13) sistema de control retro aliment ado

1

ANÁLISIS DINÁMICO DEL CONTROL

PID

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Química y Textil

Curso: “Simulación y Control de Procesos”

PI426

Profesor: Ing. Celso Montalvo

CELSO MONTALVO 2

Sistemas de Control Retroalimentado

• Consideremos el control de temperatura en el tanque por

rebose, donde el controlador abre ó cierra la válvula de vapor

en respuesta a los cambios de temperatura de salida.

C

TC M

F = cte

TT

TF = var

TC

V = var

• Balance de Masa:

• Balance de Energía:

• Transformando:

CF

dt

dTMCpCCpTVLFCpT

F

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1

1( ) ( )

1

F

F

F

FC p s L s FC p s M C p s s

MFC p s L s s FC p s

F

Ls s

s FC p

T V T T

T V T

T T V

CELSO MONTALVO 3


• Esta ecuación es el modelo del Proceso.

• El Diagrama de Bloques de este Sistema es:

C

TC M

F= cte

TT

TF = var

TC

V= var

1( ) ( )

1F

Ls s

s FC pT T V

Gv(s)

Gm(s)

1

1

s

TC(s)

+

+

FCp

LV(s)

TF(s)

+

-TR(s)Gc(s)

Proceso

Sistema de Control

Controlador

ss

KcsGcD

I

11)(

• El Controlador PID tiene la función de tres componentes.

• Una válvula lineal puede tener una función de 1er Orden, ó si el

actuador es rápido la función es simplemente Kv.

1)(

s

KvsGv

v1

)(s

eKmsGm

m

sd

• El Medidor puede tener retraso de 1er orden ó tiempo muerto.

CELSO MONTALVO 4


• Aplicando la regla de los Lazos de Retroalimentación para

efectos de la Perturbación:

Gv(s)

Gm(s)

1

1

s

TC(s)

+

+

FCp

LV(s)

TF(s)

+

-TR(s)Gc(s)

1( ) ( )

1( )

( ) 11 ( ) ( ) ( )

1

R

LG c s G v s

FCp ss

s LG c s Gv s Gm s

FCp s

T

T

• Para cambios en el Setpoint:

1

( ) 1

( ) 11 ( ) ( ) ( )

1

F

s s

s LG c s G v s G m s

FC p s

T

T

CELSO MONTALVO 5


• Las respuestas transitorias para perturbaciones de proceso y

para cambios en el setpoint (ambos escalón unitario) son:

1 1 10.6 1 5

( ) 2 0.5 1 4 1

1 1 1 1( )1 0.6 1 5

2 0.5 1 4 1 0.1 1

R

s s s s

s

s s s s

T

T

1

( ) 4 1

1 1 1 1( )1 0.6 1 5

2 0.5 1 4 1 0.1 1

F

s s

s

s s s s

T

T

• Suponiendo:

1

4 1s

TC(s)

+

+

TF(s)

+

-TR(s)

1

0.1 1s

5

0.5 1s

10.6 1

2 s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

CELSO MONTALVO 6

Valor Final del Control PID

• Si un proceso con un Controlador Proporcional se perturba con

un step su respuesta será:

• Si el controlador es PI:

11( )

1 ( ) ( )1

K p

ss

K p sK c G v s K v G m s

s

T11

1 ( ) ( )

1

K p

s

s K c G v s K v K p G m s s

s

1 ( ) ( )

K p

s K c G v s K v K p G m s s 0

1lim ( ) lim

1 ( ) ( ) 1t s

KpT t s

s Kc Gv s Kv Kp Gm s s Kc Kv

11( )

11 1 ( ) ( )

1I

K p

ss

sK pK c G v s K v G m s

s s

T11

1 1 ( ) ( )

1

I I

I

K p

s

s s K c s G v s K v K p G m s s

s s

1 1 ( ) ( )

I

I I

K p s

s s K c s G v s K v K p G m s 0

lim ( ) lim 01 1 ( ) ( )

