจานแผนบนสดของเสาทระบไปยงเสาปลายทาง เมอยายแผนจานแลวจะสงเกตไดวากรอบ (ง) ซงแสดงจ านวนครงของการเลอนจาน กจะเพมขน 1 คา หากตองการยกเลกการเลอนจานนนใหคลกท กจะไดภาพเดม

(ง) จ านวนครง คอกรอบแสดงตวเลขทหมายถงจ านวนครงทเลอนจาน ทกครงทมการเลอนจาน กจะมคาเพมขน 1 เสมอ

(จ) ปม คลกเมอตองการกลบไปเรมตนใหม


A B C A B C (1) (2)

ทดลองเลน

ยายจาน 1 ใบจากเสา A ไปยงเสา C

เกมหอคอยฮานอย ก าหนดจาน 2 ใบ

ใหผอานทดลองเลนยายจาน 2 ใบจากเสา A ไปยงเสา C จ านวนครงทนอยทสดจะเทากบเทาใด

แนะน าวธการเลน 1. ยาย จาน #1 ไปเสา B 2. ยาย จาน #2 ไปเสา C 3. ยาย จาน #1 จาก B ไป C ไปไวบนจาน #2

รวมยายจ านวน 3 ครง


15


แนะน าวธการเลน 1. ยาย จาน #1 ไปเสา C 2. ยาย จาน #2 ไปเสา B 3. ยาย จาน #1 จากเสา C ไปเสา B ไปไวบนจาน #2

ตอนน เรามจาน 2 ใบวางตามล าดบถกตองทเสา B และ เสา C ไมมจาน

1. ยาย จาน #3 ไปไวท C 2. ท าตามขนตอนท 1 ถง 3 เพอยายจาน #1 และ #2 ไปไวบนจาน #3

2.1 ยาย จาน #1 จากเสา B ไปเสา A 2.2 ยาย จาน #2 จากเสา B ไปเสา C ไปไวบนจาน #3 2.3 ยาย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไวบนจาน #2


A B C A B C (1) (2)



A B C

A B C (3)

เกมหอคอยฮานอย ก าหนดจาน 3 ใบ

ใหผอานทดลองเลนยายจาน 3 ใบจากเสา A ไปยงเสา C จ านวนครงทนอยทสดจะเทากบเทาใด

และจะแนใจไดอยางไรวานอยทสด


16

2.5 ขนตอนทซบซอนขนตามจ านวนจาน เมอจานมจ านวนมากขน ขนตอนในการยายจานจะ

ซบซอนขนดวย

ค าถามเดมคอ

(ก) จ านวนครงทนอยทสดทท าไดเปนเทาใด

และ (ข) จะพสจนไดอยางไรวาเปนจ านวนครงทนอยทสด

A B C A B C (2) (3)



A B C

A B C (4)

A B C (1)

A B C A B C (5) (6) A B C (7)


17


แนะน าวธการเลน 1. ยาย จาน #1 ไปเสา B 2. ยาย จาน #2 ไปเสา C 3. ยาย จาน #1 จาก B ไป C ไปไวบนจาน #2

ตอนน เรามจาน 2 ใบ 2 ชด วางตามล าดบถกตอง และทเสา B ไมมจาน

1. ยาย จาน #3 ไปไวท B 2. ท าตามขนตอนท 1 ถง 3 เพอยายจาน #1 และ #2 ไปไวบนจาน #3

2.1 ยาย จาน #1 จาก C ไปเสา A 2.2 ยาย จาน #2 จาก C ไปเสา B ไปไวบนจาน #3 2.3 ยาย จาน #1 จาก A ไปเสา B ไปไวบนจาน #2 ตอนน เรามจาน 3 ใบ วางตามล าดบถกตองทเสา B และเสา C ไมมจาน …


ใหผอานทดลองเลนเกมหอคอยฮานอยโดยใชจาน 4 ใบ โดยพยายามหากลยทธในการเลนอยางไร เพอใหไดจ านวนครงทนอยทสด


18


A B C (2) A B C (3) A B C (4)

A B C (7) A B C (8)

A B C (9) A B C (10) A B C (11) A B C (12)

A B C (13) A B C (14) A B C (15)

A B C (1)


ยายจาน .4 ใบจากเสา A ไปยงเสา C

A B C

A B C (5) A B C (6)

ใหผอานทดลองเลนเกมหอคอยฮานอยโดยทดลองใชกลยทธทใชกบจาน 4 ใบ มาใชกบจาน 5 ใบ และพจารณาวาการเลนโดยใชจาน 5 ใบ ใชกลยทธเดยวกบการใชงาน 4 ใบไดหรอไม ถาไมได ควรปรบปรงกลยทธอยางไร


19


2.9 ขอคาดการณ

ในกรณมจานจ านวนไมมากนก เราสามารถสรปจ านวนครงทนอยทสดทจะยายจาน n จาน จ านวนจาน จ านวนครง

นอยสด คาดการณไดหรอไมวา ถามจาน n ใบ จ านวนครงท

นอยทสดในการยายจาน จะมคาเทากบเทาใด คลกท จะปรากฏหนาตาง ทดสอบขอคาดการณ

1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63

ใหผอานทดลองเลนเกมหอคอยฮานอยโดยใชจาน 6 ใบ โดยพยายามหากลยทธในการเลนอยางไร เพอใหไดจ านวนครงทนอยทสด


20

2.10 ทดสอบขอคาดการณ

อธบายการท างาน (เพมเตม) เมอเรมโปรแกรมจะมจานให 10 ใบ ผเลนตองท าการเลอนจานทงหมดจากเสา A ไปยงเสา C

ตามกตกาทก าหนด สมมตมจานทงหมด n ใบ เมอเรมตนจานทงหมดจะมสแดง ตดเบอรใหกบจานจากเลกทสด 1

ไปจนถงใหญทสด n (ก) ปม ดานขวา ส าหรบเลอนขน-ลง เพอเพม-ลดจ านวนจาน โดยเลอนเมาสไปท เมอปรากฏ

