セント・ペテルスブルグパラドクス（続き）

＆期待効用（ 1)前編

なぜ、対数を導入したか、ですが、この対数効用関数と心理学の感覚量の研究知見には密接な

関連があるので、紹介します

ウェーバーの法則100ml の水に 10ml 加えることにより、初め

て「増えたッッ！」と感じるとしたら、 200ml の水に何 ml の水を加えたら「増えたッッ！」と感じるだろうか？

⇒ はじめの刺激量を I とし、対応する識別閾値（今回は増えたと感じるまでの「加える水の量」）を ΔI とすると・・・　　　

一定

ウェーバーの法則は聴覚、視覚、触覚など様々な感覚領域で成り

立つ

100 円から 50 円値引くのと、1 万円から 50 円値引くのとで同じような割安感が得られない

のもそのため。

フェヒナーの法則フェヒナーの法則⇒ 人の感覚の大きさ（ S ）は、

刺激強度（ I ）の対数に比例する！

（式）　 S=klogI 　 (k は定数）

x が 0 から 10 へ、 10 増えると y はだいぶ増えるけど・・・

x が 30 から 40 に 10 増えても y はほとんど変わらない !

このフェヒナーの法則は、ウェーバーの法則から導出され

うるのです

識別閾値 ΔIの最小単位を考え、 dIと置く。また、感覚量を ΔSと置き、その最小単位を考え、 dSと置く。感覚量は刺激量と比例していると考え、

ΔI=識別閾値I=刺激量

両辺を積分すると、

S=klogI+C　 (kは定数）

さらに、S=0のとき、 I=I0とすると0=klogI0+CC=-klogI0

元の式に代入して、S=klogI-klogI0

となり、　を刺激閾の値 I0によって基準化された刺激強度であると考えると、フェヒナーの法則と同じ形が得られる。

期待効用①〜これまでの復習〜

担当：修士 2 年　金井

セントペテルスブルグパラドックスについてベルヌーイ .Dは、人々の直観と期待値が合致しない問題に対して、「期待効用」という考えを導入することによって説明しようとしました

この「期待効用」について説明していきます

期待効用集合 X上の基数効用関数、u:X→Re の X 上の確率についての期待値

を期待効用 (Expected Utility) という

期待値は確率と確率変数の積和で表現されるものです

　　期待値

xxx pppEn

n

2121

確率

まる変量のとりうる値試行の結果によって定期待値

pxE

1

1

（復習）

なので、まずは確率の公理の復習から

公理的定義コルモゴロフの公理

(1)(2)(3)

公理＝前提，仮定

( ＝ルール，約束事 )

絶対そこ落とし穴やん！

落とし穴である確率は？• フタの上に立った結果の集合を X とする　　　 X={ 落とし穴だった，爆発した，　　　　　　水が噴出した }• この結果の集合 X の部分集合を E とする　　　 E={φ ，（落），（爆），（水），（落，爆），（爆，水），（落，水），（落，爆，水） }

公理的定義（ 1 ）(1)

事象の集合 X の全体の確率は 1

☆ 　 X={ 落とし穴，爆発，水噴出 }　　　　の確率全てを足し合わせると 1

公理的定義（ 2 ）(2)

X の任意の部分集合　　の確率は 0 以上

☆ 　 E={φ ，（落），（爆），（水），（落，爆），（爆，水），（落，水），（落，爆，水） } のそれぞれの確率は 0 以上

公理的定義（ 3 ）(3)

X の任意の部分集合の積集合　　　　　　　が空集合であれば，　　　と　　　　の和集合の確率は , 　　　　　　　　　　　に等しい

公理的定義 (3)

　 E={φ ，（落），（爆），（水），（落，爆），（爆，水），（落，水），（落，爆，水） } の，（爆）を E2 , （水）を E3 としたとき，

　　　　　　つまり共通の元はない。このとき，「爆発する」か「水が噴き出す」確率は，爆発する確率と水が噴き出す確率の和と等しい。

これらのことを行動意思決定論の本に即して考えてみましょう

集合 X の部分集合　　　　　　は、 Xのべき集合の 2x の要素である　　　　　。ここで、 X のべき集合とは、集合 X の部分集合を全部集めた集合のことであり、 2x で表す。べき集合の要素はそれ自体が集合であることに注意する必要がある。例えば、 X={x1,x2,,x3} の時、 2x は次のような 8 個の要素からなる集合である。

2x={φ, {x1}, {x2},{x3}, {x1,x2}, {x2,x3}, {x1,x3}, {x1,x2,x3}}

ここで、 2x 上の有限加法的確率測度 p というものを考える。有限加法的確率測度というのは、例えば、 p({x1})=0.2というような「確率」のことである。2x 上の有限加法的確率測度 p は、全ての Ei 、 Ej に対して(1) p(X)=1(2) p(Ei) 0≧(3) Ei∩Ej=φ⇒p(Ei E∪ j)=p(Ei)+p(Ej)を満たすような集合関数である。すなわち、(1) 結果の集合 X の全体の確率は 1 であり、(2)X の任意の部分集合 Ei の確率は 0 以上であり、(3)X の任意の部分集合の積集合 Ei∩Ej が空集合であれば（すなわち、 Ei と Ej の交わりがなければ）、 Ei と Ej

の和集合（ Ei と Ej を合わせた集合）の確率は、 p(Ei)+p(Ej) と等しいという性質を持つ。

次に、 2x 上の有限加法的確率測度（以降、確率測度）の凸集合 Px というものを考える。Px が凸集合とは、 0 λ 1≧ ≧ かつ、任意の p,qが Px の要素である（ p,q∈Px ）ならば、 λp+(1-λ)q も Px の要素であること（ λp+(1-λ)q∈Px ）を言う。すなわち、任意の 2 つの結果の確率を混合させても、それが Px の要素になっていることを言う。

凸集合を図形で表すと・・・

p

q

λp+(1-λ)q

p

q

λp+(1-λ)q

凸集合 非凸集合

ここで Ei P∈ x が有限集合であるとき、 p(Ei)=1 となる確率測度は、単純 (simple ）であると言われる。この単純確率測度は下の表のような例から考えるとギャンブルやくじと解釈することが出来る。したがって、 Px が凸集合であるというのは、くじやギャンブルをある確率 λ と1-λ で組み合わせた複合くじや複合ギャンブルも、 Px の要素となっていることであると解釈できる。A 　　　　　　　　　 X

x1:1000 万円 x2:500 万円 x3:0 円

a1:ギャンブル 1 p11:2/3 p12: 1/3 p13:0

a2:ギャンブル 2 p21:1/2 p22: 1/3 p23: 1/6

a3:ギャンブル 3 p31: 1/6 p32: 0 p33:5/6

キーワード• ウェーバーの法則• フェヒナーの法則• 期待効用