120028835 econometria ii

Notas de Econometra II

Antonio Caparrs Ruiz y Oscar D. Marcenaro-Gutirrez

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Notas de Econometra II

Autores:

Dr. Antonio Caparrs Ruiz*

Dr. Oscar D. Marcenaro Gutierrez**

Profesores Titulares de Universidad

Departamento de Economa Aplicada (Estadstica y Econometra, 15)

Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales

El Ejido, 6

Universidad de Mlaga

Email*: [email protected]

Email**: [email protected]

Tfno*: 952 131163

Tfno**: 952137003

Notas de Econometra II Antonio Caparrs Ruiz y Oscar D. Marcenaro-Gutirrez

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ndice Tema 1. Anlisis clsico de series temporales .

1.1. Introduccin. 1.2. Componentes de una serie temporal. Descomposicin. 1.3. Componente estacional. 1.4. Componente tendencia-ciclo. 1.5. Prediccin.

Tema 2. Modelos de Alisado Exponencial (M.A.E.)

2.1. Introduccin. 2.2. Tipos de modelos.

2.2.1. M.A.E. simple. 2.2.2. M.A.E. doble. 2.2.3. M. de Holt-Winters (H-W) sin estacionalidad. 2.2.4. M.H-W con estacionalidad.

Tema 3. Modelos estocsticos de series temporales .

3.1. Introduccin. 3.2. M. estacionarios lineales: ARMA (p,q). 3.3. M. no estacionarios: ARIMA (p,d,q) y modelos estacionales.

Tema 4. Anlisis Box-Jenkins.

4.1. Introduccin. 4.2. Identificacin. 4.3. Estimacin 4.4. Validacin 4.5. Prediccin

Tema 5: Introduccin a los Modelos Dinmicos.

5.1. Introduccin. 5.2. Causas que generan retardos en el comportamiento econmico. 5.3. Modelo dinmico general. Modelo de retardos distribuidos (MRD). 5.4. Caractersticas de los modelos dinmicos.

Multiplicadores. Condicin de estabilidad. Tipos de trayectoria. Condicin de monotona. Retardo medio y Retardo Mediano.

Tema 6: Especificacin y Estimacin de MRD.

6.1. Introduccin. 6.2. Especificacin y estimacin de MRD finitos:

6.2.1. Sin restricciones. 6.2.2. Con restricciones.

6.2.2.1. Ponderaciones. 6.2.2.2. Polinomios.

6.3. Especificacin y estimacin de MRD infinitos. 6.3.1. Retardo geomtrico (Koyck). 6.3.2. Retardo racional general (Jorgenson).


3

6.4. Justificacin terica de los MRD. 6.4.1. Modelo con rigideces. Hiptesis de Ajuste Parcial (HAP). 6.4.2. Modelo con incertidumbre. Hiptesis de Expectativas Adaptativas

(HEA). 6.5. Estimacin de MDA.

Tema 7: Modelos multiecuacionales.

7.1. Introduccin. 7.2. Sistemas de ecuaciones no simultneas: Modelos recursivos y SURE. 7.3. Modelos de ecuaciones simultneas.

7.3.1. Identificacin (condiciones orden y rango). 7.3.2. Estimacin y validacin. 7.3.3. Simulacin y prediccin.

Apndice A. Alfabeto griego. Nota sobre el multiplicador de Haavelmo.


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PREFACIO Es importante recordar la creciente importancia de la econometra como disciplina dentro de la economa. De hecho la necesidad de cuantificar y evaluar las teoras e hiptesis econmicas se han convertido en una piedra angular de la economa, que cobra an ms relevancia en tiempos convulsos para la economa como los actuales.

En los temas que siguen ampliaremos nuestro campo de visin respecto a la modelizacin de la economa y la administracin de empresas, al tener en cuenta un aspecto esencial de esta disciplina cientfica: el carcter dinmico del comportamiento de los agentes econmicos. Aqu, como en cualquier otro mbito de la investigacin economtrica aplicada habr que seguir una serie de pasos para dotar a nuestras investigaciones del suficiente rigor. Sirva como recordatorio el siguiente esquema, en el que se resumen esas etapas fundamentales del anlisis economtrico aplicado:

Cuadro 1.1. Etapas del anlisis economtrico aplicado.

Fuente: Maddala (2001).

En un contexto de anlisis de series temporales es importante hacer, en primer lugar, una breve resea histrica que nos permita ubicarnos con mayor facilidad en las diferentes aproximaciones que se han abordado ante el problema de anlisis de series temporales. En estos procedimientos metodolgicos se pueden sintetizar en tres:

a) El anlisis clsico de series temporales (extendido en la dcada de 1920) se basa en descomponer la serie temporal en cuatro componentes: tendencia, ciclo, movimiento estacional y movimiento irregular. Este procedimiento pretende acotar cada uno de estos componentes

Teora Econmica

Modelo Economtrico

Test correcta especificacin modelo

Es el modelo adecuado?

Datos

Contrastes de hiptesis

Utilizacin del modelo para tareas predictivas

S No

Estimacin


5

para, posteriormente, utilizarlo en la determinacin de la evolucin futura de la variable. Este procedimiento implica un enfoque determinista. Con el enfoque adoptado en el anlisis clsico se pueden obtener predicciones de los valores de la variable a partir del pasado de la misma, sin recurrir a la informacin de otras variables (como hace el anlisis causal) para obtener las predicciones.

Con posterioridad se desarroll la concepcin estocstica de las series temporales, que se basa en la teora de los procesos estocsticos. Dentro de esta concepcin podemos distinguir a su vez dos procedimientos para abordar el anlisis de series temporales, el enfoque Box-Jenkins y el anlisis causal.

b) El enfoque Box-Jenkins implica que es un proceso estocstico el que genera la evolucin de

una serie temporal, y por tanto la cuestin esencial es determinar el proceso generador (modelo ARIMA) de la serie temporal, que se basar en lo que los propios datos observados para la serie temporal nos indiquen. En sntesis se trata de explicar el comportamiento de una variable en el futuro (fin predictivo) a partir de cmo han evolucionado los valores de esa variable en los periodos anteriores. En este contexto una serie temporal es una realizacin de un proceso estocstico.

c) El anlisis causal, tambin llamado enfoque estructural, que explica el comportamiento de una variable a partir de las variaciones en otras (variables causales) ms un trmino de perturbacin aleatoria. As la evolucin futura de la variable explicada vendr determinada por los valores en el futuro de las variables explicativas (causales). Este ser el enfoque que abordaremos a lo largo de la ltima parte de la asignatura (modelos de retardos distribuidos y modelos dinmicos autoregresivos).


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Tema 1. Anlisis clsico de series temporales.

1.1 Introduccin.

La asignatura precedente de Econometra, Econometra I, se ha ubicado en el campo de la Econometra causal, es decir, una variable dependiente es explicada y predicha por su relacin con k variables explicativas:

Yt = 1 + 2*X2t + ...+ k*Xkt + ut

Este tipo de anlisis conlleva una serie de problemas:

1) La necesidad de una teora que justifique las posibles variables explicativas que se han de introducir en el modelo.

2) Las predicciones de la variable Y se basan en predicciones de las Xs. Por estas razones surge el anlisis clsico de series temporales que permite realizar predicciones

de la variable con la nica informacin procedente del pasado de la misma.

1.2 Componentes de una serie temporal.

Una serie temporal puede descomponerse en las siguientes cuatro componentes: a) Tendencia de larga duracin o secular (Tt):

Recoge el movimiento de la variable a largo plazo, que puede ser debido a cambios demogrficos, tecnolgicos o institucionales.

Ejemplos de variables con tendencia. 1) Paro registrado en Espaa (n personas).

Fuente: INE. 2) Edad media a la maternidad (aos).

Fuente: INE.

Paro registrado

0500000

100000015000002000000250000030000003500000400000045000005000000

1996

M01

1997

M05

1998

M09

2000

M01

2001

M05

2002

M09

2004

M01

2005

M05

2006

M09

2008

M01

2009

M05

2010

M09

2012

M01

Edad media a la maternidad

26

27

28

29

30

31

32

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

2009


7

3) Tasa de mortalidad infantil posneonatal. (n defunciones por cada mil nacidos).

Fuente: INE.

Ejemplo de variable sin tendencia. Temperatura media en Mlaga en el mes de septiembre (grados centigrados).

Fuente: INE.

b) Movimiento oscilatorio o cclico:(Ct) Recoge las fluctuaciones originadas por el ciclo econmico, que pueden durar entre 4 y 8 aos.

Ejemplo: Variaciones intertrimestrales del PIB a precios de mercado (Indice de volmenes encadenados).

Fuente: INE.

b) Fluctuaciones estacionales (Et):

Son movimientos que se presentan con una periodicidad inferior al ao (mes, trimestre, cuatrimestre,...), suelen ser repetitivos y muestran el efecto de la climatologa, la estructura productiva o festividades.

Tasa de mortalidad infantil postneonatal

01234567

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

2009

Temperatura media en Mlaga en septiembre

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Variaciones interanuales (%) del PIB a precios de mercado (ndices de volumen encadenados)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

2001TI 2002TIII 2004TI 2005TIII 2007TI 2008TIII 2010TI 2011TIII


8

Ejemplo: Indice del comercio al por menor.

Fuente: INE.

d) Variaciones irregulares (It):

Muestra aquellos factores asociados al muy corto plazo y que quedan fuera del control del analista. Dentro de este componente tambin denominado residual, se encuentran factores inusuales, pero fcilmente reconocibles como una catstrofe natural.

Ejemplo. Licitacin oficial de las Administracin Pblicas (millones de euros).

Fuente: INE.

Indice de ventas del comercio minorista

0

20

40

60

80

100

120

140

2003M01 2004M07 2006M01 2007M07 2009M01 2010M07 2012M01

Licitacin oficial de las Administraciones Pblicas

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1995M01 1999M03 2003M05 2007M07 2011M09


9

Ejemplo de descomposicin de una serie en componentes:

Dado que los componentes de una serie no se observan aisladamente, se necesita aplicar hiptesis

que representen el proceso generador de los datos:

1) Hiptesis aditiva: Yt = Tt + Ct + Et + It 2) Hiptesis multiplicativa: Yt = Tt * Ct * Et * It 3) Hiptesis mixta: Yt = Tt * Ct * Et + It

A nivel prctico hay que elegir entre uno u otro esquema. Hay que considerar que en la hiptesis

aditiva los cuatro componentes son independientes, por ejemplo, la existencia de tendencia no condiciona el efecto de la estacionalidad; mientras que en la hiptesis multiplicativa, los elementos estn interrelacionados entre s. Para concretar si la serie temporal sigue un esquema aditivo o uno multiplicativo, por ejemplo se puede analizar la amplitud del ciclo anual (componentes de la serie estacional). Si sta aumenta a medida que lo hace la tendencia (las ondas se agrandan), el modelo es multiplicativo. Si permanece constante es aditivo.