ลกศร ใหคลกพรอมเลอนเมาสขน-ลง เพอเพม-ลดจ านวนจาน โดยภาพหอคอยฮานายจะปรากฏการเพม-ลดจ านวนจานใหทนท

(ข) กรอบแสดงการแนะน าวา ในขณะนนผใชควรเลอนจานจากเสาใด ไปยงเสาใด โดยจะแสดงเมอผใช

คลกท จะแสดงขอความวาควรยายจานจากเสาใด ไปเสาใด เชน แสดงขอความ หมายความวาแนะน าใหผเลนเลอกยายจานจากเสา A ไปยงเสา B

(ค) - ปม เมอผใชตองการใหโปรแกรมแสดงวธหาทางยายจานใหไดจ านวนครงของการยายทนอยทสด โดยจะเปลยนสจานทงหมด จากสแดงเปนสน าเงน เแสดงเปนขนตอนการยายจานทละใบ ในระหวางทโปรแกรมก าลงท างานแสดงวธการยายจานนน หากผใชตองการเลนตอเอง ผใชสามารถคลกทปม เพอใหหยดการเฉลย ซงจานจะเปลยนสจากสน าเงนเปนสแดงทนท และผเลนสามารถเลนตอไปไดเอง - ผใชจะสามารถก าหนดความเรวในการแสดงเฉลยไดจาก แถบซงมปมสน าเงนอยภายใน

เปนการบอกถงความเรวในการแสดงเฉลย ดานลางของแถบนจะบอกถงความเรวในการแสดงเฉลย เมอเรมตนจะก าหนดใหเปนความเรว ถาผใชตองการให

ก

ข ค

ง


21

โปรแกรมแสดงเฉลยชาลง ใหคลกทปม เพอเลอนปม ไปทางซาย-ขวา เพอเพม-ลดความเรวในการแสดงเฉลย หากความเรวในการแสดงเฉลยมคาเปน บวก ปมนจะเปนสน าเงน แตถาความเรวในการแสดงเฉลยมคาเปนลบ จะท าใหปมนเปนสแดง หมายถงการเฉลยแบบยอนกลบ - ปม เมอเลอกใหโปรแกรมเฉลยปญหาแลว ผใชอาจตองการเลนตอจากขนตอนของการเฉลย กสามารถท าไดโดยคลกท โปรแกรมจะหยดเฉลย เพอใหผใชหาทางเลนตอไปเอง - ปม เมอเลอกใหโปรแกรมเฉลยปญหาแลว ผใชอาจเปลยนใจ ตองการเลนเอง กสามารถท าไดโดยคลกท โปรแกรมกจะหยดเฉลย และกลบไปแสดงภาพเดมกอนคลก

(ง) ปม คลกเมอตองการกลบไปเรมตนเลนใหม

2.11 เรมทเสา B สมมตวาขณะเรมตนมจาน 4 ใบ อยทเสา A เราทราบแลววาการยายจานทง 4 ไปทเสา C จ านวนครงนอยทสดในการยายจานเทากบ 15 ครง

ลองสมมตใหมวาขณะเรมตนมจาน 4 ใบอยทเสา B และ

ตองการยายจานทงหมดไปไวทเสา C ดวยกตกาเดม คดวาจ านวนครงนอยสดในการยายจานจะเทากบเทาใด โดยคลกท


22

2.12 ลองยายจากเสา B ไปเสา C ใหผอานลองยายจาน 4 ใบ จากเสา B ไปยงเสา

C

2.13 สองเสาสมมลกนหรอไม ใหผอานลองพจารณาวา ในกรณทวไปเมอม

จาน n ใบ จ านวนครงนอยสดในการยายจานจากเสา B ไปเสา C กบ จ านวนครงนอยสดในการยายจานจากเสา A ไปเสา C จะมคาเทากนหรอไม เพราะเหตใด

2.14 จ านวนครงนอยสดททราบแลว ให an เปนจ านวนครงทนอยทสดในการยายจาน n ใบ ในเกมหอคอยฮานอย เราทราบแลววา a1 = 1, a2 = 3, a3 = 7, a4 = 15, a5 = 31, a6 = 63 ยงกวาน ถาขณะเรมตนวางจานทง n ใบไวทเสา B จ านวนครงนอยสดในการยายจานเหลานไปไวทเสา C จะยงคงมคาเทากบ an


23

2.15 สรางความสมพนธ การยายจาน n ใบ จากเสา A ไปเสา C ประกอบดวยขนตอนหลก 3 ขนตอนดงน 1. ยายจาน n-1 ใบแรก จากเสา A ไปเสา B (จ านวนครงนอยสดในการยายเทากบ an-1) 2. ยายจานใบท n จากเสา A ไปเสา C (ใชจ านวนครงในการยาย 1 ครง) 3. ยายจาน n-1 ใบแรก จากเสา B ไปเสา C (จ านวน

ครงนอยสดในการยายเทากบ an-1) ดงนน เราจงสรปไดวา an = an-1 + 1 + an-1

an = 1 + 2an-1

2.16 หารปปดของจ านวนครงนอยสด จาก an = 1 + 2an-1 ในท านองเดยวกน เราจะเหนวา

an-1 = 1 + 2an-2 an-2 = 1 + 2an-3 … a2 = 1 + 2a1

ดงนน an = 1 + 2an-1 = 1 + 2(1 + 2an-2) = 1 + 2 + 22an-2 = 1 + 2 + 22 (1 + 2an-3) = 1 + 2 + 22 + 23an-3 = 1 + 2 + 22 + 23 (1 + 2an-4) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24an-4 … = 1 + 2 + 22 + 23 + 2n-1a1

= 1 + 2 + 22 + 23 + 2n-1 (เนองจาก a1 = 1)

= 2n-1


24

2.17 วเคราะหการเลนเมอมจาน 3 ใบ

สรปขนตอนวธการเลน

1. ยาย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C 2. ยาย จาน #2 จากเสา A ไปเสา B 3. ยาย จาน #1 จากเสา C ไปเสา B ไปไวบนจาน #2

