9/10/2011

1

Estatística Estatística ExperimentalExperimental

Teste F Teste F Teste t de STUDENTTeste t de STUDENT

Cap. 7, 8 e 9 – Callegari-Jacques, S. M. Bioestatística: Princípios e Aplicações, 2003.Apostila: Regazzi, A. J., Curso de iniciação à estatística.

Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de OliveiraAGR/ICET/CUA/UFMTAGR/ICET/CUA/UFMT

Teste de Comparação de Variâncias de Duas Populaçõe s

Seja U e V variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Qui-quadrado com n1 e n2 graus de liberdade, respectivamente.

Denomina F a variável aleatória definida pelo quociente:

Considerando duas amostras de tamanhos nx e ny das variáveis aleatórias

normais X e Y, respectivamente, pode-se demonstrar que:

tem distribuição F, de Fisher-Snedecor, com n1 = (nx-1) e n2=(ny-1) graus de liberdade.

2

1

nV

nU

F =

2

2

y

x

s

sF =

9/10/2011

2

Teste F

Teste F– H’0: σσσσ2

X = σσσσ2 Y contra

– H’a : σσσσ2 X < σσσσ2

Y , ouσσσσ2

X > σσσσ2Y , ou

σσσσ2 X ≠ σσσσ2

Y

Estatística F é calculada, do seguinte modo .ObserveObserve que,que, colocandocolocando aa maiormaior variânciavariância nono numerador,numerador,FFcalccalc éé sempresempre >>11.. AssimAssim ,, nesteneste curso,curso, iremosiremos adotaradotar aaTabelaTabela unilateralunilateral parapara F>F>11.. (de(de modomodo queque temostemos H’a :σσσσ2

X > σσσσ2Y )

O valor crítico de F depende do nível de significância usado (α)e do número de graus de liberdade (n – 1) de cada amostra,sendo indicado por: F

α; glN;glD,– Onde– glN ; graus de liberdade da variância do numerador– glD graus de liberdade da variância do denominador

2menor

2maior

s

sF =calc

Teste F

Teste F

Exercícios4.1. Na Aplicação de dois métodos X e Y, obteve-se os resultados

fornecidos abaixo. Testar a hipótese de igualdade das variâncias, ao nível de 5% de probabilidade.

Método s 2 n

X 40 11

Y 16 19

0

calc%5

22220

seRejeita

;50,2F 2,41; )18 ,10(

: vs:

:Re

H

F

HH

sposta

yxayx

−==

>= σσσσ

F tabelado = Fα(gl numerador ; gl denominador )

DECISÃO

Fcalculado >Ftabelado : Rejeita-se H 0

Fcalculado <Ftabelado : Não se Rejeita H 0

9/10/2011

3

Distribuição t de Student1. Introdução

(Relação entre o teste Z e t)Teste de hipótese z

Objetivo: comparar uma média amostral (x) com uma média populacional conhecida (µ).

O que era necessário para o teste?Cálculo do erro padrão da média (σx)

Obtido através desvio padrão da população (σ)

Quando não se conhece o valor σσσσ ?Temos a estimativa do erro padrão, s(x), através dos dados amostrais:

( )n

Xσσ =

( )n

Xs

s =

Distribuição t de Student1. Introdução

(Relação entre o teste Z e t)

v = graus de liberdade

9/10/2011

4

Teste de Hipótese de uma Média Populacional

2. Teste t para uma média- Situação de uso:

Quando X é Normalmente distribuída com variância desconhecida . (Obs: X- Variável aleatória)

Tendo uma amostra aleatória de tamanho n de determinada população, (X1, X2,..., Xn independentes), então:

tem distribuição t de Student com n-1 graus de libe rdade.

Desenvolvendo a fórmula, temos:

( )Xs

- X

µ=t ( )X

- X σ

µ=Zcompare

n

s- X

µ=t

Testes de Hipóteses ( teste t )

Desse modo podemos testar:– H0: µµµµ = µµµµ0 contra– Ha : µµµµ < µµµµ0 , ou

µµµµ > µµµµ0 , ouµµµµ ≠ µµµµ0

em que usaremos a estatística t, dada anteriormente

DECISÃOTeste bilateral– Se | t | ≥ tTAB → rejeita-se H0

Teste unilateral à direita– Se t ≥ tTAB → rejeita-se H0

Teste unilateral à esquerda– Se t ≤ -tTAB → rejeita-se H0

Observação:| t | : Valor calculado em módulo de ttTAB : Valor tabelado de t a um nível α de probabilidade (“valor de t crítico” )

