145449964 v andric pripremni zadaci za takmicenja
TRANSCRIPT
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 1/74
t
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 2/74
-
L
PRIPREMI\I
ZADACI
ZA
MATEMAIIEKA
TAKMIEMM
zp, v(nNIKE
osNovl\m
Srole
(sa
re5erfima)
nnuSrvo
MATEMATICIn
I sR
SRBIJE
MATf,RIJALI
ZA MLADE NAETETT,TETIEARE, SV. 18
VOJISLAV
ANDRIC
I
BEOGRAD,
198?.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 3/74
DRUSrvo
MArEMATreenq.
sR
SRBIJE
Urednik:
dr Madimir
Jankovid
,l
Recenzenti: dr
Arif
Zolit,
"
'{
riufgmir
Proti6
Slike:
Vojiqlqv
A4dri6
Izrajlo
Sazdanovid
TiraZ:
5.000
primeraka
Stampa:
Stamparija
>Bakar<
-
Bor
PREDGOVOR
Podetkon
pro5le
godine
Bepublidka
konisija
za
nla
de
natenatidare
iz osnovnih
SkolarDrustva
natenati.dara
Srbi-
je
izdala
je
Zbirku priprennib
zadataka
za natenatidka
takni
denja
u 1986,godini.Nanera
je
bila da se nladin
natenatiEari
na
i
njihovin
nastavnicj-na
olakia
priprena
za
taknidenjarali
i
ukaZe na neke
oblastiritleje
i netode.Zbirka
jeliako
bez re
Senjarveoma
dobro
prihva6ena
i dini
se
da
je
svoju misiju
re
al.izovala
u
potPunosti.
Ohrabreni
utiskon
koji
je
ostavila
navedena
Zbi
-
rkardlanovi
Republidke
komisije
opred.elili
su se d-a
ove
godi
ne
odu korak
dalje
i
pred
vana
je
ZBmKA
FRIPREMNIII
ZADATAKA
zA
IiATEMATTdKA
TAKMlCng,rl
U
r98?.
GODINI.
Zbirka
se sastoji
iz
tri dela od
kojih
svaki
ina svoje
specifi6nosti
i
poseban
znadaj"U
prvon
delu
Zbirka
pripremnih
zadataka
iz 1986.godi-
ne
kompletlrana
ie
reSeniina(nestinilno
u obliku
odgovora, a
najve6in delom
u
obliku detaljnog
raznatranja)tako
da
u ovon
trenutku
predstavlia
veoma
korj-stan
materijal.Drugi
deo
pre-
zentira
pripremre
zadatke
za natenatidka
takmi-denja
u
L9B7
.
godini 1
ps6
pro5logodiSnja
zbirka
bakode
nena
reSenja, dine
se
Ze1e1o
da
podstakne
stvaraladkorsanostalno
i orj-ginalncre
iavanje
problena
i
izbegne
reprodukcija
i
udenje reienja,Ko-
ncepcija
ovog
dela
je
neSto
druga6ija nego
proSle godine,jer
su za
svalri razred
Cate
seno
po
dve
tenerali
zato tre6e
po
-
5;1av1-je(raz11
zadaci)za
svaki
razred
sailrii Iitav niz
zadata
ka do kojin sno
CoEli
postupnim
prolaskon
kroz
skoro
sve ta-
kniierske
obfas'ri.liajzad
tre6i
deo
Zbirke iine
:aCaci(i
reie
sja)sa
proilogodiinjih
naternatidkih
takraidenja
u
SR
Srbiji
,
Ito
;e
oiiglcCno
veona dobra
orijentacrja
u
pripreni
udeni.ka
za
ovogoCiin;j
i ciklus
takrniienja.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 4/74
Sve
u svemu
Zbirka
sadrZi
preko
]lO
re6enih
i
blizu
7OO
nere6enih
zad^ataka,Sto
ie
veona
pristoJan
nateriJal koJi
treba
znalaEki
iskoristiti.S
obziron
da
progtan
natenatidkih
taknideuja
podrazuneva
da se u6enicina stariiih
razreda
nogu
zadavati
sadrZaji
progranirani
za
nlade
razrederpreporuduje-
roo(narodito
udenicina
vIrvII i
VIII
razreda)da
Zbirku
proude
5to
je
nogu6e
konpletnije"fime
6e se
podsetiti
na
poJedina
-
dnerali
znadajne
partiJe
i
svoja
saznanJa i netode
usalE5itL
do
jednog
vi5eg
nivoa.
Nad.ano
se da
je
ovo
sano
podetak
uspostavlJanja
ko-
ntinuiteta
priprenaih
naterijala
i
da
6eoo
u
narednln
godina
na
iaati
jo5
sadriaaije
i kvaLitetnije
Zbirke
priprennih
za-
d.ataka.Svina
onina
koJi
su
za to
zaiateresovaBirobra6ano
ae
i
nolino
d.a
korisnin
sugestijanarprinedbaoa
i
oarodito
pred-
loziuardoprinrisu
da
unapreativanjen
izdava6ke
delataosti uEDe
rene
ka nladin
natenatidarinarunapredino
celokupan
rad sa
ta
Ientovanin
udenicina.
SADRZA,J
ZBIRI{A
RESENIfl
PRIPRXMNTR ZADATAIL{
zA
MATEMAIICKA
TAKMTCEIWI
1986.
IV
RAZRED
1.
Zad.aci
numeracije i
prebrojavanja
..
2.
Bnojanje i. razne5tanje figura
.
"....
3.
De6ifrovanje ra6unskih
operacija
...
4"
Kvadrat
i
pravougaonik
"
t.
l4agiEni
kvadrati
..
.
..
.
V
RAZRED
1.
Skupovi
tadaka
2.
Deljivost
brojeva
l.
logiEko
konbinatorni
zadaci
VI
RAZRED
1.
Prosti brojevi
......
2.
Dirihleov
princi.p
,..l rougao
i
Eetvorougao ..
VII
RAZRED
......
1.
Pitagorina teorena
....
2.
ltlno6ougao
i krug
].
IracionaLni
broJevi
"..
VIII
R.AZRED
1.
Pol-inoni
....
2.
Proporcionalnost
i slidnost
.
JednaEine
...
[sdacj. RoFenja
Baograd.,
decenbra
1986.
Republi6ka
konieiJa za
nLade
natenatiEare
iz
oenovaib
Ekola
1
1
I
v
4
5
7
?
I
9
11
11
12
14
L7
17
18
2A
2L
2L
24
25
29
)q
ta
3L
z)
tt
,5
t,
,6
,8
zq
79
41
4'
48
48
50
54
55
59
62
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 5/74
II
ZBIRKA
TEIIREMNIS ZADATAKA
ZA
IVIATEi{ATICKA
IAKI{IOENJA
198?.
rV RAZRED
............
... i
.......
l.
Kocka
i
kradar
......
........r
2.
Re5avanje
problengki-h
zadataka
.....
J.
Raznl
uad.aci ......
........t..
v
RAZ,RED
......
1.
RazLonci....
...........
2.
Si,netrija
...
...;..
.......
r,.
.
j.
Razn
zad.aci
...........orr..'.,..,..
'I
VI RAZ,RED
l-.
Racionalni broJevi .,..
. :.........'.
2.
GeonetriJski
dokaz
....
.......
l.
Razdi-
zadaci .i.;
j.
. i c c o
t...........
VII
RAZRED
1.
hoceuti ..
..
.... ...
....
2.
Osnove konbinatorike
..
1.
RaznL zad.aci
.......
. .
..
vrII
RAZRSD
......
.."......
1.
tr\rnkcije
2.
Nejednakosti
......
].
Razni
zadaoi
oiorrr.....i.....
IrI
ZBIRKA
RESENIH
ZADATAIO
SA
TAKMIOENJA
I4I,ADIH MAIEMAIICART
U
1986.
GODTNI.
L;
Bkolgko takmidenje
......
2.
Op6tinale
lrkFi6enJe
..
.
MeduopEtineko
taknidenje
r........f,:
4.
RepubliEko
takrd6enje
.
7O
?e
?5
75
76
78
80
80
8l-
8t
85
85
87
88
91
9L
92
gt
69
69
99
102
106
110
Ll4
r20
L26
177'
DRUBTVO
MAIEMATIEARA
SR
SRBIJE
VOJISIJAV
ANDRIE
ZBIRTA
RESENIE
rNriNSI'f{IH
ZADATAKA
ZA
MAEEMATIETA
TAK}lIdgU.ru'
1986.
GODINE
BEOGRaD, 1987.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 6/74
t-
r
I
l
l
rV
RAZRED
1.
ZANACI
NUMERACI.IE I
PREMOJAYANJA
'rd.
fofito
c-ifara
Jc,
upotrebl-Jcno
za numetacidu
trrrJige
koJa
ina
J45
straaica
?
Y
Z" nuncraciju
Jcdne
knJigc upotreeblJeno
Je
51] o1-
fara.
Kol-iko
ta
}orJiga
ina strauica
?
r
-{
Rrao.
su,iepisanl
broJevi
L274567891O1112I}1419...
'Koja
"dc"a
se
nalazL
na
1986.
nestu
?
4.
Koliko eednica
ec
upotrebi
sa nuneraciJu
lojige
od
888
strani.ca
?
5.
Koliko trocifncnih
broJeva
sc
zanrBava
aifrorn
4
?
U.
146tlko
dctvorocifrcnih
broJcva
podinJc
ctlrom
9
?
?.
Koliko
pctocifrcnih broJeva
Lna zbir
iifara
Jednak
broJu
I
?
8.
Tz
Beograd.a
lc
u
SaleJcvo
noZe
stt6i
autonobiLon
korl66enJen 5
razliditih
putnih
ptavacara
iz SaraJeva
sc
u
Split
stlie
posredstvom,
raina
puta.Na koliko
aadina
auto-
nobiLieta
mohc
lz
Beograda
eti6i
u
Split'ako
pri
ton
putuJe
preko
Saraieva
?
9.
Koliko
gc
dvoci.frcnih
broJcva
noZc
napisati
Eko
gu
nu obg olfrc
ncparnc
?
t,4
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 7/74
2
10.
U trocifrenon
broju
cifra stotina
je
parnarcifra
de
setica
deljiva
sa
4ra
cifra
jedinica
je
neparna.
Koliko
lma
takvih
trocifrenih
bro.jeva
?
1l-.
Date
su
cifre I)zrt14.
Koliko se troci.frenih
broJe-
va
moZe
napisati-
pomo6u
dartih
cifararako se
cifre
ponavljaju
j-
holiko
aico
se
cifre
ne mogu
ponavljati ?
Koliko detvoroci-
freni-h
brojeva
se
moZe
formirati
pod
istim
uslovima ?
12.
Koliko
se
detvorocifrenihra
koliko
petocifrenitr
bro
jeva
noZe
napisati
pomo6u
cj-fara
Orl
,6
?
13.
Koliko Sestocifrenih brojeva
pod,inje
ej.fron
7ra
za-
vr5ava
se cifrom
2
?
14.
Koliko
se
u
Jugoslaviji moZe najviSe registrovati
bicikli,ako
registracija
bicikla sadrZi dva slova(ista'i'li
ra
zlidita)
i
jed.an
detvorocifreni
prirodan
broJ
?
1 .
Koliko
razliditih
delilaca
ina
broJ I2O
?
2.
BROJANJE
I
RAZWJSTA}IJE
FIGURA
1.
Na
jednoj
nravoj
uodeno
je
pet
tadaka. Koliko d,uZi
je
od.recieno
sa
tih
pet
tadaka
?
2.
Na
pravoj
a dato
je
petra
na
pravoj
b tri
tadke.Ko-
liko
duZi
je
odredeno d.atim sistemom
tadaka ?
3.
Dato
je
5
tadaka
takvih da
ma koje tri
od. njih nisu
na istoJ
pravoj.
Koliko
pravih prolazi
kroz
date
tadke ?
'4.
Na
planeti
X-I-OO
postoji
ta6no 1OO svemirskih
stani
cara
sve
su
nedusobno
povezane
redovnim
raketnim
linijana..Ko
liko raketnih
linija
ina
na
toj
planeti
?
.
Ko1iko
dijagonala
ima
osmougao
?
6.
Rasporedi
10
tadaka na
pet pravih
tako da
na svakoJ
pravoJ
budu
po
4
tadke.
Re6enje
obrazloZi
crteZon
.
',..,
"rdF
,
f,
[rougao
ina tri ugla.Koliko
uglova.ostaje
ako rna
-
kazama
odsebeno
jedan
ugao
?
8.
Koliko
duiira
koliko
trouglova
ina na
slededin
sli
kana:
1.
412x
+
5x7x9
9.
Kvadrat
stranLcc
4
cn
podeljen
Je
na
kvadratne
centimetre(kao
na slici)
Koliko
duZirkvadrata
i
pravougaonika sa
drii
dobijena
sli-ka
?
10,
Koliko
sc
kvadrata
moZq
uoditi
aa
Sabovskoj
tabll
?
'11.
U
sobi
koja
Lsra oblik
kvadrata
treba
rasporeditt
16
stolica'tako
da
se
pored
svakog zida
nade
po
5
etoLica.
ReEeaJc
obrazloZi
crteion.
7.
DA$IX'ROVANJX
RACUMKIII
OPERAOIJA
,
.
U
narednin
zad.acima
unesto
sinbola
x
treba
napisa-
ti
odgovaraJu6e
cifrertako
d.a
navedene
operacije
budu tadno
izvrEene:
x1xlO x5#
xx8x:x2-62
xro(
5.
67.*
=
xx
ls
,.
xZV.s*
2ox2
''
:oocl
;.*
2.
-LZx45
678x
:CX
x7
o(
x:(
h
6.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 8/74
4
U
nared.nim
zadacina
unesto slova
treba
napisati
od.gova-
raju6e
cifre tako da svalcon
slovu
od6ovara
jedna
i sarno
jedna
cifral
jednakiru
slovina
odgovaraju
jedno.kera
nejednakim
slovi-
na
nejednake
eifre:
B.
ABB
+
.-_
.U.B
-BBA-
,
.
Stranica
kvadrata
Jc
6 cm.Kol.iko
pravougaonika
irna
povrEinu
jednaku
povrEllri
kvadrata3KoJi od
tih
pnavougaonika
ina
najnanJira
koji najve6i obim
?
lO.
Kvadrat
i
pravougaonik
inaju
Jednake
povlEine.Stra-
nica
kvadrata
Jc
dva
puta
vc6a od Si.rinc
pravougaonika.Koli-
ki
su
obini
i
por,'xiine
kvadeata
i
pravougaonikarako
je
duZl-
na
pravougaonika 20
cn
?
11,
Ako
6e
stranica kvadrata
pove6a
za 1
cnronda
se
po-
vrdina
kvadrata
pove6a
za I? cn?.Koliki
je
obin kvadrata
?
12.
Ako
stranicq
datog
kvadrata
produZimo
jednu
za l-
cn
a drugu za
2
cmrnovodobijeai
pravougaonik
ima
povrginu
za
20
cn2
ve6u
od
povrEine
kvadrata.Koliki
je
obin
pravougaonika ?
lJ.
Ako
straaicu
Jednog
kvadrata
proiluZimo
za
]
enra dr
ugu
snanJimo
ua
2
cmrdobiJa se
pravougaonik
dija
je
povr;ina
jcdnaka povrEini
kvadrata,Ko
ina ve6i
obim
?
14.
Kada jcdnu
stranicu kvadrata uve6amo
7
putara
drugu
uve6ano
dva
puta
dobija
sc
pravougaonik
6ija
Je
porr5ina
jc-
d.naka
96
amz,
Za
koliko
je
obin
pravougaonika
ve6i od.
obina
'kvadrata
?
15.
Data
su dva
kvadrata.Razllka
njihovih stranica
izno
si-
11 cnra
razlika
njihovih
povrij.na
je
6ll- cnz.
Izradunati
zbir
obina
ova
dva kvadrata
.
D.
IvlAeICNf, KVADRATI
l. Sastavitl
nagidan
kvadlat diji
su
elenenti
broJevl:
12rt14r5t6r7,8,9.Ko1iki
Jc
karakteristidan zbir
toga magi
-
6nog
lrvadnata
?
2.
Konstrui6i maeidnc
kvadrate
6iji au cLcmenti:
a.)
2
rv
14 r5r6r7rBr9r10
b)
r
17
15 r?
t9
r].'l
rrT rLS rLT
?,
A
+AB
Allc
BCts
g.
A
10.
+BA
_BBA
ABC
1)oP
'oP
POP
POP
POTOP
4.
(VADiTAT
I
PRAVOUGAONIK
1.
Obin
jed"nog
pravougaonika je
46
cnra duZina nu
je
za
5
cn
ve6a
od 6irine.
Odrediti povr5inu
pravougaonika
.
2.
U pravougaonik
duZine 8
cn
i Sirine 5
cn
upisan
je
drugi
pravougaonikrtako
da
su
mu stranice
od datog
pravougao-
nika
udalJene
za
po
1
co.Izradunaj
obin
i
povriiau
upisanoga
pravougaonlka.
].
lravougaonik
dijc
su duZine
stranica
prirodni
broJe-
vi
ina
povrSj.nu
jednaku
poluobimu.Kolike
su njegove
stranice?
4,
Dimenzije
stranica
pravougaonika
su
dva
uzastopna
prirodna
brojara
njegova
povrEina
3e
+2
cm2.Koliki
je
obj.n
tog
pravougaonika3
5.
DuZina
stranice
kvadrata
je
18
cnra
stranica
pravou-
gaonika
jednake
povr6ine
jc
12 cm.Xo ima ve6i
obln
?
6.
Stranice
pravougaonika
su
9
cm
i 4
cmra kvadrat
ina
jednaku
povr5inu.Ko
ina
i
za
koliko
ve6i obim
?
7"
Obim
pxavougaonika
je
O
cnra stranice
nu
se
razliku
ju
za
9
cn.
Izradunati
obin i
povriinu
tog
pravougaonika
.
g.
Obim
pravougaonika
Jc
14
cnra
stranicc
su lou
priro
-
dni
broJevi.Koliko
pravougaonika
ina
ovu osobinu
I koJi
pravo
ugaonik
ima najve6u
povrgiau ?
{;-
c)
6Jrg.9rlor11r12rrrr14
d') 1Or2Ortor4or50160170180190
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 9/74
._-
6
].
Ako
svairom
el-enentu
nagidnog
kvadrata
dodano
isti
broj
dobijeni l;vadrat
je
ma6i6ni. Dokaii
jednim
primeron
.,
4. DokaZi-
primeroma
da ako
svaki elemenat
magidnog
kva-
darata
pomnoiino
i,stin brojemrdobijeni
kvadrat
je
magidni
.
5.
Zbi.r
i razli.ka
dva
magidna
kvadrata
je
takode
mapli
-
dan kvadrat.
DokaZi
ove
osobine'sa
po
jednim
prinerom
i
5. Koriste6i
osobine
naved.ene
u
prethod.nim
zad.acima
ko-
nstruisati
nekoliko
magidnih
kvadrata
.l
7.
Konstrui5i
magidan
kvadrat
-tako
d.a mu
je
karakteri
-
stidan
zbir
jednak:
a)
18 b)
70
c)
19
d) 21
.
8.
Poouniti
prazna
polja
u
sle
d.ecr.m
nagrcnr-m
Kva
d.batima .
9.
Dati
su brojevi z
L12rJ14r)rQr7
rB19,
1Or11r12rlt
rI4
tL5 rL6.
Dopuni
slede-
6i
magidni
kvadrat
(axa)
,
lO.
Dati
su
parni
broJevi:
2141618110,
.
12114116, L8,2O
122,2+
.26,28
JO J2
.
KonstruiSi
nagidan
kvadrat
EiJi
su
elenenti
dati brojevi. Koliki
jc
karakteristidan
zbir ?
11.
Koriste6i
osobinc nagidnih
kvadrata(zadaei
lr4r )sa-
mostalno
konstruiSi
nekoliko
nagidnih kvadrata
(axa)
.
12.
KonstruiSi
magidna
kvadratc
dimcnzije
(4x4)
ako
nji-
hov
karakteristidan
zbir ina
vrednost. a)
,+
b) 42
c)
?O
.
mmffi
&t
I2
8
t,
?
2
4
11
V
RAZRED
1.
SKUPOVT
IAOAKA
L. U ravni
je
d.ato 8 tadaka,od
kojih
su detiri
koli
-
nearne(pripadaju
pravoJ p)
i detiri
nekolinearne.Koliko
na-
jvi5e
duZi i
pravih
od.redpju date tadkc
?
2,
Dato
je
6 nckonplanarnih
tadaka.
Odreditl
koliko
je
ravni
odredeno datin
tadkana.
3.
Na
koliko
dclova
dele
ravan
/ paralelnih pravih
?
4. Za
pravc
kaZemo
da
su konkurentnc ako
prolazc
kroz
jed.nu
tadku.Na
koliko
delova
d.elc ravan
1986
konkurentnih
pravih ?
5,
Povlade6i
4
prave
podeli
krug
na
najve6i
mogu6i
broJ
delova
?
6.
Na
koliko
ogranidenih
i koliko
neogranidenih
obla-
sti
dele
ravan
5
pravih
ako
se
svake
dve
od
nJih
medusobno
presecaju
?
/.
Odrediti
Eta
eve noZe
biti
presek
dva
trougla koji
pripadaju
istoj
rarmJ..
ReEenJe
ilustruj
crteZon
.
8.
KoJe
sve figure
mogu
nagtati
kao
presek jednog
tro
ugla
i
kvadrata
u
istoj ravni. Re5enjc
prikaZi
erteZon
.
.
Kakav
ekup tadaka
moZe
biti
pnesck
dva
kvadrata
ko
ji
leZe u istoj
ravni?
Sve
sludajeve
prikaZi
crt6Zom
.
x
Pogledati
i zadatke
za
N
razted
iz
druge
temc
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 10/74
t'
I
10. Da
li
je
unija
dva
konveksna
skupa
tadaka
takocie
ko
nveksan skup
tadaka
? Navedi
i nacrtaj
kontrapriner
.
11.
Sta
uoZe
biti
raz]-ika
dva
konveksna
sin_rpa
tadaka ?
12.
U
koliko
se najvi5e
tadaka
mosu
se6i razlidite pra_
ve,ako ih ina:
a) 2
b)
,
il 5
d) loo ?
1J.
Koliko
trouglovara
koliko
detvorouglova
odreduju
11
konplanarnihrali
nekolinearnih
tadaka?
ObrazloZi
re5enje
.
14.
U
unutraSnjoj
oblasti
trougla ABC
data
je
tadka
E
,
lbave
ASIBSI'CS
seku stranice
trougla
u tadkana DrE
1
F.Odre-
di
koliko
se(na
tako
dobijenoJ
fi.guri)noie
uoditi
nekonve
ksnih
mnogouglova.
Napi5i
sve
takve
nnogouglove
.
1.5,
Na
prevoj
p
date
su redom
trq[i{s
ArBrCrD.Odred.i.ti:
a)
(Agn3D)\(Ac\aB)
b)
(ac\BD)^(Ac\3c)n(Ac\A3).
2.
DAI,JMST
SR.OJEVL
L.
Ivica
je
kupio
nekoliko
olovki
po
Z?
dinara
i
neko-
Liko eveski
po
12
dinara. :rod.avac
mu
je
za to
naplatio
LZt4
dinara.
Ihko je
Ivica
od.nah
znao
da
je
prodavac
pogreEio
?
2.
neEifruj
nnoZenJe:
:rr:or
.45
=
t?xL5x
.
l.
Koliko
ina
prinodnih
broJcva
koji
nisu
deljivi
sa
i
sq
7
i
koji
su
nanJl
od
1OOO
?
4.
Dokazati
d.a
je
broJ
(broj
ima t-986
nu-
la)
ael;iv
sa
16.
5.
Odrcditi
cifre
x i.
y
tako
d.a
broj
l986:ry
bude
deljiv
isa8isa9.
6,
Dokaii
da
broJ
diJe
su sve
cifre detvorke
nije
de
-
lJiv sa 6
.
Re6enje
obrazloZi
.
7.
Proizvod
tri
uzastopna
prirodna
broJa
je
Tj6.KoLt}il-
je
nJihov
zbilr
?
It
l{rr.
9
8.
Koliko
razliditih
delilaca
ukLjuduju6i
Jed.inicu
i
samog
eebc
inaJu
broJcvir
il
,O
b).120
c)
goll
?
9.
Foetodi
1i
p:rirod.an
broJ
diji
je
p:roizvod
cifa?a
Jed.aak
28
?
Odgovor
obnazloil
.
LO.
Dokazati
da
Je
zbir
p:rvl.h
IOOO
prirodni.h
brojeva
deljiv sa 14,
.
'
LL.
lroizvod
dva
d.vocifrena broJa zapisan
je
sano
po
-
no6u
detvorki. O
koJln
broJevima
Je
red
?
L2.
Odrediti
sve
trocifrene prirodne
brojeve
koJi
ina-
Ju
zbir cifara
jedaak
1O i
deljivi eu sa
1I
.
1].
Odrediti
naJnanji
prirodan
broj
koji
je
deJ.jiv
sa
fra
pri
deJ.jenju
sa
ZrJr4rJ
i 6
daje
ostatak
1
.
L4.
Odrediti
aajnanJi
prirodan
broJ
kojt
pri
d"eljenJu
ea
2 d.aJe
ostatak
lrpri
d.eljenju
ea
I
ostatak
2,...
pri
dc-
lJeaJu
ta
I
ostatak
7
.
LJ.
Tzralunal
kol-iki
Je
naJmanJl prirod.an
broj
koji
pooaoZcn
sa
578
daJc
kvadrat
nckog
prirodnog
broJa
.
3.
TOGIOKO KOI'IBINATQRNI
ZADACI
1.
Deda
iuiile
6e
L9B8
godine prosLaviti
svoj
2O.node
-
ndanra
njegov
eia
Pera
O.
Odrediti
datum
ded.a
liilovog
rode-
nJa .
Reienje
obrazloZi
.
2.
Ne
sgladiStu
sc nalaze
ekserl
upakovani
u
aand.uke
od.
16rL/
t
+O kC.
Kako
Je
nagacloner
ne
raetutaJu6i
niJedan
od
sandutra
kupcu
isporudio
tadno
lOO
kg
eksera
?
3.
Dva
putnika
koJl
se kre6u
brzinon
od
6
kn/h
putuJu
{edaD
dnugon
u susret
iz
Valjeva
prema
loznict(i
obrauto).
Igtonrcncao
a
rroga
prvog
od
nJih
krcne
i nuva
koJa
se
kre6c
brzinon
od. 25
ko/h
i
din
d.odc
do
drugog
putnika
vra6a
sc
pr-
von
i td.Koliko 6e
rastgJanje
pre6i,nuva
do trenutka
susrrtl
putaikarako
Je
restoJanJe
Valjevo-loznica
Jednako ?2
ts
?
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 11/74
10
I
I
.
4.
U
kutiji
se
nalazi
lO
crvenihr2O.
belihrlO
zelenih
i
40
plavih
kuglica.Koliko
oajmanje
kuglica
treba
izvu6i
d.a
bi
bi.U-
sigurni
da sno
izvukli
najnanje
kuglica
iste
boje
?
5.
detiri
madke
za 4
dana
ulove 4
mi5a.Za
koLiko
d.ana
6e
1OO roadaka
utoviti
lOO
niSeva
?
6.
Nedarrno
je
u
'rSportu"
objavljen
naslov:
Iledu
Eesto-
ricom
prvih
trojica
jUniorarPrvih
6est
nesta
zauzeli su:
1. Arsi6 2.
qq. i,,
l.
Vtadi6
.
Gogi6
5.
Dedi6
6.
Doki6.i{ave-
di
prezime
bax
jednog
juniora
.
/.
Gubari
su napali
Sunu
i svakim
d.anon
je
bilo
dva
pu
ta
viSe
zaraZenog
drve6a
nego
prethod.nog.Za
A
d."rr.
ceta Suna
je
bila
zara|ena.Za
koliko
d#a
Je
bilo zaraZeno
pola
Eurne
?
B.
Za
koliko
je
zbir
prvih
1986
parnih
brojeva
ve6i
od"
zbira
prvih
1986
neparnih
brojeva
?
9.
Kako
6ete
sano
pono6u
kanti
od.
4
i
9
litara
nasuti
sa
desme
u lonac tadno
6 litara
vode
?
10.
Pe3q6ica
Peri6
koju
rd,ine
otac(go kg)rnajka(65
ke)
,
sin(50
kg)
i
t<6erka(
+o kg)
treba
d.a
gc
troEnim
damcen
preba
ci
preko
reke.Kako
in
je
to
uspelorako
se zna d.a
je
naksima-
lna nosivost danca
lOO
kg ?
lL.
KoLiko
nam
najmanjc
tegova
treba
da bi
na
terazija-
ma
nogli
izneriti
sve
ceLobioijne teZine od
1 kg do
L7 kg.Ko-
lika
je
teZina
svakog od
tih tegova
?
ObrazloZi
reBenje
.
12. U
jednoj
kovnici
novca
bilo
je
4OO
zlatnih
Eipki.Od
svake Sipke
se
izlije
1O d.ukata
i
preostan
e
zkata
toliko
da
da se
od.
preostatka
od
2O ;ipEi
EoZe
izliti
jedna
nova
Bipka
Eoliko je
ulmpno d.ukata
izliveno iz datih
4OO
Sipki
?
11. fioliko
pradedova
fuoaJu
zajed.no
svi tvoji pradedovi?
14. Koliki
Je
proizvod
1986
sedroica
je
teEko.iz:radunati.
Zato
izradunal
i
obrazloZi
koJa
je
posLednja
cifra
proizvoda.
11
VT
RAZRED
1.
PROSTI
ROJAVI
.:
l.
Dokazati
da
jc
broJ
2
jedini
paran
prost
broJ.
2.
Svi
parni
prirodni
brojcvi
vc6i
od.
Q
su
sLoZenl
bro
jevi.Dokazati.
J.
Dokazatt
da
je
ekup
sloZenih
brojeva,beskonadan
.
4.
Svi
pnoeti
broJevi
vc6i
od.
2
su
neparai
brojevi.Do-
.kazati
.
5.
Dokazati
da
svi
nepanni
prirodni
broJevi
nisu pro
_
sti.
l
6. Bnojcvi
2
L
5
su
Jedini
par
uzastopnih
proetih
pri_
rodnih
broJcva.
Dokazati
7.
Odrediti
sve
proste
broJcvc prtakvc
da
Jc
i broJ
p+l
takode
prost
.
B.
Ako
je
p
prost
bnojronda
Je
p+?
eloZcn
broJ.DokaZi.
9.
Odredt
svc'proste
brojevc
prtakic
da
Js
broj p2
+
T
takdde
prost.
,
10.
Dokaii
da
ako
Jc
p
prost
broJrorida
su
broJcvt
pV+I?
i
p'-+1/
sloZeni
brojcvi
11.
Ako
je
p
prost
brojrtad.a j"
p1986*
p7987
sloicn.Do-
kazati
.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 12/74
i
I
T2
12.
Ako
je
p prost
broj
ve6i
od
2,tad"a
je
n1980
+
l98Z
sloien
broj. Dokazati
.
1].
Odrediti
sve
proste
brojeve
prtakve
da
je
i
broj
7P+p,
tekode
prost
broj
.
14.
PostoJi
1i
prost
broj
prtakav
da su
Jp+l
i
5p+l
ta
koite
prosti
broJevi ?
15.
Ako su
p i
7p-1
prosti
brojevironda
Je
/p+1
sloZen
prirodan
broj. lokazati.
16.
Dokazati
da
postoji
lL uzastopnih
sloZenih
broJeva.
L7.
Dokazati
da
ostatak
pri
deljenju
prostog
broJa
sa
lO
nije
sloZen
brpj
.
18.
Skup prostih
brojeva
je
beskona6an
skup.
Dokazati.
19.
Svi
prosti
broJevi
ve6i
od dva imaju
obl"ik
4k-1
ili
4k+1
(k je
prinodan
broJ).
Dokazati.
20.
Dokazati
da
svi
prosti
brojcvi
vc6i
od
I
inaju
ob-
lik,5k-1 ili
6k+1
(f je
nrirod.an
broj).
DokaZi
da obrnuto
tv
rdenJe
ne
vaZi
.
21. Odrediti
prost
broj
prtakav
da
su
p+2
i
p+4
takoCte
prosti
brojevi
.
22. PostoJi
lirprost
broJ
prtakav
da
su i
p+J_O
i
p+14
takode
prosti
brojevi,
?
2]. Odrediti prost
broj
prako
se
zna
da
je
p2+14
prost
pri-rodan
broj
.
24.
Ako
su
p
i
Bpz-t
prosti
brojevironda
je
gp+l
sloZen
prirodan
brojr
Dokazati
.
2.
DIRTHI,EOV
ININCT?
1.
U
razredu
je
lO
udcnika.
Jasna
Je
na
kontrolnoj
ve
Zbi
napravila 1]
gre6kira
ostali
nanJe.
Dokazati
da
u tom
ra
zredu
postoJe
bar
]
udenika
sa istim b:eoJem
greEki
.
lib
\]li[
dnak
broJ
poznanika
.
L'
2.
Beograd
danas
ina
preko
L
52O
OOO
stanovnikarod
ko-
jih
svaki na
glavi
ina
ne
viBe od
rOO
OOO
vlasi
kose.Dokaza-
ti
da
u
Beog?adu
bar
6 ljudi
ina isti broj
vlasi kose
.
l.
lnedpoetavlJa
se da na tlu
Zenlje
danas
Zivi
ne3to
viSe
od
milijardi
ljudi
od
kof,ih
je
ne vi6e
od Lfi
starije
od 100
godina.
Dokazati
da
postoje
bar dva
doveka
koji
su
ro
deni
istog
sekundaristoga
daearistoga
danari_ste godine
.
4.
I{a prvenstvu
Skole u
rukonetu
udestvuje
I eklparpri
denu
svaka
ekipa
sa
svakom
igra
po
jednu
utaknicu.Dokaii
da
u
svakom
trenutku taknidenJa
postoje
bar
dve ekipe
sa
jedna-
kin
brojem do tada
odigranih
utakmica .
l.
U
kutiji
se nalazi
LO c:evenihr2O
plavihrlo
zeLenih
i
4O Zuti.h kugLica.Ku6lice
izvladimo u mraku.Koliko
kuglica
najmanje
noramo
izvu6i. da bi
sno
bili sigurni
da
Je
medu njl.
ma:
a)
bar
4
kugLe
iste boje b)
po
jedna
kuglica
svake bo-
je
c)
ne
nanJe
od
6
plavih
icuglica
?
6.
Dokazati
da
sc ncitu L2
prirodnih
brojeva
mogu
prona
6i
dva
dija je razlika deljiva
sa 11
.
7.
Dato
jc
1Q86
proizvoUn5.h
prirodnih
brbjeva.Dokaza-
ti se izmedu
njih mogu
izabrati
dva
diJa
je
razlika d.el-jiva
ea
1985
.
8.
U
kvadrat
stranice
5
cm na
p:roizvoljan
nadin
razme-
Stene su
2
tadke.
Dokazati
da
postoji
kvadlat
povrEine
1cn2
unutar
koga
se nalaze bar
tri date tadke
.
9.
Str,antce
i dijagonale
konveksnog
Sestougla
oboJcne
su
Jednon
od dve
boje:
plavom
ili
crvenom.
Dokazati
d-a
se
no
Ze
uoditi bar
jedan
trougao diJe
su stranice
iste
bojc
.
1O.
Dato
je
7
duZi
od kojih
je svaka
ve6a
od I cm i na-
nja
od
10
crn,
Dokazati
da rnedu njina
postoje
tri
duZi
od
Fp-.
jih
se
noZc
sastaviti
trougao
.
11,..Jcdnon
takmidenJu
priEustvuje
S5
udenika.Dokait
der,
nedu
ajin.a
postoje
bar
dvojica
koji
nedu
prlsutnLna
inqg,u-, l
,
iif,ir
*Tlltr,^-
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 13/74
14
\A
,.
TBOUGAO
I CAtvoB,ouGAO
.
.
,1.
8p:ljaEnji
ugao
kod
rirha
C
jed.nakokrakog
trougla
je_
daak,
ie
loSo.rzradunati.
ugao
iznedu
vigine
i
simetrale
ugra
koje
poJ.aze
j.z
tenena,A
.
2.,U
g1.eu*lu
AIJCrugao kod.
temena
C
;e
4Oo.Sj.uretrale
unutrgSnjeg
i
spoljaEnJeg
ugla
kod
tenena
C
u
preseku
sa
pra-
von
AB
od.reduju
jedna.kokraki
trougao
COE.
Oareaiti
ugfove
t"o
ugJ.a
AtsC
.
].
Dat
je
trou$ao
ABCrdiJi
Je
ortocentar
g.
Odrediti
ko
liki
je
ugao
ACBrako
je
AB
=
CH
.
4.
U
;ednakokrakorn
trouglu
ugao
pri
rrrhu
F=
lOgo.Doka-
zati da
$e
simetrala
,ugla
4
dva
puta
ve6a
od visine
koja
pola
zi
iz temena
C
.
5;
Dati
ugao
od
4o
pod.eli.ti
na
tri
Jednaka
dela
.
6.
U
trouglu
ABCrdui
BD
je
vieinara BM
je
sinetrala
ug_
la.Uf,3eqgl.r.
BiqC
d"uZ
UK
Je
visina.Ugae
I, BD
Je
2Oor"
g
Blf=5O6.
odrediti
uglove
trougla
ABC
.
7.
U
trougLu
A3C
ugao
o{=Z5o.Odrediti
oetale
ugloverako
J6rpozndto
d"a
prava,AD
deli
trougao
na
dva
Jed.n*okraka
tro
-
ugla
.
8.
TeZiSna
duZ
i
visina
iz
tenena
A
u trouglu
ABC
dele
ugao
o(
na
tri
jednaka
dela.Koliki
su ugl.ovi
trougla AgC
?
9.
U
piavougfon
trouglu
ABCrtadka
D
Je
sredi5te
hipote_
ag2e
AB.
Prava
p
koJa
prolazi
kroz
D
i
nornaLna
Je
na
CDreede
duiu katetu
Ac
u
tadkL
Era
pr.od.uzetak
kra6e
katete
BC
u
tadkt
1i.A1o''
Je
i.i
sred.iSte
iduZi
SF
d.okazati
d.a
Je
OMJ.AB
.
10.
Ako
je
u trouglu
ABC
razlika
uglova
d
-
6
=
gOorta_
da su
odsedol
simetnala
unutraBnjeg
i
spolja5nJeg,ugLa
kod.
te
n6na
Crod
tenena
C
do
preeeka
sinetralarll
i
N
sa
pravon
AB.
podudarni
.
Dokazati
.
T5
Ll,
Dat
5e
jednakostraaidnl
trougao
A3C.,Na
pravcina
AB,
BC
i
CA
iza
8rC
i
A
date
su
ta[ke
I,l;{{rP
tako
d.a:Je"Bl&eN=AP
.
Dokazati
da
Je
i trougao
MN?.takode
jednakostraniEarir;.--
12,
Neka
su
ArBrCrD
kolinearne
tadke
takve
d.a
je
AC=CD,
a
CD=DB
i neka su
E
i
E
ta6ke
sa
iete'strane
prave
ABrtakve
da
su trouglovi
ADI
i
BDE
Jed.nakostrani6ni.Dokazati
dd
Je
tro
ugao
CEF
takode
jednakostranidni
.
1}.
Date
su
red.oro
tadke
ArB
i
C
iste
pr*o"
p"i''sa
iste
strane date
prave
date
gu
tadke
D
i
E
takve
d.a
su
trouglovi:
ABD
i
BCE
jednakostranidni.
Ako
je
M
srediSte
duZi
AE
i
N
ere
d"iEte
duZi
CDrd.okazatl
da
je
trougao
BMN
Jednakostranidan
.
14.
U paraleJ.ogranu ABCD
stranica
AB
dva
puta
Jg
qe6a
od
stranice
3C.Ako
Je
M
srediSte
stranice
AB
dokazati
da
su
tada
duIi
CM
i
DM
norrnalne .
15.
U paraLelogrsmu ABCD
tadka
M
je
sred.i5te
duZi
AB,
a
tadka
N
erediEte
duZi
CD. Dokazati
da
prave
CM
i
AN
diJago-
nalu
BD
dele
na tri
jed.naka
dela
.
L6,
Ako
su
dijagonale detvorougla
jednake
nedu
sobom
i
,
polove
seronda
je
ta detvorougao
pravougaonik.
DokaZi
.
L?.
Dokazati
da
je
svaki
paralelograrn
upisaa
u
krugu
pravougaonib
.
18.
U pravougaoniku ABCD
norroala
iz
tenena
n
n"
atSago-
nalu
AC
deli diJagonaLu A.C
u odnosu
}:l.Odrediti
ugao
{zqedu
d.ijagonala
tog
pravougaonika.
19.
U
detvorougao
je
upisan
krugra
dijagouale
detvorou-
gla se
seku u
centru kruga.
Dokazati
d.a
j€
dati detvorougao
ronb.
20.
feroena
osnovice
jed4akokrakog
tnougla
i
preeect
si-
netrala
ugJ.ova
na
osnovioi
s+
kracina
predstavlJaJu
tenena
Je
dnakokrakog
trapezarkoji
ima
tri
podudarne
straDice.:DokaZi
.
21.
Dokezati
da
eu sredi3ta etnanlca
i
podnoiJe
bilO
,Lo
je
visiae
u
trouglurtemena
Jedaakokrakog
trapeza
.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 14/74
ti
16
:
22. Konstruisati
trougao
AB0
ako
su
d.ati
elementi:
a) stranice
b=5
cnr
c=4cn
i
vieina
h*
=3cmr
b) stranioe
b=4
cn,
c=Gcn
i teZiEna
iuE
t"=5s6,
c) stranica
a=4
cr
d)
s*anica
a=5
J
i
;3il::
#i
l;=ill"*
l"il:;n:
e)
straaica
a=5
cnrteii5na
dui
t"=4ln
i visina"h
s=3cm,
f) etraai.ca
a=5
cnrugao
6=6O0
L teZi5na
duZ
tc=[r5cn'
8)
stranica
a=5
cmrugao
/l=
41o
i
visina
hb=+.i
.
23.
Konstruisati
trougao
ABC
ako
su
poznati
slede6i
elenenti:
a) stranice
b=5
cnrc=4
cn
i
teZi$na
d.ui
t"=
cn
,
b)
straai,ca
c=5
cnrugao
d=
60o
i
teZi6aa*duZ
t"=Jr
gn,
c)
teii6ne
duZi
t.=3
cmrt.=4
crn.i
t"=5
cn.
24.
Konstruieati
trougao
ABCrako
su d.ata
temena
A
i
B
i ortocentar
H
.
25. Konstruisati
trougao
ABCrako
Je
d,ata
tadka
A
i
Bra-
ve
p
i
q
na kojina
leZe
visine
bb i
hc.
/
26.
Data
je
prapa
p
i
tadke
M
i
N. Konstruisati
trougao
ABC
tako
da
temena
a
i B budu
na
pravoj
pra
tadke
l,r
i
N
pred.-
stavlJaJu
podnoZja
visina
ha
i
hb,
27. Konsttisati
pnavougli
trougao
ABCrako
su
dati
sr.e
-
de6i
elernenti:
a) kateta
a=4
cn
i teZi6na
duZ
tO=
96,
b)
lrateta
a=4
cno
i
teZiHna
dui
ti=1
cqr'
c)
ugao
o(=3go
i
zbir
keteta
a+b
=
Z
cn.
28. Iionstruisati
jednakostranidni
t:rougao
ABC
ako
je
po
znat
zbir
strani.ce
i
visine
a+b
=
Zr5
cm.
29.
Konstruisati
trapez
ako
su
date stranices
g=/
cr '
b=,
cnra
kraci
su
c=4
cm
i
d=F
cn
.
]o'
Konstruisati
rrvad.rat
ABCDralro
je
data
razlika
diJa-
gonale
i stranice:
d-a
=
1r2
crn.
L7
TII
RAZRED
1.
PITAGORINA
TEOREMA
L.
Odrediti
povrdinu
trougLa
dije
eu
etranicei
a=15 en
b=14 cn
i
c=15
cn.
2,
Jedna
kateta
pravouglog
trogla
Je
a
=
I
cnra
hipo
-
tenuza
je
za
1
cn
ve6a
od.
druge
katete.Odrediti
obin
i
povr-
Einu
kruga
opisanog oko
tog
trougla .
,O
lzradunati
obin i
povrEinu
trouglarako
je
stranica
c=6
cn]a
uglovi
o(=5Oo
i
ft-?5o.
4.
Katete
pravouglog
trougla
su
JOcn
i
4Ocm.Ta6ka
M na
lazi
se
u
unutra5nJoj
oblasti
trougla
i od
kateta
Je
udalie-
na
po
5cn.
Izradunati udaljenoet
tadke M od.
hipotenuze
.
6.)U
pr"vouglon
trouglu(sa
pravin
ugloo kod
tenena
O)
duZine
teii3uib
duii su
t.rt6rt".
Dokazatl
iednakostl
tf,+tf,=rr3.
6.
Izradunati
obim
i
povr5inu
pravougl.og
trougla
diJa
hipotenuza
Je
20cnra
Jedan
oEtar
ugao
Jednak
detvrtiai
pra
-
vog
ugla
.
/.
leiiSna
duZ
t.=1Ogn
zaklapa
sa
kateton
A0,ugao
od'
foo.od.rediti
kolikt
deo
kruga opisanog
oko
pravouglog
tlou-
gla(u
procentina)zauziua
pravougli
trougao
.
i
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 15/74
-
18
B.
Oko
jednakokrakog
trougla
dija
Je
osnovica
49
cn,
a
hak
40
cn opisan
Je
krug.odred.iti
odnos
obir'a
i
povriinerkr
uga
i
trougla
.
g,
OluJa
prelomi
Etablo
stablo
visine
16n
i
pri
tone
.
rrrh drveta
dodirne
zenlJu
Bo
daleko
od.
stabla.Na
kojoj
visi-
ni
se
prelonilo
stabLo
?
ro,
N636gr1e
konstruisane
iz
temena B
i
D
pravougaonika
na
dijagonqlq
A0rd.ele d-iJagonaru
ac
na
tri
jednaka
ir.ela.
Ako
je
duZina
Jedne
stranice
pravougaonika
10y'5
kolika
Je
duZi-
ua druge
stranice pravougaonika
?
,
11.
ako
su 1caci
trapeza
nedusobno
normalnird.orrazati
da
r je
zbir
kvadrata
osnovica
jednak
zbiru
kvad.eata
d.ijagonala
.
i
12.
Vrt
ina
oblik
pravougaonika
sa
temenima ArBrCrD.
U
j
't"tu
Je
desna
koJa
Je
od
tenena
A
udaljena
14 mred.
tenena B
udaljena
4
n
i od.
tenena
C
udaljena
12
n.Koliko
je
desna
ud.a
Uena
od tenena
D
?
ll.
Dokazsti
da
Je
zbir
kvadrata
dijagoneJ.a paralerogra
ma
Jednak
dvostrukon
zbiru
kvadTata
osnovi.ca
paralel.ograma
.
14.
U
;ednakokrakorn
trapezu
srednja
liniJa
je
sra
dija_
gonala
je
d.va
puta
duZa
od.
srednje
rini;e.
od.rediti
povr5inu
tog trapeza
u
funkciji
od e
1 .
Osnovice
trapeza
su
a
=
25
cs,
i
b
=
f5
cnra
leak
c
je
8
cn-
od.red.iti
kxak
d.
i
povr5inu
tog
trapezarako
je
pozna
to
da
je
zbir
uglova
na
ve6oj
osnovici prav
ugao
.
-
2.
I'INOGOUGAO
I
IGUG
1.
SpolJaEnJi
ugao
pravil4og
rnnogougla
je
puta
,,nanJi
od
unutrainjeg.Koliko
dijagouaLa
ina
taj
mnogougao
?
2. Zbtn
unutrainjih
uglova
nrnogougla
je
61200.Odrediti
kollko
tal
nnogougao
ima
atranicara
koliko
dijagonala
.
1g
'
].
UnutraHnji
ugao
praviJ.nog
rnnogougla
ve6i
je
od
odgo-
varaju6eg
spolJaEnJeg
ugla
za tolikor.za
koliko
ie
've6i
i od
eopstvene
petiue.
Odrediti
koliko
pravih
prolazi
kroz
tenena
tog
Pgavil,'og
unogougla
.
4.
Pravilni
nrrogougao
ima
L89
dijagonala.KoLiki
je
zbir
unutra6nJih
uglova
tog
nnogougla
?
5.
Zbi.:T
broJa
diJagonala
i
broja
stranica
pravilnog
nno
gougla
;e
I\V.
KoLiki
ie
centra3.ni
ugao
tog
mnogougla
?
6.
Izradrihati
obim i
porrrlinu
pravilnog
oonougla
ako
Je
poluprednik buga opisanog
oko
osmougla
R=lO
cm .
f.
Odrediti
odnos
obina
i
povrEiae
praviLnog
d'vanaest-o-
ugl-a
.
kruga
koji
Je
oko
nJega.
opisanrako
Je
stranica dvanae-
etougJ.a
a
=
50
cn
.
8.
Sestougao
diJe
su sve
stranice
jednake
i
inaju
duZi-
nu
arina
tri
nesusedna
unutra5nja
ugLa
prava.Iznadunati
povr-
51nu
tog EestougLa
u
funkciji
od
a
.
9.
Dat
Je
pravilni
Eestougao
diJa
ie
stranica
a.Nad
str
anicana"lestougla
konetruisani
su
kvadratira
zatin su slobo
-
"
dna
teneaa
kvgdtata
spoiena
tako
d.a se
dobije
dvanaestougao
.
Dokazati
da
je
d.obijeni
dvanaestougao
pravilanra
zatin i.zra
-
dunati
obin
i
povr6inu
novodobijenog
dvanaestougla
.
lid.
U
pravouglon
trouglu katete
su
a=6
cn i
b=8
o&rod"re-
d.iti
odnos obina i
povr6ina
kruga upisanog
i
opisanog
oko
tro
ugla.
It.
Oko
Jednakokrakog
trapeza
dije su osnovice
a=L6
cn
i
b=12
cnra
visina
jednaka
ered.njoj
J.inijiropisan
je
bug.Za
ko
Iiko
Je
povrEina
}cuga
ve6a od
porrr5ind
trapeza
?
12.
U lcug
poluprednika
R=lO
on
upiean
je
Jednat{okraki
trougao
diji.
Je
ugao
pri
vrhu(kod
te 0ena
A)dednak
4So,Oaredi-
ti
powSinu
kruinog
odseEka
odredenog
osnovicon
tsc
i
lukon
ko
ji
odgovara'
stranici
BC'
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 16/74
t20
Lr.
V
krug
Je
upisan
Jednakostraaidal.
trouggo
ABC.Neka
Ja
t
proizvolJna
ta6ka
luka BC(koJen
ae
pripada
tadka
A).Do-
kazati
da
je
BM + CM
-
AM
.
14.
U
krug
je
upisan
detvorougao
.ABCD.Ugao
C.A,D
Je
/Oo,
a ugao
ABD
je
4Oo.
Dokazatl
d.a
Je
AC
- CD .
15.
Na
potulrugu
opisanon nad
d.uii AB uzete
su
p
oizvo
lJne
tadke
O
i
D"
fetive
AD
i
rc
seku se
u
tadki
Era
tetive
AC
i
m
u
tadki
F.Dokazati
d.a
je
duZ
EF
aornalaa
na
AB
.
16.
Konstruisati
trougao ABC ako
Je
a*BCo5
cnrvisina
h"
jednaka
3
cn
i
ugao BAO
=
d
=
59o.
,.
IRACIONAIfiI
SRO,tgyI
1.
Dokazati
<ta
Je
y'E
iracionalan broJ
.
2.
Da
li
a.,17
raeionalan
i1i
iracionalau
broJ ? Do-
kazati .
).
Dokati
da su
broJevt
{V
+
t f 6
-
I
iraoionatni
.
4.
KoJi
oct
broJeva
Cl| l2
,
(17
)t
,
(6
)4
,
(6
)5
su
iracionaLni
?
l.
Dokazati
da
je
skup racibnalDih
broJeva
zatvoren
u
odnosu
na
operacije +r-r.r:
.
6.
Dati
su
racionalan
broJ
5
i iracionalaa
broJ
€
.
DoFazati
d.a su:
y{e
,5-'lV
,{V
-g,a(V
,jlV ,lT
,
5
iracio-
nalni brojevi
.
7.
Da
Ii
je
skup
iracioualnih
broJeva
zatvoreD
u
odno
su na operaciJe
+ r -, ., :
?
Nsy6{i
prinere
i
kontrapri
-
m€f€
r
8.
Dokazati
d.a
Je
(.l-/,
)(r+6
)
nacioqalan
b:roJ
.
9.
Da
ti
Je
broj
fr
-'17
racionalan
?
DokaZi
.
lo.
Dokazati
da
Je
broJ
(9
*
ilr(il5
-
2) iracioaatan.
I
2L
VIII
BAZBED
1.
POLINOMI
1.
Dokazati
da
je
za
svaku
vrednoet
prirodnog
broja
p'+ltn
derJivo
sa
6
.
2.
Ako
Je
n
prirodan
broJ
ve6i
od
lrond.a
Je
n\+
uvek
elolea
broJ,
Dokazatl
.
t.
Neka
Je
p prost
broJ
ve6i
od
2.
Dokazati
d.a
se
broj
p
uvek
moZe
prikazatl, kao razlika
kvadrata dva
uzastopaa
pri
rodna
broJa .
4.
Ako
su
x I
y
proizvolJnl
celi
broJevirdokali
da
Je
Lzraz
*2y2
*
2x2
*
tv?
+
6
uvek sloZen
prirod'an
broj
.
.
Dokazati
da
Je
za svaku
rnednost
prirodnog
broJa n
Lzraz
o5'-
a"tJtv
sa
O
'
6.
Dokazati
da ne
poetoii
polinon
drugog
stepeaa sa
ce
lobroJnin
koefLcijentina za
hodi
ie
P(7)=1985
i P(tl)=1995
.
7.
Dat
Je
polinon
P(x)*2x7+V*2**
.
Dokazati
da
Je
na-
jve6i
zajed.niEki
deliLac
za
P(1)rP(2)rP(})r...
broJ
6.
8.
Za
koje
vrednogtl.
n iz
skupa
prirodnih
broJeva
Je
polinon
s1'+i6a
delJtv
ea
16
?
9.
Dokazati
d.a
Je
(x-1)(f-11*n-2+...+x+1)
o
ao-l
,,n,'
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 17/74
i
,22
LO.
Izraz
8n+2Ln-1
deljiv
Je
sa
/
za
gvako
n
ia
skupa
prirodnih
broJeva
.
.
11.
Dokazati
da
se vred.nost
izraza
Zloo-t zan:Bava
sa
dve
nuLe .
12.
Pe|116n
P(x)
=
ax2+brrc
ima
celobroJnu
vrednost
za
svako
celobrojno
x.Dokazati
da
je
4a+2b+c
takode
ceo
broj.
11,
Data je
funkciJa
f(x)
=
*t*1*2-4.
Od.rediti
vre
-
dnost
funkcije
za
x=99998
.
14.
ReEiti
po
x
slede6e
jednadine:
")
*2-4=*4
=
o
;l
c'j',i"".,
=
o
c) xl-4x
=
o
e)
(x*zi2-g-=
o-
")
*2-6**8
=
o
tj
*2-t**u
=
o
s)
x'-t*x2+iJx
=
o
;i
"u.g"=-r.L
^
7r.
Odrediti
broJeve
xrytrz...
tako
da
je:
a)
x2*(y-t)2
-
o
'";j
;r.;e;;:-u:"'
c)
xt*yt+Gx-ry+10
=
o
d) x2*y2*2,2=
Zx+4y+62_:.4
e)
4x'*qy'+ 6zz+r=4x+6y+gz
f)
x4*y4
=
Z*2*gvz-tZ
16. Odrediti
celobroJpe
vrednosti
brojeva
xryrz
tako
da
su
zadovolJene
slede€e
Jed.nakosti:
a)
zx+xy
=
Z
d
xy+}y-5x-LJ
.
j
")
*2
= f+Zy+tZ
g)
*2*y2
=
1
a)
x2a2
-
71
d) :qf-fx+2y
=
g
f
)
x2+5:ry+
6y2
=
t+
h)
xt+yz-2x-4y+lg
=
g
L?.
Dokazati
6a
jednadina
*2a2
=
1986 nena
celobro
_
Jaih
redeaJa
.
18.
Odrediti
prost
broj
p
i
prirod.an
broj
n tako
da
vaZe
jednakosti:
a)
5p
+
L.-
n2
,
")
r2-tr-
=
p-a
b)rp+L=n7
a)n4+4=F
1 .,Jedna
kateta pravougJ.og
trougla
Je
a*12
cm.od.re
_
diti
sve,pravougLe
trouglove
koji
imaJu
i
d.rugu
katetu
i
bi_
potenu
iz
skupa
celih
broJeva
.
2'
20.
Re5iti
sistem
jed.nadina:
x2'2y+7=o,
y2-2r+1=O
.
21.
Odrediti prirod.ne
brojeve
t
i
y
za koJe
Je
ispunJe
lL
tL
na
jednakost
x--y'=I?5
.
22.
Dokazati
da
jednadina
*2*4y2
=
1986
nena
re3eaja
u
skupu
ceLih
broJeva
2j,
Dokazati
d.a kvadrat evakog ceLog
broja
pri
delje
-
nJu
sa
I
daje ostatak
O
ili I
.
24.
Da
li
jednadio,
t2*y2,1986
ina
re5enja
u
skupu ce
lih
brojeva
?
ObrazloZi
odgovo
.
25,
Ako
je
x+y
=
I
1
x2+y2
=
L ond.a
Je
taEno
Jedan
od
broJevq
x i
y
jednak
nuli .
Dokazati
.
26.
Izradunatr
az+b2rako
6e
a+b=24
i
a.b=145
.
2?.
Koliko
je
xlrrako
Je
x+y=ea
x2+y2=25o
2
28.
Ako je
x+y
=
o
i x2+y2= Zrdokazati
da
je
#+y4
=2.
29.
Odrediti
sve cele
brojeve
4 zla
koJe
je
i
kolidnik
(a2+t):(a-1)
takode ceo
broj
.
'70.
Ako
Je
* *
*
ceo
broJ,onda
Je
L
ceo
broJ.
Dokazati .
"2
,
lz
takode
Jl.
Ako
Je
"
*
*
=
2 izradunati
x2
..
l,
*'
*
t*,
4t
x
+-4.
]2.
Ne
izraEunavaJu6i
rnednost korena odrediti 5ta
Je
ve6e:
fti
ui
ft
+(l
,1.
L]ro
eu
a
i b
pozitivni
realni
broJevi tada
$e
uvek
a2+b?'y22ab
i
+
>.{fi
.
Kad.a
vaZi
iednakost
?
,4.
V
svakon
pravouglom
trouglu
6ida
Je
hipotenuza
c i
pormiina
P
ispunjena
Je
nejednakost
c
>z
2{F
.
DdEdzati
.
t5.
Lko su
alb,c
pozitivni
reaLni
brojevi tada
vaZe
ne
jednakosti:
a) a2*b2*"2y'
ab+bc+ca
Dokazati .
b)
(a+b)(b+c)(c+a)y'
Sabc
.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 18/74
24
2.
PRO?ORCIONATNOSI
I
SIIdSOST
1. Dat
je
trougao
ABC.
Neka
sinetrala
ugla
ACB
= f,
se_
de stranicu
AB
u tadki
M.
Dokazati
d.a
je
AM:BM
=
AC:BC
.
,
2.
Siqletrala
uFIa
na
osnovici
Jednakoleakog
trougla
de
J-i naspranni
krak
na
od.sedke
od.
6
cm
i
9
cm.
0dred.iti
pornr5i
uu
tog
trougla
,"'
7.
Da
li
postoji
trougao
diJe
su
visine
b"=7
cnrh'=6cn
i h"*9
cm. ReEenJe
detalJno
obnazloZi
.
1," 4.
Osnovica
BC
jednakokrakog
trougla
ABC
Jednaka
Je
po
lovini
baka-visina
koja
odgovara
kraku
je
duz
BN.
Dokazi
d.a
js
AN
=
7.cN
.
\/
5.
Dat
je
trougao
ABC
i teZiBna
linija
AD.Konstruisane
su simetrale
rrglova
ADB
i ADCrkoJe
seku
strane
AB
i
AC
u ta-
dkama
It
i
N
. Dokazati
d.a
je
duZ
IrlN
paralelna
sa
BC
.
,'6.
Hipoteuuzina
visina
deli
hipotenuzu pravouglog
tro_
ugla
na
odsedke
p-9
cn
i
q=tO
cn.Od.red.iti
povrBinu
buga
upi
sanog
u
taj
pravougli
trougao
.
7.
U
iednal<okrakon
trouglu
oenovica
Je
4g
cura
krak
Je
40 cn. odrediti
za
koliko
je
povrEina
}cuga
opisanog
oko
tro
ugla
ve6a
od
povr5ine
kruga
upisanog
u
tnougao
.
B.
l{eka
Je
dat
jednairokraki
t:rou6ao
Eija
je
osnovica
a
jednaka
odgovaraju6oj
visini.rzradunati
polupreEaik
lieuga
op
isanog
olio
trougla
u
funkcidi
od.
a
.
9,
U
Jednakokrakom
trouglu
ugao
na
osnovici
je
Z2o.lko
je
osnovica
a
i
lcak
brd.okazati
d"a
Je
"2
=
O2-uO
-
10.
Dat
je
krug
k
i
izvan
nJega
tadka
M.Kroz
tadku
I,i
ko
nstruisane
su
sedice
p
i
q
kruga
knkoje
leug
selar
u
taEkarna
ArBrCrD
.
Dokazati
da
je
iUA.IlB
=
IIC.MD
.
2'
11.
Sedica
s
prolazi
kroz tadku
M i sede
krug
u
ta6ka-
rna
A
i
B.
fan6enta
t
prolazi
kroz
"dpo
I,4 i d.odiruje
krug
u
tadki
C. Dokazati
da
je
l{A
}'18
=
1,1C2
.'
12.
lz
taEke
M
van
hrga
k konstruioane
su tangenta
UC
i sedica lvlASrtako
d.a
nedueobno
grad.e
ugao
od
45o.Ako
Je
du
-
iina
tangentne
d.uEi
MC
=
lOfA cnra
rastojaaje IvlA
=
LO
cn
ko-
tiki
je
polunrednik
datog lruga
?
lJ.
Neka
Je
AB
prednik jed.nog
krugarB0
njegova
tange
-
ntara
CDA
sedica.Odrediti
oclnos
CD:DArako
je
3C
jednako
polu
predniku
datog
kruga
.
14.
nat
je
pravougli
trapez
ABCD
kod koga
se
dijagona-
1,e
AC
i
BD
seku
pod"
pravin
ugLom
.
Dokazati
da
je
A8.CD=AD2,
(pravi
uglovi su kod
temena
A i
D)
.
^
15'
u
trougao dija
je
osnoviea
a
=
L2
cmra
povrF;ina
36
cnt
upisan
je
kved.rat
MNFQ
tako d.a su tadke
M
i
N
na
osnovi-
ci
trouglar&
P
na
stranici
AC
i
Q
na stranici
AB.Od.rediti
po
vriinu
upisanog
kvadrata
.
3.
J.EJJNACINE
1. Grupa
dedaka i
devojdica
sakupila
je
17O dinara
za
kupovinu
poklona
bolesnon drugu.Devojd,ice
su davale
po
2O,
a
dedaci
po
VO
dinara.Koliko
je
bilo
devojdicara
koliko
deda
-
r-^ t
2.
Iznos
od
7]
dinara napla6en
je
nov6anicana
od
2
d.i
na1.a i
5
dinara.
Odrediti
broj
Jednih
i broj drugih
novdani-
Ca.
J.
Itlqi,s
li
se
124
kLikera
podeliti
na
I
devojdice
i
9
dedaka
tako da svaka devoJdica dobiJe
jednak
broj
klikera
i
svakL
dedak
dobi.je
jednak
broJ
klikera
?
4.
Odrediti
prirodne
broJeve x i
y
tako d.a
zad.ovolJa-
vaju
sLede6e
jednakosti:
il3x+5y=ae
c)
ztx
+
,9y
=
1986
u) 2x
+
59y
=
2oo
d.)
6x2
-
aryz
=
44+444r+l+t+4q
.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 19/74
5.
Prena
ietodnJadkoJ
baJcl
nHilJadu
1
Jed.na
no6o
devo
jka
Sshg3szada
Je
iz no6i
u ao6
pridala
caru
po
,
ili
po
pet
prida.
Za
koliko
je
no6i
naJbrZe
mogla
d.a isprida
J.OOI
pri_
du
?
Kel{i1o
najvi5e
no6i
je
Seherezad.a
mogla
da
pri6a
datih
1OO1
pri6u
?
g.
U
prod.avnici
dadke
zadruge
grafitaa
olovka
staje
po
la
dinararhemijska
olovka
I
dinarra
naliv
pero
dinara.Koli
ko
treba
kupiti
koJih
arikalarako
se
za tadno
loo
dinara
mo-
ra kupiti
tadno
lOO
s16y1o1
z
7.
Reiiti
po
x
slede6e
Jednadine:
I
I
I
I
I
Ii
1
I
1
llil
s)
lx-21
+lx-l1
+
t2x-81
=
9
h)
lxl
+
lx+Jl
=
fx+l1
+lx+21
8.
Odrediti
skup
reSenJa
slede6ih
Jed.nadina:
a)
-z
b)
J.
=Ll
=L,
t.
Odredtti
skupove
tadaka
u
xry ravni
6iJe
koord.inate
zadovoljavaju
slede6e
jednakosti:
a)
fax-+l
=
o
c)
lzxl
*
x
=
6
e)
lx+rl
+
fx-l.l
=
2x
a)
y
=
llJ+:s
c)
f
x
+
yl
=
e)
lx-21
=
ly-11
u)
lA-ral
=
Jx-L2
a)
fxl
+
t1+21
=
g
f)
llx+rl
-
l2xll
=
lx+tl
\E;
b)
d)
f)
yl
+
y
=
f
xl+
x
xl+
lyl
=
V
lxl
-lrll
=
1
LO.
Vlada
6e 2Oaj
godine
imati
onoliko
godina
koliko
iz
nosi
zbir
cifara
godine
njegoyog
rodenja.Koliko
god.ina
6e
on
inati
1.986.
godlne
?
11.
Ba5-Celitr
se borl
protiv
zmaja koji
ima
lgg/
glava.
Jednim
udarcenr
mada
tsa5-delik
moZe
od.se6i
zrnaju
21416
ili
g
g1ava.ltedutinrtada
znaJu J.zraste 8r16rO
ili 2
nove
glave.Mo-
Ze 1i
Ba5-Celik
naizmenidnim
ud.arcina
nadarp:ri
demu
ima
po
-
tpunu
slobodu
izbora
koliko
6e
glava
odse6l(2r4r6
ili
g)
sva
kim
udarcenrodse6i
znaju
sve
gl.ave
?
Odgovor
obrazloZiti
.
RE6TNJ^A,
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 20/74
li
I
i
I
I
i
I
l
I
I
li
lll
iil
i
i
IV 8AZR5D
1.
ZADACI
NUMERACTJE
I
TREBROJAVAN.TA
1.
Za
nuneraciju jednocifrenih
i
dvocifrenih
stranica
upotrebi
se
9.1
+
)O,2
=
189 cifara.Za
nunoeraciju
troclfre
-
nih
stranica
upotrebi
se
JoE
(Z+>
-
99).7 -
Z]8
cifara.lrena
tone
ulnrpno
je
upotreblJeno
L89
+
7rA
=
927
cifara.
2.
Za
nuneiactJu
trocifrenih
strani.ca
upotrebl_jeno
Je
\Lt
-
(9.f
*
90.a)
-
j24
c5,tterpa
Je
broJ
trocifrenih
strani
ca
V24
:
1
-
lo8ra
ukupan
broJ
etranica
Je
IO8
+
99
o
2O?.
V.
Kako
je
1986
-
(9.f
*
9o.2)
-
L79?rto
je
u
nizu
na-
pisano
I797.t
-
599
trocifrenih
broJeva.Itako
je
599-tI
troci
freni
broJ
598rto
je
poelednJa
oifra
ognica.
4.
lJ
svakoJ
stotini
se upotrebi
20
sed.nica.U
oemoJ
sto
. tini
joE
ILOO
sedmica
i
u
devetoJ
l9.Dakle
ukupan
broJ
upotre
bljenih
sedrnica
je
2O.8
+
lOO
+
19
-
279.
,.
Pcsr:ratrarno
broJ
..4 .
ZnaEi
da
ispred
4
dolazi
bi-
1o koji
dvocifreni
brojrpa
je
reienje
90.
6.
lieka
je
traZeni
broJ
9...
,Eto
znadi
da na
prazna
nesta
nogu
do6i
svi trocifreni.
brojevi
podev
od
OOO
do
999
.
Takvlh
brojerva
je
tadno
IOOO.
?.
Ukupno
1 ra
to su: IoO11rlOIOlrlO11Or11OO1rLlolo,
llLoo,
1cco2, :too2
o,
1o2oo,
L2oOO,
2OOO]_,
2OO1O,
2
OLOO
r
21OOO
r
r
OOOO,
8.
Bro;l
puteva
Je
5.3
-
L5
(slika
1)
,
sI.2
ll.1
9.
fel<vih
dvocifrenih
brojeva
ina
5.5
*
PF
(slika
2).
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 21/74
i
i
I
I
I
li
i
r
'il
7O
10.
Tak+ih
troeifrenih
brojeva
ima 4.5.5
=
€:O
(s1.3),
slika
l
11.
An:
se
cifre
ponavljaju
inramo 4.4.4
=
64
trocifrd
na
i 4.4.4.4 =
2J6
Eetvorocifrenih brojeva.Ukoliko
se clfre
ne
mogu
ponavljati
oada se noZe fornirati
4.7,2
=
24
troci
-
frena i
4.3.2.1
=
24
€etvorocifrena broja.
L2.
Iairvih
detvorocifrenih
brojeva
ima 2.1,1,V
=
54
t
dok
petocifrenih
brojeva
ina 2.1.7.3.1
=
L62.
L5.
Cifrora
7
podinjera
cifrono
2
se zavrEava L.LO.Lo
10.1-O.1
=
LO
OOO
Eestocifrenih
brojeva,
14. Od
dva
slova moZe
se nadiniti
7O,tO
=
9OO
konbi
-
nacijara
detvorocifrenih brojeva
ima
g0OOrpa
je
ukup,an
broj
registracija
OO.9OOO
=
I
lOO 0OO.
L5.
Kako
je
I2O
=
2.2,2.tr.5,to
je
ukupan
bro;j
deLila-
ca
broJa
12O
jednak
4,2'2
=
16
(.elika
4).
@w
sLi.ka
4
2. BROJTIN{S
I
ItriZi'iils[ANJE FIGIIRA
L.
Neka
su date
tadke
ArBrCrDrE.Tad.a
se
noZe
uo[iti
taEno 10
duZi
(ABTACTADTAETBCTBDTBSTCDTCX
i
Dn).
2.
Na
pravoj
a ima 10
duZirna
pravoj
b
I
d.uii,
a
JoE
5.1
=
L5
duZi
je
o<ire'leno
kombinacijom tadaka
sa
prave
a i b
pa
je
ukupan
broJ
duZi 1O
+
3
"t
15
=
28.
,.
Iz
ta6ke
A
polazi
lriz
ta6ke
B
4riz
taEke
C
j,
iz
talke
D
2
L iz
tadke
E
I duZrpa
je
ukupan
broJ
duZ,i
1).
tt
4. Iz svake stanice
polazi
g
liniJarpa
je
ukupan
broJ
svemirskih
linija
pp.lOOrpri
demu
Je
svaka
linija
radunata
2
puta.ltema
tome
linija irna
99.10O:2
=
4950.
,.
Iz svakog
tenena
polazi
/
d.ijagonalarSto
znadj-
uku-
pno
/o$;P
=
28
dijagonal-a.
6.
Reienje
je
dato na
sLici
5.
?.
Tada se
dobija
detvorougao,
pa
je
broJ uglova 4.
8.
DuZi 6emo
brojati
na
prava-
mara trouglove
u
konbinaciji.
slika
I
a) 24
duZi
i
12
trouglova
b)
18 duZi
i 16 trouglova
c)
27
duZi
i
12
trouglova
a)
24
duZi
i
16
trouglova
g.
K..radrat
sadrZi
lO oravih
i
na
svakoJ
po
5
tadaka, a
to
znadi
10
duZirSto znadi
da
je
duZi
l0O.Kvadrata
ina 16+9r-
4+l
=
,Ora
pravougaonika
je
tadno
70.
Ne
lrahovskoj
tabli
ima
64+49+V6+25+I6+9+4+1
=
204
lL.
Re6enje
problema
dato
je
na
slici
6"
slika 6
,.
txsili'RovANJn
RAcUrTSiirIj
or.'tfiACr&\
10.
kvadrata.I
,
,iti
I
i
1.
rt12-I
+
5'c?89
=
611L0
,.
52V'?4
-
,3 7a2
9.
67.7L
=
7V7
7.
6+6?+614*747
9.9+89+BB9=987
2.
I?-145
-
o7B9
=
5556
4.
1q84
:
12
=
62
6.
97'II
=
to67
8.899+99=998
:
10.
IO1.1O1
=
L02OI
../: ii.
*
.; .(
'
"{
t..
I
t,
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 22/74
i
4.
KYADRAT
T
TRAVOUGAONIT
1.,
DuZina
Je
l4r5irlna
onra
povr6ina
5e
126
cn2.
2.
Str"anioe
upieanog
pravougaonika
su
6
cn i
4
cnrpa
je
obin
20
cora
povrEina
24
cmz.
,.
Ako
stranice oznadino
aa
a
i
b onda
Je
a+b
=
8b
.
DobiJeaa
jcdnakost
vazi
samo
28
6.
=
b
=
2
cu.
4.
Stranlce
plavougaonlka
su
6
L
?
cnra
nJegov
obim
Je
26
on.
5.
PovrEina
kvadrata
ie
7124
"r2r.
druga
stranica
pra
vougaonika
le
V24zL2
=
2?
cm.Obin
kvadrata
le
72
cnra
pravo
ugaoaik
ina
obfun
78
cn.
5.
PovrEi.na
prevougaonika
i kvadrata
Je
,6
cn2.Stra-
nica kvadrata
Je
zna6i.
6
cnrpa
Je
ve6i
obin
pravougaonika
i.
to za
2
cn(obin
kvadrata
Je
24
cnra
obin
pravougaonika
26).
?.
Stranice
pravougaonika
su
L7
L
A
cnra
ponrEina
Je
L15
cs2.
8.
Mogu6i
Dravougaonici
su:
(6rl);
(j,2);(+,7).radve
6u
povriinu-
12cn2 ima
posled.nji
pravougaonik.
g.
Povr6ina
kvadrata
i
p_ravougaoni.ka
;e
36
cn2.Mogu-
6i
pravougaoaici
su:
(3611);(rera)
i(Lzr11i(9,4).NaJve6i
dd.n
od
njih
ina
prvi pravougaonik(/4
cn)ra
naJnanJi
poelednJi
i
on
iznoei 26
er.
lO.
Ako
Je
straaica
kvadrata
dva
puta
ve6a od.
Sirine
pravougaonikaronda
je
ona zbog
Jed.aakosti
povr6ina
d.va
puta
nanja
od
duZine
pravougaoalka
I iznoEi
lO
on.Irena
tone
po-
vrEine
su
lOO
cnzrobin
kvadlata
Je
40
cnra
pravougaoaik
ina
obtn
tO
cn.
11.
Kada
stranicu kvadrata
uve-
6ano
za
1
cnronda
ae
nJegova pavt6iaa
uveda ze
dva
podudarna
pravougaonika
I kvadrat
stranlce 1
cn(pogledal
eli-
ku
?).Kako
Je
povr{ina
kvadrata
I cn2
m'
)
to.dva
preostala
pxavougaonika inaiu
povr6inu
16 cn-rpa sva-
ki
od
njih
ina
povr5inu
8
cm'.Kako
je
Jedna
stranica
1
cntto
Je
polazui kvad.rat inao
stranicu
8:1'=
8 cto.
L2.
DobiJeni
pravougaonici
(slika
8)
ina$u
porn6ine
:
l.x
-
:rr
2.x
-
2r.
i
L'2
=
2.Znadl
da
Je
1x
+
2
=
2orodnosno
lx
=
18'pa
Je
traZena
stranica
x
=
6
cn.
slika
B
slika
9
LV.
Kao
Eto se
sa
slike
9
vidi'da
bi
povr5ine
kvadra-
ta
i dobiJenog
pravougaonika
bile
Jednake
lnora i
poln5ina
do
bijenog
pnavougaonika
(x'2)
biti
iednaka
povr6ini
pravougao-
nlka
()rx-2).Znadi
2x
=
7(x'2)
tft
Zx
=
7x
-
61pa
ie
x=6
cn.
L4.
Ako
jednu
stranicu
uve6ano
2ra drugu"S
puta
povr-
61na
se
uve6a
6
puta.Kako ona
sada
iznosi
96
cn-tto
je
poLa-
zna
povrEi.na
bila
9626
=
16 cn2ra
stranica
kvadrata
de
4
cn.
Obin
pravougaonika
Je
40
cnra
kvadrata
16 cn.
L5.
Sa
sllke
LO oEigledno
Je
da
ll.x
+
ll.x
+
11.11 -
671.odavde
se
do
bija
da
je
22.x -
55O'
a r
.
2J
cm.Zna
Ei
da
je
stranica
manjeg
kvadrata
2 cto
a straaica
va6eg
15
cm.Zbi-c
njihovib
obina
je
4(2r+r5)
-
2zl4
cm.
slika
10
5.
MAGICNI
KVADRATI
l.
ReSenje
je
dato na slici
lJ.t
a karakteristiEan
zbir
Je
jednak
tre6i-
ni
zbira
svih
brojeva
i
iznosi
19.
slike
7
elika
Itr
,,
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 23/74
,4
2.
$vaki
elemenat
u
nagidnon
kvadratu
iz
prvog
zad.atka;
a)
uve6a3
za
L
b)
ponnoii
sa 2
i
urnanJi
za
I
c) uve6al
za
d)
ponnoZi
sa 10
l.
Prinari
iz
plethodnog
zadatka
a)
i c).
4.
hl.ner
d)
iz
zadatka
2.
J.
AzctL
prinere
c)
i
a)
iz zad.atka
2.
7.
Sva&i elemenat
u
nagidnon
kvadratu
iz
prvog
zad.atkal
a)
uve6al za
1
c)
uve6al za
I
b)
uve6al
2
puta
d)
uvedal za 2
8.
Re6enJe
dato na
slici
12
ffimffi
slika
12
g.
Re{enJe
Je
dato na slici
l}.
10.
Svaki
el.enenat
u
nagidnon
kvadratu
iz
zad.atka
9.
uv6
6ati dva
puta.
1t.
Svaki
elemeaat
u nagidnom
kvadratu
iz
zad.atka
:
a)
prepisati
b)
uve6ati za 2
a) uve6ati za
9.
i
i
t,
L2
,
6
10 8
L5 I
7 9
2
l6
4
E
14
11
slika 17
V
RAZRND
l.
sKuPovr
Aca.KA'
I.
Neka
su
"A'rBrCrDrtadke
na
pravoJ
pra
l{rI[rPrR
taEke
van
prave
p"Ia6ke
ArBrCrD(slika
14)
odreduju
6
duZi i
I
pravu.lladke
M'l{
P,R
odreduJu
6 duii i
6
Pravib.Ko -
mbinacijom
tadaka
ArBrCrD
i
MrNrPrn
clobija
se
JoE
16
=
4'4
duii
i
isto
toliko
pravih.Prena
tone ukupan
broJ
duZi
je
'28ra
pravib
$e
2i.'
2.
Datih
6
taEaka
odreduJe
15
pravih(duZi).Svake dve
tadke(duz)
sa
jednoB
od
preostale
Eetiri tadke
odreduju
je-
dnu
ravan.Znadi
da
se na
ovai nadin
noZe
konstruisati
1)'4=
60
ravni.Medutlnrpri
ton
je
svaka
ravan
ra6unata
tri
puta
t
ba
je
stvarni broJ
ravni 60z7
-
2Q.
Na
8
deLova(nacrtal
sliku
i
prebroJ).
5.
Sajve6i
mogu6i
broJ de-
lova
je
llra
re6eaJe
Je
prikazano na slici
15.
6.
ReEenje
Je
dato
na
sli-
ci
J.6rpri
denu
se
noie
izbrojati
6
ograni6enih
i
10
aeograniEenih
obla
sti.
7.
Prazaa skuprtadkarduZ
t
trougao,
detvorougao,
Pc-
tougao,
Eestougao.
oP
[o
slika 14
7
4.
slika
15
slika
15
,6
,7
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 24/74
8.
Kao
u
prethodaon
zadatku
i
jo$
sednougao.
9.
Kao u
prethodnom
zadatku
i
JoE
osnougao.
LO. Unija dva
konveksna
skupa tadaka
qoie
biti
konve
-
ksanrali. i
nekonveksan
skup
(slika
L7a
i
LZb).
11.
Razllka
dva
konve
ksna
skupa noZe
biti
koave-
ksan
skup(Ir\
TO)rali
1
ne-
konveksan
skup( r\
[2)
L2,
a) 1
b)t
AFB
slika
18
Lr.
a)
sano
tadka
B
b)
glika
17
c)
1@
99t2
=
4950
Ir.
Nekonveksni
maogouglovi
eu
r
ASFBCATAFSBCA
TABSDCA
ABDSCA,ABCSS,A
,ABCESA
,
za-
tin
ASBCATABSCA
TABCgA...
(vidi
sliku
18).
b)
prazan
skup
rl
2.
DEI^TTVOST
BROJWA
1.
Bnojevi 27
L
72
su
delJivl sa
,rpa
i ukupna cena
,
koJa
iznosi
27.x
+
72,1
=
L2r4
nora
biti deljiva sa
,rgto
u
na6en sludaJu odigledno
nije.
2. Ig:ol
,?.L5.
nora
biti d.eLjj.v
sa
5
i
9.Ako
B€
Zar: -
Sava O onda
Je
to broJ
Jl2LJOra
ako
Je
posl-ednja
cif:ra
5rta-
da
Je
tnaEeai
broJ
t76l5r.
Prvi
broj
ne
zadovoljava
usLove.
5.
hojevi-
koji
su
deljivi
sa
l i
sa
/ deljivi su
sa
,5
i
takvih
do 1OOO
ina
28.hena
toloe onih koji
nisu deJ.jivi
sa5ilina999-29=)1I..
4. Dati broJ
Je
deljiv
sa
$rjer
nu
Je
zbi-r
cifara 8.S
druge
strane
delJiv
je
i sa
4rjer
se
zavr5ava na
08.
,.
BroJ 198600
pri
deljenju sa 8,9
=
72
daje
ostatak
Jednak
24,pa
Je
traieni broJ
198600-24+72
-
198648.
6.
BroJ 444...444
ina
tnocifrepl.
zavr5tetak
444rkogi
nije deljiv
sa Srpa
ceo broj
uije
del_Jiv
sa
g.
7.
lrol
,16
je
deUi
sa 6
i
jednak
Je
6. Grpa
su
tra
Zeni
uzastpnl
brojevL
6r?
i
8ra nJihov
zbi:e
je
21.
8.
a)
,6
-
22._j2
a broJ
detilaca
Je
(2+1)(2+J-)
=
9.
b)
l-20
=
Z7,r:5
ina
(7+r)(1+t)(1+t) =
16
d.etlraca
c)
5C)r|
-
27,12.7
ina
4,t.2
=
e+
aetioca.
9.
Eako
Je
528
*
6,8.L1
i
kpko
11
ne
noZe
biti
cifra
takav
p:rirodaa
bloJ
ae
postoji.
10.
Zblr
prvih
1@O
prirod.nih
broJeva
Je
1OO1.lOOO:2q
Je
1OO1
-
?,LL.L7
to
Je
oa deljiv sa
L4V.
Ll.
hoizvod
dva
d.vocifreaa
broJa
ve6i
je
od.
lOO i
na
nji
je
od. lOOOOrpa
u
obzii. d.olaze
444
1
4444.Irako
Je
broJ
1144
=
V.4'7?
=
L2.t7
to
Je
Jedno
re3enJe.4444
=
4.1l.lOl
t
kako
Je
lOl
proet
broJrto
Je
broJ
4444
nenogu6e
prikazati
u
obliku
proizvod.a
dva
dvoci-f:reaa
broJa.
"
L2
Neka
Je
traZenl
broJ
ffi.
[ada
Je
x+]+z=l.O
i
x-X+
z
deljivo
sa
llrito
znaEi
da
noZe biti
O
ili ll.DrugL
slu
-
6aj otpadarDa
je
odigledno
7a2= =Jo
IraZeni
brojevi
eu o6i-
gledao
59O
r45L
1752
r25t rLr4.
L5. Neka
Je
traZeni
broJ
x,Iada
Je
x-l deJ-jivo
aa
Zr,
41516 5to
znadi
da
je
x-L=
2.1.2.5.k
=
6Ok.Dakle
x
=
6Ok+1.
Najmanji
broj obLika 6Ok+L
koJi
je
detjiv
sa
I
je
OJ..
14.
Ako
bi
traZenon broju
x dodali
l.rond.a
bi
odigJ.e
-
dno
x+l
bilo deljivo
i
sa
2
i sa
rr4rSt6r?r8.Dak1e
x+L
=
2.
,.2.5.7.2.k
=
SAOkrodnosno
x
=
84Ok
-
L.Nadnaaji
takav
btoJ
je
8r9.
Lr.
Kako
je
t?a
=
z.rV.?,to
le
7?8,2.V,?
=
2274?2
^
to
je
(2'9.?)2.rrena
tone
najnanji
takav
broi
Je
42.
38
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 25/74
,.
tocleKo-KoMBINATORNI
ZADACI
1.
Deda MiJ.e
je
roden
29.februara
1908.
godine.
2,
Broj
sanduka
od 1/
kg nora biti
paran
i
nanji od. 6,
Eto
znadi
0r2
ili
4.Za O
i
2
nenano
re5enjara
uz
4
sanduka
od
lfkg dolaze
joE
2
od
po
l6kg.
,.
nva
putnita
6e se
sresti
posle
6
Easova
hod.a.
Za
to
vrene
nuva
6e
pre6i
6'25
-
f5O ke.
4. 21.
kuglica obezbeduJe
bar
5
iste boJe,
5.
detirl
maEke za
I
dan ulove
1
niEa.l@
nadaka
za I
dan
ulovi
2
ni3eva,a
l-OO nadaka
za
4 dana
uLovi
lOO
niSeva.
6.
Eoki6rjer
da
Je
on senlorrnaslov
bl
gJ.asio:Mediu
pe-
toricon
prvih
tri
junio:ra.
l.
Za
I
dana.
8.
Za
1986rJer
Je
svaki
parai
ve6i
od
svog
prethodnika
aeparnog
broJa za
1"
9.
Iz
kante
od
9
J. odliJeno 4
1
i
u
lonac
preepeno
ta-
Eno
5
I vode.Zatin napunino opet kantu
od
9
I i dva
puta
od-
lijeno
kantu
od
4
lrostane nam
sano
Jed.an
litar.Srespeno
ga
u
lonac
u
kone se
sada
nal-azi 5 litara
vode.
19.
Prvo
6e
prevezu
deca,a
jedno
od
nJih
\rrati
daroac ko
jin
se
preveze
naJka.Zatin dete vlati 6anac i opet
so
deea
prevezu
na
drugu obalu i
ponove poetupak.
I1,
lri
tega
od
I kgr}
kS
i
9ke.
12,
Od
4OO
6ipki
izlije se
4OOO
dukata i 20 novib
Eipki
Od
20
Sipki
izlije
se
2OO dukata
i
jedna
nova Bipka.Oal
nove
Sipke
se
napravi
jo5
1O dukata.Ukupno
Je
dobijeno
42lO
d.uka-
ta.
15.
Svako
ina 4
pradede.Svaki
od
noJa
4
pradede
ioao
Je
po
4
pradederpa
Je
ukupan
broj
l-6.
14.
ProLzvod
4 sednj.ce zavr3ava
se
na ]..?roizvod 1984
sednice
zavriava se
na
J.ra
proizvod
1986
na
9.
I
I
i
,9
VI
R,IZRED
],.
IBOSTI
SROJEVI
l.
Svi parni
broJevi
ve6i od.
2
deljivi
su Lr2
i sanin
sobonrpa
ne
nogxr
biti
prosti.Prena
tome
2
je jedini
paran
i
prost
broJ.
2.
ObrazloZenJe
oadrZano
u zad.atku
l.
,.
Kako
paruLh
broJeva
irna
beskonadno
nnogora
svi
sen
dvojke
su
eloieni
to
i
eloZenih
brojeva
ina
beekonadao
mnogo
4.
Ako
bi
neki.
od.
aJih
bio
pu"*roo
bi
bio
i
sloZea.
5.
hoJevi
9rL5rZLr?5r...
su
aeparnirali
nisu
proeti.
5.
Ostali parovi
uzastopnib
prostih
prirodnib
broJeva
ne
postoJerjer
bi.
jedan
od
nJih nolrao
obavezao
biti
paran,
a
to
znadi
i
sloZen.
7.
Ako
Je
p=2ronda
Je
p+9
=
?tga
Je
p=2
re6enJe.Ako
p
uzina vrednosti
ve6e od
2ronda
Je
oa neparanra
p+5
je
u
ton
sludaJu
paranr$to
zna6i
I sloZen broJrpa
je
2
Jedino
reienJe
8.
Ako
Je
p=2
onda
Je
p+f=gra
to
Je
stoEen
broJ.U
eLu
daju kada
de
p)}rp
Je
neparan
brojrpa
Je
pr|
paran
broJr5to
znadi opet sloZen br.oJ.
9.
za
p=2, p2*9
:
ll Eto
je
reEenle
zadatka.Ako
je
p
ve6e
od
2
ond.a
je
p
I
pt
neparnorpa
je
pc+
paran
broj.d.akle
i
sloZen.Jedino
reSenje zadatka
je
p=2.
10.
Ako Je
p.2ronda
le
p2*r?=aLra
p3+L?=a5
pa
Je
tvrtu
nJe-ta6no.Ako
le
pVl,onda je
pzL
D7
neparnora
broJevi
p2+L?
i
pV+L?
su
parni
i sloZenirpa
Je
tvrdenJe
d.okazano
za
sv€
pr
11.
ho;
n19ae
+
nr9a7
je
uvek
paran
i
uvek
sroZen.
-^^-L2.
Ako
je
g2TVronda
5e
n19ao
neparan
broJrpa
Je
bnod
p1986*r9g7
paran
i
sloZen.ovin
Je
tvrdenJe
d.okazano.
$fllt-
40
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 26/74
Lr.
Ako
Je
p=2rond.a
le
rg*pi
-
72+2t
=
L?ta to
Je
prost
broJ.Ako
la
pVVrtada
je
]paeparno
I
p'
t.kod" neparaorpa
nji-
hov zbir nora
biti
paranrdakle
i eloZen broj.Prena tone
Jediao
re3enje
problena
je
p-2.
14.
Za
p-zrtp+L-7
t
5p+1=11.
zadovol.Javaju
zahtev.MeCtu
-
tin
ako
je
p)lronda
Je
]p+l
paxan
i
5p+t
palan
broJrpa
je
p=e
jedino
reSenje.
L5.
Jedini
broJ
p
koji
zadovoljava
usLov
le
p=z(?p-L=Lt
a to
je
prost
broJ)rJer za
p)r)rbroJ
7p-1
uzina
paxne
vredno
-
sl1.Kako
je
tada
7p+1
=
J.lrto
je
tvrdeaje zadatka
dokazano.
16.
Neka
Je
x
=
1.2.t.4.5,6.?.8.9.10.lL.12.hoJevi
x+2,
x+Jrx+4rx+
5
rx+6rx+l
rx+8rx+9rx+lorx+Ilrx+I2
su uzastopni i
slo-
ieni,jer
su delJivi
redon sa
2rJ1415t6,718,9tLOrlLrL2.
I?.
Ako
Je
p=2
onda
Je
kolidnik
Ora
ostatak
prost
broj
g
=
2 .Ako
Je
g7t\,orida
Je
p
neparan broJ
pa
ostaci
nogu
biti:
Lrt
rS
r'7
19
rLL )Lr rL5,I?
tI9'2Lrzt
r25 t27'29.rJ
sludaju da
eu
ostaci
grLrrzlr2r,2l
p
bL
inao
oblik
3Ok+9,VQk+L5r3Ok+2Lr3Ok+21']Ok
+
2?ra
to
su odigledno sve
sloZeni
brojevirjer
su
deljivi
sa
I
,
odnosno
5.Ovim
jo
tvrdenJe
dokazano.
18,
Pretpostavino da su
pl)
pZ7
...
)pO
svi
prostJ.
bro-
jevirtJ.
da
je
skup
prosti-h
blojeva konadan.Uodino
broi defini
san relaciion:
p
=
pl.p2
....pk
+
1.boj
p
nije deljiv
ni sa
p1rg2r...
niti sa
Jednin
prostim
broJenrjer
uvek
daje
ostatak
jednak
L.Prena
tome i
p je
prostrpa
na6a
pretpostavka
ne
vaZi.
L9.
Svi
prirodni
brojevi
se
BoBu
rrapisati
u obLiku
4k-1
4kr4k+1 ili
4k+2.Kako
su
4k
i
4k+2
deljivi
sa 2'proste
broJeve
treba
traziti
u
obliku.4k-1
i1i
4k+1.
20.
Slidno
prethodnon zadatku
svi
prirodni brojevi ina-
ju
Jed.an
od
obl.ika:
6k-lr5kr6k+1r6k+2'5k+]'6k+4.Kako
su
broje-
vi 5k,6k+2
i
6k+4
deljivi 8a
2ra brojevi
oblika 6k+l
delJivi
sa
],to
prosti
brojevi
nogu
biti sano cblika 6k-1.
ili 6k+1.
Obrnuto
tvrdenJe
ne
vaZi
jer
postoje
brojevi oblika
6k-L(rr16rr...)
i
6k+1(25r49
r55,...)koJi
su
slozeni.
41
2L. Ako
Je
p=2
ond.a
su
p+2
i
p+4
s1oZeai.Ako
je
p
=
1
ouda
Je
ptA
=
tra
p+4
=
|.Ako
Je
p>]roada
Je
p
Jed.nog
od
ob
lika: 6k-l iLi 5k+L.Ako
Je
p=6k-lrtada
Je
p+4=6k+j=j(2k+L)"a.
to
Je
sloZen broJ.Sli6no
za
p=6k+1rp+2=6k+lrpa
Je
odigled.nq
p.]
jedino
reEenje
zadatka"
22.
PostoJi:
to
je
p=l.Dokazati
da
drugib
nena.
2rr
Ako Je p=2rp2+14=l8ra
to
Je
eloien broj.Za
p=Jrd.o
blJano
p2+L4=2j.Za
p)
5,p=6&-1
1li
p=5k+l.Tad.a
;e-p2+ri
=i;;2
+12k+1+X-4
sloZen bnod(deLjiv
Ea
1)rpa
le
p=7
Jedino
re5enJe
problena'
t.
I
24,
Ako
gu
p
i af-r
prosti
broJevi
onda
Je
p=r(doka
-
zati ).Ako
de
p*7
onda
je
gp+l
.
ZJrato
je
sloZen
broJ,
5to
Je
i trebalo
dokazati.
2. DIRIIT.NOV
PRINCIP
l.
U6enike
delino
u
14
kategoriJa:oae
koji
su
napla-
vili
1rrl2rl1r...
,2r1ro
greEki.Odigled.no je
da bar
u
Jed"aoJ
kategoriJi
postoJe
1
uEeaikarger
kada bi
u
svakoj
kategoriJi
bilo
2
ili
naaje
udeni.karonda
bi ukupan
broj
udenika
bio
na-
nji
od
28rEto
Je
nenogu6erJe:r
je
broj
udenika
JO.
2.
Sve
Beogradane
podelino
u
7OO
OOI kategoriju:
one
koji
inaju
tOO
OO0r299
999,...rj,Vr:.-rO
vlasi kose.Kako
se d.e
lJenJen
1
52OOOO
sa
100
OOI
dobtje
kolidnik
5
i oetatak,tc
Je
odigledno da bar
u
jednoj
kategoriji
post
oji
6 l.Judi.
,.
4
9rO
OOO
OO0
ljudi koJi
su
ntadi od tOO
godina
,.
treba
pod.eliti
aa
staroBne
kategorije:
1 sr2
sr...rpri
6emu
poslednja
kategorija
ina
lOO.J6535.24.r5OO
sekund.i.Iako
so
pokazuje
da
u
bar
jednoj
kategoriji
postoje
dva
elenenta.
..
4.
Sve ekipe
delino
u
/
kategorija:
one
koje
su
igrr
Ie
l
rSrJn4r712rA
utakmicu(ilL
6rr14rrr2r1rO
utakmica).|[adr
u
svakoj
kategoriji
postoje
bar dve ekiperjer
ji
a:?
=
l(f);
42
4t
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 27/74
i
5.
a)
17
kuslica(4'4
+ 1)
b)
91
larglica
c)
86
kuglica
6,
Datih
12
prirodnih
broJeva
rasporediltto
u
11
katego-
riJa:
u
prvoj
su
brojevi
deljivi sa
llru dmgoj
brojevi
koJL
pri
deljenju
sa
os
daju
ostatak lr...tu
ied'anaestoj
su
broje
vi
koji
pri
deljenJu
sa
11 daju ostatak
lO.Kako
inano 12
bro
jevara J-l
kategorijarbar
u
Jednoj se nalaze dva
broJa.UoEene
brojeve
a
=llx+r
i
b
=11y+r(uoraJu
inati
jednake
ostatke
pri
d.eljenju
sa
ll)oduzneqo:
a-b
=
ll-(x-y).Razlika
je
odigtr"edno
deljiva
sa
llr6to
je
i
trebalo
pokazati.
?.
Dokaz
analogan
dokazu
iz zadatka
6.
8.
Ako
kvadrat
podelino
na kvadratne
ceatinetre dobi
-
dano
25
JediniEnib
kvadrata.Kako
Je
J2z2J
=
2(2)
to
aigurno
poetoJi kvadrat
unutar
koga se nalaze
bar
]
tadke.
9.
Iz svakog
tetena
Festougla
polazl
t
duiitod
kodih
su bar
1
iste
boJe(slika lg).Neka
su
to
d11li
AC'AD
i
AI
koJe su
crveae'Ako
Je
CD
crvena
d.okaz
Je
okon6anrpa
zato
predpostavi
no
d.a
Je
0D
plave.Ako
Je
DE
ctvena
t
oada
Je
trougao
ADE
crvenrzato
pned-
postavino
da
Je
t
DE pl'ave
duZ.
Sada
se
poonatra duZ
CE:ako
Je
ona
crveDa
trouSao
AOE
Je
crvenlako
Je
ona
pla-
va
ond.a
Je
trougao
CDE
plav.Sl-idno
se
dokazuje
i obrnuta
si-
tuacija(kada
su
neke
tri
duZi
plave).
lo.
Neka
eu
date
duEi d1
rd2r...tdrz
d1-<d2<...<d,.Ukoli-
ko
ne
postoJi
trougao
onda
ier
dl+d2<d7'd2+dr<d4'dt+d4-<
d5
d4+d5<d6rd5+d6<at7.ako
ie
dl=dr=l
.cnrtada
te
llvz
cn'd4)
7
d,5Vi
cnrd5l.8
cn
i
d'?>1,
cn
Eto
je
aeroogu6erjer
sve
duii
si
naaie
od
1o
cn.
Prena
tone
trougao
uvek
postoji.
l
A
slika
19
1L. Predpostavino
da
postoJi
udenik koji
ne
poznage
ba5 nikoga.Tada
preostall
udenici
nogu
inati
lr2rl,
..,
,5V
poznanika.Kako
j-nano
]5
udenikara
14'kategorije
u
jednoJ
od
katego:riJa se nalaze bar
dva
udenikar5to
znadi
da
imaju
po
-
dJednak broj
poznanika.Ako
pak
takav
udenlk
ne
postoJir
onda
Je
broj
kategorija
opet
]4,jer
je
najmanji
nogu6i
broj
pozna
nika lra naJve6i
34
i zakfjudivanJe
tede kao
i u
I
sludaju.
7.
TROUGAO
I
cETVCROUGAO
L.
Ugao
iznedu
sinetral.e
i visine
je
90.
2.
Neka
je
CD
sinetrala
spoljaEnjegra
CE sirnetrala
unutra5ajeg
ugla
kod temena
C.Tad.a
je
ugao
ACE
=
4Oo;2=2Oo
.
Kako
se
sinetrala
spolJa6njeg
i unutraEnjeg
ugla
trougla
se-
ku
pod
ugJ.on
od
goorto
Je
trougao
CDE
Jednakokrakolravougli
pa
Je
ugao
ADC=45o.Iad.a
Je
ugao
CAE
=
lllora
ugao
ABC=25o.
,.
Neka
ie
A, podnoZje
visine
iz teuena
Ara
C,
podno
Zje vj-sine
iz
temena
C.fada su
trouglooi
MtB
i
HA'C
poduda-
rni(AB-cH,
*
urr=
+
CAIE=goo,
*
Arln=
*
rccr-rao
uetovi sa
nornalnim kracirna).Iz
podudarnosti
je AAr=CAlrpa
Je
trougao
AA.C
jednekokrakopravougli.Zna6i
ugao
ACA'
=-gACB
=
45o.
4.
Sa
D
obeleZimo
podnoZje
visine
iz
Crsa E podnoZJe
sinetrale ugla kod
temana
A.Neka
se
AX
i
CD
seku
u
tadki
O
i neka
je
ta
dka
F
srediEte
duZi
At(slika
20).Ta
d.a
je
*
DCE
=
196;2
=
54o,a
uglovi
CAB
i
ABC
su
po
56o.Ugao
CAE
=
l8o,
pa
je * Atc
=
l-800-1080-160
=
54o.
Trougao
COE
je
jednakobakrpa
eu
du
Zi
CO=EO.Kako
je
F
srediFte
duZi
AE
i
D
srediEte
duZi
AB
to
Je
FD
srednja
linija
trougla
A3E.Za-
kljudujeno
da
Je
lD
fl
BE,dakle FD
ll
CE.Tada
5e
)cr'=
$
D
=
4o.
Dakle
i
FO=DO,pa
Je
FOTOE=DO+OC'i1i
trE=CD.Kako
je
AE=
zX'ErtO
Je
i
AE=
2'CD.
slika 20
44
45
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 28/74
I
I
l
,.
Iskoristiti
prethodni
zadatak.
6.
Kako
je
I
l4Ka
pravra
+
Bl{K=5oorto
.;e
*
MBK=4oora
to
Je
polovina
ugla
B
koJi iznosi
8oo.
+
UED=2Oo,pa
Je
+
DBc
ta-
kode
2oo.Iz
trougla
BCD
dobiJa
se
* -
l.8oo-9oo-2oo*/oo.
ZnaEL
da
je
i
L=]Oo.
?.
Razlikujeno
dva sludaJa(slike
21a
i
21b)
a)
*A-25o,
lB=25o, {c-aoo
u)
fA=Z5or4B=75o,4c=?oo.
eLika
2I
8.
Neka
eu
D
i
E
podnoEJa
visi-
ne i
teZiEne
liniJe iz tenena
A
i
neka
Je
EF
uornaluo
na
AC(sIika
22).trougLo
vi
ABD,ADE
i
AEF
su
podudarni(dokaZi
)
Iz
podudaruosti
zakljuduJeno
da
je
duZ
=pg=f,f=s.Kako
je
E
podnoZJe teEiEne
3
duZirto
je
3E=E0-2x.llrougao
CEF
je
pra
vougli
i
CE
Je
dva
puta
ve6e od
EF'
Pa
zakJ.Judujeno
da
Je
JrE=5oo
i
i
c-roo.Kako
de
*
DAc=6oordobi-
jano
da
je
2
iY
-6oo,a
ff-Toorpa Je
*A*}Y=
gOor
*gSOo.
9.
Ako
je
tsA=d
ronda
je
*DcA
takoded
rpa
Je
<
CDB*Zo(
,
JF
mM=
9oo-2o(.Kako
je
FDI
cD i
FcrAc,
to
je
*CFM*
*
DCE=d.Zakljudu
-
jeno
da
je
i
*
3CM=d,pa
Je
jCMo
24.I2
trougLa
SMD
odigledao
ie
*
M.so=teoo-
2"(
-(9oo-2d
)=9oo
.
Dakle
SMISD
ili MCIAB.
10.
Ako
je
c(
-B-lOoronda
Je
p
=
c(-goo.Kako
jed+r3+8-=
lSOorto
Jco(+
o(
-
9Oo+F-
lBOo;
pa
je c\+
V/2-7V5o.[ad"
Je
*ANC=
45o.Kako
se
slnetral.e
unutrainJeg
i
spoldaEnjeg
ugLa
seku
pod. pra
-
U
vlrn
uglon trougao Cl{N
Je
pravougllrsa
}
N=45or5to
znaEi
i d.a
Je
jodnakokrako-pravouglirpa
Je
CM
-.
CN.
11.
Dokaz
sled.i
iz
pod.ud.arnoeti
trouglova
AMpTBMI{rCIlp.
l,2.
Dokaz
sledi
iz
pod.udauoeti
trouglova
CDFTDEFT&E.
Lr.
Iz
podudarnosti
ABE
i 3CD
eleduJe BM=BN.Kako
su
i
trougLovi
AMB
i
BND
pod.ud.arni
to
Je
*ISU=
*
DBff.Sada
je
po-
trebno
i-zraduaati
*
UBl[=
*
ABN-
*
lsM=
*
lrCr-
{
DBN=6Ooroda-
k1e
je
odigledno trougao
BMN
JednakostraniEaa.
1.4.
Ako
Je
*DAB*2?
ronda
Je
{ABC=IBOo-2?.Kako
eu
d.o
bijeni trouglovi
AltD
i
BMC
jednakokraki(DA=AM=MB=Bo)rto
su
i
ugLovi
*AMD=9Oo-?f *
BMC=Y.Zbir
ova
dva ugLa
Je
loorpa
Je
+
ct{D=9Oo,
odnosno
cMJ.
DM.
L5.
Neka
su
E
i F
preeeEne
ta,6ke d.iJagonal.e
BD
i
pra
-
vih
AN
I
CMra S
presek
diJagonala.lada
Je
tadka E
teZi6te
za
trougao
ACDra
F teZiSte
tlougla ABC.ZakLJu6uJeno
da
Je
DE:ES
=
2:l
i
Btr':FS=2:1.Kako
je
DS=BSrto
Je
DE=EF=BF.
16.
Kako
Je
AS=SB
to
Je
*
SAB=
i
SnE.,
tz
poduda:enosti.
trouglova
ABC
i
ABD
sJ.eduje
da
Je
*
A=
*
A.Ua
glidan
nadin
se
noZe dokazati da
je*A=*D
=*C
Eto
je
dovolJno
za d.o-
kaz da
je
detvorougao-pravougaonik.
L7. Iskoristiti dinjenicu
da
Je
aBOD paralelogran
i
is
koristiti
prethodni
zadatak.
18.
Neka
je
presek
dijagonala
pravougaonika
ta6ka
S, a
pod.noZje
nornale iz tenena
B
na
dijagonalu
AC
tadka
M.OiigJ.e
dno
Je
AS=SCra
kako
je
AM:MC=}:lrto
je
odigledao
MC=$M.U
pra
vouglon
trouglu
Bl{,SrBS=2SM,pa
je*XSStt
=
600.
19.
Ako
su
M'N,P,Q
dodirne ta6ke kruga
i
stranica
de
-
tvorougla
iz
podudarnosti
trouglova
se
dobija
da
se dijagona
le
polove(aAt{,SSaCPS
i
AMBSSADPS)i
seku
pod
pravin
uglon.
Tada
je
traZeni
detvorougao
odigledno
ronb.
2,O,
Neka
simetrale
ugl.ova
na
osnovici
seku
naaplannC
krakove
u
ta6kana
D
i
E.Iz
pod,udarnosti
trouglova ABD
t ABE
DE
slika
22
slika
2]
46
47
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 29/74
zaklududeno
da
ie
AE=BD.fz
podudarnosti
trouglova
ADE
i
3DE
d.obija
se d.a
su
+
AxD
i
Jr
BDE
jednaki.Kako
Je
+
IIFtr=
*
EBA=
{
BEDrto
Je
trougao
DBE
iednakokrakrpa
ie
BD*DE=EA'
.
21. O6igledno
je
srednJa
linija
Afclll
BrDrpa
Je
ArDBtCt
trapez.Trou
-
sfooi
lrun i
AIBE su
podudarni(4oka
-
zatit)rpa
je ArB*BtCr*AtD.Dakle
tra
-pez
de
jednakokrak(slika
25).
22.
Za
d"ate
konstruktivne
zada-
A
tke
da6emo
eano
kljudne
ideJe:
s)
Najpre
konstruiEj.
pono6ne
pravou
-
gJ.e
trouglove
BA'A
i
CA'A.
l)
hoauZi
teZignu
duZ
CC, za
JoF
Jednu
dutrinu
i
konstrui6i
pono6ni
paralelogran
SCADrili
od'nah
konstruiEi
pono6ni
trou-
Bao
ACC,
(koristiti
oznake
sa
slike
25).
c)
Konstrui6i
pomo6ni
trougao
3C8.
d)
Konstrui5i
pono6ni
trougao
BAt[.
e)
KonstruiSi
pono6ni trougao A'A14.
f)
KonstruiEi
pono6ai
trougao
BA'A.
g)
Konstrui6i
pono6ni
trougao
BCBI.
a
2j. a)
seZignu
auZ
ML produZi
za
duZinu
t"
i
Potom
koastruiEi
pono
6ni
trougao
ABD.
b)
Postupiti
kao
pod.
a):
AB=q'AD=2ta
i
+AIE=l8oo-d.
c)
[eZi5nu
duZ
&t
produZi
ua
Alts
tako
da se
dobiJe ta6ka
D'
pa
zatin
bonstruiSi
pono6ni
trougao
ElD.
24.
Iz
tadaka
A
i
B
konstruleati
nonoale
aa
prave
BH
i
ctB
slika
2l
AE.
25.
Iz
tadke
A
konstruisati
Prave
26.
Kako
Je
*
lt'tg-
'lr$tn=9oo,
to
ta6ke
ArMrNrB
pri.padaJu
jednon
krugu(slika
z?)diJi
je
prednik
aB'Ka
ko ceatat
kruga
pripada
sinetrali
te
A
tive
M$rto
ae
centar
nalazi
u
Preae-
ku
sinetrale i
date
prave
P.
bJp i clq.g
s
slika
27
2?.
a) KonstruiEi
pono6ai
pravougli trougao
SCBt'
b)
Kako
Je
c-
2tc'to
je
praktidno datg
a
I
c.
c)
Katetu
AC
produZiti
preko
t€nena
C za
duZ
CB=a'Analizi
-
rati
doblJenu
sliku
i
konstruisati
pono6ni
trougao
ABD'
28.
Vieinu
C'C
produiiti
preko
temena
C do tadke
D
t
prl
denu
je
CD=a.KonstruiEi
pono6ni
trougao
AC'D'
29.
Konstruieati
pomo6ni
trougao
diJe
ou
stranice:
o
d
i
a-b.
VQ.
Na dijagonali
AC
odrediti
tadku
Ertako d'a
je
d'uZ
CE=a.fad.a
je
AE=d.-ara nogu6e
Je
konstrisati
pono6ni
trougao
ABE.
49
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 30/74
VTI
RAZBED
1.
PTTAGORINA
TEOREMA
1.
Visina
hO=12
cnra
povrEina
trougla
3e
g4
cn2.
2.
Kako
Je 52
,
*2
=
(x+1)2
=
x2+2x+lrt
o
ie
2x
=
24,
pa
Je
nepoznata
kateta
x=12
cera
hipotenuza
x+1=1]
cn.polu-
prednik
kruga
opisanog
oko
trougla
Je
R=6r5
cn.
V.
Konstrui.Eeno
visinu
BB,.
I(a.ko
je
*
4=600rto
Je
*ABB,=roo
,
a
*
B'8c-45orpa
J€
a
BB,c
jednako-
krako
pravougli.Iz
AAB8,visina
BB,
jedna&a
i21{V,
a
d.uZ
B,C-
5{j.tu|
A'Q=7
+
1{l,a
duz
w*
t{j{Z
=
5,/d.
Obin
trougla
Je
)g{j
+JG
,a
povr
Eina
je (9ft* Z?):2.
srika
28
7.
Neka
je A.'
srediSte
katete
SC.Kako
je
aAAIC
pravo-
ugli i ima
iA,AC=r6o,to
Je
ArCj
cq i
AC=5{t
cn.Kaieta
BC
=
tO
cm,a
hipotenuza
ae'(tZS = 5'tl
.Procentualni
odnos
porneEi-
na trougLa
i
lruga
oko njega
opisanog
ie
Z5E
r
t75T,/4
.
8"
Ako
Je
S
centar buga
opisanog
oko
trouglara
D
po1.
dnoZje
osnovicine visine
rLz
AASD
dobijanc
relaciju;
AD2+SD2
=
As2
ili
n2
=
z+2+(h-R)2. Ibko
je
n2=+o2..z42=s+.isrto
{e
vi
sina
h=8.4=r2 cnrpa
na6a
relacija
postaJs
na=576+(r?-R)a.Re-
Savanjem
dobijeae
Jedbadine
dobiJa
se
R=
25cn.
9"
Neka
se
steblo
prelouilo
na
visini x.Tada
Je
duEi-
na
prelomlJenog
dela 16-xrpa
je
(fO-x)2
=
*2*B2.R"Eavanje
Je
dnadine dovodi nas
do rezultata:drvo
se
prelonilo
na
visiu,i
4.
Ihko
;e
mf=5
cu
i
MBl=g
:t'::
iu
Mt=25,a
Br*t5
cB.Dui-AB
c
Je
5o
cn.I"io
""
izradunavaJu
duEi
AA
AM
=
,F
I
8M
=
,/iEA. -J;
;;;;
I
t"*
inaju
d.uZilu
I
i
y.Tad.a
je
x-+y'=650
i
(50-x)c+yz=t25o.Re6a
_
vanjen
dobiJenih
relacija
odre(tuje
no
r=19
cnra
zatin
i
y=12
cn.
slika
29
(a2+b2i..'ri
u.
"B'._"?
u
.
r:.:ir;
="?i7:
2"
=r;rfi
.
ri
"
6.
Dopunino
li dati
AABC
podudarni.n
t:rouglon
d.obijano je
_
dnakokra&i.
4ABD
sa
*A=+5o.n"d.a
Je
AADE
je4rrakokra\o-pravougli
i
AE
=
DE=
1g{f.povr6ina
AABC
jednaka
.ie
2o.loJtz4-5o(Tcnz.
6 n
od
zemlJe.
10.
Neka
su
E
i
I'podnoZJa
normala iz
B
i
D
na
dijagonalu
AC
i
neka
Je
$ presek
dijagonala(sli
ka
)I).Tada
je
sE=gF
i
AE:ES*2:1.
1
Kako
je
AS
teZisna
duZ
aABD
to
Je
E
teZiEte
toc trouela.Neka
.ie
AB=
ea..q,c=rffi i
co='ffi.r.-
ko
je
AED
pravouglirto
je
AO2
=
L2.
Neka
taEka
S
oznalava
poloZaj
desne
i
neka
su
M,N'P po-
dnoZja nornala iz
S
na
AB,BCTCD
.
Tada
je(vid.i
sliku
12):pS2=op2+SP2
=1.M2+cttt2=
(1+2-srf
)*
(
rz2-su2
)=t9e*
1++-(sn2+sw2
)
=r+o-+2=:i24=182.
sad
a
je
jasno
da
je
DS
=
18
n.
AE2 + tra
ilr z@=
L/g(4a2+2oo)
+
4/9G.2+zoo).Re6avanJen d.o-
bijene
jednadine
odreduJeno
da
Je
a=10
cmrpa
je
AB
=
26
qr.
11"
Ako
ee
produZeci
krakova
trapeza
A3CD
seku
u
ta6ki
s,onda
je*
lsa=goo"Tada
5e
a2=aB2=.e,s2+as2
i u2=coLosz+cs2.
odigledno
1e^a2+b2=As2+3S2+cs2+DS2=As2+cs2+Rs2+Ds2=af*a ,
1""
;e
af=lc2=1,s2+cs2 i a =ro2=rs2+Ds2.
tJ
elika
,1
5/+'
lt
sltka
12
slika
]O
W,f,"
,o
5L
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 31/74
l;
Lr.
Neka
suaib
osnovicerd,
id.rdiJagonaLe
ihvi-
sina
paralelograna(sfika
rr).Tada
je
a?-(a**)2*t,2
i
ai=("-*)2*,2. . a?*i?
r^zaa.al<
-
a'
+2a*+xz
+hz
*a
-Zax+xz
+hz
=Zaa
+i(x2
+rr2)
=
2a2+2u2=2(a.2*b2),5er
ge
odi
-
2.2
-2
glecl'no
X
+n
=O
.
14.
Ako
osnovicu
AB jednako
-
krakog
trapeza
ABCD
produZino
preko
I
tenena
B
za
duZ
CDronda
je
AAEC
JedaakostranidnirJer
je
duE
AE=a+b=ACra
-)<
sAc-
-)<A D=
*
Atc(sftta
,4).visina
trougla
Je
i
visina
trapeza
i.
iznosi
a{T/Zrpa
Je
povrEina
trapeza
je
-
dnaka
s-tl=,
/2.
slika ,4
slika
,5
L5.
IGko
je
zbir uglova na
ve6oJ
osnovici
prav
ugao
,
to
se
kraci
trapeza
seku
pod^pravin^uglonrpa
je
ABCE
pravou-
gli.Znadi
da
Je
CE2=a2=(a-U)2-c2=LO242=7Orpa
Je
d=5 cn.Visi
nu
trapeza(i
afCn)izradunavano
iz
povrEine
ABCE'jer
je
odito
lO.h
=
8.6
=
48rpa
Je
b* 4r8 cn(elika
rr).
Povr6ina
trapeaa
je
2O.4,8
=
96
cuz.
2.
MNOGOUGAO
I
KRUG
1.
Kako
su spolja5nJi
i
unutra$nJi ugao
nnogougla su
plenentni
to
Je
x+ x
=
lOr
-
lSOorpa
Je
spo1JaEnJi
ugao
tog
nnogougla
l8o.Kako
je
spolJagnji
ugao
jed.aak
centralaom(doka
zati)to onogougao ina n
=
]6O:18
=
20
straaica.boj
dijagona
la
je
tada
170.
slika
14
xa
slika
,,
IB
2.
Kako
Je
(n-2)I8oo=el2oorto
ie
r.-2=1.4ra
1=J6.M:rogo
ugao
ina
16.7V:2
= 594
dija8onale.
1.
Ugao
je
ve6i
od sopstvene
petine
za
4/5
sops^bverie
vrednodtirpa
je
i
od
svog
spoljaSnjeg
ugla
ve6i za
4/5
so
-
pstvene
vred.nosti.Ako
je
uautra6nji
ugao
5xrsPoljaBnii
je
x
pa
je
6x
=
l8Oora
1*3Oo.Radi
se
o
l2-tougLu.Kroz
svako
tene
prolazi
11
pravih(2 stranice
i
dijagonala)rpa
Je
tenenima
d.vanaestougla odredeno ukupno
Lr.'I2:2
=
66
pravih.
4.
Kako
Je
n(n-}):2
=
189'to
ie
n(n-))
=
2'9'V'7.Da-
kte
n(n-l)
=
21.L8'pa
je
n*2l.Zbir
unutra3niih
uglova
mnogo
ugla
Je
S
=
19'lBOo
=
V42Oo.
5.
Zbir
broja
stranica
i broja
d'ijagonala
n
-
tougla
jednak
Je
ukupnon
broju
pravih
kroz
n tadakara
to
je
n(n-l)
:
2.Prema
tone
n(n-l)
=
rA6
=
6'51
=
6'7'L?
=
18'17rpa
Je
n
jednako
lS.Centralni
ugao
ie
]600:18
=
2Oo.
6.
Neka
je
ABCDEDGH dati
osno
-
ugaorsa
centron
S.Kako
je
osaougao
pra
vilan
to
je
*
AsB=
*
BSC=45o,Pa
je
za-
-to
*Asc=9oo(srika
16).Iz
AASC,
duZ
AC
jednaka
je
lo{-,a
MS=5JE
=AM=CM
.
Kako
ie
BM=BS-lilS
to
je
BM=1O-51?,pa
je
stra
ir".
o"toogra
i,a2=Af*3v2=5o*1oo-1oo{t
+ O=2oo-1oo{2
,a
AB
=
101f2-ff-.
Izradu
slika
16
navaju6i
obim
i
povrEinu
dobija se
da
j*
o-= 8.AB
=
ao{ffi,^
P
=
4'AC'BS:2
=
2
ro/f'ro=zoo6
.
?.
Posmatraniem
dva
susednarkarakteristi6na
trougla,
sliEno
prethodnon zadatku'dobija
se
a=rJ2-{1 odakle
se raci-
onalisanjen
dobija
r=OolZ+ -.Obin
mnogougla
je
?2O,a
obi'n
kruga
opisanog
oko
niega
;e
l2oJuJ2+tfl.Povr5ina
naogougla
je
6'60'60Q*tt7)r2
=
1o8oo(2+Vt),a
povrEina
kruga
opisanog
oko
dvanaestougla
ie
1600(2+,17
)li
"t'.
8.
Najpre
ie
potrebno
konstruisati
traZeni
Sestougao
(vidi
stiku
,?).Kao
5to
se vidi
Sestougao
se
sastoji
iz trl
52
,,
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 32/74
I
Jednakokrako-pravougJ-a
trougla
i
Je-
dnog
jednakostranidnog
trougla.Stra-
nice
pravouglih
trouglova
jednake
eu
datoJ duEi
arpa
su stranice
jednako-
strani.duog
trougla
po
"{7.Povr
Sina
Eestougla
je
P
=
r.a2/e*(a,lT
)2.6t+
Daklep-a2(r+,17)/a.
lO"
Eipotenuza
datog
trougla
Je
c=LO cno,Povr5ina
trougla
Jedaaka
ie
L/2t(a+b+c)=1216"1ika
rB).Kako
Je
povr5ina
trougLa
6.8:2=24=12rrto
Je
r=2
cn.Poluplednilr
kruga
opieanog
do
trougLa
Je
R=e/Z=J cn.Orr:Ooo4li:
lOJi
=ar5
.Pu:Po.
d .
25fr.-
4225.
11. Visina trapeza
je
l4cn(vi
d,i
sliku
V9)$
tadka S
je
centar kru
ga
opisanog oko
trapeza.Ako
Je
SE=x,
onala
Js
SF=I4-xrpa
;e
n2-(t+-x)2*3=
"2*82.R.5.vanjen
dobijene
Jednadine
odredtujeno
x=5
cnra tada
je
B=IO
cn.
Povr5ina
kruga
je
1OO3[
cnzra
pom5i-
na
trapeza
je^l 5cnzrpa
krug
ina
pri
bliZno 118
cnz
ve6u
povr5inu
od
tra-
peza.
L2.
Kako
je
+
BOC
centralni
a
+
BACrto
Je
{
nOO=9oo,pa
Je
aBoC
Je
dnakokrako-pravougli(elika
40).Iz
do
bijenog
trougla
BC=
lO{t
ae.Povrglna
traienog
kruinog odsedka
jednaka
Je
1
L
t,
i
razlici
povr3ine
6etvrtine
kru6a i
povr5ine
iednakobako
-
pravouglog
trougl"a
SOCrpa
Je
p
=
253h"
-
JO
emz.
c
slika
57
9"
Dobijeni
dvaaaeetougao
Je
pravil.anrjer
su
mu
sve
straaice
jedaake
d.atoj
duZi
a
i svi uglovi
po
900+600=1500.
Nacrtaj
sliku i
uodi da se
povr.Eina
dvanaestougla
noZe ra
-
zLoZitL na 12
jed.nakostranid,nih
trouglova
i
6 kvadrata
sttea
nice
a.fzradunavanjen
se
d,obija
p
*
,^2(Z*{7)
.
slike
18
L7.
Neka
je
D
tadks duii
Al{
takva
da
je
MD=MB
(slika
41).
Kako
Je
*lun=
*AcB*6oo(kao
periferi
-
jeki
nad tetivom
AA)to
Je
aBMD
je-
d.nakostrani6ni
i
BD=BM.Trougao
ABD
podudaran
je
8MC:AB=3C,
*los=t2oo
=
*
BMC
i.
BD=BM.Iz podudarnostL
za
klJudujeno
da
je
AD=CM.hena
tone
AM=AD+DM=CM+BM.
L4.
Kako
Je
f
CAD=/oorto
je
i
f
Cm*Toorkao
perife-
rijski
ugao nad
iston
tetivon
CD.Kako
ie
*AgC=fLOo
to
Je
+
ADC=?Oo
kao
periferijski
nad iston tetivon
AC(sa
supro-
tne
strane
od
B).U
aAcD
*
c.e'o=
f
CDA,pa
Je
i
CD
=
CA.
Lr.
Poenatramo
aABE
(
eliha
42).Kako
Je*Ala
prav,to
je
AD
vi
sina
koJa
odgovara
stranici
BF.Sli
Ino
*
BCA
je
prav(kao
periferijski
rraal
prednifom
AB)rPa
Je
3C
visiaa
koja
odgovara
stranici
AF.Kako
se
AD
i
3C
seku
u
tadki
X,ona
je
orto
centar
4ABFrpa
je
tre6a visina
FE
nornaLna
na odgovaraju6oj
stranici
trouglara
to
je AB'
L5.
Nad
duZi
3C
konstruiEe
se
jednakostranidni
tro-
ugao
BCDra
zatin se oko
njega opiEe
krug.Neka
je
p
ll
3C
pra
va
koja
je
oa
3C
udaljena za
h.=jern.U
tadkana
u koJina
pra
va
p
sede
krug
dobijamo
texoena
A
i Alrjer
zadatak
ina
2 re
Senja.
Dokazatji.
izloZenu
konstrukciju
?
slika
42
54
55
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 33/74
,.
TRACIoNAINI
SROJEIII
1..
hedpostavino suprotnortj.
aa
Jeff
racionalan broJ
i da
se nole
prikazati
kao koliEnik
dva ceLa i
uzaJanno
pro
sta
broja
p
i
q.Kako
ie
,[7
=
g/qrto
je
2q2=
p2,pa
Je
p
slgu
rno
paran
broJ i
p=2k.Tada
a"
2q2
=
4k2rpa
Jt
s2
=
2k2,
Eto
znadi
i da
Je
q
paran
broJ.Sl,eduje da su i
p
i
q
delJivi
sa
2r5to
je
suprotno
pretpostavei da
su
uzaJanno
prosti.
Prena
tome
2
nije
racionalanrve6
iraeionalan
broj,
2.
Iskoristiti prethodni
zadatak,
3.
PredpostavLmo
da
je
€
+
I
=
rr6de
Je
r neki raci-
onal.an
broJ,Sada
Je
r-L
=
tft.fato
Je
skup
racionalnib
broJe
va
zatvoren
u
odnosu
na
oduzinanjerto
Je
i
r-1
racionalan
i
ne
noEe
biti
dealna&
rE
koJi
je
iracionalan.Prena
tone€
+l
nije racionalanrve6
iracionalan broj.
4.
SnoJevi
(7)2=l
i
(ll3)4=g
su
raeionalni.
heostali
brojevi
(3)7*tB
t
CGlS=gti
gu
iracionalni,jer kad.a bi
bi
Ii
racionalni
onda
bi i r/; -a/ya/g
blo
racional-an,Eto niJe
nogu6e.
5.
Ako
su
p/q
i r/s
racionalni broJevi
onda su i
nJi-
hov
zbin
(ps+qr.),/qsrrazlika
(pe-qr)/qsrproizvod
prlqs
i
ko-
lidnik
pslqr
takode
racionalni.
6.
Iskoristiti
dinjeni.cu
iz
prethodnog
zadatka
i
ide-
ju
iz
zadatka broJ
1.
f,
Nije.Zbir
.dva
iracionalaa
noZe
biti racionahn
r
I
elidno
vaZi
i
za
razlikurproizvod.
i
kolidnik.Erineri:r/
i-if
su
iracionalni
brojevi.
hoJevirE
+
(-{D=o
,E
-ff
=o,kao
t
brojevir/Z'€
-
2
L
{V
t6= f
su
racionalni.
8.
(1-'D)(1+vt)
=
L-'
=
-2,a
to
je
racionalan
broJ.
9.
Ako
Ae
'[V
-{J
=
r(r
je
racionalan
broj)ronda
Je
12
jed.nako
?
-a[n
+
,.Dakle
Gr
=
G2-to)/e.rako
Je
y'?i
iraci
onalanra
G2-to)/2
racionalan
broj
to
je
nemogu6e.
lO.
Racionali5i
dati b:r.oJ i
dokaEi
i:racionalnost.
i
t,
1i
i
ll
'1,
VIII
RAZRXD
I.
POI,INOMI
1.
Kako
Je
n'+11n
=
o7-n
+
12n
dovoljno
je
dokazati da
;e
a'-n
.
(n-1)n(n+1)
deliivo
sa 6.
2.
rn4+4
=
n4+4n2+4-4r2
=
1
62*2
)
2-
(
er
)
2
=
(r2
-2n*
z)
(n2+2n+2
)
=((n-1)2+l)
((n+f)2+f).Kako
je
svaki
od.dobijenih
faktora ve
6i
od
I dati broj
je
uvek sloZen.
7.
A}r.o
je
p prost
broj ve6i
od
2
onda
je
on
neparan
i
noZe
se
pri-kazati
u obliku
p
=
2k+1
=
(t+t)2-t2.
4.
x2
y2
*
2x2
+
7y2
+
6
=
72
1x,2
*
e7
+v
(y2
+
2)
=
(y2
*2)
(*2
*
7)
.
Kako
je
svaki
od
dobijenih
fa}*ora ve6i
od
1
nJihov
proizvod.
nona
biti sloZen
broj.
5.
n5-n=n(nA-r)=o(rr2-r)(42+1)=n(n-L)
(n+1) (n2+1).Proi
-
zvod
trl
uzastopna
prirodaa
broJa
n-lrn i n+l
uvek
je
deljiv
ea
6,DokaZino
jo5
deljivost sa
5.Ako
Je
n= k-I'tk'5k+1 onda
su.brojevi
o*1r3 i n-l
delJivi sa
l.Ako
Je
n=5k12
onda
je
fa
ktor
n'-+1.
=
25k-l20k+4+1 i deljiv
je
sa
l.
5.
Neka
je
P(x)=ax2+bx+c.Tada
Je
P(7)=49a+fb+c,a
P(15)
=
Z25a+Ljb+6.Kako
je
P(15)-P(7)=r9S6-1985=1=U6a-8b
i
kako 8
deli
desnura
ne deli levu
stranu
jednakosti
takav
polinom
ne
postoji.
/.
Po 1
i
non
P
(x
)
=
2x;V aVx?
*x=
2x2 +
2*7 **2
**= 2*2
(x+
t
)
+x
(
x+ t
)
=
x+l(2ir2+x)=x(x+l)(2x+1)
delJiv
je
sa
6
za
svako celo
x(d.o-
kazati).Kako
je
NZD
nanji ili
jednak
od
najnanjeg 61ana, to
je
NzD
= P(1)
=
5.
8.
Za sve
parne
prirodne
brojeverjer
ako_je n=2k
,onda
ie
nV+16n
=
8kV+?2k
=
8k(k2+9)ra
kako su k i k2+9
razli6ite
parnosti
jedan
od
nJih
je
uvek
paranrPa
ie
dati
izraz
deljiv
sa
8.2=15
za svako
k.
F- t
97
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 34/74
14.
U
svin
zadacina
zvod
dva
i1i
viEe
broieva
ailaca
Jednak
O:
a)
(x-2)2.0
xr=xr.2
9.
Odigledno
se
Pri
""*xt-l*
"
.
.**2**
-*n-l-*n-2
11 elenenti
poniEtavaju.
lo. 8n-1
.
(e-f)(go-l*...+1)
=
?M
deLJivo
Je
Ea
?.Kako
Je
i
21n deljivo
sa
?
to
ie
i
8n+21n-1
delJivo
sa
/.
11.
Kako
je
Zloo-r
=
(?a)25=t
=
Q+-D095*792*...+1)=
iV2-t)(22*t).M =
48.5o.M
-
IoO.24.M
=
L0o'Nrto
se dati
broi
zavr6ava sa dve
aule.
L2.
Ako
Je
x celobrojno
i
P(x)
je
celobroino.Za
x=2
d-o
bijano
P(2)=6126+crpa
Je
i
ova
vrednost celobroJna.
Lr.
f(x)
=
*7*5*24
=
x7o2*4*2to
=*2(t4)+a(x-l')(I+L)
=
1x-r
)
(x2++x++)=(x-1
)
(x
+2)2
.za
x=99998
'f
(
x)-9999?'
looooo2
=
=
gggg?ooooooooo
-
9g99?'Lolo.
mnoZenju
(x-t)(xn-1+"o-2*
+x+1)*
-...-r-l
dobiJa *o-1r;"r se
osta-
koristi se
dinjeniea
da
Je
proi
-
jednak
nuli
ako
je
bar
iedan
od
di
b)
x(rx+f
)2=O
xr=Qrx"=xr=-l/1
L6.
Kod
ovib
zad.ataka
treba
izvr5iti faktorizaciJu
i
leve
i
deene
strane
Jednadine'i
raznotriti
sve nogu6e
konbi-
nae5-Je-sludajeve
:
a)
1(2+y)=71
n
=
{(r,5),(-t,-9),(?r-1),(-?,-r)}
b)
(xr)(x+y)=L',
R
=
t(?,6)
,(?,-5) r(-?,5),(-2r-6)l
c)
(x+7)(y-5)=V,
R
-
t(-zra),(o,s)r(-4r2)r(-514)l
d) rq-):r+2y-e=(x+2)(y-7)=2,
R
*
{(-1r5)r(or4)r(-t,t),(+,e{
")
xz-(y*t)z=(x+y+l)(ra-1)=11,R=
{(514),
(e,-o)r(-er+),
(
e,
o)l
r)
(x+2v)
(x+ry)=14'R
=
lGaS,V),-(-e,
5),
(t?,-5)'
(4o,
-1,
).
.
.l
e)
n
= t(r,o),(-l-,0;,(o,r),(0,-t)l
n)
(x-r)2+
(y-a)z=t,
R
-
t(t,r),(1,1),
(zrz)r(o,2)l
.
L7
.
F'ako
Je
t2
a2
=
(*a)
(x+y
)
-1.
1
986=2. 997=j.
662=6.
Jlt
i kako
au
x- r i
x+y
iste
paraosti(dakle
oba
paraa
i1i
oba ae
par.na)
zakl.judujeno
d.a
jednaEina
nema :re5enja
u
skupu celih
brojeva.
18. a)
Ib*o
je
5p=(n-1)(n+1)
razlikujeno
slede6e
Elu-
daJeve:(n-l-)e
tr,5,p,5pl
i(n+1)€
{
5p,p15,rl
.ReEavanjen
svih
sludajeva
dobiJarno dva re6enja
(nrp)€
{9ari'lr(+rr)}
.
b)
Slidno
prethod.non
sludaju
1p=(n-f)(nc+n+I).Skup
rnogu6no
-
sri
Je:
(n-r)e
{r,l,p,lpl
i
(nz+n+l)e
{lp,n,},1}
."*n
reEe-
nja
R(nrp)
Je
prazaarto
jest jednadina
nena
reSenJa.
c)
U
ovon
sludaJu
p=n2-7n+2
=(n-1)(n-2)
i
postoJi
sano
jedno
reEsnje
(n,p)=(3,a).
d)
Iskoristiti
zadatak
l.DobiJa
se reEenJe
(arp)=(tr5).
L9.
Kako
Je
c2-b2=1+4.(c-u)(c+b)
i kako u
obzir dola-
ze
sano
rastavi
iste
parnostirrazlikujeuo
slede6e
eludaJeve:
(c-u)e
{a,+,e
,e}
i
(c+b)e
l?2,v6,2+,ra}
.smp
uredeaih
pa
-
rova
(b,c)
e
I35,t?),
(16,2o)
,(9,t5),(5,t5)
|
.
2a.
Sabiranjem
jednaiina
dobiJa
se (x-t)2+(y-l)2=O.Je
dino
re5enje dobijene
jeduaEine
Je
x=y=f.hoveravanjen
utvr-
ctujeno tadaost
re5enja.
*4T4=(*-y)(x+y)(x2+yz)=tzl
i
kalo
avi
fa
iste
parnosti
i kako
je
x-y4,x+y4*2*y2
""
-
sludajeve
:
(x-yrx+xr*2*y2)e
l(trr
rrS)
r(tr?
je
nernogu6ra
drugi
daje re5enje
x=4ry.r.
c)
x(x-2)(x+2)=O
x1-orx2=2r*V=-2
c)
(x+2-r)(x+2+r)=O
x'=1,1r=-
")
r2-6**8.x2-6x+9-1-(i-ll21r
.(x-2)(x-r+)=o
xr=Z$r=4
r)
x -:x+Q-*2'rt-2*-a-(x'z)(x-r)=o
xr=2$2=7
6)
x'-tax?+iJx
-
t(*2-5*-?**7il
=
x}-i;1*-i1=o,xr=0rxa=5
i
xz'7
uJ
*a-ro"2
+
g=x4
-x2
-9r2
*
g=
(*2
-9)
(
*2-r
),xr.*7
rx
2=
;5,
x,
=
I
1
x4=
-1",
L5.
U
narednin
zadacina
koristi
se
dinjeni-ca
da
je
su-
kvadrata
jednaka
nuli
ako i sano
ako
je
svaki
od
eLemena-
sune
Jednak
nuLi:
x=oiy-I-o.n-{(o,r)}
(*-z)2*t2=o.
n
-
{(e,o)}
(x+r)2+(y-ri2=0.
n
=
{{-l,rl}
(x-r)2"(y-z)2*(u-il2-
o,
R
=
{{r,2,7;}
(a*-t)2*(ly*1)2+(42*1)2=
o,
s
-l3/z,t/l,t/
Dl
(*?-r)2*(y2-4)2-o, R
-
t(1,2),(1,-2),(-1,2),(-r,-e;f
.
ta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
21.
Kako
je
Irtori
noraju biti
zlikujeno
s1ede6e.
e5)]
.rrvi
sludaj
58
t9
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 35/74
22.
o6tgledao
Je
x
paran
broJ.Neka
je
x=2k.Tada
3e
x2=
4k2rpa
3e
x2+4y2=4t2++y2=1986.Kako
je
leva
strana
del.jiva
sa
Ara
desna
nije
to
jednadina
nena
ceLobroJnih
reSenJa.
27.
Ako
je
n=lk onda
je
o2=9k2rp"
je
ostatak
pri
de1Je
nju
sa
I
jed.nak
O.Ako
Je
4= k+lrtada
Je
n2=9k216k+Lrpa osta-
tak
pri
deljenJu
sa
]
iznosi
l.
24.
Nena.Ako
je
r=;ift i
y*lu,ond.^
;.
i*y2*9k2+9n2-1986
pa
jednadiaa
nena
reEenJarjer
Je
leva
straaa
delJiva
sa
pr
a
desna
nije.Ostali
sludajevl
takode
ne dolaze
u obzir
Jer
oe-
tatak
pri
deuenju
1986 sa
,
Je
nulara na
koia
druga
konbi
-
nacija
x
i
y
pri
deljenJu sa
t
dale
bi
ostatak
1 iLi
2.
25.
Ako
je
x+y-1 i x2*y2=l.xvad.riranjen
prve
jednako
-
sti
dobijano
x2+2ry+y2=lrpa
Je
xy=o.oaavde
je
Jasno
da
Jed.aa
od
broJeva x ili
y
nora
biti
uula.
26,
Kako
Je
a+b=24rto
je(a+b)2=242=575="2n2ub*b2.Tu
6L
njenice da
je
ab=141
i
2ab-285
eleduJe
^2*62=576-286=290.
2?.
Ako
Je
x+y=p2rsnd.a
je
*2*2ry*y2=484.Kako
;e
x2*y2*
2JO
rto
de
2xy=484
-25O=27).Da1;e
x2+y2
-2ry=25O-Zr4=L6.
Odavde
zakL$udujeno
da
je
(x-y)2=16,tJ.
x-y=+
ili x-y=Jr.
28.
Ako
Je
x+y=g onda
je
,2*2q,*y2=O.Kako
p
f*y2=2
,
to
Je
21ry=-2rodnosno
w=-1
i x2y2-1.1ada
je
t4*y4=1t2*y2)a
'
zr2y2=4-2=2.
29.
Kolldni-k
+
-
4#
=
"*r
*
;fo
Je
ceo
P"oi
,
ako
Je
a-1 sadrZano
u
broJu
2.
Dakl.e(a-l) €
t
tr2r-I,-2I
oda-
kle
je
ae
tz,rror-fl
.
70.
Ako
ie
*+
ceo
broj
onda
ie
i
(x
+
|)2="2*a*f
t"
koCte
ceo
brojrpa
oduzinanjen
2
dobijano
opet
ceo broJ.
, 1..
Ako
je
I+*
=
2
onda
je(nnoEenjen
sa
x
/
O) r.2+L-2x
ili
x2-2x+1.(x-1)2='ii
odnosno,x-l.Tad.a
Je
*o
-
+
=
l+L
=
2.
x
]2.
Neka
5e
l=fll I B-{?
*J7
.r"d^a
ie
a2=11'
i
r.2=
2
+
+zG
+
v
-
5+2{6.reko
Js
A2{i-J.L-5=6 i s2.5=2,16
to
;e(12-5)2
-
V67
z+-(a6)?-(n2-5)2.oatte
1.2-5y
B2-5,p"
Je
e2
>82
odakle
zbog
dinJenice
da
Je
A)O
i
B)0,zakJ.juEujeno
da
je
A)B,odno-
"oo
y'fi
>,lV
*E
.
1.
TtaZene
aeJednakoeti
slede neposredno
iz
poznatih
nejednakostiz
(a-v)2>z
o
i
(,l?
-{6
)2>o.ted.nakost
vaZi
sano
u
elu6aJu
kada
Je
a=b.
]4.
Kako
Je
c2=a2+b2
V
z^b=+n
nkorenovaajen
aeJed.nako-
sti
koju
sno
dobiU.rd.olazino
do
rezultat,a
cy'2t[i.
Jed.nakost
vaZi
ako
je
a=b.
V5.
Ako
eu arbrc
pozitivai
realni
broJevi
tada vaZe ne
j
ednakosti,
a2
*b2
>, zab
rb2
+
c2
>.2bc i
c2+a2
>7 zac.sabiraal
en d o
biJenib
nejedaakoeti dobijano traZeau neJednakost.
Sli6ao
a+b7
2
fi6,
b+c
)
2{&
i c+a77
2y'Erltc.oZen;en
ovih
nejednakosti dobiJa se traZena ueJednakost.
2.
PROPORCIONAI,NOST
I
SITCNOSI
.
1.
Neka
Je
prava p
koja
peo-
lazi
troz
B
i
paralelna
je
sa
AC.fa
dka
D
jo
presek
prave
p
i
simetrale
$ACB.Trouglovi
AMC
i
BMD
su
sli
-
doi(
{
AcM=
}
MDB-kao uglovi sa
pa-
ralelnin
kracina i
*
lllc=
*
DMB-kao
unakrsni).
Iz slidnosti
zaklju6uJeno
da
je
AM:M3=AC:BD.Kako
je
ABCD
Je -
d.nakoleaki(f
AcM=
+
McB=
+
IDB=V2)
to
je
BD=BCrpa
je
AM:MB=AC:BC.
slika
4l
2.
Ako
Je
AD
sinetrala
ugla
BAC
onda
Je
BD:CD=AB:AC
=
6:9.Kako
je
AC=BC=l
cnrto
je
AS:19=e:$rodnosno AB=10
cm.Vi-
sina
jednakokrakog
trougla
ABc
je
cc'='(ffi,
=
roErpa
po
-
vr.Lna
AABC
j.znosi.
ro.ro,/t:2
=5or/f
cn2.
1.
Povr5lna
trougla
P
=
aha=
bh'=
ph".Odavde
je
odi
gledno P
=
]a
=
6b -
9c.Iz
dobijenih
relalcila izradunavano
i'
1
I
I
I
\
60
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 36/74
a
-P/5J
-P/6 L c
=p/9.Kakci
Je
b+c
=
p,/6+p/9
=
vp/LB+2p/L8
=
5P/L8<6P/L8=P/5=a,odnosno
b+c(
artakav
trougao
ne
posto_
Jr.
4.
Neka
je
D
podnoZJe
visine
iz
tenena
A
i neka
duZ
AC
ina
duZinu
Ax.llada
je
BC=2x
i
CD=x.Kako
je
AACD.\e.BCN
:
J
C
zaJednidki
i
*
col,=
*
nwc=9go,to
Je
AC:BC=CD:CN.Sredi_
vanjen
dobijene
relaciJe
inano
4x:2r=x:Csrodnosno
CN=V2.Ka
ko
je
A0=4xrto
je
AC=SCNrpa
je
AN:CN=/:1.
5.
Kako
Je
DM
simetral6
{ADB
to
je
AD:DB=AM:}IB.S1i
Eno
je
ND
sinetrala+ADCrpa
Je
AD:CD=AN:CN.DuZi
BD
i
CD
su
jednake(jer
je
AD
teZi5na
d.uZ)rpa
je
AD:BD=AD:CD
Eto
znadi
da
je
i
AM:MB
=
AN:N0rodakle
je
zbog
llalesove
teoreme MNIIS
6.
Neka je
D podnoiJe
hipote_
nuzine
vlsine
i
neka
je
AD=prED=q.Vi-
sinu
CD
oznadino
ga
h.lada
su
trouglo
vi
ACD
1
BCD
s1i6ni(dokaZi? )ra
kori-
ste6i
sllEnost
dobijamo:
AD:CD=CD:BD,
ili
q:h*h:p.Dakle bz=pq=9.t6,Eto
zna-
6i
da
Je
[=J.4=12
cn.Ostale
stranice
a .,:.Bc
lako
raEunano:a=20rb=l5rc=25cn.
PolupreEnik
kruga
upisanog
rr
AABC
ra
dunqno
postupkon
opisanin
u
VII-2.1O.
vrBina upisanog
kruga
Je
25Ju-
cn2.
7.
Ako
krug
upisaa
u d.ati
je-
daakobati
a.A.BC
dodi.ruje
strani.ce
u
tadkana
DrE
i Fronda
je
aACDcvaCSErza
to 5to
in
je
*
AcD
zajednidki
i
+CD"A.
=
*
CES=IOo.Iz
slidnosti
je
AC:AD-CS:
SE
ili
4O:24*h.r:r.Kako Je
l=J2 dobi-
ja
ee
Jednadina
40r=A4(tA*),odakte
je
64r=24.12
ill
r-l2cn.U
zadatku
VIf
l.8.izraEunat
Je
poJ.upreEnik
kruga
opieanog
oko
ABC:
R=25.
Po-Pr,
=
625 [-t44Ji*
48te
cn2.
8.
l{eka
je
S
centar
kruga
ko-
ji
Je
opisan
oko
AABCTD
podnoZJe
visi.
ne koja
odgovara
osnoviei
i
E
diJane-
tralna tadka za
tadtm
B.Kako
Je
*SCl
=
'if
BEA(kao
periferijski
nad
tetivon
AB)
i
*lOC=
+
BAE=9oo
to su
trougto-
vi
ACD
i
BAE
slidni,pa
Je:
BE:BA-AC
:
AD.Kako
je
BE=2p,4n=AC=a{-g/2
i
AD=q ,
to
je
zRa
=
5az/4.Od.avde
je
R-5lg
..
9.
Ako
tadku
u
kojoJ
sinetra-
la
ugla
na
osnovici lC
ec6e
nadpranni
krak
AC
oznadino sa
Dronda
su trouglo
vi
ABC
i
BCD
elidni(dokazi? ).Iz
g11-
dnosti
Je:
AB:3C=BCICD
ili
b:a-a:CD
.
Kako
je
6BCD
;ednakokrak
to
Je
BC-BO,
a
kako
je
AABD
jednakokrak
to
Je
dsE
ED=DA=a.Odavde
Je
CD=b-srn"
dobiJena
relacija
postaje
b:a=a:(b-a),
odnoEno
az=b(b-a)
=bz-ab.
slika
46
BC
slika
4/
D
slika 44
i
dobiJano
3= cn.Po
-
D
slika
4l
10.
T3e11g1ovi
MBC
i
l{AD
su slidnirjer
i.naju
zaJednidki
ugao
kod
tenena
l,I
i
+
PIBC=
d
MDA(kao
periferijskL
nad teti
-
vom
AC).Iz
slidnosti zaklju6ujeno
d.a
je
MB:MC=MD:MA.Iz
d.obi-
Jene
relacije
sLeduJe
traZena
relacija
MA.MB
=
I{C.MD
.
1.1.
$lidno prethodnon
zadatku
aMBC^raMA.C,
jer
in
je
*
t't
zaJednidki
i
*}{BC=
+.MCArkao
periferiski
ugao nad
tetivon
i
ugao izmedu tangente
MC
i tetive
AQ.Iz
stidnosti
zakljuduJe-
no
da
je
I4A:MC
=
I4C:MB
ili
MA.MB
=
MCZ.
12.
Kako
de
MC=torlE,M=10
i
JK
M
=45o,to
je i *
cAM=9oo
i
CA-19
cn(do-
kaii
?t).Na
osnovu
prethodnog
zad.atka
l,tc2*l,l*. MBrili
2oo=lo.MBrod.akle
Je
duZ
MB=2O
cnra
AB=10
cn.Kako ta6ke
ArB
iC
pripadaju
jednon
krugu
to
Je
aJegov
polupredoik
jednak
polupredniku
kruga
opisanog
oko
AABC.Kako
Je
AABC
pravo-
elika
lt8
62
6t
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 37/74
ugll
i kako
Je
nJegova
hipotenuza BC=lOrFrto
Je
R= {2
cn.
L7.
Na
osnovu
zad.atka
1I.