(ตอนน เรามจาน 2 ใบวางตามล าดบถกตองทเสา B และ เสา C ไมมจาน) 4. ยาย จาน #3 จากเสา A ไปเสา C

(ท าตามขนตอนท 1 ถง 3 เพอยายจาน #1 และ #2 ไปไวบนจาน #3) 5. ยาย จาน #1 จากเสา B ไปเสา A 6. ยาย จาน #2 จากเสา B ไปเสา C ไปไวบนจาน #3 7. ยาย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไวบนจาน #2


เมอเรมตนดวยจาน 3 ใบในเสา A และตองการยายจานทงหมดไปทเสา C เราจะมขนตอนวธในการเลนอยางไร


25

2.18 วเคราะหการเลนเมอมจาน 4 ใบ

สรปขนตอนวธการเลน

1. ยาย จาน #1 จากเสา A ไปเสา B 2. ยาย จาน #2 จากเสา A ไปเสา C 3. ยาย จาน #1 จากเสา B ไปเสา C

(ตอนน เรามจาน 2 ใบวางตามล าดบถกตองทเสา B ไมมจาน) 4. ยาย จาน #3 จากเสา A ไปเสา B

(ท าตามขนตอนท 1 ถง 3 เพอยายจาน #1 และ #2 ไปไวบนจาน #3) 5. ยาย จาน #1 จากเสา C ไปเสา A 6. ยาย จาน #2 จากเสา C ไปเสา B ไปไวบนจาน #3 7. ยาย จาน #1 จากเสา A ไปเสา C ไปไวบนจาน #2 8. ยาย จาน #4 จากเสา A ไปเสา C ไปไวบนจาน #2

… 15. ยาย จาน #1 จากเสา B ไปเสา C ไปไวบนจาน #2


เมอเรมตนดวยจาน 4 ใบในเสา A และตองการยายจานทงหมดไปทเสา C เราจะมขนตอนวธในการเลนอยางไร


26

2.19 ขอสงเกตในขนตอนการยายจาน จากทงสองตวอยาง เราไดขอสงเกต

เกยวกบการยายครงท k ใดๆ ดงน ถา k เปนเลขจ านวนค จะเปนการยายจาน #1 ถา k เปนเลขจ านวนค จะเปนการยายจานทใหญกวาจาน #1 ซงในขณะนนจะเหลอจานใหญเพยงใบเดยวทยายได และต าแหนงเปาหมายกจะมเพยงต าแหนงเดยวดวย

ฉะนนเราจงสนใจเฉพาะการยายจาน #1 เทานน

2.20 วฏจกรของจานใบเลกสด กรณทมจานเปนจ านวนคใบ (n เปนจ านวนค) ครงท 1 จะยายจาน #1 จากเสา A ไปเสา C และหลงจากนใหยายจาน 1 ในลกษณะทวน A C B A C B A C B … กรณทมจานเปนจ านวนคใบ (n เปนจ านวนค) ครงท 1 จะยายจาน #1 จากเสา A ไปเสา B และหลงจากนใหยายจาน 1 ในลกษณะทวน A B C A B C A B C …


27

2.21 ลองเลนเอง ใหผใช ลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยด

วธการเลนไดจาก หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ

2.22 วาระสดทายของโลก จากต านานเกยวกบหอคอยฮานอย ถามจานทองค า 64 ใบจรง เราจะตองยายจานอยางนอยกครง ค าตอบคอ 264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615 ครง หรอประมาณ 18 ลานลานลานครง ถาการยายจานแตละครงใชเวลาเพยง 1 วนาท และค านวณเวลาทตองใชทงหมดในหนวย ป

คดเปนเวลา 264 – 1 วนาท

หรอ 60

1264 นาท หรอ 6060

1264

ชวโมง

หรอ 246060

1264

วน หรอ 365246060

1264

ป

นนคอ ถามจานทองค า 64 ใบจรง

เราจะตองใชเวลายายจานอยางนอย 365246060

1264

= 5851011 ป หรอประมาณ 6 แสนลานป

(นกวทยาศาสตรคาดวา ปจจบนโลกมอายประมาณ 4.54 พนลานป)


28

3. เกมททาทายกวาเดม ในหวขอนจะกลาวถงการเลมเกมททาทายกวาเดม คอการเลนเมกหอคอยฮานอยโดยมากจะนยมใชจานจ านวนสามใบ ยายจากเสาหนงไปยงอกเสาหนง ซงในความเปนจรงนนอาจน ามาประยกตใหทาทายมากขน ซงอาจเปนเกมในลกษณะตอไปน

1. ต าแหนงเรมตนแบบสม 2. ลองเลนจาน 4 ใบ 3. ลองเลนจาน 5 ใบ 4. จ านวนครงนอยสดเมอมจานจ านวนนอย 5. จาน 1 ใบ 6. จาน 2 ใบ 7. จาน 3 ใบ 8. ค าถามเมอมจาน 4 ใบ 9. ลองเลนจาน 4 ใบอกครง 10. ค าถามเมอมจาน 5 ใบ 11. ลองเลนจาน 5 ใบอกครง เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบดงน


29

3.1 ต าแหนงเรมตนแบบสม

โดยปกตแลว หอคอยฮานอยจะเรมตนดวยการวางจานทงหมดไวทเสา A และเรากไดทราบแลววา แมจะวางจานทงหมดไวทเสา B กไมไดท าใหปญหายากขนแตอยางได แตถาต าแหนงเรมตนของจานวางไวอยางสม ปญหาจะยากขนหรอไม

และจะค านวณจ านวนครงนอยทสดในการยายจานไดอยางไร

3.2 ลองเลนจาน 4 ใบ ถามจาน 4 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด

ใหผใชลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยด



30

3.3 ลองเลนจาน 5 ใบ

ถามจาน 5 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด

ใหผใช ลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยด


3.4 จ านวนครงนอยสดเมอมจานจ านวนนอย

เราจะลองเลนเกมททาทายนเมอมจานไมเกน 3 ใบ โดยทดลองสมต าแหนงเรมตนทตางๆ กน แลวพยายามหาขอสรปเกยวกบจ านวนครงนอยทสด ในการยายจานทงหมดไปไวทเสา C


31


ถามจาน 1 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ส าหรบแตละต าแหนงเรมตน ควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด

ปม ส าหรบสมต าแหนงของจานเรมตนใหม ปม เมอผเลนตองการเรมตนเลนใหม กบต าแหนงของจานเรมตน... ใหผใช ลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยดวธการเลนไดจาก หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ


ถามจาน 2 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ส าหรบแตละต าแหนงเรมตน ควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด

ใหผใช ลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยดวธการเลนไดจาก หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ ปม ส าหรบสมต าแหนงของจานเรมตนใหม ปม เมอผเลนตองการเรมตนเลนใหม กบต าแหนงของจานเรมตน...