Ou simplesmente se | t | ≥≥≥≥ tTAB

9/10/2011

5

Testes de Hipóteses ( teste t )

Observação: O valor de tTAB é obtido em Tabelas apropriadas:

Tabela bilateral Teste bilateral: entrar com α

Teste unilateral: entrar com 2 α

Tabela unilateral Teste bilateral: entrar com α/2Teste unilateral: entrar com α

Exercício

Determinada firma desejava comprar cabos tendo recebido dofabricante a informação de que a tensão média é de 8000kgf.Efetuou-se um ensaio em 6 cabos e obteve a tensão média deruptura 7750 kgf, com desvio padrão de 145 kgf. Efetuar umteste unilateral para analisar se a afirmação do fabricante éverdadeira ao nível de 5% de probabilidade.

Resposta: H0: µµµµ = 8000 kgf vs H a: µµµµ < 8000 kgf -t 5% = -2,015; t calc= -4,22; Conclusão: Rejeita-se H 0 a 5% de probabilidade pelo teste t, ou seja, a afirmação da empresa não é verdadeira.

Teste t para duas médias

3. Teste para o caso de duas amostras independentes(Teste t para duas médias)

���� Quando se aplica:- muitos problemas aparecem quando se deseja testarhipóteses sobre médias de diferentes populações.Quando as variâncias das populações são substituídas pelasvariâncias das amostras, isto é s 2 em lugar de σσσσ2, o teste Zpassa ao teste t, onde em função das variâncias das populaçõe sserem ou não iguais entre si, teremos dois casos a seremconsiderados.

Sejam X e Y normalmente distribuídas, sendo suas va riâncias desconhecidas

Desejamos testar:– H0: µµµµX = µµµµY contra– Ha : µµµµX < µµµµY , ou

µµµµX > µµµµY , ouµµµµX ≠ µµµµY

9/10/2011

6

Teste t para duas médias (Estudo da variância amostral)

Antes devemos testar– H’0: σσσσ2

X = σσσσ2 Y contra

– H’a : σσσσ2 X < σσσσ2

Y , ouσσσσ2

X > σσσσ2Y , ou

σσσσ2 X ≠ σσσσ2

Y

Estatística F é calculada, do seguinte modo .ObserveObserve que,que, colocandocolocando aa maiormaior variânciavariância nono numerador,numerador,FFcalccalc éé sempresempre >>11.. AssimAssim ,, nesteneste curso,curso, iremosiremos adotaradotar aaTabelaTabela unilateralunilateral parapara F>F>11.. (de(de modomodo queque temostemos H’a :σσσσ2

X > σσσσ2Y )

O valor crítico de F depende do nível de significância usado (α)e do número de graus de liberdade (n – 1) de cada amostra,sendo indicado por: F

α; glN;glD,– Onde– glN ; graus de liberdade da variância do numerador– glD graus de liberdade da variância do numerador

2menor

2maior

s

sF =calc

Teste F

Teste t para duas médias (CASO A)

A seguir utilizaremos para o teste, a variável aleatória

Que tem distribuição t destudent com ( nx + ny -2 )graus de liberdade.

+

=

yx nns

t11

Y- X

2

CASO A: Se H’0 não for rejeitada, vamos admitir que asvariâncias são iguais e que, conseqüentemente, os valoresassumidos por s2

x e s2y serão estimativas de um mesmo valor

σ2 que é a variância (comum) de ambas as populações. Sendoassim, vamos combinar s2

x e s2y a fim de obter um melhor

estimador para σ2.

De modo que s2 = variância comum (estimador para σ2)

2nn

1)s-(n1)s-(ns

yx

2yy

2xx2

−++

=

9/10/2011

7

Teste t para duas médias (CASO B)

CASO B: Se H’0 for rejeitada, vamos admitir que as variânciasnão são iguais, portanto não tem sentido combinarmos s2

x es2

y.Neste caso, utilizaremos para o nosso teste, a variávelaleatória:

que segue, aproximadamente, adistribuição t de student com n* grausde liberdade, onde:

+

=

y

y

x

x

n

s

n

st

22

Y- X

2222

222

11

*

−

+−

+

=

y

y

y

x

x

x

y

y

x

x

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

n

Teste t para duas médias (CASO B)

CASO B: calculo de n* mais conveniente

( )

11

* 22

2

−+

−

+=

y

y

x

x

yx

n

w

n

w

wwn Em que: em cada amostra

n

sw

2

=

Exercício 1

Suponhamos que duas técnicas de memorização X e Y deverãoser comparadas, medindo-se a eficiência pelo tempo exigido paradecorar certo tipo de material. O mesmo material foi apresen tado anx=18 e ny = 13 pessoas que o decoraram através das técnicas X eY, respectivamente. Verificar se há diferença significati va entre asduas técnicas de memorização, adotando-se α=5%. Os resultadosforam:

13 18

min15s min12

17min min2022

y22

==

==

==

yx

x

nn

s

YX

9/10/2011

8

Teste t para duas médias (CASO B)

Exercício 2

Desejando-se saber de duas rações alimentares X e Y paradeterminada raça de suínos são equivalentes, ou se a ração X éSuperior à ração Y no sentido de causar um maior aumento depeso, através de sorteios, foi dada a ração X à 11 animais e aração Y a 19 outros animais. (alfa=5%)

19 11

16s 40

63kg 6622

y22

==

==

==

yx

x

nn

kgkgs

YkgX

+

=

y

y

x

x

n

s

n

st

22

Y- X

Formulário

( )

11

*22

2

−+

−

+=

y

y

x

x

yx

n

w

n

w

wwn

n

sw

2

=

Teste t para dados emparelhados

4. Teste para o caso de dados emparelhados

���� Quando se aplica:- Os resultados de duas amostras constituem dadosemparelhados quando estão relacionados dois a dois segundocritério que introduz uma influência marcante entre os dive rsospares, que supomos, influir igualmente sobre os valores decada par. Por exemplo, medidas sobre o mesmo indivíduo,antes e depois da aplicação de algum medicamento ou umaração, etc.

Sejam p. ex:X1i: o peso de um determinado animal i antes de receber a raçãoX2i: o peso de um determinado animal i depois que recebeu a raçãod i = X2i - X1i

Tomando n animais nestas condições, podemos montar a seguinte tabela:

9/10/2011

9

Teste t para dados emparelhados

4. Teste para o caso de dados emparelhados

Nº X1i X2i d i = X2i - X1i

1 X11 X21 d1

2 X12 X22 d2

... ... ... ...

n X1n X2n dn

Neste teste estaremos testando a

hipótese de que a diferença entre as

médias das duas populações

emparelhadas seja igual a um certo valor

∆, o que equivale a testar a hipótese de

que a média de todas as diferenças, D ,

seja igual a ∆.

Dn

dd

n

ii

deestimador um é,1∑

==

p. ex: ∆ = 0,

as hipóteses seriam:

≠><

=

0D

ou 0D

ou 0,D

:

0D :0

aH

H

A estatística do teste é:

( )ds

Ddt

−=

Sob H0: D=0, teremos:

( )ds

dt =

Teste t para dados emparelhados

4. Teste para o caso de dados emparelhados

A estatística do teste é:

( )n

dsd

t =

Em que: ( )n

dsds

)(=Deduzindo a fórmula

( )

( )

( ) ( )n

dsdds

n

ds

n

dd

nn

dd

n

dSQDdds

)(ˆ

)()(ˆˆ

11

)()(ˆ)(

2

222

2

2

22

==

==

−

−=

−==

∑ ∑

σ

σσ

σ

DECISÃO

Note que ao trabalharmos com as n diferenças di, o problema será testar uma única média (como no 1º exemplo deste Capítulo) pela comparação do t de student calculado com o valor tabelado obtido em tabelas em função do α e n – 1 graus de liberdade.

9/10/2011

10

Teste t para dados emparelhadosExercício

A tabela abaixo mostra uma seqüência de observações sobre os valores das pressões de sete indivíduos antes e depois da aplicação de um medicamento que tem por finalidade o abaixamento de pressão. Verificar se o medicamento teve efeito significativo ao nível de 1% de probabilidade

IndividuoPressão

Antes (X 1i)Depois

(X2i)

1 1,1 0

2 3,9 1,2

3 3,1 2,1

4 5,3 2,1

5 5,3 3,4

6 3,4 2,2

7 5,0 3,2

Quadro complementar

d i = X2i - X1i d2

ΣΣΣΣ d i = ΣΣΣΣd2 =

Teste t para dados emparelhadosExercício

A tabela abaixo mostra uma seqüência de observações sobre os valores das pressões de sete indivíduos antes e depois da aplicação de um medicamento que tem por finalidade o abaixamento de pressão. Verificar se o medicamento teve efeito significativo ao nível de 1% de probabilidade

0

1%

calc

0

seRejeita

3,143- (6)t-

;795,5t

0D : 0D :

:Resposta

H

;

HvsH a

−=

−=<=

( )

( ) ( )n

dsdds

nn

dd

ds

)(ˆ

1)(

2

2

2

2

==

−

−=∑ ∑

σ

( )n

dsDd

t−=Formulário: