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15 Vector Analysis
In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagneticfields, and gravitational fields.
NASA
In this chapter, you will study vectorfields, line integrals, and surface integrals.You will learn to use these to determinereal-life quantities such as surface area,mass, flux, work, and energy.
In this chapter, you should learn the following.
� How to sketch a vector field, determinewhether a vector field is conservative,find a potential function, find curl, andfind divergence. (15.1)
� How to find a piecewise smooth parametrization, write and evaluate aline integral, and use Green’s Theorem.(15.2, 15.4)
� How to use the Fundamental Theorem of Line Integrals, independence of path,and conservation of energy. (15.3)
� How to sketch a parametric surface,find a set of parametric equations to represent a surface, find a normal vector,find a tangent plane, and find the area of a parametric surface. (15.5)
� How to evaluate a surface integral,determine the orientation of a surface,evaluate a flux integral, and use theDivergence Theorem. (15.6, 15.7)
� How to use Stokes’s Theorem to evaluate a line integral or a surface integral andhow to use curl to analyze the motion of a rotating liquid. (15.8)
While on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to a basket and slide wire system that is designed to move them as far away from theshuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by the gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixedpoints? (See Section 15.3, Exercise 39.)
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15 Análisis vectorialEn este capítulo se estudiarán los camposvectoriales, integrales de línea e integralesde superficie. Se aprenderá a usarlos paradeterminar cantidades en la vida real, comoel área de una superficie, masa, flujo, traba-jo y energía.En este capítulo, se aprenderá:
n Cómo dibujar un campo vectorial, deter-minar si es conservativo, encontrar unafunción de potencial, el rotacional y ladivergencia. (15.1)
n Cómo encontrar una parametrizacióncontinua por secciones, escribir y evaluaruna integral de línea y utilizar el teoremade Green. (15.2, 15.4)
n Cómo usar el teorema fundamental delas integrales de línea, la independenciade la trayectoria y la conservación deenergía. (15.3)
n Cómo dibujar una superficie paramétrica,encontrar un conjunto de ecuacionesparamétricas para representar una super-ficie, determinar un vector normal, unplano tangente y el área de una superficieparamétrica. (15.5)
n Cómo evaluar una integral de superficie,determinar la orientación de una superfi-cie, evaluar una integral de flujo y usarel teorema de la divergencia. (15.6, 15.7)
n Cómo utilizar el teorema de Stokes paraevaluar una integral de línea o superficiey cómo usar el rotacional para analizar elmovimiento de un líquido que gira. (15.8)
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15 Vector Analysis
In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagneticfields, and gravitational fields.
NASA
In this chapter, you will study vectorfields, line integrals, and surface integrals.You will learn to use these to determinereal-life quantities such as surface area,mass, flux, work, and energy.
In this chapter, you should learn the following.
� How to sketch a vector field, determinewhether a vector field is conservative,find a potential function, find curl, andfind divergence. (15.1)
� How to find a piecewise smooth parametrization, write and evaluate aline integral, and use Green’s Theorem.(15.2, 15.4)
� How to use the Fundamental Theorem of Line Integrals, independence of path,and conservation of energy. (15.3)
� How to sketch a parametric surface,find a set of parametric equations to represent a surface, find a normal vector,find a tangent plane, and find the area of a parametric surface. (15.5)
� How to evaluate a surface integral,determine the orientation of a surface,evaluate a flux integral, and use theDivergence Theorem. (15.6, 15.7)
� How to use Stokes’s Theorem to evaluate a line integral or a surface integral andhow to use curl to analyze the motion of a rotating liquid. (15.8)
While on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to a basket and slide wire system that is designed to move them as far away from theshuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by the gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixedpoints? (See Section 15.3, Exercise 39.)
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Mientras esperan el despegue en tierra, los astronautas del transbordador espacialtienen acceso a un sistema alámbrico de canasta y tobogán diseñado para transportar-los lo más lejos posible del transbordador en una situación de emergencia. ¿La cantidadde trabajo realizado por el campo de fuerza gravitacional varía para diferentes trayecto-rias entre dos puntos fijos del tobogán alámbrico? (Ver la sección 15.3, ejercicio 39.)
En el capítulo 15 se combinará el conocimiento de vectores con el del cálculo integral. La sección 15.1 introducecampos vectoriales, como los que se muestran arriba. Ejemplos de campos vectoriales incluyen campos de veloci-dad, campos electromagnéticos y campos gravitacionales.
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15 Vector Analysis
In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagneticfields, and gravitational fields.
NASA
In this chapter, you will study vectorfields, line integrals, and surface integrals.You will learn to use these to determinereal-life quantities such as surface area,mass, flux, work, and energy.
In this chapter, you should learn the following.
� How to sketch a vector field, determinewhether a vector field is conservative,find a potential function, find curl, andfind divergence. (15.1)
� How to find a piecewise smooth parametrization, write and evaluate aline integral, and use Green’s Theorem.(15.2, 15.4)
� How to use the Fundamental Theorem of Line Integrals, independence of path,and conservation of energy. (15.3)
� How to sketch a parametric surface,find a set of parametric equations to represent a surface, find a normal vector,find a tangent plane, and find the area of a parametric surface. (15.5)
� How to evaluate a surface integral,determine the orientation of a surface,evaluate a flux integral, and use theDivergence Theorem. (15.6, 15.7)
� How to use Stokes’s Theorem to evaluate a line integral or a surface integral andhow to use curl to analyze the motion of a rotating liquid. (15.8)
While on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to a basket and slide wire system that is designed to move them as far away from theshuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by the gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixedpoints? (See Section 15.3, Exercise 39.)
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15 Vector Analysis
In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagneticfields, and gravitational fields.
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In this chapter, you will study vectorfields, line integrals, and surface integrals.You will learn to use these to determinereal-life quantities such as surface area,mass, flux, work, and energy.
In this chapter, you should learn the following.
� How to sketch a vector field, determinewhether a vector field is conservative,find a potential function, find curl, andfind divergence. (15.1)
� How to find a piecewise smooth parametrization, write and evaluate aline integral, and use Green’s Theorem.(15.2, 15.4)
� How to use the Fundamental Theorem of Line Integrals, independence of path,and conservation of energy. (15.3)
� How to sketch a parametric surface,find a set of parametric equations to represent a surface, find a normal vector,find a tangent plane, and find the area of a parametric surface. (15.5)
� How to evaluate a surface integral,determine the orientation of a surface,evaluate a flux integral, and use theDivergence Theorem. (15.6, 15.7)
� How to use Stokes’s Theorem to evaluate a line integral or a surface integral andhow to use curl to analyze the motion of a rotating liquid. (15.8)
While on the ground awaiting liftoff, space shuttle astronauts have access to a basket and slide wire system that is designed to move them as far away from theshuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by the gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixedpoints? (See Section 15.3, Exercise 39.)
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1058 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
15.1 Campos vectoriales
n Comprender el concepto de un campo vectorial.n Determinar si un campo vectorial es conservativo.n Calcular el rotacional de un campo vectorial.n Calcular la divergencia de un campo vectorial.
Campos vectoriales
En el capítulo 12 se estudiaron funciones vectoriales que asignan un vector a un númeroreal. Se comprobó que las funciones vectoriales de números reales son útiles para repre-sentar curvas y movimientos a lo largo de una curva. En este capítulo se estudiarán otrosdos tipos de funciones vectoriales que asignan un vector a un punto en el plano o a unpunto en el espacio. Tales funciones se llaman campos vectoriales (campos de vecto-res), y son útiles para representar varios tipos de campos de fuerza y campos de veloci-dades.
Aunque un campo vectorial está constituido por infinitos vectores, se puede obtener unaidea aproximada de su estructura dibujando varios vectores representativos F(x, y), cuyos puntos ini-ciales son (x, y). n
El gradiente es un ejemplo de un campo vectorial. Por ejemplo, si
entonces el gradiente de
Campo vectorial en el plano.
es un campo vectorial en el plano. Del capítulo 13, la interpretación gráfica de este cam-po es una familia de vectores cada uno de los cuales apunta en la dirección de máximocrecimiento a lo largo de la superficie dada por
De manera similar, si
entonces el gradiente de
Campo vectorial en el espacio.
es un campo vectorial en el espacio. Notar que las funciones componentes para este campovectorial particular son 2x, 2y y 2z.
Un campo vectorial
es continuo en un punto si y sólo si cada una de sus funciones componentes M, N y P escontinua en ese punto.
5 2x i 1 2yj 1 2zk
=fsx, y, zd 5 fxsx, y, zdi 1 fysx, y, zdj 1 fzsx, y, zdk
f
fsx, y, zd 5 x2 1 y2 1 z2
z 5 fsx, yd.
f
NOTA
DEFINICIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL
Un campo vectorial sobre una región plana R es una función F que asigna unvector F(x, y) a cada punto en R.
Un campo vectorial sobre una región sólida Q en el espacio es una función F queasigna un vector F(x, y, z) a cada punto en Q.
� Understand the concept of a vector field.� Determine whether a vector field is conservative.� Find the curl of a vector field.� Find the divergence of a vector field.
Vector FieldsIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign a vector toa real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are usefulin representing curves and motion along a curve. In this chapter, you will study twoother types of vector-valued functions—functions that assign a vector to a point in theplane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are usefulin representing various types of force fields and velocity fields.
The gradient is one example of a vector field. For example, if
then the gradient of
Vector field in the plane
is a vector field in the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation of this fieldis a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increasealong the surface given by
Similarly, if
then the gradient of
Vector field in space
is a vector field in space. Note that the component functions for this particular vectorfield are and
A vector field
is continuous at a point if and only if each of its component functions and iscontinuous at that point.
PN,M,
F�x, y, z� � M�x, y, z�i � N�x, y, z�j � P�x, y, z�k
2z.2x, 2y,
� 2x i � 2yj � 2zk
�f�x, y, z� � fx�x, y, z�i � fy�x, y, z�j � fz�x, y, z�k
f
f�x, y, z� � x2 � y2 � z2
z � f�x, y�.
� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j
�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j
f
f�x, y� � x2y � 3xy3
1058 Chapter 15 Vector Analysis
15.1 Vector Fields
DEFINITION OF VECTOR FIELD
A vector field over a plane region is a function that assigns a vectorto each point in
A vector field over a solid region in space is a function that assigns avector to each point in Q.F�x, y, z�
FQ
R.F�x, y�FR
NOTE Although a vector field consists of infinitely many vectors, you can get a good idea ofwhat the vector field looks like by sketching several representative vectors whose initialpoints are ��x, y�.
F�x, y�
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� Understand the concept of a vector field.� Determine whether a vector field is conservative.� Find the curl of a vector field.� Find the divergence of a vector field.
Vector FieldsIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign a vector toa real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are usefulin representing curves and motion along a curve. In this chapter, you will study twoother types of vector-valued functions—functions that assign a vector to a point in theplane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are usefulin representing various types of force fields and velocity fields.
The gradient is one example of a vector field. For example, if
then the gradient of
Vector field in the plane
is a vector field in the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation of this fieldis a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increasealong the surface given by
Similarly, if
then the gradient of
Vector field in space
is a vector field in space. Note that the component functions for this particular vectorfield are and
A vector field
is continuous at a point if and only if each of its component functions and iscontinuous at that point.
PN,M,
F�x, y, z� � M�x, y, z�i � N�x, y, z�j � P�x, y, z�k
2z.2x, 2y,
� 2x i � 2yj � 2zk
�f�x, y, z� � fx�x, y, z�i � fy�x, y, z�j � fz�x, y, z�k
f
f�x, y, z� � x2 � y2 � z2
z � f�x, y�.
� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j
�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j
f
f �x, y� � x2y � 3xy3
1058 Chapter 15 Vector Analysis
15.1 Vector Fields
DEFINITION OF VECTOR FIELD
A vector field over a plane region is a function that assigns a vectorto each point in
A vector field over a solid region in space is a function that assigns avector to each point in Q.F�x, y, z�
FQ
R.F�x, y�FR
NOTE Although a vector field consists of infinitely many vectors, you can get a good idea ofwhat the vector field looks like by sketching several representative vectors whose initialpoints are ��x, y�.
F�x, y�
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� Understand the concept of a vector field.� Determine whether a vector field is conservative.� Find the curl of a vector field.� Find the divergence of a vector field.
Vector FieldsIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign a vector toa real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are usefulin representing curves and motion along a curve. In this chapter, you will study twoother types of vector-valued functions—functions that assign a vector to a point in theplane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are usefulin representing various types of force fields and velocity fields.
The gradient is one example of a vector field. For example, if
then the gradient of
Vector field in the plane
is a vector field in the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation of this fieldis a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increasealong the surface given by
Similarly, if
then the gradient of
Vector field in space
is a vector field in space. Note that the component functions for this particular vectorfield are and
A vector field
is continuous at a point if and only if each of its component functions and iscontinuous at that point.
PN,M,
F�x, y, z� � M�x, y, z�i � N�x, y, z�j � P�x, y, z�k
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� 2x i � 2yj � 2zk
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f
f�x, y, z� � x2 � y2 � z2
z � f�x, y�.
� �2xy � 3y3�i � �x2 � 9xy2�j
�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j
f
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1058 Chapter 15 Vector Analysis
15.1 Vector Fields
DEFINITION OF VECTOR FIELD
A vector field over a plane region is a function that assigns a vectorto each point in
A vector field over a solid region in space is a function that assigns avector to each point in Q.F�x, y, z�
FQ
R.F�x, y�FR
NOTE Although a vector field consists of infinitely many vectors, you can get a good idea ofwhat the vector field looks like by sketching several representative vectors whose initialpoints are ��x, y�.
F�x, y�
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SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1059
Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de veloci-dades, los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas.
1. Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en elplano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo vectorial determi-nado por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la locali-zación de sus puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es suvelocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos através de un recipiente o por el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil,como se muestra en la figura 15.2.
2. Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que estableceque la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m1 localizada en (x, y, z)por una partícula de masa m2 localizada en (0, 0, 0) está dada por
donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origena (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene laspropiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud deF(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorialcon estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vectorposición
para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como
3. Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece quela fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q1 localizada en (x, y, z) por unapartícula con carga eléctrica q2 localizada en (0, 0, 0) está dada por
donde y c es una constante que depende de la elecciónde unidades para y
Nótese que un campo de fuerzas eléctricas tiene la misma forma que un campo gravi-tatorio. Es decir,
Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrático inverso.
Fsx, y, zd 5k
ir i2 u.
q2.ir i, q1,u 5 ryir i,r 5 x i 1 yj 1 zk,
Fsx, y, zd 5cq1q2
ir i2 u
52Gm1m2
ir i2 u.
Fsx, y, zd 52Gm1m2
ir i2 1 riri2
r 5 x i 1 yj 1 zk
Fsx, y, zd 52Gm1m2
x2 1 y2 1 z2 u
Campo de velocidades
Rueda rotanteFigura 15.1
Campo vectorial de flujo del aireFigura 15.2
x
y
m1 se localiza en (x, y, z).m2 se localiza en (0, 0, 0).
(x, y, z)
z
Campo de fuerzas gravitatorioFigura 15.3
DEFINICIÓN DE CAMPO CUADRÁTICO INVERSO
Sea un vector posición. El campo vectorial F es uncampo cuadrático inverso si
donde k es un número real y es un vector unitario en la dirección de r.u 5 ryir i
Fsx, y, zd 5k
ir i2 u
rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk
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1060 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Como los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, no es posi-ble hacer un dibujo de todo el campo completo. En lugar de esto, cuando se esboza uncampo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizarel campo.
EJEMPLO 1 Dibujo de un campo vectorial
Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por
Solución Se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo,es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvasde nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentranen círculos.
Vectores de longitud c.
Ecuación del círculo.
Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en la cir-cunferencia resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en la circunfe-rencia unitaria.
Punto Vector
En la figura 15.4 se muestran éstos y algunos otros vectores del campo vectorial. Nóteseen la figura que este campo vectorial es parecido al dado por la rueda giratoria mostrada enla figura 15.1.
EJEMPLO 2 Dibujo de un campo vectorial
Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por
Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual longitud están sobre las elipsesdadas por
lo cual implica que
Para dibujar varios vectores de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por
Para dibujar varios vectores de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por
Estos vectores se muestran en la figura 15.5.
4x2 1 y2 5 4.
2x i 1 yjc 5 2,
4x2 1 y2 5 1.
2x i 1 yjc 5 1,
4x2 1 y2 5 c2.
iF i 5 !s2xd2 1 s yd2 5 c
Fsx, yd 5 2xi 1 yj.
Fs0, 21d 5 is0, 21d
Fs21, 0d 5 2js21, 0d
Fs0, 1d 5 2is0, 1d
Fs1, 0d 5 js1, 0d
x2 1 y2 5 c2
!x2 1 y2 5 c
iF i 5 c
Fsx, yd 5 2yi 1 xj.
3
31
2
1
x
F(x, y) = −yi + xjCampo vectorial:
y
Figura 15.4
Campo vectorial:F(x, y) = 2xi + yj
x2−2 3−3−4
−4
4
c = 2c = 1
y
−3
3
Figura 15.5
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SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1061
EJEMPLO 3 Esbozo de un campo vectorial
Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por
donde
Solución Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de untubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos alborde del tubo. Por ejemplo, en el punto (0, 0, 0), el vector velocidad es v(0, 0, 0) =16k, considerando que en el punto (0, 3, 0), el vector velocidad es v(0, 3, 0) = 7k. Lafigura 15.6 muestra éstos y varios otros vectores para el campo de velocidades. De lafigura, se observa que la velocidad del fluido es mayor en la zona central que en losbordes del tubo.
Campos vectoriales conservativos
En la figura 15.5 todos los vectores parecen ser normales a la curva de nivel de la queemergen. Porque ésta es una propiedad de los gradientes, es natural preguntar si el campovectorial dado por es el gradiente de alguna función diferenciable ƒ.La respuesta es que algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales con-servativos, pueden representarse como los gradientes de funciones diferenciables, mien-tras que algunos otros no pueden.
EJEMPLO 4 Campos vectoriales conservativos
a) El campo vectorial dado por es conservativo. Para comprobarlo,
considerar la función potencial Como
se sigue que F es conservativo.
b) Todo campo cuadrático inverso es conservativo. Para comprobarlo, sea
y
donde Como
se deduce que F es conservativo.
5k
ir i2 u
5k
ir i2 r
ir i
5k
x2 1 y2 1 z2 1 x i 1 yj 1 zk!x2 1 y2 1 z22
=f 5kx
sx2 1 y2 1 z2d3y2 i 1ky
sx2 1 y2 1 z2d3y2 j 1kz
sx2 1 y2 1 z2d3y2 k
u 5 ryir i.
fsx, y, zd 52k
!x2 1 y2 1 z2Fsx, y, zd 5
kir i2 u
=f 5 2x i 1 yj 5 F
fsx, yd 5 x2 112 y2.
Fsx, yd 5 2x i 1 yj
Fsx, yd 5 2x i 1 yj
x2 1 y2 ≤ 16.
vsx, y, zd 5 s16 2 x2 2 y2dk
x
y
Campo de velocidades:v(x, y, z) = (16 − x2 − y2)k
44
16
z
Figura 15.6
DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable ƒtal que La función ƒ se llama función potencial para F.F 5 =f.
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1062 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, inclu-yendo campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la ter-minología introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conser-vativo” se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley estableceque la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve enun campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es laenergía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posiciónen el campo de fuerzas.)
El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que uncampo vectorial en el plano sea conservativo.
Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conser-vativo, suponer que existe una función potencial ƒ tal que
Entonces se tiene
y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas y se puede concluir que para todo en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la
sección 15.4.
El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es sim-plemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figu-ra 15.26 en la sección 15.4. n
EJEMPLO 5 Prueba de campos vectoriales conservativos en el plano
Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo.
a) b)
Solución
a) El campo vectorial dado por no es conservativo porque
y
b) El campo vectorial dado por es conservativo porque
yNx
5
xf yg 5 0.