32


ถามจาน 3 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ส าหรบแตละต าแหนงเรมตน ควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด

ใหผใช ลองเลนเอง เพอฝกทกษะการเลน โดยดวธการเลนไดจาก

หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ

ปม ส าหรบสมต าแหนงของจานเรมตนใหม ปม เมอผเลนตองการเรมตนเลนใหม กบต าแหนงของจานเรมตน

3.8 ค าถามเมอมจาน 4 ใบ

ถามจานทงหมด 4 ใบ ใหลองตอบค าถามตอไปน 1. เราจะสมต าแหนงเรมตนไดทงหมดกแบบ ท

แตกตางกน 2. จ านวนครงนอยทสดในการยายจาน ควรขนกบ

ต าแหนงเรมตนหรอไม 3. มวธในการหาจ านวนครงนอยสด เมอก าหนดต าแหนงเรมตนใหหรอไม


33

3.9 ลองเลนจาน 4 ใบอกครง ถามจาน 4 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอาน

ยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ลองสมต าแหนงเรมตนหลายๆ แบบ ส าหรบแตละต าแหนงเรมตนควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด และพยายามตอบค าถามทใหไว


หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ ปม ส าหรบสมต าแหนงของจานเรมตนใหม ปม เมอผเลนตองการเรมตนเลนใหม กบต าแหนงของจานเรมตน

3.10 ค าถามเมอมจาน 5 ใบ ถามจานทงหมด 5 ใบ ใหลองตอบค าถามตอไปน

1. เราจะสมต าแหนงเรมตนไดทงหมดกแบบ ทแตกตางกน

2. จ านวนครงนอยทสดในการยายจาน ควรขนกบต าแหนงเรมตนหรอไม

3. มวธในการหาจ านวนครงนอยสด เมอก าหนดต าแหนงเรมตนใหหรอไม


34

3.11 ลองเลนจาน 5 ใบอกครง

ถามจาน 5 ใบ วางบนเสาอยางสม ใหผอานยายจานทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย ลองสมต าแหนงเรมตนหลายๆ แบบ ส าหรบแตละต าแหนงเรมตนควรยายอยางไร และจะไดจ านวนครงนอยทสดเทาใด และพยายามตอบค าถามทใหไว


หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ ปม ส าหรบสมต าแหนงของจานเรมตนใหม ปม เมอผเลนตองการเรมตนเลนใหม กบต าแหนงของจานเรมตน


35

4. การวเคราะหแบบคดยอนกลบ ในหวขอน ผอานจะไดวเคราะหหาขนตอนการเลนใหจ านวนครงในการยายจานมคานอยทสด โดยใช

วธการวเคราหแบบคดยอนกลบ และสดทายจะไดวธการหาจ านวนครงนอยสดในการยายจานจ านวนตางๆ กน การวเคราะหแบบคดยอนกลบ ประกอบดวย

1. ลองเลนเกมปกต 2. การคดยอนกลบ 3. ลองเลนเกมทาทาย 4. คดยอนกลบอกครง 5. ฝกการคดยอนกลบ 6. การยายครงแรก เมอมจาน 5 ใบ 7. การยายครงแรก เมอมจาน 6 ใบ 8. การยายครงแรก เมอมจาน 7 ใบ 9. จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 4 ใบ 10. วเคราะหขนตอนการเลน 11. วเคราะหจ านวนครงนอยสด 12. จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 5 ใบ 13. หาจ านวนครงนอยสด เมอมจาน 5 ใบ 14. จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 6 ใบ 15. หาจ านวนครงนอยสด เมอมจาน 6 ใบ 16. สรปการหาจ านวนครงนอยสด 17. จาน 7 ใบ 18. จาน 8 ใบ 19. จาน 9 ใบ 20. จาน 10 ใบ 21. ทดสอบความเขาใจ 22. ลองเลนเอง


36


4.1 ลองเลนเกมปกต ถามจาน 4 ใบ วางบนเสา ใหผอานยายจาน

ทกใบไปไวทเสา C โดยใชกตกาการเลนเกมหอคอยฮานอย แลววเคราะหขนตอนการเลน เพอน าไปแกปญหาททาทายน

4.2 การคดยอนกลบ การวางแผนการเลนเกมหอคอยฮานอยนนยงสามารถใชการคดยอนกลบได เชน ในตวอยางกรณทมจาน 4 ใบวางทเสา A ตองการยายจาน #4 จากเสา A ไปไวทเสา C กอนทจะยายจาน #4 ไปใหได กตองยายจาน #3 ออกกอน นนกแสดงวาตองยายจาน #2 ออกดวย และสดทายกคอตองยายจาน #1 ออกไปไวทไหนสกท

แสดงวาตองการ ยายจาน #3 จากเสา A ไปไวทเสา B กอน นนคอตอง ยายจาน #2 จากเสา A ไปไวทเสา C กอน และแสดงวาตอง ยายจาน #1 จากเสา A ไปไวทเสา B กอน ซงสรปเปนตารางไดดงน

