INTRODUCERE

Lucrarea de licentă analizează cinematica mecanismelor din compunerea roboţilor,

bazele teoretice ale dinamicii roboţilor industriali şi arhitectura unui model de robot 4R în

vederea optimizării şi corectării performanţelor la unele sisteme robotizate.

Există numeroase definiţii ale robotului, el reprezentând un automat universal, destinat

efectuării unor funcţii motoare sau intelectuale ale omului. Printre diferitele clase de roboţi

una dintre cele mai importante o formează roboţii manipulatori, între care sunt roboţii

industriali.

În realizarea sistemului de conducere a roboţilor industriali şi a celulelor de fabricaţie flexibilã

se propune aplicarea unor tehnici ale inteligenţei artificiale pentru realizarea nivelelor

ierarhice superioare şi a unor metode avansate, de control predictiv, în materializarea nivelului

ierahic inferior.

Un robot industrial este un echipament care nu funcţioneazã în mod izolat, ci lucreazã

împreunã cu alţi roboţi şi/sau maşini unelte, benzi transportoare, ajungându-se astfel la

noţiunea de celulã flexibilã de fabricaţie. Dacã acest termen este acceptat şi folosit adesea

împreunã cu acela de sistem de tip CIM (Computer Integrated Manufacturing), conducerea şi

optimizarea funcţionãrii unei celule de fabricaţie este încã o problemã deschisã. Pentru

obţinerea flexibilitãţii în utilizare, împreunã cu autonomia şi siguranţa în funcţionare, se

inpune o abordare unitarã a unei celule de fabricaţie robotizatã, care sã îmbine elementele de

automaticã şi cele de inteligenţã artificialã (IA).

Lucrarea de licentă are următoarele obiective:

- Analiza funcţionării şi structurii generale a unui robot industrial în vederea

introducerii in procesele de fabricatie;

- Prezentarea arhitecturii unui robot industrial 4R;

- Optimizarea constructiv funcţională a robotului industrial 4R;

- Programarea robotului industrial 4R pentru operaţiuni manipulare a unor obiecte;

- Planificarea mişcării robotului în coordonate carteziene şi generarea traiectoriilor

care unesc două puncte ale spaţiului de lucru;

- Realizarea conducerii simultane a articulaţiilor robotului 4R cu motoare electrice

pas cu pas;

CAPITOLUL 1

CERCETĂRI ACTUALE ÎN ANALIZA

ROBOŢILOR INDUSTRIALI

1.1 Scurt istoric şi aplicaţii ale roboţilor neindustriali

Primele cercetări în domeniul roboticii au fost iniţiate începând cu anul 1960. Dupa un

avânt substanţial al aplicaţiilor roboticii în domeniul industrial, cu precadere în industria

automobilelor, după 1990 s-au conturat multiple aplicatii in domeniile neindustriale

(nemanufacturiere).

Această dezvoltare, chiar spectaculoasă, în direcţia aplicaţiilor neindustriale justifică

trecerea în revistă a principalelor subdomenii în care roboţii nemanufacturieri sau roboţii de

serviciu îşi pot gasi aplicabilitate.

1.2 Clasificarea roboţilor industriali.

Definiţii, domenii de utilizare, evoluţie

Robotul este un sistem automatizat de înalt nivel al cărui principal rol este manipularea

pieselor şi uneltelor, înlocuind acţiunea umană.

Principalele aplicaţii în care utilizarea roboţilor industriali are avantaje evidente:

- sudură prin puncte sau pe contur;

- operaţii de ansamblare;

- vopsire;

- turnarea în forme a pieselor mari;

- controlul calităţii;

- manipularea substanţelor toxice, radioactive;

Robotul industrial este definit în prezent ca un manipulator tridimensional,

multifuncţional, reprogramabil, capabil să deplaseze materiale, piese, unelte sau aparate

speciale după traiectorii programate, în scopul efectuării unor operaţii diversificate de

fabricaţie. Pentru diferitele componente ale roboţilor industriali (fig. 1.1.), s-au definit termeni

specifici preluaţi din literatura anglo – saxonă.

a. b. Fig. 1.1 Roboţi industriali tip manipulator

1.2.1 Clasificarea manipulatoarelor şi roboţilor pe generaţii

Clasificarea pe generaţii foloseşte drept criteriu de bază capacitatea maşinii de

percepere şi interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum şi de adaptare la mediu în

timpul procesului de lucru. Deosebim:

- manipulatoarele manuale (prima generaţie);

- manipulatoare automate (generaţia a doua);

- manipulatoare inteligente (generaţia a treia);

- roboţii industriali din prima generaţie sunt manipulatoare automate programabile,

având cel puţin 3 axe (dintre care cel puţin 2 axe sunt programabile prin învăţare sau printr-un

limbaj simbolic);

- roboţii industriali din generaţia a doua;

- roboţii industriali din generaţia a treia sunt dotaţi cu senzori inteligenţi (prelucrare

locală a informaţiei) şi utilizează elemente de inteligenţă artificială;

- roboţii inteligenţi sunt dotaţi cu programe de inteligenţă artificială avansate, au

capacitate de autoinstruire.