My
5
yf2xg 5 0
Fsx, yd 5 2x i 1 yj
Nx
5
xfxyg 5 y.
My
5
yfx2yg 5 x2
Fsx, yd 5 x2yi 1 xyj
Fsx, yd 5 2xi 1 yjFsx, yd 5 x2yi 1 xyj
NOTA
sx, ydNyx 5 Myyfyx,fxy
fyxsx, yd 5Nx
fysx, yd 5 N
fxysx, yd 5My
fxsx, yd 5 M
Fsx, yd 5 =fsx, yd 5 Mi 1 Nj.
DEMOSTRACIÓN
TEOREMA 15.1 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO
Sea y dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un discoabierto El campo vectorial dado por es conservativo si ysólo si
Nx
5My
.
Fsx, yd 5 Mi 1 NjR.NM
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SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1063
El teorema 15.1 permite decidir si un campo vectorial es o no conservativo. Pero nodice cómo encontrar una función potencial de F. El problema es comparable al de la inte-gración indefinida. A veces se puede encontrar una función potencial por simple inspec-ción. Así, en el ejemplo 4 se observa que
tiene la propiedad de que
EJEMPLO 6 Calcular una función potencial para
Hallar una función potencial para
Solución Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo porque
y
Si ƒ es una función cuyo gradiente es igual a F(x, y), entonces
lo cual implica que
y
Para reconstruir la función ƒ de estas dos derivadas parciales, se integra con respec-to a y con respecto a y, como sigue.
Nótese que g(y) es constante con respecto a x y h(x) es constante con respecto a y. Parahallar una sola expresión que represente ƒ(x, y), sea
y
Entonces, se puede escribir
Este resultado se puede verificar formando el gradiente de ƒ. Usted podrá que es igual a la función original F.
La solución en el ejemplo 6 es comparable a la dada por una integral indefinida. Es decir,la solución representa a una familia de funciones potenciales, dos de las cuales difieren por una cons-tante. Para hallar una solución única, se tendría que fijar una condición inicial que deba satisfacer lafunción potencial. n
NOTA
5 x2y 2y2
21 K.
fsx, yd 5 x2y 1 gsyd 1 K
hsxd 5 K.gsyd 5 2y2
2
fsx, yd 5 E fysx, yd dy 5 E sx2 2 yd dy 5 x2y 2y2
21 hsxd
fsx, yd 5 E fxsx, yd dx 5 E 2xy dx 5 x2y 1 gsyd
fysx, ydxfxsx, yd
fysx, yd 5 x2 2 y.
fxsx, yd 5 2xy
=fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj
xfx2 2 yg 5 2x.
yf2xyg 5 2x
Fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj.
Fxx, yc
=fsx, yd 5 2x i 1 yj.
fsx, yd 5 x2 112
y2
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1064 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Rotacional de un campo vectorial
El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de estable-cer ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio.
Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional. n
La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gra-diente como el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función Eneste contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnicapara recordar la fórmula para el rotacional.
EJEMPLO 7 Cálculo del rotacional de un campo vectorial
Hallar rot F para el campo vectorial dado por
¿Es F irrotacional?
Solución El rotacional de F está dado por
Como rot F = 0, F es irrotacional.
5 0.
5 s2z 2 2zdi 2 s0 2 0dj 1 s2x 2 2xdk
5 | y
x2 1 z2
z
2yz|i 2 | x
2xy
z
2yz|j 1 | x
2xy
y
x2 1 z2|k 5 | i
x
2xy
j
y
x2 1 z2
k
z
2yz|curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd
Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk.
5 1Py
2Nz 2i 2 1P
x2
Mz 2j 1 1N
x2
My 2k
5 | i
x
M
j
y
N
k
z
P | curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd
f.==f
NOTA
DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
El rotacional de es
5 1Py
2Nz 2i 2 1P
x2
Mz 2j 1 1N
x2
My 2k.
curl Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
rot F
rot F
rot F
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SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1065
Más adelante, en este capítulo, se asignará una interpretación física al rotacional de uncampo vectorial. Pero por ahora, el uso primario del rotacional se muestra en la siguienteprueba para campos vectoriales conservativos en el espacio. El criterio establece que paraun campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abier-ta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y sólo si F es conservativo. Lademostración es similar a la dada para el teorema 15.1.
Del teorema 15.2 se puede ver que el campo vectorial del ejemplo 7 es conservativo,ya que rot F(x, y, z) = 0. Comprobar que el campo vectorial
no es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es
Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto,conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo uti-lizado en el plano (como se demostró en el ejemplo 6).
EJEMPLO 8 Calcular una función potencial para
Hallar una función potencial para
Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si ƒes una función tal que entonces
y
e integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene
Comparando estas tres versiones de concluir que
y
Por tanto, resulta ser
fsx, y, zd 5 x2y 1 yz2 1 K.
fsx, y, zd
ksx, yd 5 x2y 1 K.hsx, zd 5 K,gs y, zd 5 yz2 1 K,
fsx, y, zd,
fsx, y, zd 5 E P dz 5 E 2yz dz 5 yz2 1 ksx, yd.
fsx, y, zd 5 E N dy 5 E sx2 1 z2d dy 5 x2y 1 yz2 1 hsx, zd
fsx, y, zd 5 E M dx 5 E 2xy dx 5 x2y 1 gs y, zd
fzsx, y, zd 5 2yzfysx, y, zd 5 x2 1 z2,fxsx, y, zd 5 2xy,
Fsx, y, zd 5 =fsx, y, zd,
Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk.
Fxx, y, zc
curl Fsx, y, zd 5 sx3y2 2 2xydj 1 s2xz 2 2x3yzdk Þ 0.
Fsx, y, zd 5 x3y2z i 1 x2zj 1 x2yk
Los ejemplos 6 y 8 son lasilustraciones de un tipo de problemas llamados reconstrucción de una fun-ción a partir de su gradiente. Si sedecide tomar un curso en ecuacionesdiferenciales, se estudiarán otros méto-dos para resolver este tipo de proble-mas. Un método popular da una inter-acción entre las “integraciones par-ciales” sucesivas y derivaciones par-ciales. n
NOTA
TEOREMA 15.2 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO
Suponer que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esferaabierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por esconservativo si y sólo si
rot F(x, y, z) 5 0.
Es decir, F es conservativo si y sólo si
yNx
5My
.Px
5Mz
,Py
5Nz
,
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
rot F
El teorema 15.2 es válidopara dominios simplemente conectadosen el espacio. Un dominio simplementeconexo en el espacio es un dominio Dpara el cual cada curva simple cerradaen D (ver la sección 15.4) se puedereducir a un punto en D sin salirsede D. n
NOTA
Larson-15-01.qxd 3/12/09 19:45 Page 1065
1066 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Divergencia de un campo vectorial
Se ha visto que el rotacional de un campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otrafunción importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una funciónescalar.
La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar como un operador diferencial, como sigue.
EJEMPLO 9 Divergencia de un campo vectorial
Hallar la divergencia en para el campo vectorial
Solución La divergencia de F es
En el punto la divergencia es
Hay muchas propiedades importantes de la divergencia y el rotacional de un campovectorial F (ver ejercicios 83 a 89). Se establece una de uso muy frecuente en el teorema15.3. En el ejercicio 90 se pide demostrar este teorema.
s2, 1, 21d,
div Fsx, y, zd 5
xfx3y2zg 1
yfx2zg 1
zfx2yg 5 3x2y2z.
Fsx, y, zd 5 x3y2zi 1 x2zj 1 x2yk.
s2, 1, 21d
5Mx
1Ny
1Pz
= ? Fsx, y, zd 5 31
x2i 1 1
y2j 1 1
z2k4 ? sM i 1 N j 1 Pkd
=
La divergencia puede versecomo un tipo de derivadas de F ya que,para campos de velocidades de partícu-las, mide el ritmo de flujo de partículaspor unidad de volumen en un punto.En hidrodinámica (el estudio delmovimiento de fluidos), un campo develocidades de divergencia nula sellama incompresible. En el estudio deelectricidad y magnetismo, un campovectorial de divergencia nula se llamael solenoidal. n
NOTA
DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
La divergencia de es
Plano.
La divergencia de es
Espacio.
Si entonces se dice que F es de divergencia nula.div F 5 0,
div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5Mx
1Ny
1Pz
.
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5Mx
1Ny
.
Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
Si es un campo vectorial y M, N y P tienen segundasderivadas parciales continuas, entonces
div (rot F) 5 0.
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
15.1 Vector Fields 1067
15.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067
Divergence of a Vector FieldYou have seen that the curl of a vector field is itself a vector field. Another importantfunction defined on a vector field is divergence, which is a scalar function.
The dot product notation used for divergence comes from considering as adifferential operator, as follows.
EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field
Find the divergence at for the vector field
Solution The divergence of is
At the point the divergence is
n
There are many important properties of the divergence and curl of a vector field(see Exercises 83– 89). One that is used often is described in Theorem 15.3. You are
asked to prove this theorem in Exercise 90.F
div Fs2, 1, 21d 5 3s22ds12ds21d 5 212.
s2, 1, 21d,
div Fsx, y, zd 5
xfx3y2zg 1
yfx2zg 1
zfx2yg 5 3x2y2z.
F
Fsx, y, zd 5 x3y2zi 1 x2zj 1 x2yk.
s2, 1, 21d
5Mx
1Ny
1Pz
= ? Fsx, y, zd 5 31
x2i 1 1
y2j 1 1
z2k4 ? sM i 1 N j 1 Pkd
=
F
1066 Chapter 15 Vector Analysis
DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD
The divergence of is
Plane
The divergence of is
Space
If then is said to be divergence free.Fdiv F 5 0,
div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5Mx
1Ny
1Pz
.
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5Mx
1Ny
.
Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL
If is a vector field and and have continuoussecond partial derivatives, then
divscurl Fd 5 0.
PN,M,Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
NOTE Divergence can be viewed as atype of derivative of in that, for vectorfields representing velocities of movingparticles, the divergence measures therate of particle flow per unit volume at a point. In hydrodynamics (the studyof fluid motion), a velocity field that isdivergence free is called incompressible.In the study of electricity and magnetism,a vector field that is divergence free iscalled solenoidal.
F
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1066
Larson-15-01.qxd 3/12/09 19:45 Page 1066
SECCIÓN 15.1 Campos vectoriales 1067
En los ejercicios 1 a 6, asociar el campo vectorial con su gráfica.[Las gráficas se marcan a), b), c), d), e) y ƒ).]
a) b)
c) d)
e) ƒ)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
En los ejercicios 7 a 16, calcular ii F ii y dibujar varios vectoresrepresentativos del campo vectorial.
En los ejercicios 17 a 20, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente varios vectores representa-tivos del campo vectorial.
17.
18.
19.
20.
En los ejercicios 21 a 30, hallar el campo vectorial conservativopara la función potencial, encontrando su gradiente.
En los ejercicios 31 a 34, verificar que el campo vectorial es con-servativo.
En los ejercicios 35 a 38, determinar si el campo vectorial es con-servativo.
En los ejercicios 39 a 48, determinar si el campo vectorial es con-servativo. Si lo es, calcular una función potencial para él.
En los ejercicios 49 a 52, calcular el rotacional del campo vecto-rial en el punto dado.
Fsx, y, zd 5 x i 2 yj 1 zk
Fsx, y, zd 5x i 1 yj 1 zk!x2 1 y 2 1 z 2
Fsx, yd 5 s2y 2 3xdi 1 s2y 1 3xdjFsx, yd 5
18s2xyi 1 y 2jd
Fsx, yd 5 k12xy, 14x2lFsx, yd 5 kx, sin yl
Fsx, yd 5 x i 1 3yjFsx, yd 5 y i 2 xj
Fsx, yd 5 x jFsx, yd 5 y i
x2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
x
y
−5
5
x
5
−5
5
y
x
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
x4
4
y
sen
15.1 Ejercicios
In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
15.1 Vector Fields 1067
15.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067
In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
15.1 Vector Fields 1067
15.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
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In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
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In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
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In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
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In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
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−5
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5
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1068 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En los ejercicios 53 a 56, usar un sistema algebraico por compu-tadora y representar el rotacional del campo vectorial.
En los ejercicios 57 a 62, determinar si el campo vectorial F esconservativo. Si lo es, calcular una función potencial para él.
En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vec-torial F.
En los ejercicios 67 a 70, calcular la divergencia del campo vec-torial F en el punto dado.
En los ejercicios 75 y 76, calcular
En los ejercicios 77 y 78, hallar
77.
78.
En los ejercicios 79 y 80, hallar
En los ejercicios 81 y 82, hallar div (rot F) 55 == · (== 33 F).
81.
82.
En los ejercicios 83 a 90, demostrar la propiedad para los cam-pos vectoriales F y G y la función escalar ƒ. (Suponer que lasderivadas parciales requeridas son continuas.)
90. div(rot F) 55 0 (Teorema 15.3)
En los ejercicios 91 a 93, sea y
91. Probar que 92. Probar que
93. Probar que
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 95 a 98, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre su falsedad.
95. Si F(x, y) 5 4xi 2 y2 j, entonces cuando (x, y) Æ(0, 0).
96. Si y está en el eje y positivo, entoncesel vector apunta en la dirección y negativa.
97. Si es un campo escalar, entonces el rotacional tiene sentido.
98. Si es un campo vectorial y rot F = 0, entonces F es irrota-cional pero no conservativo.
F
ff
sx, ydFsx, yd 5 4xi 2 y2j
iFsx, ydi → 0
=f n 5 nf n22F.
=11f 2 5 2
Ff 3.=sln f d 5
Ff 2.
||Fxx, y, zc||.f xx, y, zc 5Fxx, y, zc 5 xi 1 yj 1 zk,
Fsx, y, zd 5 x2zi 2 2xz j 1 yzk
Fsx, y, zd 5 xyzi 1 yj 1 zk
Fsx, y, zd 5 x2zi 2 2xz j 1 yzk
Fsx, y, zd 5 xyzi 1 yj 1 zk
Desarrollo de conceptos71. Definir un campo vectorial en el plano y en el espacio. Dar
algunos ejemplos físicos de campos vectoriales.
72. ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su crite-rio en el plano y en el espacio?
73. Definir el rotacional de un campo vectorial.
74. Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y enel espacio.
In Exercises 1–6, match the vector field with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–16, compute and sketch several representativevectors in the vector field.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
In Exercises 17–20, use a computer algebra system to graphseveral representative vectors in the vector field.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find the conservative vector field for thepotential function by finding its gradient.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
In Exercises 31–34, verify that the vector field is conservative.
31. 32.
33. 34.
In Exercises 35–38, determine whether the vector field is conservative. Justify your answer.
35.
36.
37.
38.
In Exercises 39– 48, determine whether the vector field is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the givenpoint.
49.
50.
51.
52. 3, 2, 0F x, y, z e xyz i j k
0, 0, 1F x, y, z ex sen yi ex cos yj
2, 1, 3F x, y, z x2zi 2xzj yzk
2, 1, 3F x, y, z xyzi xyz j xyzk
Punto Campo vectorial
F x, y2xi 2yjx2 y 2 2
F x, y ex cos yi sen yj
F x, yxi yjx2 y 2F x, y
2yx
ix2
y 2 j
F x, y1y2 yi 2xjF x, y 15y3i 5xy2j
F x, y xex2y 2yi xjF x, y 2xyi x2j
F x, y 3x2y2 i 2x3yjF x, y yi xj
F x, y1
1 xyyi xj
F x, y1
x2 y2i j
F x, y2y2 e 2x y yi xj
F x, y 5y2 yi 3xj
F x, y1xy
yi xjF x, y sen y i x cos yj
F x, y1x2 yi xjF x, y xy2i x 2yj
h x, y, z x arcsen yzh x, y, z xy ln x y
g x, y, zyz
zx
xzy
g x, y, z z yex2
f x, y, z x2 4y2 z2f x, y, z 6xyz
g x, y sen 3x cos 4yg x, y 5x2 3xy y 2
f x, y x2 14 y2f x, y x2 2y2
F x, y, z x i yj zk
F x, y, zx i yj zkx2 y 2 z 2
F x, y 2y 3x i 2y 3x j
F x, y 18 2xyi y 2j
F x, y, z x i yj zkF x, y, z i j k
F x, y x2 y 2 i jF x, y 4x i yj
F x, y x iF x, y, z 3yj
F x, y y i 2x jF x, y y i xj
F x, y 2iF x, y i j
F
F x, y 12xy, 1
4x2F x, y x, sen y
F x, y x i 3yjF x, y y i xj
F x, y x jF x, y y i
2 3−2−3 −1
−3
1
2
3
y
−5
5
y
5
−5
5
y
5
5
y
x
6
6
−6
−6
y
4
4
y
15.1 Vector Fields 1067
15.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
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In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
Para discusión94. a) Dibujar varios vectores representativos en el campo vec-
torial dado por
b) Dibujar varios vectores representativos en el campo vec-torial dado por
c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los camposvectoriales
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
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CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
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In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068
In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
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In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
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In Exercises 53–56, use a computer algebra system to find therot F for the vector field.
53.
54.
55.
56.
In Exercises 57–62, determine whether the vector field F is conservative. If it is, find a potential function for the vector field.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
In Exercises 63–66, find the divergence of the vector field F.
63.
64.
65.
66.
In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field F atthe given point.
67.
68.
69.
70.
In Exercises 75 and 76, find rot
75. 76.
In Exercises 77 and 78, find rot
77.
78.
In Exercises 79 and 80, find
79. 80.
In Exercises 81 and 82, find
81.
82.
In Exercises 83–90, prove the property for vector fields F and Gand scalar function (Assume that the required partialderivatives are continuous.)
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90. (Theorem 15.3)
In Exercises 91–93, let and let
91. Show that 92. Show that
93. Show that
True or False? In Exercises 95–98, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
95. If then as
96. If and is on the positive -axis, thenthe vector points in the negative -direction.
97. If is a scalar field, then rot is a meaningful expression.
98. If is a vector field and then is irrotational butnot conservative.
Frot F 0,F
ff
yyx, yF x, y 4xi y2j
x, y → 0, 0 .F x, y → 0F x, y 4xi y2j,
f n nf n 2F.
1f
Ff 3.ln f
Ff 2.
f x, y, z F x, y, z .F x, y, z xi 1 yj 1 zk,
div rot F 0
div f F f div F f F
f F f F f F
f F F
div F G rot F G F rot G
div F G div F div G
rot f f 0
rot F G rot F rot G
f.
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
div rot F F .
G x, y, z x2i yj z2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
div F G F G .
F x, y, z x2zi 2xz j yzk
F x, y, z xyzi yj zk
rot F F .
G x, y, z x2i yj z 2kG x, y, z x i yj zk
F x, y, z x i zkF x, y, z i 3xj 2yk
F G F G .
3, 2, 1F x, y, z ln xyz i j k
3, 0, 0F x, y, z ex sen yi ex cos yj z2k
2, 1, 3F x, y, z x2z i 2xzj yzk
2, 1, 1F x, y, z xyzi xyj zk
Punto Campo vectorial
F x, y, z ln x2 y 2 i xyj ln y 2 z2 k
F x, y, z senx i cos yj z2k
F x, y xe x i yeyj
F x, y x2 i 2y 2j
F x, y, zx
x2 y 2 iy
x2 y 2 j k
F x, y, zzy
ixzy 2 j
xy
k
F x, y, z yezi ze xj xeyk
F x, y, z sen zi sen xj sen yk
F x, y, z y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k
F x, y, z xy2z2i x2yz2j x2y2zk
F x, y, z x2 y 2 z 2 i j k
F x, y, z sen x y i sen y z j sen z x k
F x, y, zyz
y zi
xzx z
jxy
x yk
F x, y, z arctanxy
i ln x2 y 2 j k
1068 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
71. Define a vector field in the plane and in space. Give somephysical examples of vector fields.
72. What is a conservative vector field, and how do you test forit in the plane and in space?
73. Define the rot of a vector field.
74. Define the divergence of a vector field in the plane and inspace.
WRITING ABOUT CONCEPTS
94. (a) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(b) Sketch several representative vectors in the vector fieldgiven by
(c) Explain any similarities or differences in the vectorfields y G x, y .F x, y
G x, yxi yjx2 y2
.