จาน ยายจากเสา ไปไวทเสา 4 A C 3 A B 2 A C 1 A B


37

4.3 ลองเลนเกมทาทาย ถามจาน 4 ใบ วางบนเสาลกษณะดงรป ใหผอานลองประยกตใชการคดยอนกลบ เพอยายจานทงหมดไปไวทเสา C และวเคราะหขนตอนการเลนอกครง

4.4 คดยอนกลบอกครง การวางแผนการเลนเกมหอคอยฮานอยนนยงสามารถใชการคดยอนกลบได เชน ในตวอยางกรณทมจาน 4 ใบวางทเสา ดงรป

ใหยายจานทงหมด 4 ใบ ไปไวทเสา C ประยกตใชการคดยอนกลบ เพอวเคราะหขนตอนการเลน

4.5 ฝกการคดยอนกลบ การคดยอนกลบเปนหลกการหนงทมประสทธภาพในการแกปญหาทางคณตศาสตร ใหผอานฝกใชหลกการคดแบบน เพอวเคราะหขนตอนการเลน ส าหรบตวอยางเกมทาทายทใหไว


38

4.6 การยายครงแรก เมอมจาน 5 ใบ การวางแผนการเลนเกมหอคอยฮานอยนนยงสามารถใชการคดยอนกลบได เชน ในตวอยางกรณทมจาน 5 ใบวางทเสา ดงรป ถาตองการประยกตใชการคดยอนกลบ เราควรเรมยายจากเสาใดไปเสาใด




39

4.9 จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 4 ใบ จากตวอยางกรณทมจาน 4 ใบวางทเสา ดงรป เราจะลองค านวณจ านวนครงนอยสด จากขนตอนการเลนในตวอยางน

4.10 วเคราะหขนตอนการเลน เราสรปการวเคราะหขนตอนการเลนไดดงน

จาน ยายจากเสา ไปไวทเสา

4 B C มการยายจาน #4 3 C A มการยายจาน #3 2 B B ไมมการยายจาน #2 1 C B มการยายจาน #1

ตอไปจะวเคราะหจ านวนครงในการยายจานในแตละขนตอน

การทบอกวาไมมการยายจาน #2 ไมไดหมายความวาจาน #2 จะไมมการยายต าแหนงเลย แตระบไวเพอนบจ านวนครงในการยายจานเทานน


40

4.11 วเคราะหจ านวนครงนอยสด

ถายายจาน #4 จากเสา B ไปไวทเสา C ได (มการยาย 1 ครง)

แสดงวาจาน 3, 2, 1 ตองกองอยทเสา A และตองยายจานทงสามใบนไปไวทเสา C (มการยาย 7 ครง) รวมจงมการยายในสวนนทงหมด 8 = 23 ครง

ถายายจาน #3 จากเสา C ไปไวทเสา A ได (มการยาย 1 ครง)

แสดงวาจาน 2, 1 ตองกองอยทเสา B และตองยายจานทงสองใบนไปไวทเสา A (มการยาย 3 ครง)

รวมจงมการยายในสวนนทงหมด 4 = 22 ครง

จาน #2 เรมตนอยทเสา B อยแลว จงไมตองมการยาย

ตองยายจาน #1 จากเสา C ไปไวทเสา B จงมการยายในสวนนทงหมด 1 = 20 ครง รวมแลวจงมการยายทงหมด 23 + 22 + 20 = 13 ครง


41

4.12 จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 5 ใบ จากตวอยางกรณทมจาน 5 ใบวางทเสา ดงรป เราจะลองค านวณจ านวนครงนอยสด จากขนตอนการเลนในตวอยางน

4.13 หาจ านวนครงนอยสด เมอมจาน 5 ใบ จากเกมในหนาจอทแลว เราสรปการวเคราะหขนตอนการเลนไดดงน

จาน ยายจากเสา ไปไวทเสา 5 C C ไมมการยายจาน #5 4 A C มการยายจาน #4 3 A B มการยายจาน #3 2 B C มการยายจาน #2 1 C A มการยายจาน #1

ตอไปจะวเคราะหจ านวนครงในการยายจานในแตละขนตอน จ านวนครงในการยายจาน เทากบ 23 + 22 + 21 + 20 = 15 ครง


42

4.14 จ านวนครงนอยสด เมอมจาน 6 ใบ จากภาพกรณทมจาน 6 ใบวางทเสาอยางสมดงรป เราจะลองค านวณจ านวนครงนอยสด ในการยายจานทงหมดไปไวทเสา C จากขนตอนการเลนในตวอยางน

4.15 หาจ านวนครงนอยสด เมอมจาน 6 ใบ จากเกมในหนาทแลว เราสรปการวเคราะหขนตอนการเลนไดดงน

จาน ยายจากเสา ไปไวทเสา 6 B C มการยายจาน #6 5 B A มการยายจาน #5 4 A C มการยายจาน #4 3 C B มการยายจาน #3 2 C A มการยายจาน #2 1 A B มการยายจาน #1

ตอไปจะวเคราะหจ านวนครงในการยายจานในแตละขนตอน จ านวนครงในการยายจาน เทากบ 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 63 ครง


43

4.16 สรปการหาจ านวนครงนอยสด เมอสรางตารางวเคราะหการเลนในลกษณะเดยวกบทไดท ามาแลว โดยเขยนเสาตนทาง และเสาปลายทางของจานแตละใบ สมมตวาตองมการยายเฉพาะจานหมายเลข m1, m2, m3, … mk แลวจ านวนครงนอยสดในการยายจานจะมคาเทากบ

1 2 11 12 2 ... 2 kmm m

4.17 จาน 7 ใบ จากตวอยางกรณทมจาน 7 ใบวางทเสาอยางสม ดงรป เราจะลองค านวณจ านวนครงนอยสดในการยายจานทงหมดไปไวทเสา C จากขนตอนการเลนในตวอยางน



44




45

4.21 ทดสอบความเขาใจ หลงจากทไดวเคราะหขนตอนการเลนและจ านวนครงทนอยทสดในการยายจานแลว เราจะทดลอง “สมต าแหนงเกมทาทายใหหลากหลายรปแบบ” เพอทดสอบความเขาใจในการวเคราะหขนตอน และการค านวณจ านวนครงทนอยทสด ตามทไดศกษาไปแลว