Majoritatea roboţilor industriali folosiţi în prezent sunt din generaţia 1 şi 2. În funcţie

de scara evolutivă a treptelor de automatizare roboţii industriali se clasifică în:

Sursa de informaţii Energia Treapta Descriere

Mediul exterior

Electrică

Hidraulică

Pneumatică

10 Maşină care se autoperfecţionează:robot cu inteligenţă artificială

9 Maşină cu program adaptabil în funcţie de condiţiile externe: robot cu elemente de inteligenţă artificială, robot industrial generaţia 3

8 Maşină care îşi corectează pro-gramul în funcţie de condiţiile de lucru: maşină unealtă cu comandă adaptativă

Program variabil(programabilitate)

7 Maşină universală programabilă: sistem sau centru de prelucrare cu CNC, robot industrial generaţia 2

6 Maşină monooperaţie programabilă: maşină unealtă cu CN, robot industrial generaţia 1

Program fix

5 Maşină automată pentru operaţii multiple: strung cu prelucrare automată, automat de montaj

4 Maşină automată monooperaţie: automat de montaj rigid, manipulator automat

Om

Mecanică

Manuală

3 Sculă mecanizată, maşină comandată manual, manipulator manual (teleoperator)

2 Sculă de mână1 Mână

1.2.2 Clasificare pe categorii

Din punctul de vedere al relaţiei om-robot în timpul desfăşurării lucrului roboţilor,

acestia se impart in trei mari categorii:

• Roboţi automaţi,

• Roboţi biotehnici,

• Roboţi interactivi.

În cazul robotior comandaţi pas cu pas, prin acţionarea de către operatorul uman a

unui buton sau manetă, este pus in funcţiune unul din gradele de mişcare ale robotului. Roboţii

master-slave sunt constituiţi din doua lanţuri cinematice deschise, primul lanţ (master) având

mişcarea comandată de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scară această mişcare

şi efectuând operaţiile de manipulare pentru care este destinat robotul. In alte cazuri, legatura

dintre master şi slave este indirectă, prin teletransmisie. In ambele cazuri, operatorul uman

trebuie să vadă tot timpul mişcarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastră

sau pe un ecran display.

În cazul roboţiior biotehnici semiautomaţi, operatorul uman participă nemijlocit în

procesul de comandă, dar în acelasi timp cu el lucrează şi un calculator universal sau

specializat. Semnalul de comandaă la aceste sisteme este dat de operatorul uman, obisnuit

printr-o manetă de comandă ce poate avea 3-6 grade de mişcare. Semnalul obţinut prin

apăsarea manetei după un grad de mişcare oarecare este preluat de calculator, care efectuează

calcule şi formează semnalele de comandă pentru fiecare grad de mişcare al organului de

execuţie al robotului.

Roboţii ce acţionează in medii industriale au capătat denumirea de roboţi industriali.

In general, acestia sunt roboţi automaţi şi în cazuri mai rare se utilizează in industrie şi roboţi

biotehnici sau interactivi. Sunt răspândiîi, in special, roboţii programaţi şi, mai puţin, cei

adaptivi. Roboţii inteligenţi se află în faza de încercări în laboratoare sau aplicaţii la unele

operaţii de montaj automat.

1.3 Domeniul inteligenţei artificiale (IA)

Se consideră că obiectul IA se referă la modalităţile prin care poate fi imitată

inteligenţa umană cu ajutorul calculatoarelor electronice şi a unor programe performante.

Referitor la inteligenţa artificială se consideră că:

- IA este domeniul de studiu care îşi propune să explice şi să modeleze

comportamentul inteligent în termenii proceselor de calcul;

- IA este de natură interdisciplinară care implică ştiinţa calculatoarelor, matematica,

psihologia proceselor cognitive ş.a.

- Ingineresc IA se ocupă cu generarea reprezentărilor procedurilor care în mod

automat şi autonom permit rezolvarea până acum numai de oameni;

- Obiectul IA este abordarea inteligenţei ca pe un calcul posibil de efectuat, fezabil.

O definiţie operaţională a inteligenţei artificiale este Testul Turing, care constă într-o

conversaţie (discuţie prietenească - chat), la distanţă, între un om (operator) şi un calculator.

La sfârşitul testului, calculatorul se consideră inteligent când operatorul nu poate spune dacă a

dialogat cu un alt operator uman sau cu o maşină.

Se obţin următoarele concluzii:

- IA poate fi descrisă drept domeniu al informaticii care se ocupă cu proiectarea şi

construirea sistemelor capabile să realizeze funcţii ale intelectului uman, cum ar fi

învăţatrea din experienţă, înţelegerea limbajului natural sau utilizarea unui

raţionament pentru rezolvarea problemelor;

- este mai uşor de exprimat ce trebue să facă maşinile inteligente decât descrierea a

ceea ce trebue să fie ele;

- structura arhitecturală a calculatoarelor electronice rămâne încă foarte diferită de

structura sistemelor biologice,

- comportamentul inteligent se caracterizează prin:

- flexibilitate – disponibilitatea de adaptare la condiţii noi;

- feed – back (reacţie) – posibilitatea de a compara rezultatele acţiunilor cu

aşteptările şi apoi modificarea corespunzătoare a acţiunilor;

- memoria – pentru înmagazinarea informaţiilor în vederea utilizării ulterioare.

1.4 Roboţi mobili

Unul din obiectivele esenţiale ale roboticii este elaborarea roboţilor autonomi.

Asemenea roboţi ar putea accepta o descriere naturală - formală - (de nivel înalt) a sarcinilor

de îndeplinit şi executarea comenzilor fără alte intervenţii umane. Descrierile necesare vor

preciza ce doreşte utilizatorul şi nu cum să execute comenzile. Roboţii capabili să

îndeplinească aceste operaţii vor fi dispozitive mecanice versatile, echipate cu senzori de

perceperea a mediului şi aflate sub controlul unui sistem de calcul.