F x, yxi yjx2 y2
.
CAPSTONE
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SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1069
15.2 Integrales de línea
n Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos.n Expresar y evaluar una integral de línea.n Expresar y evaluar una integral de línea de un campo vectorial.n Expresar y calcular una integral de línea en forma diferencial.
Curvas suaves a trozos (o por partes)
Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a cier-tas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueveentre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una delas restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes).Recuérdese que una curva plana C dada por
es suave si
y
son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Similarmente, una curva C en elespacio dada por
es suave si
y
son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Una curva C es suave a trozos(o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos, encada uno de los cuales C es suave.
EJEMPLO 1 Hallar una parametrización suave a trozos
Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura 15.7.
Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1, C2 y C3, se puede construir unaparametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el último valor de t en coincida con el primer valor de t en como se muestra a continuación.
Por tanto, C está dada por
Como C1, C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos.
Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva.Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde(0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización queinduzca la orientación opuesta.
rstd 5 52tj,st 2 1di 1 2j,i 1 2j 1 st 2 2dk,
0 ≤ t ≤ 11 ≤ t ≤ 22 ≤ t ≤ 3
.
2 ≤ t ≤ 3zstd 5 t 2 2,ystd 5 2,C3: xstd 5 1,
1 ≤ t ≤ 2zstd 5 0,ystd 5 2,C2: xstd 5 t 2 1,
0 ≤ t ≤ 1zstd 5 0,ystd 5 2t,C1: xstd 5 0,
Ci11,Ci
dzdt
dydt
,dxdt
,
a ≤ t ≤ brstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,
dydt
dxdt
a ≤ t ≤ brstd 5 xstdi 1 ystdj,
Figura 15.7
x
y
1
1
C1
C2
C3
(0, 0, 0) (1, 2, 1)
(0, 2, 0)
(1, 2, 0)
C = C1 + C2 + C3
z
JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903)
Muchos físicos y matemáticos han contribui-do a la teoría y a las aplicaciones descritasen este capítulo, Newton, Gauss, Laplace,Hamilton y Maxwell, entre otros. Sinembargo, el uso del análisis vectorial paradescribir estos resultados se atribuye princi-palmente al físico matemático esta-dounidense Josiah Willard Gibbs.
The
Gra
nger
Col
lect
ion
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1069
1070 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Integrales de línea
Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral sim-ple
Se integra sobre el intervalo [a, b].
se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles
Se integra sobre la región R.
se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integralllamada integral de línea
Se integra sobre una curva C.
en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un pocodesafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.)
Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cablede longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad delongitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C me-diante los puntos
produciendo n subarcos, como se muestra en la figura 15.8. La longitud del i-ésimo sub-arco está dada por A continuación, se elige un punto en cada subarco. Si lalongitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por lasuma
Masa de cable
Si denota la longitud del subarco más largo y se hace que se aproxime a 0, parecerazonable que el límite de esta suma se aproxime a la masa del cable. Esto lleva a la defini-ción siguiente.
Como sucede con las integrales vistas en el capítulo 14, para evaluar una integral delínea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, ellímite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.
iD iiD i
< on
i51f sxi, yi, zid Dsi.
sxi, yi, zidDsi.
P0, P1, . . . , Pn
EC
f sx, yd ds
ERE f sx, yd dA
Eb
a
f sxd dx
Partición de la curva CFigura 15.8
xy
P0
P1P2
Pi
Pi − 1Pn − 1
Pn
∆si
(xi, yi, zi)
C
z
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA
Si ƒ está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita,entonces la integral de línea de f a lo largo de C está dada por
Plano.
o
Espacio.
siempre que este límite exista.
EC
f sx, y, zd ds 5 limiDi→0 o
n
i51f sxi, yi, zid Dsi
EC
f sx, yd ds 5 limiDi→0 o
n
i51f sxi, yid Dsilím
lím
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1070
SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1071
Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t) 5 x(t)i 1 y(t)j,se utiliza el hecho de que
Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el teorema 15.4.
Obsérvese que si la integral de línea proporciona la longitud de arco dela curva C, como se definió en la sección 12.5. Es decir,
EJEMPLO 2 Evaluación de una integral de línea
Evaluar
donde C es el segmento de recta mostrado en la figura 15.9.
Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica:
y
Entonces, y lo cual implica que
Por tanto, la integral de línea toma la forma siguiente.
55!6
6
5!6 3t3
31
t2
241
0
5 !6E1
0st2 1 td dt
EC
sx2 2 y 1 3zd ds 5 E1
0st2 2 2t 1 3td!6 dt
!fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 5 !12 1 22 1 12 5 !6.
z9std 5 1,y9std 5 2,x9std 5 1,
z 5 t, 0 ≤ t ≤ 1.x 5 t, y 5 2t,
EC
sx2 2 y 1 3zd ds
f sx, y, zd 5 1,
ds 5 ir9stdi dt 5 !fx9stdg2 1 fy9stdg2 dt.
Figura 15.9
x
y
1
1
1
2
C(0, 0, 0) (1, 2, 1)
z
En el ejemplo 2, el valor de laintegral de línea no depende de laparametrización del segmento de rectaC (con cualquier parametrización suavese obtendrá el mismo valor). Para con-vencerse de esto, probar con alguna otraparametrización, como por ejemplo
on21 ≤ t ≤ 0.z 5 2t,
y 5 22t,x 5 2t,212 ≤ t ≤ 0,
z 5 1 1 2t,y 5 2 1 4t,x 5 1 1 2t,
NOTA
EC
1 ds 5 Eb
a
ir9stdi dt 5 length of curve C.
TEOREMA 15.4 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA COMO INTEGRAL DEFINIDA
Sea continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada pordonde entonces
Si C está dada por donde entonces
EC
f sx, y, zd ds 5 Eb
a
f sxstd, ystd, zstdd!fx9stdg2 1 fy9stdg2 1 fz9stdg2 dt.
a ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,
EC
f sx, yd ds 5 Eb
a
f sxstd, ystdd!fx9stdg2 1 fy9stdg2 dt.
a ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,f
longitud de arco de la curva C.
y
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1071
rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 td2j,
1072 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Supóngase que es una trayectoria compuesta de las curvas suaves Si es continua en se puede mostrar que
Esta propiedad se utiliza en el ejemplo 3.
EJEMPLO 3 Evaluación de una integral de líneasobre una trayectoria
Evaluar donde es la curva suave a trozos mostrada en la figura 15.10.
Solución Para empezar, se integra, en sentido ascendente sobre la recta usando laparametrización siguiente.
En esta curva, lo que implica que y Por tanto,
y se tiene
A continuación, se integra, en sentido descendente, sobre la parábola usando laparametrización
En esta curva, lo cual implica que y y¢(t) 522(1 2 t). Por tanto,
y se tiene
Por consiguiente,
En parametrizaciones dadas por es útil recordar la formade ds como
Esto se usa en el ejemplo 4.
rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,
EC
x ds 5 EC1
x ds 1 EC2
x ds 5!22
1112
s53y2 2 1d < 1.56.
51
12s53y2 2 1d.
5 2183
23
f1 1 4s1 2 td2g3y241
0
EC2
x ds 5 E1
0s1 2 td!1 1 4s1 2 td2 dt
!fx9stdg2 1 f y9stdg2 5 !1 1 4s1 2 td2
x9std 5 21
C2: x 5 1 2 t, y 5 s1 2 td2, 0 ≤ t ≤ 1.
y 5 x2,
EC1
x ds 5 E1
0t!2 dt 5
!22
t241
05
!22
.
!fx9stdg2 1 f y9stdg2 5 !2
y9std 5 1.x9std 5 1rstd 5 ti 1 tj,
C1: x 5 t, y 5 t, 0 ≤ t ≤ 1
y 5 x,
CEC
x ds,
EC
f sx, yd ds 5 EC1
f sx, yd ds 1 EC2
f sx, yd ds 1 . . . 1 ECn
f sx, yd ds.
C,fCn.C2, . . . ,C1,C
1
1
x
(1, 1)
y = x2
C = C1 + C2
y = x
C2
C1
(0, 0)
y
Figura 15.10
ds 5 ir9stdi dt 5 !fx9stdg2 1 fy9stdg2 1 fz9stdg2 dt.
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1072
SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1073
EJEMPLO 4 Evaluar una integral de línea
Evaluar donde C es la curva representada por
Solución Puesto que y
se sigue que
El ejemplo siguiente muestra cómo usar una integral de línea para hallar la masa deun resorte (o muelle) cuya densidad varía. En la figura 15.11 obsérvese cómo la densidadde este resorte aumenta a medida que la espiral del resorte asciende por el eje z.
EJEMPLO 5 Hallar la masa de un resorte (o muelle)
Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular
donde la densidad del resorte es como se muestra en la figura 15.11.
Solución Como
se sigue que la masa del resorte es
La masa del resorte es aproximadamente 144.47.
< 144.47.
5 6p11 13p
!22
5 3t 1t2
2!246p
0
Mass 5 EC
s1 1 zd ds 5 E6p
011 1
t!22 dt
ir9stdi 51!2
!s2sin td2 1 scos td2 1 s1d2 5 1
rsx, y, zd 5 1 1 z,
rstd 51!2
scos t i 1 sin tj 1 tkd, 0 ≤ t ≤ 6p
< 15.29.
513
s13!13 2 1d
5133s1 1 4t 1 t2d3y24
2
0
512E
2
02st 1 2ds1 1 4t 1 t2d1y2 dt
EC
sx 1 2d ds 5 E2
0st 1 2d!1 1 4t 1 t2 dt
ir9stdi 5 !fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 5 !1 1 4t 1 t2
r9std 5 i 1 2t1y2j 1 tk,
rstd 5 t i 143
t3y2j 112
t2k, 0 ≤ t ≤ 2.
EC
sx 1 2d ds,
Figura 15.11
x
y2 2
Densidad:(x, y, z) = 1 + zρ
r(t) = 12
z
(cos ti + sen tj + tk)
Masa
sen
sen
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1073
1074 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Integrales de línea de campos vectoriales
Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar eltrabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Por ejemplo, lafigura 15.12 muestra un campo de fuerzas cuadrático inverso similar al campo gravitato-rio del Sol. Obsérvese que la magnitud de la fuerza a lo largo de una trayectoria circularen torno al centro es constante, mientras que la magnitud de la fuerza a lo largo de unatrayectoria parabólica varía de un punto a otro.
Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado enun campo de fuerzas considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoriaC en el campo, como se muestra en la figura 15.13. Para determinar el trabajo realizadopor la fuerza, sólo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la direc-ción en que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que en cadapunto de C, se puede considerar la proyección del vector fuerza sobre el vectorunitario tangente En un subarco pequeño de longitud el incremento de trabajo es
donde es un punto en el subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total reali-zado está dado por la integral siguiente.
Esta integral de línea aparece en otros contextos y es la base de la definición siguiente deintegral de línea de un campo vectorial. En la definición, obsérvese que
5 F ? dr.
5 F ? r9std dt
F ? T ds 5 F ?r9std
ir9stdi ir9stdi dt
W 5 EC
Fsx, y, zd ? Tsx, y, zd ds
sxi, yi, zid
< fFsxi, yi, zid ? Tsxi, yi, zi dg Dsi
DWi 5 sforcedsdistanced
Dsi,T.FF ? T
F,
x
y
(F T)T•
F
T
C
z
x
y
(F T)T•
TF
z
C
x
y
z
(F T)T•
T
C
T tiene la dirección de F.
En cada punto en C, la fuerza en la dirección del movimiento es Figura 15.13
sF ? TdT.
Campo de fuerzas cuadrático inverso F
Vectores a lo largo de una trayectoriaparabólica en el campo de fuerzas FFigura 15.12
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL
Sea un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave dada por La integral de línea de sobre está dada por
EC
F ? dr 5 EC
F ? T ds 5 Eb
a
Fsxstd, yst), zstdd ? r9std dt.
CFa ≤ t ≤ b.rstd,CF
(fuerza)(distancia)
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1074
SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1075
EJEMPLO 6 Trabajo realizado por una fuerza
Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
Campo de fuerzas F.
sobre una partícula que se mueve a lo largo de la hélice dada por
Curva C en el espacio.
desde el punto hasta el punto como se muestra en la figura 15.14.
Solución Como
se sigue que y Por tanto, el campo de fuerzas puedeexpresarse como
Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partícula a lo largode la curva C, se utiliza el hecho de que
y se escribe lo siguiente.
En el ejemplo 6, nótese que las componentes x y y del campo de fuerzas acaban no con-tribuyendo en nada al trabajo total. Esto se debe a que en este ejemplo particular la componente z delcampo de fuerzas es la única parte de la fuerza que actúa en la misma dirección (o en dirección opues-ta) en la que se mueve la partícula (ver la figura 15.15). n
NOTA
53p
4
514
t43p
0
5 E3p
0
14
dt
5 E3p
011
2sin t cos t 2
12
sin t cos t 1142 dt
5 E3p
012
12
cos t i 212
sin tj 114
k2 ? s2sin t i 1 cos tj 1 kd dt
5 Eb
a
Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt
W 5 EC
F ? dr
r9std 5 2sin t i 1 cos tj 1 k
Fsxstd, ystd, zstdd 5 212
cos t i 212
sin tj 114
k.
zstd 5 t.ystd 5 sin t,xstd 5 cos t,
5 cos t i 1 sin tj 1 tk
rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk
s21, 0, 3pd,s1, 0, 0d
rstd 5 cos t i 1 sin tj 1 tk
Fsx, y, zd 5 212
x i 212
yj 114
k
Figura 15.15
y
x
Generado con Mathematica
z
Figura 15.14
y
2
−2
−1
1
2
−2
−1
3π
π
x
(−1, 0, 3 )
(1, 0, 0)
πz
TECNOLOGÍA La gráfica, generada por computadora, del campo de fuerzas delejemplo 6 mostrado en la figura 15.15 indica que todo vector en los puntos del campode fuerzas apunta hacia el eje z.
sen
sen t
sen
sen sen
sen sen
sen
sen
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1075
1076 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva C es impor-tante. Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario cambia a
y se obtiene
EJEMPLO 7 Orientación y parametrización de una curva
Sea y evaluar la integral de línea a lo largo de cada una de lascurvas parabólicas mostradas en la figura 15.16.
a)
b)
Solucióna) Como y
la integral de línea es
b) Como y
la integral de línea es
El resultado del inciso b) es el negativo del del inciso a) porque y representan ori-entaciones opuestas del mismo segmento parabólico.
C2C1
5 2692
.
5 32t4
21 t3 1 2t24
4
1
5 E4
1s22t3 1 3t2 1 4td dt
5 E4
1s4t 2 t2 1 4t2 2 2t3d dt
EC2
F ? dr 5 E4
1fs4t 2 t2di 1 t2jg ? fi 1 s4 2 2tdjg dt
Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t2di 1 t2j
r29 std 5 i 1 s4 2 2tdj
5692
.
5 32t4
21 7t3 2 34t2 1 64t43
0
5 E3
0s22t3 1 21t2 2 68t 1 64d dt
5 E3
0s24t 1 t2 1 64 2 64t 1 20t2 2 2t3d dt
EC1
F ? dr 5 E3
0fs4t 2 t2di 1 s4 2 td2jg ? f2i 1 s4 2 2tdjg dt
Fsxstd, ystdd 5 s4t 2 t2di 1 s4 2 td2j
r19 std 5 2i 1 s4 2 2tdj
C2: r2std 5 t i 1 s4t 2 t2dj, 1 ≤ t ≤ 4
C1: r1std 5 s4 2 tdi 1 s4t 2 t2dj, 0 ≤ t ≤ 3
eC F ? drFsx, yd 5 yi 1 x2j
E2C
F ? dr 5 2EC
F ? dr.
2Tstd,Tstd
Figura 15.16
432
4
3
2
1
1
x
y
(4, 0)
C1C2
(1, 3)
r2(t) = ti + (4t − t2)j
r1(t) = (4 − t)i + (4t − t2)j
C2:
C1:
Aunque en el ejemplo 7 elvalor de la integral de línea depende dela orientación de C, no depende de laparametrización de C. Para ver esto,sea C3 la curva representada por
donde La gráfica de estacurva es el mismo segmento parabólicomostrado en la figura 15.16. ¿Coincideel valor de la integral de línea sobrecon el valor sobre o ¿Por qué sío por qué no? n
C2?C1
C3
21 ≤ t ≤ 2.
r3 5 st 1 2di 1 s4 2 t2dj
NOTA
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1076
SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1077
Integrales de línea en forma diferencial
Otra forma normalmente utilizada de las integrales de línea se deduce de la notación decampo vectorial usada en la sección anterior. Si F es un campo vectorial de la forma
y está dada por entonces se escribe amenudo como
Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los paréntesis se omiten amenudo, y se escribe:
y
Obsérvese cómo se usa esta notación diferencial en el ejemplo 8.
EJEMPLO 8 Evaluación de una integral de línea en forma diferencial
Sea C el círculo de radio 3 dado por
como se muestra en la figura 15.17. Evaluar la integral de línea
Solución Como y se tiene y Portanto, la integral de línea es
5243p
4.
5 813sin 2t2
138
t 23 sin 4t
32 42p
0
5 81E2p
03cos 2t 1
341
1 2 cos 4t2 24 dt
5 81E2p
01cos2 t 2 sin2 t 1
34
sin2 2t2 dt
5 81E2p
0scos4 t 2 sin4 t 1 3 cos2 t sin2 td dt
5 E2p
0fs27 sin3 tds23 sin td 1 s27 cos3 t 1 81 cos t sin2 tds3 cos tdg dt
5 EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy
EC
M dx 1 N dy
dy 5 3 cos t dt.dx 5 23 sin t dty 5 3 sin t,x 5 3 cos t
EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy.
0 ≤ t ≤ 2prstd 5 3 cos t i 1 3 sin tj,
EC
M dx 1 N dy 1 P dzEC
M dx 1 N dy
5 EC
sM dx 1 N dyd
5 Eb
a1M
dxdt
1 Ndydt2 dt
5 Eb
a
sMi 1 Njd ? sx9stdi 1 y9stdjd dt
EC
F ? dr 5 EC
F ?drdt
dt
M dx 1 N dy.F ? drrstd 5 xstdi 1 ystdj,CFsx, yd 5 Mi 1 Nj,
Figura 15.17
x
r(t) = 3 cos ti + 3 sen tj
2
2
4
4
−2
−2
−4
−4
y
La orientación de C afecta elvalor de la forma diferencial de unaintegral de línea. Específicamente, si2C tiene orientación opuesta a C,entonces
Por tanto, de las tres formas de laintegral de línea presentadas en estasección, la orientación de C no afectaa la forma pero sí afectaa la forma vectorial y la forma dife-rencial. n
eC f sx, yd ds,
2EC
M dx 1 N dy.
E2C
M dx 1 N dy 5
NOTA
sen tj,
sen sen
sen sen t sen2
sen
sen sen
sen sen
t sen2
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1077
1078 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En curvas representadas por se puede hacer y obte-ner la forma paramétrica
y
Como en esta forma es , se tiene la opción de evaluar la integral de línea en la va-riable x o en la variable t. Esto se muestra en el ejemplo 9.
EJEMPLO 9 Evaluación de una integral de línea en forma diferencial
Evaluar
donde C es el arco parabólico dado por desde a como se muestraen la figura 15.18.