4.22 ลองเลนเอง หนาตางนส าหรบผใชทดลองเลนเอง โดยดวธการเลนไดจาก หวขอ 2.2 จาน 1 ใบ และ หวขอ 2.10 ทดสอบขอคาดการณ


46

5. หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ หอคอยฮานอย รปแบบอนๆ ประกอบดวย

1. หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ 2. หอคอยฮานอยแบบวงวน 3. หอคอยฮานอยทมมากกวา 3 เสา 4. หอคอยฮานอย 4 เสา 5. จ านวนครงนอยสดของหอคอยฮานอย 4 เสา 6. ปญหาเปดหอคอยฮานอย 4 เสา 7. หอคอยฮานอยทมจานหลายชด


5.1 หอคอยฮานอยรปแบบอนๆ เพอใหการเลนเกมหอคอยฮานอย สนกและทาทายยงขน มผรบกตกา หรอคดรปแบบอนๆ ของเกมนดงตวอยางตอไปน 1. หอคอยฮานอยแบบวงวน 2. หอคอยฮานอยทมมากกวา 3 เสา 3. หอคอยฮานอยทมจ านวนจานหลายกองและหลายเสา


47

5.2 หอคอยฮานอยแบบวงวน เกมหอคอยฮานอยแบบวงวน เปนเกมปกตทเพมกตกาในการยายจานดงน จานจะตองวนทศเดยวเทานน เชน จานตองวนจาก A ไป B ไป C แลวกลบมาท A แตหามวนยอนกลบจาก C มา B หรอจาก B มา A

5.3 หอคอยฮานอยทมมากกวา 3 เสา การเพมจ านวนเสา ท าใหการยายจานสะดวกมากขน และเกมทเปนทรจกกนด คอ

เกมหอคอยฮานอย 4 เสา

ซงถามจ านวนจานไมมากนก เราสามารถแกปญหาไดไมยาก แตในกรณทวไป เมอมจาน n ใบ ปญหาของการหาจ านวนครงนอยสดในการยายจานเหลาน ยงเปนปญหาเปดทไมมใครใหรปแบบทแนนอนได

A B C D

หอคอยฮานอย 4 เสา

A B C (1) A B C (2)

หอคอยฮานอยแบบวงวนทดลองเลน

จานใบหนงตองวนทศเดยวเทานน A B C (3) A B C (4)


48

5.4 หอคอยฮานอย 4 เสา การเพมจ านวนเสาจากเดม 3 เสา ใหเปน 4 เสา จะชวยใหจ านวนครงในการยายจานนอยลง

5.5 จ านวนครงนอยสดของหอคอยฮานอย 4 เสา ในเกมหอคอยฮานอย 4 เสา เสาทเพมขนอกหนงเสา จะชวยใหจ านวนครงในการยายจานนอยลงไดมาก ดงตารางตอไปน

จ านวนจาน จ านวนครงนอยสด 3 เสา 4 เสา

1 1 1 2 3 3 3 7 5 4 15 9 5 31 13 6 63 17 7 127 25 8 255 33 9 511 41 10 1023 49


49

5.6 ปญหาเปดหอคอยฮานอย 4 เสา ถามจาน n ใบในเกมหอคอยฮานอย 3 เสา เราทราบดแลววาจ านวนครงนอยสดในการยายจานคอ 2n-1 อยางไรกตาม การหาจ านวนครงนอยสดในเกมหอคอยฮานอย 4 เสา เมอมจาน n ใบใดๆ กลบเปนปญหาเปด ทยงไมสามารถหารปแบบทวไปได การใชเครองคอมพวเตอรชวยในการวเคราะหทกกรณท

เปนไปไดนนสามารถท าไดเมอจ านวนจานไมมากนกเทานน (มการใชเครองคอมพวเตอรวเคราะหถงกรณจาน 30 ใบ) เกมหอคอยฮานอย 4 เสา เปนตวอยางทดของปญหาคณตศาสตร ซงการขยายเปนนยทวไปไมสามารถท าไดโดยงาย

5..7 หอคอยฮานอยทมจานหลายชด อกทางหนงทจะท าใหเกมทาทายยงขน คอเพมจานเปนหลายชด แตละชดมสตางกน และเพมจ านวนเสา ทพอเพยงตอการยายจาน เสาบางเสาอาจยอมใหวางจานไดทกส แตเสาบางเสาอาจจ ากดใหวางจานบางสไดเทานน และยงสามารถตงกตกาใหวางจานทมสตางกน (แตขนาดเทากน) ทบซอนกนไดหรอไมกได

จงสามารถสรางรปแบบและกตกาไดหลายแบบตามแตจะตามแตจะจนตนาการ


50

6. ปญหาทาใหคด หอคอยฮานอย รปแบบอนๆ ประกอบดวย

1. ปญหาทาใหคด 1 2. ลองคด 1 3. ปญหาทาใหคด 2 4. ลองคด 2 5. ปญหาทาใหคด 3 6. ลองคด 3 7. ปญหาทาใหคด 4 8. ลองคด 4 9. ปญหาทาใหคด 5



51

6.1 ปญหาทาใหคด 1 พจารณาเกมหอคอยฮานอยทมจาน 10 ใบ ใชจ านวนครงนอยทสดในการยายจานเทากบ 210-1 = 1023 ครง และเราทราบแลววามขนตอนการเลนอยางไร

ค าถามทาใหคด 1. ในการยายจานครงท 999 จะยายจานใด จากเสาใด ไปเสาใด 2. ในการยายจานครงท 1000 จะยายจานใด จากเสาใด ไปเสาใด 3. ในกรณทวไป ในการยายจานครงท k จะเปนการยายจานใด จากเสาใด ไปเสาใด