Orientarea într-un mediu total necunoscut, folosind senzori pentru detectarea

obstacolelor şi comunicaţia cu un calculator aflat la distanţă sunt două aspecte importante care

trebuie luate în considerare atunci când lucrăm cu un robot mobil.

Fără senzori, roboţii nu ar putea executa altceva decât sarcini fixate dinainte, repetând

operaţiile ce le are de realizat iar şi iar, dar dotaţi cu senzori, roboţii au capacitatea de a face

mult mai mult decât atât.

Problemele specifice ce apar la roboţii mobili sunt următoarele:

- evitarea impactului cu obiectele staţionare sau în mişcare;

- determinarea poziţiei şi orientării robotului pe teren;

- planificarea unei traiectorii optime de mişcare.

În cazul unui sistem robotic automat distribuit poziţiile spaţiale sunt de o extremă

importanţă şi de ele depinde îndeplinirea scopurilor dorite şi funcţionarea întregului sistem.

Cu alte cuvinte, robotul trebuie să fie capabil să-şi planifice mişcările, să decidă automat ce

mişcări să execute pentru a îndeplini o sarcină, în funcţie de aranjamentul momentan al

obiectelor din spaţiul de lucru.

Planificarea mişcărilor nu constă dintr-o problemă unică şi bine determinată, ci dintr-

un ansamblu de probleme dintre care unele sunt mai mult sau mai puţin variante ale celorlalte.

Evitarea coliziunii cu obstacole fixe sau mobile (de exemplu alţi roboţi mobili) aflate

în spaţiul de lucru al robotului se poate face prin mai multe metode: realizarea unei apărători

mecanice care prin deformare opreşte robotul, folosirea senzorilor care măsoară distanţa până

la obstacolele de pe direcţia de deplasare, folosirea senzorilor de proximitate, folosirea

informaţiilor corelate de la mai multe tipuri de senzori.

Localizarea obiectelor se poate realiza şi prin contact fizic, dar acesta impune restricţii

asupra vitezei de mişcare a structurii manipulate. Contactul fizic dintre robot şi obiectele din

mediu generează forţe de reacţiune care modifică starea robotului. Vitezele mari de lucru fac

ca efectele dinamice ale unui contact fizic cu obstacole sau obiecte manipulate să fie riscante

(pot duce la deteriorarea obiectelor sau a robotului).

Sistemul senzorial mai este numit şi sistem de măsurare. El asigură măsurarea unor

mărimi fizice şi eventual perceperea unor modificări semnificative a acestor mărimi.

1.5.3 Laborator de fabricaţie asistată de calculator

Dezvoltarea unor cercetari privind conducerea inteligentă şi optimală a unui sistem

flexibil de fabricatie şi concretizarea metodelor şi algoritmilor intr-un sistem informatic

integrat pentru conducerea fabricatiei a condus la realizarea unui sistem integrat de laboratoare

pentru studiul domeniului fabricatiei asistate de calculator.

În realizarea studiilor teoretice privind analiza si optimizarea sistemelor de fabricatie

se inpun:

- modelarea sistemului de fabricatie din laboratorul de fabricatie asistata de calculator

ca un sistem cu evenimente discrete;

- cercetari privind programarea robotilor industriali;

- cercetari privind conducerea asistata de calculator a masinilor unelte;

- dezvoltarea unui sistem de vedere artificiala pentru conducerea inteligentă şi optimală

a unui sistem flexibil de fabricatie;

- cercetari privind folosirea sistemelor expert in planificarea si monitorizarea unui

sistem flexibil de fabricatie.

Un laborator de fabricaţie asistată de calculator are următoarea organizare:

Fig. 1.8. Arhitectura sistemului de fabricaţie flexibilă 1. Robot industrial (IRB 1400), 2. Robot industrial (IRB 2400), 3. Maşină unealtă cu comandă numeric (EMCO PC Mill 55 CNC), 4. Sistem de vedere artificială (OptiMaster), 5. Conveior, 6. Magazie piese finite, 7. Magazie piese brute, 8.Buffer piese, 9.Controler Robot (IRB 1400), 10. Controler Robot (IRB 2400)

1.5.4 Modelarea şi analiza sistemelor cu evenimente discrete

1.5.4.1 Reţele Petri

Retelele Petri reprezintă o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dacă

se cunosc mulţimile nodurilor si arcelor acestuia. Diferenţa dintre un graf şi o reţea Petri

constă în faptul că, în cazul acesteia din urmă, mulţimea nodurilor este înlocuită cu doua

mulţimi disjuncte :

- mulţimea locurilor iP , i = 1, ..., n (reprezentate prin cercuri);

- mulţimea tranziţiilor jT , j = 1, ..., m (reprezentate prin bare verticale sau prin

pătrate).

Arcele unei retele Petri sunt unidirecţionale. Un arc nu poate lega decât fie o tranzitie

de un loc, fie un loc de o tranzitie. La o tranziţie sau la un loc pot ajunge mai multe arce, iar de

la o tranzitie sau de la un loc pot pleca de asemenea mai multe arce. Un loc şi o tranziţie pot fi

legate prin cel mult un arc. Structura unei reţele Petri este astfel complet definită de cele trei

mulţimi anterioare: a locurilor, a tranziţiilor şi a arcelor.