1,600,000

2,000,000

2,400,000

2,800,000

3,200,000

3,600,000

4,000,000

4,400,000

4,800,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

PARO

1,500,000

2,000,000

2,500,000

3,000,000

3,500,000

4,000,000

4,500,000

5,000,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

TENDENCIA

-400,000

-200,000

0

200,000

400,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

CICLO

-200,000

-100,000

0

100,000

200,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

ESTACIONALIDAD

-60,000

-40,000

-20,000

0

20,000

40,000

60,000

80,000

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

IRREGULAR


10

Ejemplo:

1. 3. Componente estacional: Desestacionalizacin.

En este epgrafe analizamos, en primer lugar, cmo conocer mediante el uso de tasas de variacin la evolucin de una variable a medio y largo plazo. En segundo lugar, se presenta una serie de tcnicas que permiten desestacionalizar una serie y extraer el componente estacional de la misma. 1.3.1 Evolucin a medio y largo plazo de la variable. Si el objetivo es conocer la evolucin de la serie sin estacionalidad, es decir, su evolucin a medio y a largo plazo, es necesario obtener su tasa de variacin interanual. As, por ejemplo, bajo una hiptesis multiplicativa y con datos trimestrales (Yt = Tt * Ct * Et * It), la tasa interanual se obtendra de la siguiente forma:

T14 = [(Yt Yt-4) / Yt-4] *100= [(( Tt * Ct * Et * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * Et-4 * It-4))*100]

Si se supone estacionalidad estable Et = Et-4, entonces:

200

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

96 98 00 02 04 06 08 10

Serie1_Hiptesis aditiva

400

600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

96 98 00 02 04 06 08 10

SERIE2_Hiptesis multiplicativa


11

T14 = [(Yt Yt-4) / Yt-4] *100=[(( Tt * Ct * It)- ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))/ ( Tt-4 * Ct-4 * It-4))*100]

Con esta tasa el efecto estacional queda excluido. Ejemplo:

Tasas de variacin del Indice de pedidos en la industria (2012M1-2012M6)

Tasa de variacin Tasa de variacin intertrimestral interanual 2012M01 3.97 0.12 2012M02 0.32 -0.15 2012M03 10.77 -3.91 2012M04 -13.15 -4.21 2012M05 8.41 -3.84 2012M06 1.70 -1.67

1.3.2 Desestacionalizacin.

En este subepgrafe se presentan diversos mtodos para extraer el componente estacional de una variable. a) Mtodo de la razn a la media mvil.

Con este mtodo se obtienen unos coeficientes que sintetizan en un nico valor la estacionalidad para cada periodo temporal. Y a partir de ah, poder obtener la serie desestacionalizada, es decir, la serie sin el componente estacional.

El mtodo parte de suponer que se cumple lo siguiente:

a) La serie ha sido generada bajo una hiptesis multiplicativa:

Yt = Tt * Ct * Et * It

b) La estacionalidad es estable, no vara para mismo periodos de diferentes aos: Et=Et-4 o Et=Et-12, con datos trimestrales y mensuales, respectivamente. c) La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta.

Indice de pedidos en la industria

020406080

100120140

2002

M01

2002

M11

2003

M09

2004

M07

2005

M05

2006

M03

2007

M01

2007

M11

2008

M09

2009

M07

2010

M05

2011

M03

2012

M01


12

El objetivo del mtodo es obtener una estimacin de Et. Concretamente, el procedimiento consta de las siguientes pasos: 1) Dada una serie Yt se estima el componente tendencia-ciclo a travs de la serie de medias mviles centradas:

MMct=Tt*Ct=

++++++

++++

++

++

mensualesdatosconYYYYYestrimestraldatosconYYYYY

ttttt

ttttt

,12/)*5.0......*5.0(,4/)*5.0*5.0(

6116

2112

2) Se obtiene el componente estacional e irregular (Et*It). Para ello se divide la serie original por MMct :

Et*It= Yt / MMct

A esta serie de valores se les denominan ndices especficos o brutos de variacin estacional y constituyen una primera aproximacin del componente estacional. 3) Primera estimacin del componente estacional: Ej .

La diferencia entre los ndices estacionales es debida a los factores irregulares. Estos se eliminan tomando la media aritmtica para cada una de las "m" fracciones del ao (m es cuatro con datos trimestrales y 12 para datos anuales). 4) Normalizacin de los coeficientes: Ej.

La estacionalidad media en un esquema multiplicativo corresponde a Et=1. Por ello, para lograr que los ndices estacionales tengan como media 1, stos han de ser normalizados. Como resultado se obtienen los ndices generales de variacin estacional (IGVE):

IGVEj = m

m

j

EEE

E''

2'

1

'

*...**

, j=1,...,m

La serie desestacionalizada se obtendra de la siguiente forma: Ydt,j= Yt,j / IGVEj. 5) Los IGVEj fluctan por debajo y por encima de 1.

Ejemplo con la serie ndice de pedidos en la industria:


13

Sample: 2002M01 2012M06 Included observations: 126 Ratio to Moving Average Original Series: PEDIDOS Adjusted Series: PEDIDOSSA

Scaling Factors:

1 0.985893 2 0.976118 3 1.076340 4 1.005896 5 1.040415 6 1.049747 7 1.063365 8 0.772776 9 1.045012 10 1.049583 11 1.021198 12 0.954751

Interpretacin de los IGVE: 1) (IGVEmarzo-1)*100 = (1.076-1)*100= 7.6%

La estacionalidad del mes de marzo provoca que el ndice de pedidos en la industria crezca un 7.6% por encima de su valor medio anual. 2) (IGVEagosto-1)*100 = (0.77-1)*100= -23%

La estacionalidad del mes de agosto provoca que el ndice de pedidos en la industria caiga un 23% por debajo de su valor medio anual. b) Mtodo de la diferencia a la media mvil:

La hiptesis que subyacen tras este mtodo son las siguientes: * La serie ha sido generada bajo una hiptesis aditiva:

60

80

100

120

140

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PEDIDOS PEDIDOSSA IGVE


14

Yt = Tt + Ct + Et + It

* La estacionalidad es estable, no vara para mismo periodos de diferentes aos: Et=Et-4 (t es un trimestre) o Et=Et-12 (t es un mes). * La tendencia y el ciclo se obtienen de forma conjunta.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

1) Estimacin del componente tendencia-ciclo a travs de la serie de medias mviles centradas: MMct = Tt + Ct+ Et + It

++++++

++++

++

++

mensualesdatosconYYYYYestrimestraldatosconYYYYY

ttttt

ttttt

,12/)*5.0......*5.0(,4/)*5.0*5.0(

6116

2112

2) Primera estimacin del componente estacional e irregular (Et+It). Para ello se resta la MMct a la serie original, Yt,:

Et+It= Yt - MMct

A esta serie de valores se les denominan ndices especficos o brutos de variacin estacional y constituyen una primera aproximacin del componente estacional.

3) Primera estimacin del componente estacional: Ej.

Bajo la hiptesis de estacionalidad estable, la diferencia entre los ndices especficos o brutos de variacin estacional es debida a los factores irregulares. Estos se eliminan tomando la media aritmtica para cada una de las fracciones del ao. 3) Posteriormente se normalizan los coeficientes Ej, para que la media de todos los ndices valga 0 (valor correspondiente a la ausencia de estacionalidad bajo una hiptesis aditiva), obtenindose los IGVEj=

=

m

jjj mEE

1

'' /

Por ejemplo, si los datos son trimestrales:

IGVE1= E1 - =

4

1

' 4/j

jE ; IGVE2= E2 - =

4

1

' 4/j

jE ; IGVE3= E3 - =

4

1

' 4/j

jE ; IGVE4= E4 - =

4

1

' 4/j

jE

4) La serie desestacionalizada se obtendra de la siguiente forma: Ydt,j= Yt,j- IGVEj.

5) Los IGVEj con la hiptesis aditiva fluctan por encima y por debajo de 0.

Ejemplo con la serie ndice de pedidos en la industria:


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Sample: 2002M01 2012M06 Included observations: 126 Difference from Moving Average Original Series: PEDIDOS Adjusted Series: PEDIDOSSA

Scaling Factors:

1 -1.585038 2 -2.635843 3 7.158018 4 0.194009 5 3.770388 6 4.493587 7 5.706653 8 -22.41911 9 3.910828 10 4.366078 11 1.893486 12 -4.853052

Interpretacin de los IGVE: IGVEmarzo= 7.15, en el mes de marzo la estacionalidad provoca un aumento del ndice de pedidos de 7.15 puntos con respecto a su valor medio anual. IGVEagosto= -22.41, en el mes de agosto la estacionalidad provoca una cada del ndice de pedidos de 23 puntos con respecto a su valor medio anual. c) Mtodo X11.