BC2=R2=CD.CA.fz-aABC
kori
ste6i
Pitagorinu
teorenu
dobijano
AC2=AB2+BC2=4R2*R2=5R2,
pa
je
AC=Ril9.
nane
co*n2:Rfi
=
R/{5rAn=ac-cD=RG
-
R/{E
.
Sleduje
da
je
AD:CD
=
(tl5
-
L/E)J/{i
=
42a
.
5o
Dobijano
jednadiau
3x
+
9Y
=
l24.Jednadina
neoa
celobroJaih
reSenJatier
je
leva
strana
deljiva sa
,ra
desna
nije.
4.
O
re5avanju
narednih
zadataka
koristino
slede6u
teorenu:
Ako
je
(xorxo)
Jedno
celobrojno
re5enie
iedna6ine
ar+by
=
cronda
su
nva
celobrojna
reBenja
d-ate
jednadine
de-
firoisaaa
relacijana
x
=
xo+bt
r
trr =
Yo-at
(t€Z).
a)
xo-1,yo.17
;
r
-
1+5t'
I
=
] 1-.7t
(tez)
b)
xoo46ryo-2
i
x
*
46+r9t,
y
=
2-2t
(tea)
c)
Ova
Jednadina
aema
reienja
jer je
leva strana
deLjiva
I
a
desna
nije.
d.)
Slidao:leva
strana
deljiva
ea
Vra
desna
niJerpa
jednadi
na
nena celobroinih
re5enja.
5.
Neka
je
x
broJ'no6i
u
kojina
je
Seherezada
prida
la
po
7$
broj no6i
u kojina
je
priEala
po
5
prida.
lEada
je
1x
+
5l
=
10o1.
Jedno
celobrojno
re5enje
ae
xo-5V7tyo=L,
pa
je
opEtere5enJex=,t2-5t
r
x
=
L
+Jt'pri
denu sux
i
y
ogranideni:
O-(
x-<7Vi
i
O(
y(
2OO.Tz
dobijenih
neied.nako-
.sti
zakljuiujeno
da
je
O-(t(
65'pa
jednadina
ina
67
razli
-
ditih
reEenia,ti.Beherezada
je
pride
nogla
ispridati
na
nai
viEe
6?
aadina.NaibrZe
se
to no6lo uraditi
kada
ie
y
naJve-
6era
x
nainarie;dakle(y=199
i
x=2)za
2ol-
d.an.Beherezada
je
za
pridaaje
nogla
utroFiti najviEe
737
darra(x=Jj2ry-L).
6.
Neka
su
xry i
z brojevi
grafitnih'henijskih
olo-
vaka
i
naliv
pera
koii su kupljeni.[ada
ie
x+y+z
=
1OO
rali
je
L
L./2x+y+Jv
=
lOO.Ako
od
prve
jedna6ine
oduzneno
drugu,r
dobijano:
UZx
-
42
=
O
ili x
=
Sz.Zanenom
u
prvu
dobija
se
y
=
lOO-9z.Kako
je
x+y+z=loort,o
x+z=9z(1oOrpa
je
z-(LL.Zsa
di
d.a
jednadina
ina
12
re6enja(vid.i
tabelu)
L4.
Ako
produZino
osnovicu
AB
preko
tenena
A
za
duiinu
CD
dobiJano
tadku
E.Dobijeni
BDE
ie
pravougaoni
Jer
Je
ACIIDII BD.Pravougli
trouglovi
ADE
i
ABD
su
sLiEnl(zaEto
? ).Iz eli
dnosti
dobijano
EA:AD-AD:ABr
odnoano
An2*AB.AE.AB.CD.
L5.
trouglovi
ABC
i
PQC
su sli-
dni(dokazatL
? ).Iz
sliEnoetl
zaklju
duJeno
da
je
AB:FQ=CD:CE.DuZ
AB=12
'
a CD izraduaavano
iz
povrline
ABC
i
iznosi
2P/a.=72:.L2=6
cn.Ako
stranicu
kvadrata
ozaadino sa
:ronda
dobiJeaa
relaciJa
poetaJe: l-2:r=6:(6-x)
odno-
A
"as
ga=f2-12x
ili
l8x=72.KonaEao
do-
bijanox=4cto.
,
sLika
49
slika
50
,.
,IEDNAcINS
1.
Neka
je
x
bloJ
dedakara
y
broJ
devoJdica'llada ie
lox+zb*L?o
ili
7x+2y=I?,a
odigledno
je
x15
i
y(
9'Kako
Je
2y
paranra l/ neparan
broJ to
}x
nora
biti
aeparaa
brojt5to
uo"li u.
Je
i
x
noparan.Dakle
xetrrl'll'Za
uodene
nredno
-
sti
xry
uzina
vrednosti
iz skupa
{
Zr+'f|
,pa
zadatak
j-rLa
5
regenJa:
(1,?),
(7
r4),(5'I).
2.
Zx+Jy
-
5V
(t46).Sli6no
pretbodnon zadatku
pqi-
rodan
broJ
y
nora
biti
Eeparan'pa
'ie
ye
|t}r>l'za
aavedene
vred.noeti
yrbroJ r
uzina
vrednosti:
xe{f4r9r4}
.
cl
/
N
P
/
o
1
2
,
+
5
6
7
8
9
10
L1
x=82
o I
16
24
72
40
48
56
d+
72
80 88
y=loo-gz
100
91
82
7t
64
55
46
v7
28
tg
10
I
6+
6'
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 38/74
7.
U
narednin zadacioa
treba s\raku
Jednadinu
posna
-
trati
u odredeaon
Lntervalu i
proveravati
d.a
li
dobijeno
16-
6enJe
zadovolJava
jednadinu(i
interval)
:
a)
Jednadiae
l2x-t+l =
6
pognatr+mo
u
intervalu
x(2
i
r)72
i
dobijano:-2r+4*6
s,e xl2rodnosno
2x-4=6
za x/Z.BeEenJa
date
jednadine
err
rlc-1r1t=5
.
b)
x(
4:
lx+L2=7r-L2rx=4,
x7.4t Vx'L2=1x-12
,
c)
x<O:
-2x+x=6
,
x=-6
rlO:
2x+x=5
1
z=2
it) x(-2:
":cs-2*8r
-2x=LOr
x
=-5
-24:(O:
-1+x-2=8n
R=9
x>/O:
r+x+z
=
81 2r=6
t
t
=
7
e)
x(,-1:
-e-1'*+1=2r,
4r=O
r
R
=
F
R=fi
R
={x: "}4}
.
n
=
{-e,a}"
,
=
{->,2\
.
-L(x(l:
x+L-x+L=2xr2x=2rB= I
o
.
x/L
x+1+x-1
=
2t
t
2z=22,
n
={r:
t>f,
.
t)
-1-9t
l-x-J+"*.1
=
't-lr
*+}="x-l
,
R
=
I
-l(r(-1:
lrrl+arl
*
tt-lr
-7x-)=-x-L,
R
=
0
r
-1(x(O:
'lx+r+zxl
=
x+lr
- xn=*+L,
x=-1
,
n-=i-fl.
O
(
r(5:
lx+V-Zxl
=
:r+1r
l":r=x+l
r
x=1
r
R
={
1l
.
x)27
lx+j-Zxl
=I*1r
r-V=z+I,
R-F
a-=
{-r,r}
.
s)B=ltrtt/zl
.
h)
n
=
{x:
r.(-5v
t>.ol
.
8.
Oslobadaajen
od
koreaa dobijaju
se
jedna6ine:
lx-71
=218=[r,f]
lzx*Sl
=
11
r
B
=
{-erl}
lx-21
-lx+l|
=11
,
a={-Z,e}.
S.
traZeni
skupovi
tadaka
prikazanl
eu
sLede6in
f,ornu
Iana(grafidki prikaz
dat
Je
na
slici
51):
fO x(O
a)
y
=
lrl
+
1,=
I
L2x
*7rO
)r)Ory)O:
X=x
i
x<Ory)O:
f
='O
i
:(Ory(
O :
O.y
=
O'x
(sve
ta6ke
kvadraata)
I
r)Ory(O:
r =O.
a)
b)
c)
slika
11
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 39/74
lxl
+
lyl
*
3
lx-al
=
ly-rl
za
x|,OrylrO
za
x(Ory)0
za
x(OrX(
O
za
xlOry(, O
za
xlt?ry).1
i
r(
2rX(
1
za
xl2ry)l
i
x22ry(,
1
J*-
=
L
zazlp
t
x-y
=-1
za
a.< l
f
x+7
=-1
za
r4-T
{**y=L
zax>-rr
(y*=L
zar(y
1"-r
=-t
za
a.>y
f
r+y
=
1
za x.>a
1**y
=-1
za
x(1r
10.
Seka
Je
Vtada
roden
ffi
vla-
d.a
6e
iqati
zOO]-iffi
god.inara
to
Je
Jedpako
l+ +x+y.Dobi-
jano
Jedaadiau:
20ol-(t9OO+fqr+y)
-
lOrx+y.posle
sre6ivanJa
jedaadina
fglaei:
11x+2y
=
gt.&ako
su x
i
y
cifre
to
su
oni
naaJi od lO.Ihko
Je
2y(
lsrzaklJudujeno
d.a
Je
1tx)
93-LA=?5
pa
je
x27|.Odigledao
x ne
noie biti
parnorJer
bi
tada
1Lx
+
2y
bilo
perao.S
druge
strane
x
nlJe
9
Jer
b-i
tada llx)
l
,
pa
je
x=/.lago
izradunavano
t*(93-??):2
-
8.
ylada
Je
rodea
1978.Sod.ine
i ZOO .godine
6e isati
1+9+7+8
=
Z@r-Ig?8
god.i
ll8o
11.
Odigledno
Je da
ge
svakin
udarcen
naEa
broJ
gla-
va
zoada
snaBJude
ili
pove6ava
za paran
broJrrako
Je
kod.
ra
5eg
znaJa
1987
glavarBa3-delik
nikakvon
konbinacijon
ud.ara-
ca ne6e
odse6i
znaJn
Eve
glave.llo
ee notre
po$azati
i
Jedna-
dinonr
(a-A)x+(+-r6)y+(o-o)z+(8-2)t
=
198?.eako
degna
stra-
aa
Jednabino
nije
deljiva
ea 2ra
leva
Jestc
to
data
Jed.nadi
na
lena
ceJ.obroJnih
re5enJa.
DRUSTTO
MATEIITATIEA&A
SR SRBI.IS
VGTISIJAV
ANDRIE
IIEIIEKO
IIJE
SnANISIJAY IAZARSVId
ZB IR TA
PRIIREMNIII
ZA}ATAKA
ZA MATEMAtsICKA
fAKI'IcNUA
1987.
GODINE
fx+y[
=
e{'*t=z
2s;7+y)2Q
(n+Y
=-2
za
r+Y(O
(ot=v
l'*+y
=
t
1-"-=r
\*-
=
I
ft
=
x-1
{v
*o*l
f)
t).o,y)rA:
lx-yl
x(,OrXlO:
l-*lfl
=l
-f,
r(,Ory(O:fy.*l
*I
x)OrI(O:
l:r+yl
-
1.
BEOGRAD,
1gg7.
69
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 40/74
rV
NAZBED
1. K@KA I
KIIADAR
1. Koliko
so
kvadrata
EoZc izbroJati
na
stranatsa
rrna
dareke
kocker
?
2. Zblr
duZina svih
iviqa
kocke
Je
2Ol
cn.Izra6unati
porrr5inu
i
zapreninu
kocke.
l.
[ri kocke ivice
e=1,
cn
elo-
ieae
su
kao
ns
glicl
l.Izraduaati
po
-
lpSiuu
i zapreminu
ovako
dobiJenog
te-
Ia.
4. Kada
ge
ivica
kocke
uve6a
za
I cnrponn5iaa
kocke se
pove6a
za
V66rcl#
Izra6unal
po\d5inu
1
zapreninu
kocke.
9.
Kol-iko kocki ivice
4
cn
troba
etaviti
jednu
pored'
drugerda
bi
se
dobio
kvadal
povr'Eine
752
cn'
?
5. Bazen
oblika
lvadrarstranica
a=lo ntb=2O
nrc*t Dt
aapuajen
de
2/7
vodon.Izradunaj
koliko
je
litara vode u
ba-
zenu
i koJu
porr5inu
baaens voda
ne kvasi.
7.
&ada
se
kvadar 6iJa
Je
$edaa
ivica
24
cm
r
podeli
a,
4
jednaka
dela
dobiJaJu
se
4 kocke.troliko takvih
kvadaa'a
ina
i
kolike su
in
PovrEiae
?
8.
Koli-ko
se
dasaka
duZine
4
nr5irine
,
dn
i
deblji-
n€
5
cnrnoie'natovariti
na
kanion
nosivosti
]
trako 1
nJ
da
ske
ina nasu
85O
kg
?
slika
L
F'
70
7L
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 41/74
t
p
I
li
i:
il:.'
i:it
t,
::
i
i
I
i'
l',
;
li
li'
ll
I
i
9.
Kvadar
je
eastavlJen od
12
Jednakih
kocki
dija
Je
ivica
5
cn.Kolika
je
povriina
tog kvadra ?
1O. Kocka ivice
5
cn
oboJena
je
cnrenon boJonra
zatin
je
isedena na
kockice
ivice
I
cn.Koliko kockLca ina
trirko-
liko
d.ve obojene
strane? Koliko kockica
nije uop6te
oboJeao
crvenoln bojon
?
lI.
Kvadar 6iJe
su
ivice
2
ar4
n L
8
nrina
zapreninu
jednaku
zapremini
kocke.Ko
ina
ve6u po\rf,ginu:kocka
iLi
kva-
d.ar
?
12.
Zaprenina
kvadra
je
616 cn]ra dgZine straaica
kya
d. a
su
prirodni
brojevi"Kolika
je
povr5ina
kvadra
?
11.
Ako
ee
zapremina koche
uve6a 8
putarkoliko
je
pu-
ta
uvecana
njeaa
ivica
?
14.
Gronada u
obl.iku kocke ivice
1 km
ieedena
$e
a
kockice
ivise
1
dn.Koekicana
je
popl.odana
staza
Sirine 1
n.
Za
koliko
bi
dqaa
takvu
stazu
pre6ao
biciklista
koJi
svakog
d.ana
vozi
I
dasova
i svakog
dasa
plelazi
po
4O kn
?
15.
Kocke
ivica
l-
cmr2
carJ
cn
i
4
crnrrazrezane
6u
na
kubne centinetre
i
od
njih
Je
eastavljeaa
kvadratna
pJ.oda
.
Kolika
je
povrSina
te
plode
?
2. RESAVANJE
PBOBTEI{SKIE ZADATAKA
l.
Ako
zani5lJeni-
broj
uve6ano
I
puta
i
novodobiJeni.
broj
uve6ano
za
Srdobijano
broj
SO.KoJi
je
broJ zani5ljen
?
2,
Otac
je
stariJi od
sina
za
24
godine.troliko
god.i-
na
ina
einrako
Je
pre 5
godina
bio
4
puta
nladi
od
oca
?
].
lbjka
ina
]5,a
k6erka
9
godina.Kroz
kol-ilo
godLna
6e
naJka
biti
,
puta
starija
od
k6e:r'ke
?
4.
Sad.a
Jc
otac
?
puta
stariJi od sinara
troz
tO
go-
dina 6e
biti
sano
3
puta
stariji.Koliko
god.irea
ina
sin
?
5.
he
J.O
godina
najka
je
bila
4
puta
stalija
od
siaa
a lcoz
10
god.ina
6e biti
sano
2
puta
starija.Koliko
6e
godi-
na
inati
ein
i
najka 2@0.
god.ine ?
6.
IeteLe
su
vrane.Spazile
Eu
grane.
Po
tri
vran.e
-
grana
viEe.
Po
dve nraoe
-
rrrana
vi5e.
Koltko vrana
?
Koltko
grana
?
7.
Razlika
dva
broJa Je
tLrkolidnik
4ra
ostatak
6.Ko-
ji
broJevi su u
pitanJu ?
8.
Na
gomili
Je
bio
izvestaa broJ
oraba.l{rarko
Je
uzeo
tre6inu
oraha
i
joB
I orah.ll:Llaa
Je
uzeo tre6iau
preoetalih
oraba
i
JoE
1 orahra
SoJan
takode
tre6iau ostatka
i
joF
Je
-
daa
orah.Koliko
je
oraha bilorako
je
BoJan
ostavio
5
or.aba?
9.
Darko
i
Goran
su, na
pijaci
kupili
5
lubenica
Jedna
ke teZine i
jedaake
cene.Darko
je
platio
lra
Goran
2
lubeni-
ce.llad.a in se
prikljuEi
MiSko
i
sva
trojica
zajedno
pojed.u
lubenicarpri.
denu
je
svakl
pojeo
istu kolidiau.MiEko
ostavi
za
svoj
deo
5
dinara
i
ode.Kako 6e
Darko
i
Goran
d.a
nedn
so-
bon
podele
taj novac
?
10.
U
jednoj
poeudi
i.na
dva
puta
viSe nl.eka aego
u
dru
goj.Ako
se
iz svake od.
tlh
posud.a
odl.ije
po
20 litara
nleka,
oada
6e u
prvoJ posudi
biti
,
puta
vi6e
nleka
aego
u
drugoJ.
Koliko
Je
na
podetkr:.
bilo
nleka
u
svakoj
od
posud.a
?
11.
Ako
bi
Caca
dala
l{aci
lO dinararobe bi
inale
jedaa
ke
sune
novca.Ukoliko bi
Maca
dala
Caci
20
di.Darartada
bi
Ca
ca
j.naLa
tri
puta
vi5e
novca od
Mace.Koliko
novca sada
inaJu
Maca
i
Caca
?
L?-.
Zbi-r dva
broja
je
lr48.Ako se
jedaa
od
nJih
umanJi
za 6lra drugi uve6a
za
89
dobiJaJu se
jednaki
brojevi.Odred.i
te
brojeve.
L].
Proizvod
dva broJa
Je
L92.Ako
jedan
od njih
uve6a-
no
za
4
dobija se
kao
proizvod
240.0
kojin brojevina
Je
red?
T"
7t
t.
?'bir
dva
broJa
ie
147.Ako
ve6en
od
njih
izbriBeno
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 42/74
14.
Grupa
izletnika ugovori
voinJu
autobuson
tako
d.a
evaki
od
aJih
plati po
60
dinara.Medutinr
izletuika
otkaZe
tako
da
gu
oetali norali
pLatiti po
8O
dinara.KoLiJro
je
iz-
letnika
poElo
aa
izlet
?
15.
Kollko
kllograna
paeulJa po
ceni
od L9O d.in.
tre
ba
poneEati
sa 10
kg
paeulJa
po
ceni od. 14O d.inaxarda
bi
se
d.obiJena ne5avina
prodavala po
ceni
od
l.?O
dinar.a
?
15,
U
boJleru
ge
nalazi
40
litata
vode
6iJa
Je
tenpe
ratura 4oo.tro1ito
litara vode
tenperatule
l4o
treba
doliti
d.a
d.obiJeno neBavinu tenperature
,Oo
?
17.
Grupa
uEeuLka
odludi
d.a
kupi
loptu.Ako
bi svaki
uEenik
dao
po
10
dinara
nedoetaJalo bi in
]O
dinara.U
sluda
ju
da svak da
po
12
diaara
preostalo
bi in 14
dinara.Koli-
ko
koEta lopta
?
18.
Jedan
posao
bL
rO
rad.nika obavilo
za 28
daaa.Ako
bi se
posle
lO
daaa uklJudilo
JoE
nekoliko radnika
dati
po-
sao
bi se zarrriio 6
dana ranije.Koliko
radnika
Je
nakaadqo
ukljudeno
u
posao
?
1 .
Majka
deli
Jabuke
svoJoJ
4""i.Ako svakone da
po
5
Jabuka
preteloru
JoJ
3
Jabutela
ako svakotne da
po
5
Jabuka
nedostaJu
dve
Jabuke.Koliko
ina
d^ecera koliko
Jabuka
?
20.
g
dvorlStu
pasu
koko5ke L
Jagaajcirpri
6enu
uoEa
vano
ukupno
l-OO
nogu
i
36
glava.Koliko
ina koko5akara koli-
ko
jaganJaca
?
,.
RAZNI
ZADACI
rJ
L.
Koliko
ina
detvorocifleaih
broJeva
diji
je
proi-
zvod
cifara
jednak
4
?
2.
Koriste6i
Eetiri
dvojke,znakove
raduaskih
opera-
ciJa
i
zagrade sastaviti
brojevni izraz 6iJa
de
vrednost
7.
cifru
Jedi.aica
d.obijeno
drugl
broj.O
kojin
broievina
Je
reE.
4.
Izradunati
zbir
prvih
1OO
neparnih
prirodaih
bro
-
jeva.
.
U broju
2?5t+867
izbrisati
tri cifre
tako da
preo
-
statak
bude:
a) najve6i
b) naJnanji
nogu6i broj
.
6.
za
koliko
se
razlikuju
najnanii Eestosif,reni i
naJ
ve6i
petocifreni
bloj
?
f.
KoJon
cLfron
ge
zavrSava
proizvod
prvih
1987
aepa-
rnih
prirodnih
broJeva
?
g.
Sta
je
ve6e:
zbir
iLi
proizvod
brojeva O'L'zrrr4
?
9.
Koliko
se
dobiJe
kada
se
4
d.esetice
ponnoZe
sa
se-
dan desetica
?
L0.
OdreditL
sve
prirodne
brojeve
koJi
pri
d.eljenju
sa
?
daju
koliEuLk
jednak
ostatku.
11.
U magacinu
je
bilo 6 ne6a
bra6na
teZine
22r27r26t
28129 i
11
kg.Dva
kupca
kupila
su
5
\rre6a.Jedan
od
njih
ku
-
pio
je
4
puta
vi5e
braEna
od drugoga.Koja
vre6a
je
ostala
ae
frodata
?
L2.
U
jedaon
rnesecu tri
6etnrtka su
bila
parnog
datuna
Koji
dan u
sednici
je
bio
29. dana u
mesecu
?
LV"
Za izvesnu
sunu
novca
noZe
se
kupiti 15
n
platna
'
Ako
platno
pojevtini za 2@ dinararonda
se
za istu sunu no
-
vca
noZe
kupiti
joE
I
n
platna.Kolika
ie
cena
platna
?
14.
Ako se
na
Jedan
tas terazj.ja
stavi
ciglara
na
dtu-
gi
tae stavi
4,/5
cigle
i
4/, ke vaga
6e
biti
u rarmoteZi.Ko-
liko
je
teEka
cigla
?
15.
Novdanicu
od
5@
dinara
razmeniti
u
novdaaice
6ija
je
vredDoEt
20 i
O
dinarartako
da
bude
16 novEanica.
Koliko
6e
biti
novdanica
od
2ora
koliko
od
50
dinara
?
16.
Dyaaaegt
hlebova treba
pod.eliti
na 12
licattako
da
75
svaki
dovek
dobije
po
2
hlebarevaka
iena
pola
hleba
i
svako
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 43/74
d.ete
po
detv:rtinu
hleba.KoLiko
u to$
gnrpt
ina
nuika:raca,ie
na
i
dece
?
l?.
Vlada
i
Nada
su
pre
1O
godina
inali(zajedno)
LO
godiaa.Koliko godina
6e
(zajedno)
inati
Vlada
I Sada
za
d.e-
set
godi.na
?
18.
Pravougaonik dije
eu
stranice
I
cn
i
,
cn
pode
-
ljen je
na
kvadratne
ceatioetre.Koliko
ee
na
dobijeaoj
sli-
ci.
noZe
uoditi duZirkvadr"ata
i
prayougaonika
?
19. Inate
sano dva
suda
:od
4
i
7
Litara.Kako
korie-
te6i
sano
ova
dva
suda
ea
derene
naEuti
ta6no
6 litara
vode?
20. Dat
Je
pravougaoaik
6iJe
su
stranice
4
cn :i.
9cn.
Razrezati dati
pravougaoaik
na
dva
dela
iz
kojih
se
noie
sa
staviti
kvadrat
.
21. Kocka
stranice
1
n
ead.nii
1OOO litara
vode.Koli-
ko litara
vode eadrZi
kocka
upola manJe
str.anice ?
V
RANED
1.
RAZIOMCI
1.
Sta
je
ve6e,
S
ui
2,
Upored.i
razlonke
1996
i
L987
fre
1987
1988
].
Poredaj
po
velidini
razlonke,
19
,19L2
,
191919
.
87
8787
878?8?
4. Sta
Je
ve6e:
ffi
ili
ffi
?
.
5.
Odreditl
raztonak
s ineniocen
lnkoji
Je
ve6i
od
f
i
nanji
od
t
.
5.
Da
li
postoJi
prost
broJ
p
takav
d"a
Je
ispuaJena
nejednatost:
br*r?
?
7.
od'r'editi
sve
razlonke
sa
Jed.nocifuenin
ineniocina
od kojih
Je
evaki
ve6i
od
?/9ra
nauJi
ad
g/9
.
8.
Odrediti
razlooak
Jednak
razlonku
5/9
taleo
da
je:
a)
zbir b:cojioca
i
inenioca
jednak
126
b)
razlika
inenioca
i
brojioca
jednaka &c)
proizvod
broJioca
i
inenioca
Jednak
4O5
.
9. @rediti
nesvodljiv
razlonak
tako
da
nu
Je
proi
_
zvod^
broJioca
i
inenica
Jedaak
55o
i
d-a
ina
konadan
decina-
Ian zapia.
10. Da
li
su
svi razlonci
diJi
je
brojilac
paran
broJ
a inenilsc prost
brojrneevodljivi
?
?6
169
predstaviti
tri
razlo
77
jo
ugao
aOb i na
njegovon
kralcu
Oa
tadka
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 44/74
;unai1fu:
***
(f
Pogledati
zadatke iz
teme
RAOIONAINI
SROJEVI(VI
razred)
Ll.
Razlonat
kao zbir
-
mka
sa
jednocif:reoit
140
lneniocina .
12.
Koristq6i
jednakost
nt"*)
=
+
-;fu
tr".
-
+
99hb6'
'
13.
Dokazati
jedaako"t
r
1 '
"
fi
*
,1
'
r.986.1987
1986
'L
14.
Jedan
dovek noZe
da
popije
bure
piva
za
21
d.an.
Alirako
nu njegova
Zena
ponaZe
onda
6e to
bure
piva popiti
zs
L4
dana"Za
koliko
d.aaa bi sana Zena
popila pivo
iz tog
bureta
?
15.
Bazen
se
jednon
slavinon
moZe napuniti
za
5
sa-
tira
dlugom
za 8 sati.hrn
bazen
se
noZe
isprazniti
Jednon
odvodnon
cevL
za
4
sata.Ako
se
istorreneno otvore
obe
sla-
vine
i odvodna
cevrkoji.
deo
bazena
6e
se
napuniti
za
2 sa-
ta?(1
2.
SII'TETRIJA
1.
Konstruisati
jednakokraki
trougao
ABC(
A0=BC
),
ako su data
tenena
A
i
Bra
tre6e tene
leZi ua datoj
pravoj
Pr
2.
Na
stranici
AB
proizvoljnog
trougla
ABC
odred.i-
ti
taEku
M
koJa
je
podjednako
udaljena
od stranica
ACiBC.
7.
Dat
je
proizvoljan
trougao
ABC.Od.rediti
tadku
M
koja
je
podjednako
udaljena
od
stranica
AC
i S i
Jed.nako
udaljenaodtenenaAiB.
4.
U
ravni su
date
proizvoljne
prave
arb
i
c.Odre-
diti
taEku
A
na
pravoj
a i taEku
B
na
pravoj
brtako
da
one
budu
sinetridne
u
odnosu Da
plavrr
c
o
5.
Dat
oEtar
A. Konstrisati
krug
koji
prolazi
lrcoz tadke
O
i
Ara
centar
S
je
na
kraku
Ob.
6.
Kg.oz
d.atu
tadku
A
izvaa unutra6nJe
obLaeti
datog
oStrog
ugl.arkoastruisati
pravu
p
koja
sa
lracina
gradi
Jedna
ke
uglove
.
7.
ladka
A
je
n
unutra3njojra
tadka
B
u epolja6nJoJ
oblasti
konveksnog
ugla.oilrediti
tadku
M
jednako
udaljenu
od
Icakova
datog
uglarpri
denu
Je
AM
=
BM
.
g.
Data
je
taEke
A
i
duZ
BC.
Konstruisati
krug
ako
Je
d.ata
duZ
S
njegova
tetivara
tadka
A
je
tadka
na krugu.
.
Konetruieati
bug
polupredniha
2 cn
koji
sadrii
da
tetadkeAiB.
lO.
Konstruisati bug
koji
dod:iruJe
krake
datog ugla
i
to
jedan
lnak u
datoi
taEki
4..
11.
Konstruisati bug
k
koji
prolazL ]coz
datu
ta6kq
A
i
datu
pravu
p
dodiruje
u
datoJ
taEki
B
"
1-2.
Odred.iti taEku
D
koia
Je
po<lJedaako
ud'aliena od.
d'a
tih
tadaka
A
I
Bra
od
ta6ke
C
ie
ud.aljena
4
cn.
1 .
Koastruisati bug
diii
ceatar
LeZi
aa d'atoj
pravoJ
pra datu
pravn
t
dodiruje
u datoJ
tadki
A.
14.
Data
Je
simetrala
e
date
duZi
AB
i tadka
C
u
istoJ
lsyai.Koriste6i
se
gano
ravuin
lenjirou
konstrui3i
tadhr
Cl
sinetridnu
Ba
C
u
odnosu
na datu
plavll
Bo
1 ,
Dat
Je
kvadrat
ABCD
i
tadka
M
vaa
nJega.Konstruisa
ti
pravu
p
koja
prolazi
kroz
alatu
tadklr
M
i nornaLna
jc
na
dijagonali
AOrkoriste6i
se
pri
ton
gano
ravnin
lenJiron.
16.
u
istoJ
ravni
date
su
prava
p
i tadkE
a
i
B(sa
Je-
drre
stlane
prave
p).@r€d'iti
tadku
M
prave
prtako
da
je
zbir
duZi
AM
+
BM
naJnauJi
nogu6
.
1?.
Dat
Je
o6tar
ugao
aob i
u njegovoj
unutra5nioJ
ob-
lasti
tadka
C.Na
laaku
Oa
odrediti
tadku
Ara
na krakn
0b
ta-
78
79
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 45/74
dku
B
tako
d.a
Je
obin
trougla
ABC
bude
naJnanJi
nogu6,
18.
Konetruigati
trug
koJi
prolazi
boz d.ate
tadke
A
i
B
i
d.odiruje
pravu
p
(pll
AB).
19.
Konstluieati
krug
koJi
tlodiruje
d.atu
pravu
p
r
a
d.ati krug
tr(Orjco)
dod.iruJe
u
d.atoJ
ta6ki
A.
20.
U
ravni
su
d.ate
tadke
ArBrOrD
koJe
ne
pripad.aJu
istoJ
pravoj.Konstruisati
toug
koJi
je
podJednako ud.aLJend
datih
tadaka.
3.
RAZ {I
ZADACI
1.
KoJe
od
g1ed.e6ih
figura
ee
nogura koJe
ne
Eogu
nacrtati
jednin
potezon
?
"xr
'b)*'d
frd)
M
l.
U parlru
se
aalazi
jezero
ea
tri
ostrva
ArBrC
i
g
nostova(sllka
J). loie
li
ee
po6i
iz
nekog
nesta
u
parkurobi
6i ceo
parkra
da
se
pri
ton
preko
svakog
nosta
preite
ta6no
jedau
put.
1.
fri
devojdlce
AnarBiljana
i
Verica
sa *ile
su
u
d.iep
svaka
po
jedan
prednet:gunicurolovku
ili
prs-
ten.Sta
je
koja
od
njih
salrila
ako
je
sano
jedna
od
sLede6ih
izJava
ta-
dna:
Ana
Je
sahila
gunicu
,
El.lJana
niJe
salri.la gunicurVerica
niJe
sa
-
lrila
prsten
?
4.
Od
tri
olovke(ozaadino
ih
slika
7
sa
ArB
i
C)jeaaa
Je
crvenardruga
be-
3.ara tre6a
plava.Koje
boje
je
koja
olovka
ako
je
sano
jed.na
ffi
od slede6ih
izjava
tadna:
A
Je
crvena;rB
nije
crvenara
O
nlJe
plava
r '
J.
ZbLr dva
prirodna
broja
je
288ra
nJihov
najve6i
za
jedni6ki
delilac
ia
75.O
koJin broJer4ina
Je
re6 ?
6.
Postoji Li
prirodan
broJ
kod koga
je
p:r.oizvod
ci-
fara
jed-nat
785
?
7.
Odrediti.
oajuaaJi prirodan
broJ
kod koga
je
proi
-
zvod
cif,ara
4rr
6OO.Da
Ii
postoji
naJvedi
takav broJ ?
8.
Prazna
polja
u
broju Lzr...,
popuni
tako
d.a
dobiJe-
ni
Sestocifreni
broJ bude ateLjiv sa
7rB
i
9'
9.
Odrediti
najnanji
prirodan
broj koiim treba
ponno-
Ziti
broj
3OO
da
bi se dobio
kub nekdg
prirodnog
broja.
LO.
KoJe
sve
figuro'se
mogu dobiti
kao
presek
skupa
ta
6aka
Jednog
o5trog
ugla
i
iednog
trolrgla
?
L1.
KoJi
ugao
Je
Jeilnak
tre6inl. svog
uporednog
ugLa
?
12. Razllka
uporednih
uglova
JFdaaka
je
polovini
oEtrog
ugla"
Dokazati
da
je
ugao konpJ.enentaD
sa o5tlin
ugJ.on
iednak
Eetvrtini
oEtrog ugla.
13.
Koliko ina
detvorocifrenih, brojeva
koJi
poEiaju
ci-
fron
2rzanniavaju Ee
cifron
4
i d.eljivi
su sa
9
?
14.
Koji se od
brojeva
90
i
LOO
noZe
na
vi5e
na6ina
pri
kazati.
kao
proizvod
prirodnih
broieva
?
15. Koji
prirodni
broJevi
funa{re tadno
tri deLioca
?
16. Iznedtu cifara
broja
98?65412L
rasporedi einboleR+rr
tako
da
dobijeni
zbir
bude
99.
17.
Dokazati
da
poetoJi
?
uzaEtopnih
sloiEnih prirodnih
brojeva.
18.
KoJi
je
broj
sledeCi
u
uizul
2rtr4r6t9tL4r22'...
?
19.
Da li
Je"nornalnoatpravihf
rei.acija
ekvivalencije?
2O,
Ako
Je
f(x-7)=2x-1
izraduaatl:
f(O)'f(1)'f(r)
.
80
81
.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 46/74
VI R.{,ZR8D
1.
SACIONALI{I
BROJXVI
l
1.
Koliko
racionalnih
broJeva
se
ineniocen
5
je
ve6e
od
-1ra
nanje
od
1
?
a.
Sta
Je
ve6e,
W
iri
ffi
?
7.
Kerko
Je
nogu6e
od
konopca
duZine 2/7
metna odreza
ti
L/2 Eetra
bez
upotrebe
netra
?
4.
Od.red.iti
dva broJa
diJi
je
zbir
-L/5
,a
kolidnik
U,.
5.
Racionalan
broj
-+/7
ie
nastao
slcea6ivanjeu
raci
onalnog
broja
diJi brojilac i
inenilac
inaJu
zbir
885.Izra-
dunal
prvobitni
racionalan broj
.
6.
Odrediti
skup
svih onih racionalnib
brojeva
diJi
je
ineailac
jednocifreu
broj
i
koji su
ve6i
od
-4/9ra
nanji
od.2/7
.
?.
za
kole
vrednosti
celog
broJa x
Je
i
+
takocte
x
ceo
broJ.
8,
Ako
je
x
racionalan
broJr5ta
je
ve6e
x iti
I
I
,
KazalJke
na
dasovniku pokazuju
9
sati.
Posle
ko
-
liko
vrenena 6e
se
one
prvi
put
poklopiti
?
lO.
Brzina
kojon se
biciklista
penje
uz
brdo
je
10
kn
na
satra
brzina
spu5tanja
je
15
knlh.Kolika
Je
duZina
uspo-
narako
Je
rnene
spuEtanJa
za
LO
ninuta manje
od vfenena
pe-
njanJa
uz brdo
?
11. Iz
punog
balona
distog
alkohola odlije
se
L/4
i
doli$e,'voda.Zatin
ponovo
iz baloaa
odliJeno
I,/7
i
d'o1l'Jeno
vodu.0g,Eg,treuutao
ina
viSe
u
balonu:
alkoboLa ili
vode
?
l' 1f,' Pet dedaka treba
da
podele
9oo
dinara
tako
d.a
pr
va
dvojica dobiju
2/1
od.
onoga
6to dobiju ostala
tri
deEaka.
Koliko
je.
dobio
gvaki
od
njihtako su
prva
dvojica svoju
su-
nu
podqllli
u
raznerL
2zJra
druga trojica u
razneri
22724 ?
trj.
Kada
Laza
potrolL
L/4
Evoga
nQvca
rVoJa
L/J
svoga
novca
i Vlada
L/2 evoga novca
ostanu
in
iednake
sune.Koliko
je
novca
inao
svako od
njibrako
ie
taza
potroBio
1O
dinara
vr-se
oo. YoJe
t
14. U
Skoli
je
bilo
24O
d.evojdica
i dedaka.Ako
polo-
viau
udenika Bkole
dine
7/5
devoilica
i
V/?
dedaka
,
koliko
Je
bilo
d.edakara
koLiko devojdica
?
1
L5. U
tri
cisterne
bi.lo
Je
ukupno
780
litara
soka. U
sluEaju
da
iz
prve
odlij
emo
L/[rLz
aiuge
L/5
i iz
trede
7/?
J
u
sve
tri
pisterne
bi6e
Jednake
kolidine
soka.Koliko
je
eo-
ka
u
svakoi
od
cisterni
?