Fig. 1.9. Retea Petri cu trei locuri şi trei tranziţii

În fig. 1.9 toate arcele au evaluare unitara, cu excepţia arcelor de la T2 la P3 şi de la T3

la P1, care au evaluarea 2:

a( 1 1P ,T ) = a( 1 2P ,T ) = a( 1 2T ,P ) = a( 2 3P ,T ) = a( 3 3P ,T ) = 1;

a( 2 3T ,P ) = a( 3 2T ,P ) = 2. (1.3)

Matricea de incidenţă a reţelei din fig. 1.9 este

1 1 2

A 1 0 1

0 2 1

− − = − −

, (1.4)

unde elementele 2 2a , şi 3 1a , au valori nule deoarece intre locul 2P şi tranziţia 2T , sau intre

locul 3P şi tranziţia 1T nu există nici un arc; elementele 1,1 1,2 2,3a , a , a şi 3,3a au valori

negative deoarece tranziţiile corespunzatoare sunt tranziţii de ieşire ( 1T şi 2T sunt tranziţii

de iesire din 1P , iar 3T este tranziţie de iesire din 2P şi 3P ).

Marcajul reţelei din fig. 1.9. este M = (2, 1, 0), deoarece locul 1P contine 2 jetoane,

locul 2P conţine un jeton iar locul 3P nu conţine nici un jeton.

Reguli de funcţionare:

Fiind dată o reţea Petri marcată, se spune că o tranziţie jT a acestei reţele este

activabilă pentru marcajul M dacă şi numai dacă, pentru orice loc iP care este loc de intrare în

tranziţia jT , marcajul locului iP este mai mare sau la limita egal cu evaluarea arcului dintre

iP şi jT .

Dacă o tranziţie este activabilă atunci ea poate fi activată. Activarea unei tranziţii

constă în modificarea marcajelor locurilor de intrare şi de ieşire din tranziţia respectivă.

La activarea tranziţiei jT , marcajul unui loc iP de intrare în tranziţia respectiva scade

cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( iP , jT ). Daca iP este un loc de ieşire din tranziţia

jT , atunci marcajul său creşte cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( jT , iP ). Dacă un loc

al reţelei nu este legat de tranziţia jT prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului

rămâne neschimbat.

1.6 Sistem robotizat de montaj

Folosind noţiunile din teoria sistemelor, o unitate de productie se poate considera că

este compusă dintr-o serie de subsisteme, montajul fiind unul dintre acestea şi ocupând locul

final. Costul de productie in construcţia de maşini este influenţat in mare masura (30 % - 40

%) de volumul de muncă din montaj, care poate atinge 25 % - 30 % din volumul total. In

construcţia de aparate, volumul de munca in montaj poate ajunge pina la 40 % - 70 %. Se

consideră la nivel mondial ca optimizarea acestei munci poate conduce la o puternica

economisire a resurselor.

Numarul mare al parametrilor ce trebuie inregistraţi şi luaţi in considerare ca de fapt

problema de rezolvat “montajul robotizat” conduce la realizări sub formă complexă a cuplului

“instalatii periferice - robot industrial “. Un rol esenţial in asigurarea flexibilităţii il

reprezintă utilizarea elementelor senzoriale şi a efectorilor finali specializaţi pentru

compensarea erorilor inerente ce apar.

1.7 Planificarea mişcărilor robotului industrial

Robotul fiind o maşină cu abilităţi în mişcare şi/sau de manipulare una din cele mai

importante probleme de rezolvat este de a îi planifica mişcările, ceea ce implică modelarea

spaţiului de lucru, cu obstacolele pe care le conţine, şi a robotului, ca entitate de formă

complexă şi variabilă.

Planificarea mişcărilor poate fi considerată ca problema realizării algoritmilor pentru a

calcula automat o traiectorie continuă pentru o mulţime de obiecte (posibil legate) astfel încât

să se deplaseze de la o poziţie la alta evitând coliziunile cu alte obiecte fixe sau având mişcare

proprie.

Pentru un robot cu bază fixă problema se poate formula mai simplu prin alegerea unei

traiectorii ferite de coliziuni pentru braţul robotului, între două poziţii, în cazul unui spaţiu

închis.

Reprezentarea parametrică

Reprezentarea parametrică tratează reprezentarea parametrică a curbelor şi

suprafeţelor, expunând modul de abordare a reprezentării curbelor Bézier şi B-spline, precum

şi construcţia porţiunilor de suprafaţă pe baza acestor tipuri de curbe.

O curbă parametrică este definită printr-o mulţime discretă de puncte cunoscute ca

puncte de control împreună cu un set de funcţii de bază.

Această metodă de specificare a curbei este complet diferită faţă de cea matematică normală,

care are forma unei funcţii implicite.

Cercetări recente sunt orientate spre:

Reprezentarea parametrică a curbelor tridimensionale:

- curbele cubice Bézier

- unirea segmentelor de curbe cubice Bézier

- curbele B-spline, uniforme şi neuniforme;

Reprezentarea suprafeţelor cubice biparametrice:

- combinarea porţiunilor de suprafaţă Bézier

- porţiuni de suprafaţă B-spline

- editarea suprafeţelor parametrice

Reprezentarea parametrică a spaţiilor de lucru proprii ale roboţilor prin utilizarea

Matlab:

- funcţii utilizate în programele Matlab scrise pentru generarea reprezentărilor grafice;

- modelarea suprafeţelor descrise de efectorul final

Program de calcul pentru trasarea curbelor Bezier

Parametrii curbei

Parametrii curbei

x 1 2 3 4 5( ):= y 1 4 5 3 5( ):=unde x şi y sunt coordonatele punctelor de control.

