§1.2 概率的定义及计算

设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次， 频率

n

mfn 则称 为事件 A 发生

的 频率

频率的性质 1)(0 Afn

1)( nf

事件 A, B 互斥，则)()()( BfAfBAf nnn

可推广到有限个两两互斥事件的和事件

非负性归一性

可加性

稳定性某一定数

)()(lim APAfnn

试验者 抛币次数 n “ 正面向上”次数m

频率

De Morgan 2084 1061 0.518

Bufen 4040 2048 0.5069

Pearson 12000 6019 0.5016

Pearson 24000 12012 0.5005

( )nf A

抛掷钱币试验记录频率稳定性的实例

Afn , 的频率正面向上出现从上表中可以看出

, 次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n

. 5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在

可见 , 在大量重复的试验中 , 随机事件出

现的频率具有稳定性 . 即通常所说的统计规律

性 .

例 Dewey G. 统计了约 438023 个英语单词 中各字母出现的频率 , 发现各字母出现 的频率不同：

A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016Y: 0.0202 Z: 0.0006

概率的统计定义

概率的定义

在相同条件下重复进行的 n 次试验中 , 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动 , 且随 n 越大摆动幅度越小 , 则称 p 为事件 A 的概率 , 记作 P(A).

注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义。

设 是随机试验 E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于 E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为 P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：

非负性： 0)(, APA 归一性： 1)( P

11

)(i

ii

i APAP 可列可加性：,, 21 AA其中 为两两互斥事件

概率的公理化定义

概率的性质 0)( P

)(1)( APAP 1)( AP

有限可加性 : 设 nAAA ,, 21 两两互斥

n

ii

n

ii APAP

11

)(

若 BA )()()( APBPABP )()( BPAP

对任意两个事件 A, B, 有

)()()( ABPBPABP

B

A B=AB+(B – A)

P(B)=P(AB)+

P(B – AB)

B - AB

AB

加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP

)()()( BPAPBAP 推广：

)(

)()()(

)()()()(

ABCP

BCPACPABP

CPBPAPCBAP

)()1()(

)()()(

211

1

111

nn

n

nkjikji

njiji

n

ii

n

ii

AAAPAAAP

AAPAPAP

一般：

右端共有 项 .12 n

1 , ,

4A B P A 例1 设 、 为两个随机事件 且已知

. , 21

ABPBP 就下列三种情况求概率　

. 91

3 ; 2 ; 1 ABPBABA 互斥与

解 , 1 所以互斥、由于 BA

互斥、 BA

A B

AB

BPABP . 21

BAB 于是

所以

B A

BA

, 2 所以因为 BA

ABPABP APBP

. 41

41

21

ABP 3 B

A AB

BA

ABBP

ABPBP

. 187

91

21

, 41

, 2 CPBPAPCBA 且是三事件、、设例

　至少有、、求 . 81

,0 CBAACPBCPABP

. 　一个发生的概率

解 CBAP

1 13 0

4 8 .

85

ACPABPCPBPAP

ABCPBCP

例 3：在 110 这 10 个自然数中任取一数，求（ 1）取到的数能被 2或 3整除的概率，（ 2）取到的数即不能被 2也不能被 3整除的概率，（ 3）取到的数能被 2整除而不能被 3整除的概率。解 :设 A—取到的数能被 2整除 ;B-- 取到的数能被 3整除 1

( ) ,2

P A 3( ) ,

10P B

故 (1) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB

1( )

10P AB

7

10

(2) ( ) 1 ( )P A B P A B 3

10

(3) ( ) ( ) ( )P A B P A P AB 2

5

加法原理 完成一件事情有 n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1

种不同的方法 .

乘法原理 完成一件事情有 n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1

种不同的方法 .

组合记数 ( 复习 )

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有( 1)( 2) ( 1)m

nA n n n n m

可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排 , 不同的排法有

mn种 .

全排列 !nnA n

组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）组成一组， 不同的分法共有

!

!( )!

n n

m m n m

1n r

r

重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取 r 次所得的组合称为重复组合，此种重复组合数共有

0! 1 10

n

和

例 4: 两批产品各 50件 ,其中次品各 5件 ,从这两批产品中各抽取 1件 ,

(1) 两件都不是次品的选法有多少种 ?

(2) 只有一件次品的选法有多少种 ?

解 (1) 用乘法原理 ,结果为21

45145 45. CC

(2) 结合加法原理和乘法原理得选法为 :

4504552C.CC.C 15

145

145

15

设 随机试验 E 具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生

则称 E 为 古典 ( 等可能 ) 概型古典概型中概率的计算：

记 中包含的基本事件总数n

的基本事件个数组成 Ak

nkAP /)( 则

古典（等可能）概型

概率的古典定义

例 5: 设盒中有 3 个白球， 2 个红球，现从盒中任抽 2 个球，求取到一红一白的概率。

25n C 1 1

3 2k C C1 13 2

25

3( )

5

C CP A

C

答 : 取到一红一白的概率为 3/5

解 : 设 A----- 取到一红一白

1 、抽球问题

一般地，设盒中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，则这 n 个球中恰有 k

个白球的概率是 k n kM N M

nN

C Cp

C

在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。

bam 例 6 袋中有 a 只白球， b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取 m 个球（ ),求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率mkak ,

bam

)1()1)(()( mbababaAn mba

解 （ 1 ）不放回情形E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次:

记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则

)!(!

)!(!