สามารถใหค าตอบในรปทวไปไดหรอไม ค าแนะน าค าถามทาใหคด 1 ขอ 1 สงเกตวา 9 8 7 6 5 2 1 0999 2 2 2 2 2 2 2 2 การยายจาน 92 แรก จะท าใหจาน 10 ไปอยทเสา C และจาน 1-9 อยทเสา B การยายจาน 82 ครงตอมา จะท าใหจาน 9 ไปอยทเสา C และจาน 1-8 อยทเสา A การยายจาน 72 ครงตอมา จะท าใหจาน 8 ไปอยทเสา C และจาน 1-7 อยทเสา B การยายจาน 62 ครงตอมา จะท าใหจาน 7 ไปอยทเสา C และจาน 1-6 อยทเสา A การยายจาน 52 ครงตอมา จะท าใหจาน 6 ไปอยทเสา C และจาน 1-5 อยทเสา B การยายจาน 22 ครงตอมา จะท าใหจาน 3 ไปอยทเสา C และจาน 1-2 อยทเสา A การยายจาน 12 ครงตอมา จะท าใหจาน 2 ไปอยทเสา C และจาน 1 อยทเสา B เพราะฉะนน การยายจานครงตอมา (ครงท 999) จงเปนการยายจาน 1 จากเสา B ไปเสา C ค าแนะน าค าถามทาใหคด 1 ขอ 2 จากขอทแลว การยายจานครงตอไปจะยายจาน 4 จากเสา B ไปเสา A


52

ค าแนะน าค าถามทาใหคด 1 ขอ 3 เราสามารถวเคราะหไดในลกษณะเดยวกบค าถามขอ 1 และขอ 2 อยางไรกตาม เราสามารถใหค าตอบ

ในรปทวไปไดดงน สมมตวาเราเขยน k ในระบบจ านวนฐานสองไดเปน

10 9 2 1 2k b b b b โดยท

1 2 10, , , {0,1}b b b

นนคอ 9 8 1

10 9 2 12 2 2k b b b b

ให p เปนจ านวนเตมบวกทมคานอยสดซง 1pb เราจะพบวา p เปนหมายเลขของจานทตองยายใน

ครงท k

ให 3 |

( ) 3 | 1

3 | 2

A x

f x B x

C x

ถา ถา ถา

และให 1( ) ( 1)

22p

p

xg x

โดยท x เปนจ านวนเตมทมคามากทสดและมคาไมเกน x การยายครงท k จะยายจานหมายเลข p จากเสา ( 1)f g k ไปเสา ( )f g k

6.2 ลองคด 1 ลองใชโปรแกรมเลนหาค าตอบของปญหาทาใหคด 1


53

6.3 ปญหาทาใหคด 2 พจารณาเกมหอคอยฮานอยทมจาน n ใบ และเรมตนดวยจานทกใบอยทเสา A เราทราบจ านวนครงนอยทสดในการยายจานเทากบ 2n-1 ครง

ค าถามทาใหคด

ให k เปนจ านวนเตมใดๆ ซง 1 k 2n-1 หลงจากทยายจานไปแลว k ครง ตามขนตอนทจะไดจ านวนครงนอยสด เราจะหาไดอยางไรวา จานแตละใบจะอยทเสาใด ใหลองหาสตรหรอรปแบบทวไป

ค าแนะน าค าถามทาใหคด 2 ในท านองเดยวกบปญหาทาใหคด 1 ขอ 3 เรานยามฟงกชน เราสามารถใหค าตอบในรปทวไปไดดงน

ให 3 |

( ) 3 | 1

3 | 2

A x

f x B x

C x

ถา ถา ถา

และให 1( ) ( 1)

22n p

p p

xg x

โดยท x เปนจ านวนเตมทมคามากทสดและมคาไมเกน x หลงจากทยายจานไปแลว k ครง จานหมายเลข p จะอยทเสา ( )

pf g k


54


6.5 ปญหาทาใหคด 3 พจารณาเกมหอคอยฮานอยทมจาน n ใบ โดยสมต าแหนงเรมตนของจานแตละใบ

ค าถามทาใหคด 1. มต าแหนงเรมตนทเปนไปได แตกตางกนทงหมดกแบบ 2. เราทราบวาจ านวนครงนอยสดในการยายจานจะไมเกน 2n-1 ซงขนกบต าแหนงเรมตน จะมต าแหนงเรมตนทงหมดกแบบทท าให

จ านวนครงนอยสดในการยายจานมคาเทากบ 2n-1 ค าแนะน าค าถามทาใหคด 3 ขอ 1 เนองจากจานแตละใบวางได 3 ต าแหนง คอ วางทเสา A, B หรอ C จงมต าแหนงทเปนไปไดทงหมด 3n ต าแหนง


55

ค าแนะน าค าถามทาใหคด 3 ขอ 2 จากการวเคราะหแบบคดยอนกลบ ถาตองการใหจ านวนครงนอยสดเทากบ 2 1n แสดงวาตองยาย

จานทกใบในระหวางทวเคราะหแบบคดยอนกลบ จานใบท n ตองยายจากเสา A หรอ B ไป C จงวางได 2 ต าแหนง ส าหรบจานใบท 1n ตองยายจากเสา C หรอจากอกเสาหนงทไมใชเสาตงตนของจานใบท n (เชน

ถาจานใบท n เดมอยทเสา A แลวจะสามารถยายจานใบท 1n จากเสา B ได) จงม 2 ต าแหนงเชนกน ส าหรบจานใบอน ๆ ถาวเคราะหในลกษณะเดยวกน จะพบวาจานแตละใบมต าแหนงทวางได 2

ต าแหนง ดงนน จงมต าแหนงเรมตนทงหมด 2n ต าแหนงทจะท าใหจ านวนครงนอยสดในการยายจานเทากบ

2 1n ครง ใหลองแสดงต าแหนงเรมตมทเปนไปไดทงหมด เมอ n มคาไมมากนก เชน เมอ 2n จะตองแสดง

ต าแหนงเรมตน 4 ต าแหนงทท าใหตองยายจานทงหมด 3 ครง หรอเมอ 3n จะตองแสดงต าแหนงเรมตน 8 ต าแหนงทท าใหตองยายจานทงหมด 7 ครง เปนตน



