1.4 行列式按行(列)展开定理
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1.4 行列式按行(列)展开定理. 一、余子式与代数余子式. 容易 验证 :. 问题: 一个高阶行列式是否可以转化为若干个 低阶行列式来计算?. 在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式 ,记作. 叫做元素 的 代数余子式 .. 例如. 例 1 设. 二、行列式按行(列)展开法则. 定理 1.2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即. 证. 例 2 计算行列式. 例 3. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1.4 行列式按行(列)展开定理
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa
3331
232113
3331
232112
3332
232211 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
一、余子式与代数余子式容易验证:
问题:一个高阶行列式是否可以转化为若干个 低阶行列式来计算?
在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式,记作
n ija i j1n
ija.M ij
,记 ijji
ij MA 1 叫做元素 的代数余子式.ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
αααα
αααα
αααα
αααα
A
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M
2332
23 1 MA .23M
例 1 设
定理 1.2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
ininiiii AαAαAαA 2211 ni ,,2,1
证
nnnn
inii
n
ααα
ααα
ααα
A
21
21
11211
000000
二、行列式按行(列)展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
1
11211
00
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
21
2
11211
00
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
21
11211
00 ininiiii AaAaAa 2211
ni ,,2,1
例 2 计算行列式
例 3 计算范德蒙德 (Vandermonde) 行列式
112
11
222
21
21
111
nn
nn
n
n
n
ααα
ααα
ααα
A
)()()(0
)()()(0
0
1111
)2其中(
12
132
3122
2
1133122
11312
11
ααααααααα
ααααααααα
αααααα
niRαR
A
nnn
nn
nn
n
ii
n
就有提出,因子列展开,并把每列的公按第 )(1 1xxi
)()())((2
11312 jjin
inn ααααααααA
).(1
jjin
i αα
223
22
3211312
111
)())((
nn
nn
nn
ααα
ααααααααα
n-1 阶范德蒙德行列式
递推可得
例 4, 5 略
定理 1.3 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
.ji,AaAaAa jninjiji 02211
,
1
1
1
111
11
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
aa
aa
aa
aa
AaAa
证 行展开,有按第把行列式 jA
,
1
1
1
111
11
nnn
ini
ini
n
jninji
aa
aa
aa
aa
AaAa
可得换成把 ),,,1( nkaa ikjk
行第 j
行第 i
,时当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji
相同
关于代数余子式的重要性质
;当,0
,当,
11 ji
jiAAαAα
n
kkjki
n
kjkik
7.4
证明从略
三、拉普拉斯 (Laplace) 定理
例 6 略
例 7 计算行列式
nnn
n
n
n
nnn
n
bb
bb
cnc
ccαα
αα
A
1
111
1
111
1
111
0
计算从略 由拉普拉斯定理可得
nnn
n
nnn
n
bb
bb
αα
αα
A
1
111
1
111