14.9 곡면의 접평면과 법선

, , = 0 • (, , )

방정식 , , = 0 는 곡면 를 나타낸다

곡면 위의 한 점 , , 을 지나는 임의의곡선을 : = , , ()라 하자.

, , = 0 , , = 0 • (, , )

′()(, , )

연쇄법칙 + + = 0 ∙ , , = ∙ = 0

곡선 는 , , 를 지나는 곡면 위의 임의의곡선 이므로 각각의 접선벡터는 점 에서의 접평면을 이룬다.

(, , ) 는 에서 곡면 의

법선벡터

점 , , 에서의 법선벡터 : (, , )점 에서 곡면 에 접하는 접평면의 방정식

, , − + , , − + , , − = 0점 에서 곡면 의 법선의 방정식 − (, , ) = − (, , ) = − (, , )

법선

접평면

(, , ) : , , = 0

법선벡터= (, , )

− (, , ) = − (, , ) = − (, , ) , , − + , , − + , , − = 0

Example 타원면 , , = 9 + 4 + − 29 = 0 위의 점 (1,2, −2)에서의 접평면과 법선의 방정식을 구하여라.

, , = , , = 18, 8, 2 1,2, −2 = 18,16, −4접평면의 방정식 18 − 1 + 16 − 2 − 4 + 2 = 09 + 8 − 2 = 0

법선의 방정식 − 118 = − 216 = + 2−4

Example 원 포물면 = + 위의 점 (1, −2,5)에서의접평면과 법선의 방정식 을 구하여라. , , = + − z = 0

, , = , , = 2, 2, −1 1, −2,5 = 2, −4, −1접평면의 방정식

법선의 방정식

2 − 1 − 4 + 2 − − 5 = 0 − 12 = + 2−4 = − 5−1 = , = +

, = , = (2, 2) 1, −2 = (2, −4)접평면의 방정식 : − 5 = 2 − 1 − 4( + 2) 법선의 방정식:

= =

Example 쌍엽쌍곡면 − − = 1 위의 점 , , 에서의

접평면의 방정식을 구하여라.

점 , , 가 곡면 위 의 점이므로 − − = 1 , , = − − − 1 = 0 , , = 2 , 2 , 2 , , = 2 , 2 , 2

접평면의 방정식: − + y − + − = 0

2 + 2 + 2 = 2 − 2 − 2 = 2

+ + =1

14.10 테일러(Taylor) 의 급수

= ()의 Maclaurin 급수전개

= 0 + 0 + ! + ()()! + ⋯ + ! ⋯

= 1 + + + ! + ⋯ + ! + ⋯ , −∞ < < ∞11 − = 1 + + + + ⋯ + + ⋯ , −1 < < 111 + = 1 − + − + ⋯ + (−1) + ⋯ , −1 < < 1ln 1 + = − 2 + 3 − 4 + ⋯sin = − ! + ! − ⋯ + −1 ! + ⋯, −∞ < < ∞

z= (, ) 의 Maclaurin 급수전개

= 0 + 0 + ! + ()()! + ⋯ + ! ⋯ , = 0,0 + 0,0 + 0,0 + 12! (0,0) + 2 0,0 + (0,0) + ⋯

= ∑ ! +

Example (0,0) 근방에서 , = sin 의 2차 근사다항식을 구하여라.

Example (0,0) 근방에서 , = ln 1 + 2 + 의 2차 근사다항식을 구하여라.

= 에서 = () 의 Taylor의 급수전개

= + ( − ) + ! ( − )+ ()()! ( − )+ ⋯ + ! ( − )⋯(, ) 에서 = (, ) 의 Taylor의 급수전개

, = , + (, ) − + (, )( − )+ 12! , ( − )+2 , − − + (, )( − )+ ⋯

Example (2,1) 에서 , = ln(1 + + 2) 에관한 Taylor 급수전개를 구하라.