I

t sI I

Kp sT t s

s s Kc s Gv s Kv Kp Gm s s

CELSO MONTALVO 7

Valor Final del Control PID

• Si el Controlador es PD:

11( )

1 1 ( ) ( )1

D

K p

ss

K p sK c s G v s K v G m s

s

T11

1 1 ( ) ( )

1

D

K p

s

s K c s G v s K v K p G m s s

s

1 1 ( ) ( )D

Kp

s Kc s Gv s Kv Kp Gm s s 0

1lim ( ) lim

11 1 ( ) ( )t sD

KpT t s

Kc Kvs Kc s Gv s Kv Kp Gm s s

• Esa diferencia ó valor finito resultante en los modos de control P

y PD es llamado offset.

CELSO MONTALVO 8

CONTROL PID

• Respuesta del proceso al control PID.

CELSO MONTALVO 9

CONTROL PID

• Respuesta a perturbaciones comunes:

CELSO MONTALVO 10

Análisis Dinámico del Control PID

• Analicemos la acción del control PID en nuestro modelo del

Tanque de Calentamiento con rebose.

• Esta ecuación es el modelo del Proceso. 1( ) ( ) ( )

1F

Ls s s

s FC pT T V

C

TC M

F = 100 kg/min

TT

TF0 = 40 ºC

TC

V = var0 20

m in

kg

0 200º C

0 32000ctas

/ m inkg

m A

+

TR

F(s)

mK

1

1P

s)

11( s

sKc

D

I

VK

T(s)V(s)+

+

-

L

FCpctas º C

ctas º C

º C

º C

• Si la válvula y el medidor tuvieran respuestas rápidas:

20 0 / m in0.000625

32000 0

3200 0 550 m in160 º

200 0 º 100 1

1 m in 20; 0.4; 0.1

L

P I D

kgK v

cts

ctas LK m K C

C FC p kg

M K c

F

CELSO MONTALVO 11


• Conforme se reduce la constante de tiempo de la válvula y del

medidor, el efecto perturbador sobre el proceso es cada vez

menor y por tanto puede despreciarse cuando son menores a las

décima parte de la constante de tiempo principal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

v=0.5; m=0.2

v=0.2; m=0.1

v=0.1; m=0.05

v=0.05; m=0.025

CELSO MONTALVO 12


•Asumiendo valores: v=0.2min; m=0.1min; Kc=20; I=0.4

min; D=0.1 min, ejecutamos en Matlab para una

perturbación en TF(s) tipo escalón:

CELSO MONTALVO 13


0 1 2 3 4 5 6 70

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Tiempo (min)

Tem

pera

tura

, ºC

Respuesta del Control P ante una pertubación unitaria

Kc=10

Kc=20

Kc=40

Offset

CELSO MONTALVO 14


• En un control real existe un límite físico al valor de Kc:

La válvula no puede abrir más de 100% ni cerrar menos

de 0%. Si el Kc excede de cierto valor máximo, apenas

hay una perturbación la válvula va al 100% ó al 0% y el

control es inadecuado. Esto se llama “saturación” del

controlador.

• Igualmente, si la integral del error se acumula por

mucho tiempo, aún cuando la variable controlada

regrese a su valor deseado, el control aún estará

abriendo ó cerrando la válvula generando inestabilidad.

CELSO MONTALVO 15


• Para un control PI con Kc=20 y valores de I diferentes:

CELSO MONTALVO 16

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


Tiempo (min)

Tem

pera

tura

, ºC

Respuesta del Control PI ante una pertubación unitaria

I=0.4 min

I=0.8min

I=1 min

CELSO MONTALVO 17


• Para un control PID con Kc=20, I = 0.4 min y valores de

D diferentes:

CELSO MONTALVO 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de


Tiempo (min)

Tem

pera

tura

, ºC

Respuesta del Control PID ante una pertubación unitaria

D=0 min

D=0.05min

D=0.1 min

CELSO MONTALVO 19

Acción Directa vs Acción Inversa

• Un sistema de control donde el sentido de la acción

correctora es contraria al sentido del cambio en la

variable controlada se dice que es de “Acción Inversa”.