\z
../
.
2O GDOMENRIJSKI
DOTAZ
1.
Oetiri
prtave
arbrerd
iste
navai
seku
se
u
JednoJ
taEkL i obrazuJu
osan
uglova sa razliEitin
unutraBnJin
obla
Etiua.Ato
uglove ozaadino
broJevina
lt2rV
r4tr
t6rTrB
dokaza-
ti
da
je
*t
+
*4
+
*?
<18Oo.
2. Ugao
pri
vrhu
Jednakohakog
trougla
de
l6o.Doka-
zati
da
Jedna
od
sinetrala
uglova
delt dati
trougao
na
dva
jedaakobaka
trougla
l.
U
pravouglon
trouglu
ABC na
hipotenuzi
AB
uodenc
Eu
tadke
M
i. N
tako
da
je
AM=AC
i
BN=BC.Dokazati da
de
ugao
2>
Pogledati
zadatke
iz tene
RAZLOMCI
(za
V
razred)
82
IvcN
jednak
45o
.
e1
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 47/74
4. Ako
Je
teZlsna
tluZ
trougla
Jednaka
potovini
odgova
raJu6e
stranioe
trougao
Je
pravoogli.
Dokazati
.
5.
U
pravouglon
trouglu
ABc
ta6ka D
je
podnoiJe
hipo-
tenuzine
visinera
tadhe
I i
F
eu
srediSta
kateta
AC
i
BC.Do-
kazati
da taEke
O'D'E
i
F
pripadaju
iedaon
lougu.
6.
U
proizvoljnon
trouglu
AnC
ta8ka E
je
ortocentar .
Dokazati da
je
+
AcB
-
+
ABH
+
{
BAE
.
?.
U ravni
su
date
;etiri razlidite taEke
ArBrc'D ta-
kne
da
je
ABJCD i
ACIED.NacrtaJ
sliku
i
dokaZi d.a
Je
tad.a
i
a0J-3c.
r
8.
U
trouglu
AB0
sinetrala
*
BAc sede stranicu
BC
u
ta6ki
D.Na
EtraDici
Ao'data
ie
tadka
E takva
da
Je
*cof
ie-
dnak
+
BAC.
Dokazati d.a
je
BD
=
DE.
9.
Kod
paralelograna
ABCD
aa lra6oi
diiagoaali
BD
da-
te
su
tadke
I,I
i
N
tako
da
Je
D {
=
SN.Dokazati
da
je
detvoro-
ugao
6iJa
su
tenena
tadke
ArNrC i
M
paraleloglan.
10.
Date
su
proizvoljne
prave p
i
S
koje
se
selnr u
ta-
dki
C.Na simetralaua
ugl-ova
pOq
i
SCp
d.ate
su
tadke
ll
i
N ta
ko
d.a
je
MNll
p.DuZ
tttN
s'e6e
pravu q
u taEki
D.Dokazati
d'a
ie
tadka
D
srediSte
duZi
M$.
lL.
U
unutra6njoj
oblasti
trougla
ABC
data
je
proizvo-
Ljna
ta6ka
M.
Dokazati:i
a)
*Apt32
'{AcB
b)
AM+M8<Ac+3C
"
12.
feiiSna
duZ
trougla
nanJa
Je
od
poluobina
trougla.
Dokazati .
11.
teZiina
duZ
trougla
nanJa
je
od
poluzbira
stranica
koje
polaze
iz
istog
tenena.Dokazati.
14.
U
jednakokrakon
trouglu
ABOrosnovica BC
produZena
je
preko
tenena
C
d.o
tadke
D.Dokazati
da
ie
}ABC
>
+ADC
.
15.
Neka
Je
S
centar
kruga
upisanog
u
trougao
ABC. Ako
je
o{>p>
6-
onda
ie
AS<BS <CS
.
Dokazati.
v"
RAZNI
ZADACI
.
I"
Koliko
re6enja
ina
Jednadina:
lx-)l
+14
=
5
?
2,
ReEiti
nejedaadiau:
lx+21
<
L .
t.
Ako
je
r
racional"an
broJoBta
ie
ve6e:
lr
+
2l
nfi.
lr-al
e
4.
U
jednoJ
Skoli
ina
8OO udenika"Dokazati d.a
bar
tni
udenika
Ekole
j"stsga
dana 61ave rodendan"
5.
U
SR
Srbijirprena
posled-ajen
popisu
u
5
t+12
nase
-
lda
Zivi 6
789
125
l-Judi.
Dokazati
da
postoJe
bar
dva
uasetr{a
sa
jedaakin
brojen
stanovnika
.
6.
Sta
Je
vqfs:
proizvod.
bLlo kojih
/
negativaih ce
-
Lib
brojeva
i11
zbir
prvih
6
prirodnih
broJeva
?
?.
Da
Lt
Je
ta6no
tvrdenje:
Ako
Je
lal
=
lbl
onda
Je
ia=b3
8.
Dokazati da Je
19871986+1
deljivo
sa
10.
9.
sta
ge
ve6e:
(-1986)1987
ili
(-19g?)19e6
?
LO.
Proizvod Eetiri ceLa
broja
ie
3O24.O
kojim brojevi
na
je
red
?
11.
Postoji
li
ceo
broj
diji
Jd
proizVbd
cifara
650
?
Postoji l-i
ceo
broJ 6idi
je
zbir
sifara
55O
?
12.
Ko}iko
trouglova
odreduju 1O
nekolinearnih
tadaka?
Lt.
I{a
koliko nadina se
nogu
4
udenika raznestiti
na
4
stolice
?
Sta
se deSava
ako
Lnano
5
stolica
?
14.
Konstrisati
trougao
AIC
ako su date
visine
h.=]cnt
bo.2r5
cm
i
ugao kod tcuana
A
iznosf.
600.
]-5.
Konetrul.sati
trougao
ABC
6tji
Je
obtn
LOcn
i koJl
i"ua
uglove:
#lAc=6oo
i
{ABc=45o
.
1,6.
Konstrul-Ei
pravougli
trougaorako
Je
njegova
hlpo
-
tenuza
cnra
katete
se razliksju za
I
cn.
84
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 48/74
17.
KoaetruiEi
jednakolcaki
trougao ako
Je
viEina
ko-
Ja
odgovara osnovicl
4
cnra
visina
koJa
odgovara Xralru
5
em
.
18.
KonstruiEi
trapez 6ije
su
osno?ice 6
cu i
4
cn,
a
diJagonale7cnL8cn.
L9.
Date
su taEke
MrNrP
i
duE
QR=4
en.Konstrui5i
de
-
tvorougao
ABCDrako
su
MrNrP
srediSta strani.ca
AB'BC
i
CDra DA
jednake
i
paralelna
sa
QR .
20. have a
i b
ne
getu
se u rarmi crteZa.KoastruiEa-
ti
pravu
o koJa
prolazi
leoz
datu taEku
M
i
preset pravih
a i
b.
2L.
Kroz
tadktr
S
unutar kvadrata
ABCD
konstrisane su
prave
a
i brtako da
je
elb.Ako
prava
a
sede
stranice kvad.ra-
ta u
taEkana
M
i
l{ra
prava
b
u ta6kana
P
i
Q
d.okazati dasrdu
ii
MIt
i
PQ
nedueobno
Jed.nake.
22.
Dat
Je
pravougaoulk
ABCD(AB>CD).seka
de
ta6ka
3,
sl.oetridna
6a
B
u
odnoau na didagonalu
A0
i
aeka
prava
A.B,
se
de
straaieu
CD
u
tadki
E.Dokazati
da
Je
AE
-
CE.
2t.
U
ronbq
A.BCD
ugao kod teneaa
I
ge
60o.Neka
Je
ta-
dka
na
ABra
N
tadka duii
S
i
neka
je
MB+BI{
-
.A.B.DokaZi
da
je
A
M$D
jednakobat
.
24.
U paralelogranu
AB0Drtadke
AlrBlr0lrDt
su
sredi
-
ita
gtraaica
ABTBCTCD
i
DA.hrave
DA,
i
8Ct
seku
pravu ABru
ta
dkana
M
i
S.
Dokazati
da
Je
MH
=
2/5
A\.
25.
U
pravougaoaiku
IECD
ta6ka
K
je
pod.noije
nornale
iz tenena
3
na dijagonaLu
AC.Ako
Je
t
srediBte
duZi
AK,II
sre-
d.iEte
stranice
CDrond.a
Je
*
BMN
=
9Oo.
Dokazati.
26.
Dat
Je
pravougaonik ABCD
i
unutar
njega proizvo
-
lJna
tadka
M.DokazatL
d.a
postoJi
6etvorougao 6i;e
su
diJagona
Le
nornalae i
Jednake
duZioa
AB
i
BC
i diJe su
stranice
jedna
ke
duZina
AM'BN{'CM'DM
.(3
(t
UdenicLna VI
razreda
preporudujeno
da
proude
i
IROCENII
iz
VII
razred.a.
VII RAZRED
1.
IR@EIVII
1.
tedaa
ktriiga
ie
za
6@ skupUa
od^ druge.Za
kol-i-
ko
procenata
Je
druga
fodtea
JevtintJa
od
prve ?
2.
Meso
je
ovib
dana
ponovo
poekupelo
za
25%.Za
ko-
liko
procenata treba
ananJiti
ceau
uesu
da
bi
opet
blLa
kao
pre
?
V.
Autobug
Je
poEab
iz
PeckerZivopisae
varo5ice
ne-
d.aleto
od Valjevargde
se svake
godine
odriava letnJa
Bkola
nladih
natenatidararaa
15
ninuta
zaka5njenJa.Zato
Je
pove
-
6ao
predvidenu
brzinu
za 2A6 sve
dok
niJe
nadolcnadio
zaka
-
SnjenJe.Za
koje
vrene
Je autobus
nadoknadio
zakaEnjenje
?
'
4.
Bazen
u
PetnicirizletiStu
Valjevaca
gd.e
se
svake
god.iae
reaLizuju
priprene nladib
natenatidara
SR Srbije za'
Savezno
takniEenJerpuai
se vodon
pono6u
ied4e
slavine.Ukoli
ko
se
slavina
deLiniEno
zatvorirprotok
vode
boz
nju se sna
nJi
za
z*fr.Za
koliko
procenata se
pove6a
vrene
potrebno za
punjenje
bazena
?
,.
Radna
organizaciJa
oKru5iku
iz
ValjevarJedan
od
polaovitel
Ja
nateuatiEkih
aktirmoeti
nlad.ih
matenatidara
SR
SrbiJeninala.
Je
u
prva
detili
neseca
preba6aj
proizvoduie
u
visiui
od
IO#.U
naredaa
Eetiri
nesecarzbog
godi5njih
odmora
nastao
Je
podbadal
proizvodaie
za
LJ%.Koliki
nora
biti
pre-
ba6al
proizvodnje
u
posledaJa detiri neseca
da bi
se
do
ba
ja
godine
reali.zovao
godiEnii
plan
proizvodnje
?
6.
U
radnoJ
organizaci
trViskozan
u
loznicirkoia
sva
ke
goillne
daJe
zaaEajan
doprinos
alrtivnostina
nl-adih
matena
tiEara
SR
SrbiJervredaoEt
proizvodaie
je
u
1985.godini
poea
poglavlje
86
87
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 49/74
sla za
2V%ra
u 1985.
godini
za
t&
u
od.nosu na
prethod.nu.Ko-
lika
Je
vrednost
proizvodnje
bila
u l984.godinirako
de
1986"
godiae
izaosj.la
7O2
nilijarde dinara
?
7.
MeFana
$armeladarproizvod
nPod.gorket
iz
Osedine
,
koju
svakog
leta
obilato
troEe
nladi
natenatiEari
u
PeckoJ
1
saatrii 6l#
suve naterije.Koliko
litara
6iste
vod.e treba
doLi
ti
u 12O kg
narneladerda
bi
ona
sadrZala
48S
suve
nateriJe
?
8.
SveZe
Stjive
koje otkupLjuje
ZenlJoradnidka
zadru
ga
u
PeckoJ-najve6i
snabdeva6
letnje
Skol_e
nladih
natenati
-
dararsadrie
84?6
vode.fo{+o
se suvib 6J.jiva
noZe
d.obi.ti
su6e
njen
315
tona
sveZibrako
suve
Eljive
sadrte
eano
|,8?6
vode
?
9.
It[ekara
u
Lajkovcu
evake
godiae
udesnicina
letaJe
Skole
pokloni
1@O
Jogurtarod
koJih
se
46
odEteti u
transpo-
rtu"Koliko
procenata
se neupotrebirako
udesnici
popiju
taEno
9]1
joeurt
?
10.
Mleko
u
prahurproizvod.
PIK-a
llb
koJe
porneneno
ko
riste
udesnici
Letnje
Ekol-e
sadrZi
801 suve
natetijera
prili
kon razbl-aiivanJa taj
procenat
se
enaaJuje
ta
L2?6.KoLiko
nle
ka u
prahu
treba
uzeti
d.a
bi
se
razblaEivanJen
<lobl.Lo
20
li-
tara nleka
?
11.
Obtn
gradevinskih
radova
poye6ad
ge
za
Eo-
liko treba
pove6ati
broj
radnikarako
a€
i
produttivnost
pove
6a1a za 2M
?
L2.
Ceaa
ulaznice
za bioskop
je
l.8O
d.inara.Kada
je
ce
na
ulaznica
snanjeaa broj
posetilaca
se
pove6ao
za
J@ra
gr
bod
za 2516.
KoLtka
Je
nova.
cena
ulaznice
?
Lr.
Sokovi
"Srbijanke"
iz
Vatjevarkoje
svake godine
u
velikin kolidinana
konzuniraju
nladi
natenatidari
u
PeckoJ
,
pojevtine
za
|4fi.KoLiko
sokova
se noZe
sada
kupiti
za
noyac
kojin
se ranije
noglo kupiti
sano 21t
sokova
?
14.
Ree su5enja
vlaZnost
Zita
Je
bLLa
ZV%ra
sad.a
izno
sL
LZ%,Za
koliko
proceuata
se
suSenjen
snanjila teiina
ZLta?
L5.
U
magacinu
je
bilo
1OO kg.Jagoda
koje
sadrZe
9L9$
yqds.Posle
izvesnog vrelrena
koltdina
vode ae
snanjila na
W
&olika
Je
teZi"na
Jagoda
aada
?
15.
Za
koLiko
procenata
se
pove6a
pgvrgiaa
}rradrata,
ako
se
ajegov
obin
pove6ao
za
4Vl
?
L7.
6ta
se
de6ava
sa zapreninon
lcvadrareko
nu
se
d.u-
Zina
pove6a
za
poveia za
ZO%ra
visiaa
snanji
ta -
Er,o
za
5O16
Z
18.
Konad
bronze teiak
7r5
kg
sadrii
721
bakra.
Kada
se
ovaj
konad. stopi
ea
drugin
dobije
se
LO kg broaze koJa sa
drLj.
?@
balca.Koliko
je
procenata
bakra bilo
u
d.rugon
kona-
du
bronze
?
z.
osNoys
KoMBrNAToRrm
(4
1.
Koliko se
detvorocifrenib
broJeva
noZe napisati
.kori66enJen eifana
Lrtrr{r?;ako se: a) oifre
nog111
ponavljati
b) cif,re
ne sogu
poaavlJati
?
2.
Koliko
ina 6etvorocifrenih
broJeva
dija
Je
prlra
cifra
paran
broJrdruga cifra
prost
broJrtre6a cifra
neparan,
a
detrreta
sloien
broJ
?
7.
Koliko
ina
desetocifrenih brojeva
6ije
eu
cifre:
a)sanoIi2t
b)
sve
nogu6e
cifre Or1r2
rVr4r5n6r?r9n9
?
t$.
I(oliko ina
trocifrenih
brojeva dije
su sve cifre
neparne
ako
se:
a) cifre
nogu
ponavliati
b)
cifre
ne
pona
-
vljaju
?
5.
Na
koliko
ee razliEitih
nadina
noZe
saEtaviti
qd.
sek
koji sadrii
?
uienika ?
6. Na
koliko
nadiaa
nogu za olrugli
sto
sesti
6 de-
vojdica
i
6 de6akartako d.a
nikoje
dve
osobe
isto6
poLa
ne se
4)
PoBIedaJ
zadatke
prebrojavanja(strana
1-2)
88
89
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 50/74
de
Jedna
do
druge
?
7.
u
sobi
ina
6
svetilJki.Na
koliko
nadina
nozemo
os-
vetliti
sobu(svaka
svetiljka
noZerali
ne
nora
svetHti)
?
8.
U
gradu
se nal.azi
/
senafora
sa
tri
sigaal.ne
boJe:
crvenarzuta
i zeLena.Na
koliko
raznih
nadina
u
svakon
trenu
-
tku
mogu
biti
rasporedena
svetla
tra aenaforina
?
9.
Sportska
prognoza
sadrZi
L7
parova.hogpoza
rezu
_
rtata
se
vr5i
pono6u
cifara
l12ro.Koriko
najnaaje
kor.ona
tre-
ba
popuniti
da
bi
bili
signrni
aa
iheto
svih
1}
pogod.aka
?
10. Na
polici
se
nalazi
lO
knjiga
od
kojib
su
5
matena
tidkog
sadrZaJara
5
iz
beletrietike,Na
koLiko
nadina
se
nogu
rasporediti
knjigerako
prvib
pet
nesta
zazj:lle,
beletristilra
?
11.
Iz
tadke
M
koastruisaao je
g
polupravih.Koliko
naJ
viSe
uglova
odreduju
date
poJ_uprave
?
L2.
U
rarmi
je
dato
9
nekolinearnih
ta6aka.KoLiko
duZi
trouglovardetvorouglova
i
lrugova
od:reduju
date tadke
?
Lt. U
odelenJu
VIf-}
nalazi
se 2J
uEenika.Na
koliko
na
dina
se
noie
izabrati
odeljenska
zajed.nica
od.
I
udenika
?
14.
Dat
Je
skup
A
=
ftrzrVr+]
.rotito
ukupno podskupo_
va
ina
dati
skup
?
L5. Na
Sabovekon
turniru
igra
se
po
sistenu
svako.
ga
svakin
i
odigra'ukupuo
L20
partiJa.Koliko
SahiEta
je
udestvo-
valo
na
ton
turniru
?
,.
RAZNI
ZADACI
r.
Dokazati
da
Je
z{V5
-
t{G
*
5ilG
-
zZ,IT
={l
.
2.
Dokazati
d.a
de
(A{5
- ,e6
+
J)
racionaLan
broJ.
1.
Decinalni
broJeve
]-rZAZez...
L
A,77r?
?...
p:rika_
zati
u zapisu
p./q
.
4.
rrokazati
d.a
Je
#iiracioaalan
broJ.
5.
Svaki
od
prisutntb
deEaka
ina
oaoliko klikera
koli
ko
i.na ukupno
dedaka.Koliko
deEaka
je
prisutao
ako
je
izbro-
Jaao
da
onL
svi zajedno
inaja
529
klikere ?
6.
Dat
Je
jednakoetranidni
trougao
ABC
i
na
ojegovin
stre-icana
AB'BC
i
CA
tadke
UrN
i
p
teko
da
Je
AM:M8=BN;NC
=
CP:Pl,=2:L.Odredtti
odaos
obina
i
ponr5ina
AABC
i
AMUp.
?.
Dat
Je
Jedaakokraki
trapez
diJi
je
krak
10
cnrugao
na
osnovicL
?5ora
jed,na
osaovica
dva
puta
ve6a
od. druge.Koli
ka
Je
povr5ina
trapeza
?
8.
Oko
}ruga
polupreEnika
2
cn
opisan
Je
Jednakolraki
trapez
povr5iae
2O
cma.
Odeediti
obin
i
stranice
trapeza.
9.
Vieina
jed.nakobakog
trapeza
jednaka
Je
hra
pornEi
na
trapeza
6e
nz.eod
koJin
ugl.on se
seku
dijagoaal-e
trapeza?
10. Data
Je
duZ
AB
i lqug
diJi
je
pre6nik
AB.Neka
je
C
proizvolJna
tadka
u
ravni
kruga.Dokazatl da ako
je
C
unutrq-
SnJa
ta6ka
kruga
tada
je
+ACB
tupra
ako
se
C
nalazi
izvan
buEa
tada
je
*
LCB
ogtar.
l'1.
Nad
stranicama AB
i
3C
trougla
ABCrkao
nad
predni-
ci.na koastruisani
su krugovi
kI i
k2
koji
se
setrnr u tadki
M.
Dokazati
da
su
ArM
i
C kolinearne
tadke.
12.
Dat je
krug
t(Or:r)
i
tadka
Artako
d.a
je
oA=2r.Izra
dunati
duZinu licuinog
luka
koji
se
vidi
iz tadke
A.
LV. U
pravougaoniku
A3CD
tadka
M
Je
srediEte
d"uii
ABra
E
je
presek
dijagoaale
AC
i duZi
DM.Odrediti
)
CED
pod
uslo-
vonABlB0=€:1.
14.
Tri
Eoveka
tleba
da
podele
21
posudu
sa
med.on(/
pu
aihrT
polovidnih
i
/
prazni6).Kako
to
d.a
urad.e
tako
d"a
svaki
od
nJih dobije
Jednaku
kolidinu
neda
i
jednak
broj
posuda
?
1 .
Ako
na
livadi
pasu
64
lraverone popasu
livaduza30
dana.Na istoj
livadi bi
35
}rava
noglo
pasti
60 d.ana.
gs11jo
go
krava
popase
llvadu
za
rS
dana?Koliko
daaa
bi
paslo
5O
krava?
91
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 51/74
16.
Na putu
od mesta
A
do negta
B autonobilieta
se
h'e-
6e
brzinon
od
40
kn"/bra
u
povratku
brzinon
od
OO kn/b. Kolika
Je
srednja
brzina
?
I?.
Nloie
li
porrr5iaa
trougla
biti
ve6a
od
IOO
enfako
eu
visine
trougla
nanje
od 1
cn
?
18.
MoZe
li
povrSina
trougl.a
biti
nanJa
od. I
enzrar.o
su
vi.sine
trougla
ve6e
od.
2
cm
?
re.
Dokazati
da
dt6ioJ
t1?? .rl??1.11?l9.ute86
a"r5io
sa
lo'Da Li
tvrdenJe
vaZi
i
za
tl9a7+2L987+V1987++L9a?
c
20.
Dokazati
d.a
Je
broJ
r2t4r6?B9LO1l....99roOtOt
stoZen
broJ.Da
li
je
on
potpun
kvadrat
?
21.
Kada
se
Jed.na
lvica
kocke
pove6a
za
lcnrd.ruga
sna
-
nJi 2a
1
cnra tre6a
ostane aeprotnenjena
zaprenina
kocke
sna
-
nji
ee
za
L2
"r].
Kolika
Je
povr5ina
te kocke
?
22,
Dijagonale
Etrana kvadra
eu
l5rvEi L
{fr cn.od,re-
diti diJagonalu
lvadra,
VTII
RAZRED
1.
FUNKCI,'S
1.
Ako
de
f(x)=x
odrediti f(f(f(f(1982))))
.
2.
Odrediti
funkciju
f(x) ako
Je
f(x+3)=2x-5.
l.
KoU.ko
je
e(f947)
ako
je
g(2x)=,-r+x
.
4.
Od.rediti
f(2)+s(t) ako
Je
f(x)+g(x)=rx+t
i r(x)
-
s(x)=x-1
.
Izradunati
f(O)
ako
Je
1f(x)+f(rx)
=
x+4
.
6.
Ako
Je
f(x)+lf(-x)
=
6x+L2
odrediti
f(r)
.
l.
Ako
je
za
svako reaLno
x
(rlo)
f(x)+2f,(Vx)-
jz
,
izraEunati
f(L) i f(2) .
8.
Data
Je
funkcija
f(x)=21-1.96rediti
realne
broje-
ve
x i
y
tako
Aa
je
f(f(x))=O
i f(f(y))=y.
9.
Data
je
funkcija
'f(x)=x+2.Odred.iti
funkciju
g(x),
tako da
je
f(g(x))=3x
.
LO"
Od.rediti
e(x)
ako
Je
f(x)=x+Z
i f(e(t(x)))= x-1
.
11.
Data
Je
.funkcija
f(xry)=(16+5ry-Z).Odrediti
f(7r5)
t(a-J,b+2)
i t(r(x,y))
.
12.
Ako
je
f(xry)=(2x+7yr4xa)
odred.iti f(1rA)rf(6rO)
t(f(1,r)) i r(r(x,y)).
1r.
nata
je
funkciJa
funkciju
g(x),
ako
je
f(2+g().;;
=
Jx-L
^
14.
od.red.iti
f(x)
ako
Je
za
6(x)=7x+2rg,(x2+x.e(x))
=
lxz+6x+5
.
92
9'
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 52/74
2. SHTEDNATOSII
1.
Bta
ge
yc6c:
a)
ev@
ttt
t2@
il
aoato,
LLL,oraoz
")
,r1l
ili
1?14
?
?.
A.ko
Je
x)O
on/r@-Je
:
+
*.r
r.
Dokazati
.
V.
ako
je
O(x.(a(I
onda
je
"
*
+ )a
+
L.Doka-
zatL.
x'
a
4.
Dokazati
ne
jed.nakost:
q
,
f#
.
2"
5o
Sta
;e
ve6e:
{-iffi$S ili 19sZ
?
6.
rokazati
da
Je
lE
.
*,FEE'
<
2{W
.
?.
Dokazati
nejed.nakost,
.*
*A
*
...
++
>
10
.
11
12
z
VrOo
8.
Ako
Je
x realan broJ
onda
Je ;ft;
-<
Va.
Dokaza
ti.
Kad.a
vaZi.
jednakost
?
9,
Ako
Je
*2*y2-( 2
onda
de
i
I
x+yt
<
2.
Dokazati.
10.
Dokezati
da
je
za
svako
real.no
r
ispunJeua
aeJe-
daakogt:
(x-r)(x-z)(x-l)(x-4)
+
1,oOO1'> O
.
11.
Ako
J9
x.reaLan
broj onda
za svako
x
vaii aeJe
-
dnakogtr'
7(r+x2+*)
)
(L*x+x212
.
tr2.
..Neka
su
a
i b katetelc
bipotenuzarh
hipotenuzina
visinarr
poluprednik
upisanog
krugarR
poluprednik
opisanog
Icruga
i
P povr5ina
pravouglog
trougJ.a.Dokazati
s1ed.e6e neJe
dnakoeti:
a)
"7
*
671
sv
c) c) 2{F
e)
s4a+b4c@
b)
a
+
b(c
+
b
d)
R +
n2t[fr
Ir.
Ako
su arbrcrd
stranice
detvorougla
ond.a
vaZi
ne
jednakoEt
P
r(
Va(aO
+
cd)
.
Kada
vaii
Jednakost
?
,.
RAZNI
ZADACI
l.
FuakciJa
f(x)
=
ax2+bx+c
za
svako
celobrojno
x,
uzina
rrrednosti
iz skupa celih
broJeva.Dokazati
d.a
su
tada
broJevi 2ara+b i c
takode
celi
broJevi.
2.,
Dokazati
Jed.nakost
E
*{7
*{F
E
*r[7
+rF-
+f5-
+
4
=
2-L.
1.
DokazatidaJe
1fu'**.
roort*;17=Eh.
4.
Dokazati
d.a
je
izraz
l/4(
llr-vl
+x+y-Zzl+lx-yl+
x+y+22)
jednak
naJve6en
od
broJeva xry
i z
.
5.
Odredlti
skup
taEaka u
koordinatnoj
ravni
za
ko-
ie Je
lr+yl(2
6.
Koliko celobroJnib
tadaka se
nalazi
unutar obla-
sti lxl
+
|
rl (
L987
?
7.
Milan
Je
krlplo dve
vrate olovki
6ija
Je
cena
18
i
19 dinara i
platio
ukupno
255
dinara.Koliko
je
koJih
olo-
vaka
kupi.o
?
8.
Dva
druga
leenu
notorciklon iz Val.jeva
prena
Be-
ograd.u.Prvi
je
polovinu puta
vozio
brzinon 40 b/h,
a drugu
polovinu
brzinon
50 q,/h.Drugi
notorbiciklista
je
pola
vre-
mena
putovao
brzinon
od
4O
kn/hra
drugu
poJ.ovinu
brzinon
od
60
h/h.
Ko
je
od
njib
prvi
stigao u
Beopad ?
9.
Otac
je
inao
dva sinartako
cla kada
se zbiru
nji-
hovih
godina
d.od,e
prolzvod
dobije
se
l4.Koliko
godina
inaju
njegovi
sinovi
?
10:
iledan
Eovek
Je
uenJao ze6eve
za
koko6ke.Za
svaka
drr?
zeca dobio
de
I
kokoEke.Svaka koko5ka
je
snela
onoliko
jaja
kollko
iznogi.
tre6ina
broja koko5ki.dovek
je
p:eodao
ja
Ja
tato
da
Je
za svakib
9
jaja
uzeo onoli-ko
dinara
koliko
kokoika
snese
jaja.Koliko
je
bilo
koko5akara
kol.iko zedeva
94
9'
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 53/74
ako
je
dovek
zaradio
72OOO
dinara
?
11.
Odrediti
prirodne
bsoJeve n i n ako
je
ispunJena
slede6a
Jed.nakost,
no
* .t*1
*
to*2 *
tt*7 * to*A
=
1984
.
L2.
Dokazeti
ita
je
a'+L
=
(a+t)(a2-a+1)
i zatin
doka
zanL
identitet
iskoristi
da
dokaZe5 da
Je
8n+1
sloZea
broJ
u
slu6aju
da
je
u
pr5"rodan
broJ.
LV.
Da
1i je
broj
21986*1
prost
ili
sloZen
?
14.
Odrediti ce1obrojna
riEeada
Jednadina:
a) t2*q+y2=1
b)
2x2+2ry+Y?-2
c)
*2*
v2
+
(x+Y)2'
2
d.)
x2+
zry
-
7t2
=
t
L5.
Ako su
arbrcrd
pozitivni
realni
brojevi
i
ako
ie
a4*b4*"4*d.4
=
tlabcdronda
je
a=b=c=d
. Dokazati .
16.
U
skupu celih brojeva
re6iti
jednadinet
a)
*2
-
y2
-
r98?
b) t2 *
Y2
=
L987.
L?.
hoj
111...111
Je
deljiv
ea
41,
Koliko
jedinica
sadrZi
d.ati
broi
?
18.
Dat
Je
troj 1-On-1
. ?a
koje n
je
d:iii
broj
d.elJiv
sa
7o9
't
L9.
Dokazeti
da
Je
193r.1986.1987.1988
+
I broJ
koJi
predstavlja
potpun
kvadrat .
20. Neka su
D
i
E
podnoZJa
visina
ila i
hb
u
proizvo-
LJuon
trouglu
ABC.
Dokazati
da
Je
AC:BC
=
CD:CE .
2L.
U
lcugu
sa
ccntron
u taEki
O
upisan
je
detvoro
-
ugao
ABCD,tako
da;ie
#AoC
=
4+BCA.Ako
je
ta6ka
E
prese
*
daa
ta6ka
dijagonala
AC i
m
onda
Je
BC2= BD'BE"Dokazati.
22.
Dat
je
paralelogram ABCD.Prava
p
odseca od
AEti
AB
jedau
tre6inura
od
stranice
AD
Jednu
detrntiaurra6unaJu6i
od
tadke
A.U
kon od.nosu
prava
p
deli dijagonalu
AC ?
2r,
I'rica
kocke
je
a=8 cn.Izrqdunati
povrEinu
f.ika
koji
nastaje
ako kocku
preeedeno
sinetrijskom ravni
prosto-
rne dijagonale
.
24.
Dijagonale
strana
kvadta
su l5r{48L
i
V5++.fo-
lika
je
povr6ina
datoga
kvadra
?
25.
Neka
Je
t(x
+
*) =
*2*
L,
+
L98?
.odrediti f(1)
f(a)ir(x).
-
x
x'
26.
Cetiri
ivice otvorene
posud"e
u obliku
kocke
su
nc,anute
prena
horizontalnoj
ravni
pod.
uglon
od
7Oo
.
Koliko
najvi6e
te6nosti
sroZe
stati
u
posudu(u
ton
poloZaju)
ako
je
duZina
ivice
kocke
a
,.
6
';n
'l
27.
Od
IOO
novdi6a
jedan je
laZan i zato
je
lak5i
u
odnosu
na
ostale.Koliko najmanje
nerenja
na terazijama
bez
tegova
noratuo
izvrFiti
da
bisno
odredili
koji
je
novdi6
la-
Z,an
?
28.
ako
Je
*'*
L,
=
1/4
koliko
Je
x
+
l
?
x
'
29.
Od.rediti
sve
trocifrene
prirodne
brojeve
koji su
delJivi
sa
/rdije
su cifre razlidite
i diii
je
zbir
cifala
d.elJiv
sa
7.
Vo.
Bta
5e
va6e
?
a)
,'o7
LLL 2454
b) 1984.L986'L9se'199o
ili
Lg8?4
"
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 54/74
\
DRUgTVO
MATEMATIEATA SR
SRBIJ3
REPUBLICKA
KOI{ISITA
ZA
MI,ADE MATEMATIdARE
IZ
OSNOVNIE
SKOId,
ZBIRKA
RISENIH
ZADAIAKA
sA
TAKMT0ENJA
rlIADrH
TqATEMATToARA
tz
osNovNrH
Sror,l
sR
SRBIJE U
1986.
GODINI
RTJDAKTCR
voJrsrAv
lmon16
BEOGRAD, 1987.
99
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 55/74
Sxor,sxo rAKMreENrEvtr#,fffttKE
rs.
rr re86.
I. Koliko
ima
detvorocifrenih brojeva
6iji
je
zbir
ci-
fara
jednak
3?
2.
Vrednost izraza
a-b+c=I986.
Ako se
svaki od
brojeva
a,bre
umanji za 986, kolika
Ce
biti
vrednost datog
j_zraza
za
a-b+c?
3.
Ne
vrleCi mnoZenje utvrditi poslednje
dve cifre pro-
izvoda
prvih
deset
prirodnih
brojeva.
'
4.
Janko
i Marko
reEe da kupe
jednu
zbirku
zadataka.
Jan-
ku
nedostaje
16
dinara,
a
Marku
4
dinara za tu zbirku.
Zbog
toga
odluEe
da zblrku
kupe
zajedniEki.
MedJutim,
ni
tada ni-
su imali dovoljno
novca,
jer
su im
nedostajdla 2
dinara.
Ko-
Iiko ko3ta
zbirka
zadataka?
5. Nacrtati
tri
duZi
koje
imaju
zajednidko
srediSte,
a1i
ne-pripadaju
lstim
pravin.
Koliko
je
najviSe pravih
odredje-
no k::ajnjirn
tadkama
tlh
duZt?
V
RAZRED
I.
U
jednom
razredu bilo
je
35
uEenika
od
kojih
su
20
dlanovi
matematidke,
a
1l
dlanovi rukometne
Bekcije. Koliko
se matematibara
bavi i
rukometom, ako se
zna
da t0
udenika ni-
je
nl
u
matenatiEkoj ni
u rukometnoj
sekciji?
too
2.
Izvodjall
sletske
veZbe
do5lt
su na
slet
postrojeni
u
Eetiri
jednake
kolcne.
po
zavr5etku
ve7be
lzvodjadl
su se
pre-
1Ct
3. Hipotenuza pravouglog
trougla
I
teiilna
duZ
t
koja
joj
odgovara grade
ugao
od
600..
IzraEunati
oblrn
1
povr5inu
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 56/74
strojill
u 6
jednakih
kolona.
Ko1iko
je
bilo
izvodjada
sletske
vezbe,
ako
se zna
da
je
njihov
broj
vedi od
gO,
a manjl
oil 902
3.
Prillkorn
nnoZenja
dva
broja
uEenik
je
umesto
cifre 4
na
nestu
jedinica
jednog
od Einil"aca napisao cifru
t.
Zato
je
umesto
proizvoda
1190
dobio proizvod
f085.
Koje brojeve
je
u-
Eenik trebao
da
pomnoZi?
4.
Jedan ugao
je
veCi
od svog komplementnog
ugla
isto to-
liko
za koliko
je
veCi od
svoje petine. Koliki
je
taj
ugao?
5.
Sta
sve moZe biti
presek dva
o5tra
ugla?
Nacrtati
sve
mogude
figure
(sludajeve).
.
VI RAZRED
1.
proizvod
tri
uza.stgpna parna
prirodna
broja
je
26gg.
Odrediti
te
brojeve.
2. Proizvod
dva
broja je 1350, a njihov najveCi zajedni-
dki
delllac
je
15.
Odrediti
o
kojirn
brojevima
je
reE.
trougla
u
funkciji
od
tetiEne
duZl
t.
4. Tri podudarna
kruga polupreEnika
r=30
cm
medjusobno
se
dodiruju.
Odrqdlti
povrSinu
ddla
ravni
lzmedju
tih krugova.
5.
U
krug
poluprednika
r=10 cm
upisan
je
jednakokrakl
trougao
ABC
Eijl-
je
ugao
pri
vrhu a=30o.
IzraErnati
povr5lnu
t,og trougla.
VIIT
RAZRED
I.
Razlika kvadrata
bilo koja
dva neparna
broja
je
de-
ljiva
sa 8. Dokazati
2.
Sta
je
vece.
21986
ili o:33r;
3.
Oko
jednakokrakog
trapeza
Elje
su osnovice
a=I5
cm i
b=12 cm,
a visina
jednalca
srednjoj liniji
trepeza
opisan
je
krug.
Odrediti koliko
procenata
povrgine
kruga.zauz.ima
trapez?
4. Odrediti sve
parove
brqjeva t L g za koje je ispunjen
sieaecr
qsrov:
t2-6r+.192-t)2+g
=0.
5.
Kvadar
ima zapreminu
336..*3,
"
dlrnenzlje
su
mu
trl
uzastopna
prirodna
broja.