Este mtodo, al contrario que los dos anteriores, supone que el componente estacional vara de forma estocstica a lo largo del tiempo. Se puede aplicar tanto con una hiptesis aditiva como multiplicativa. En este caso, el procedimiento de obtencin del componente estacional no es tan sencillo, desde un punto de vista algebraico, como en los dos casos anteriores. Por este motivo, slo nos limitamos a sealar con el ejemplo que se presenta a continuacin como se aplicara dicho mtodo con el programa EVIEWS 7.0.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PEDIDOS PEDIDOSSA IGVE


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Ejemplo con la serie ndice de pedidos en la industria: X11-Multiplicativo:

X11. Aditivo:

60

80

100

120

140

70

80

90

100

110

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PEDIDOS PEDIDOSSA FACTORS

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PEDIDOS PEDIDOSSA FACTORS


17

1.4. Componente de tendencia-ciclo

En este epgrafe se diferencian dos subepgrafes donde se muestra cmo tratar y obtener los compenentes de tendencia y ciclo, respectivamente. 1.4.1. Componente tendencia

Un mecanismo para captar el componente de tendencia de una variable es mediante el anlisis de regresin. En particular, se considera un modelo que relacione a la variable Ydt (variable desestacionalizada) con el tiempo (si los datos son anuales, Ydt = Yt ):

Ydt = f(t) + ut

A continuacin se presentan diversas especificaciones para f(t):

a) Funcin lineal: Ydt = 1 + 2 t + ut, la variable t se puede construir dndole 1 al primer periodo, 2 al segundo, y as sucesivamente. Grficamente, correspondera a series de este tipo:

2: Mide la variacin absoluta que por trmino medio experimenta la variable Ydt al transcurrir un periodo, ya que:

E(Yt-1) = 1 + 2 (t-1) E(Yt) = 1 + 2 t E(Yt) - E(Yt-1) = 2

Prediccin Para obtener predicciones de la variables Yt, slo se considera el componente de tendencia y el de

estacionalidad. Por ello, en primer lugar, se predice el valor desestacionalizado tras estimar el modelo de tendencia y, en segundo lugar, se incorpora el componente estacional. Ejemplo: Periodo t Ydt IGVEj . 2012.09 2012.10 2012.11

. 15 16 17

. Yd2012.09 Yd2012.10 Yd2012.11

. IGVE9 IGVE10 IGVE11

70

80

90

100

110

120

130

I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

2002 2003 2004 2005 2006 2007

Fuente: Elaboracin propia a partir de datos del INE.

Indice de pedidos en la industria (desestacionalizado)


18

Prediccin para 2012:12 de Yt: - Hiptesis multiplicativa:

1212.2012^

12.2012^

* IGVEYYd

=

donde: 182^

1

^

12:2012^ +=

d

Y

- Hiptesis aditiva:

1212.2012^

12.2012^

IGVEYYd

+=

b) Funcin polinmica:

La expresin general es:

Ydt = 1 + 2 t + 3 t2+ ...+ p+1 tp + ut En la prctica uno de los valores para p ms usuales es p=2, con lo que la expresin resultante

es:

Ydt = 1 + 2 t + 3 t2+ ut Este tipo de funcin es apropiada para la representacin grfica de una serie que presenta una

tendencia curva, con una variacin (crecimiento o decrecimiento), que no es constante sino que es funcin del periodo considerado, por ejemplo:

Si se supone el modelo ya est estimado, se observa como la variacin de la variable con el tiempo no es constante:

23

^

2

^

1

^^

ttY td

++=

76

80

84

88

92

96

100

104

108

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012


Indice de ventas del comercio minorista (desestacionalizado)


19

tt

Yt3

^

2

^

^

+=

Prediccin: Haciendo uso del ejemplo anterior:

- Hiptesis multiplicativa:

1212:2012^

12:2012^

* IGVEYYd

=

donde 23^

2

^

1

^

12:2012^

1818 ++=d

Y - Hiptesis aditiva:

1212.2012^

12.2012^

IGVEYYd

+= c) Funcin exponencial:

En ocasiones, el crecimiento de la variable no es moderado si no que parece seguir una ley exponencial, con un ritmo de variacin de fuerte crecimiento o cada. En este caso la funcin que se propone es: Ydt = e(1 + 2t +ut)

El siguiente grfico es un ejemplo de este tipo de modelo:

Para estimar el modelo es necesario linealizarlo:

ln Ydt = 1 + 2 t + ut

Interpretacin de ^

2 :

100*100*^

2^

^

=d

dt

tY

Y

^

2 * 100 es la variacin en trminos porcentuales que se produce en la variable dependiente cuando transcurre un periodo temporal. Para recuperar los valores ajustados de la variable original:

)

2(^

2

2

^

1

^

Te

tdt

t

eY

++=

1,600,000

2,000,000

2,400,000

2,800,000

3,200,000

3,600,000

4,000,000

II III IV I II III IV I II III IV

2007 2008 2009


Paro registrado


20

Ejemplo: Precio del barril Brendt (2002.01-2007.11) en dlares.

Dependent Variable: LNBARRISA Method: Least Squares Sample: 2002M01 2007M11 Included observations: 71

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.149329 0.028046 112.2913 0.0000

T 0.018201 0.000677 26.88314 0.0000 R-squared 0.912846 Mean dependent var 3.804561

Adjusted R-squared 0.911583 S.D. dependent var 0.393187 S.E. of regression 0.116914 Akaike info criterion -1.426989 Sum squared resid 0.943155 Schwarz criterion -1.363252 Log likelihood 52.65812 F-statistic 722.7032

* Realizar una prediccin para diciembre del 2007, sabiendo que t es igual a 1 en 2002.1, y que el IGVE12= 0.957

$27.83957.0** )142/943155.072*018201.0149.3(1212.2007^

12.2007^

===++eIGVEYY d

* Interpretacin de ^

2 * 100:

Al transcurrir un periodo la variable Precio del barril de petrleo desestacionalizada aumenta por trmino medio en un 1,82%.

1.4.2. Componente cclico: Filtro de Holdrick-Prescott

A partir de este procedimiento se desea obtener el componente cclico de la variable. Para aplicar este filtro la variable ha de estar desestacionalizada. Se supone una hiptesis aditiva: Ydt = Tt + Ct+ It, t= 1,...,T. A partir de estas consideraciones, se desea obtener la serie suavizada, que en este caso, sera la tendencia Tt. Para ello habra que minimizar la siguiente funcin:

{ } ]))()(([)([2

211

2

1

=

+

=

+T

ttttttt

dT

tTt

TTTTTYMin

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2002 2003 2004 2005 2006 2007

BARRIL


21

tras minimizar la funcin se obtiene un vector de dimensin 1xT que recoge el componente tendencia: {T1, T2,..., TT}. es un parmetro que penaliza la variabilidad del componente tendencia, los autores del mtodo proponen los siguientes valores:

= 100 con datos anuales = 1600 con datos trimestrales = 14400 con datos mensuales.

Una primera aproximacin al componente cclico sera: Ct = Ydt - Tt; no obstante, en Ct est

incluido el componente irregular, as pues, para conseguir la verdadera estimacin de Ct hay que volver a aplicar el filtro de Holdrick-Prescott a Ct para obtener, nuevamente, una serie suavizada que sera Ct:

{ } ]))()(([)([2

211

2'

1

=

+

=

+T

ttttttt

T

tCt

CCCCCCMin

donde Ct es el componente cclico. Ejemplo: Proc/Holdrick-Prescott filter: Serie Paro registrado (1996M1-2012M01)

-400,000

-200,000

0

200,000

400,000

600,000

1,000,000

2,000,000

3,000,000

4,000,000

5,000,000

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

PARO Trend Cycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)


22

1.5. Prediccin.

Antes de analizar la prediccin es necesario que se hagan explcitos los siguientes supuestos: a) Se considera que existe una cierta estabilidad en el fenmeno.

Ejemplo: Serie no estable: N de terremotos en Espaa en el mes de abril. Fuente: INE.

-400,000

-200,000

0

200,000

400,000

-400,000

-200,000

0

200,000

400,000

600,000

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

CICLO1 Ciclo Irregular

Hodrick-Prescott Filter (lambda=14400)

N de terremos en el mes de Abril

0100200300400500

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

2009


23

b) Los datos han de ser homogneos en el tiempo, es decir, se ha de mantener la definicin y los procedimientos de medicin de la magnitud objeto de estudio.

Ejemplo: La Encuesta de Ocupacin Hotelera sustituy desde enero del 1999 a la Encuesta de Movimiento de Viajeros en Establecimientos Hoteleros, ampliando la investigacin a la categora de una estrella y similares.

Si la variable que se investiga es Yt, el conjunto de informacin disponible es: Y1, Y2, ..., YT

La prediccin puede ser de tres tipos:

a) Interim: ^

1 ,Y ...,,^

2Y^

.TY

b) Ex-post: ...1^

+TY

c) Ex-ante: 0^

Y , 1^

Y , 2

^

Y ,...

Al error de prediccin se le denomina:

et = tY^

- Yt. Y el porcentaje del error de prediccin se define como:

% Error de prediccin= ( tY^

- Yt/ Yt) *100

Medidas para valorar la capacidad predictiva de los modelos:

1) Error absoluto medio: EAM

EAM = T

YYT

ttt

=

1

^

, en el interior de la muestra.

EAM = M

YYM

m

mm=

1

^

, fuera de la muestra.

2) Porcentaje de error absoluto medio: PEAM

PEAM = T

YYYT

tttt

=

1

^

/)(, en el interior de la muestra.

PEAM = M

YYYM

m

mmm=

1

^

/)(, fuera de la muestra.

3) Error cuadrtico medio: ECM


24

ECM = T

YYt t

t 2^

)(, en el interior de la muestra.

ECM = M

YYm mm

2^

)( , fuera de la muestra. 4) Raz del error cuadrtico medio

RECM= ECM Cuanto ms cercanas estn a cero todas las medidas anteriores mejor ser la capacidad predictiva

del modelo. Las limitaciones de las medidas anteriores son que carecen de cota superior. Adems los valores

que alcancen el EAM, el ECM y la RECM dependen de la unidad de medida de la variable y, por consiguiente, no son adecuados para realizar comparaciones al menos que vengan referidas las predicciones a la misma variable.

5) Coeficiente de desigualdad de Theil

T

Y

T

Y

TYY

UT

t

t

T

t

t

T

t

tt

==

=

+

=

1

2

1

2^

1

2^

)(

;

ste ndice est acotado entre 0 y 1. Adems es una medida adimensional. Otra forma de expresar el coeficiente de desigualdad de Theil es con su valor al cuadrado:

U2 =

2

1

2

1

2^

1

2^

)(

+

==

=

T

Y

T

Y

TYY

T

t

t

T

t

t

T

t

tt

El cuadrado del coeficiente de desigualdad de Theil, U2, permite ser descompuesto en tres componentes, que son denominados componente de sesgo, de varianza y de covarianza. En particular, la forma de la descomposicin es la siguiente:

U2 = 2

1

2

1

2^

,

2

1

2

1

2^

2

2

1

2

1

2^

2^ )1(2)()( ^^^

+

+

+

+

+

======

T

Y

T

Y

rSS

T

Y

T

Y

SS

T

Y

T

Y

YY

T

t

t

T

t

t

yyyy

T

t

t

T

t

t

yy

T

t

t

T

t

t

=[ componente de sesgo +componente de varianza+ componente de covarianza].