P stack x y,( ):=

Bez t P,( ) 1 t−( ) P 0⟨ ⟩⋅ t P 1⟨ ⟩

⋅+ cols P( ) 2if

M i⟨⟩1 t−( ) P i⟨ ⟩

⋅ t P i 1+⟨ ⟩⋅+ ←

i 0 cols P( ) 2−..∈for

Bez t M,( )

otherwise

:=

Pentru variaţia t 0, 0.001 . . 1= se obţine următoarea reprezentare grafică a curbei

Bezier:

1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 50

0.61.21.82.4

33.64.24.85.4

6

yT

Bez t P,( )1

xT

Bez t P,( )0,

Fig. 1.14 Curbă Bezier

CAPITOLUL 2

ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR

DIN COMPUNEREA ROBOŢILOR

Solidul rigid este un sistem de puncte materiale la care distanţele dintre acestea rămân

constante în timpul mişcării şi nu îşi modifică poziţiile în raport cu un reper fixat de rigid. A

cunoaşte mişcarea unui solid înseamnă a determina, la un moment dat, vectorul de poziţie,

viteza şi acceleraţia unui punct oarecare al acestui solid.

2.1.1 Translaţia axelor de coordonate

Translaţia este determinată prin vectorul de poziţie al noii origini faţă de originea

sistemului iniţial (fig. 2.1).

Relaţiile de legătură între coordonatele unui punct ( )x y zM , ,ρ ρ ρ , faţă de sistemul

iniţial 0 0 0 0O x y z şi coordonatele aceluiaşi punct M(x,y,z), faţă de sistemul translatat Oxyz,

se obţin în urma proiectării ecuaţiei vectoriale.

0 rρ = ρ + (2.1)

Fig.2.1 Sisteme de referinţă

Matriceal, se scrie sub forma:

x 0x

y 0y

z 0z

1 0 0 x

0 1 0 y

0 0 1 z

ρ ρ ρ = ρ + ρ ρ

, (2.3)

sau

( ) ( ) [ ] ( )0 E rρ = ρ + . (2.4)

Poziţia şi mişcarea solidului rigid , faţă de sistemul cartezian fix 0 0 0 0O x y z ,

corespund poziţiei şi mişcării unui triedru Oxyz ataşat rigidului respectiv. Cele şase grade de

libertate ale rigidului vor fi determinate de vectorul de poziţie 0ρ al originii O şi de poziţia

versorilor mobili i, j şi k ai axelor Ox, Oy şi Oz (fig. 2.3).

Fig. 2.3. Determinarea gradelor de libertate ale solidului rigid

Vectorul de poziţie al punctului M în raport cu sistemul mobil este:

r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ , (2.21)

Proiecţiile vectorului 0r pe axele sistemului fix se pot deduce făcând produsele

scalare corespunzătoare:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

T

0 11 21 31 11 21 31T0

0 12 22 32 12 22 32

T13 23 33 13 23 330

i r x y z x

r j r x y z y

x y z zk r

,

α + α + α α α α = = α + α + α = α α α α + α + α α α α

(2.24)

unde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).;;

;;;

;;;

033032031

023022021

013012011

kkkjki

jkjjji

ikijii

TTT

TTT

TTT

=α=α=α=α=α=α=α=α=α

(2.25)

2.2 Determinarea distribuţiei de viteze şi acceleraţii

Produsul scalar a doi vectori 11 şi ba poate fi exprimat matriceal sub forma

( ) ( )1x

T

1 1 1x 1y 1z 1y 1x 1x 1y 1y 1z 1z

1z

b

a b a a a b a b a b a b

b

= = + +

, (2.37)

iar cel vectorial

[ ] ( )1z 1y 1x

1 1 1z 1x 1y

1y 1x 1z

0 a a b

a b a 0 a b

a a 0 b

,

− = − −

(2.38)

unde: [ ]1a este matricea antisimetrică asociată vectorului 1a ,

( )1b - matricea coloană asociată vectorului 1b .

Poziţia punctului M în raport cu sistemul de referinţă fix 0 0 0 0O x y z este determinată

prin vectorul:

( ) ( ) [ ] ( )ra T+ρ=ρ 0 , (2.39)

de unde, prin derivare în raport cu timpul, se obţine viteza punctului M în raport cu sistemul

fix:

( ) ( ) [ ] ( )ra T +ρ=ρ 0 . (2.40)

Pentru a determina proiecţiile vitezei punctului M în raport cu sistemul de referinţă

mobil (sistemul propriu), se înmulţeşte la stânga cu operatorul [ ]a , obţinându-se:

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( )T

0a a a a rρ = ρ +& & & . (2.41)

Pe baza relaţiei (2.46) expresia vitezei punctului M în raport cu sistemul propriu Oxyz

dată de relaţia (2.42) devine:

( ) ( ) [ ]( ) ,0 rVVM ω+= (2.47)

unde:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]z y

T T T

z x

y x

0

a a a a 0

0

,

−ω ω ω = − ω = = − = ω −ω −ω ω

& &

( ) ( ) [ ] ( )x x

y y

z z

M 0

M M 0 0 0

M 0

V V

V V V a V

V V

; .

= = ρ =

& (2.48)

Menţiuni

1. Ecuaţia [ ] [ ] [ ]Taa =ω se multiplică la stânga cu matricea [ ]Ta , obţinându-se:

[ ] [ ] [ ]T Ta a= ω& , (2.49)

respectiv ecuaţia [ ] [ ] [ ]TT aa=ω se multiplică la dreapta cu matricea [ ]a , rezultând

[ ] [ ] [ ]Ta a= ω& , (2.50)

două relaţii foarte importante pentru stabilirea regulilor de derivare, în vederea obţinerii

ecuaţiilor cinematice;

2. Matricea antisimetrică [ ]ω joacă rolul unui operator diferenţial aplicat unui vector,

exprimat prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil (propriu):

( ) [ ] [ ] ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )T Td dr a a r a a r r

d t d t= = ω = ω . (2.51)

Pe baza formulei (2.51) se obţin, în cazul versorilor mobili i, j, k , relaţiile lui

Poisson:

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) .d

d;

d

d;

d

dkk

tjj

tii

tω=ω=ω= (2.52)

Ţinând cont de relaţia (2.49), ecuaţia (2.40) devine

( ) ( ) [ ] [ ] ( )T

0 a rρ = ρ + ω& & . (2.53)

Acceleraţia punctului M, exprimată în raport cu proiecţiile sale pe axele sistemului de

referinţă fix, se obţine prin derivare în raport cu timpul a ecuaţiei (2.53), obţinându-se:

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )

T T

0

T 2

0

a r a r

a r .