Solución En lugar de pasar al parámetro t, se puede simplemente conservar la variable xy escribir
Entonces, en la dirección de a la integral de línea es
Ver el ejemplo 7.5692
.5 32x2 1 x3 2x4
2 41
4
5 E1
4s4x 1 3x2 2 2x3d dx
EC
y dx 1 x2 dy 5 E1
4fs4x 2 x2d dx 1 x2s4 2 2xd dxg
s1, 3d,s4, 0d
dy 5 s4 2 2xd dx.y 5 4x 2 x2
s1, 3d,s4, 0dy 5 4x 2 x2
EC
y dx 1 x2 dy
dx 5 dt
a ≤ t ≤ b.y 5 gstd,x 5 t
x 5 ta ≤ x ≤ b,y 5 gsxd,
Figura 15.18
3
2
1
4321
4
x
C: y = 4x − x2
y
(1, 3)
(4, 0)
E X P L O R A C I Ó N
Hallar el área de una superficie lateral La figura muestra un pedazo de hojalatacortado de un cilindro circular. La base del cilindro circular se representa por
Para todo punto de la base, la altura del objeto está dada por
Explicar cómo utilizar una integral de línea para hallar el área de la superficie delpedazo de hojalata.
xy
1 + cos πx4
x2 + y2 = 9(x, y)
2
1
−2−1
z
3
3
f sx, yd 5 1 1 cos px4
.
sx, ydx2 1 y2 5 9.
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1078
SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1079
En los ejercicios 1 a 6, hallar una parametrización suave a trozosde la trayectoria C. (Nótese que existe más de una respuesta co-rrecta.)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
En los ejercicios 7 a 10, evaluar la integral de línea a lo largo dela trayectoria dada.
En los ejercicios 11 a 14, a) hallar una parametrización de latrayectoria C, y b) evaluar
a lo largo de C.
13. círculo recorrido en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, desde hasta
14. círculo recorrido en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, desde a
En los ejercicios 15 a 18, a) hallar una parametrización de latrayectoria C, y b) evaluar
a lo largo de C.
17. triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorridoen sentido contrario a las manecillas del reloj
18. cuadrado cuyos vértices son (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2),recorrido en sentido contrario a las manecillas del reloj
En los ejercicios 19 y 20, a) encontrar una parametrización con-tinua por secciones de la trayectoria C que se muestra en la figu-ra y b) evaluar
a lo largo de C.
19. 20.
Masa En los ejercicios 21 y 22, hallar la masa total de dosvueltas completas de un resorte de densidad r y que tiene formade hélice circular
21.
22.
Masa En los ejercicios 23 a 26, hallar la masa total del cable dedensidad r.
rsx, y, zd 5 z
rsx, y, zd 512sx2 1 y2 1 z2d
x
y
z
C
1
1
(0, 0, 0) (0, 1, 0)
(0, 1, 1)
z
(0, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
C
1
1x
y
EC
x2x 1 y2 2 zc ds
C:
C:
EC
sx 1 4!yd ds
s0, 2ds2, 0dx2 1 y2 5 4C:
s0, 1ds1, 0dx2 1 y2 5 1C:
EC
xx2 1 y2c ds
x
2
4
2
−2
−4
−2
C
x2 y2
16 9= 1+
y
x
2
2
1
1
−2
−2 −1
x2 + y2 = 9
C
y
2
4
5
1
3
x2 4 51 3
C
(5, 4)
y
x
2
1
3
21 3
C
(3, 3)
y
x
2
4
1
3
2 41 3
C (2, 4)
y = x2
y
x
1
1
C
(1, 1)
y = x
y = x
y
15.2 Ejercicios
7. 8.
9. 10.
0 t 10 t 2
C: r t 12ti 5tj 84tkC: r t sen ti cos tj 2kC
2xyz dsC
x2 y2 z2 ds
0 t 20 t 1
C: r t ti 2 t jC: r t 4ti 3tjC
3 x y dsC
xy ds
11. segmento de recta de a
12. a 2, 40, 0C:
1, 10, 0C:
segmento de recta de
15. eje de a
16. eje de a
C1
1
(0, 0, 0) (0, 1, 0)
(0, 1, 1)
z
(0, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
C
1
1x
y
C.
C2x 1 y2 z ds
C
0, 22, 22, 00, 0C:
0, 11, 0 ,0, 0C:
y 9y 1yC:
x 1x 0xC:
C.
Cx 1 4 y ds
C,
0, 22, 0x2 y2 4C:
0, 11, 0x2 y2 1C:
2, 40, 0C:
1, 10, 0C:
C.
C
x2 1 y2 ds
C,
0 t 1 0 t 2
C: r t 12ti 5tj 84tkC: r t sen ti cos tj 2kC
2xyz dsC
x2 y2 z2 ds
0 t 2 0 t 1
C: r t ti 2 t jC: r t 4ti 3tjC
3 x y dsC
xy ds
y
2
1
21
−2
−2 −1
x2 + y2 = 9
C
y
y
2
1
3
21 3
C
(3, 3)
y
2
4
1
3
2 41 3
C (2, 4)
y = x2
y
1
1
C
(1, 1)
y = x
y = x
y
C.
15.2 Line Integrals 1079
15.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1079
segmento de recta de
In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization ofthe path (Note that there is more than one correct answer.)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the givenpath.
7. 8.
9. 10.
In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path and(b) evaluate
along
11. segmento de recta de a
12. a
13. counterclockwise around the circle from to
14. counterclockwise around the circle from to
In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path and (b) evaluate
along
15. eje de a
16. eje de a
17. counterclockwise around the triangle with vertices ,and
18. counterclockwise around the square with vertices ,, , and
In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametriza-tion of the path shown in the figure, and (b) evaluate
along
19. 20.
Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turnsof a spring with density in the shape of the circular helix
21.
22.
Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire withdensity
23.
24.
25.
26.0 t 2k > 0 ,
x, y, z k zr t 2 cos ti 2 sen tj 3tk,
1 t 3k > 0 ,x, y, z kzr t t2i 2tj tk,
0 t 1x, y34
y,r t t2i 2tj,
0 tx, y x y,r t cos ti sen tj,
.
x, y, z z
x, y, z 12 x2 y2 z2
r t 2 cos t i 1 2 sen t j 1 tk, 0 t 4 .
y
z
C1
1
(0, 0, 0) (0, 1, 0)
(0, 1, 1)
z
(0, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
C
1
1x
y
C.
C2x 1 y2 z ds
C
0, 22, 22, 00, 0C:
0, 11, 0 ,0, 0C:
y 9y 1yC:
x 1x 0xC:
C.
Cx 1 4 y ds
C,
0, 22, 0x2 y2 4C:
0, 11, 0x2 y2 1C:
2, 40, 0C:
1, 10, 0C:
C.
C
x2 1 y2 ds
C,
0 t 1 0 t 2
C: r t 12ti 5tj 84tkC: r t sen ti cos tj 2kC
2xyz dsC
x2 y2 z2 ds
0 t 2 0 t 1
C: r t ti 2 t jC: r t 4ti 3tjC
3 x y dsC
xy ds
y
2
1
21
−2
−2 −1
x2 + y2 = 9
C
y
y
2
1
3
21 3
C
(3, 3)
y
2
4
1
3
2 41 3
C (2, 4)
y = x2
y
1
1
C
(1, 1)
y = x
y = x
y
C.
15.2 Line Integrals 1079
15.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1079
segmento de recta de
In Exercises 1–6, find a piecewise smooth parametrization ofthe path (Note that there is more than one correct answer.)
1. 2.
3. 4.
5. 6.
In Exercises 7–10, evaluate the line integral along the givenpath.
7. 8.
9. 10.
In Exercises 11–14, (a) find a parametrization of the path and(b) evaluate
along
11. segmento de recta de a
12. a
13. counterclockwise around the circle from to
14. counterclockwise around the circle from to
In Exercises 15–18, (a) find a parametrization of the path and (b) evaluate
along
15. eje de a
16. eje de a
17. counterclockwise around the triangle with vertices ,and
18. counterclockwise around the square with vertices ,, , and
In Exercises 19 and 20, (a) find a piecewise smooth parametriza-tion of the path shown in the figure, and (b) evaluate
along
19. 20.
Mass In Exercises 21 and 22, find the total mass of two turnsof a spring with density in the shape of the circular helix
21.
22.
Mass In Exercises 23–26, find the total mass of the wire withdensity
23.
24.
25.
26.0 t 2k > 0 ,
x, y, z k zr t 2 cos ti 2 sen tj 3tk,
1 t 3k > 0 ,x, y, z kzr t t2i 2tj tk,
0 t 1x, y34
y,r t t2i 2tj,
0 tx, y x y,r t cos ti sen tj,
.
x, y, z z
x, y, z 12 x2 y2 z2
r t 2 cos t i 1 2 sen t j 1 tk, 0 t 4 .
y
z
C1
1
(0, 0, 0) (0, 1, 0)
(0, 1, 1)
z
(0, 0, 0)
(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
C
1
1x
y
C.
C2x 1 y2 z ds
C
0, 22, 22, 00, 0C:
0, 11, 0 ,0, 0C:
y 9y 1yC:
x 1x 0xC:
C.
Cx 1 4 y ds
C,
0, 22, 0x2 y2 4C:
0, 11, 0x2 y2 1C:
2, 40, 0C:
1, 10, 0C:
C.
C
x2 1 y2 ds
C,
0 t 1 0 t 2
C: r t 12ti 5tj 84tkC: r t sen ti cos tj 2kC
2xyz dsC
x2 y2 z2 ds
0 t 2 0 t 1
C: r t ti 2 t jC: r t 4ti 3tjC
3 x y dsC
xy ds
y
2
1
21
−2
−2 −1
x2 + y2 = 9
C
y
y
2
1
3
21 3
C
(3, 3)
y
2
4
1
3
2 41 3
C (2, 4)
y = x2
y
1
1
C
(1, 1)
y = x
y = x
y
C.
15.2 Line Integrals 1079
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segmento de recta de
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1080 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En los ejercicios 27 a 32, evaluar
donde C está representa por
En los ejercicios 33 y 34, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y calcular la integral
donde C está representa por
33.
34.
Trabajo En los ejercicios 35 a 40, hallar el trabajo realizadopor el campo de fuerzas F sobre una partícula que se mueve a lolargo de la trayectoria dada.
C: x = t, y = t3 desde hasta
Figura para 35 Figura para 36
36.
desde hasta
triángulo cuyos vértices son (0, 0), (1, 0) y (0, 1), recorridoen sentido contrario a las manecillas del reloj. (Sugerencia:Ver ejercicio 17a.)
Figura para 37 Figura para 38
38.
contorno del semicírculo desde hastarecorrido en sentido contrario a las manecillas del
reloj
39.
Figura para 39 Figura para 40
40.
recta de a
En los ejercicios 41 a 44, determinar si el trabajo efectuado a lolargo de la trayectoria C es positivo, negativo o cero. Explicar.
s5, 3, 2ds0, 0, 0dC:
Fsx, y, zd 5 yzi 1 xzj 1 xyk
y
x
z
5
3
3
2
1C
yx
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 2 cos ti 1 2 sin tj 1 tk,
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 2 5zk
s22, 0ds2, 0dy 5 !4 2 x2C:
Fsx, yd 5 2yi 2 xj
C:
s0, 1ds1, 0dy 5 sin3 tC: x 5 cos3 t,
Fsx, yd 5 x2i 2 xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
s2, 8ds0, 0d
0 ≤ t ≤ 2C: rstd 5 ti 1 tj 1 etk,
Fsx, y, zd 5xi 1 yj 1 zk!x2 1 y2 1 z2
1 ≤ t ≤ 3C: rstd 5 ti 1 t2j 1 ln tk,
Fsx, y, zd 5 x2zi 1 6yj 1 yz2k
rxtc.
EC F ? dr
rxtc.
EC F ? dr
sen
sen
In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
C F dr
1080 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
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In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
C F dr
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CAS
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In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
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CAS
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In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
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In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
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In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
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1080 Chapter 15 Vector Analysis
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SECCIÓN 15.2 Integrales de línea 1081
En los ejercicios 45 y 46, para cada curva hallar .Analizar la orientación de la curva y su efecto sobre el valor dela integral.
45.
a)
b)
46.
a)
b)
En los ejercicios 47 a 50, demostrar la propiedad
independientemente de cuáles sean los puntos inicial y final desi el vector tangente es ortogonal al campo de fuerzas F.
47.
48.
49.
50.
En los ejercicios 51 a 54, evaluar la integral de línea a lo largo dela trayectoria C dada por donde
51. 52.
53. 54.
En los ejercicios 55 a 62, evaluar la integral
a lo largo de la trayectoria C.
55. eje x desde hasta
56. eje y desde hasta
57. los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3)
58. los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 23) y de (0, 23) a (2, 23)
59. arco sobre desde hasta
60. arco sobre desde hasta
61. trayectoria parabólica desde hasta
62. trayectoria elíptica desde hasta
Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar elárea de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en elplano xy y bajo la superficie donde
Área de la superficie lateral
63. recta desde hasta
64. recta desde hasta
65. desde hasta
66. desde hasta
67. desde hasta
68. desde hasta
69. desde hasta
70.
71. Diseño de motores Un motor de tractor tiene una pieza deacero con una base circular representada por la función vecto-rial r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj. Su altura está dada por (Todas las medidas en centímetros.)
a) Hallar el área de la superficie lateral de la pieza.
b) La pieza tiene forma de capa de 0.2 centímetros de espesor.Utilizar el resultado del inciso a) para aproximar la cantidadde acero empleada para su fabricación.
c) Hacer un dibujo de la pieza.
z 5 1 1 y2.
C: x2 1 y2 5 4f sx, yd 5 x2 2 y2 1 4,
s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 xy,
s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 y 1 1,
s0, 1ds1, 0dC: y 5 1 2 x2f sx, yd 5 h,
s0, 1ds1, 0dC: x2 1 y2 5 1f sx, yd 5 x 1 y,
s0, 1ds1, 0dC: x2 1 y2 5 1f sx, yd 5 xy,
s4, 4)s0, 0dC:f sx, yd 5 y,
s3, 4ds0, 0dC:f sx, yd 5 h,
x
yP
Q
∆si
(xi, yi)
C: curva en el plano xy
Superficie:z = f(x, y)
Superficielateral
z
5 EC
f xx, yc ds.
z 5 f xx, yc,
s4, 0ds0, 3dy 5 3 cos t,x 5 4 sin t,C:
s2, 8ds0, 0dy 5 2t2,x 5 t,C:
s4, 8ds0, 0dy 5 x3y2C:
s1, 0ds0, 1dy 5 1 2 x2C:
C:
C:
y 5 2y 5 0C:
x 5 5x 5 0C:
EC x2x 2 yc dx 1 xx 1 3yc dy
EC
s3y 2 xd dx 1 y2 dyEC
xy dx 1 y dy
EC
sx 1 3y2d dxEC
sx 1 3y2d dy
0 ≤ t ≤ 1.y 5 10t,x 5 2t,
C: rstd 5 3 sin ti 1 3 cos tj
Fsx, yd 5 xi 1 yj
C: rstd 5 t i 1 t2j
Fsx, yd 5 sx3 2 2x2di 1 1x 2y22j
C: rstd 5 t i 2 t3j
Fsx, yd 5 23yi 1 xj
C: rstd 5 t i 2 2tj
Fsx, yd 5 yi 2 xj
r9xtcC,
EC F ? dr 5 0
0 ≤ t ≤ py2r2std 5 s1 1 2 cos tdi 1 s4 cos2 tdj,0 ≤ t ≤ 2r1std 5 st 1 1di 1 t2j,
Fsx, yd 5 x2yi 1 xy3y2j
0 ≤ t ≤ 2r2std 5 2s3 2 tdi 1 s2 2 tdj,1 ≤ t ≤ 3r1std 5 2ti 1 st 2 1dj,
Fsx, yd 5 x2i 1 xyj
eC F ? dr
sen
sen
43.
44.
In Exercises 45 and 46, evaluate for each curve.Discuss the orientation of the curve and its effect on the value ofthe integral.
45.
(a)
(b)
46.
(a)
(b)
In Exercises 47– 50, demonstrate the property that
regardless of the initial and terminal points of if the tangentvector is orthogonal to the force field F.
47.
48.
49.
50.
In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path given by where
51. 52.
53. 54.
In Exercises 55–62, evaluate the integral
along the path
55. axis from to
56. axis from to
57. line segments from to and to
58. line segments from to and to
59. arc on from to
60. arc on from to
61. parabolic path from to
62. elliptic path from to
Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of thelateral surface (see figure) over the curve in the -plane andunder the surface where
Lateral surface area
63. line from to
64. line from to
65. from to
66. from to
67. from to
68. from to
69. from to
70.
71. Engine Design A tractor engine has a steel component witha circular base modeled by the vector-valued function
Its height is given by (All measurements of the component are in centimeters.)
(a) Find the lateral surface area of the component.
(b) The component is in the form of a shell of thickness 0.2centimeter. Use the result of part (a) to approximate theamount of steel used in its manufacture.
(c) Draw a sketch of the component.
z � 1 � y2.r�t� � 2 cos t i � 2 sin tj.
C: x2 � y2 � 4f �x, y� � x2 � y2 � 4,
�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � xy,
�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � y � 1,
�0, 1��1, 0�C: y � 1 � x2f �x, y� � h,
�0, 1��1, 0�C: x2 � y2 � 1f �x, y� � x � y,
�0, 1��1, 0�C: x2 � y2 � 1f �x, y� � xy,
�4, 4)�0, 0�C:f �x, y� � y,
�3, 4��0, 0�C:f �x, y� � h,
yP
Q
∆si
(xi, yi)
C: Curve in xy-plane
Surface:z = f (x, y)
Lateralsurface
z
� �C
f �x, y� ds.
z � f �x, y�,xyC
�4, 0��0, 3�y � 3 cos t,x � 4 sin t,C:
�2, 8��0, 0�y � 2t2,x � t,C:
�4, 8��0, 0�y � x3�2C:
�1, 0��0, 1�y � 1 � x2C:
�2, �3��0, �3��0, �3��0, 0�C:
�3, 3��3, 0��3, 0��0, 0�C:
y � 2y � 0y-C:
x � 5x � 0x-C:
C.
�C
�2x � y� dx 1 �x 1 3y� dy
�C
�3y � x� dx � y2 dy�C
xy dx � y dy
�C
�x � 3y2� dx�C
�x � 3y2� dy
0 � t � 1.y � 10t,x � 2t,C
C: r�t� � 3 sin ti � 3 cos tj
F�x, y� � xi � yj
C: r�t� � t i � t2j
F�x, y� � �x3 � 2x2�i � �x �y2�j
C: r�t� � t i � t3j
F�x, y� � �3yi � xj
C: r�t� � t i � 2tj
F�x, y� � yi � xj
r� �t�C,
�C F dr � 0
0 � t � ��2r2�t� � �1 � 2 cos t�i � �4 cos2 t�j,0 � t � 2r1�t� � �t � 1�i � t2j,
F�x, y� � x2yi � xy3�2j
0 � t � 2r2�t� � 2�3 � t�i � �2 � t�j,1 � t � 3r1�t� � 2ti � �t � 1�j,
F�x, y� � x2i � xyj
�C F dr
x
y
C
x
y
C
15.2 Line Integrals 1081
1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1081Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1081
1082 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
72. Diseño de edificios La altura del techo de un edificio está dadapor y una de las paredes sigue una trayectoriarepresentada por Calcular el área de la superficie de lapared si (Todas las medidas se dan en pies.)
Momentos de inercia Considerar un cable de densidad dado por la curva en el espacio
Los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y están dadospor
En los ejercicios 73 y 74, hallar los momentos de inercia del cabledado con densidad
73. El cable se encuentra a lo largo de
y su densidad es
74. El cable se encuentra a lo largo de
y su densidad es
75. Investigación El borde exterior de un sólido con lados ver-ticales y que descansa en el plano xy, se representa por r(t) 5 3 cos ti 1 3 sen tj 1 (1 1 sen2 2t)k, donde todas las medidas se dan en centímetros. La intersección del plano
con la parte superior del sólido es unarecta horizontal.
a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente el sólido.
b) Utilizar un sistema algebraico por computadora y aproximarel área de la superficie lateral del sólido.
c) Hallar (si es posible) el volumen del sólido.
76. Trabajo Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoriadesde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1). El campo de
fuerzas F se mide en cinco puntos a lo largo de la trayectoria ylos resultados se muestran en la tabla. Usar la regla de Simpsono una herramienta de graficación para aproximar el trabajo efec-tuado por el campo de fuerza.