25

Los dos primeros componentes (componente de sesgo y de varianza) forman la parte sistemtica; mientras que el componente de covarianza, la parte no sistemtica, lo ideal es que el componente de varianza y sesgo sean lo ms pequeos posibles. Ejemplo: Se ha estimado un modelo lineal para para la variable desestacionalizada del ndice de ventas del comercio minorista:

Dependent Variable: INDICE_SA Method: Least Squares Sample: 2007M01 2012M05 Included observations: 65

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 123.4290 1.550832 79.58891 0.0000 T -0.369913 0.018548 -19.94332 0.0000

AR(1) 0.315413 0.119344 2.642888 0.0104

R-squared 0.932072 Mean dependent var 93.44975 Adjusted R-squared 0.929880 S.D. dependent var 7.247092 S.E. of regression 1.919039 Akaike info criterion 4.186581 Sum squared resid 228.3281 Schwarz criterion 4.286937 Log likelihood -133.0639 Hannan-Quinn criter. 4.226178 F-statistic 425.3625 Durbin-Watson stat 2.185324 Prob(F-statistic) 0.000000

Interpretacin de la informacin:

Root mean squared error: RECM. Mean Absolute Error: EAM. Porcentaje del error absoluto medio: PEAM. Theil Inequality Coefficient: U. Bias Proportion + Variance Proportion + Covariance proportion: 1.

70

80

90

100

110

120

130

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

INDICE_SAF 2 S.E.

Forecast: INDICE_SAFActual: INDICE_SAForecast sample: 2003M01 2012M05Adjusted sample: 2003M02 2012M05Included observations: 112Root Mean Squared Error 10.66962Mean Absolute Error 7.132881Mean Abs. Percent Error 7.311081Theil Inequality Coefficient 0.053690 Bias Proportion 0.342986 Variance Proportion 0.262880 Covariance Proportion 0.394134


26

Tema 2. Modelos de alisado exponencial. 2.1. Introduccin.

En el siguiente tema se muestran algunos mtodos de prediccin de series temporales que, al igual que el anlisis clsico, se basan slo en los valores pasados de la variable. Son mtodos adecuados cuando hay pocas observaciones. 2.2. Tipos de modelos. 2.2.1 Alisado exponencial simple.

Este mtodo se aplica a variables econmicas con una media constante. Se supone que el modelo subyacente tras la variable es:

Yt = 1 + ut,

es decir, la variable flucta en torno a una constante y no presenta tendencia ni componente estacional. Si una variable Yt es sometida a un proceso de alisado exponencial simple, resulta una variable alisada St. Tericamente, St se obtiene de la siguiente forma:

St = Yt + (1- ) Yt-1 + (1- )2 Yt-2 +... donde 0


27

Si slo existe informacin hasta T, entonces: TT SmY =)(^

.

Para iniciar el proceso es necesario asignar un valor a S0. El programa EVIEWS supone que S0 es igual a la media de las (T+1)/2 primeras observaciones de la variable Yt si T es un nmero impar, o a la media de las T/2 primeras observaciones de Yt si T es par. * Actualizacin de predicciones Si se observa el valor YT+1 es posible actualizar las predicciones, ya que ahora se puede calcular:

ST+1 = YT+1 + (1- ) ST = )1(1^

+TY

)1(1^

+TY = )2(1^

+TY Ejemplo:

Con datos mensuales correspondientes a la variable tipo de inters de los descubiertos en cuenta corriente aplicados por las entidades de crdito para el periodo 2008:01-2008:11.

a) Obtenga predicciones para enero y febrero del 2009.

Alpha: = 0.1780 *Mean: S2008:11= 20.97048 Predicciones:

97048.20)2(11:2008^

=Tipo y 97048.20)3(11:2008^

=Tipo

20.76

20.80

20.84

20.88

20.92

20.96

21.00

21.04

2008M01 2008M04 2008M07 2008M10

TIPO

Sample: 2008M01 2008M11 Included observations: 11 Method: Single Exponential Original Series: TIPO Forecast Series: TIPOSM

Parameters: Alpha 0.1780 Sum of Squared Residuals 0.067904 Root Mean Squared Error 0.078569

End of Period Levels: Mean 20.97048


28

b) Si en diciembre del 2008 el tipo de inters es del 20,47% actualice la prediccin para el siguiente mes. S2008:12 = 0.1780 * Tipo2008:12 + (1-0.1780) * S2008:11= 20.88

88.20)1(12:2008^

=Tipo . 2.2.2. Alisado exponencial doble (Mtodo de Brown).

En este caso se supone que la variable presenta tendencia lineal y carece de estacionalidad, es decir, el modelo terico correspondiente es: Yt = 1 + 2 t + ut

y la ecuacin de prediccin es: )(^

mtY = at + bt * m donde: at = 2 St St bt = [/(1- )] (St St) St=Yt+(1-) St-1 St=St+(1-) St-1

El proceso de prediccin es el siguiente: a) Con los datos correspondientes a la variable Y, se genera los valores correspondientes a St, St, at y bt:

t Yt St St at bt 1 2 . . . T

Y1 Y2

.

.

.

YT

S1=Y1+(1-) S0 S2=Y2+(1-) S1 .

.

.

ST=YT+(1-) ST-1

S1= S1+(1-) S0 S2= S2+(1-) S1 .

.

.

ST= ST+(1-) ST-1

a1=2 S1 S1 a2=2 S2 S2 . . . aT=2 ST ST

b1= [/(1- )] (S1 S1) b2= [/(1- )] (S2 S2) . . . bT= [/(1- )] (ST ST)

b) Posteriormente las predicciones de la variable Y con informacin hasta T, se obtendran de la siguiente forma:

)1(^

TY = aT + bT *1; )2(^

TY = aT + bT *2;...; )(^

mY T = aT + bT *m

b) Si se observa el valor para Yt+1, se actualizaran las predicciones de la siguiente forma:

ST+1= YT+1+(1-) ST ST+1= ST+1+(1-) ST aT+1=2 ST+1 ST+1 bT+1= [/(1- )] (ST+1 ST+1)

)1(1^

+TY = aT+1 + bT+1 *1; )2(1^

+TY = aT+1 + bT+1 *2;...; )(1^

mY T + = aT+1 + bT+1 *m

Al inicio del proceso de predicciones es necesario nuevamente fijar unos valores iniciales de S0 y S0. Las alternativas que se pueden seguir son las siguientes: a) S0 = S0 = Y1


29

b) S0 = S0 =

Y

c) Estimar el modelo: Yt = 1 + 2 t + ut, y utilizar los parmetros estimados ^

1 y ^

2 , como a0 y b0, respectivamente. Ejemplo:

Sample: 1995 2009 Included observations: 15 Method: Double Exponential Original Series: CONSUMO Forecast Series: CONSUMSM

Parameters: Alpha 0.9990 Sum of Squared Residuals 4076.614 Root Mean Squared Error 16.48558


Trend -14.92030

Obtenga predicciones del consumo para el periodo 2010-2011: Alpha: = 0.9990 Mean: a2009 = 819,2061 Trend: b2009 =-14,92030

1*20092009^

)1(2009^

2010 baConsumoConsumo +== = 804,2858 * 109

2*20092009^

)2(2009^

2011 baConsumoConsumo +== = 789,3655 * 109 2.2.3. Mtodo de Holt-Winters sin estacionalidad.

Es un mtodo aplicable a modelos del tipo: Yt = 1 + 2 t + ut

y la ecuacin de prediccin es: )(^

mY T = at + bt * m, donde: at = 1Yt + (1- 1) (at-1 + bt-1) bt = 2 (at at-1) + (1- 2) bt-1 Los valores iniciales a0 y b0, se pueden obtener estimando por MCO:

Yt = 1 + 2 t + ut Para actualizar las predicciones:

300

400

500

600

700

800

900

95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

CONSUMO


30

aT+1 = 1YT+1 + (1- 1) (aT + bT) bT+1 = 2 (aT+1 aT-1) + (1- 2) bT

)1(1^

+TY = aT+1 + bT+1 *1 Ejemplo:

Sample: 1995 2009 Included observations: 15 Method: Holt-Winters No Seasonal Original Series: CONSUMO Forecast Series: CONSUMSM

Parameters: Alpha 1.0000

Beta 1.0000 Sum of Squared Residuals 3477.068 Root Mean Squared Error 15.22513


Trend -15.02300

Obtenga predicciones del consumo para el periodo 2010-2011: Alpha: 1 = 1 2 = 1 Mean: a2009 = 819,2060 Trend: b2009 =-15,02300

1*20092009^

)1(2009^

2010 baConsumoConsumo +== = 804,183* 109

2*20092009^

)2(2009^

2011 baConsumoConsumo +== = 789.16* 109 2.2.4. Mtodo de Holt-Winters con estacionalidad.

Este mtodo se aplica cuando la variable tiene tendencia lineal y estacionalidad: (1) Hiptesis multiplicativa: Yt = (1 + 2 t) * Et + ut (2) Hiptesis aditiva: Yt = (1 + 2 t) + Et + ut

En este mtodo se proponen tres ecuaciones de alisado, cuyas expresiones son las siguientes,

segn se suponga una hiptesis multiplicativa o aditiva:

(1) Hiptesis multiplicativa: at = 1(Yt /Et-L)+ (1- 1) (at-1 + bt-1) bt = 2 (at at-1) + (1- 2) bt-1 Et = 3 (Yt /at) + (1- 3) Et-L

(*Nota : L es el nmero de periodos dentro del ao. Si los datos son mensuales L=12 y si son trimestrales L=4). La ecuacin de prediccin es:

)(^

mtY = (at + bt * m) * Et+m-L (2) Hiptesis aditiva: at = 1(Yt -Et-L)+ (1- 1) (at-1 + bt-1) bt = 2 (at at-1) + (1- 2) bt-1


31

Et = 3 (Yt - at) + (1- 3) Et-L La ecuacin de prediccin es:

)(^

mtY = (at + bt * m) + Et+m-L

Ejemplo: Utilizando la variable correspondiente al nmero de viajeros para el periodo muestral 2008:06-

2012:06:

a) Indique qu mtodos de alisado exponencial se pueden utilizar. Mtodo de Holt Winters con estacionalidad: Hiptesis aditiva. Mtodo de Holt Winters con estacionalidad: Hiptesis multiplicativa.

b) Obtenga predicciones para el periodo 2012:06-2012:12, con la informacin que se le

proporciona:

Hiptesis multiplicativa: Sample: 2008M06 2012M06 Included observations: 49 Method: Holt-Winters Multiplicative Seasonal Original Series: VIAJEROS Forecast Series: VIAJERSM

Parameters: Alpha 0.4500

Beta 0.0000 Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 1.03E+12 Root Mean Squared Error 145049.5

End of Period Levels: Mean 7029727.