ρ = ρ + ω + ω =

= ρ + ω + ω

&& && & &

&& &(2.54)

2.4 Determinarea matricei de rotaţie în cazul unei rotaţii oarecare

Se consideră în acest caz rotaţia solidului rigid în jurul unei axe oarecare, ∆, cu un

unghi ϕ [84, 125, 128, 131](fig. 2.6).

Fig. 2.6. Rotaţia rigidului în jurul axei ∆

Se consideră axa de rotaţie (∆), definită în raport cu sistemul triortogonal fix

0 0 0 0O x y z , prin cosinuşii directori:

11 12 13cos , cos , cosα = α α = β α = γ

şi sistemul de referinţă 1 1 1 1O x y z a cărui axă 1 1O x coincide cu axa de rotaţie (∆), iar axa

1 1O z este situată în planul 0 0 0O x z .

Considerăm că un punct M′ definit în sistemul 2 2 2 2O x y z , de vector ( )2Mr ′ , se obţine

ca rezultat al rotaţiei de unghi ϕ în jurul axei (∆) din punctul M ce aparţine sistemului

1111 zyxO , de vector ( )1Mr . Ştiind că expresia analitică a vectorului de poziţie este un

invariant faţă de rotirea axelor de coordonate, se poate scrie

( ) ( )2 1M Mr r′ = ,

din care, prin multiplicare la stânga cu matricea [ ] T21a , se obţine

[ ] ( ) [ ] ( )T T2 121 M 21 Ma r a r′ = . (2.85)

Relaţia (2.91) devine

( ) [ ] [ ] [ ] ( )T T0 0M 10 21 10 Mr a a a r′ = ,

şi deci matricea transformării este

[ ] [ ] [ ] [ ]TT T

r 10 21 10a a a a= . (2.92)

Matricea [ ]ra , definită de relaţia (2.92), defineşte rotaţia solidului rigid în jurul axei

(∆), cu unghiul ϕ , în raport cu sistemul de referinţă fix.

Notăm c cos , s =sin , . . .α = α α α şi efectuând produsele matriceale,

[ ] [ ] [ ]T TT10 21 20

c cc c

1 0 0s s

a a c s 0 0 c s a

c c 0 s cc c

s s

β γ α − α − β β = β β ϕ − ϕ = γ α ϕ ϕ γ − ββ β

şi

[ ] [ ]T20 10a a

c c c c s c c c c sc c c c

s sc c c c

c s c s s s ,s s

c s c c c c c s c cc c c

0s ss s

=

α β ϕ + γ ϕ − γ ϕ + α β ϕ α − α β γ β β α β β γ = β β ϕ − β ϕ − β − β β α ϕ − β γ ϕ β γ ϕ + α ϕ γ ϕ α −β β β β

în final, matricea transformării, [ ] T

ra , devine

[ ] [ ] [ ] [ ]r r r11 21 31

TT T r r rr 10 21 10 12 22 32

r r r13 23 33

a a a a ,

α α α = = α α α α α α

(2.93)

unde:

2 2 2r 211 2

c c c c c c s c c c s c cc

s

α ⋅ β ⋅ γ + α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ − α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ + γ ⋅ ϕα = α +β

;

r21

s c c c s c sc c

s s

β ⋅ ϕ ⋅ α ⋅ β β ⋅ γ ⋅ ϕα = α ⋅ β − +β β

;

2 2 2r31 2 2 2

c c s c c c c c c s c c cc c

s s s

α ⋅ β ⋅ ϕ α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ ϕ + α ⋅ γ ⋅ ϕα = γ ⋅ α − + −β β β

;

r12

c c s c c s sc c

s

α ⋅ β ⋅ β ⋅ ϕ + γ ⋅ β ⋅ ϕα = α ⋅ β −β

;

r 2 222 c s cα = β + β ⋅ ϕ ; (2.94)

r32

c s s c s c cc c

s

α ⋅ β ⋅ ϕ − β ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕα = γ ⋅ β +β

;

2 2 2r13 2

c c c c c c s c c c c c sc c

s

α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ + β ⋅ γ ⋅ ϕ − α ⋅ γ ⋅ ϕ + α ⋅ β ⋅ ϕα = α ⋅ γ +β

;

r23

s c c c s c sc c

s s

β ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ α ⋅ ϕα = β ⋅ γ − −β β

;

2 2 2r 233 2 2 2

c c c s c c c c c c s c cc .

s s s

α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ α ⋅ ϕ + α ⋅ ϕα = γ − + +β β β

Semnul pentru ϕ este determinat de regula burghiului drept, când rotaţia are loc în

sensul pozitiv al axei (∆).