77. Trabajo Determinar el trabajo hecho por una persona que pesa175 libras y que camina exactamente una revolución hacia arri-ba en una escalera de forma helicoidal circular de 3 pies de radiosi la persona sube 10 pies.
78. Investigación Determinar el valor c tal que el trabajo realiza-do por el campo de fuerzas
sobre un objeto que se mueve a lo largo de la trayectoria parabó-lica entre los puntos y sea mínimo.Comparar el resultado con el trabajo requerido para mover elobjeto a lo largo de la trayectoria recta que une esos dos puntos.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.
83. Si C está dada por entonces
84. Si entonces
85. Las funciones vectoriales y definen la misma curva.
86. Si entonces y son ortogonales.
87. Trabajo Considerar una partícula que se mueve a través delcampo de fuerzas del punto alpunto a lo largo de la curva Hallar elvalor de k, tal que el trabajo realizado por el campo de fuerzassea 1.
y 5 t.x 5 kts1 2 td,s0, 1ds0, 0dFsx, yd 5 s y 2 xdi 1 xyj
TFEC
F ? T ds 5 0,
0 ≤ t ≤ 1,s1 2 tdi 1 s1 2 td2j,r2 50 ≤ t ≤ 1,r1 5 t i 1 t2j,
EC1
f sx, yd ds 1 EC2
f sx, yd ds 5 0.C2 5 2C1,
EC
xy ds 5 E1
0 t2 dt.
0 ≤ t ≤ 1,ystd 5 t,xstd 5 t,
s1, 0ds21, 0dy 5 cs1 2 x2d
Fsx, yd 5 15fs4 2 x2ydi 2 xyjg
y 5 x2
y 5 b s23 < b < 3d
rsx, yd 5 y.a > 0,0 ≤ t ≤ 2p
rstd 5 a cos ti 1 a sin tj,
rsx, yd 5 1.a > 0,0 ≤ t ≤ 2p
rstd 5 a cos ti 1 a sin tj,
r.
Iy 5 EC x2 rxx, yc ds.
Ix 5 EC y2 rxx, yc ds
a ≤ t ≤ b.C: rxtc 5 xxtci 1 yxtcj,
rxx, yc
0 ≤ x ≤ 40.y 5 x3y2.
z 5 20 114x,
Desarrollo de conceptos79. Definir la integral de línea de una función f a lo largo de una
curva suave C en el plano y en el espacio. ¿Cómo se evalúala integral de línea como integral definida?
80. Definir una integral de línea de un campo vectorial conti-nuo sobre una curva suave ¿Cómo se evalúa la integralde línea como integral definida?
81. Ordenar las superficies en forma ascendente del área de lasuperficie lateral bajo la superficie y sobre la curva desde hasta en el plano xy. Explicar el ordenelegido sin hacer cálculo alguno.
a) b)
c) d) z4 5 10 1 x 1 2yz3 5 2
z2 5 5 1 xz1 5 2 1 x
s4, 2ds0, 0dy 5 !x
C.F
sen
sen
72. Building Design The ceiling of a building has a height abovethe floor given by and one of the walls followsa path modeled by Find the surface area of the wall if
(All measurements are in feet.)
Moments of Inertia Consider a wire of density given bythe space curve
The moments of inertia about the - and -axes are given by
In Exercises 73 and 74, find the moments of inertia for the wireof density
73. A wire lies along andwith density
74. A wire lies along andwith density
75. Investigation The top outer edge of a solid with vertical sidesand resting on the plane is modeled by
where all measure-ments are in centimeters. The intersection of the plane
with the top of the solid is a horizontalline.
(a) Use a computer algebra system to graph the solid.
(b) Use a computer algebra system to approximate the lateralsurface area of the solid.
(c) Find (if possible) the volume of the solid.
76. Work A particle moves along the path from the pointto the point The force field is measured at five
points along the path, and the results are shown in the table. UseSimpson’s Rule or a graphing utility to approximate the workdone by the force field.
77. Work Find the work done by a person weighing 175 poundswalking exactly one revolution up a circular helical staircase ofradius 3 feet if the person rises 10 feet.
78. Investigation Determine the value of such that the workdone by the force field
on an object moving along the parabolic path between the points and is a minimum. Comparethe result with the work required to move the object along thestraight-line path connecting the points.
True or False? In Exercises 83–86, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
83. If is given by then
84. If then
85. The vector functions and define the same curve.
86. If then and are orthogonal.
87. Work Consider a particle that moves through the force fieldfrom the point to the point
along the curve Find the value of such that the work done by the force field is 1.
ky � t.x � kt�1 � t�,�0, 1��0, 0�F�x, y� � � y � x�i � xyj
TF�C
F T ds � 0,
0 � t � 1,�1 � t�i � �1 � t�2j,r2 �0 � t � 1,r1 � t i � t2j,
�C1
f �x, y� ds � �C2
f �x, y� ds � 0.C2 � �C1,
�C
xy ds � �1
0t2 dt.
0 � t � 1,y�t� � t,x�t� � t,C
�1, 0���1, 0�y � c�1 � x2�
F�x, y� � 15��4 � x2y�i � xyj
c
F�1, 1�.�0, 0�y � x2
y � b ��3 < b < 3�
r�t� � 3 cos t i � 3 sin tj � �1 � sin2 2t�k,xy-
�x, y� � y.a > 0,0 � t � 2�r�t� � a cos ti � a sin tj,
�x, y� � 1.a > 0,0 � t � 2�r�t� � a cos ti � a sin tj,
�.
Iy � �C
x2� �x, y� ds.
Ix � �C
y2� �x, y� ds
yx
C: r�t� � x�t�i 1 y�t�j, 0 � t � b.
� �x, y�
0 � x � 40.y � x3�2.z � 20 �
14x,
1082 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
�x, y� �0, 0� �14, 1
16� �12, 1
4� �34, 9
16� �1, 1�
F�x, y� �5, 0� �3.5, 1� �2, 2� �1.5, 3� �1, 5�
79. Define a line integral of a function along a smooth curvein the plane and in space. How do you evaluate the line
integral as a definite integral?
80. Define a line integral of a continuous vector field on asmooth curve How do you evaluate the line integral as adefinite integral?
81. Order the surfaces in ascending order of the lateral surfacearea under the surface and over the curve from
to in the plane. Explain your orderingwithout doing any calculations.
(a) (b)
(c) (d) z4 � 10 � x � 2yz3 � 2
z2 � 5 � xz1 � 2 � x
xy-�4, 2��0, 0�y � x
C.F
Cf
WRITING ABOUT CONCEPTS
82. For each of the following, determine whether the work donein moving an object from the first to the second pointthrough the force field shown in the figure is positive,negative, or zero. Explain your answer.
(a) From to
(b) From to
(c) From to �0, 3��5, 0��0, 3���3, 0�
y�3, 3���3, �3�
CAPSTONE
1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1082
In Exercises 27–32, evaluate
where is represented by
27.
28.
29.
30.
31.
32.
In Exercises 33 and 34, use a computer algebra system toevaluate the integral
where is represented by
33.
34.
Work In Exercises 35–40, find the work done by the force fieldF on a particle moving along the given path.
35.
from to
Figure for 35 Figure for 36
36.
from to
37.
counterclockwise around the triangle with vertices ,, and (Hint: See Exercise 17a.)
Figure for 37 Figure for 38
38.
counterclockwise along the semicircle fromto
39.
Figure for 39 Figure for 40
40.
line from to
In Exercises 41– 44, determine whether the work done along thepath is positive, negative, or zero. Explain.
41.
42.
x
C
y
x
C
y
C
5, 3, 20, 0, 0C:
F x, y, z yzi xzj xyk
y
z
5
3
3
2
1C
y
z
π
3
π2
3
−3 −3
C
0 t 2C: r t 2 cos ti 2 sen tj tk,
F x, y, z x i yj 5zk
2, 02, 0y 4 x2C:
F x, y yi xj
−1−2 1 2−1
1
3
x
y
C
1
1
x
y
(0, 1)
C
0, 11, 00, 0C:
F x, y xi yj
0, 11, 0y sen3 tC: x cos3 t,
F x, y x2i xyj
1
1
x
y
C
2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
(2, 8)
C
2, 80, 0C: x t, y t3F x, y x i 2yj
0 t 2C: r t ti tj etk,
F x, y, zxi yj zk
x2 y2 z2
1 t 3C: r t ti t2j ln tk,
F x, y, z x2zi 6yj yz2k
r t .C
C F dr
0 tC: r t 2 sen ti 2 cos tj 12t2k,
F x, y, z x2i y2j z2k
0 t 1C: r t ti t2j 2tk,
F x, y, z xyi xz j yzk
2 t 2C: r t ti 4 t2j,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t cos ti sen tj,
F x, y 3x i 4yj
0 t 2C: r t 4 cos ti 4 sen tj,
F x, y xyi yj
0 t 1C: r t ti tj,
F x, y xi yj
r t .C
C F dr
1080 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080
Para discusión82. En cada uno de los incisos siguientes, determinar si el tra-
bajo realizado para mover un objeto del primero hasta elsegundo punto a través del campo de fuerzas mostrado en lafigura es positivo, negativo o cero. Explicar la respuesta.
a) Desde (23, 23) hasta (3, 3)
b) Desde (23, 0) hasta (0, 3)
c) Desde (5, 0) hasta (0, 3)
x
y
Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1082
SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1083
15.3 Campos vectoriales conservativos e independenciade la trayectoria
n Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea.n Comprender el concepto de independencia de la trayectoria.n Comprender el concepto de conservación de energía.
Teorema fundamental de las integrales de línea
El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajorealizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo esindependiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una ge-neralización importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema funda-mental de las integrales de línea.
Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de uncampo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.
EJEMPLO 1 Integral de línea de un campo vectorial conservativo
Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas
sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayecto-rias, como se muestra en la figura 15.19.
a) b) c)
Solución
a) Sea para por lo que
y
Entonces, el trabajo realizado es
b) Sea para por lo que
y
Entonces, el trabajo realizado es
c) Sea para por lo que
y
Entonces, el trabajo realizado es
Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todaslas trayectorias.
W 5 EC3
F ? dr 5 E2
0
5128
t4 dt 51
128t54
2
05
14
.
Fsx, yd 51
32t4 i 1
116
t2j.dr 5 112
i 138
t2j2 dt
0 ≤ t ≤ 2,rstd 512ti 1
18t3j
W 5 EC2
F ? dr 5 E1
0
58
t3y2 dt 514
t5y241
05
14
.
Fsx, yd 512
t3y2i 114
t2j.dr 5 1i 11
2!tj2 dt
0 ≤ t ≤ 1,rstd 5 ti 1 !t j
W 5 EC1
F ? dr 5 E1
0
34
t2 dt 514
t341
05
14
.
Fsx, yd 512
t2i 114
t2j.dr 5 si 1 jd dt
0 ≤ t ≤ 1,rstd 5 ti 1 tj
C3: y 5 x3C2: x 5 y2C1: y 5 x
Fsx, yd 512
xyi 114
x2j
x1
1 (1, 1)
(0, 0)
C1
C1: y = x
y
a)
x1
1 (1, 1)
(0, 0)
C2
C2: x = y2
y
b)
x1
1 (1, 1)
(0, 0)
C3
C3: y = x3
y
c)Figura 15.19
Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1083
1084 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial es conserva-tivo porque donde En tales casos, el teorema siguienteestablece que el valor de está dado por
Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a tro-zos (o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave.Como se sigue que
y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene
El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo.
En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma si-guiente. Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por
Si es conservativo y M, N y P son continuas, entonces
donde El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial
F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simple-mente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.
Fsx, y, zd 5 =fsx, y, zd.
5 f sxsbd, ysbd, zsbdd 2 f sxsad, ysad, zsadd
EC
F ? dr 5 EC
=f ? dr
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,
5 f sxsbd, ysbdd 2 fsxsad, ysadd.
EC
F ? dr 5 Eb
a
ddt
f fsxstd, ystddg dt
5 Eb
a3fxsx, yddx
dt1 fysx, yddy
dt 4 dt
EC
F ? dr 5 Eb
a
F ?drdt
dt
=fsx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj,Fsx, yd 5
DEMOSTRACIÓN
514
.
514
2 0
EC
F ? dr 5 fsxs1d, ys1dd 2 fsxs0d, ys0dd
eC F ? drfsx, yd 5
14x2y.Fsx, yd 5 =fsx, yd,
Fsx, yd 512xyi 1
14x2j
El teorema fundamental delas integrales de línea es similar al teo-rema fundamental de cálculo (sección4.4) que establece que
donde nF9sxd 5 f sxd.
Eb
a
f sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad
NOTA
TEOREMA 15.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA
Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por
Si es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,
donde es una función potencial de F. Es decir, Fsx, yd 5 =fsx, yd.f
EC
F ? dr 5 EC
=f ? dr 5 fsxsbd, ysbdd 2 fsxsad, ysadd
Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj,
Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1084
SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1085
EJEMPLO 2 Aplicación del teorema fundamentalde las integrales de línea
Evaluar donde C es una curva suave a trozos desde hasta y
como se muestra en la figura 15.20.
Solución Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde
Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales delínea, se sigue que
Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela porsustracción.
EJEMPLO 3 Aplicación del teorema fundamentalde las integrales de línea
Evaluar donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y
como se muestra en la figura 15.21.
Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, dondePor consiguiente, F es conservativo, y por el teorema funda-
mental de las integrales de línea, se sigue que
En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es elmismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en elejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por
Se obtendrá
5 17.
EC
F ? dr 5 E1
0s30t2 1 16t 2 1d dt
rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 1 tdj 1 3tk.
fsx, y, zd 5 x2y 1 yz2 1 K.
Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx2 1 z2dj 1 2yzk
EC
F ? dr,
fsx, yd 5 x2y 2y2
21 K.
Fsx, yd 5 2xyi 1 sx2 2 ydj
s1, 2ds21, 4dEC
F ? dr,
x
1
1
2
2
3
4
−1−2
(1, 2)
(−1, 4)
C
yF(x, y) = 2xyi + (x2 − y)j
Aplicación del teorema fundamental de lasintegrales de línea, Figura 15.20
eC F ? dr.
C
(1, 1, 0)
(0, 2, 3)
x y
22
1
1
2
3
z
F(x, y, z) = 2xyi + (x2 + z2)j + 2yzk
Aplicación del teorema fundamental de lasintegrales de línea, Figura 15.21
eC F ? dr.
5 4.
5 312s2d 222
2 4 2 3s21d2s4d 242
2 4E
C
F ? dr 5 fs1, 2d 2 fs21, 4d
5 17.
5 fs0d2s2d 1 s2ds3d2g 2 fs1d2s1d 1 s1ds0d2g
EC
F ? dr 5 fs0, 2, 3d 2 fs1, 1, 0d
Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1085
1086 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Independencia de la trayectoria
Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que si F es continuo yconservativo en una región abierta R, el valor de es el mismo para toda curvasuave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describediciendo que la integral de línea es independiente de la trayectoria en laregión R.
Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la regiónpueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre completamente dentrode la región, como se muestra en la figura 15.22. En regiones abiertas y conexas, la inde-pendencia de la trayectoria de es equivalente a la condición de que F sea con-servativo.
Si F es conservativo, entonces, por el teorema fundamental de las inte-grales de línea, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ahora se demuestrael recíproco para una región plana conexa R. Sea y sea unpunto fijo en R. Si es cualquier punto en R, elíjase una curva suave a trozos C quevaya de a y defínase ƒ como
La existencia de C en R está garantizada por el hecho de que R es conexa. Se puede mostrarque ƒ es una función potencial de F considerando dos trayectorias diferentes entre y Para la primera trayectoria, elíjase en R tal que Esto es posible yaque R es abierta. Después elíjanse y como se muestra en la figura 15.23. Utilizandola independencia de la trayectoria, se sigue que
Como la primera integral no depende de x, y como en la segunda integral, se tiene
y entonces, la derivada parcial de ƒ con respecto a x es Para la segundatrayectoria, se elige un punto Utilizando un razonamiento similar al empleado parala primera trayectoria, se concluye que Por tanto,
y se sigue que F es conservativo.
5 Fsx, yd 5 M i 1 Nj
=fsx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj
fysx, yd 5 N.sx, y1d.
fxsx, yd 5 M.
fsx, yd 5 gsyd 1 EC2
M dx
dy 5 0
5 EC1
M dx 1 N dy 1 EC2
M dx 1 N dy.
fsx, yd 5 EC
M dx 1 N dy
C2,C1
x Þ x1.sx1, ydsx, yd.sx0, y0d
5 EC
M dx 1 N dy.fsx, yd 5 EC
F ? dr
sx, yd,sx0, y0dsx, yd
sx0, y0dFsx, yd 5 Mi 1 Nj,
DEMOSTRACIÓN
eC F ? dr
eC F ? dr
eC F ? dr
R1 es conexa
R1
R2 no esconexa
R2
CA
B
Figura 15.22
C2
C3
C4C1
(x0, y0)
(x1, y)
(x, y1)
(x, y)
Figura 15.23
TEOREMA 15.6 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALESCONSERVATIVOS
Si F es continuo en una región abierta y conexa, entonces la integral de línea
es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.
EC
F ? dr
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SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1087
EJEMPLO 4 Trabajo en un campo de fuerzas conservativo
Para el campo de fuerzas dado por
mostrar que es independiente de la trayectoria, y calcular el trabajo realizado porF sobre un objeto que se mueve a lo largo de una curva C desde hasta
Solución Al expresar el campo de fuerzas en la forma setiene y y se sigue que
Por tanto, F es conservativo. Si ƒ es una función potencial de F, entonces
Integrando con respecto a x, y y z por separado, se obtiene
Comparando estas tres versiones de se concluye que
Así, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde hastaes
¿Cuánto trabajo se realizaría si el objeto del ejemplo 4 se moviera del puntoal punto y después volviera al punto de partida El teore-
ma fundamental de las integrales de línea establece que el trabajo realizado sería cero.Recuérdese que, por definición, el trabajo puede ser negativo. Así, en el momento en el queel objeto vuelve a su punto de partida, la cantidad de trabajo que se registra positivamentese cancela por la cantidad de trabajo que se registra negativamente.
s0, py2, 1d?s1, p, 3ds0, py2, 1d
5 4 2 e.
5 s2e 1 6d 2 s0 1 2d
5 3ex cos y 1 2z4s1, p, 3d
s0, py2, 1d
W 5 EC
F ? dr
s1, p, 3ds0, py2, 1d
fsx, y, zd 5 ex cos y 1 2z 1 K.
fsx, y, zd,
fsx, y, zd 5 E fzsx, y, zd dz 5 E 2 dz 5 2z 1 ksx, yd.
fsx, y, zd 5 E fysx, y, zd dy 5 E 2ex sin y dy 5 ex cos y 1 hsx, zd
fsx, y, zd 5 E fxsx, y, zd dx 5 E ex cos y dx 5 ex cos y 1 gsy, zd
fzsx, y, zd 5 2.
fysx, y, zd 5 2ex sin y
fxsx, y, zd 5 ex cos y
Nx
5 2ex sin y 5My
.
Px
5 0 5Mz
Py
5 0 5Nz
P 5 2,N 5 2ex sin y,M 5 ex cos y,Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk,
s1, p, 3d.s0, py2, 1deC F ? dr
Fsx, y, zd 5 ex cos yi 2 ex sin yj 1 2ksen
sen y
sen
sen
sen
Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1087
1088 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Una curva C dada por r(t) para es cerrada si Por el teoremafundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si F es continuo y conservati-vo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0.
EJEMPLO 5 Evaluación de una integral de línea
Evaluar donde
y es la trayectoria semicircular de (0, 0) a (2, 0), que se muestra en la figura 15.24.