Trend 13024.58 Seasonals: 2011M07 1.386098 2011M08 1.480794 2011M09 1.237784 2011M10 1.084036 2011M11 0.716772 2011M12 0.661782 2012M01 0.566573 2012M02 0.683435 2012M03 0.827159 2012M04 1.016477 2012M05 1.119982 2012M06 1.219107

3,000,000

4,000,000

5,000,000

6,000,000

7,000,000

8,000,000

9,000,000

10,000,000

11,000,000

II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II

2008 2009 2010 2011 2012

VIAJEROS


32

Mean: a2012:06= 7029727 Trend: b2012:06 = 13024.58 Seasonals: E2011:07= 1.386098,...., E2012:06=1.219107

)1(06.2012^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 1) * E2011.07 = 9761944 viajeros

)2(06.2012^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 2) * E2011.08 = 10448151 viajeros . . .

Hiptesis aditiva:

Sample: 2008M06 2012M06 Included observations: 49 Method: Holt-Winters Additive Seasonal Original Series: VIAJEROS Forecast Series: VIAJERSM

Parameters: Alpha 0.6500 Beta 0.0000 Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 1.43E+12 Root Mean Squared Error 171093.7

End of Period Levels: Mean 7071203. Trend 13024.58 Seasonals: 2011M07 2613732. 2011M08 3255197. 2011M09 1618088. 2011M10 579182.0 2011M11 -1919117. 2011M12 -2295493. 2012M01 -2947705. 2012M02 -2156083. 2012M03 -1177500. 2012M04 121170.5 2012M05 825567.7 2012M06 1482961.

Mean: a2012:06= 7071203 Trend: b2012:06 = 13024.58 Seasonals: E2011:07= 2613732,...., E2012:06= 1482961

)1(06.2012^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 1) + E2011.07 = 9697960 viajeros

)2(06.2012^

Y = (a2012.06 + b2012.06 * 2) + E2011.08 = 10352449 viajeros . . .


33

c) Interprete los valores de los parmetros beta y gamma obtenidos para la hiptesis multiplicativa y la aditiva.

Hiptesis multiplicativa: bt = 2 (at at-1) + (1- 2) bt-1; 2 = 0, bt = bt-1 Et = 3 (Yt /at) + (1- 3) Et-L ; 3 = 0, Et = Et-L

Hiptesis aditiva: bt = 2 (at at-1) + (1- 2) bt-1; 2 = 0, bt = bt-1

Et = 3 (Yt-at) + (1- 3) Et-L ; 3 = 0 ; Et = Et-L

d) Seale el modelo de alisado que realice mejores predicciones. Y

Eleccin del mejor mtodo RECMHW_Hiptesis mulltiplicativa=145049.5 RECMHW_Hiptesis aditiva= 171093.7

Se elige HW con estacionalidad multiplicativa, ya que es el que presenta una menor RECM.


34

Tema 3. Modelos estocsticos de series temporales. 3.1. Introduccin.

El objetivo de este tema es establecer las bases tericas para poder realizar predicciones bajo un enfoque estocstico de las series temporales. Bajo esta filosofa de modelizacin, la serie temporal es considerada como la realizacin de un proceso estocstico. Un proceso estocstico se expresa como { } ,...2,1, =tYt , y se define como una coleccin de variables aleatorias ordenadas de acuerdo con el parmetro tiempo:

- Variables aleatorias: Y1, Y2,..., Yt,...

De esta forma, una serie temporal es una coleccin de observaciones muestrales, cada una correspondiente a una variable del proceso:

- Realizacin: Y1*, Y2*,..., Yt*,...

Cada una de las variables Yt que configuran un proceso estocstico tendr su propia funcin de distribucin con sus correspondientes momentos (media, varianza, etc.). Asimismo, cada par de esas variables tendrn su correspondiente funcin de distribucin conjunta y sus funciones de distribucin marginales. Esto mismo ocurrir, ya no para cada par de variables, sino para conjuntos ms amplios de las mismas. De esta forma, para caracterizar un proceso estocstico deberamos especificar las funciones de distribucin conjunta de cualquier conjunto de variables: cualesquiera que fueran los valores de (t1, t2,....tm) y cualquiera que fuera el valor de "m".

Habitualmente, conocer esas funciones de distribucin resulta complejo de forma que, para

caracterizar un proceso estocstico, basta con especificar la media y la varianza para cada Yt y la covarianza para variables referidas a distintos valores de t: a) Esperanza matemtica:

t = E(Yt) E(Y1), E(Y2), ..., E(Yt),...

b) Funcin de autocovarianza:

t,t+k = cov (Yt, Yt+k) = E[(Yt- t) (Yt+k- t+k)]

cuando t=s se obtiene la varianza:

t,t = Var (Yt) = E[(Yt- t)2]

A partir de cov (Yt, Yt+k), Var (Yt) y Var (Yt+k) se obtiene la funcin de autocorrelacin simple:

t,t+k = )()(),cov(

ktYVartYVarktYtY

+

+

Estacionariedad y ergodicidad

Para poder hacer inferencia sobre un proceso estocstico, a partir de una realizacin del mismo,

es necesario que ste cumpla las propiedades de estacionariedad y ergodicidad.


35

a) Estacionariedad. Con respecto a la estacionariedad, sta puede ser de dos tipos: estricta y amplia. Un proceso

estocstico es estacionario en sentido estricto o fuerte, si los vectores [Yt, Yt+1, Yt+2,..., Yt+k] y [Yt+m, Yt+m+1,..., Yt+m+k] poseen la misma funcin de distribucin independientemente de t, k y m, es decir:

F [Yt, Yt+1, Yt+2,..., Yt+k] = F [Yt+m, Yt+m+1,..., Yt+m+k]

Ejemplo : F [Y2, Y3, Y4] = F [Y6, Y7, Y8], donde t=2, k=2 y m=4 Por otro lado, un proceso es estacionario en sentido amplio o dbilmente estacionario cuando se

verifica que: a) t = [Estacionariedad en media o dbil de 1er orden] b) t,t+k= k [Estacionariedad en covarianza o dbil de 2 orden]

Ej. cov (Y2, Y6) = cov (Y7, Y11)= 4

c) La varianza es finita y constante a lo largo del tiempo: 0 = Var(Yt) = E[(Yt- )2]= 2= cov (Yt,Yt), para todo t. [Estacionariedad en varianza]

La funcin de autocorrelacin simple en estos procesos estacionarios es:

k= )()(),cov(

0 ktt

kttk

YVarYVarYY

+

+=

La representacin grfica de k se denomina correlograma. La estacionariedad en sentido estricto garantiza la estacionariedad en sentido amplio, pero no a

la inversa.

b) Ergodicidad. La ergodicidad es una propiedad necesaria para obtener estimaciones consistentes de los

momentos a partir de una realizacin de una serie temporal. Una condicin necesaria, aunque no suficiente es que:

0lim =

kk

3.2. Modelos estacionarios lineales: ARMA (p,q). 3.2.1. Modelos autorregresivos de orden p: AR(p).

Los modelos autorregresivos de orden p se definen como: Yt = + tptpt YY +++ ...11 , donde los parmetros yi son constantes y t es

ruido blanco es decir, t ~ N(0,2) y cov ( t , s ) = 0, y est incorrelacionado con Yt-i para todo i finito. Utilizando el operador L:

(1- 1L-...- pLp) Yt = + t Casos particulares:

Modelo AR(1) Un modelo AR(1) queda definido como:

ttt YY ++= 1 Para que el proceso sea estacionario en sentido amplio se requiere que | 1|

Yt = 111

=

+

t

LL

E(Yt) = E( ...)++

Var (Yt) = Var(1

L

finita para todo t.

Funcin de autocovarianza:Para calcular esta funcin supongamos que

AR(1) se transforma en: t YY =)])([(

== kttk EYYE (Nota: Aqu se utiliza la no autocorrelacin de Funcin de autocorrelacin simple:

kkk ==== 221 ...Si 0< 11

caigan dentro del crculo unidad. Si las races son complejas (a+bi), se exige que:

Si se cumplen las condiciones de estacionariedad:

E(Yt) = 11

Funcin de autocovarianzaSuponiendo nuevamente, sin p

()( 11 ttkttk YYEYYE == para k=0, 2110 +=para k>0, 211 += kk

Funcin de autocorrelacin simple:

2211 += kkk , Representacin grfica de la Funcin de autocorrelacin simple (FAS): Correlogramas:

A partir de 1 = kk

=

2

11

12

1

11

. Este sistema recibe el nombre

ecuaciones suministran un procedimiento para obtener los coeficientes del modelo AR(2) a partir de los coeficientes de correlacin lineal:

Notas de Antonio Caparrs Ruiz y Oscar D. Marcenaro

2 - 0- 21 =

24

22

211 +

+=

caigan dentro del crculo unidad. Si las races son complejas (a+bi), se exige que:

las condiciones de estacionariedad:

2

Funcin de autocovarianza Suponiendo nuevamente, sin prdida de generalidad, que =0:

)()() 221122 kkkttkttkt EYEYYE ++=++ 2 +2

22 k

de autocorrelacin simple: para k>0.

Representacin grfica de la Funcin de autocorrelacin simple (FAS):

221 + k , si k=1 y k=2: . Este sistema recibe el nombre de ecuaciones de Yule

ecuaciones suministran un procedimiento para obtener los coeficientes del modelo AR(2) a partir de los coeficientes de correlacin lineal:


37

caigan dentro del crculo unidad. Si las races son complejas (a+bi), se exige que: 122

Como se ha podido comprobar, el correlograma de un modelo pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificacin del modelo subyacente tras los datos, se presenta la funcin de autocorrelacin parcial.

