14 proportionnalité et géométrie

14 Proportionnalitéet géométrie

2 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

2 Objectifs des activités

Activité 1Faire comprendre à l’élève la notion d’agran-dissement à l’échelle.

Activité 2Faire découvrir la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction.

Activité 3Faire découvrir une propriété de conservation de parallélisme et d’orthogonalité dans un agrandissement / réduction.

Activité 4Démontrer la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction dans le cas d’un triangle rectangle.

1 Commentaires généraux

Le chapitre 14 traite de certains problèmes de proportionnalité rencontrés en géométrie dans le cadre du programme de 4e.

Une grande partie du chapitre est consacrée à l’étude des agrandissements et réductions à l’échelle de fi gures planes. De nombreuses situations permettent à l’élève d’observer et d’utiliser les propriétés de conservation des fi gures lors d’un agrandissement ou d’une réduction à l’échelle (mesures d’angles, parallélisme). Une part importante du contenu est consacrée à des constructions de tels agrandissements ou réductions.

La variation d’une grandeur en fonction d’une autre, dans le cadre des formules d’aires et de volumes, offre de nombreuses situations de proportionnalité ainsi que de non proportionnalité.

Par ailleurs, les élèves découvrent et utilisent dans ce chapitre la proportionnalité entre, d’une part, la longueur d’un arc de cercle ou l’aire d’un secteur angulaire et, d’autre part, son angle au centre. Cette étude permet l’élaboration d’un patron de cône.

Pour traiter ce chapitre, il est important que les notions du chapitre 7 soient déjà familières pour l’élève, notamment la procédure des « produits en croix ».

L’enseignant trouve ici l’occasion d’utiliser pleinement les logiciels de géométrie dynamique avec ses élèves. Le site Internet de la collection (www.dimatheme.com) propose un nombre conséquent d’illustrations interactives en liaison avec les activités et les exercices de ce chapitre.

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 3

3 Avant de démarrer (solutions)

A. c B. c C. a D. b E. c

4 Je découvre, j’utilise (solutions)

1

9,5 cm

4 cm

2 M’N’ = M’P’ = 2 # 28 = 56 mmet P’N’ = 1,5 # 28 = 42 mm

M’

P’ N’

3

5 cm7,6 cm

9 cm C’B’

A’ D’

4 D’E’ = 50 # 0,2 = 10 cmD’F’ = 29 # 0,2 = 5,8 cmet F’E’ = 63 # 0,2 = 12,6 cm

D’

F’

E’

5 1. HIJ est un triangle rectangle en H. En appli-quant le théorème de Pythagore, on a :IJ2 = HI2 + HJ2

IJ2 = 5 6002 + 4 2002 = 49 000 000donc IJ = 7 000 (en mètres)

2. À l’échelle 70 000

1 les nouvelles dimensions

sont (en cm) :

H’I’ = 70 000

560 000 = 8 ; H’J’ =

70 000420 000

= 6

I’J’ = 70 000700 000

= 10

H’ 8 cm

10 cm6 cm

I’

J’

6 1 600 km = 160 000 000 cm

20 000 000160 000 000

8=

d’où : Îlesdes Bermudes

merdes sargasses

(OCÉANATLANTIQUE)Floride

Porto Rico

8 cm

8 cm

8 cm8 cm

7 12 m = 1 200 cm ; 4 m = 400 cm7 m = 700 cm

Dimensions réelles en cm

1 200 700 400 75

Dimensions sur le plan en cm

9,6 5,6 3,2 0,6

tableau

9,6 cm

porte

3,2

cm

0,6

cm5,

6 cm

: 125


8 ,,

2 18 4

4=

Il s’agit de multiplier chaque dimension par 4.A’M’ = 4 # 1,9 = 7,6 cm et A’F’ = 4 # 1 = 4 cm

7,6 cm

8,4 cm

4 cm

A’

F’

M’

9 ,56

1 2= .

Il s’agit de multiplier chaque dimension par 1,2.M’P’ = P’N’ = 1,2 # 4,5 = 5,4 cm

5,4 cm

6 cmM’ N’

P’

10 50 m = 5 000 cm

85 000

625=

Il s’agit d’une réduction à l’échelle 6251

.

Dimensionsréelles en m

50 45 15 30

Dimensions surle schéma en cm

8 7,2 2,4 4,8

2,4 cm

7,2 cm

8 cm

4,8

cm

2,4 cm

11 ,

,3

7 82 6= .

Il s’agit d’un agrandissement à l’échelle 2,6.E’G’ = 2,6 # 2,5 = 6,5 cm

7,8 cm

6,5 cm

G’

F’E’

12

Londres-Berlin

Berlin-Paris

Paris-Londres

Distance réelle en km

921 868 341

Distance surle schéma en cm

10 9,4 3,7

L

P

10 cm

9,4 cm

3,7 cm

B

13 Z’A’ = A’E’ = 50 mm et ZAE\ = 45°

45°

A’

Z’

E’

14

R’ 14 cm

U’

T’

31°


15 1. PSD\ = 110° ; SDO\ = 70° et DOP\ = 110° .

2. À l’échelle 31

chaque côté mesure 8 cm et les

mesures des angles restent inchangées.

O’ P’

S’D’

8 cm

70°

70°

110°

110°

16 1.

F 5 cm

4 cm

G

HK

50°

2. F’G’ = 1,5 # 5 = 7,5 cmHauteur : 1,5 # 4 = 6 cm

F’ 5 cm

6 cm

G’

H’K’

50°

17 ,

,9 612

1 25=

B’C’ = 1,25 # 6,8 = 8,5 cmD’C’ = 1,25 # 8,4 = 10,5 cm

’ ’ ’A B C ABC=\ \ = 79° et ’ ’ ’B C D BCD=\ \ = 90°

A’

B’

79°

C’10,5 cm

8,5 cm

12 cm

D’

18 1. a. � = 21

� # h

b. Quand � est fi xée, � et h sont deux quantités proportionnelles (un coeffi cient de proportionnalité

est 21

# �).

2. On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant.

�� en cm2 11,1 51,8

h en cm 3 x

x = ,

,11 1

3 51 8# = 14

Si � = 51,8 cm2 alors h = 14 cm .

19 1. � = � # hEn multipliant la hauteur par la base qui est fi xée, on obtient le volume, donc quand la base est fi xée le volume d’un cylindre est proportionnel à sa hauteur.

2.

Hauteur en cm 12 9

Volume en cm3 7 x

12 # x = 7 # 9

d’où ,x cm12

7 91263

5 25#

= = =

20 La longueur de l’arc de cercle est proportion-nelle à la mesure de l’angle au centre.

Mesure de l’angle au centre en degrés

360 x

Longueur de l’arc en cm

12 # r 26

On a donc 12 # π # x = 360 # 26

d’où x = r12

360 26#

#. 248

21 Même raisonnement qu’à l’exercice 20.

x = r

,16

360 16 8#

#. 120

22 L’aire de la portion de disque est proportion-nelle à la mesure de l’angle au centre.


360 x

Aire en cm2 72 # r 98

On a donc 49r # x = 360 # 98

d’où x = r49

360 98#

#. 229


23 Même raisonnement qu’à l’exercice 22.

x = r1

36000

218#

#. 250

24 Les mesures des arcs sont proportionnelles à celles des angles au centre.


360 130

Mesure de l’arc en cm 12 # r �

On a donc 360 # � = 130 # 12 # r

d’où � = r

360130 12##

. 13,6 cm

25 Les aires sont proportionnelles aux angles au centre.


360 80

Aire en cm2 72 # r �

On a donc 360 # � = 80 # 49 # r

d’où � = r

36080 49##

. 34,2 cm2

26 1.


360 x

Longueur de l’arc en cm

2 # 4 # r 15

On a donc 8 # r # x = 360 # 15

d’où x = r r8

360 15 756#

#= . 215

2.


360r

675

Aire en cm2 42 # r �

On a donc 360 # � = r

675 # 16 # r

d’où 360 # � = 675 # 16

� = 360

675 16# = 30 cm2

5 Faire le point en classe (solutions)

27 À l’échelle 7 les nouvelles dimensions sont 49 cm ; 56 cm et 70 cm.

28 32 ' 4 = 8 .À l’échelle un quart, chaque côté mesure 8 cm.

29 Pour obtenir les dimensions fi nales, on multiplie les dimensions par 0,8 (4 ' 5). On obtient 8 cm ; 4 cm et 5,6 cm.

30 • vert et bleu : facteur d’agrandissement ou de réduction 2.• orange et rouge : facteur d’agrandissement ou de réduction 1,5.

31 1 km = 100 000 cm .Le rectangle de dimensions 15 cm sur 9 cm est une réduction du rectangle de dimensions 15 km sur

9 km à l’échelle 100 000

1.

32 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles dont les longueurs des côtés sont proportionnelles.

BABD

BCBE

ACDE

= = .

2. Un facteur de réduction est BABD

86

43

= = ou 0,75.

33 Paul a raison, un facteur de réduction est égal au quotient de la longueur du petit côté par celle du grand côté.

34 Jane a raison, dans une réduction la mesure des angles et la nature des polygones sont conservées.

35

A B

45°

C D

4,2

cm

8,4 cm

36 1. P = 2 # r # rOn obtient le périmètre d’un cercle en multipliant son rayon par le nombre fi xe 2 # r , donc le péri-mètre est proportionnel au rayon.

2. � = r # r # rPour obtenir l’aire d’un disque, on multiplie son rayon par le nombre r # r qui n’est pas fi xe, donc l’aire d’un disque n’est pas proportionnelle au rayon.


37 La mesure de l’angle au centre est proportion-nelle à la longueur de l’arc.

a. 24060

41

= ; 36041

90# = .

Si l’arc mesure 60 cm l’angle mesure 90°.

b. 24048

51

= ; 36051

72# = .


c. 240180

43

= ; 36043

270# = .


38 a. (d ) // (AB)

(d )B

A

b. (d ) // (AB)

(d )B

A

c. (d ) // (AB)

(d )B

A

6 Calcul mental (solutions)

39 a. 56 ; 72 ; 88b. 3,5 ; 4,5 ; 5,5c. 0,7 ; 0,9 ; 1,1

40 7,5 ; 12 ; 0,9 et 15

41 53

106

= ou 0,6

7 J’évalue mes compétences (solutions)

42 b.

43 a.

44 b.

45 a. et b.

46 a. (valeur exacte r r60

360 18030#= )

8 Je m’entraîne (solutions)

47 1. A’B’ = 1,2 # 6 = 7,2 cmA’C’ = 1,2 # 5 = 6 cm B’C’ = 1,2 # 7 = 8,4 cm

A’

B’ 8,4 cm

6 cm7,2 cm

C’

2. A’B’ = 0,8 # 6 = 4,8 cmA’C’ = 0,8 # 5 = 4 cmB’C’ = 0,8 # 7 = 5,6 cm

A’

B’ 5,6 cm

4 cm4,8 cm

C’

48 1. ’ ’ ’R S T\ = 35° ; ’ ’ ’R T S\ = 48°et S’T’ = 1,4 # 5 = 7 cm

R’

35° 48°

7 cm T’S’

2. ’ ’ ’R S T\ = 35° ; ’ ’ ’R T S\ = 48°et S’T’ = 0,7 # 5 = 3,5 cm

R’

35° 48°3,5 cm T’S’

49 ’ ’

FGF G

246

41

= = . Le triangle E’F’G’ est une

réduction du triangle EFG à l’échelle 41

.


E’F’ = 41

# 12 = 3 cm et EG = 41

# 16 = 4 cm

E’

4 cm

6 cm

G’

F’

3 cm

50 a. Échelle 3

b. Échelle 53

A

B

(d )

(d) // (AB)

c. Échelle 37

(d) // (AB)

A

B(d )

51 On peut mesurer les angles du triangle ABC en construisant un triangle A’B’C’ à l’échelle 100.A’B’ = 10 cm ; A’C’ = 8 cm et B’C’ = 15 cm .Les angles du triangle A’B’C’ ont les mêmes mesu-res que ceux du triangle ABC c’est-à-dire :

ABC.\ 30° ; ACB.\ 38° et BAC.\ 112° .

52 1. ,

,BFSL

4636 8

54

0 8= = =

,,

ALPF

3124 8

54

0 8= = = ; ,

,SABP

3225 6

54

0 8= = =

Le triangle BFP est une réduction du triangle SLA à l’échelle 0,8.

2. Dans une réduction, les mesures des angles sont conservées donc :PBF ASL= =\ \ 42°BFP SLA= =\ \ 44°La somme des angles d’un triangle est égale à 180° donc BPF\ = 180° - (42° + 44°) = 94° .