Odrediti
povrElnu
tog
kvadra.
3.
od
r3?o
4.
SLmetrale
unutra5njih
uglova
a
i
B
seku
se
pod
uglom
Dokazati
da
je
taj
trougao
pravouglj..
Sta
ie
.,ece
l$Nf
iri
ffie
5. Dat
je
proizvoljan
konveksan
ugao o
i proizvoljna
pra-
va
p
koja
je
normalna
na
srmetrali
ugla o.
Dokazati
da prava
p
na kracima
ugla
o
odseca
jednake
duZi.
VII RAZRED
l.
Ako
se
brojiJ.ac
razlonka
poveda
za 4.O*,
a imenllac
poveda
za 252,
za koliko
I
se
poveCa
vrednost
razlomka?
2. 961
kg
SeCera
upakovan
je
u.vredLce
tako
da
1rna
ono-
liko
vredica
koliko
kilograma
SeCera
staje u
svaku
vreCicu.
Odredlti
u koLiko
vreClca
je
upakovan
Ee6er?
l_02
LO?
V
RAZRED
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 57/74
opsTrNSKo
raxuilnrErn
rz
MATEMATTKE,
l.rrr
1986.
coD.
rV RAZRED
1.
Ko"liko
clfara
se upotrebi
za
ispisivanje
svih
prirod_
nih
brojeva
vecih
od
50
i manjlh
od
r50?
Koriko
se
sedmica
pri
tom
ispisivanju
upotrebl?
2.
Ml$a
i
Zikica
su pre
nedelju
dana
imaLi
jednake
sume
novca.
Do
danas
je
uisa
zaradio
j.oB
f9g5
dinara,
a
Zikica
je
potroEio
1380
dinara.
Sada
laiEi
lma
tri
puta
vise
novca
od
Zikice.
Kollko
novca
trenutno
ima
svaki
od
njlh?
3. Branka je
mnoZeCi
dva
broja
dobila
proizvod
19g6.
Ka_
da
je
jedan
od
binilaca
uveCala
za
4,
a drugi
ostavila
nepro_
menjen,
dobila
je
proizvod
3310.
Koje
brojeve
je
mnoZila
Branka?
4.
Kvadrat
I
pravougaonrk
su
dati
sledeci.m
uslovlma:
zbir
stranica
pravougaonika
je
13
cm,
a
njihova
razlika
je
5
cm.
povrEina
kvadrata jednaka
je
povr5ini
pra_
vougaonika.
Odredltl
ko
od
njih
i_
ma
veCi
obln
i
za
koll_ko?
5.
Koliko
duZl
i koliko
tro_
uglova
sej
moZe
uoEitl
na
datoj
s
11c1.
i
l.
U
Eetvorocifrenom
broju
*
I
I
*
umesto
zvezdlia
sta-
vitl odgovarajude
clfre
tako
da dobijeni
brqj
bude
deljlv
sa
36.
Odrediti
sva
moquCa re5enja.
2.
Zblr
ugla a
i
njemu
uporednlh
ugrlova
je
gfZ.o.
Odredi_
ti ugao
a
i
njemu
uporedni
ugao.
3. Odrediti sve vrednostl prirodnog broja
z
tako
da
je
ispunjena
nejednakost,
t
.#=
i.
4.
Svlh
10
cifara
su elementi
nekih
od skupova
A,BrC.
Od_
rediti
skupove ArB,C
ako
su
ispunjeni
sledeCi
uslovi:
I)
.anB'1C=t
^C=
10,-]
2) anC=
10,2,31 3) In6=
{0,3,9}
4l
A\B={4,5J
5)
B\l='{r,2,'t}.
rl
5.
Oko
okruglog
stola
treba
rasporeditl_
trodlane porodice
(muZ,
lena,
dete);
tako
da
budu
ispr:njenl
,'sledeCi
uslovi:
il,)
Na krajevima
lstog preEnika
(dliametralno
suprotno)
sede
ii.i
dva
mula,
ili
dve
Zene,
i]i
dva deteta.
2)
tlanovi
svEke
porodice
sede
jedan
do
drugog
(na
gri
sused-
na
mesta)
3) Dve
osobe
l-stog pola
(dve
muEke,
ili
dve
Zenske
osobe) ne
mogu
sedeti
jedna
do
druge.
Nacrtati
traZenl
raspored
sa
najmanjJ_m
brojem
osoba.
VI
RAZRXD
1.
U jednom
razredu
bllo je
32
udenika.
Na
testu iz
mate-
mateike
fvan
je
potpuno
taEno
uradio
svih
9.
datih
zadataka.
Do-
kazati
da
u tom
odelenju postoje
bar
4
uEenlka kojl
su
re5ill
isti broj
zadataka.
)
r.-
(2.)atco
se
broj
1000 podeli
nekim
brojem
ostatak
je
g.
A-
ko
se
900
podeli
istln
b.r6jem
onda
Je
ostatak
1. KoJtm
brojem
smo dellli
brojeve
f000
i
900?
3.
Razlomak
ffi
nrit
az.tl kao zblr
tri
razLomka
sa
jed-
nocifrenim
imenioclma.
105
VIII RAZRED
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 58/74
negenje
obrazloZl.
4.
KonstruisatJ.
trougao ABC
ako
su
dati
sledeCi
elemen-
ti:
stranica
CB=a=6
cm,
ugao
s=4BAC
=75o
I vislna CD=hc=
cn.
5. Dat
je
jednakokraki
trougao
ABC
(AB=AC).
Na
pravoj BC
izabrana
je
taEka
D,
tako da
je
C
izmedju
B
i
D.
Dokazati da
)e
AABD
>
uADB.
VTf
RAZRED
I. Za
25
klikera
plaCeno
je
onoliko
dinara, koliko kli-
kera
se moZe kupiti
za
10000
dinara. Kollka
je
cena
jednog
k1i-kera?
2.
Na
krugu
poluprednikd
r
uoEen
je
luk
dija
je
duiina
jednaka
polovini
poluprednika
(L=r/2).
U
funkciji
od
r.
izradu-
natoj
povrEirru
odgovarajuCeg
kruZnog
iseEka.
3.
Stranica pravilnog
mnogougla
je
tO
cm.
KoLlki
je
obim
tog pravilnog
mnogougla,
ako se zna
da on ima
252
dijagonale?
4.
DuZina
polupreEnika
kruga
upisanog
u romb
jednaka
je
detvrtinl
dutihe
veCe
dijagonale
ronba.
Dokazati
da
visine rom-
ba koje
prolaze
kroz krajnje
tadke
danje dijagonale
dele
veCu
dijagonalu
na tri
jednaka
de1a.
1. Data
je
funkclja
f,(c)=o2-r.
Odreditl
f(f(a+r11.
2.
nko
ie
a2+b2-2(bc+cd.+da-c'-o'r=o'
onda
ie
a=b=c=d..
Dokazati.
3.
Dat
je
trougao
ABC
t,I)a
je
osnovlca AB=24
cm
i
visina
CD=I6
cm.
Prave
n.n i p
su
paralelne
sa
.48
i
dele
visinu
CC'
trougla
ABC
\a
Eetiri
jednaka
dela.
Odrediti
povriine tako
do-
bijenih
delova trougla.
4.
Oko lopte
polupreEnika
r
opisan
je'valjak
(baze
valj-
ka
dodiruju
loptu,
a omotaE
valjka
i lopta
se
dodlruju
po
je-
dnom
krugu). Dokazati
da
je
razmera
povr5ina
ovih
tela
jednaka
razmeri
njihovlh
zapremina.
5. Data
su
tri
podudarna
kruga
polupreEnika n=6
cn
tako
da se ma
koja
dva
medjusobno
dodiruju.
U
prostor
iznedju
da-
tih
krugova upisan
je
krug
koji dodiruje
sva
tri
kruga.
Oko
datth
krugova
opisan
je
krug koji
dodiruje
sva
tri.
data
kru-
gar
Odrediti
povr5inu
kruZnog
prstena
koga
6lne
opisan
i
upi-
san
krug.
5. Katete
Krug
upisan
u
taEkama
M, N
7
a) Dokazati
da
je
AM=AP
i
BN=BM.
b)
Izra6unati
poluprednik
kruga
upisanog
u
trougao.
c) Dokazati
da
je
rastojanje i.zmedju
centra
upisanog
kruga
centra
opisanog
kruga
jednako
/5
cm.
pravouglog
trougla ABC
s
AC=6
cn
i
BC=8
cm.
trougao
dodiruje
stranLce t.rougla AB,
BC
i
C/
u
D
Ldl
V RAZF,ED
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 59/74
MEDJUOPSTINSKO
TAKMIEENJE
TZ
MATEMATIKE
22.III
1986.
GOD.
IV
FAZRED
I.
De5lfruj
sledeCe
mnoZenje
*
*
4.2
3
*
tako
Sto
Ceg
umesto
zvezdica
sta-
* *
2
4
vlti
odgovarajude
cifre
tako
da
nnoZenje
bucle
potpuno
tadno.
l.
Pravougaonu
plodu
dlje su ai*.n"fi.2310 cn
i 3630 cm
treba
razrezati na
najveCe
mogude rnedjusobno
jednake
kvadrate.
Odrediti stranicu tog kvadrata
i
koliko
ima tih
kvadratnih
plo-
Ea?
2.
Zbj-r
tri broja
je
60.
Ako se
.uporedi
polovina
prvog,
tredina drugog
i
petina
tredeg
onda
su svi
ti brojevi
medjuso-
bno
jednaki.
O
kojim brojevima
je
reE?
3.
Koje godine
je
rodjen
deda
Mile ako su
poznati
sledeCl
podaci:
Deda
Mile;e
rodjen
u
ovom
veku. Ako u
godini
njegovog
rodjenja zamenimo
mesta
oLfrl,
jedinic€l
I ciffi desetica
dobija
se
godina
u ikojoj Ce deda
Mile napuniti
81.
godinu
Zivota.
4.
Date
su
paralqlne
prave a
i
b.
Na
pravoj a
date
su
ta-
dke
1,
B,
C, D, E,
a
na pra\roj b
ta6ke M,
N|
P
i
S. Koliko
du-
Zi
i
koliko
trouglova
odiedjuju date
tadke.
5. Data
je
prava p
i taEka ,4 kbja
je
od
prave
p udaljena
3
cm.
Konstrulgi
krug k koji prolazi
ktoz ta6ku
/;
dodiruje
pravu p i
ima
polupreEnik r=2
cm,
VI RAZRED
,"i.
Zbir tri
broja
je
1455.
Ako uporedimo
treCinu
prvog,
petinu
drugog
i
sedminu
treCeg broja
dobijaju se
jednaki
bro-
jevl.
O
kojlm brbjevLma
Je
reE?
2. Bola
je
dugovao
Mirl
neku
su.mu
novca.
VraCanje
duga
je
-izvr5eno
na slededi
nadin:
Prvo
je
vradena
I,/4
duga,
zatim
4/9
ostatka
i
jo5
640 dinara.
Posle
toga
BoZa
je
dugovao Miri
1oE
3/20 duga. Kolike
novca
je
BoZa
dugovao Miri?
3.
Odrediti sve
proste
brojeve
p,
takve da
je
i broj
p2+t3
takodje
prost broj.
Dokazati
da
ne
postoji
v1-Ee
re5enja.
4. Dat
je
trougao ABC.
Prave
b
i
c
su
simetrale
Fpoljas-
njih uglova trougla kod
temena..8
I
C.
Iz
tadke
I konstruis4ne
su
prave
plb
i
qIc.
Prave
p
i
q
seku
pravu
odredjenu
tadka-
ma
BC
u
taEkama
M
i
/ll. Dokazati
da
je
iluZ
MIV
jednaka
obimu
trougla
/8C.
1***
l***
*I****
2-
zorLca
je
pranirala
da
u
toku
sledecih
nekoliko
dana
svakog
dana
uradi
po
15
zadataka.
MedjutJ_m,
ona
je
svakog
da_
na
radila
po
3 zadatka
vi5e tako da ioi i. ostafl a" n""i"U-
nia
tri
dana
svakog
dana
re5ava
..*o
no
4
zadatka.
XofiXo
i"
zadataka
planirala
da
uradi
Zorica?
3. DuZina
duri AB
je
za
2
cm
veCa
od
duZine
duZi
Cr.
A_
ko
se dui
CD
uveCa
trJ.
puta,
a dul
AB
uve6a
za l0
cm, dobiju
se
jednake
duIi.
Ko1ika je
duZina
duZi
lB
i d,uZ
CD?
4.
Ako
jednu
stranicu
kvadrata
produZimo
za 2
cm,
a
dru_
gu
za
5
cm,
tada
se dobije
pravougaoni.k
dlja
je
povrEina
za
45cm2
veda
od
povrEine
kvadrata.
Kollka
je
povrgina
kvddrata?
5.
Poznato
je
da
je:
3.3-3=6
6.(6:6)+(6-6).6=6
Postupa.judi
na
sliEan
na6in,
tj.
stavljajudi
izmedju
cifara
znakove 1t
-t
.,
: 1
potreban
broj
zagrada
napisati
broj
3
po_
moCu
3 trojke,4
detvorke,5.petl_ca,6
Bestica,7
sedmica,
g
osmica
i 9 devetki.
109
5. Dijagonala
/C paraleJ_ograma
.48C,
jednaka
je
tg cm.
A-
ko
je
/ir
sredigte
stranlce
AB.
a M tadka
u
kojoj
duZ DiV prese-
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 60/74
ca
dijagonaLu
AC,
odrediti
duZinu
duZL AM.
VIT
RAZRED
l.
poznato
je
da
je
y'?
iracionalan
i brojevi 5+n L 5/Z takodje iracionalni
2.
Odrediti
sve prj.rodne
brojeve n
deljiv
sa
81.
3.
U
pravouglom
trouglu
Eija hipotenuza
ima
dulinu c,
je-
dan
ugao
jednak
je
Eetvrtini plavoq
ugla.
Izradr:nati
povr5inu
tog pravouglog
trougla
u
funkciji.
od
c.
4,.
Date
su
dutl
rR
1 r
(R.>
r). Konstruisati
krug
Eija
je
povr3lna
jednaka
povr5lni
kruZnog
prstena
6iji su
polupredni-
cl-
date
duZt
F
l-
".
Konstrukciju
obavezno
obrazlo itj_.
5.
Osnovne
ivice kvadra
su 3.cm
i
4
cm,
a
prostorna
di-
jagonala kvadra
nagnuta
je
prema
ravni
osnove
pod
uglom
od
5Oo.
fzradunaj
povr5inu
i
zapreminu
datog
kvadra.
VTII
RAZBEP
I.
Odrediti
sve
trocifrene
prirodne
brojeve
koji
su
t2
puta
veCl
od
zbira
svojih
cifara.
2. Neka
2TI7
"
'a,=-T'
"*f
i
"-l-
c-
vrednost
realnog broja
o.
3.
Odrediti
sve prirodne
.brojeve
z
takve
da
je
izraz
ro2n
-L
--7_
ceo
broj.
4.
Osnovice
trapeza
su a=25 crn
i
b=I5
cm,
a
krak
e=g cm.
Odreditl
oblrn
I
povrEinu
tog trape2a.
ako
Je
poznatg
da
je
zbir
unutraSnjih
uglova
trapeza
na.veCoj
osnovici prav
ugao..
5.
U
pravilnu
Eetvolostranu
piramidu
Elja
je
osnorma
ivi-
ca a=I2
cm
i
vLsina
f/=5
cm
uplsana
je
kocka ABCDEFGH
(temena
A,
B,
C,D
pripadaju
osnovi
piramlde'
a
temena
E, F,
G'
H
PtL-
padaju
bodnim.ivlcama
pj.ramide).
DokazatL da
je
odnos
zapremi-
na
piramide L
kocke
jednak
9:2.
roj.
Dokazati
da
su
brojevi.
tako
da
je
Lzraz
L}n-I
je
o
pozitlvan
realan broj
veCi
od
t
i
neka
je
a) fzradunati
b)
fzraEr:nati
u].
3. Nad
duZi 18
kao osnovicon
konstruisani
su
jednakost:ra-
ni6ni
tnougao
ABD
i
jednokoknako-pravougl'l
trougao
z{ad .
Tadka
I
Je
ZADACI
ZA
RTPUBLICKO
TAKMICENJB
tZ
MATEMATIKE
ZA
UCENIKE
OSNOVNIH
SKOLA
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 61/74
2.
Ma€ka
i
po,
za dva
i
po
dana pojede
tni
i
po
mi5a.
Koliko nileva
6e
pojesti
loo
naEaka
za
rrS
dana?
3.
Neka
su
a, b,
e
(az
b>
cj
stnanice
Bd,
CA
i AB
tr:ou
IBC.
Prava
p
panalelna
sa
Bd
pnol.azi
knoz centar.
upisanog
knuga
i
s
stranice
18
i
AC u taEkana
D
i
E
.
Iznaduriati
obin
trougla
IDB
u
funkciji
od
a,
b,
c.
"/"-3
1l
,{
oat
je
pnavougaonik
ABCD
(AB>
cg).
liad
stranicana
lB
i
84 kao
osnovicama
korrstruisani
su
jednakostraniEni
trougr.ovi
rBt
i
BCM
tako
da
je
tr
izvan,
a
ft u
pnavougaoniku.
Dokazati
da
je
duZ
trll
jednaka
dijagonali.
pnavougaonika.
podnoZJe
nonmale
iz tadke
C
na
dul l|8,
a
ta6ka
lf
je
podnoZje
non-
maie
iz
ta6ke 6
na
duZ
lD.
fzradunati ugao
CEM.
.
4.
Stnanice
tr.ougla
ABC 6u A8
=
14
cm' BC
=
13 cmr
i
CA
15
cn.
a) IzraEunati
povr5inu
tnougla
ABC.
b)
Odrediti
povn5inu
knuga
koji
dodinuje stnanice
AC
i
BC,
a
centan rnu
se
nalazi
na
stnanici
r1B.
5.
Osnova
piramide
je
nornb
stnanLce 12
cm.
Bo6ne
etranice
pinamide
su
nagnute
pnena
osnovi
pod
ugtom
od
45o.
Izna6unati zapre-
mLnu
puanroe,
aKo
3e
povnEina
omota6a
pirarnide
36o
crn2.
VI RAZRED
1.
Ako
Je
n
prinodan
br:oj
onda
Je
pnir:odan
broj.
Dokazati.
lon +
35
---TS-
tal<odJe
5.
Kvadrat
je
podeljen
na
9
jednakih
kvadnata.
od
njih
upisan
je
bilo
koji
od
bnojeva
1,
Z
ili
3.
Da
li
da
u svakoj
vnsti,
svakoj
koloni
i
svakoj
dijagonali
budu
zbinovi
?
U svaki
je
rnogu6e
nazliditi
1.
rodjendanski
a dedaci
po
ako
je
gnupa
,
VIIIRAZRED
Gnupa dedaka i
devoj€ica
sakupila
je
17o dinara za
poklon
svom
dr"ugu.
Devoj6ice
su
davale
po
2o
dinarat
3o dinana. Koliko
je
bilo
devojdica'
a koliko
de6aka'
irnala
neparan broj
6Lanova?
r"-
Retiti
jednadinu
lc+rl
+\,/
,'-2s
+
I
=
2s .
.
VII
RAZRED
1. Odrediti Eetvonocifneni broj
6etvorocifreni
broj
napisan
istirn
cifr.ana,
2.
Odrediti
sve
proste
bnojeve
p
takodje
prost
broj.
koji
pomnoien
sa
9
daje
ali
u obrnuton
redosledu.
3.
Stranice
p:ravouglog
trougla
imaju
za
merne
brojeve
pninodne
bnojeve,
a
Jedna
kateta
je
6
cn. 0dnediti
odnos
u
koJem
podnoZje
hipotenuzine
visine
deli
hipotenuzu.
4.
U
tnapezr ABCD
(AB
tl
eD),
dijagonala
8D
je
nonnalna
na
osnovLcama.
Dijagonala AC
polovi
ugao kod
ternena
C
'
a dijagonatu
tsD seEe u
tddki
O.
fzna6unati
povrBinu
tr:aPeza
ako
je
J9O
=
4cm i
DO=2cn.
+3
akve
da
je
i
broj
p
3
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 62/74
.
5.
Kocka
ADCDAIBLCLDI
pneseEcna
je
aa
navni
koJa
sadnll
terAe
d
i
eredlsta
lvlea
ID
t
,ICI.
.
a)
Dokaratir
da
Je
rpnea,elna
:flguna
paFalelogran.
b)
fznalunati
povnllnu
pneeednc
flgune.
BESES,iTA
knjige
je<inaka
AB=AD+BD=I6+2
r
Marko
je
imao 14
dinara.
115
to knjiga
koBta
18
dinara,
a
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 63/74
RESENJA ZADATAKA
SA
SKOLSKOG
TAKMIEENJA
rV
RAZRED
I.
Kako
Eetvorocifren broj
ima
Eetiri cifre u
obzir
do-
Iaze
sl-edeCe
kombinacije:
3+0+0+0,2+1+0+0
i l+1+1+0.
TraZeni
brojevi
su: 3000, 200I, 2010,
2I00,
I002, 1020, 1200,
101.1,
II0l,
Ill0, pa
itr
j-ma
ukupno 10.
2.
Ako
umanjenik a i umanjilac
b
umanjimo
sa
9d6
razlika
ostaje
nepromenjena,
a kako
je
i c
urnanjen
za
986
to
Ce
se
vrednost
lzraza
a-b+c--1986
umanjiti za 986
i imaCe vrednost
1986-986
=
I000.
3.
Posmatrajmo
proizvod I'2.3'4'5'6
'7'8'9
'10.
Kako
je
2.5=r0
i
kako proizvod
sadrZi
broj
10, to
je
njegova
vrednost
jednaka:
I.3.4.6-7-8-
9.100, pa
su
poslednje dve
cifre
Cve
4. Zadatak
re5avamo
Pomodu
duii.
Janku
za knjigu
nedostaje
16
dinara
(prva
duZ)
'
a Marku
4
dinara
(druga
duZ). Janku
i
Mar-
ku
(zajedno)
nedostaje
2
dinara
(treCa
duZ).
Kako
ie
BC=4'
a
CD=2,
to
je
BD=2,
Pa
je
Janko
imao
samo
2 dinara'
Kako
je
cena
5.
o6igfedno
najviSe
pravih
je
odredjeno
kada
su
date
duZi
nekoli-
nearne,
a
date duZi
imaju nekoline-
arne krajeve.
Tada
6 krajnjih
taEa-
ka
odredjuju ukupno
(6.5):2
=
30:2=15
pravih.
V RAZRED
1.
Odigledno
je
radom
sekcija
obuhvaCeno 35-10=25
u6enika.
Neka
se
r
udenika bavi
i
matematikom
i rukometom.
Tada'se
matematikorn bavi
2O-r, a
samo
rukometorn
1I-r udenika. Kako
je
broj
aktivnih u6enika 25,
to
dobijamo
jednadinu:
2O-t+o+LL-e=25.
Odavde
je
3I-a=25
,
a
r=3L-25=6.
2.
Broj
uEesnlka
sleta
je
deljiv
sa
4,
ali
je
deljiv
i
sa
6. Kako
je
najmanji
zajednidki
sadrZalac
za
4
i 6
jednak
J.2
to
broj
u6esnika
mora
bi-ti deljiv
i
sa
12.
Jedlni'broj
koji
je
de-
ljiv
sa
12,
a
nalazi
se
izrnedju
80
i
90
je
7.L2=84.
3.
GreBka u mnoZenju
iznosi
lf90-1085=f05
i
jednaka je
tro-
strukoj
vrednosti drugog
Einioca
(kod
koga nije
pogre3na
.cifra
o
_-16
.
O-./-q
o
M
o-4-o
o--jl-
o-2
-o-J--a
ACDB
It5
jedinica).
Prema
come taj Einilac
irna
vrednost
I05:3=35.
Prvi
Einilac
je
tada
I
I90
:
35=34.
II regenje:
Kako
je
f190=2.5.7.I7,
a
1085=5,7.31,
to
oba
broja
lL?
3.
Ako se simetralq
unutragnjih ug-
lova a i
B
seku
pod
uglom od
I35o,
onda
je
odigledno
e/2+g/2+r35o=180o,
pa
je
o-
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 64/74
4
)
4
r
K
)
cL)
,/
/
e)
imaju
zajednidki
dintlac
35,
a
drugi
6inilac
je
34
odnosno
31,
5to u
potpunosti
odgovara
uslovima zadatka.
4.
Iz
datih
uslova
lako zakljudujemo da
je
komplementni
ugao petina datog
ugla.
Kako
je 90:6=15r
to
je
dalli
ugao
5.15=
=75o,
a
njegov
komplementni
ugao
l.I5=150.
5.
Presek dva oBtra ugla moZe
btti:
a)
prazan
skup,
b) ta-
Eka,
c) poluprava,
d) duZ, e) ugao,
f)
trougao, g)
Eetvorougao.
VI RAZRED
1. Kako
ie
2588=2.2.2.?.?.2t2:).7
=2.2.2.8.5.7 =
12.14.L6
t
to
su
trazeni brojevi 12,
14
i
16.
2.
Kako
je
f350=I5.15.6, to
su
moEuCe sledeCe
komblnacije:
a=15,
b=15.6=90;
a=15.2=30,
b=r5.
3=45.
If re5enje:
Neka
su
traZeni brojevL
a L
b.
Poznato
je
da
je
ab=D(a,b)S(a,b).
Odavde
je
r350=15.S,
a
S=90. Delioci broja 90
koji
su deljivi
sa
15
su:
15, 30, 45, 60,
75,
90. Uslove zadatfca
odigledno
ispunjavaju
samo 15
i
90,
odnosno
30
i
45.
davde o/2+B/2=180o-r35o=45o.
zakljuEuje-
mo
da
je
cr+B=2.45o=90o.
Tada
je
Y=90o,
pa
je
trougao
ABC
pravougli.
{.
odisredno
j"
+;3+=
t
-rels,
"
+;€*=
t
-r-ek.
. r r I .- r
1984
_1985
KaKo
Je
TtgS'rgE6
to
le
I
-Ttg5.
t
-
r3-g-6i
pa
le
I
T9T-5.I9E-G'.
5.
Neka
je
a=
480A
L
neka
je
p.no={A},
pns={B}
t
p^A=
=tc].
Iada
su
trouglov
ABo
L
BCO
podudarni:
(USU)
4
A0B=
x'C)B=
=d/2,
OB=OB
4AB0
=4CBO
=90o.
Iz
podudarnostizaktjuEujemo
da
su
i
ostali
elementi
podudarni, pa
je
LA=TCt
Bto
'je
i
trebalo
dokazati.
O
VII
RAZRED
r. Neka
je
dati
razlomak
f;O
7ol.
Kada brojilac
cuveCamo
za
40*
imade
vrednost
lr4c. UveCavanjem imenioca
za
25* dobtja
se
imenilac
L,25b. vrednost
novog razlornka
je
+y*,
pa
je
no-
vi
lazlornak
jednak
Lrlzt,
odnosno
vrednost
razlomka se uveCala
"^
4,2r.
2. Neka
je
broj
vreCica
n.
U
svakoj
vreiici ima
n
kg
SeCe-
ra.
Dakle
ukupna
koliEina
SeCera
ie
n.n=n2=961. Dakle
n=-r'T67
LLL
n=/96T. Kako
broj
vreClca ne moZe
biti negatlvan u
obzlr
do-
lazi
samo
n=3I.
3.
Kako
je
hipotenuzina
tettgna
duZ
jednaka
polovlnl
hlpo-
tenuze,
to
je
hipoten\za
c=2t.
Tro-
ugao
BCD
je
jednakokraki
i ima
uqao
kod
D jednak
600,
Sto znadi
da
je
i
119
proizvod
(k+n+l)(k-m)
deljiv
sa 2.
BrojevL
k+n
i
k-n
su
uvek
iste parnostJ.,
pa
je
jedan
od brojeva
k+n.+l
i
i_rn
paran,
a
drugi
neparan,
Eto
obezbedjuje
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 65/74
jednakostranidni,
pa
je
kateta
a=t.
rz Pitagorine
teoreme 62=s2-a2=4g2-22=
=3r2.
odavde
je
b=t{3,.
obim dacog
trougl"a
)e
o=t+t/3+2t--3t+tr'3-t
(3+y'3)
.
Povrlina
trougla
je
P-ab
z2=t.
tfjz2=
)_
=t-
.
/3/2.
da njlhov
proi?vod
bude
deljiv
sa 2.
Ovim
je
dokaz
zavrlen.
2.
xako
ie
21986=t25133r=5433r
to
i"
2r986-6433r
r
6333r.
4.
Neka
su
centri
datih
krugova
A, B,
C.
Trougao
ABC
fe
jednakostrani-
6ni
jer
su
mu sve
stranice
po
60 cm.
PovrBina
trilZene
figure
jeCnaka
je
razlici povr5ine
trougla
ABC
L zbl.-
ra povr5ina
3 kruina
ise6ka. Kako
su
ti
isedci
po<ludarni
i
imaju
central-
ni
ugao
od 600,
to
je
zbir
njihovih
povr3ina
jednak
povrSini
polovine
bi-
1o kojeg
od datih krugova.
TraZena po-
3.
Neka
je
Etr'
vislna trapeza ko-
ja prolazi
kroz
centar
opisanog kruga.
Kako
je
E.l'jednako
srednjoj liniji
to
je
EF=14
cm. Neka
je
EO=e,
a
FO=LA-r.
Tada
je
iz
trouglova AEO
i
.PDO
na
os-
novu
Pitagorj-ne
teoreme 82+t2-R2=
=(r4-c)2+62.
od"vde
dobijamo: 64+o2=
=r96-28e+r2+36
t1i
64=232-28a.
sredi
da
je
c=
(232-64'):28=168:28=6,cm.
Tada
ie
R2=82+r2--82+62=too,
a
R=10
cm.
po-
vrBina kruga
je
100n=314
,I57
cm2,
a
po-
r/rgina
trapeza
je
(16+f2).1.4:2=I96
cm2.
to"trapez
zauzima
62r392
povr5ine
kruga.
D/G
F
\-.c
u
'oo-'I
I\,
e
r-----7
Kako
je
196:314
,L57=O,6239
vriina
p
-601-,5
-+=e00,'3-4s0r= 45o(2t3-n)
5.
Ugao
EoC
je
600
jer
je
A
cm
dva puta
veCi
od
periferijskog
BAC,
pa
je
trougao
806'
jednako-
stranidni
BO=OC=BC=LQ
cm.
Visi-
na. A D=AO+1D=10+5
/3.
povrgina
trousla
je
P=I0
(10+5r'3):2
=
=5
(r.0+5r'3)
=
25
(.2+v3',
.
4.
lz
s2-6r+1y2-t)2+g=0
dobija
se
(o-3)'*(r'-r)2=0.
zbir
kvadrata
je
nula
ako
su
oba broja
jednaka
nuli.
Dakle
r-3=0
i
y2-t=0.
Zna6t
da
je
c=3,
a
y=I
ili
y=-1, pa
su resenja
parovi
(3,r)
i
(3,
-r).
5.
Neka
su
dlmenzije toc
n(n+I,
(n+2)
jednako
335
to
je
odakle
je
n=6
,
n+I=1
i
n+2=8.
+8. 6)=2 (42+55+48)=
292
cm2
.
lcvadrata
n, n+
n
(n+I')
ln+2)=2.2.
Povr3ina
kvadra
L
n+2.
Kako
je
2.2.3.7
=
8.6.7
)e
P=Z
(6.7+7.8+
VITI
RAZRED
].
Neka
su dati
neparni
brojevl
2k+L
i 2z+1.
Tada
je
(2k+l
I
2*
(2^*t12=
12k+t+2^+r)
(2k+I-2m-Ll=(2k+2n+2)
e
(2k-2n)=2(kin+L,).2
odigledno
je
data
razr.ika
kvadrata
deljiva
sa
4. Dokazimo
da
je
NaporFna:
Prvi zadatak
se
moZe
jednostavnlje
reBiti bez prime-
ne
razllke kv.adrata.
(2k+I)2-
(2**tl2=ak2+4k+I-4m2-An-L
=
4&
(k+1).-
-An(n+Ir.
Kako
su
n
i
n+I
i
k
i
k+t
uzastopni
prirodni
brojevl
njihovi proizvodi
su
deljivi
sa
2, pa
je
ceo
izraz deljiv
sa
4.
2=8
.
L21
13-4=9
cm.
Povr5ina
pravougaonlka
je
P=4.9=36
crn2,
. to
je
i
povr5lna
kvadrata.
Stranica kvadrata
je
5
cm
(jer
je
6.6=36
cn2)
a
obim kvadrata
je
24
cm.
Obim
pravougaonlka
je
2(9+4',=2.L3=26
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 66/74
RESENJE ZADATAKA
SA
OPSTTNSKOG
TAKMICENJA
N
PAZRED
r.
OEigledno
je
da treba
ispisati
brojeve
5L,52,
...,
L48. I4g.
Od ispisanih
brojeva 49
su dvocifreni,
a trocifrenih
brojeva
lma 50.
ZnaEi da
je
upot.rebljeno 2.49+3.50
=248
cifara.
Pri ispisivanju u
svakoj desetici
se
upotrebi
po
jedna
sedmlca
(5'1,67,
...,
L37,
L471,
a u sedmoj rlesetici
jo3
f0
sedmica
(?0,7I,
...,78,79),
pa
je
ukupan broj
sedmica
I0+I0=20.
2. Zadatak
reEavamo
meto-
dom duZi
(treba
priznati
i
dru-
ga
tadna
i
obrazloZena
re5enja).
l4i5a i Zicia su imali jednake
sume
novca
(duZ
i{8). Zikica je
potroiio
1380
dinara
(dfi,
BCl,
a
I'ti5'a
je
zaradio
joE
1986
di-
nara
(duZ
BD).
Sada
MiSa ima tri puta
vi5e novca
od
Zikice,
5to
znadi da
je
duX
AD
+-r
puta
veda
od
duli AC.
a. dva
puta
ve-
Ca
od duZi
dD.
Kako
je
CD=l380+f986=3366,
to
je
AC=3366:2=1683.
ZnaEl
Zikica
ima
1683,
a
MiEa 3.1683=5049 dinara.
:--:--:"-:e e
3
rarso
o------o-
1360o
Zrrrca
3. Proizvod 1986 predstavi.Cemo
po-
vr5inom
jednog
pravougaonika.
Ka-
da
jednu
stranicu
poveCamo
za
4,
novi proizvod
je
3310, 5to znadi
da
se
povrSina
uveCal"a za 3310-
-1985=1324.
Kako
je jedna strani-
4
to
je
druga
1324:4=331,
a to
je jedan
od traZenih
Einil.a-
Drugi
Elnilac
je
1986:331=6.
4.
Rko
je
zbir
stranic.i
pra-
vougaonika
13,
a razlika 5,
onda
je
manja
stranica
pravougaonika
(1.3-5):2,
t).
4
cm. Tada
je
veCa
cm.
Pravougaonik
lma za 2 cm
veCi
obLm
od obima kvadrata.
5.
Na duXi AB
rl<:le
se
uoEitL
6
tadaka.
Tih 6
tadaka odredjuje
5+4+3
+
2+I=15
duZt. I
na
duZl dD
i-
mamo
15
duZi.
Iz taEke 0 polazi
6
duZi
(pravih)
i
na
svakoj
je
po
3
zna6i
ukupno 18
duZi. Ukupan broj
duZi
je
odigledno 15+15+18=48.
Sva-
A
ka
od duZi na
duZi 48
je
osnovica
jednog
trougla,
pa
takvih
trouglova
ima
t5.
SItEno
je
J.
sa du-
Zi
CD,
pa
je
ukupan
broj trouglova
jednak
15+f5=30.
V
RAZRED
l.
Da bi
trazeni
broj
*
I I
*
bl_o
deljiv
sa 36
mora biti
deljiv
sa 4
i sa 9. Zbog.deljivosti
sa 9 zbir
cifara
mora
biti
deljiv sa 9
pa
u obzlr
dolaze.
zbirovi'9 i I8, 5to znadi da je
z6'ir nepoznatih
cifara
? ili"t6
.
zaog
deljivosti-".
i
a.ro"rr-
reni zavrEetak
mora
biti
deljiv
sa
4 pa
u
obzir dolaze
*Il2
i
*116.
Dak1e
red
je
o brojevima
5rl2
i
I116.
2.
ZbLr ugla
o
i
njernu
uporednih
uglova
je
3120.
Dopuna ugla
od 3I2o
do
punog
ugla
je
ugao
jednak
uglu o,
kao
unakrsnom ug1u.
Dakle
q=360o-3120=
=48o,
a
njemu
uporedni
ugao
je
t80o-48o=
=I
32o.
3.
Kako
j"
l=$
i
r"ro
j"
i=$
t"
i"
#.#s$
na )e
1985
I
1324
ca
ca.
4
jedan
od
brojeva
5, 6,
7
,
4.
8,9 i1i ne{5,5,7,8,9}.
Najpre nacrtamo
Venov
dljagram
skupova
A,
B
,
C. Zatim
upisati
date podatke.
O6igledno
je
da
preostale
cifre 6
1 8
pripadaju
skupu
C, pa
je:
l,
=
(0r3t4,5r91
B
=
{O
,I
,2
,3
,7
,9}
C
=
{0,2
,3,6
,81
.
o-alXobo
''5
H------o-----O
a-bbb
&L
5.
Najpre
zakljuEujemo
da
broj
osoba
za.
stolom'mora
blti
deljiv
sa
3.(jer
je
red
o
trodlanj.m
porodlca-
ma).
Dalje
broj
osoba
za
stolom
23
bio
neparan
-28r).
Ako
je
4
neparan,
tada
se zbir
35a+zoc
za_
vr5ava
cifrom
5, pa
se
2gb
zavriava
cifrom (2gl_..5=..6)6.
