Introduccin a la programacin linealLa programacin lineal facilita la resolucin de problemas de produccin, economa, rendimiento, etc. Resolver un problema de programacin lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una funcin lineal, denominada funcin objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solucin factible. Para resolver problemas de programacin lineal se siguen tres pasos: planteamiento, determinacin de la regin factible y determinacin de la solucin ptima.

PlanteamientoPara plantear la solucin de un problema de programacin lineal, debemos realizar lo siguiente: Organizar la informacin mediante una tabla. Identificar y representar las incgnitas. Determinar las restricciones que se crean convenientes. Plantear la funcin objetivo.

Ejemplo 1En una panadera se dispone diariamente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y confitadas) para preparar dos tipos de panetones: panetn especial, con 200 g de frutas y 1 kg de masa, y panetn premium, con 400 g de frutas y 1 kg de masa. Si el panetn especial se vende a S/. 18 Y el panetn premium a S/. 24, determina las restricciones y plantea la funcin objetivo que determina el mximo ingreso. Del anlisis de la informacin del problema, tenemos: Dos cantidades de insumos: masa y frutas (secas y confitadas). Dos tipos de panetn: especial y premium, cada uno con un precio. Se desea obtener el mximo ingreso por la venta de los panetones.

Organizamos la informacin en una tabla:

Insumos por panetnDisponibilidad

EspecialPremiumpor da (kg)

Masa (kg)1180

Frutas (kg)200 g = 0,2 kg400 g = 0,4 kg24

Precio (S/.)1824

Identificamos y representamos las incgnitas:x: nmero de panetones especiales y: nmero de panetones premium Determinamos las restricciones: De insumos: masa x + y 80frutas 0,2x + 0,4y 24 De no negatividad, x e y son valores enteros no negativos: x 0; y 0

Como 18x es el ingreso total por la venta de los panetones especiales y 24y por la de los panetones premium, entonces la funcin objetivo que determina el mximo ingreso es: F(x; y) = 18x + 24y.

Determinacin de la regin factibleLa solucin de un problema de programacin lineal debe estar en la regin determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de regin factible, y puede estar o no estar acotada. Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un polgono con un nmero de lados menor o igual que el nmero de restricciones.

Ejemplo 2 Determina la regin factible del problema anterior (ejemplo 1)El sistema que se va a graficar es:x 0; y 0x + y 800,2x + 0,4y 24x 0; y 0x + y 80x + 2y 120

Determinamos las soluciones de los seis sistemas que se forman:A

Ax =0y =0(0; 0)B

Bx =0x + y= 80(0; 80)E

Ey =0x + 2y= 120(120; 0)

C

Cy =0x + y = 80(80; 0)D

DX =0x + 2y = 120(0; 60)F

Fx + y =80x + 2y= 120(40; 40)

La solucin es una regin factible acotada. Su representacin grfica es el polgono ACFD.

Determinacin de la solucin ptimaLa solucin ptima es aquella que maximiza o minimiza la funcin objetivo F(x, y). Se encuentra en la frontera de la regin factible.

Ejemplo 3 Si la funcin objetivo es F(x; y) = 18x + 24y (problema del ejemplo 1), determina la solucin ptima. Identificamos los vrtices: A(0; 0), C(80; 0), F(40; 40) y D(0; 60) Evaluamos la funcin objetivo en cada punto:Punto A: F(0; 0) = 18(0) + 24(0) = 0Punto C: F(80; 0) = 18(80) + 24(0) = 1440Punto F: F(40; 40) = 18(40) + 24(40) = 1680Punto D: F(0; 60) = 18(0) + 24(60) = 1440

La solucin ptima se obtiene en el punto F, donde la funcin objetivo F(x; y) = 18x + 24y obtiene su mximo valor cuando x = 40 e y = 40. Esto quiere decir que para obtener el mximo ingreso (S/. 1 680 diarios), se necesitan vender 40 panetones especiales y 40 panetones premium por da.

Tipos de soluciones

Los problemas de programacin lineal con dos variables pueden presentar distintos tipos de soluciones.

Solucin nicaLa solucin es nica cuando la solucin ptima se encuentra solo en uno de los vrtices.

