12 analiza a cls. a xii a

8/14/2019 12 Analiza a Cls. a XII A

1/5


2/5

64

2) *( ) , , ,( )n A f x A a n

x a=

Z q

3) 22( ) , , , , , 4 0, *( )n Ax B f x A B a b a b n

x ax b+= = < + +

Z q

Orice funcie raional se poate descompune, n mod unic, n sum de funcraionale simple.

Integrale definiteFie F : I Z o primitiv a funciei continue f : I Z , unde I = [a; b]. Se numete

integral definit ( sau integral Riemann) a funciei f de laa la b numrul real notati definit prin relaia:

( ) ( ) ( )ba

f x dx F b F a= ( formula Leibniz-Newton ).Formula se mai scrie: ( ) ( )

b b

aa f x dx F x

= , unde s-a notat ( ) ( ) ( )b

a F b F a F x

=(citim

F ( x) luat de laa la b ).

Proprieti ale integralelor definiteFie funciile continue:[ ; ] f a b Z , :[ ; ] g a b Z .J Proprietatea de liniaritate a integralei:

, Z , ( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx + = + .

J Proprietatea de aditivitate a integralei: c i [a; b], ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +

.

J Proprietatea de medie a integralei: j c i (a, b) astfel nct ( ) ( ) ( )b

a f x dx f c b a= .

J Proprietatea de pozitivitate a integralei: dac f U 0 pe [a;b ], ( ) 0b

a f x dx U .

J Proprietatea de monotonie a integralei: dac f T g pe [a;b ], ( ) ( )b b

a a f x dx g x dx T .

Interpretarea geometric a integralei definiteFie numerele realea < b i funcia continu pozitivf : [a ;b] Z . Mulimea

2

{( , ) | , 0 ( )} f x y a x b y f x = Z T T T T se numete subgrafic al funcieif .Dac funcia :[ , ] f a b Z este continu, atunci irul

1 *

n

nk n

b a b aS f a k

n n=

= + q converge la ( )b

a f x dx .

Aria subgraficului unei funcii continue pozitivePentru o funcie continu i pozitiv f : [a, b] Z avem aria( ) ( )

b

f a f x dx = .

Integrarea funciilor continue pe poriuni Funcia f : [a, b] Z se numetecontinu pe poriuni dac are cel mult un numr finit

de puncte de discontinuitate i acestea sunt puncte de discontinuitate de spea nti.


3/5

65

Aria unei suprafee mrginit de grafice de funcii Fie T o suprafa plan mrginit. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:1 SuprafaaT are arie.2 Exist un ir ( P

n)

nU 1de suprafee poligonale incluse nT i un ir (Q

n)

nU 1de

suprafee poligonale care includ peT , astfel nctlim ( ) lim ( )n nn n

S P S Q

= . Valoareacomun a acestor limite este aria suprafeeiT (undeS ( P ) este aria poligonului P ).

Fie funciile , :[ , ] f g a b Z continue. Presupunem c g ( x) T f ( x), x i [a , b].Suprafaa plan delimitat de graficele funciilor f i g pe [a , b] este

2{( , ) | i ( ) ( )} x y a x b g x y f x = Z T T T T . Aria suprafeei este ( ( ) ( ))b

a f x g x dx .

Volumul unui corp de rotaieFieC un corp geometric mrginit. Presupunem c exist un ir de corpuri (C

n)

nU 1 careau volum i sunt incluse nC , precum i un ir de corpuri (mrginite) ( D

n)

nU 1 care auvolum i includ peC , astfel nctlim ( ) lim ( )n n

n nV C V D

= , undeV ( P ) este volumul

poliedrului P . Atunci, corpulC are volum i volumul suV (C ) este valoarea comuna celor dou limite.

Fie f : [a,b] Z o funcie continu. Mulimea{ }3 2 2( , , ) | ( ) x y z y z f x= +Z TC se numetecorpul de rotaie determinat de funcia f prin rotirea n jurul axeiOx. Volumul corpului de rotaie C este 2( )

b

a f x dx .

Aria unei suprafee de rotaieFie f : [a , b] Z + o funcie derivabil cu derivata continu.

Mulimea { }3 2 2

( , , ) | ( ), [ , ] x y z y z f x x a b= + = ZS se numete suprafaa derotaie determinat de funcia f (sau suprafaa obinut prin rotirea graficului funciei f n jurul axeiOx). Aria suprafeei de rotaie S este 22 ( ) 1 ( ( ))

b

a f x f x dx + .

Fie :[ ; ] f a b Z continu pe poriuni i fiec1, c2, ...,c p punctele de discontinuitate(c1 T c2 T ... T c p). Integrala (Riemann) funciei f este

1

1

1( ) ( )i

i

pb c

ia ci

f x dx f x dx

+

== ,

undec0 = a i c p+1 = b, iar 1:[ ; ] , {1, ..., }i i i f c c i p Z este funcia obinut prin prelungirea prin continuitate a lui f la intervalul [ci 1; ci].

Formula de integrare prin pri. Presupunem c funciile f , g : I Z suntderivabile, cu derivatelef , g : I Z continue. Fie dou numerea, b i I . Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )b bb

aa a f x g x dx f x g x g x f x dx = . Formula de schimbare de variabil. Presupunem c funcia: J I este

derivabil, cu derivata continu i funciaf : I Z este continu. Fie dou numere, i J . Atunci:

( )

( )( ( )) ( ) ( ) f t t dt f x dx

= .


4/5

66

Lungimea graficului Dac :[ , ] f a b Z este o funcie oarecare, spunem c graficul lui f are lungime

dac exist i este finit limita0

( ) lim ( , )l f l f

= undeeste o diviziune a intervalului[a; b], iarl ( f ; ) este lungimea liniei poligonale determinat de pe graficul lui f .Aceast limit se numetelungimea graficului funciei f .