Fiind dată matricea de rotaţie, se pot determina cosinusurile directoare şi unghiul de

rotaţie:

11 22 33 1cos

2arc

α + α + α −ϕ = , (2.96)

( )r r23 32r r31 13r r12 21

1u

2 s

α − α = ⋅ α − α ⋅ ϕ α − α

. (2.97)

2.6. Mişcarea compusă a solidului rigid

2.6.1 Distribuţia vitezelor

Se consideră că se cunosc parametrii cinematici ai mişcării solidului rugid faţă de un

sistem mobil 1 1 1 1O x y z , precum şi parametrii cinematici ai mişcării acestui sistem de referinţă

în raport cu cel fix 0 0 0 0O x y z . Se consideră referenţialul triortogonal 2 2 2 2O x y z invariabil

legat de solidul rigid (fig.2.8).

Fig. 2.8. Mişcarea compusă a solidului rigid

Poziţia solidului rigid faţă de triedrul 1 1 1 1O x y z este dată prin coordonatele originii

( )2 21 21 21O x y z, , şi prin unghiurile lui Euler rrr ϕθψ şi , formate de axele

2 2 2 2 2 2O x O y şi O z, cu axele mobile 1 1 1 1 1 1O x O y , O z,

( ) ( )

ϕθψ

=λ

=

r

r

r

r

z

y

x

r ,

21

21

21

21 . (2.119)

Matricea de trecere de la sistemul 1 1 1 1O x y z , la sistemul 2 2 2 2O x y z este

[ ] [ ] r r r21 ra a a a aϕ θ ψ = = . (2.120)

Parametrii de poziţie ai triedrului mobil 1 1 1 1O x y z faţă de reperul fix 0 0 0 0O x y z , vor

fi coordonatele 10 10 10x y , z, ale originii 1O şi unghiurile lui Euler t t t , ,ψ θ ϕ care

formează matricele coloană:

( ) ( )

ϕθψ

=λ

=

t

t

t

t

z

y

x

r ;

10

10

10

10 , (2.121)

iar matricea transformării [ ] [ ]taa =10 are componentele date de relaţiile (2.108).

Poziţia punctului M faţă de referenţialul mobil 2 2 2 2O x y z este dată de componentele

vectorului de poziţie 2r , unde

( ) [ ] T

2 2 2 2r x y z= . (2.122)

Ştiind că (fig. 2.8)

( ) ( ) ( )1 21 2r r r= + , (2.123)

( ) ( ) ( )10 1r rρ = + , (2.124)

( ) [ ] ( ) ( )T

21 21 2 1r a r r+ = , (2.125)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21 10 r ta a a a a= =

se obţin proiecţiile vitezei punctului M pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z :

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )M 21 10 10 21 21 21 10 1 21 2V a a r a r a r r= + + ω + ω& & . (2.126)

Folosind notaţiile:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

10 t 21 r

10 10 10

21 21 21

a r V

a r V

, ,

,

,

ω = ω ω = ω

=

=

&

&

(2.127)

ecuaţia (2.126) capătă forma:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ){ } ( ) [ ] ( ){ }M 21 10 t 1 21 r 2V a V r V r= + ω + + ω . (2.128)

2.6.2 Distribuţia acceleraţiilor

Pentru determinarea acceleraţiei punctului M, se derivează în raport cu timpul viteza

punctului M, obţinându-se

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]{ } ( )

T T 2

10 10 21 10 10 10 1

T T T 2

10 10 1 10 21 21 21 2

r a r a r

2 a r a a r

ρ = + + ω + ω +

+ ω + ω + ω

&& && && &

& & ,(2.132)

Prin multiplicarea la stânga cu [ ] [ ] [ ]1021 aaa = , se obţine acceleraţia punctului M

dată prin proiecţiile sale pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z :

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]{ } ( )

2M 21 10 10 21 21 21 10 10 1

221 10 1 21 21 2

a a a r a r a r

2 a r r ,

= + + ω + ω +

+ ω + ω + ω

&& && &

& &(2.133)

Revenind în sistemul fix, prin multiplicare la stânga cu [ ] [ ] [ ]T T T

10 21a a a= , se obţine

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

T T

20 21 10 21 21 21 10 21 21

T T

21 21 10 21

a a a a

a a

ω = ω + ω + ω ω +

+ ω ω

& & &

.(2.135)

Pe baza relaţiilor (2.129) şi (2.134), se poate scrie

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

2 2 T 2

20 20 21 10 10 21 21 21

T

21 10 21 21

a a

2 a a

ω + ω = ω + ω + ω + ω +

+ ω ω

& & &

,(2.136)

ceea ce permite scrierea acceleraţiei punctului M sub forma

( ) ( ) [ ] [ ]{ } ( )2

2 2

M o 20 20 2a a r ,= + ω + ω& (2.137)

atunci când se cunoaşte acceleraţia originii 2O a sistemului de referinţă legat de solidul rigid.

z x

c s c s s

R R R s c c c s

0 s c, ,

θ θ α θ α

θ α θ θ α θ α

α α

− ⋅ ⋅ = = ⋅ − ⋅

. (2.141)

Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31 = 0 rezultă că

2 2 2 211 21 32 33r r 1 r r 1,+ = + = . (2.142)

Relaţiile (2.142) conduc la valori unice pentru θ şi α astfel încât :

( ) ( )11 21r r c s, ,θ θ= şi ( ) ( )33 32r r c s, ,α α= . (2.143)

Odată gasite valorile lui θ şi α, este usor de verificat că elementele rămase din matricea

R corespund formei (2.141), folosind faptul că matricea R este o matrice de rotaţie.