Ejemplo 4En un taller se fabrican estantes y escritorios. En la fabricacin de cada estante se requieren 5 pies de madera y 8 horas de trabajo, y en la de un escritorio, 15 pies de madera y 12 horas de trabajo. En el almacn del taller hay 420 pies de madera y las horas de trabajo disponibles son 480. Si se quiere obtener la mxima utilidad ganando en la venta de cada estante SI. 60 Y de cada escritorio SI. 110, cuntos muebles de cada tipo deben fabricarse? Identificamos y representamos las incgnitas:X: nmero de estantesy: nmero de escritorios Organizamos la informacin en una tabla:EstantesEscritoriosDisponibilidad

Pies de madera515420

Horas de trabajo812480

Precio (S/.)60110

x 0; y 05x + 15y 420 => x + 3y 848x + 12y 480 => 2x + 3y 120

Determinamos las restricciones:

Planteamos la funcin objetivo que permita obtener la mxima utilidad F(x; y) = 60x + 110y Determinamos los vrtices A(O; O), B(O; 28), C(36; 16), D(60; O) y graficamos la regin factible:

Determinamos la solucin ptima: En A: F(0; 0) = 60(0) + 110(0) = 0 En B: F(0; 28) = 60(0) + 110(28) = 3080 En C: F(36; 16) = 60(36) + 110(16) = 3920 Solucin ptima En D: F(60; 0) = 60(60) + 110(0) = 3600

La mxima utilidad se obtiene en el vrtice C (36; 16). Esta solucin nica indica que deben fabricarse 36 estantes y 16 escritorios. En tal caso, dicha utilidad es de S/. 3 920.

Una panadera vende tortas chicas a S/. 19 cada una, y tortas grandes a S/. 30 cada una. La capacidad mxima de elaboracin de tortas es de 100 al da, entre grandes y chicas. Pero por falta de moldes, no se pueden elaborar ms de 80 tortas chicas ni ms de 60 grandes. Como la panadera vende todo lo que produce, el administrador desea averiguar cuntas tortas grandes y cuntas chicas deben elaborar para la venta y as obtener el mximo ingreso posible. Adems, quiere saber a cunto ascendera este ingreso mximo,

Solucin Mltiple

La solucin es mltiple cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del segmento que tiene por extremos a dos vrtices de la regin factible.

Ejemplo 5Un granjero tiene 480 hectreas en la que puede sembrar maz o trigo y dispone de 800 h de trabajo durante la temporada. Los mrgenes de utilidad para cada uno de los productos son S/. 40 por hectrea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maz son 2 h por hectrea y en la del trigo, 1 h por hectrea. Cuntas hectreas de cada cultivo debe plantar para maximizar su utilidad? Cul es la utilidad mxima?x: nmero de hectreas sembradas de mazy: nmero de hectreas sembradas de trigo

Incgnitas

Organizamos la informacin en una tabla:MazTrigoDisponibilidad

Superficie1 hectrea1 hectrea480 hectreas

Requerimiento laboral2 horas1 hora800 horas

UtilidadS/. 40S/. 40

Determinamos las restricciones: x 0; y 0; x + y 480; 2x + y 800 La funcin objetivo que maximiza la utilidad es: F(x; y) = 40x + 40y Sus vrtices son: A(0; 0), B(0; 480), C(320; 160) y D(400; 0). Graficamos en el margen la regin factible. Calculamos el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices: En A: F(0; 0) = 40(0) + 40(0) = 0 En B: F(O; 480) = 40(0) + 40(480) = 19200 En C: F(320; 160) = 40(320) + 40(160) = 19 200 En D: F(400; O) = 40(400) + 40(0) = 16000

La mxima utilidad se obtiene en los vrtices B y C, y tambin en cualquiera de los puntos de BC. En todos estos casos, su mxima utilidad es S/. 19200.

Solucin no acotadaCuando la funcin objetivo no tiene valores extremos, la regin factible es no acotada.

Ejemplo 6Maximiza la funcin objetivo F(x; y) = x + 2y para un problema cuyas restricciones son: x 0; y 0; x - 2y : 2; x - y 4

Resolvemos los sistemas qu se forman y obtenemos: (0;0), (0; -1), (0; -4), (2; 0), (4; 0) y (6; 2) Graficamos en el margen; la regin factible se extiende infinitamente y su nico vrtice est en A (6; 2).

En este caso no existe un valor mximo para la funcin objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solucin.

Solucin no factibleCuando no existe la regin por falta de zona comn en el sistema de inecuaciones, la solucin es no factible.

Ejemplo 7Sea un problema en que las restricciones son: x 0; y 0; x + y 6; 2x + y 4. Maximiza la funcin objetivo F(x, y) = 4x + 3y Resolvemos el sistema y obtenemos: (6; 0), (0; 0), (0; 6), (0; 4), (2; 0) y (-2; 8) Representamos grficamente el sistema:

Observamos que no existe regin factible, ya que no hay zona comn en el sistema de inecuaciones. Por lo tanto, este problema carece de solucin.