Lungimea graficului unei funcii f : [a , b] Z derivabil cu derivat continueste 21 ( ( ))

b

al f x dx= + .

Centrul de greutateDac avem n plan un sistem finit de puncte materiale M i( xi, yi) n care sunt concen-

trate maselemi, 1,i n= , atuncicentrul de greutate al acestui sistem de puncte materiale

este punctulG( xG, yG), unde: 1 1

1 1

,

n n

i i i i

i iG Gn n

i ii i

m x m y

x ym m

= =

= =

= = iar n centrul de greutate

G

este concentrat masa1

n

ii

m m=

= . Considerm cazul unei plci plane omogene (adic degrosime neglijabil i format dintr-un material cu densitate constant).

FieE o astfel de plac plan omogen, mrginit de graficele funciilor continue f , g : [a; b] Z unde g ( x) > f ( x), x i [a ; b]. Centrul de greutate al luiE este

punctulG de coordonate( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

b

aG b

a

x g x f x dx x

g x f x dx

=

,2 21 ( ( ) ( ))2

( ( ) ( ))

b

aG b

a

g x f x dx y

g x f x dx

=

.

Ecuaii diferenialenelegem prinecuaie diferenial o ecuaie avnd drept necunoscut o funcie y i n

care apare cel puin una din derivatele acestei funcii. De obicei funcia necunoscunotm cu y, iar argumentul acesteia cu x. Dac derivata de ordin maxim care apare necuaie este y(n), spunem cecuaia diferenial are ordinul n . O ecuaie diferenial deordinuln se poate scrie sub forma:( x, y, y, y, ..., y(n)) = 0, unde este o funcie den + 2variabile, iar funciile y, y, y, ..., y(n)sunt funcii de o singur variabil x definite pe uninterval Z I .

Uneori, mai ales n mecanic i n fizic, argumentul se noteaz cut (timp)iar funcianecunoscut cu x, derivatele fiind marcate prin puncte adic,& && x x etc.

Fiind dat o ecuaie diferenial, numim soluie particular a acesteia oricare dintrefunciile y care o verific i numim soluie general a ecuaiei mulimea tuturor soluiilor particulare.

Prinrezolvarea unei ecuaii difereniale nelegem determinarea soluiei generale aacesteia.


5/5

67

Uneori, relativ la o ecuaie diferenial de ordinuln se cere determinarea uneisoluii particulare ce verific anumite condiii iniiale , adic funcia necunoscui primele salen 1 derivate iau valori date ntr-un punct dat; o astfel de cerin senumete problem Cauchy .

Fie I , J dou intervale de numere reale.Vom numiecuaie diferenial cu variabile separabile o ecuaie care se poatescrie sub forma: f ( y)E y = g ( x), unde g : I Z i f : J Z sunt dou funciicontinue.

Rezolvarea acestei ecuaii se face integrnd (trecnd la primitive) n ambii membObinem: = ( ) ( ) f y dy g x dx , x i I adic o egalitate de tipul F ( y) =G( x) +C , x i I ,unde F este o primitiv pentru f , G este o primitiv pentru g , iarC i Z .

Ecuaii difereniale liniare de ordinul 1O ecuaie diferenial de ordinul 1 se numete liniar dac este de forma

a( x) y + b( x) y + c( x) = 0, x i I undea , b, c sunt funcii continue definite pe I i ( ) 0,a x x I .

Un caz particular important este acela cndc( x) = 0, x i I , cnd ecuaia devine: + =( ) ( ) 0a x y b x y , x i I .

Ecuaia + =( ) ( ) 0a x y b x y se numeteecuaia liniar omogen asociat ecuaieia( x) y + b( x) y + c( x) = 0.Aceast ecuaie este o ecuaie cu variabile separabile.

Soluia general a ecuaiei liniare neomogene se obine dac adugm la solugeneral a ecuaiei omogene o soluie particular (fixat) a ecuaiei neomogene. Scrsimbolic, avem: yneomogen= yomogen+ y particular.

Ecuaii difereniale liniare de ordinul 2 cu coeficieni constani O ecuaie diferenial de ordinul 2 se numeteliniar cu coeficieni constani

dac este de forma:ay + by + cy + d = 0, x i Z undea , b, c, d i Z , 0a .Cndd = 0 ecuaia devine:ay + by + cy = 0, x i Z i se numeteecuaie liniar

omogen de ordin 2 cu coeficieni constani .

Ca i n cazul ecuaiilor liniare de ordinul 1, se arat c o soluie general ecuaiei neomogene se obine din soluia general a ecuaiei omogene, la cadugm o soluie particular (fixat) a ecuaiei neomogene.

Unei ecuaii omogene i asociem ecuaia algebric de gradul 2 cu necunoscutar :ar 2 + br + c = 0 numitecuaia caracteristic asociat .

I) Dac ecuaia caracteristic are rdcinile reale distincte1 2r r (cazul > 0),atunci soluia general a ecuaiei date este:= + 1 21 2 1 2, , Zr x r x y C e C e C C .

II) Dac ecuaia caracteristic are rdcina real dublr (cazul= 0), atunci soluia

general a ecuaiei date este: 1 2 1 2, ,rx rx

y C e xC e C C = + Z

.III) Dac ecuaia caracteristic are rdcinile complexe conjugate (nereale)r 1 = + i,r 2 = i ( 0 ) (cazul< 0), atunci soluia general a ecuaiei date este:

= + 1 2cos sin x x y C e x C e x , C 1, C 2 i Z .

12 analiza a cls. a xii a

Documents