Solución Se tienen las tres opciones siguientes.
a) Se puede utilizar el método presentado en la sección anterior para evaluar la integral delínea a lo largo de la curva dada. Para esto, se puede usar la parametrización
donde Con esta parametrización, se sigue quey
Esta integral desanimará a cualquiera que haya elegido esta opción.
b) Se puede intentar hallar una función potencial y evaluar la integral de línea medianteel teorema fundamental de las integrales de línea. Empleando la técnica demostrada enel ejemplo 4, se encuentra que la función potencial es y,por el teorema fundamental,
c) Sabiendo que F es conservativo, se tiene una tercera opción. Como el valor de la inte-gral de línea es independiente de la trayectoria, se puede reemplazar la trayectoria semi-circular con una trayectoria más simple. Supóngase que se elige la trayectoria rectilínea
desde hasta Entonces, donde Así, yde manera que
Obviamente, de las tres opciones, la tercera es la más sencilla.
EC1
F ? dr 5 EC2
F ? dr 5 E2
01 dt 5 t4
2
05 2.
s3xy2 1 1dj 5 i 1 j,Fsx, yd 5 sy3 1 1di 1dr 5 i dt0 ≤ t ≤ 2.rstd 5 ti,s2, 0d.s0, 0dC2
W 5 EC1
F ? dr 5 fs2, 0d 2 fs0, 0d 5 2.
fsx, yd 5 xy3 1 x 1 y 1 K,
EC1
F ? dr 5 Ep
0 ssin t 1 sin4 t 1 cos t 1 3 sin2 t cos t 2 3 sin2 t cos2 td dt.
dr 5 r9std dt 5 ssin t i 1 cos tjd dt,0 ≤ t ≤ p.rstd 5 s1 2 cos tdi 1 sin t j,
C1
Fsx, yd 5 sy3 1 1di 1 s3xy2 1 1dj
EC1
F ? dr,
rsad 5 rsbd.a ≤ t ≤ b
El teorema 15.7 proporcionavarias opciones para calcular una inte-gral de línea de un campo vectorialconservativo. Se puede usar una fun-ción potencial, o puede ser más conve-niente elegir una trayectoria particular-mente simple, como un segmento derecta. n
NOTA
C2: r(t) = ti
x1
1
2(0, 0)
(2, 0)
C1
C2
y
C1: r(t) = (1 − cos t)i + sen tj
Figura 15.24
TEOREMA 15.7 CONDICIONES EQUIVALENTES
Sea con primeras derivadas parciales continuas en unaregión abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condicionessiguientes son equivalentes.
1. es conservativo. Es decir, para alguna función
2. es independiente de la trayectoria.
3. para toda curva cerrada C en R.EC
F ? dr 5 0
EC
F ? dr
f.F 5 =fF
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk
sensen
sen sen sen sen
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SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1089
Conservación de la energía
En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación oproducción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.”Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes dela física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice losiguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinéticade un objeto se mantiene constante de punto a punto.
Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley.De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es
La energía potencial de una partícula en el punto en un campo vec-torial conservativo F se define como donde es la función poten-cial de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave Cdesde A hasta B es
como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo es igual a la diferen-cia entre las energías potenciales en y Ahora, supóngase que es el vector posiciónde una partícula que se mueve a lo largo de desde hasta En cual-quier instante la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) =r�(t) y respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton,
y el trabajo realizado por F es
Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene
lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de puntoa punto.
p�A� � k�A� � p�B� � k�B�p�A� � p�B� � k�B� � k�A�
� k�B� � k�A�.
�12
m�v�b��2 �12
m �v�a��2
�m2 ��v�t��2�
b
a
�m2 ��v�t��2�
b
a
�m2
b
a
ddt
��v�t��2� dt
�m2
b
a
ddt
�v�t� � v�t�� dt
� b
a
m�v��t� � v�t�� dt
� b
a
F � v�t� dt � b
a
�mv��t�� � v�t� dt
W � C
F � dr � b
a
F � r��t� dt
F � ma�t� � m�v��t��,v�t� � �v�t��,
t,B � r�b�.A � r�a�C
r�t�B.AW
� p�A� � p�B�
� �p�x, y, z��B
A
W � C
F � dr � f �x, y, z��B
A
fp�x, y, z� � �f �x, y, z�,�x, y, z�pk �
12 mv2.
El trabajo realizado por F a lo largo de C es
Figura 15.25
W � C
F � dr � p�A� � p�B�.
x
C
A
B
F
y
MICHAEL FARADAY (1791-1867)
Varios filósofos de la ciencia han considera-do que la ley de Faraday de la conservaciónde la energía es la mayor generalización con-cebida por el pensamiento humano. Muchosfísicos han contribuido a nuestroconocimiento de esta ley; dos de losprimeros y más importantes fueron JamesPrescott Joule (1818-1889) y HermannLudwig Helmholtz (1821-1894).
The
Gra
nger
Col
lect
ion
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1090 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
15.3 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, mostrar que el valor de es elmismo para cada representación paramétrica de
1.
a)
b)
2.
a)
b)
3.
a)
b)
4.
a)
b)
En los ejercicios 5 a 10, determinar si el campo vectorial es o noconservativo.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
En los ejercicios 11 a 24, hallar el valor de la integral de línea
(Sugerencia: Si F es conservativo, la integración puede ser mássencilla a través de una trayectoria alternativa.)
11.
a)
b)
12.
a)
b) La trayectoria cerrada que consiste en segmentos de rectadesde (0, 3) hasta (0, 0), después desde (0, 0) hasta (3, 0) ydesde (3, 0) hasta (0, 3)
13.
a)
b)
c)
14.
a)
b)
15.
a) b)
c) d)
16.
a) b)
c) d)
17.
a) elipse desde hasta
b) parábola desde hasta s0, 4ds2, 0dy 5 4 2 x2C:
s0, 4ds5, 0dx2
251
y 2
165 1C:
EC
2xy dx 1 sx2 1 y 2d dy
x−1
1
−1(0, −1)
(0, 1)
C4
x = 1 − y2y
x
2
4
6
8
1 2
(2, e2)
(0, 1)
C3
y = ex
y
x−1
1
−1(0, −1)
(0, 1)
C2
x = 1 − y2y
x1
1
2
2
3
3
4
4
(0, 0)
(2, 3)
(4, 1)C1
y
EC
s2x 2 3y 1 1d dx 2 s3x 1 y 2 5d dy
x1−1
−1
(−1, 0) (1, 0)
C4
y = 1 − x2y
x1−1
−1
(−1, 0) (1, 0)
C2
y = 1 − x2y
x1
1
2
2
3
3
4
4
(0, 0)
(3, 4)
(4, 4)
C1
y
EC
y 2 dx 1 2xy dy
0 ≤ t ≤ 2r2std 5 st 1 1d i 213st 2 3d j,
1 ≤ t ≤ 3r1std 5 t i 11t
j,
Fsx, yd 5 xy 2 i 1 2x2y j
0 ≤ t ≤ 1r3std 5 t i 1 t 3j,
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 t 2j,
0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t j,
Fsx, yd 5 y i 2 x j
0 ≤ t ≤ 3r1std 5 t i 2 st 2 3d j,
Fsx, yd 5 yexy i 1 xexy j
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 t3j,
0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2 j,
Fsx, yd 5 2xy i 1 x2 j
EC F ? dr.
Fsx, y, zd 5 sin yz i 1 xz cos yz j 1 xy sin yzk
Fsx, y, zd 5 y 2z i 1 2xyz j 1 xy 2 k
Fsx, y, zd 5 y ln z i 2 x ln z j 1xyz
k
Fsx, yd 51y2 s y i 1 xjd
Fsx, yd 5 15x2y 2 i 1 10x3yj
Fsx, yd 5 exssin y i 1 cos yjd
1 ≤ w ≤ e3r2swd 5 s2 1 ln wd i 1 s3 2 ln wdj,
0 ≤ t ≤ 3r1std 5 s2 1 td i 1 s3 2 tdj,
Fsx, yd 5 y i 1 x2 j
0 ≤ t ≤ 3r2std 5 !t 1 1 i 1 !t j,
0 ≤ u ≤p
3r1sud 5 sec u i 1 tan u j,
Fsx, yd 5 y i 2 x j
0 ≤ w ≤ 2r2swd 5 w2 i 1 w j,
0 ≤ t ≤ 4r1std 5 t i 1 !t j,
Fsx, yd 5 sx2 1 y 2d i 2 x j
0 ≤ u ≤p
2r2sud 5 sin u i 1 sin2 u j,
0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2j,
Fsx, yd 5 x2 i 1 xy j
C.eC F ? dr
sen sen
sen
sen sen
In Exercises 1–4, show that the value of is the same foreach parametric representation of
1.
(a)
(b)
2.
(a)
(b)
3.
(a)
(b)
4.
(a)
(b)
In Exercises 5–10, determine whether the vector field is conservative.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–24, find the value of the line integral
(Hint: If F is conservative, the integration may be easier on analternative path.)
11.
(a)
(b)
12.
(a)
(b) The closed path consisting of line segments from tofrom to and then from to
13.
(a)
(b)
(c)
14.
(a)
(b)
15.
(a) (b)
(c) (d)
16.
(a) (b)
(c) (d)
17.
(a) ellipse from to
(b) parabola from to �0, 4��2, 0�y � 4 � x2C:
�0, 4��5, 0�x2
25�
y 2
16� 1C:
�C
2xy dx � �x2 � y 2� dy
−1
1
−1(0, −1)
(0, 1)
C4
yx = 1 − y2
x
2
4
6
8
1 2
(2, e2)
(0, 1)
C3
y = ex
y
x−1
1
−1(0, −1)
(0, 1)
C2
yx = 1 − y2
1
1
2
2
3
3
4
4
(0, 0)
(2, 3)
(4, 1)C1
y
�C
�2x � 3y � 1� dx � �3x � y � 5� dy
1−1
−1
(−1, 0) (1, 0)
C4
yy = 1 − x2
1 2
1
(−1, −1) (1, −1)
(−1, 2) (2, 2)C3
y
x
x1−1
−1
(−1, 0) (1, 0)
C2
y = 1 − x2y
1
1
2
2
3
3
4
4
(0, 0)
(3, 4)
(4, 4)
C1
y
�C
y 2 dx � 2xy dy
0 � t � 2r2�t� � �t � 1� i �13�t � 3� j,
1 � t � 3r1�t� � t i �1t
j,
F�x, y� � xy 2 i � 2x2y j
0 � t � 1r3�t� � t i � t 3j,
0 � t � 1r2�t� � t i � t 2j,
0 � t � 1r1�t� � t i � t j,
F�x, y� � y i � x j
�0, 3��3, 0��3, 0�,�0, 0��0, 0�,�0, 3�
0 � t � 3r1�t� � t i � �t � 3� j,
F�x, y� � yexy i � xexy j
0 � t � 1r2�t� � t i � t3j,
0 � t � 1r1�t� � t i � t 2 j,
F�x, y� � 2xy i � x2 j
�C F � dr.
F�x, y, z� � sin yz i � xz cos yz j � xy sin yzk
F�x, y, z� � y 2z i � 2xyz j � xy 2 k
F�x, y, z� � y ln z i � x ln z j �xyz
k
F�x, y� �1y2 � y i � xj�
F�x, y� � 15x2y 2 i � 10x3yj
F�x, y� � ex�sin y i � cos yj�
1 � w � e3r2�w� � �2 � ln w� i � �3 � ln w�j,
0 � t � 3r1�t� � �2 � t� i � �3 � t�j,
F�x, y� � y i � x2 j
0 � t � 3r2�t� � �t � 1 i � �t j,
0 � � ��
3r1��� � sec � i � tan � j,
F�x, y� � y i � x j
0 � w � 2r2�w� � w2 i � w j,
0 � t � 4r1�t� � t i � �t j,
F�x, y� � �x2 � y 2� i � x j
0 � � ��
2r2��� � sin � i � sin2 � j,
0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j,
F�x, y� � x2 i � xy j
C.�C F � dr
1090 Chapter 15 Vector Analysis
15.3 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
1053714_1503_pg 1090.qxp 10/30/08 8:25 AM Page 1090Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1090
SECCIÓN 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 1091
18.
a)
b)
19.
a)
b)
20.
a)
b)
21.
a)
b)
22.
a)
b)
23.
a)
b)
24.
a)
b)
En los ejercicios 25 a 34, evaluar la integral de línea utilizando elteorema fundamental de las integrales de línea. Utilizar un sis-tema algebraico por computadora y verificar los resultados.
25.
curva suave desde hasta
26.
curva suave desde (–1, 1) hasta (3, 2)
27.
curva suave desde hasta
28.
curva suave desde hasta
29.
cicloide desde hasta
30.
círculo en sentido de las maneci-llas del reloj desde hasta
31.
a) segmento de recta desde hasta
b) segmento de recta de a a
c) segmento de recta de a a y a
32. Repetir el ejercicio 31 utilizando la integral
33.
curva suave desde hasta
34.
curva suave desde hasta (3, 4, 0)
Trabajo En los ejercicios 35 y 36, hallar el trabajo realizadopor el campo de fuerzas F al mover un objeto desde P hasta Q.
35.
36. P(–1, 1), Q(3, 2)
37. Trabajo Una piedra de 1 libra atada al extremo de una cuerda dedos pies se hace girar horizontalmente con un extremo fijo.Realiza una revolución por segundo. Hallar el trabajo realizadopor la fuerza F que mantiene a la piedra en una trayectoria circu-lar. [Sugerencia: Usar fuerza = (masa)(aceleración centrípeta).]
38. Trabajo Si es un campo vecto-rial de fuerza constante, mostrar que el trabajo realizado almover una partícula a lo largo de la trayectoria desde P hasta Qes
39. Trabajo Para tener un medio de escape para los trabajadores enuna arriesgada tarea a 50 metros sobre el nivel del suelo, se insta-la un tobogán de cable. Corre desde su posición hasta un punto a50 metros de la base de la instalación donde se localizan los tra-bajadores. Mostrar que el trabajo realizado por el campo defuerzas gravitatorio para que un hombre de 175 libras recorra lalongitud del cable es el mismo en cada una de las trayectorias.
a)
b)
40. Trabajo ¿Se puede encontrar una trayectoria para el cable deltobogán del ejercicio 39 tal que el trabajo realizado por el campode fuerzas gravitatorio sea distinto de las cantidades de trabajorealizadas para las dos trayectorias dadas? Explicar por qué sí opor qué no.
rstd 5 t i 11
50s50 2 td2j
rstd 5 t i 1 s50 2 tdj
W 5 F ? PQ\
.
Fsx, y, zd 5 a1i 1 a2j 1 a3k
Fsx, yd 52xy
i 2x2
y 2 j;
Qs5, 9dPs0, 0d,Fsx, yd 5 9x2y 2 i 1 s6x3y 2 1dj;
s0, 0, 0dC:
EC
6x dx 2 4z dy 2 s4y 2 20zd dz
1p
2, 3, 42s0, 0, 0dC:
EC
2sin x dx 1 z dy 1 y dz
EC
zy dx 1 xz dy 1 xy dz.
s1, 1, 1ds1, 1, 0ds1, 0, 0ds0, 0, 0dC:
s1, 1, 1ds0, 0, 1ds0, 0, 0dC:
s1, 1, 1ds0, 0, 0dC:
s1, 5ds7, 5dsx 2 4d2 1 sy 2 5d2 5 9C:
EC
2x
sx2 1 y2d2 dx 12y
sx2 1 y 2d2 dy
s2p, 0ds0, 0dy 5 1 2 cos ux 5 u 2 sin u,C:
EC
ex sin y dx 1 ex cos y dy
s2!3, 2ds1, 1dC:
EC
y dx 2 x dy
x2 1 y 2
13p
2,
p
22s0, 2pdC:
EC
cos x sin y dx 1 sin x cos y dy
C:
EC
f2sx 1 ydi 1 2sx 1 ydjg ? dr
s3, 8ds0, 0dC:
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 4t i 1 4tj,
0 ≤ t ≤ 2r1std 5 t2 i 1 t 2 j,
Fsx, y, zd 5 y sin z i 1 x sin z j 1 xy cos xk
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s4 2 8td i 1 3k,
0 ≤ t ≤ pr1std 5 4 cos t i 1 4 sin t j 1 3k,
Fsx, y, zd 5 ezsy i 1 x j 1 xykd0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s1 2 2td i 1 ptk,
0 ≤ t ≤ pr1std 5 cos t i 1 sin t j 1 tk,
Fsx, y, zd 5 2y i 1 x j 1 3xz2 k
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 t i 1 tj 1 s2t 2 1d2k,
0 ≤ t ≤ 1r1std 5 t i 1 t 2j 1 k,
Fsx, y, zd 5 s2y 1 xd i 1 sx2 2 zd j 1 s2y 2 4zdk
0 ≤ t ≤ 1r2std 5 s1 2 2td i 1 p2tk,
0 ≤ t ≤ pr1std 5 cos t i 1 sin t j 1 t2 k,
Fsx, y, zd 5 i 1 z j 1 yk
0 ≤ t ≤ 2r2std 5 t 2 i 1 tj 1 t 2k,
0 ≤ t ≤ 4r1std 5 t i 1 2 j 1 tk,
Fsx, y, zd 5 yz i 1 xz j 1 xyk
0 ≤ t ≤p
2r2std 5 2 cos t i 1 2 sin t j,
0 ≤ t ≤ 2r1std 5 t3 i 1 t 2 j,
EC
sx2 1 y 2d dx 1 2xy dy
Desarrollo de conceptos41. Enunciar el teorema fundamental de las integrales de línea.
42. ¿Qué significa que una integral de línea sea independiente dela trayectoria? Enunciar el método para determinar si unaintegral de línea es independiente de la trayectoria.
sen
sen
sen
sen
sen sen
sen sen
sen
sen
sen
18.
(a)
(b)
19.
(a)
(b)
20.
(a)
(b)
21.
(a)
(b)
22.
(a)
(b)
23.
(a)
(b)
24.
(a)
(b)
In Exercises 25–34, evaluate the line integral using theFundamental Theorem of Line Integrals. Use a computeralgebra system to verify your results.
25.
smooth curve from to
26.
smooth curve from to
27.
line segment from to
28.
line segment from to
29.
cycloid from to
30.
circle clockwise from to
31.
(a) line segment from to
(b) line segments from to to
(c) line segments from to to to
32. Repeat Exercise 31 using the integral
33.
smooth curve from to
34.
smooth curve from to
Work In Exercises 35 and 36, find the work done by the forcefield F in moving an object from to
35.
36.
37. Work A stone weighing 1 pound is attached to the end of atwo-foot string and is whirled horizontally with one end heldfixed. It makes 1 revolution per second. Find the work done bythe force that keeps the stone moving in a circular path.[Hint: Use Force (mass)(centripetal acceleration).]
38. Work If is a constant forcevector field, show that the work done in moving a particle alongany path from to is
39. Work To allow a means of escape for workers in a hazardousjob 50 meters above ground level, a slide wire is installed. It runs from their position to a point on the ground 50 metersfrom the base of the installation where they are located. Showthat the work done by the gravitational force field for a175-pound worker moving the length of the slide wire is thesame for each path.
(a)
(b)
40. Work Can you find a path for the slide wire in Exercise 39such that the work done by the gravitational force field woulddiffer from the amounts of work done for the two paths given?Explain why or why not.
r�t� � t i �1
50�50 � t�2j
r�t� � t i � �50 � t�j
W � F � PQ\
.QP
F�x, y, z� � a1i � a2j � a3k
�F
Q�3, 2�P��1, 1�,F�x, y� �2xy
i �x2
y 2 j;
Q�5, 9�P�0, 0�,F�x, y� � 9x2y 2 i � �6x3y � 1�j;
Q.P
�3, 4, 0��0, 0, 0�C:
�C
6x dx � 4z dy � �4y � 20z� dz
�
2, 3, 4��0, 0, 0�C:
�C
�sin x dx � z dy � y dz
�C
zy dx � xz dy � xy dz.