, = 11 + + 2 , = 21 + + 2(2,1) = 15

(, ) = − 2(1 + + 2) (, ) = − 4(1 + + 2) (, ) = − 1(1 + + 2) 2,1 = 5 (2,1) = 25 2,1 = − 125 2,1 = − 225 2,1 = − 425

, = 2,1 + (2,1) − 2 + (2,1)( − 1) + 12! 2,1 ( − 2)+2 2,1 − 2 − 1 + (2,1)( − 1)ln(1 + + 2) = 5 + 15 − 2 + 25 ( − 1) + 12! − 125 ( − 2)− 425 − 2 − 1 − 425 ( − 1)

14.11 극값

= ()

극대

극대

극소

극소

()()

()

()

() ≤ ()

() ≤ () = 0 = 0

= 0

= 0 < 0

< 0

> 0 > 0

1변수함수 = ()의 극값판정

1. 임계점 구하기: = 0 을 만족하는 를 구한다.

2. = 0 일 때, > 0 이면 = 에서 극소값 () 를 갖는다.

< 0 이면 = 에서 극대값 () 를 갖는다.

임계점(Critrical point) 란 미분계수가 0 이거나 미분불가능 점을 말한다.

2변수함수 = (, )의 임계점

평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여(, ) ≥ (, )이면 = (, ) 는 (, )에서 극소값을 갖는다.

평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여(, ) ≤ (, )이면 = (, ) 는 (, )에서 극대값을 갖는다.

극대

극소

극대

극대

극소

극소

(, ) 가 (, )에서 극대값 또는 극소값을 가지면

, = , = 0

(, )에서 , = , = 0 이거나 미분이 가능하지 않을 때

임계점(Critical point) 라 한다.

극대

Example , = + 4 − − 8 − 6 의 임계점을 구하여라.

, = 2 + 4 − 8 = 0 , = 4 − 2 − 6 = 0 = 2 = 1Example , = − 의 임계점을 구하고 극대 또는 극소를 판정하여라.

, = 2 = 0 , = −2 = 0 = 0 = 0 , 0 = > 0 0, = − < 0 (0,0) 에서 극대도 아니고 극소도 아니다.

평면 위의 점 (, ) 근처의 점 (, )에 대하여 , > (, ) 이고 , < (, )를 만족하면 (, )에서 안장점(saddle point)를 갖는다고 한다.

= (, ) 의 극값 판정법-이차도함수 판정법

1. 임계점 구하기 : 1차 도함수

연립방정식 , = 0 , = 0 의 해 (, ) = , + , = 0

2. Hessian 구하기 = , + 2 , + (, ) = (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) = (, ) (, ) (, ) (, )

= (, )(, ) − (, )

2차 도함수 판정법

1. (, ) > 0 이고 , > 0 (, ) 에서 극소값 (, )를 갖는다.

2. (, ) > 0 이고 , < 0 (, ) 에서 극대값 (, )를 갖는다.

3. (, ) < 0 (, ) 에서 안장점을 갖는다.

4. (, ) = 0 이면 다른 방법으로

1. (, ) > 0 이고 , > 0 , , − , > 0 이므로 , > 0 ⇔ , > 02. (, ) > 0 이고 , < 0 , < 0 ⇔ , < 03. (, ) < 0 , < 0 ⇔ , > 0

(, ) = (, ) (, ) (, ) (, )= (, )(, ) − (, )

Example , = ( + − 3) 의 극값을 구하여라.

Example , = + + 3 − 3 − 8 의 극값을 구하여라.

Example , = 의 극값을 구하여라.

Example 미적분을 써서 평면 2 + 3 + 6 = 21 까지의 최단거리를 구하여라.

Example 영역 = , | + ≤ 1 의 한 점 (, ) 에서의 온도가 , = 16 + 24 + 40로 주어졌을 때, 그 영역에서 가장 높은 온도와 가장 낮은 온도를 구하여라.

1. 극대, 극소를 구한다.-도함수 판정법

2. 주어진 영역의 경계에서 최대, 최소를 구한다. + = 1 = 16 + 24 + 40= 16 + 24 + 40(1 − )= −24 + 24 + 40 − 1 ≤ ≤ 1