56

6.7 ปญหาทาใหคด 4 พจารณาเกมหอคอยฮานอยทมจาน n ใบ โดยสมต าแหนงเรมตนของจานแตละใบ

ค าถามทาใหคด เราทราบวาจ านวนครงนอยสดในการยายจานจะไมเกน 2n-1 ซงขนกบต าแหนงเรมตน ให k เปนจ านวนเตมซง 0 k 2n-1 จะมต าแหนงเรมตนทงหมดกแบบทท าใหจ านวนครงนอยสดในการยายจานมคาเทากบ k

ค าแนะน าค าถามทาใหคด 4 จากการวเคราะหแบบคดยอนกลบ สมมตวาเราเขยน k ในระบบจ านวนฐานสองไดเปน

1 2 1 2n nk b b b b โดยท

1 2, , , {0,1}

nb b b นนคอ

1 2 1

1 2 12 2 2n nn n

k b b b b นนแสดงวาในการวเคราะหแบบคดยอนกลบ จะตองยายจานท i กตอเมอ 1

ib

ซงโดยการพจารณาเชนเดยวกบค าถามทแลว จานใบทมการยาย จะมต าแหนงเรมตนทวางได 2 ต าแหนง และจานใบทไมมการยาย จะมต าแหนงเรมตนไดเพยง 1 ต าแหนงเทานน ดงนน จ านวนต าแหนงเรมตนทงหมดคอ 1 2 12 n nb b b b

ใหสงเกตวาเมอรวมคา 1 2 12 n nb b b b ส าหรบทกกรณของคา 1 2, , ,

nb b b ทเปนไปได เราจะพบวา

1 2 1 1 2 1

1 1

1 2 1

1 2 1

, , {0,1} , , {0,1}

{0,1} {0,1} {0,1} {0,1}

0 1 0 1 0 1 0 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2

(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )

3

n n n n

n n

n n

n n

b b b b b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

n

ซงตรงกบค าตอบในปญหาทาใหคด 3 ขอ 1 นนเอง


57

ตวอยางในกรณ 2n จะมต าแหนงเรมตนแบบสมทเปนไปได 23 9 ต าแหนง ซงจ าแนกตาม

จ านวนครงนอยสดไดดงน ต าแหนงเรมตนทตองใชจ านวนครงนอยสด

23 11 ครง ม 4 ต าแหนง

ต าแหนงเรมตนทตองใชจ านวนครงนอยสด 2

2 10 ครง ม 2 ต าแหนง ต าแหนงเรมตนทตองใชจ านวนครงนอยสด



0 00 ครง ม 1 ต าแหนง ตวอยางในกรณ 3n จะมต าแหนงเรมตนแบบสมทเปนไปได 33 27 ต าแหนง ซงจ าแนกตาม

จ านวนครงนอยสดไดดงน ต าแหนงเรมตนทตองใชจ านวนครงนอยสด












0 000 ครง ม 1 ต าแหนง ผเรยนควรตรวจสอบโดยการแสดงต าแหนงเรมตนในแตละกรณในตวอยางขางตน


58


6.9 ปญหาทาใหคด 5 จากต านานหอคอยฮานอยซงมเสา 3 ใบ และมจานทองค า 64 ใบ ซงตองยายจานเปนจ านวน 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 ครง ซงถาการยายจานแตละครงใชเวลา 1 วนาท เราพบวา ตองใชเวลาทงหมดประมาณ 5.85 แสนลานป กวาจะถงวาระสดทายของโลก

สมมตวามเสาทงหมด 4 เสา และมจานทองค า 64 ใบ พอจะประมาณขอบเขตไดหรอไมวาเวลาทตองใชในการยายจานทองค าทง 64 ใบ จะลดลงเหลอไมเกนเทาใด ?


59

ค าแนะน าค าถามทาใหคด 5 เนองจากจ านวนครงนอยสดของปญหาหอคอยฮานอย 4 เสายงคงเปนปญหาเปด เราจงไมสามารถให

ค าตอบทชดเจนได แตสามารถประมาณขอบเขตไดหลายวธดวยกน ในทนเราจะลองประมาณคาดงน สมมตวาจานทง 64 ใบทเรมตนวางอยทเสา A และอก 3 เสาทเหลอเรยกวาเสา B, C และ D ตามล าดบ โดยเสาทเปนเปาหมายคอเสา D เราจะท าการยายตามขนตอนดงน

ยายจาน 1-32 จากเสา A ไปเสา B ใชจ านวนครงไมเกน 322 1 ยายจาน 33-63 จากเสา A ไปเสา C ใชจ านวนครงไมเกน 312 1 ยายจาน 64 จากเสา A ไปเสา D ใชจ านวนครง 1 ครง ยายจาน 33-63 จากเสา C ไปเสา D ใชจ านวนครงไมเกน 312 1 ยายจาน 1-32 จากเสา B ไปเสา D ใชจ านวนครงไมเกน 322 1 รวมแลวจงใชจ านวนครงไมเกน 32 12,884,901 853 2 1 ,8 ซงลดลงอยางมหาศาล และถาการ

ยายแตละครงใชเวลา 1 วนาท การยายทงหมดจะใชเวลาไมเกน 323 2 1

408.5860 60 24 365

ป

ในการประมาณขอบเขตขางตนนน เราอางองจ านวนครงในการยายจานจากกรณหอคอยฮานอย 3 เสา

นนแสดงวาเรายงไมไดใชประโยชนสงสดจากการทมเสาถง 4 เสา ฉะนนเวลาทนอยสดยอมจะตองนอยกวานพอสมควรเลยทเดยว อยางไรกตาม เราไดเหนแลววาการเพมเสาเพยงอกเสาเดยว ท าใหจ านวนครงลดลงจากระดบแสนลานป มาทระดบรอยป(หรอต ากวา) เทานน

ผเรยนควรลองประมาณขอบเขตใหใกลเคยงกบความเปนจรงมากกวาน


60

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


61

รายชอสอวชาคณตศาสตรทง 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


62


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


63


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

12 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์...

Documents