Funcin de autocorrelacin parcial:

El coeficiente de correlacin parcial de orden k: eliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlacin, es decir, sin el efecto de los retardos intermedios: Ymodelo AR(p), estara compuesta por p coeficientes que se obtendra de la siguiente forma:

1) )1(,1 , procedende de Y2) )2(,2 , procedente de . . . p) )(, pp , procedente de Y

En resumen para un modelo AR(1):

Y para un modelo AR(2): fas


==

2

11

1

12

1

11

Como se ha podido comprobar, el correlograma de un modelo AR(1) y un modelo AR(2) pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificacin del modelo subyacente tras los datos, se presenta la funcin de autocorrelacin parcial.

Funcin de autocorrelacin parcial:

ciente de correlacin parcial de orden k: ,*k calcula la correlacin entre Yeliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlacin, es decir, sin el efecto de los retardos intermedios: Yt-1, Yt-2, ..., Yt-k+1. La funcin de autocorrelacin parcial (FAP) de un modelo AR(p), estara compuesta por p coeficientes que se obtendra de la siguiente forma:

, procedende de Yt = ttY ++ 1)1(,1 . , procedente de Yt = ttt YY +++ 2)2(,21)2(,1

, procedente de Yt = tptpptp YY ++++ )(,1)(,1 ...

En resumen para un modelo AR(1):

Y para un modelo AR(2): fap


38

AR(1) y un modelo AR(2) pueden ser muy parecidos en algunos casos. Por ello, con el objeto de la posterior identificacin del modelo subyacente tras los datos, se presenta la funcin de autocorrelacin parcial.

calcula la correlacin entre Yt y Yt-k eliminando el efecto de los valores intermedios de Y sobre dicha correlacin, es decir, sin el efecto

. La funcin de autocorrelacin parcial (FAP) de un modelo AR(p), estara compuesta por p coeficientes que se obtendra de la siguiente forma:


39

3.2.2 Modelos de medias mviles.

Los modelos de medias mviles son por definicin estacionarios y se definen como: Yt = +t-1t-1-2t-2-...- qt-q , MA(q)

Yt = +(1-1L -2L2-...- qLq) t

Casos particulares:

Modelo MA(1): Yt = +t-t-1, MA(1)

Yt = +(1-L) t ** E(Yt)= ** Funcin de autocovarizana (suponiendo que =0):

k =cov (Yt,Yt-k) = E(Yt*Yt-k) = E[ (t-t-1) (t-k-t-k-1)] Para k=0:

0 =E(Yt*Yt) = E[ (t-t-1) (t-t-1)] = (1+ 2) 2 Para k=1:


40

1 =cov (Yt,Yt-1) = E(Yt*Yt-1) = E[ (t-t-1) (t-1-t-2)] = - 2 Para k>1: k =0. ** Funcin de autocorrelacin simple: 1 = - / (1+ 2); k=0 si k>1.

Ejemplo:

Los modelos de medias mviles deben de cumplir la condicin de invertibilidad, que implica que

puedan transformarse en un modelo AR. En el caso del modelo MA(1), la condicin de invertibilidad es: ||


41

* Modelo MA (2): Yt = +t-1t-1-2t-2, MA(2)

Yt = +(1-1L-22L) t ** E(Yt)= ** Funcin de autocovarianza (suponiendo que =0):

k =cov (Yt,Yt-k) = E(Yt*Yt-k) = E[ (t-1t-1-2t-2) (t-k-1t-k-1-2t-k-2)] . Para k=0:

0 =cov (Yt,Yt) = E(Yt*Yt) = (1+ 12+ 22) 2. Para k=1: 1 =cov (Yt,Yt-1) = E(Yt*Yt-1) = E[(t-1t-1-2t-2) (t-1-1t-2-2t-3)] = = (- 1+ 1 2)2. Para k=2: 2 =(- 2)2. Para k>2: k =0. ** Funcin de autocorrelacin simple: 1 = (- 1+ 1 2)/ (1+ 12+ 22) 2 = (- 2)/ (1+ 12+ 22) k=0 si k>2. ** Condicin de invertibilidad:

Para que un MA(2) sea invertible se ha de cumplir que la races de la ecuacin:

0212

= , caigan dentro del crculo unidad. ** Ejemplos de funciones de autocorrelacin simple y parcial para modelos MA(2) fas fap


42

3.2.3 Modelos ARMA (p,q).

Un modelo ARMA (p,q) se define como: Yt = * + tptpt YY +++ ...11 -1t-1-2t-2-...- qt-q (1- t

qqt

pp LLLYLL )...1()... 2211 +=

Para un modelo ARMA(p,q), las condiciones de estacionariedad son determinadas por )(L y las de invertibilidad por )(L . Casos particulares ** Modelo ARMA (1,1).

La expresin economtrica de un modelo ARMA (1,1) es: Yt = * + ttY +11 -1t-1

(1- tt LYL )1() 11 += La condicin de estacionariedad es | 1 |


43

Centrndonos en los modelos definidos en el epgrafe anterior, supongamos el caso de un

modelo AR(1) con =1. En esta situacin el modelo no es estacionario: Yt = Yt-1 + t, y se denomina Paseo Aleatorio.

Adems cabe sealar, por una parte, que cualquier variable con tendencia no es estacionaria en

media y que cualquier variable que muestre una variable no homognea no es estacionaria en varianza.

Indice de cotizacin de acciones de tecnologa y telecomunicaciones

0

500

1000

1500

2000

2001

M01

2001

M09

2002

M05

2003

M01

2003

M09

2004

M05

2005

M01

2005

M09

2006

M05

2007

M01

2007

M09

2008

M05

2009

M01

2009

M09

2010

M05

2011

M01

2011

M09

Indice de cotizacin de acciones de materiales bsicos industria y construcin

0500

10001500200025003000

2001

M01

2001

M09

2002

M05

2003

M01

2003

M09

2004

M05

2005

M01

2005

M09

2006

M05

2007

M01

2007

M09

2008

M05

2009

M01

2009

M09

2010

M05

2011

M01

2011

M09

Consumo de electricidad

0

5001000

15002000

2500

1995

M01

1996

M01

1997

M01

1998

M01

1999

M01

2000

M01

2001

M01

2002

M01

2003

M01

2004

M01

2005

M01

2006

M01

2007

M01

2008

M01

2009

M01

2010

M01

2011

M01


44

No obstante, a veces con pequeas transformaciones las series econmicas no estacionarias se pueden convertir en estacionarias. Vase, por ejemplo el modelo correspondiente al paseo aleatorio:

Yt- Yt-1 = t Nota: Yt = Yt Yt-1 = (1-L) Yt; 2Yt = (Yt Yt-1) - (Yt-1 Yt-2) = (1-2L+L2) Yt = (1-L)2 Yt

A un proceso Yt se le denomina ARIMA (p,d,q) si tras tomar primeras diferencias d veces ( d Yt = (1-L)d Yt) se obtiene un proceso estacionario: ARMA(p,q):

(1- 1L-...- pLp) (1-L)d Yt = * + )...1( 221 qqLLL t En algunos casos, al tomar diferencias, la serie sigue siendo no estacionaria en varianza. Una

transformacin que puede solucionar el problema es: lnYt. Ejemplo de serie no estacionario en media ni en varianza:

Test de races unitarias

a) Test de Dickey-Fuller:

Supongamos el modelo: Yt = + 1 Yt-1 + t, si el parmetro no cumple este requisito| 1 |


45

Con EVIEWS, el test de Dickey-Fuller se puede aplicar para los siguientes modelos: (1) Yt = 1 Yt-1 + t, (Modelo sin constante). (2) Yt = + 1 Yt-1 + t, (Modelo con constante). (3) Yt = 1 + 1 Yt-1 + 2 t + t ((Modelo con constante y tendencia).

b) Test de Dickey-Fuller aumentado Si la serie sigue un modelo AR(p) con p>1, se aplica el test de Dickey-Fuller aumentado: Yt = + 1

Yt-1 +

=

1

1

p

jjtj Y + t. Y el contraste es el mismo:

Ho: 1=0 H1:


46

Null Hypothesis: EDAD_MATERNIDAD has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=0)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic 1.149976 0.9972 Test critical values: 1% level -3.632900

5% level -2.948404 10% level -2.612874

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EDAD_MATERNIDAD) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1976 2010 Included observations: 35 after adjustments


EDAD_MATERNIDAD(-1) 0.021281 0.018505 1.149976 0.2584 C -0.559298 0.546674 -1.023091 0.3137

R-squared 0.038530 Mean dependent var 0.068953 Adjusted R-squared 0.009395 S.D. dependent var 0.117580 S.E. of regression 0.117027 Akaike info criterion -1.397382 Sum squared resid 0.451944 Schwarz criterion -1.308505 Log likelihood 26.45418 Hannan-Quinn criter. -1.366701 F-statistic 1.322445 Durbin-Watson stat 0.349789 Prob(F-statistic) 0.258420

Ho: 1=0

H1: 1


47

Ho: =0 H1:


48

Yt = + *1 Yt-s + *2 Yt-2s+...+ *P Yt-Ps+t

(1- *1 Ls- *2 L2s-... *P LPs)Yt= +t, * Caso Particular: AR(1)s

Yt = + *1 Yt-s + t (1- *1 Ls) Yt= +t

Para un modelo AR(1)s la FAS se comporta como en el caso de un AR(1) pero a intervalos de s

retardos, en los retardos intermedios vale 0. Y la FAP tiene un nico valor distinto de cero en el periodo s.

Ejemplo: Yt = + *1 Yt-4 + t FAS FAP

b) Modelos de medias mviles estacionales: MA(Q)s

Yt = + t - *1 t-s- *2 2t-2s-...- *Q t-Qs = +(1- *1 Ls- *2 L2s-... *Q LQs) t

Caso Particular: MA(1)s

Yt = + t -*1 t-s = +(1- *1 Ls) t

Ejemplo: Yt = +(1- *1 L4) t FAS FAP

Modelos ARMA(P,Q)s: (1- *1 Ls- *2 L2s-... *P LPs)Yt = *+(1- *1 Ls- *2 L2s-... *Q LQs )t

ts YL )( = *+ (Ls) t


49

Modelos ARIMA (P,D,Q)s

tDss YLL )1)(( = (Ls) t

Son aquellos donde es necesario tomar D diferencias estacionales para que la variable siga un modelo ARMA (P,Q)s estacional.

Los modelos estacionales se pueden combinar con los vistos en los epgrafes anteriores. De ah

surgen los modelos:

ARIMA (p,d,q) *(P,D,Q)s

= tdDss YlLLL )1()1)(()( *+ (L)(Ls) t

)(L y (L) conforman la parte regular, y )( sL y (Ls) la parte estacional.