53 1. C

B 4,5 cm

6 cm7,5 cm

A

2. AC2 = 7,52 = 56,25BC2 + BA2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25donc AC2 = BC2 + BA2 .D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

3. Dans une réduction, la mesure des angles est conservée donc le triangle A’B’C’ est rectangle en B’.

54 1. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés est égale à la moi-tié de la longueur du troisième côté.

, ; ,DE AC cm FE AB cm21

4 2521

5 5= = = =

et .DF BC cm21

3= =

2. ADF ; DBE ; FEC et EDF sont des réductions du triangle ABC à l’échelle 0,5.

55 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels.(DE) // (CB)

ACAD

ABAE

CBDE

93

31

= = = =

2. AED est une réduction de ABC à l’échelle 31

.


56 1. Les trois triangles ont la même hauteur égale à 3,5 cm.

2.

Triangle EFG HIJ MLK

Longueur en cmdu côté horizontal

1,5 5,4 4,1

Aire en cm2 2,625 9,45 7,175

3. ,

,,,

,,

,1 5

2 6255 49 45

4 17 175

1 75= = =

Les deux dernières lignes du tableau sont propor-tionnelles car on passe de la longueur du côté hori-zontal à l’aire en multipliant par 1,75.

� = h

c2# avec ici h = 3,5 donc ,

h2

1 75= .

Le résultat précédent était donc prévisible puisque l’on obtient l’aire d’un triangle en multipliant un de ses côtés par la moitié de la longueur de la hau-teur correspondante qui est ici fi xe.

57 1. Les trois quadrilatères sont des parallélo-grammes.

2.

Quadrilatère ABCD ABEF ABGM

Hauteur relativeà [AB] en cm

2 4 1

Aire en cm2 12 24 6

3. 2

123

1816

6= = =

Les deux dernières lignes du tableau sont propor-tionnelles.Pour obtenir l’aire de chacun de ces parallélo-grammes, on multiplie une de ses hauteurs par la longueur du côté correspondant qui ici est fi xe.� = 6 # hL’aire est donc proportionnelle à la hauteur quand le côté est de longueur fi xe.

58 1. Aire ABCD = 32 = 9 cm2 .Aire ABED = aire ABCD + aire BCE

= 9 + 2

3 3# = 13,5 (cm2).

Aire ABFD = aire ABCD + aire BCF

= 9 + 2

36# = 18 (cm2).

Aire ABGD = aire ABCD + aire BCG

= 9 + 2

39# = 22,5 (cm2).

2. 39

3= } , .3 2 25! Les aires ne sont pas

,

,6

13 52 25=

proportionnelles aux longueurs des côtés opposés à [AB].

59 1. V31

= � # h

Si la base � est fi xée, le volume du cône s’obtient

en multipliant la hauteur par le nombre fi xe �3

donc

le volume et la hauteur sont proportionnels.

2.

Volume en cm3 25 v

Hauteur en cm

5 12

60 1.

4 cm

8 cm

8 cm

6 cm

2. V = 31

rr2 # h

Si r = 4 et h = 8 ,

V1 = 31

r # 42 # 8 = r

3128

. 134 (cm3)

Si r = 6 et h = 8 ,

V2 = 31

r # 62 # 8 = r

r3

96288

= . 301,6 (cm3)

3.

Volume en cm3 r

332 r

316

Rayon de la base en cm 4 6

6 # r

r3

3264= }

Les produits en croix sont dif-férents donc le tableau n’est pas de proportionnalité. Le volume d’un cône n’est pas propor-tionnel au rayon de sa base.

4 # r r

3 36416

=

61 1. V31

= � # h

Si la base � est fi xe, on obtient le volume en mul-

tipliant la hauteur par le nombre fi xe �3

donc le

volume est proportionnel à la hauteur.

2.

Volume en cm3 50 120

Hauteur en cm 16 h

On a donc 51 # h = 120 # 16

d’où h = 50

120 16# = 38,4 cm

On a donc 5v = 25 # 12

d’où v = 5

25 12# = 60 (cm3).