�1, 1, 1��1, 1, 0��1, 0, 0��0, 0, 0�C:
�1, 1, 1��0, 0, 1��0, 0, 0�C:
�1, 1, 1��0, 0, 0�C:
�C
�z � 2y� dx � �2x � z� dy � �x � y� dz
�1, 5��7, 5��x � 4�2 � �y � 5�2 � 9C:
�C
2x�x2 � y2�2 dx �
2y�x2 � y 2�2 dy
�2, 0��0, 0�y � 1 � cos x � � sin ,C:
�C
ex sin y dx � ex cos y dy
�23, 2��1, 1�C:
�C
y dx � x dyx2 � y 2
�3
2,
2��0, ��C:
�C
cos x sin y dx � sin x cos y dy
�3, 2���1, 1�C:
�C
2�x � y�i � 2�x � y�j� � dr
�3, 8��0, 0�C:
�C
�3y i � 3x j� � dr
0 � t � 1r2�t� � 4t i � 4tj,
0 � t � 2r1�t� � t2 i � t 2 j,
F�x, y, z� � y sin z i � x sin z j � xy cos xk
0 � t � 1r2�t� � �4 � 8t� i � 3k,
0 � t � r1�t� � 4 cos t i � 4 sin t j � 3k,
F�x, y, z� � ez�y i � x j � xyk�0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � tk,
0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � tk,
F�x, y, z� � �y i � x j � 3xz2 k
0 � t � 1r2�t� � t i � tj � �2t � 1�2k,
0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j � k,
F�x, y, z� � �2y � x� i � �x2 � z� j � �2y � 4z�k
0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � 2tk,
0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � t2 k,
F�x, y, z� � i � z j � yk
0 � t � 2r2�t� � t 2 i � tj � t 2k,
0 � t � 4r1�t� � t i � 2 j � tk,
F�x, y, z� � yz i � xz j � xyk
0 � t �
2r2�t� � 2 cos t i � 2 sin t j,
0 � t � 2r1�t� � t3 i � t 2 j,
�C
�x2 � y 2� dx � 2xy dy
15.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path 1091
41. State the Fundamental Theorem of Line Integrals.
42. What does it mean that a line integral is independent ofpath? State the method for determining if a line integral isindependent of path.
WRITING ABOUT CONCEPTS
1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1091
18.
(a)
(b)
19.
(a)
(b)
20.
(a)
(b)
21.
(a)
(b)
22.
(a)
(b)
23.
(a)
(b)
24.
(a)
(b)
In Exercises 25–34, evaluate the line integral using theFundamental Theorem of Line Integrals. Use a computeralgebra system to verify your results.
25.
smooth curve from to
26.
smooth curve from to
27.
line segment from to
28.
line segment from to
29.
cycloid from to
30.
circle clockwise from to
31.
(a) line segment from to
(b) line segments from to to
(c) line segments from to to to
32. Repeat Exercise 31 using the integral
33.
smooth curve from to
34.
smooth curve from to
Work In Exercises 35 and 36, find the work done by the forcefield F in moving an object from to
35.
36.
37. Work A stone weighing 1 pound is attached to the end of atwo-foot string and is whirled horizontally with one end heldfixed. It makes 1 revolution per second. Find the work done bythe force that keeps the stone moving in a circular path.[Hint: Use Force (mass)(centripetal acceleration).]
38. Work If is a constant forcevector field, show that the work done in moving a particle alongany path from to is
39. Work To allow a means of escape for workers in a hazardousjob 50 meters above ground level, a slide wire is installed. It runs from their position to a point on the ground 50 metersfrom the base of the installation where they are located. Showthat the work done by the gravitational force field for a175-pound worker moving the length of the slide wire is thesame for each path.
(a)
(b)
40. Work Can you find a path for the slide wire in Exercise 39such that the work done by the gravitational force field woulddiffer from the amounts of work done for the two paths given?Explain why or why not.
r�t� � t i �1
50�50 � t�2j
r�t� � t i � �50 � t�j
W � F � PQ\
.QP
F�x, y, z� � a1i � a2j � a3k
�F
Q�3, 2�P��1, 1�,F�x, y� �2xy
i �x2
y 2 j;
Q�5, 9�P�0, 0�,F�x, y� � 9x2y 2 i � �6x3y � 1�j;
Q.P
�3, 4, 0��0, 0, 0�C:
�C
6x dx � 4z dy � �4y � 20z� dz
�
2, 3, 4��0, 0, 0�C:
�C
�sin x dx � z dy � y dz
�C
zy dx � xz dy � xy dz.
�1, 1, 1��1, 1, 0��1, 0, 0��0, 0, 0�C:
�1, 1, 1��0, 0, 1��0, 0, 0�C:
�1, 1, 1��0, 0, 0�C:
�C
�z � 2y� dx � �2x � z� dy � �x � y� dz
�1, 5��7, 5��x � 4�2 � �y � 5�2 � 9C:
�C
2x�x2 � y2�2 dx �
2y�x2 � y 2�2 dy
�2, 0��0, 0�y � 1 � cos x � � sin ,C:
�C
ex sin y dx � ex cos y dy
�23, 2��1, 1�C:
�C
y dx � x dyx2 � y 2
�3
2,
2��0, ��C:
�C
cos x sin y dx � sin x cos y dy
�3, 2���1, 1�C:
�C
2�x � y�i � 2�x � y�j� � dr
�3, 8��0, 0�C:
�C
�3y i � 3x j� � dr
0 � t � 1r2�t� � 4t i � 4tj,
0 � t � 2r1�t� � t2 i � t 2 j,
F�x, y, z� � y sin z i � x sin z j � xy cos xk
0 � t � 1r2�t� � �4 � 8t� i � 3k,
0 � t � r1�t� � 4 cos t i � 4 sin t j � 3k,
F�x, y, z� � ez�y i � x j � xyk�0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � tk,
0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � tk,
F�x, y, z� � �y i � x j � 3xz2 k
0 � t � 1r2�t� � t i � tj � �2t � 1�2k,
0 � t � 1r1�t� � t i � t 2j � k,
F�x, y, z� � �2y � x� i � �x2 � z� j � �2y � 4z�k
0 � t � 1r2�t� � �1 � 2t� i � 2tk,
0 � t � r1�t� � cos t i � sin t j � t2 k,
F�x, y, z� � i � z j � yk
0 � t � 2r2�t� � t 2 i � tj � t 2k,
0 � t � 4r1�t� � t i � 2 j � tk,
F�x, y, z� � yz i � xz j � xyk
0 � t �
2r2�t� � 2 cos t i � 2 sin t j,
0 � t � 2r1�t� � t3 i � t 2 j,
�C
�x2 � y 2� dx � 2xy dy
15.3 Conservative Vector Fields and Independence of Path 1091
41. State the Fundamental Theorem of Line Integrals.
42. What does it mean that a line integral is independent ofpath? State the method for determining if a line integral isindependent of path.
WRITING ABOUT CONCEPTS
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1092 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
43. Para pensar Sea Encontrar el
valor de la integral de línea
En los ejercicios 45 y 46, considerar el campo de fuerzas mostra-do en la figura. ¿Es el campo de fuerzas conservativo? Explicarpor qué sí o por qué no.
45. 46.
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 47 a 50, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.
47. Si y tienen los mismos puntos inicial y final yentonces
48. Si y está dada por entonces
49. Si es conservativo en una región limitada o acotada por unatrayectoria cerrada simple y está contenida en entonces
es independiente de la trayectoria.
50. Si y entonces es conserva-tivo.
51. Una función es armónica si Demostrar que
si es armónica, entonces
donde C es una curva suave cerrada en el plano.
52. Energía potencial y cinética La energía cinética de un objetoque se mueve a través de un campo de fuerzas conservativo dis-minuye a una velocidad o ritmo de 15 unidades por minuto. ¿Aqué ritmo cambia su energía potencial?
53. Sea
a) Mostrar que
donde
y
b) Si para hallar
c) Si para hallar
d) Si para hallar ¿Por qué esto no contradice el teorema 15.7?
e) Mostrar que =1arctan xy2 5 F.
eC F ? dr.0 ≤ t ≤ 2p,rstd 5 cos t i 1 sin t j
eC F ? dr.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 cos t i 2 sin t j
eC F ? dr.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 cos t i 1 sin t j
N 52x
x2 1 y 2.M 5y
x2 1 y 2
Nx
5My
Fsx, yd 5y
x2 1 y 2 i 2x
x2 1 y2 j.
EC
1fy
dx 2fx
dy2 5 0
f
2fx2 1
2fy 2 5 0.f
FMyx 5 Nyy,F 5 M i 1 N j
eC F ? drR,C
RF
eC F ? dr 5 0.0 ≤ t ≤ p,rstd 5 s4 sin tdi 1 s3 cos tdj,CF 5 y i 1 x j
eC1 F ? dr1 5 eC3
F ? dr3.eC1 F ? dr1 5 eC2
F ? dr2,C3C1, C2,
x
y
x
y
43. Think About It Let Find the
value of the line integral
a) b)
c) d)
In Exercises 45 and 46, consider the force field shown in thefigure. Is the force field conservative? Explain why or why not.
45. 46.
True or False? In Exercises 47–50, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
47. If and have the same initial and terminal points andthen
48. If and is given by then
49. If is conservative in a region bounded by a simple closedpath and lies within then is independent of path.
50. If and then is conservative.
51. A function is called harmonic if Prove that if
is harmonic, then
where is a smooth closed curve in the plane.
52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of an objectmoving through a conservative force field is decreasing at a rateof 15 units per minute. At what rate is the potential energychanging?
53. Let
(a) Show that
where
and
(b) If for find
(c) If for find
(d) If for find Why doesn’t this contradict Theorem 15.7?
(e) Show that arctanxy
F.
C F dr.0 t 2 ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t j
Nx
x2 y 2.My
x2 y 2
Nx
My
F x, yy
x2 y 2 ix
x2 y2 j.
C
C
fy
dxfx
dy 0
f
2fx2
2fy 2 0.f
FM x N y,F M i N jC F drR,CRF
C F dr 0.0 t ,r t 4 sin t i 3 cos t j,CF y i x j
C1F dr1 C3
F dr3.C1F dr1 C2
F dr2,C3C1, C2,
x
y
x
y
y
x
C4
y
x
C3
y
x
C2
y
x
C1
C
F dr.
F x, yy
x2 y2 ix
x2 y2 j.
1092 Chapter 15 Vector Analysis
44. Consider the force field shown in the figure.
(a) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can identify two paths thatrequire different amounts of work to move an objectfrom to Identify two paths and statewhich requires the greater amount of work. To print an enlarged copy of the graph, go to the website www.mathgraphs.com.
(b) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can find a closed curve such that
C
F dr 0.
C
3, 4 .4, 0
x
−5
−5
y
CAPSTONE
1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092
sen
sen
sen
sen
y
Para discusión44. Considerar el campo de fuerzas mostrado en la figura.
a) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no esconservativo porque se pueden encontrar dos trayectoriasque requieren cantidades diferentes de trabajo paramover un objeto desde hasta Identificardos trayectorias y decir cuál requiere mayor cantidad detrabajo.
b) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no esconservativo porque se puede encontrar una curva ce-rrada C tal que
EC
F ? dr Þ 0.
s3, 4d.s24, 0d
x
y
−5
−5
43. Think About It Let Find the
value of the line integral
a) b)
c) d)
In Exercises 45 and 46, consider the force field shown in thefigure. Is the force field conservative? Explain why or why not.
45. 46.
True or False? In Exercises 47–50, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
47. If and have the same initial and terminal points andthen
48. If and is given by then
49. If is conservative in a region bounded by a simple closedpath and lies within then is independent of path.
50. If and then is conservative.
51. A function is called harmonic if Prove that if
is harmonic, then
where is a smooth closed curve in the plane.
52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of an objectmoving through a conservative force field is decreasing at a rateof 15 units per minute. At what rate is the potential energychanging?
53. Let
(a) Show that
where
and
(b) If for find
(c) If for find
(d) If for find Why doesn’t this contradict Theorem 15.7?
(e) Show that arctanxy
F.
C F dr.0 t 2 ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t j
Nx
x2 y 2.My
x2 y 2
Nx
My
F x, yy
x2 y 2 ix
x2 y2 j.
C
C
fy
dxfx
dy 0
f
2fx2
2fy 2 0.f
FM x N y,F M i N jC F drR,CRF
C F dr 0.0 t ,r t 4 sin t i 3 cos t j,CF y i x j
C1F dr1 C3
F dr3.C1F dr1 C2
F dr2,C3C1, C2,
x
y
x
y
y
x
C4
y
x
C3
y
x
C2
y
x
C1
C
F dr.
F x, yy
x2 y2 ix
x2 y2 j.
1092 Chapter 15 Vector Analysis
44. Consider the force field shown in the figure.
(a) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can identify two paths thatrequire different amounts of work to move an objectfrom to Identify two paths and statewhich requires the greater amount of work. To print an enlarged copy of the graph, go to the website www.mathgraphs.com.
(b) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can find a closed curve such that
C
F dr 0.
C
3, 4 .4, 0
x
−5
−5
y
CAPSTONE
1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092
43. Think About It Let Find the
value of the line integral
a) b)
c) d)
In Exercises 45 and 46, consider the force field shown in thefigure. Is the force field conservative? Explain why or why not.
45. 46.
True or False? In Exercises 47–50, determine whether thestatement is true or false. If it is false, explain why or give anexample that shows it is false.
47. If and have the same initial and terminal points andthen
48. If and is given by then
49. If is conservative in a region bounded by a simple closedpath and lies within then is independent of path.
50. If and then is conservative.
51. A function is called harmonic if Prove that if
is harmonic, then
where is a smooth closed curve in the plane.
52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of an objectmoving through a conservative force field is decreasing at a rateof 15 units per minute. At what rate is the potential energychanging?
53. Let
(a) Show that
where
and
(b) If for find
(c) If for find
(d) If for find Why doesn’t this contradict Theorem 15.7?
(e) Show that arctanxy
F.
C F dr.0 t 2 ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t jC F dr.0 t ,r t cos t i sin t j
Nx
x2 y 2.My
x2 y 2
Nx
My
F x, yy
x2 y 2 ix
x2 y2 j.
C
C
fy
dxfx
dy 0
f
2fx2
2fy 2 0.f
FM x N y,F M i N jC F drR,CRF
C F dr 0.0 t ,r t 4 sin t i 3 cos t j,CF y i x j
C1F dr1 C3
F dr3.C1F dr1 C2
F dr2,C3C1, C2,
x
y
x
y
y
x
C4
y
x
C3
y
x
C2
y
x
C1
C
F dr.
F x, yy
x2 y2 ix
x2 y2 j.
1092 Chapter 15 Vector Analysis
44. Consider the force field shown in the figure.
(a) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can identify two paths thatrequire different amounts of work to move an objectfrom to Identify two paths and statewhich requires the greater amount of work. To print an enlarged copy of the graph, go to the website www.mathgraphs.com.
(b) Give a verbal argument that the force field is notconservative because you can find a closed curve such that
C
F dr 0.
C
3, 4 .4, 0
x
−5
−5
y
CAPSTONE
1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092
Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page 1092
SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1093
15.4 Teorema de Green
n Utilizar el teorema de Green para evaluar una integral de línea.n Utilizar formas alternativas del teorema de Green.
Teorema de Green
En esta sección se estudiará el teorema de Green, que recibe este nombre en honor delmatemático inglés George Green (1793-1841). Este teorema establece que el valor de unaintegral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor deuna integral de línea a lo largo de la frontera de R.
Una curva C dada por donde es simple si no se cortaa sí misma, es decir, para todo c y d en el intervalo abierto Una regiónplana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntosque están en R (ver la figura 15.26).
Se da una demostración sólo para una región que es vertical y horizon-talmente simple, como se muestra en la figura 15.27.
Por otro lado,
Por consiguiente,
De manera similar, se pueden usar g1(y) y g2(y) para demostrar que Sumando las integrales y se llega a la conclusión establecida en el teo-rema.
eC N dy,eC M dx
Use Green’s Theorem to evaluate a line integral.n Use alternative forms of Green’s Theorem.
Green’s TheoremIn this section, you will study Green’s Theorem, named after the English mathematicianGeorge Green (1793–1841). This theorem states that the value of a double integralover a simply connected plane region is determined by the value of a line integral around the boundary of
A curve given by where is simple if it does notcross itself—that is, for all and in the open interval A planeregion is simply connected if every simple closed curve in encloses only pointsthat are in (see Figure 15.26).
A proof is given only for a region that is both vertically simple and horizon-tally simple, as shown in Figure 15.27.
On the other hand,
Consequently,
Similarly, you can use and to show that Byadding the integrals and you obtain the conclusion stated in thetheorem. n
eC N dy,eC M dxeC N dy 5 eRe Nyx dA.g2s ydg1s yd
EC
M dx 5 2ERE
My
dA.
5 Eb
a
fMsx, f2sxdd 2 Msx, f1sxddg dx.
5 Eb
a
Msx, yd4f2sxd
f1 sxddx
ERE
My
dA 5 Eb
aEf
2sxd
f1sxd My
dy dx
5 Eb
a
fMsx, f1sxdd 2 Msx, f2sxddg dx
5 Eb
a
Msx, f1sxdd dx 1 Ea
b
Msx, f2sxdd dx
EC
M dx 5 EC1
M dx 1 EC2
M dx
PROOF
RRR
sa, bd.dcrscd Þ rsdda # t # b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,C
R.R
THEOREM 15.8 GREEN’S THEOREM
Let be a simply connected region with a piecewise smooth boundary oriented counterclockwise (that is, is traversed once so that the region always lies to the left). If and have continuous first partial derivatives inan open region containing then
EC
M dx 1 N dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA.
R,NM
RCC,R
r(a) = r(b)
R1
R2
R3
Simply connected
Not simpl connected
Figure 15.26
xC = C1 + C2
C1: y = f1(x)
C2:y = f2(x)
R
a b
y
is vertically simple.R
xC ′ = C ′1 + C ′2
C ′2: x = g2(y)
R
d
c
C ′1:x = g1(y)
y
is horizontally simple.Figure 15.27R
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1093
EC
M dx 5 2ERE
My
dA.
5 Eb
a
fMsx, f2sxdd 2 Msx, f1sxddg dx.
5 Eb
a
Msx, yd4f2sxd
f1 sxddx
ERE
My
dA 5 Eb
aEf
2sxd
f1sxd My
dy dx
5 Eb
a
fMsx, f1sxdd 2 Msx, f2sxddg dx
5 Eb
a
Msx, f1sxdd dx 1 Ea
b
Msx, f2sxdd dx
EC
M dx 5 EC1
M dx 1 EC2
M dx
DEMOSTRACIÓN
sa, bd.rscd Þ rsdda ≤ t ≤ b,rstd 5 xstdi 1 ystdj,
r(a) = r(b)
R1
R2
R3
Simplemente conexa
No simplemente conexas
Figura 15.26
xC = C1 + C2
C1: y = f1(x)
C2:y = f2(x)
R
a b
y
R es verticalmente simple
xC ′ = C ′1 + C ′2
C ′2: x = g2(y)
R
d
c
C ′1:x = g1(y)
y
R es horizontalmente simpleFigura 15.27
TEOREMA 15.8 TEOREMA DE GREEN
Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos,orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre unavez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienenderivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces
EC
M dx 1 N dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA.
Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1093
1094 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Green
Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea
donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y desde(1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de como se muestra en la figura 15.28.
Solución Como y se sigue que
y
Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces
El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restric-ciones establecidas en el teorema 15.8, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo,cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo. Para ver esto, tratar deaplicar las técnicas descritas en la sección 15.2 para evaluar la integral de línea del ejem-plo l. Para esto, se necesitará escribir la integral de línea como
donde es la trayectoria cúbica dada por
desde hasta y es el segmento de recta dado por
desde hasta t 5 1.t 5 0
rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 tdj
C2t 5 1,t 5 0
rstd 5 t i 1 t3j
C1
EC1
y3 dx 1 sx3 1 3xy 2d dy 1 EC2
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy
EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5
514
.