• En el esquema mostrado, para reponer el nivel, si el

nivel disminuye, la válvula de control debe abrir. Si el

nivel aumenta, la válvula debe cerrar. La acción es

inversa. Notar el Diagrama de Bloques y el Error.

h A

W

hCvQ

F

W(s)

1

K p

s

+

-Hs(s)G v

G m

H(s)G c +

+

F(s)

( ) ( )set

Error s sH H

021

( ) ( ) ( )1

hs s s

s C vH F W

CELSO MONTALVO 20


• Ejemplo de Acción Inversa: F0 = W0 = 0.05m3/min, h0 = 0.5

m, A = 0.2 m2, Cv = 0.1414, Kv = (0.4 – 0)m5/2/min/(100 –

0)%, Km = 1, Kc = (100 – 0)%/(2 – 0)m, Kp = 10 m2/min.

Nivel

Comandoh A

W

hCvQ

F

CELSO MONTALVO 21


• En el nuevo esquema, para reponer el nivel, si el nivel

disminuye, la válvula de control debe cerrar. Si el nivel

aumenta, la válvula debe abrir. El sentido de la acción

correctora es el mismo que el sentido del cambio en la

variable controlada. Se dice que es de “Acción Directa”.

• Notar el cambio en el Diagrama de Bloques (signos) y en

la definición del Error. Idem en la FT del proceso.

( ) ( )set

Error s sH H

Q(s)

1

K p

s

-

+Hs(s) 0h

G m

H(s)G c

-

+

F(s)

G vCv(s)

0

0

0

21( ) ( ) ( )

1

hs s h s

s C vH F C v

h AhCvQ

F

CELSO MONTALVO 22


• Ejemplo de Acción Directa: F0 = 0.1m3/min, h0 = 0.5 m, A =

0.2 m2, Cv = 0.1414, Kv = (0.4 – 0)m5/2/min/(100 – 0)%, Km =

1 m/m, Kc = (100 – 0)%/(2 – 0)m, Kp = 7.071 m2/min.

Nivel

Comando

h AhCvQ

F

CELSO MONTALVO 23


• Notar la Acción del Comando ante los cambios de Nivel.

Nivel

Comando

h AhCvQ

F

Nivel

Comando

h A

W

hCvQ

F

CELSO MONTALVO 24

Modelos de Control PID

• La función P(s) = Kc(1 + 1/ Is + Ds) es llamada “ideal”

ó ISA porque ningún controlador real puede generar

exactamente una derivada instantánea del error. La

demora dinámica en el cálculo (un t debido al cálculo

numérico discreto) lleva a otros modelos del

controlador PID “real”:

1( ) 1

1

1( )

1

1( ) ( ) ( )

1

D

I D

I D

I D

I D

I D

sc s K c P ID real paralelo

s s

s sc s K c P ID real en serie

s s

s ss K c s s P ID real con derivada en la s alida

s s

G

G

P E Y

25

¡FIN!

Ing. CELSO MONTALVO HURTADO

CELSO MONTALVO 26

Criterios para la Optimización de Lazos

de Control PID

• Desarrollar lo siguiente:

− Asentamiento de ¼.

− Menor integral del valor absoluto del error (Smith-Corripio,

Steph).

− Sus variantes: error al cuadrado, ITAE, IAE, ISAE, etc.

− Overshoot máximo equivalente a un % del step ó pertubación.

− Tiempo máximo para reducir el error debajo de un % del

step/perturb.

− Mínimo número de reversals de válvula (Expertune).

− Robustez.

− Margen de Ganancia/de Fase.

− ¿Otros?Ej, si no es oscilatorio, ¿cuál se usa?

13) sistema de control retro aliment ado

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