)!(!!

kmbb

kaa

kmkm

AACn kmb

ka

kmA

又解 E1: 球编号 , 一次取 m 个球 , 记下颜色m

baCn 11:

记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则km

bkaA CCn

不放回地逐次取 m 个球 , 与一次任取 m 个球算得的结果相同 .

则m

ba

kmb

ka

km

A

AACAP

)( mkak ,

因此m

ba

kmb

ka

CCC

AP

)( mkak , 称超几何分布

（ 2 ）放回情形E2: 球编号 , 任取一球 , 记下颜色 , 放回去 , 重复 m 次

mban )(2

2:

记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球 , 则

m

kmkkm

babaC

BP)(

)(

kmk

km ba

bba

aC

ba

ap

记

),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm

称二项分布

例 7 设有 k 个不同的球 , 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ） , 设每个盒子容球数无限 , 求下列事件的概率 :

Nk

（ 1 ）某指定的 k 个盒子中各有一球；

（ 4 ）恰有 k 个盒子中各有一球；（ 3 ）某指定的一个盒子没有球；

km（ 2 ）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )

（ 5 ）至少有两个球在同一盒子中；（ 6 ）每个盒子至多有一个球 .

2. 分房模型

解 kNn设 (1) ~ (6) 的各事件分别为 61 AA

则 !1

kmA k

A

N

k

n

mAP

!)( 1

1

k

kN

N

kCAP

!)( 4

k

k

NN

AP)1(

)( 3

k

mkmk

N

NCAP

)1()( 2

k

kN

k

N

kCNAP

!)( 5

)(1 4AP

kA Nm )1(

3

mkmkA NCm )1(

2

!4

kCm kNA

!5

kCNm kN

kA

!6

kCm kNA )()( 46 APAP

例 7 的“分房模型”可应用于很多类似场合

“球”可视为

人

“盒子”相应视为

房子

信封信钥匙 门锁

生日人

例 8 “ 分房模型”的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两

人生日相同（设为事件 A ) 的概率 .

解

为 n 个人的生日均不相同 , 这相当于A

本问题中的人可被视为“球”， 365 天为365 只“盒子”

若 n = 64 ，

每个盒子至多有一个球 . 由例 7（ 6 ）

n

n nCAP

365

!)( 365 .

365

!1)(1)( 365

n

n nCAPAP

.997.0)( AP

3. 分组问题例 9 ： 30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分到 3 个班中去，求：（ 1 ）每班有一名运动员的概率；（ 2 ） 3 名运动员集中在一个班的概率。

30!

10! 10! 10!n C C C 10 10 10

30 20 10

3 9 9 93 27 18 9 50

( )203

A C C CP A

n

7 10 1027 20 103

( )C C C

P Bn

解 : 设 A: 每班有一名运动员 ;B: 3 名运动员集中在一班

4 随机取数问题

例 10： 从 1到 200 这 200 个自然数中任取一个 ,(1) 求取到的数能被 6整除的概率； (2) 求取到的数能被 8整除的概率； (3) 求取到的数既能被 6整除也能被 8整除的概率。

解 :n =200,k(3)=[200/24]

=8

k(1)=[200/6]=33,

k(2)=[200/8]=25

(1),(2),(3) 的概率分别为 33/200,1/8,1/25

若 P(A) 0.01 , 则称 A 为小概率事件 .

小概率事件

一次试验中小概率事件一般是不会发生的 . 若在一次试验中居然发生了 ,

则可怀疑该事件并非小概率事件 .

小概率原理

——

——( 即实际推断原理 )

例 11 区长办公室某一周内曾接待过 9 次来 访 , 这些来访都是周三或周日进行的 , 是否 可以断定接待时间是有规定的？

解 假定办公室每天都接待，则P( 9 次来访都在周三、日 ) = = 0.00001279

9

72

这是小概率事件 , 一般在一次试验中不会发 发生 . 现居然发生了 , 故可认为假定不成立 ,

从而推断接待时间是有规定的 .

(1)几何概型 设Ω为试验 E的样本空间，若①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或

者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点 ;

②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称 E为几何概型。(2)几何概型概率的定义

设试验的每个样本点是等可能落入区域 Ω上的随机点 M，且 D含在Ω内 , 则 M点落入子域 D(事件 A) 上的概率为 :

几何概型 ( 等可能概型的推广 )

( )P(A)

( )

m D

m

例 12 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率 .

9 点 10 点

10 分钟

61

6010

)( AP

( )m m D

及 在 是区间时，表示相应的长度；

在 是平面或空间区域时，表示相应的

注：

面积或体积。

几何概率的性质：

0)( P

可列可加性 : 设 nAAA ,, 21 …

11

)(i

ii

i APAP

非负性

规范性 1P

0 1P

两两互不相容．

例 13 两船欲停靠同一个码头 , 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的 .如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小时 , 试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率 .

解 : 设船 1 到达码头的瞬时为 x ， 0 x < 24 船 2 到达码头的瞬时为 y ， 0 y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要

等待空出码头．

x

y

24

24

y = x

y = x

+ 1

y = x

- 2

224S

22 222321

AS

1207.01)( S

SAP A

}240,240),{( yxyx

{( , ) ( , ) ,

0 1, 0 2}

A x y x y

y x x y

小结

频率的定义概率的公理化定义及概率的性质

事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标 .它介于 0 与 1 之间 .

古典概型的定义 古典概率的求法

作业 P 34 习题一

7 8 10 12

15 19 21 22