13/09/07 mathÉmatiques financiÈres i quatrième cours
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13/09/07
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Quatrième cours
13/09/07
Rappel du dernier cours
• Escompte composé
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Rappel du dernier cours
• Escompte composé
• Escompte simple
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Rappel du dernier cours
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
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Rappel du dernier cours
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
• Taux nominal d’escompte
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Rappel du dernier cours
• Escompte composé
• Escompte simple
• Taux nominal d’intérêt
• Taux nominal d’escompte
• Équivalence de taux
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Rappel: Taux nominal d’intérêt
Si l'intérêt est capitalisé m fois par période
(avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est
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Rappel: Taux nominal d’escompte
Si l’intérêt est capitalisé m fois par période(avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d’escompte est
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Rappel: L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes
en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore
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Rappel:(suite)
en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an.
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Exemple 1:
Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.
(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?
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Exemple 1:
Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.
(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?
(b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?
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Solution: (a)Pour les deux premières années, nous avons que le taux
d’intérêt est
c’est-à-dire
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Solution: (a)Pour les deux premières années, nous avons que le taux
d’intérêt est
c’est-à-dire
Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est
c’est-à-dire
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Solution: (a)
Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.
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Solution: (a)
Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.
Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.
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Solution: (a)
Le montant accumulé après les deux premières années est
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Solution: (a)
Le montant accumulé après les deux premières années est
Le montant accumulé après les trois dernières années est
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Solution: (a)
Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.
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Solution: (b)
Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire l’un de l’autre.
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Solution: (b)
Le montant accumulé dans le placement aprèsles trois premières années est
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Solution: (b)
Le montant accumulé dans le placement aprèsles trois premières années est
Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est
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Solution: (b)
Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est
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Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt:
Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.
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Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: (suite)
Notons la fonction d’accumulation par
Alors le taux instantané de l’intérêt est
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Exemple 2:
Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire
Alors la force de l’intérêt sera
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Exemple 3:
Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire
Alors la force de l’intérêt sera
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Remarque 1:
Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.
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Remarque 2:
Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet,
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Remarque 2: (suite)
De la définition, nous pouvons montrer que
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Remarque 2: (suite)
De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:
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Remarque 3:
Dans la situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire
nous obtenons que
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Remarque 3: (suite)
Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.
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Remarque 3: (suite)
Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.
De plus, nous obtenons que
où est le taux d’intérêt composé équivalent.
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Exemple 4:
Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de l’intérêt de 5% par année.
Quel montant doit-il investir aujourd’hui?
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Solution:
Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt
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Solution: (suite)
Nous avons vu que la fonction de capitalisation est
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Solution: (suite)
Nous avons vu que la fonction de capitalisation est
Conséquemment la fonction d’actualisation est
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Solution: (suite)
De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui
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Proposition 1: Si
et
désignent respectivement un taux nominal d’intérêt et un taux instantané de l’intérêt et que ces taux sont équivalents, alors
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CHAPITRE IIPrincipes de base
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Principe de base:
La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.
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Conséquence du principe de base:
Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.
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Définition:
L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée
l’équation de valeur.
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Définition de l’équation de valeur:
La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux
financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs
accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même
date de comparaison
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Exemple 5:
Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un
seul versement de X dollars dans 5 ans.
Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.
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Solution:
Prenons comme date de comparaison
Le taux d’intérêt par période de 6 mois est
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Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est
Alors l’équation de valeur est
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Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison
alors le diagramme d’entrées et sorties est
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Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison
et l’équation de valeur est
alors le diagramme d’entrées et sorties est
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Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en
versant
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Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons
Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1.05)10.
et
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Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais le choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de
l’intérêt composé.
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Exemple 6:
Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le
second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans.
Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.
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Solution:
Prenons comme date de comparaison t = 7 périodes de capitalisation = 3.5 ans.
Le taux d’intérêt par période de 6 mois est
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Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est
Alors l’équation de valeur est
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De cette équation, nous obtenons que
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De cette équation, nous obtenons que
Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun de ces exemples, nous obtenons
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Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le
remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que
Béa versera moins d’intérêt à Alex!