50

Tema 4: Anlisis Box-Jenkins. 4.1. Identificacin

En el tema anterior se han examinado las propiedades de algunos de los procesos estocsticos ms usuales en las series econmicas y se ha supuesto que los datos son realizaciones de tales procesos estocasticos. El anlisis Box-Jenkins pretende conocer cul es modelo terico que genera la serie econmica, con objeto de realizar predicciones de la misma. En particular, dicho anlisis est compuesto por las siguientes etapas: identificacin, estimacin, validacin y prediccin. La etapa de indentificacin trata de inferir cal es el proceso estocstico que hay detrs de la serie temporal. Para ello, inicialmente, es necesario realizar un anlisis de la estacionariedad de la serie, haciendo uso del test de Dickey-Fuller. En el caso de que la serie no sea estacionaria se realizan las oportunas transformaciones.

En la segunda etapa, se procede a determinar el orden de la parte autorregresiva y de las partes de medias mviles, tanto regular como estacional.

Como instrumentos de identificacin surgen la FASE (AC) y la FAPE (PAC): Funcin de autocorrelacin simple estimada y la funcin de autocorrelacin parcial estimada, respectivamente:

La FASE:

=

+=

=

T

tt

T

ktktt

k

YY

YYYY

1

2

1^

)(

))(( , es el coeficiente de correlacin muestral para una

muestra de tamao T. La secuencia de valores k^

(k=1,2,3,...) constituye el correlograma estimado. El nmero de ks debe de estar en torno a 1/3 de la muestra.

A partir de estos coeficientes estimados, se puede realizar inferencia sobre la significacin de los coeficientes tericos. En concreto, un coeficiente de la funcin de autocorrelacin simple terica no

es significativo si se acepta H0: k =0.

Bajo H0, se puede demostrar que k^

~ N (0,1/T), luego el contraste que se plantea es:

H0: k =0

H1: k 0

Se tipifica la variable, k^

/ T/1 ~ N(0,1), por lo que la zona de aceptacin de H0 es:

-1.96< k^

/ T/1 > 1.96, es decir, -1.96 T/1^

k<

Ejemplo: Serie de consumo de cemento:

Tras la observacin de los coeficientes estimados simpl

bandas el modelo que se supone que genera la variables es un:

Serie de petrleo: Transformacin: D (petroleo,1)

En este caso se propone un modelo ARIMA (0,1,1) x (1,0,0)


Serie de consumo de cemento: Transformacin: D (cemento,1,12)

Tras la observacin de los coeficientes estimados simples y parciales que salen fuera de las bandas el modelo que se supone que genera la variables es un:

ARIMA (0,1,1) x (0,1,0)12

Transformacin: D (petroleo,1)

En este caso se propone un modelo ARIMA (0,1,1) x (1,0,0)12.


51

es y parciales que salen fuera de las


52

4.2. Estimacin. Una vez identificado el modelo generador de la serie temporal es preciso estimar los parmetros del modelo. El proceso de estimacin de modelos ARIMA es complejo. Por este motivo y dado el alcance introductorio del tema, en este epgrafe nos limitamos a indicar cmo se obtendran las estimaciones de los modelos mediante la utilizacin del programa EVIEWS, y a interpretar dichas estimaciones.

Para estimar con EVIEWS un modelo AR(p):

ttYL +=)( (1- 1 L - 2 L2- ... p Lp) Yt = t +

Hay que utilizar la siguiente secuencia de comando: Quick/ Estimate Equation:

A continuacin en el cuadro en blanco, donde marca la flecha, hay que escribir: Y c AR(1) AR(2) ....AR(p):

De esta forma se obtendra las estimaciones de los parmetros del modelos:

p

^

2

^

1

^^

,...,,, Ejemplo:


53

Dependent Variable: D(AERONAVES,1) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1993 2010 Included observations: 18 after adjustments


C 62306.58 15168.96 4.107505 0.0009 AR(1) 0.565905 0.213976 2.644717 0.0184 AR(2) -0.821485 0.303574 -2.706044 0.0163

R-squared 0.412501 Mean dependent var 51003.78 Adjusted R-squared 0.334167 S.D. dependent var 97286.84 S.E. of regression 79384.67 Akaike info criterion 25.55301 Sum squared resid 9.45E+10 Schwarz criterion 25.70141 Log likelihood -226.9771 Hannan-Quinn criter. 25.57347 F-statistic 5.265969 Durbin-Watson stat 1.834815 Prob(F-statistic) 0.018516

Inverted AR Roots .28-.86i .28+.86i

=== 2

^

1

^^

0.565905; ; 62306.58 -0.821485 En el caso de los modelos MA(q):

Yt = +t-1t-1 -2t-2-...- qt-q Yt = +(1-1L -2L2-...- qLq) t

Se procede incialmente de igual forma, y en el recuadro en blanco se escribe :

Y c MA(1) MA(2) ...MA(q)

obtenindo como resultado : ^

2^

1^

,...,,

Ejemplo : Dependent Variable: D(PEDIDOS,1,12) Method: Least Squares; Sample (adjusted): 2003M02 2012M06 Included observations: 113 after adjustments


C -0.084618 0.399388 -0.211869 0.8326

MA(1) -0.756689 0.083445 -9.068142 0.0000 MA(2) 0.485152 0.083526 5.808431 0.0000

R-squared 0.349082 Mean dependent var -0.062929 Adjusted R-squared 0.337247 S.D. dependent var 7.170403 S.E. of regression 5.837399 Akaike info criterion 6.392638 Sum squared resid 3748.275 Schwarz criterion 6.465046 Log likelihood -358.1840 Hannan-Quinn criter. 6.422020 F-statistic 29.49603 Durbin-Watson stat 1.793412 Prob(F-statistic) 0.000000

===

^

21^^

-0.756689; -0.084618; 0.485152 En el caso de los modelos ARMA (p,q) :


54

(1- 1 L - 2 L2 - ...) Yt =+(1-1L -2L2-...- qLq) t se realizara una combinacin de trminos AR y MA, escribindose :

Y c AR(1) AR(2) ....AR(p) MA(1) MA(2) ...MA(q)

Si los modelos son estacionales, y suponiendo el caso ms general, modelos ARMA (P,Q)s :

(1- *1 Ls- *2 L2s-... *P LPs)Yt = *+(1- *1 Ls- *2 L2s-... *Q LQs )t En el recuadro en blanco habra que escribir: * Con datos mensuales

Y c SAR(12) SAR(24)...SAR(12*P) SMA(12) SMA(24)...SMA(12*Q) * Con datos trimestrales

Y c SAR(4) SAR(8)...SAR(4*P) SMA(4) SMA(8)...SMA(4*Q) Por ltimo, en los modelos mixtos que contienen parte regular y parte estacional habra que

utilizar una combinacin de los trminos anteriores. Por ejemplo, para estimar un modelo ARIMA (0,1,1) x (1,0,0)12, habra que escribir:

Y c MA(1) SAR(12)

Otros ejemplos: Dependent Variable: D(PETROLEO,1) Method: Least Squares Sample: 2000M01 2008M09 Included observations: 105 Convergence achieved after 9 iterations MA Backcast: 1999M12


C -1.443005 15.80527 -0.091299 0.9274 AR(12) 0.571530 0.073941 7.729536 0.0000 MA(1) -0.651506 0.075296 -8.652623 0.0000

R-squared 0.629857 Mean dependent var -0.847619 Adjusted R-squared 0.622599 S.D. dependent var 317.0477 S.E. of regression 194.7717 Akaike info criterion 13.40969 Sum squared resid 3869473. Schwarz criterion 13.48552 Log likelihood -701.0086 Hannan-Quinn criter. 13.44042 F-statistic 86.78464 Durbin-Watson stat 2.049783 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .95 .83+.48i .83-.48i .48+.83i .48-.83i .00+.95i -.00-.95i -.48+.83i -.48-.83i -.83-.48i -.83+.48i -.95

Inverted MA Roots .65


55

Dependent Variable: D(IPC,1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 2004M03 2009M03 Included observations: 61 after adjustments


C -0.018557 0.046061 -0.402883 0.6885

AR(1) 0.543799 0.118083 4.605221 0.0000 SAR(12) -0.642350 0.138179 -4.648690 0.0000


Inverted AR Roots .93-.25i .93+.25i .68-.68i .68+.68i .54 .25-.93i .25+.93i -.25+.93i -.25-.93i -.68+.68i -.68+.68i -.93-.25i -.93+.25i

4.3. Validacin.

Para que el modelo estimado sea aceptado como generador de la serie econmica ha de cumplir los siguientes requisitos: a) Los residuos del modelo han de ser ruido blanco.

Es esencial que los residuos sean ruido blanco, ya que en caso contrario, implicara que contienen informacin relevante para la estimacin. Lo primero que debe de cumplir los residuos es la normalidad, para verificarla se aplica el test de Jarque Bera, cuyas hiptesis en este caso son:

H0: et~ Normal H1: et no se distribuye Normal

El estadstico del test es el siguiente: JB = T/6 (S2+ (K-3)2/4)~ X2(2)

donde: s es el coeficiente de asimetra y k el coeficiente de curtosis. Ejemplo:

En este ejemplo el valor del estadstico JB*=5.655 y el p-valor asociado 0.056, acepataran H0, por lo que se puede admitir que los residuos se distribuyen segn una normal.

Otro de los requisitos que ha de cumplir la serie de et es que no est correlacionada entre s, es decir, que los et sean independientes. Una forma de verificarlo es plantear contrastes de hiptesis para los coeficientes de las FAS y de la FAP:

0

1

2

3

4

5

6

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600

Series: ResidualsSample 2006M02 2008M10Observations 33

Mean 5.422771Median 44.25943Maximum 600.9263Minimum -939.8059Std. Dev. 388.5662Skewness -0.955887Kurtosis 3.728750

Jarque-Bera 5.755695Probability 0.056256


56

H0: k =0 H0: k*

=0

H1: k 0 H1: k*

0 La serie de residuos es ruido blanco si al menos el 95% de los coeficientes estimados de su FAS

emprica y de su FAP emprica estn dentro de las bandas: +-2/ T . Tambin se puede realizar un contraste global de ausencia de correlacin en los residuos, utilizando

el test de Ljung y Box: H0 : 1 = 2 =...= k = 0 H1: H0 no se cumple

El estadstico del test es en este caso :

Q= T(T+2) =

+++

K

jqQPpk

j XjT12

))((

^

2, donde p, P, q y Q son las partes autorregresivas y de

medias mviles de la variable de donde provienen los residuos.