O_
davde
zakljudujemo
da
je
b=2.
Dakl_e
35a+56+2Oc=2gI,
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 67/74
mo-
ra biti
paran
(jer
nasuprot
svake
osobe
sedi
osoba
ist-e
vrste).
Naj-
manji
broj
koji
zadovoljava
ove
us-
love
je
5,
ali
je
tada
nemogude
za-
dovoljLt.i
tredi
us1ov.
Najmanji
broj
osoba koji zadovoljava sve uslove zadatka je 12 (4 porodice),
a
raspored
sedenja
dat
je
na
slici
(M_miZ,
Z_Zena,
Drn_muZko
dete
,
DZ,->,ensko
dete
) .
VT
RAZRED
l.
Odigledno
inlamo
l0
grupa
udenika:
one koji
su
redifi
svih
9
zadataka,
one koji
su
re5ili
g
zadataka,
..., one
koji
su
re6ili
samo
I
zadatak
i
one
koji
su
re5.ili
0 zadataka (ni_
su
reSili
ni
jedan.
zadatak).
U
.jednoj
od I0
uodenih
grupa
mo_
ra
biti
bar
4
utenika.
Za5to?
Zato
gto
u
sludaju
da
u
svakoj
grupi
irna manje
od 4 udenika (3, 2, I, Q)
r:kupan
broj udenika
je
manji
ili
tadno
jednak
3.10=30,
Sto
je
nemoguCe, jer
u
ode_
lenj
u
ima
32 udenika.
(
Dirihleov
princip:
32
:
1
0=3
(2
)
)
.
2.
Ako r000
pri
deljenju
sa
traZenim
brojem
daje
.ostatak
8,
to
znadi
da
je
1000-8=992
deljivo
sa
tim
brojem.
Slidno
i
900-f=899
mora
biti
deljivo
istim
brojem.
Kako
je
992=2.2-2.2.2.3I
i
kako
je
broj
g99
neparan,
to
g99
mora
biti
deljivo
sa
31.
Zaista
899=3t..29.,
pa
ie
traZeni
zajednidki
de_
Iilac
broj
3I.
If
resenje:
Neka
je
d fraZeni
zajednidki
delilac.
Tada
je
992=a,d
t
899=b.d.
Kako
je
992-899=93=(a_b)a.i
kako
93=3.3I
to d
moZe
biri
3
ili
3I.
Broj
3
ne
dolazi
u
ni
899 ni
992
nisu
deljivi
sa 3, pa
je
a=31.
.3.
Kako je
140=4.5.7
to
su trazeni
imenioci
4,5
i
7.
r-
28I
_
f _p ,.:
_
35a+28b+2Oc
,=
TCo- a
-B'
7
=-
iab--.
OdiqJ.edno
3Sa+28L+20..=28I.
odnosno
35a+20e=225.
OEig1edno
a<7
()er
ako bi
a>7
onda
je
35a
>245),
pa
je
a=l
i1i a=3
iIi
a=5.
Ako
je
a=t
i1i
a=5
dobijamo
35+2Oc=
=225
ili
I75+20c=225,
odnosno
2Oc=I90
iIi
20c=50
Eto
je
nemogu_
3""
*1;:;;.
ro5+2Qc=225'
odnosno
20c=r2o
ili
c=6'
Ko-
4.
Analiza:
Visina
CD
deli
tro_
ugao
AtsC
na
dva
pravougla
troug1a
ACD
i
BCD.
(.r
trouglu
ACD
poznat
narn
je
x
DAC=75o
i kateta
naspram
tog
ug-
Ia CD=4
cm.
U
trouglu
BCD
poznata
nam
je
hipotenuza
BC=6
cm
i, kateta
CD=A
cm,
A
Konstrukcija:
Na proizvoljnoj
pravoj
p
izaberemo
proizvoljnu
taEku
D
i kroz
nju
konstrui5emo
pravu
q
normalnu
na
p.
Na
pra_
voj
q
odredj.mo
ta6ku C
tako
da
je
DC=4
cm.
Kako
je
CB=6
cm_,
.
tadki c
konstruibemo
krug k(c, 6). presek kruga k i prave p je
tadka
8.
Xroz
ta6ku
C'konstruisemo
pravu
.r.
tako
d.a
je
xrcD
=g0o-75o=t5o.
U
preseku
pravih
p
i
i,
dobija
se
teme,4.
Dokaz:
Po
konstrukciji
duZi
CD
i
CB
jednake
su 4
odnosno
6
cm.
ugao
xCAB=
xCAD=904-
rACD=90o_t5o=75o,
pa
dobijeni
trougao
ABC
zaista
ima
date
efemente.
Diskusija:
Zadatak
ima 4
podudarna
re5enja
zavisno
od
preseka
kruga
k
sa
pravom
p
i
zavisno
od poloZaja
duZL
CD.
5.
UEr36
t)ACB
A
je
spolja5nji
ugao
trougla
tC,
i
jednak
je
zbiru
uglova
Cilj
i
ADC.
Zna6i
da je
x,.1CB
> 4
ADC.
Kako
je
''
:t
11
Ci=
r.4o-c'=
a
ABD
kako
je
x .4r(.r=
x AL)B
to
je
a.ABD )
zADts
.
le
obzir
ler
Dak-
Kako
su
brojevi
28b
i 20c
parni
broj
d
mora
5iti
neparan
(da
bi
zbj.r
,
VIT
RAZRXD
l.
Neka
je
cena
jednog
klikera
c
dinara.
Tada
je
za
25
kLlkera
pladeno
25.c
dinara.
Za
10000
dinara
se
moZe
kupit.i
10000:a
kLikera.
L25
,
.
VIII
RAZRED
l.
Kako
je
f
(xr=e2'-l
to
je
f
(a+tl=iont,l2-t=o2+2a.1r- =a2+2a.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 68/74
Xako je
25.c=l0000:c
to
je
25.r2=10000,
pa
c2=10000:
25=400.
znadl
c=20
dinara.
Tada
je
f
(f
(a+t))=f
k2+z,t)=(a2+2a)r-L=(or*ro*t\
(a2+za_t)
iIi
f
(f
(a+tl
)
=a4
+4a3+4a2
-t
.
2.
rz
-a2+b2-2
(be+cd..+da-.2-d2)=0
dobijamo
da
je
o2+b2-2b.-
-2c^d.-2da+c2+e2
+d.2
+d2=0.
Grupisanjem
Elanova
dobrjl
""
o2-2od.*d.2
*
+b2
-2L
o+
o2
+o2
-2o
d.+d2
=o
i ri
(a-d)
i
*
(o
-.
)t
*,"
-
or,
=o.
rir,
*.r.ur.-
ta tri broja
jednak
je nuli
ako
i
samo
ako
je
svaki
od
njLh
je_
dnak
nuli
pa
mora biti
c-d=0
b-c=0
i
c-d=0
.
zboq
tranzitivno-
sti.relacije
"="
dobija
se
a=d
i
b=e
i
e=d,
t1. b=e-d.=a.
3.
DuZ
,'d
je
srednja
lintja
trougla
ABC,
pa
je
FG=I2
cm.
DuZ
,g
je
srednja
J.inlja
trapeza
,AB.GF
pa
je
,8=(24+12):2=I8
cm.
DuZ
M/t
je
srednja
linija
trouqla
tr'Gd,
pa
je
Mil=5
cm.
povr5ine
dobi.jerrih
delova
su. P(ABED)=84
cm2
t
p(DEGF)=
=50
crn2,
p(FCNM')=36
cm2
i
p(MNC,)=
=12
cm2.
4.
povr5ina
lopte
7r=4rio2,
u
"^pr"mtha
je
Vl=4/3trr3.
os-
nova
valjka
ima
takodje
poluprednik
r",
a visi-na ,?=2r.
povr5ina
val-ika
je
l'
r=2pay=2nr2
+zrt,.
2r=6ny,2
a zapremina
V,,=n12.
2y.=2trt"3.
Odavcle
)e
P,
z
n
r=
At
r,2
. 6n
12
=2:
3
i
Iz,,
V
u=4
/
3r 13
.
Ztr
,.i=
4
/
3
: Z-2
z 3.
Ovim
je
dokaz
zavr$en
jer
)e
pI:.p7)=vItVu=223.
5. Neka
su
I
,
B,
C
centri
da-
tih krugova,
a r
i r?'polupreEnici
upisanog
odnosno
opisanog
kruga,
sa zajednidkim
centrom
O. Ta6ka
O
je
centar
(teZiSte)
t'rougla,4BC.
Ao=2/3.h=2.r3.6/3
= 4{3
cm.
r,=4/1_G,
a
R=4/i+5.
povrEina
traienog
kru-
Znog
prstena
je
P= r)
(n2-r2)=
=r
(
(4/3+6)
2-
(q/l-s)2)=n
(q/3+6+4/3-6)
.
.
(4{1+6-4/3+6
)
=r.
B.
/3.
r2-96.
n.
/3
"^2
.
je
2.
O6lgledno
da
datom
luku
odsovara
nekj-
ugao
d.
Tada
L
=;=':"
;#,
a
odavde
je
c
=$.
novrxina
odsovarajuces
Znog
ise6ka
je
p=nr,2
o
,
=
nn2
goo/tr
-t'23600 3rrP
-
-4"
je
kru-
r1
i
l
ir
3.
Neka
je
broj
stranica
pravllnog
mnogouqla
z.
Tada
je
broj
njegovlh
dijaqona],a
n(n-3):2=252,
pa
je
n(n_3)=2.252=
=2.2.2.7.9.
KonaEno
nln-3)
=2:3:2:_1.?:J=Zl.2l,
pa
]e
n=24.
O_
bim
je
0=24.
L0=240
cm.
4.
Neka
je
0 presek
dljagonala
rornba
i neka
je
M
taEka
u kojoj
krug
dodj,ruje
stranicu
lB.
Kako je
trougao
IOM
pravougli
i kako
je
0M='
'
=z'=L/4.AC to
je
)M=t=t/2.OAr
pa
je
ugao
AOM
600,
a
ugao
0.4M=30o.
To
zna6i
da
Su
uglovi
ronba
BAD
BCD
po
600,
a to
opet
znadi
da
su
tro-
A
uglovi
ABD
BCD
jednakostraniEni.
Vlsine
DE
BF
romba
presecaju
veCu
dijagonalu.u
tadkama
p
i
e.
Kako
su
DE
L
BF
i visine jednakostranidnih
trouqlova
ABD
i
ECD,
to
je
AP=?-.0P=2.OQ=aC
odnosno
Ap=pQ=eC.
B
5.
DuZi
A.M
i Ap
odnosno
BM
i B,t
su
tangentne
duii
iz
jedne
tadke
na
dati
krug
i
kao
takve
su.
jednake
(moZe
i
podudarnost).
Kako je
hipo_
tenuza
A
E=
I
0=.4 t
+B
t/t=A
p
+
tj
I,l
=
6
_
r
+g_
z.
dobijamo
da
je
2r.=14-I0=4,
a
samo
t'=2
cm.
Kako
je
,
.t=.Ei
to
je
tS=5
cm,
a
-qM=A5-Al.r=AS-Ap=S-
(6-2
)=5_4=f
cm.
Iz
pitaoorine
teoreme
lako
iz_
radunavamo
rastojanje
5
6="f;Tfr7=
=
/T+a-/S.
L26
LZ?
Napornena:
Zadatak
se moze
reglti
1
na
drugi
naEin
_
rnerodorn pr.a-
voli'Jaonika,
iednadinom,
...
Treba
prlznat'I
svako
korekrno
rese-
nje.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 69/74
RE.<ENJA
ZADATAKA
sA
MEDJUopSrrNsroe
TAKMTCENJA
IV
RAZRED
t.
Cifra
jedinice
u
diniocu
23*
odiqledno je
6
(jer
je
samo
l.a=4
i
6.4=24,
ali
cifra
I
ne
dolazi
u
obzir,
jer
bi
ta_
da proj.zrrod
t*4.1
bio
tr:ocifr:en).
U
Einiocu
**4
ci.fra
desetica
je
tada
0
ili
5
(jer
je
6.4=24
iti
6.54=324),
Ako
je
cifra
cle_
seti.ca
0,
onda
je
*04.2=l*08
i
*04.3=I*12,
pa
dobiiamo
sIe<1eiu
situaciju:
*04.236
=
**24
1*12
I
*0g
*I****
Oiig.ledno
u sabirku
l*0g
nepoznata
cifra
mora
bj-ti
parna
(zboq
mnoienja
sa 2) i
sabrana
sa I i
prenosom
mcra
se
zavriavati
na
1..
Znadi
da
je
nepoznata
cifra
0.
Tada je
u
Einiocu
*04
nepoz_
nata
cifra
5, p.t
je
konadno
traienl
proizvod
504.236=I1g944.
U
6i-ni'ocll
a*4
cif
ra
deset-ica
ne
moZe
biti
5,
jer
bJ-
tada
u
sabir-
ku
l*08
nepoznata
clfra
moral_a
biti
neparna,
dakle
9,
Sto
je
r.re_
'mosuce'
jer
bi
tada
rl0blfi
proi-zvod
954.236
koji
ne
zadovoljava
us-lorze
zadatka,
jer
je
druga
cifra
u proizvodu
(225144)
2
a
mora_
Ia
bi
biti
r.
2.
Da
je
zadatke
re5aval,a
po
prvob.itnorn
planu
Zorica
bi
u
toku
poslednja
3'
dana
regila
3.
l5=45
zadataka.
Medjutim,.ona
je
poslednla
3
dana
re6jla
samo p.reostalih
3.4=12
zadataka.Zna_
-i da je razliku od
45-12=33
zadatka
reBila
u
prethodnim
danima.
Xako
je
svakog
dana
,'prebacivala
normu,,
za
3
zadar_ka
to
je
re_
Savan
je
tr:a
jalo
33:
3=11
dana.
Dakle
r_rkupan
broj
dana
u
kojima
ie
zorica
resavata
zadatke je
lt+3=t4,
a
or"";;";,;.J,"]uaut._
ka
je
14.
l5=2I0
iIi
rr.
l8+3.4=198+t2=210.
3.
Sa
slike
je
oEigledno
da
?
O,
,
,
kada duZ
CD
uveCarno
tri
puta.
on-
I
da
smo
je
uvecali
,.-;;.-;;;.-"
duline,
a dato
uvedanje
iznosi
2+L0=L2
cm.
prena
tome
duZina
du-
2i
CD
je
12:2=6
cm,
a dui
lB
ima
duZinu
6+2=9.*,
Zaisra
je
3.6=8+I0=t8
cn.
4.
Kada
stranice
kvadrata
uveCamg
za
2
odnosno
5
.cm,
oncla
se
dobije
pravougaonik,
koji
se
mc:Ze
razloZiti
na
ctaci
Kv€rdraE
1
I
I
I
5t
r
12
,z
5.
Jedno
ocl
nroguCih
re5enja
je
sledeCe:
J+3-3=3;
(4+4+1):4=3;
(5.5-5-5):5=3;
6:5+6:6+6:6=3r.
('l
+'7
t'i +1
)
2,.
-7
:'/=3
i
(B+8+B)
:
8+8.
g-g.
g=3;
(9+9+9+9
)
:
9-9:
9+9_9=3.
RAZRED
I.
Kako
je
najvedi
zajedniEki
cleli1ac
za 2J 0
i
3630
broj
2'3'5'i1-330
to
su
dinrenzije
--railene
kvaoraErrc
pl,Jce
330
cmx330
crn.
Kako
je
2310:330=?
i 3630:330=lr, ro je
ukup.rn
broj
ploda
2.
Nexa.
je
polovina
prvog
broja
3edrraka
lrekurn
broju
:u..,I,a_
da
je
prvi
broj
dva
puta
veCl
i
izrrosi
2r.
Slj-6rro
treCirra
dru_
g,g
b'oja je
r'
pa
3e
cirugl
broj
tri
puta
veci
1 iz'osi
3r.
pe-
c1r:a
treceg
DroJ
a
Je
r-:tkouje
i
t
p)
.tL
t.r"-,<ii
L,r
ij pet
put"r
veCl
i
iznOSr
5r,
Xa,tio
je
2;r r3;ri. .I;=o0,
to
-jr_,
I0;=6i.),
a
samo
.l=6,
pa
1e
p::v-L
h :o)
L),
tlruq_i
18,
a trecl.i
3r).
tri
nrqnja
pravougaonika
dile
su
stranice':
2
i r,2
i
5,5
1
{"
po-
vrsine
uoEenih
pr.avougaulr:j<d
su
2x,
LO
L
5r,
a nJihov
zbir
Jc
i5
)
crn-.
Odigleono
je
2c+5r=45-ILr=.JS.
Dakle
7c=35,
a
a;-35:7=5
crn, Lra.F_
j_e
scranica kvadrara je 5
crrr,
a
po-
2
vrsl,Jra
25
cm
-
1:
729
Cenih 640
dinara iznosi
16,/60 duga
(jer
je
ved l'radeno
35/60,
a treba da se
vrati
joB
9/60). odavde
je
o6igledno
l/60 duga
640:16=40
dinara,
a
ceo dug
60.40=2400 dinara.
3.
Ako
je
deda
Mile
r:odjen
)9cD
godinc:
inrati
8l
qodinu,
ZnaEi
da
ie
TI6Z-T-OZF_-8I,
on
Ce
\9ba
godlne
il-j- Ta-d6=8r.
06i-
je
b=9.
O6igledno je
gledno
da
rz=0,
pa
je
cifra
,
rnora
blti
veCa
od
g,
pa
<.ieda
Mil-e
roci
jen
1909.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 70/74
Svaka
duZ
prave
4
je
osnovica jednog
trougla
6tje
je
tre_
teme
na
pravoj
b
i
obrnuto,
pa
je
ukupan
broj
trouglova
4+6.5=40+30-70.
5. Neka je
tadka
O
cen-
tar
traZenog
kruga.
Kako
je
0/t=2
cm,
to
je
ta6ka
O na
krugu
k
(A,2r.
S druce
str.ane
t.razeni
krug
dodir.uje
i
datu
pravu
p
r
pd
S€
tadka
6,
mora
nalazltl na pravoj koja je
paralelna
sa p
i od nje
u<la-
Ijena
2
crn.
KonaEno
tadka
O
je
presek
Ova
dva
uOdena
skupa
ta-
Eaka.
Zadatak
ima
dva
reBenja.
VI
RAZRED
l.
Neka
je
treCina
prvog
broja jerlnaka
r.
Tada
je
prvi
broj
3;r:.
Slidno
petina
drugog
broja
je
c,
pa
je
drugi
broj
5c.
Kako
je
sedmina
tredeg broja takodje jc, to je treii broj
jeci_
nak
7c.
Zbir
traienih
brojeva je
3c+5:r+7c=I5r=1455,
pa
je
sa_
rno
c=1455:15=97,
a traZeni
brojevi
sU
3jc=291,
5c=4g5
i
koltadno
7 x=67
9
2.
Xada
je
vratio
l/rl
duqa
BoZa
je
duga.
Kada
je
vratio 4,/9
ostatka,
vratlo
duga.
Kaks
)e
r/4+r/3=7/12=35/60
i
kako
3.
Neka
)e
p=2.
Tada
je
p2+t3=4+r3=17.
Kako
je
17
prost
broj to
)e
p=2
jedno
reienje
zadatka. Neka
je
p
l
3.
Tada
je
p
neparan broj,
pa
j"
L
p2
takodje
neparan
broj,
a
p2+13
ie
u
tom
sludaju
paran
(kao
zblr
dva
neparna),
5to
zna6i da
je
i sloZen.
ovim smo dokazaLl
da
je
p=l
jedino
reEenje
problema.
4.
Neka
je s
prava
odre-
djena
tadkama
I
i
C
i
neka
jer
pns=lMltpnb=lD ,
q
n
s
=
[il)
i
q
n
c
=
[t].
Tro-
uglovi
ABD
L
MBD
su
podudarnL
(za5to?),
a
lz
podudarnosti
Je
AB=I,IB.
Slidno
i trouglovi
ACE
i
NCE
su
podudarni
(zaS-
to?)
pa
)e
L
AC=CN.
zaklju-
M
6ujemo
da
je
AB+BC+CA=MB+tse+CN
BEo
je jednako
duZi
M/t/
i 5to
je i trebalo dokazati.
5.
O6igledno
je
taEka
M
teziSte
trougla
ABD,jerJeN
sredigte
1r,
a
0
srediSte
BD
(fer
se
dijagonale
polove).
Kako
je
A0=I/2.AC=g
cm,
Lo
)e
AI"1=2/3.A0=6 cm.
VTI
RAZRED
1.
Neka
je 5+/2 racionalan broj r.
Tada
je t2=r-5.
Kako
je
razlika dva racionalna
broja
(r
I
5) takodje
racl-onalan
broj,
a
€
ie
iracionalan.
pretpostavka nije
tadna, pa
ie
5+{2
iracionalan
broj.
Slidno,
neka
)e
5/Z
racionalan
broj s. Tada
je
/2=s:5.
Kako
je
kolidnik
dva racionalna
broja s
i
5
takodjg
r:acionalan, a
/2
ie
ir:acionalan to
je
opet
netaEna pretpostavka,
t). 5/Z
ie
iracionalan
broj.
a 1990.
godine
Ce
i-
ciuZi,
a na
pravoj
jer
je
joi
20
<tu-
pravoj c i pravoj
mati
tadno
, r'-
r
.
t\d
b
4-
322=6
crocline
,
81 goCinu.
pravoj
Q
moZe
se uoditi
4.5:2=10
Ukupan
broj
duZi
jednak
je
t0+6+4.g=35,
Zi odredjeno
medjusobnirn
spajanjem taEaka
na
b.
dugovao
|.,1iri
joB
3rz4
7e
joE
4/9
3/4=r/3
)e
3/20=9/60,
to
vra-
---a--
-
2.
Kako
je
I0n=100...00.0,
gde
rrula
ima
ta6no
n,
to
je
r0n-l=999...g99
gde
deverki
ima-radno
n.
oEiqledno
je
da
broj
999...999
deljiv
sa
9,
jei
je
999...999:9=tIt...rII
(jeclinlca
ima
tadno
1t1
.
2.
Kako
ie
,2
++=+
to
ie
c2+2
*
}..=
t'
*it'=?
n.
j.
g&
r5
.r+i=i
$er
negativna
vrednost
ne
dolazi u obzir
zbog
c)I).
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 71/74
n).
Da
bi
III...l1l
bio
deljiv
sa 9
mora
zbir
cifara
biti.
deljiv
sa
9.
Kako
je
zbir
cifara
broja
ltt...llr
(n
jedi_
nica)
jednak
n,
to
n
mora
bitl
ctreljivo
sa
9,
tj.
net9,
18,2'1
,
...
l.
3.
Neka
je
trougao
ABC
d,at ,
trougao
(AB=c
i
ugao
BAC=22r5o)
A
A
Konstrui6emo
trougao lC,
s.imetri_
/t\
dan
darom
u
odnosu
na
AC. Tada je
/ I
\
AD=c,
a
usao
BAD=45,o.
N"ku
j"
as
/ I \
visina
koja
odsovara
srranici
,48.
/ I _\.
Trougao
ADL
)e
jednakokrako
pra_
/
-_1_-
\
vousli,
pa je
A .t=c,
a
AE=DE=cr'Z/2.
L--
|
\
povr5ina
trougta
ABD
je
.2Ay4,
u
D
c
B
povrBina
trougla
nac
je
o2/Z/g.
SliEno
'2-2
**
=
,"
-*r'
--
e. :"
"
-
*
=;,
(oper
nesarivna
vrednost ne dolazi
u obzir
jer je
zbog c>
f, r>j).
.1513
Kako
je
"*;=f,
a
x-;=;
to
se
sabiranjem gornjih
jed-
nakosti
dobija zr
=52
+
j
=
4,
a samo
x=2.
3.
oEigledno
je
lo2r'-r=(ton)2-1=1ion-i)
(rou+r).,
a
34=gt.
Dalje,
traZeni
Lzraz
je
ceo broj
samo kada
je
uodeni proizvod
deljiv
sa
81.
Kako
je
toz-r=ssgg...gg9
i
kako
je
t0u+1=
=f00...001,
to
je
prvi broj
uvek detjiv
sa
9,
a drugi nikada,
pa
je
dalje
razmatranje
identibno kao
u
2.
zadatku za
VI:r
yaz-
red.
4. Krake
AD
BC
trapeza
produiimo
do preseka,
a
prese-
Enu taEku
obeleZimo
sa
E.,Iz
Talesove
teoreme
)e
ABzCD=
=AL':DE,
tj.
25.15=(8+rc)
3r,
pa
le
25rc=120+15r,
a ::=12 cm. Ka-
ko
je
zbir
uglova na
osnovici
prav,
to
je
ugao ,4AB
takodje
prav,
pa
su trouglovi
ASB
i
,l'L'pravoug]-i.
Iz
pitagorine
teoreme
je
t'l-'=9
cnr i
BI=15
cm, pa
je
BC=BE-CE=6
cn.
Obim
trapeza
je
54 cm,
a
povrgina
jednaka
ra-
zlici povrSina
trouglova
ABL'
i
C'DE,
pa
.le
F=I50-54=96
cm2.
5.
Kada
datu
piramidu
sa
upisanom
kockom presedemo
sa
ravni koja prolazi
kroz
visinu piramide i
paralelna
je je<1noj
od osnovnih
ivica
pirarnide
kao presek
de se dobitt karakteri-
sti6an trougao.
Neka
je stranica
uobenog
kvadrata (ustvari stra-
nj-ca
kocke)
jednaka
rc.
Tada
je
zboq
Talesove
teorel'.€
ispunjena
tl
.
Kako
je
povrdina
kruZnog
prstena
p=n(n2_r,2)
to^
je
i
po_
traZenog
kruga jednaka
r
(,a2-12).
Ako
je,poluprednik.tra_
kruga
r,
onrJa
je
nr2=n
(n2-r2)
cdnosno
"z="rz-n|-,;
,"';"
kateta
pravouglog
trougl.a
u
kore
je
hig:terruza
.rr,
a
jednix
keitei:a
r-
vrSina
Zenog
cl
r
uga
5.
Di
j.agonala
osnoVe j
ednal:a
je
5
cm
=
v'7i2.
Kako je
trouqao
je
l,J=10,
a
t;p=.=5r'-3
cn.
i,ovrij.na
kvadra
)e
t'=124*rOll)
cm2,
a
zap-r
:c'.in.I
r=uOrJ
6;;1.
VIII
}IAZRTD
'I.
Neka
je traZeni trocifrenrbroi
I
00:+I
02,
+c=
12
(
a
+l:
+c
)
=
).
2
a- t2b +
I2e
.
Tacla
leva
strana
jedrrakosti
dcljive
sa
ll,
je
broj
b=0
(jer
je
r
cifra
manja
i
ti
II
(8a-e)=0,
pa
je
..=g
r,
odnosno
..=g
i
r08=12 (I+O+8).
I
I
I
-.
I
uolt'
/
iFV.
r'aaa
je
o6igledno
je
8Bc-iIc=2b.
Kako
je
to
lrror.r
br
r::-
I
clesna
,
pa
jeCnixa
9)
-
Tddd
Jc
;z=).,
pa
;e
crai.i:n-:_
itroj
\.ru
Jednakost
aano 72-L2x
je
odigledao
=6rrpa
Je
18x
-
?Ara
s=lg 66.Zapreniaa
piranid,e
v
=
V7.L22.
G
-
288
.rr
zapreniaa
MN:QS
=
H[: R
ilt
l2:r
=
6:(6-r)
,
odakle
d.obi_
Ltt
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 72/74
YL'
4V
-
64
r^
tocte
Je
"r].
D.i.l"
v:v,
=
2gg:6rr
-
)t2
PJSENJA
ZADATAKA
sA REPUBUCKoG
TAKMICE}.UA
VI
RAZRED
L.
Za n.1,
(1ot+35):
rt5
=
45:45
=
I.
Ako
je
n>.2,
onda
Je
bnoj
lon+35' 1oo...oo35
i o6igledno
je
deljiv
sa
5
(jer
mu
je
pos-
lednja
cifra
5)
i
sa
9
(jer
je
zbin
njegovih
cifana 1+3+5:9). To zna-
6i
da
je
i broj
lon+
35
deljiv,sa
45,
pa
j.e
kolldnik
(1on+35):45
uvek
pninodan
br:oj.
':
2.
Ma6ka
i
po
za dva
i
po
dana
poJede
t:ri i
po
miEa. To
zna6i da
3
nadke
za 5
dana
poJedu
4.3,5
=
14
niSeva, a
jedna
rnadka za
jedan
dan
pojede
14/15
mi a.
Jedna ma6ka
za 45
dana pojede
45.14/15:
3.1t+:42 mi5a,
a loo
na6aka
za
45
dana
6e
pojesti
1oo.42=42oo miSeva.
3. Neka
je
o
centan
kruga
upisanog
u trougao
lBC.
Tada su
B0
i
co
sinetrale
uglova. Dakle
uglovi
@o
i DBo su
jednaki.
Xako
je
i
.4CBo
=
4D0B
(kao
uglovi
sa
pa-
ral-elnin
knacima), to
je
trougao
BOD
jednokokrak,
pa
)e
D0= BD.lla
s1ican
naein
je
i
oE
=
CE.
obirn trougla
ADE
+tA
-
AD+D)+OE+EA
=
AD+DB+CE+EA
=
Ail+AC
=
c
+
jednak je
AD+DE+
b.
t+.
Trouglovi
ABc
i
BLM
su podudanni
(AB=BL
i
BM=BC;
1
ABC
=
9OO
=
4tua
=
4LBl,+
gABM
=
6o0+3o0)
3.
Trougao
ACE
je
p ,avo-
ugli,
pa
se oko
njega
moZe
opisati
knug 6iji
je
centar
u snedi5tu
hipotenuze
td.
Slidno
je
i
sa
L35
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 73/74
9(3+3+3)
i
noZa
raznih
vrednosti
2
dijagonale),
to
ov pr
incip),
gto
zbinovi.
fz podudarnosti
je
o6igledno
hiptenuza
AC
=
Lt. .
5.
Kvadnat
ina
tr^i
vrste,
tni
kol-one
i
dve
dijagonale. Zbin po svakoj
od
njih
rnoZe
biti
najrnanje
3(I+l+l),
a
najviEe
uzirnati
7
naznih
vnednosti
(3,4,5,6r7,8,9).
Kako
7
treba
nasponediti
na
g
nesta
(3
kolone+3
vnste
+
6e
se
bar
na
dva
mesta
zbir,ovi
podudaniti
(Dirihle_
znadi
da
na
svirn
rnestima
ne
mogu
biti
razliditi
tr"ouglon
.dCl,4.
Dakle
oko 6etvo-
,
rougla
AECI.
no|.e
se
opisati
krug.
Tada
je
4cEH=
4cAM(.kao
peri.-
fenijski
nad
tetivon
CM
).
Kako
je
4cAt4
=
6oo-4so
=
l.Eo,
to
je
i
ICE\I
=
J.So.
4.
lleka
je
D
podnoZje
visine
iz
ternena
C
i
neka
je
CD=c,
AD=V,
BD
=1tl-V
.
Prirnenorn
Pitagorine
tcoreme
na
trouglove
ACD
i
BCD
dobija
se:
c2.=rs2-
y2=r32-(r,+-y
)2. ouli"
je
225- y2=
f69-I96
+28y-
y2
,
pa
je
zey
=
252,
a=
9 cn.
Sada
je
a2=225-81=144:
Povr5jna
trougla
je
P
=
14.12:2
=
94
cn2.
S
druge
stnane
P
=
(15r
+13
r.):2:8r{, gde
je
tra;1enog
kruga.
Dobija
se 2Br
=
168r pa
je
r,=
6
traZenog
kruga
je
p1
=
36
%.
o^2.
a sama
visina
c= 12
cm
r"
poluprednik
cm,
a
povr5ina
VII
RAZRED
'
1.
Neka
je
tnaZeni
detvonocifreni
b.oj
jednak
TEdD.Taaa
je
9'TE.D
=
D.Fi.
odigredno
da
cifre
l
i D
monaju
biti.azr.i6ite
od
o.
Kako
je
9(1ooo,4+1ooB+IoC+D)=
loooD+lood+IoB+A,
to
je
i
goool+
goo8+
+9oC+9D
:
loooD+fooC+I'B+A
4
9999.
Zbog
A
>z
\19ooo
€
9ooo,4
_z
9999,
odakle
je
oligledno
l:1.
Slidno
9ooo.<IoooD4g99-o,
pa
je
r:9.
Zamenom
u
jednadinu
riobija
se
gooo+-ooor+got+g1:
gooo+100c+ro8+r,
ornosno
ggog
:
roc-8o
ili
89s:
c-8.
Kako
je
c-s
st,
to
898
moZe
biti
s.:mo
o,
t),
B=
0,
a
tada
je
C:g.
TnaZeni
broi
je
lo83
(9.io89
"
ggol).
2.
I,lcka
je
p=Z.
Tac.i
ju
p3*3p
=
23+32
=
s+9
:
17, pa je
jedno
reienje
nadeg
problenra
p:2.
nko
)e
p
r_3,
onda
jep
nepanan
broj,
a
tada
su
i p3
i
gP
takodje
neprrrii
brojevi.
ujihov
zbir
je
paran,
pa
ne
noi:e
biti
prost
broj,
Dakle jedino
rc5enje
je
p=2.
Pa le
5.
Onotad
36o:2r+
=
piranride
i.l
=
4
ah:2:2.
IZh
=
Z\h:36o
cm
15 cm.
Kako
je
h=
H
{2, to
je
I/:
Is/
V1 .
S1i-no
je
i visina
romba
h 1
jedna.ka
..
,/:
I5
v2.
Zapremina piranidc
jednaka
je
pa
je
lr
=
9oo cr3.
VIII
RAZRED
I.
Ako
je
devojdica
bilo c,
a
dedaka
y
onda
je
odigledno
rt?
1o:8
=
8: BD
i lo:6
=
6:ID.
7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja
http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 74/74
2oE
+
3oV
='L7o,
odnosno
2x'+ 3y:
17.
Kako
su a
i
y
pnir:odni
bnoje_
.vi
to.je. c 8,
a
U
5.
Kako
je
2c panno
to
je
3y
neparan
bnoj, pa
je
i
y
nepanan,
tj.
ae{t,z,s}
. Tada
ie
xe{t,
a,1}
. Kako
je
gnupa
imala
neparan
broj
lica
to
je
odigredno
biro 4
devoj6ice
i
3
dedaka
(sludajevi
1+7
i 5+I
otpadaju).
2. Kako
ie
,2-2,
+l
=
(g
-1)2 to
je
data
jednadina
ekvivalentna
jednadiniI.c
+
1l
+
[c
-
fl
.2c.
Ako
je
ez.-l
jednadina
ima obLik
-ic-l-5+1
=
-2u=
Zr,
pa
je
o:0,
Sto
odigledno
nije
r.e5enje,
jen
se ne
nalazi
u zadaton
intenvalu.
Ukoliko
je
-1
<c
<1
jednadina
dobija
oblik
a+1_c+l
=l
=
ls,
pa
je
a=
I
jedno
re5enje.
Ako
je
oz1
jedna6ina
dobija
oblik
c+l+s_L
=
2o:
2c, pa
jednadina postaje identitet, tj.
neEenje
su svi
bnojevi
intervara
Prema
tome.
neEenja
jedna6ine
su
svi
nealni
brojevi
o
>,1.
3.
l,leka
je
tnazena
hipotenuza
r,
a
nepoznata
kateta
y.
Tada
je
t2-y2
.36
ili
(d-y)
(x+y)
=
35.
Kako
su
c
i
y prinodni
brojevi
to
su
mogu6i
slede6i
sluEajevi:
a-g_-l,
a+y=g6.
a_V=Z
,
c+y:18i
a-y=3,
:c+u=
12,
u-y
=
\,,+V
=
g,
e-V=
6r
t+y
=
6.
Kako
zbir
i
razLika
dva prirodna
broja
inaju
istu parnost
to
p .va,
tre6a
i detvrta
kornbinacija
ne
dolaze
u
obzir,.
Nenogu6a
je
i
posrednji
kombinacija jen zbin
dvaprinodna
broja
mora
biti ve6i
oC
njihove
razlike.
ReSavanjen
druge
kombinacije
dobija
se
c=
1o,
A=
B.
Iz
sli|nosti
tnouglova
lBC,
ACD
i
BCD
dobija
sei
AB:BC=BC:BD
i
AB:AC=AC:AD
Radunanjem
se
dpblja BD
=
32/5 i
4D: 18/5,
pa
Je
AD:BD
=
9:16
Odavde
jer*
2
V3,
pa
Je
6:2:6V3.3.18\6.
"
4.
Kako
je
ABll
CD, to
Je
zbog Teleeove
teoreme AB:CD
2
B0:D0
=
t+22
=
2:L.
c
Ugao
DCA
=
48CA
t
4DCA =
,IBAC(ke
uglovl s
paralelnin
knacima).
O6itd
je
IBCA
=,,,BAC2
pa
je
tnougao I8(
Jednokokraki,
tj.AB=BC= 2t .
Tada
je
CD=
u.
Kako
Je
trougao BCD
pr.avougli
i BC:.2x
i
CDsr,
to
je
4BCD=600,aBD=6=a
G.
povnsinatr"apeza
P=ru
W+Z
V5l
5.
Neka
je
ll
snediSte
ivice
i1..".";1,"::::il.I;
;
:i;l;
rz
P'-
o'l
dobijamo CM=XAI
,
a iz
podudanno-
I
sti trouglova AALM
i .CTN,MAU=CK.
t
Dakle
itdf{l
je
panalelognam
i to
A
nornb,
jen je
MC=CN=NAl=Ara=a.
t[i/2.
Povn$ina
romba
jedrtaka
je
poluproizvodu
dijagonala,
pa
jg
p,Af .
MK
:
2
=
aVi. atfD :
z
=
a2
{F /
Z
o^2.