62 La longueur de l’arc et l’aire du secteur sont proportionnelles à l’angle au centre.

Angle en degrés 360 50

Longueur en cm 2 # r # 4 �

On a donc 360 # � = 50 # 2 # r # 4

� = r

r360

4009

10= . 3,5 (cm)

Angle en degrés 360 50

Aire en cm2 r # 42 �

On a donc 360 # � = 50 # 42 # r

� = r

r360

8009

20= . 7 (cm2)

63 La longueur de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre.

Angle en degrés 360 x

Longueur en cm 2 # r # 6 22

On a donc 12 # r # x = 22 # 360

d’où x = r r12

22 360 660#= . 210 (en °)

64 L’aire du secteur est proportionnelle à la me-sure de l’angle au centre.

Angle en degrés 360 x

Aire en cm2 r # 72 32

On a donc 49 # r # x = 360 # 32

d’où x = r49

360 23#. 75 (en °)

9 J’approfondis (solutions)

65 • Longueur du rectangle initial 6

10818= (cm)

• Largeur du rectangle initial ,4

184 5= (cm)

• Aire du rectangle initial 18 # 4,5 = 81 (cm2)

66 Pour déterminer le format on divise la longueur

par la largeur ; puis on compare à 23

et à 34

.

Format argentique 3/2 Format numérique 4/3• 51 # 34 • 2 272 # 1 704• 30 # 20 • 1 800 # 1 350• 30 # 45 • 1 500 # 1 125 • 1 024 # 768 • 1 300 # 975 • 1 700 # 1 275 • 20 # 15 • 52 # 39

67 1. Avec les deux premières colonnes :

{ 841 # 841 = 707 281 595 # 1 189 = 707 455Donc à peu de chose près, ces dimensions ne sont pas proportionnelles.

2. a. , ; ,, ;841

11891 41

595841

421

5951 411 41. . .

, ; , ; , ,;297421

1 42210297

1 41148210

1 42105148

1 41. . . .

b. À un centième près, on obtient le même facteur.

3.

A6A3 A2 A1 A0A5A5 A4


68 À l’échelle 109, 1 pm est représenté par 1 mm donc sur le schéma OH = OH’ = 96 mm , r = 25 mm et R = 60 mm (l’angle ’HOH\ est inchangé).

Représentation de la molécule à l’échelle 109 :

H

O

H’


69 Périmètre du cercle de gauche de rayon 3 cm : 2r # 3 = 6r (en cm). La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.

Angle au centreen degrés

360 x

Longueur de l’arcen cm

2r # 4 6r

On a donc 8rx = 360 # 6r

d’où x = r

r

8360 6#

= 270 (en °)

70 La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.Angle au centre pour l’arc bleu : 360 - 47 = 313Longueur de l’arc bleu :

r r ,360313

2 360313

5 22# # # = . (en cm)


360 x


2r # 5r

60313

On a donc 10rx = r360 31

603# #

= 1 878r

d’où x = r

r,

101 878

187 8 188= . (en °)

71 1. Si A est un point du cercle de base, le triangle SHA est rectangle en H.

H 3 A

z

S

4

2. a. y = 3 (cm), c’est le rayon de la base.Puisque le triangle SHA est rectangle en H, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :z2 = 42 + 32 donc z = 5 (cm).b. L’arc rouge et l’arc bleu sont de même longueur.c. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre.


360 x


2 # 5 # r 6r

On a donc 10rx = 360 # 6r

d’où x = r

r

10360 6

216#

= (en °)

3.

3 cm

216°5 cm

72 Avec la même démarche qu’à l’exercice 71.

, , cm31 25 5 6.

H 2,5 A

S

5


360 x


2 # 5,6 # r 2 # 2,5 # r

On a donc x = r

r

,11 25 360

161#

# #c (en °).

2,5 cm161°

5,6 cm

73 1. a. 50 % échelle de réduction de facteur 0,5.b. 200 % échelle d’agrandissement de facteur 2.c. 500 % échelle d’agrandissement de facteur 5.

2. , ; , ,1121

1 909 1 909 1 91100191

=. .

Il faut saisir 191 %.


74 1.

D A O

F

B

C E

�1

�2

2. a. Si on joint un point d’un cercle aux deux extrémités d’un de ces diamètres on obtient un triangle rectangle.ABC est rectangle en B et DFE est rectangle en F.b. On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABC et DFE.On a : AC2 = AB2 + BC2

d’où BC2 = AC2 - AB2 = 82 - 4,82 = 40,96 d’où BC = 6,4 (cm).DE2 = DF2 + FE2

d’où FE2 = DE2 - DF2 = 122 - 7,22 = 92,16 d’où FE = 9,6 (cm).