Ejemplo: Indice de Consumo de productos alimenticios en Grandes Superficies

40

60

80

100

120

140

160

180

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

INDICE


57

Aplicacin del test de Dickey-Fuller * Variable LOGDIF: (1-L) (1-L12) log(INDICEt)

Null Hypothesis: LOGDIF has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -19.09945 0.0000

Test critical values: 1% level -2.582334 5% level -1.943229 10% level -1.615134 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Estimacin del modelo propuesto

Dependent Variable: D(LOG(INDICE),1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 2001M04 2011M03 Included observations: 120 after adjustments Convergence achieved after 9 iterations Backcast: 2000M04 2001M03

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.000553 0.000418 -1.323295 0.1883

AR(1) -0.678069 0.079536 -8.525273 0.0000 AR(2) -0.482609 0.079581 -6.064402 0.0000

MA(12) -0.910754 0.016492 -55.22537 0.0000

Residuos

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.10 -0.05 0.00 0.05

Series: ResidualsSample 2001M04 2011M03Observations 120

Mean -0.000837Median -0.002172Maximum 0.051715Minimum -0.105775Std. Dev. 0.028366Skewness -0.476766Kurtosis 3.498752

Jarque-Bera 5.789890Probability 0.055302

El modelo que se ha propuesto para la variable Indice es un ARIMA (2,1,0)x(0,1,1) Para verificar si los residuos son ruido blanco:

Test de Jarque y Bera:

El estadstico del test es el siguiente: JB = T/6 (S2+ (K-3)2/4)~ X

JB*=5,789< 95.0,2 )2(X , ya que pSe concluye que los residuos se distribuyen segn una normal.* Independencia de los resid

H0:

H1: para k=1,...,23.

La zona de aceptacin de H

para ms del 95% de los contrastes los coeficientes estimados de de aceptacin, por lo que se verifica que los residuos no estn correlacionados. Adicionalmente se aplica el test de Ljung y Box:



El modelo que se ha propuesto para la variable Indice es un ARIMA (2,1,0)x(0,1,1)

Para verificar si los residuos son ruido blanco:

Test de Jarque y Bera:

H0: et~ Normal H1: et no se distribuye Normal

El estadstico del test es el siguiente: /4)~ X2(2)

, ya que p-valor= 0.055.

Se concluye que los residuos se distribuyen segn una normal. * Independencia de los residuos:

k =0 H0:

k 0 H1:

La zona de aceptacin de H0 para todos los contrastes es: +-2/ T = +-

para ms del 95% de los contrastes los coeficientes estimados de k y *kde aceptacin, por lo que se verifica que los residuos no estn correlacionados.

ente se aplica el test de Ljung y Box: H0 : 1 = 2 =...= 23 = 0 H1: H0 no se cumple


Q= 120(120+2) =

23

1

2323

^

2

j

j XjT

Q*=29019< 95.0,2 )23(X , ya que p-valor= 0.087,


58

El modelo que se ha propuesto para la variable Indice es un ARIMA (2,1,0)x(0,1,1)12.

k

*

=0

k

*

0

182. Se comprueba que

estn dentro de la zona de aceptacin, por lo que se verifica que los residuos no estn correlacionados.


59

por lo que nuevamente se verifica que los residuos son independientes. En definitiva, se puede afirmar que los residuos resultantes de la estimacin del modelo son ruido blanco.

b) Los coeficientes estimados han de ser estadsticamente significativos.

Los coeficientes del modelo propuesto han de ser estadsticamente significativos, para ello se utiliza el estadstico t-Student.

c) El modelo estimado ha de ser estacionario e invertible.

Ejemplo: Dependent Variable: D(IPC,1,12) Method: Least Squares Sample (adjusted): 2004M03 2009M03 Included observations: 61 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.018557 0.046061 -0.402883 0.6885

AR(1) 0.543799 0.118083 4.605221 0.0000 SAR(12) -0.642350 0.138179 -4.648690 0.0000


Inverted AR Roots .93-.25i .93+.25i .68-.68i .68+.68i .54 .25-.93i .25+.93i -.25+.93i -.25-.93i -.68+.68i -.68+.68i -.93-.25i -.93+.25i

El modelo estimado slo tiene parte autorregresiva, de modo que slo hay que analizar la

estacionariedad del mismo. Se han estimado un modelo ARIMA(1,1,0)x(1,1,0)12: (1- 1 L) (1- 1 * L12) (1-L) (1-L12) Indicet= +t,

por lo que hay hay 13 races de la parte autorregresiva que han de cumplir las condiciones de estacionaridad. Estas races aparecen en la salida del ordenador como: Inverted MA Roots. Las races reales son en valor absoluto menores que uno, y el mdulo de las complejas tambin es menor que uno, por ello, se pueden afirmar que el modelo estimado es estacionario.

Si estuvieramos en el caso de otro modelo con componentes autorregresivos y de medias mviles,

habra que analizar tanto la estacionariedad como la invertibilidad y las races aparecera recogidas, respectivamente, como Inverted AR Roots y como Inverted MA Roots. d) Aplicacin del test de Ramsey.

Se aplica el test de Ramsey para verificar que el modelo no presenta alguno de los siguientes problemas:

a) Omisin de variables explicativas relevantes. b) Forma funcional incorrecta. c) Correlacin entre los regresores y .

Si ocurre alguna de las situaciones anteriores: ~N (, 2I). De esta forma, se plantea el siguiente contraste:


60

Ho: ~N (0, 2I) H1: ~N (, 2I)

El estadstico es un test de la razn de verosimilitud: LR= 2(LnLsr LnLr) ~ X2(p), donde p es el nmero de potencias de la variable ajustada incluidas.

Ejemplo:

Ramsey RESET Test:

F-statistic 0.700657 Prob. F(1,128) 0.404123 Log likelihood ratio 0.726041 Prob. Chi-Square(1) 0.394170

Test Equation: Dependent Variable: LOGDIF Method: Least Squares


C 0.000172 0.001239 0.139186 0.8895 FITTED^2 -0.713751 0.835045 -0.854746 0.3943

AR(1) -0.615101 0.079996 -7.689119 0.0000 AR(2) -0.415091 0.080874 -5.132542 0.0000

MA(12) -0.892562 0.024877 -35.87903 0.0000

LR*= 0.726041 < X2,0.95(1), se acepta H0, no existen errores de especificacin.

e) Anlisis de estabilidad: Test de Chow. El modelo que se estima no ha de presentar cambio estructural, para comprobarlo se puede

aplicar el test de Chow: H o: No existe cambio estructural H1: Existe cambio estructural

=F kTkFkTeeeekeeeeee

*2,2

'

21'

1

2'

21'

1

)2/()(/))('(

+

+

Ejemplo aplicado al modelo estimado para D(LOG(INDICE),1,12)

Chow Breakpoint Test: 2005M06 F-statistic 1.633686 Prob. F(4,112) 0.170719

Log likelihood ratio 6.804879 Prob. Chi-Square(4) 0.146566

F*=1.633686, p-valor=0.17,

se acepta H0, no hay cambio estructural. f) Comparacin con modelos alternativo.

La idoneidad del modelo estimado se compara con otros modelos alternativos.


61

Ejemplo:

Se ha introducido con respecto al modelo estimado anteriormente para D(log(Indice),1,12) el

trmino AR(3), y los valores de los criterios de seleccin de modelos (Akaike y Shwarz) son mayores. Adems el coeficiente que acompaa al trmino AR(3) no es significativo.

Dependent Variable: D(LOG(INDICE),1,12)

Method: Least Squares

Sample (adjusted): 2001M05 2011M03

Included observations: 119 after adjustments

Convergence achieved after 10 iterations

Backcast: 2000M05 2001M04


C -0.000533 0.000446 -1.193395 0.2352

AR(1) -0.664263 0.094519 -7.027864 0.0000

AR(2) -0.457173 0.104927 -4.357066 0.0000

AR(3) 0.049410 0.092418 0.534633 0.5939

MA(12) -0.908579 0.017635 -51.52011 0.0000

R-squared 0.622914 Mean dependent var -0.000943

Adjusted R-squared 0.609683 S.D. dependent var 0.046445

S.E. of regression 0.029016 Akaike info criterion -4.200799

Sum squared resid 0.095983 Schwarz criterion -4.084029

Log likelihood 254.9475 F-statistic 47.07966

Durbin-Watson stat 1.976743 Prob(F-statistic) 0.000000

4.4. Prediccin.

La mejor prediccin por puntos es aquella que se obtiene mediante la esperanza condicional del proceso:

)/( TmT IYE + A continuacin se muestran cmo obtener predicciones puntuales para algunos modelos

estocsticos sencillos: Modelo AR(1): Yt = + ttY +11

YT+1 = + 11 ++ TTY E (YT+1/IT) = + TY1

1^

+TY = ^

+ TY^

1

2^

+TY = ^

+ 1^^

1 +TY Si se predice:


62

TTT YYY = ++ 1^

1^

TTT YYY += ++ 1^

1^

Si se predice:

)log()log()log( 1^

1^

TTT YYY = ++

)log()log()log( 1^

1^

TTT YYY += ++

))log()log((1

^1

^

TT YYT eY ++ +=

Modelo AR(2): Yt = + ttt YY ++ 2211 YT+1 = + TTT YY ++

121

E (YT+1/IT) = + TY1 + 12 TY

1^

+TY = ^

+ TY^

1 + 1^

2 TY

2^

+TY = ^

+ 1^^

1 +TY + TY^

2 Modelo MA(1):

Yt = +t-1t-1

YT+1 = +T+1-1T ; E (Yt+1/IT) = -1T ; 1^

+TY = ^

- Te^

1

YT+2 = +T+2-1T+1 ; E(Yt+2/IT) = ; 2^

+TY = ^

Modelo MA(2):

Yt = +t-1t-1- 2t-2

YT+1 = +T+1-1T - 2tT-1 ; E (Yt+1/IT) = -1T -2 T-1; 1^

+TY = ^

- Te^

1 - 1^

2 Te

YT+2 = +T+2-1T+1 - 2tT ; E (Yt+2/IT) = -2 T; 2^

+TY = ^

- Te^

120028835 econometria ii

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