Ceea ce s-a discutat anterior reprezintă semnificaţiile logice şi condiţiile necesare

aplicării formalismului Denavit-Hartenberg şi a alegerii parametrilor. În plus se pot desprinde

şi semnificaţii fizice ale parametrilor şi anume:

- a reprezintă distanţa dintre axele 0z şi 1z , măsurată de-a lungul lui 1x ,

- unghiul α este masurat într-un plan perpendicular pe 1x între axele 0z şi 1z ,

- parametrul d reprezintă distanţa între 0O şi intersectia lui 1x cu axa 0z măsurată

de-a lungul lui 0z ,

- unghiul θ reprezintă unghiul dintre 0x şi 1x măsurat într-un plan perpendicular pe

axa 0z .

Se poate arăta că pentru un sistem manipulator se pot alege întotdeauna sistemele de

coordonate 0, 1,..., n în aşa fel încât să se respecte cele două ipoteze Denavit-Hartenberg,

(DH1) şi (DH2), în condiţiile în care se acceptă posibilitatea că sistemul “i” să nu aparţine în

unele situaţii articulaţiei “i”.

2.7.2 A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate conform

formalismului Denavit-Hartenberg

A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate şi de stabilire a parametrilor

Denavit-Hartenberg este prezentată în fig.2.12:

Fig. 2.12. Alocarea sistemelor de coordonate

Regulile folosite sunt următoarele:

Sistemul de coordonate cu originea i 1O − se va plasa în articulaţia "i - 1". Primul

sistem de coordonate 0 0 0 0O x y z se stabileşte în baza sistemului de mişcare şi nu reflectă

prima tendinţă de mişcare. Sistemul de coordonate în jurul căruia se realizează prima mişcare,

de translaţie sau de rotaţie, este 1 1 1 1O x y z .

Axa i 1z − este axa de mişcare, adică se alege astfel încât mişcarea articulaţiei “i” să fie

de rotaţie în jurul axei i 1z − , sau de translaţie de-a lungul axei i 1z − . Cu această regulă se

stabilesc toate axele i 1z − din articulaţiile robotului.

Axa i 1x − se stabileşte de-a lungul perpendicularei comune între axele i 1z − şi iz .

Axa i 1y − se alege astfel încât să completeze sistemul cartezian de coordonate

i 1 i 1 i 1 i 1O x y z− − − − .

Parametrii Denavit-Hartenberg sunt daţi de următorul set de valori:

- unghiul iα de rotaţie în jurul axei i 1x − pentru a suprapune vectorul i 1z − peste

vectorul iz (paralela la iz dusa din i 1O − ).

- distanţa ib măsurată de-a lungul axei i 1x − , de la originea i 1O − până la punctul de

intersecţie dintre axele i 1x − şi iz .

- unghiul iθ de rotaţie în jurul axei iz pentru a suprapune vectorul i 1x − (paralela la

i 1x − dusă din iO peste vectorul ix .

- distanţa id măsurată de-a lungul axei iz , de la originea iO până la punctul de

intersecţie dintre axele i 1x − şi iz .

Matricea de transformare omogenă este :

i i i i i i i i

i i

i i i i

i i

ii x , x ,b z , z ,d

i

i

T T T T T

c sbc s s c

s c d

1 11

1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1

− −− α θ

θ θ

α α θ θ

α α

= =

− − = ⋅ =

i i

i i i i i

i i i i i i

i

i i

i

c s 0 b

c s c c s d s

s s s c c d c

0 0 0 1

θ θ

α θ α θ α α

α θ α θ α α

−

− − = (2.147)

CAPITOLUL 3

CARACTERISTICI GENERALE ALE ANGRENAJELOR SI A

MECANISMELOR FOLOSITE IN CONSTRUCTIA ROBOTULUI 4R

CARACTERIZARE. CLASIFICARE. DOMENII DE FOLOSIRE

Angrenajul este mecanismul format din două roţi dinţate, care transmite - prin

intermediul dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact (angrenare) - mişcarea de rotaţie şi

momentul de torsiune între cei doi arbori.

Angrenajele au o largă utilizare în transmisiile

mecanice, datorită avantajelor pe care le prezintă: raport de

transmitere constant; siguranta în exploatare; durabilitate

ridicată; randament ridicat; gabarit redus; posibilitatea

utilizării pentru un domeniu larg de puteri, viteze şi rapoarte

de transmitere. Ca dezavantaje, se pot menţiona: precizii mari

de execuţie şi montaj; tehnologie complicate zgomot şi

vibraţii în functionare.

Clasificarea angrenajelor se realizează

după cum urmează:

- după poziţia relativă a axelor de rotaţie: angrenaje cu axe paralele (fig. 3.1, a, b,d, e);

angrenaje cu axe concurente (fig.3.2); angrenaje cu axe încrucişate (fig.3.3);

Fig. 3.1

- după forma roţilor componente:

angrenaje cilindrice (fig.3.1, a, b, d, e);

angrenaje conice

(fig. 3.2); angrenaje hiperboloidale (elicoidale -

fig.3.3, a; melcate - fig.3.3, b; hipoide - fig.3.3, c);

în fig31.1, c este prezentat angrenajul roată- cremalieră;

- după tipul angrenarii : angrenaje exterioare (fig.1.1, a, d, e); angrenaje interiorare

(fig.1.1,b);

Fig 3.2 Fig. 3.3

- după direcţia dinţilor: angrenaje cu dantură dreaptă (fig.1.1, a, b şi 1.2, a); angrenaje

cu dantură înclinată (fig.1.1, d şi 1.2, b); angrenaje cu dantură curbă (fig.1.2, c şi 1.3, c);

angrenaje cu dantură în V (fig.1.1, e);

- după forma profilului dinţilor: profil evolventic; profil cicloidal; profil în arc de cerc;