3. • ,ACDE

812

1 5= = • ,,,

ABDF

1 54 87 2

= = • ,,

,BCFE

6 49 6

1 5= =

En multipliant les dimensions de ABC par 1,5 on obtient les dimensions de DFE donc le triangle DFE est un agrandissement du triangle ABC au facteur 1,5.

75 1. Aire ABC = , ,

,AB BC

2 23 6 4 8

8 64# #

= = (m2)

2. a. L’aire de ABC est aussi égale à x

xBD AC

2 26

3#

= = .

b. On a donc 3 # x = 8,64 .

c. D’où x = ,3

8 64 = 2,88 soit BD = 2,88 (m).

3. Dans le triangle ABD rectangle en D, en utilisant le théorème de Pythagore, on a :AB2 = AD2 + BD2

d’où AD2 = AB2 - BD2

AD2 = 3,62 - 2,882 = 4,6656 AD = ,4 6656 = 2,16 (en mètres)


4. [ ]D ACd doncDC = AC - AD = 6 - 2,16 = 3,84 (en mètres)

Dimensionsdu triangle ABC en m

3,6 4,8 6

Dimensionsdu triangle ABD en m

2,16 2,88 3,6

Dimensionsdu triangle BDC en m

2,88 3,84 4,8

ABD est une réduction de ABC de facteur 0,6.BDC est une réduction de ABC de facteur 0,8.donc DC = 3,84 cm .

10 Devoirs à la maison (solutions)

76 La hauteur des lettres étant 2,4 cm, il faut refaire la fi gure du texte en multipliant les dimen-sions par 5 (5 # 2,4 = 12).

77 La fi gure n’est pas en vraie grandeur.

A B

C

78 1. ,,

;AEAB

1 76 8

4= =

,,

AEAC

2 18 4

4= =

et ,DE

BD1 56

4= = .

Le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE à l’échelle 4.

2. Dans un agrandissement, la mesure des angles est conservée, on a donc ADE ABC=\ \ .

3. Les angles correspondants ADE\ et ABC\ sont égaux donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

79

A M

N

P

I

B

C

D’après le codage de la fi gure on a :(MN) // (AB)(NP) // (BC)et (MP) // (AC)• M est à la même distance de (AB) que de (AC) donc M est un point de la bissectrice de BAC\. La bissectrice de BAC\ est (MA).• De même (PC) est la bissectrice de BCA\ et (BN) est celle de ABC\.• Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC.• Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels.

Dans le triangle AIB, on a IAIM

IBIN

ABMN

= = .

Dans le triangle AIC, on a IAIM

IIP

ACCMP

= = .

Dans le triangle BIC, on a II

IBI PN

CP N

CB= = .

Donc ABMN

ACMP

CBPN

= = .

Les longueurs des côtés du triangle MNP sont proportionnelles à celles du triangle ABC, le petit triangle est donc une réduction du grand.

Problème ouvertLa longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la lon-gueur du troisième côté.

À chaque étape les dimensions sont donc divisées par 2.À la 10e étape les dimensions sont divisées par 210

c’est-à-dire 1 024.

A10B10 = 1 024

8128

1= (cm).

B10C10 = 1 024

10512

5= (cm).

A10C10 = 1 024

7 (cm).

#0,6

#0,8

© Les Éditions Didier Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 15

• Activité 2, p. 248

Côtés de EFG en cm EF = 8 FG = 5,8 EG = 4,2

Côtés de HIJ en cm HI = ... IJ = ... HJ = ...

Côtés de KLM en cm KL = ... LM = ... KM = ...

Côtés de OPQ en cm OP = ... PQ = ... QR = ...

11 Documents à photocopier

# 0,6- 1,5

# 2

• Exercice 38, p. 256 • Exercice 50, p. 258

• Exercice 56, p. 259

Triangle EFG HIJ MLK

Longueur en cm du côté horizontal

Aire (en cm2)

• Exercice 57, p. 259

Quadrilatère ABCD ABEH ABGH

Hauteur relative à [AB] (en cm)

Aire (en cm2)