5 33x4
42
x6
2 41
0
5 E1
0 s3x3 2 3x5d dx
5 E1
0 3x2y4
x
x3 dx
5 E1
0Ex
x3
3x2 dy dx
5 E1
0Ex
x3
fs3x2 1 3y2d 2 3y2g dy dx
EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
My
5 3y2.Nx
5 3x2 1 3y2
N 5 x3 1 3xy2,M 5 y3
y 5 x,y 5 x3
EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy
GEORGE GREEN (1793-1841)
Green, autodidacta, hijo de un molinero, publicó por primera vez el teorema que llevasu nombre en 1828 en un ensayo sobre elec-tricidad y magnetismo. En ese tiempo nohabía casi ninguna teoría matemática paraexplicar fenómenos eléctricos.“Considerando cuán deseable sería que unaenergía de naturaleza universal, como laelectricidad, fuera susceptible, hasta dondefuera posible, de someterse al cálculo. . . mevi impulsado a intentar descubrir cualquierposible relación general entre esta función ylas cantidades de electricidad en los cuerposque la producen.”
x1
1
C = C1 + C2
C1
C2
(1, 1)
(0, 0)
y = x
y = x3
y
C es simple y cerrada, y la región R siemprese encuentra a la izquierda de CFigura 15.28
Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1094
SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1095
EJEMPLO 2 Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo
Estando sometida a la fuerza
una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 15.29. Aplicar elteorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.
Solución Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que
En coordenadas polares, usando y el trabajo realizado es
Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vecto-riales conservativos (campos en los que ), el valor de la integral de línea es0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema de Green:
EJEMPLO 3 Teorema de Green y campos vectoriales conservativos
Evaluar la integral de línea
donde C es la trayectoria mostrada en la figura 15.30.
Solución A partir de esta integral de línea, y Así que,y Esto implica que el campo vectorial es conservativo, ycomo C es cerrada, se concluye que
EC
y3 dx 1 3xy2 dy 5 0.
F 5 Mi 1 NjMyy 5 3y2.Nyx 5 3y2N 5 3xy2.M 5 y3
EC
y3 dx 1 3xy2 dy
EC
M dx 1 N dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA 5 0.
Nyx 5 Myy
5243p
4.
52438 3u 1
sin 2u
2 42p
0
52438
E2p
0 s1 1 cos 2ud du
5 3 E2p
0 814
cos2 u du
5 3E2p
0 r4
4 cos2 u4
3
0du
5 3E2p
0E3
0 r3 cos2 u dr du
W 5 ERE 3x2 dA 5 E2p
0E3
0 3sr cos ud2 r dr du
dA 5 r dr du,x 5 r cos u
EC
y3 dx 1 sx3 1 3xy2d dy 5 ERE 3x2 dA.
Fsx, yd 5 y3i 1 sx3 1 3xy2dj
x
r = 3
C
−2 −1 1 2
2
1
−1
−2
y
F(x, y) = y3i + (x3 + 3xy2)j
Figura 15.29
x
C
y
C es cerradaFigura 15.30
sen
Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1095
1096 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 4 Aplicación del teorema de Green para una curva suave a trozos (o por partes)
Evaluar
donde C es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 15.31.
Solución En coordenadas polares, R está dada por para Y,
Así, por el teorema de Green,
En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar integrales de líneacomo integrales dobles. También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales do-bles como integrales de línea. Una aplicación útil se da cuando
Entre las muchas opciones para M y N que satisfacen la condición establecida, la opciónde y da la siguiente integral de línea para el área de la región R.N 5 xy2M 5 2yy2
5 area of region R
Nx
2My
5 1 5 ERE 1 dA
EC
M dx 1 N dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
Nyx 2 Myy 5 1.
5 21043
.
5 2523 3sin u 2 cos u4
p
0
5 Ep
0 12
523 2scos u 1 sin ud du
5 Ep
022scos u 1 sin ud r
3
3 43
1du
5 Ep
0E3
1 22rscos u 1 sin udr dr du
EC
sarctan x 1 y2d dx 1 sey 2 x2d dy 5 ERE22sx 1 yd dA
Nx
2My
5 22x 2 2y 5 22sr cos u 1 r sin ud.
0 ≤ u ≤ p.1 ≤ r ≤ 3
EC
sarctan x 1 y2d dx 1 sey 2 x2d dy
x
C
(0, 3)
(3, 0)(1, 0)(−1, 0)(−3, 0)
R
y
C es suave a trozosFigura 15.31
TEOREMA 15.9 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA
Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suavea trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el áreade R está dada por
A 512
EC
x dy 2 y dx.
área de la región R
sen
sen
sen
sen
sen
Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1096
SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1097
EJEMPLO 5 Hallar el área mediante una integral de línea
Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse
Solución Utilizando la figura 15.32, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una orien-tación en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo
y
Por tanto, el área es
El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son sim-plemente conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 6 El teorema de Green extendido a una regióncon un orificio
Sea R la región interior a la elipse y exterior al círculo Evaluar la integral de línea
donde es la frontera de R, como se muestra en la figura 15.33.
Solución Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta y como semuestra en la figura 15.33. Nótese que como las curvas y tienen orientaciones opues-tas, las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre sí. Además, se puede aplicar el teo-rema de Green a la región R utilizando la frontera para obtener
5 10p.
5 2fp s3ds2d 2 p s12dg
5 2spab 2 pr2d
5 2sarea of Rd
5 2ERE dA
5 ERE s2x 1 2 2 2xd dA
EC
2xy dx 1 sx2 1 2xd dy 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
C1 1 C4 1 C2 1 C3
C4C3
C4,C3
C 5 C1 1 C2
EC
2xy dx 1 sx2 1 2xd dy
x2 1 y2 5 1.sx2y9d 1 s y2y4d 5 1
5 p ab.
5ab2 3t4
2p
0
5ab2
E2p
0 scos2 t 1 sin2 td dt
A 512
EC
x dy 2 y dx 512
E2p
0 fsa cos tdsb cos td dt 2 sb sin tds2a sin td dtg
0 ≤ t ≤ 2p.y 5 b sin t,x 5 a cos t
x2
a2 1y2
b2 5 1.
x
ba
x2 y2
a2 b2 = 1+
R
y
Figura 15.32
x
C1: ElipseC2: Círculo
C3: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3C4: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3
C2
C3
C4
C1 R
3
2
−2
−3
y
Figura 15.33
2(área de R)
sen
sen sen
sen
Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1097
1098 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vec-toriales conservativos. Ahí sólo se presentó una dirección de la demostración. Ahora se puededar la otra dirección, usando el teorema de Green. Sea definido en undisco abierto R. Se quiere demostrar que si M y N tienen primeras derivadas parciales con-tinuas y
entonces F es conservativo. Supóngase que C es una trayectoria cerrada que forma la fron-tera de una región conexa contenida en R. Entonces, usando el hecho de que
se puede aplicar el teorema de Green para concluir que
Esto es, a su vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7).
Formas alternativas del teorema de Green
Esta sección concluye con la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema deGreen para regiones en el plano. La extensión de estas formas vectoriales a tres dimen-siones es la base del estudio en el resto de las secciones de este capítulo. Si F es un campovectorial en el plano, se puede escribir
por lo que el rotacional de F, como se describió en la sección 15.1, está dada por
Por consiguiente,
Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green enforma vectorial
Primera forma alternativa.
La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio dalugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.
5 ERE scurl Fd ? k dA.
EC
F ? dr 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
5Nx
2My
.
scurl Fd ? k 5 32Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k4 ? k
5 2Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k.
curl F 5 = 3 F 5 | i
x
M
j
y
N
k
z
0 |Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k
5 0.
5 ERE 1N
x2
My 2 dA
EC
F ? dr 5 EC
M dx 1 N dy
In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fieldswas listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline theother direction, using Green’s Theorem. Let be defined on an opendisk You want to show that if and have continuous first partial derivatives and
then is conservative. Suppose that is a closed path forming the boundary of aconnected region lying in Then, using the fact that you can applyGreen’s Theorem to conclude that
This, in turn, is equivalent to showing that is conservative (see Theorem 15.7).
Alternative Forms of Green’s TheoremThis section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theoremfor regions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is thebasis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If is a vector fieldin the plane, you can write
so that the curl of as described in Section 15.1, is given by
Consequently,
With appropriate conditions on and you can write Green’s Theorem inthe vector form
First alternative form
The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space producesStokes’s Theorem, discussed in Section 15.8.
5 ERE scurl Fd ? k dA.
EC
F ? dr 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
R,C,F,
5Nx
2My
.
scurl Fd ? k 5 32Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k4 ? k
5 2Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k.
curl F 5 = 3 F 5 | i
x
M
j
y
N
k
z
0 |F,
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k
F
F
5 0.
5 ERE 1N
x2
My 2 dA
EC
F ? dr 5 EC
M dx 1 N dy
Myy 5 Nyx,R.CF
My
5Nx
NMR.Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
1098 Chapter 15 Vector Analysis
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1098
In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fieldswas listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline theother direction, using Green’s Theorem. Let be defined on an opendisk You want to show that if and have continuous first partial derivatives and
then is conservative. Suppose that is a closed path forming the boundary of aconnected region lying in Then, using the fact that you can applyGreen’s Theorem to conclude that
This, in turn, is equivalent to showing that is conservative (see Theorem 15.7).
Alternative Forms of Green’s TheoremThis section concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theoremfor regions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is thebasis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If is a vector fieldin the plane, you can write
so that the curl of as described in Section 15.1, is given by
Consequently,
With appropriate conditions on and you can write Green’s Theorem inthe vector form
First alternative form
The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space producesStokes’s Theorem, discussed in Section 15.8.
5 ERE scurl Fd ? k dA.
EC
F ? dr 5 ERE 1N
x2
My 2 dA
R,C,F,
5Nx
2My
.
scurl Fd ? k 5 32Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k4 ? k
5 2Nz
i 1Mz
j 1 1Nx
2My 2k.
curl F 5 = 3 F 5 | i
x
M
j
y
N
k
z
0 |F,
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k
F
F
5 0.
5 ERE 1N
x2
My 2 dA
EC
F ? dr 5 EC
M dx 1 N dy
Myy 5 Nyx,R.CF
My
5Nx
NMR.Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
1098 Chapter 15 Vector Analysis
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1098
My
5Nx
Fsx, yd 5 Mi 1 Nj
rot F
(rot F)
(rot F) · k dA.
For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions forand Using the arc length parameter for you have So,
a unit tangent vector to curve is given by FromFigure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then bewritten as
Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain
Green’s Theorem
Therefore,
Second alternative form
The extension of this form to three dimensions is called the Divergence Theorem,discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will bediscussed in Sections 15.7 and 15.8.
C
F N dsR
div F dA.
R
div F dA.
R
Mx
Ny
dA
C
N dx M dy
C
M dy N dx
b
a
Mdyds
Ndxds
ds
C
F N dsb
a
Mi Nj y s i x s j ds
F x, y Mi Nj,
N y s i x s j.
Nr s T x s i y s j.CT
r s x s i y s j.C,sR.C,F,
15.4 Green’s Theorem 1099
In Exercises 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating bothintegrals
for the given path.
1. boundary of the region lying between the graphs of and
2. boundary of the region lying between the graphs of and
3. square with vertices
4. rectangle with vertices and
In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using acomputer algebra system to evaluate both integrals
for the given path.
5. circle given by
6. boundary of the region lying between the graphs of and in the first quadrant
In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral
for the given path.
7. boundary of the region lying between the graphs of and
8.
9. boundary of the region lying inside the rectangle boundedby and and outside thesquare bounded by and
10. boundary of the region lying inside the semicircleand outside the semicircle y 9 x2y 25 x2
C:
y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,
C:
x 2 cos , y senC:
y x2 2xy xC:
Cy x dx 1 2x y dy
y x3y xC:
x2 y 2 4C:
Cxe y dx 1 ex dy
R
Nx
My
dA
0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:
0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:
y xy xC:
y x2y xC:
Cy2 dx 1 x2 dy
R
Nx
My
dA
15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
θT
N = −n
n
C
Figure 15.34N sin i cos j
sin i cos j
n cos2
i sin2
j
T cos i sin j
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1099Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1098
SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1099
En los ejercicios 1 a 4, comprobar el teorema de Green evaluan-do ambas integrales
sobre la trayectoria dada.
1. C: frontera de la región que yace entre las gráficas de y = x yy = x2
2. C: frontera de la región que yace entre las gráficas de y = x y
3. C: cuadrado con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)
4. C: rectángulo con vértices (0, 0), (3, 0), (3, 4), (0, 4)
En los ejercicios 5 y 6, verificar el teorema de Green utilizandoun sistema algebraico por computadora y evaluar ambas inte-grales
sobre la trayectoria dada.
5. circunferencia dada por
6. frontera de la región comprendida entre las gráficas dey en el primer cuadrante
En los ejercicios 7 a 10, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral
sobre la trayectoria dada.
7. frontera de la región comprendida entre las gráficas dey
8.
9. frontera de la región interior al rectángulo acotado por x 525, x 5 5, y 5 23 y y 5 3, y exterior al cuadrado acotadopor x 5 21, x 5 1, y 5 21 y y 5 1.
10. frontera de la región interior al semicírculo y exterior al semicírculo y 5 !9 2 x2
y 5 !25 2 x2C:
C:
x 5 2 cos u, y 5 sin uC:
For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions forand Using the arc length parameter for you have So,
a unit tangent vector to curve is given by FromFigure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then bewritten as
Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain
Green’s Theorem
Therefore,
Second alternative form
The extension of this form to three dimensions is called the Divergence Theorem,discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will bediscussed in Sections 15.7 and 15.8.
C
F N dsR
div F dA.
R
div F dA.
R
Mx
Ny
dA
C
N dx M dy
C
M dy N dx
b
a
Mdyds
Ndxds
ds
C
F N dsb
a
Mi Nj y s i x s j ds
F x, y Mi Nj,
N y s i x s j.
Nr s T x s i y s j.CT
r s x s i y s j.C,sR.C,F,
15.4 Green’s Theorem 1099
In Exercises 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating bothintegrals
for the given path.
1. boundary of the region lying between the graphs of and
2. boundary of the region lying between the graphs of and
3. square with vertices
4. rectangle with vertices and
In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using acomputer algebra system to evaluate both integrals
for the given path.
5. circle given by
6. boundary of the region lying between the graphs of and in the first quadrant
In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral
for the given path.
7. boundary of the region lying between the graphs of and
8.
9. boundary of the region lying inside the rectangle boundedby and and outside thesquare bounded by and
10. boundary of the region lying inside the semicircleand outside the semicircle y 9 x2y 25 x2
C:
y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,
C:
x 2 cos , y senC:
y x2 2xy xC:
Cy x dx 1 2x y dy
y x3y xC:
x2 y 2 4C:
Cxe y dx 1 ex dy
R
Nx
My
dA
0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:
0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:
y xy xC:
y x2y xC:
Cy2 dx 1 x2 dy
R
Nx
My
dA
15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
θT
N = −n
n
C
Figure 15.34N sin i cos j
sin i cos j
n cos2
i sin2
j
T cos i sin j
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1099
y 5 xC:
EC xy 2 xc dx 1 x2x 2 yc dy
y 5 x3y 5 xC:
x2 1 y 2 5 4C:
EC xey dx 1 ex dy 5 E
RE _N
x2
My + dA
For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions forand Using the arc length parameter for you have So,
a unit tangent vector to curve is given by FromFigure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then bewritten as
Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain
Green’s Theorem
Therefore,
Second alternative form
The extension of this form to three dimensions is called the Divergence Theorem,discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will bediscussed in Sections 15.7 and 15.8.
C
F N dsR
div F dA.
R
div F dA.
R
Mx
Ny
dA
C
N dx M dy
C
M dy N dx
b
a
Mdyds
Ndxds
ds
C
F N dsb
a
Mi Nj y s i x s j ds
F x, y Mi Nj,
N y s i x s j.
Nr s T x s i y s j.CT
r s x s i y s j.C,sR.C,F,
15.4 Green’s Theorem 1099
In Exercises 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating bothintegrals
for the given path.
1. boundary of the region lying between the graphs of and
2. boundary of the region lying between the graphs of and
3. square with vertices
4. rectangle with vertices and
In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using acomputer algebra system to evaluate both integrals
for the given path.
5. circle given by
6. boundary of the region lying between the graphs of and in the first quadrant
In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral
for the given path.
7. boundary of the region lying between the graphs of and
8.
9. boundary of the region lying inside the rectangle boundedby and and outside thesquare bounded by and
10. boundary of the region lying inside the semicircleand outside the semicircle y 9 x2y 25 x2
C:
y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,
C:
x 2 cos , y senC:
y x2 2xy xC:
Cy x dx 1 2x y dy
y x3y xC:
x2 y 2 4C:
Cxe y dx 1 ex dy
R
Nx
My
dA
0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:
0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:
y xy xC:
y x2y xC:
Cy2 dx 1 x2 dy
R
Nx
My
dA
15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
θT
N = −n
n
C
Figure 15.34N sin i cos j
sin i cos j
n cos2
i sin2
j
T cos i sin j
CAS
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EC y2 dx 1 x2 dy 5 E
RE _N
x2
My + dA
Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supónganse las mismas condi-ciones sobre F, C y R. Utilizando el parámetro longitud de arco s para C, se tiene
Por tanto, un vector unitario tangente T a la curva C está dado porEn la figura 15.34 se puede ver que el vector unitario normal
exterior N puede entonces escribirse como
Por consiguiente, a F(x, y) 5 Mi 1 Nj se le puede aplicar el teorema de Green para ob-tener
Teorema de Green.
Por consiguiente,
Segunda forma alternativa.
La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia,discutido en la sección 15.7. En las secciones 15.7 y 15.8 se analizarán las interpretacionesfísicas de divergencia y del rotacional.
EC
F ? N ds 5 ERE div F dA.
5 ERE div F dA.
5 ERE 1M
x1
Ny 2 dA
5 EC
2N dx 1 M dy
5 EC
M dy 2 N dx
5 Eb
a
1M dyds
2 N dxds2 ds
EC
F ? N ds 5 Eb
a
sMi 1 Njd ? s y9ssdi 2 x9ssdjd ds
N 5 y9ssdi 2 x9ssdj.
r9ssd 5 T 5 x9ssdi 1 y9ssdj.rssd 5 xssdi 1 yssdj.
θT
N = −n
n
C
Figura 15.34N 5 sin u i 2 cos u j
5 2 sin u i 1 cos u j
n 5 cos1u 1p
2 2 i 1 sin1u 1p
2 2j
T 5 cos u i 1 sin u jsen
sen
sensen
sen
15.4 Ejercicios
For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions forand Using the arc length parameter for you have So,
a unit tangent vector to curve is given by FromFigure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then bewritten as
Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain
Green’s Theorem
Therefore,
Second alternative form
The extension of this form to three dimensions is called the Divergence Theorem,discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will bediscussed in Sections 15.7 and 15.8.
C
F N dsR
div F dA.
R
div F dA.
R
Mx
Ny
dA
C
N dx M dy
C
M dy N dx
b
a
Mdyds
Ndxds
ds
C
F N dsb
a
Mi Nj y s i x s j ds
F x, y Mi Nj,
N y s i x s j.
Nr s T x s i y s j.CT
r s x s i y s j.C,sR.C,F,
15.4 Green’s Theorem 1099
In Exercises 1–4, verify Green’s Theorem by evaluating bothintegrals
for the given path.
1. boundary of the region lying between the graphs of and
2. boundary of the region lying between the graphs of and
3. square with vertices
4. rectangle with vertices and
In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using acomputer algebra system to evaluate both integrals
for the given path.
5. circle given by
6. boundary of the region lying between the graphs of and in the first quadrant
In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral
for the given path.
7. boundary of the region lying between the graphs of and
8.
9. boundary of the region lying inside the rectangle boundedby and and outside thesquare bounded by and
10. boundary of the region lying inside the semicircleand outside the semicircle y 9 x2y 25 x2
C:
y 1y 1,x 1,x 1,y 3,y 3,x 5,x 5,
C:
x 2 cos , y senC:
y x2 2xy xC:
Cy x dx 1 2x y dy
y x3y xC:
x2 y 2 4C:
Cxe y dx 1 ex dy
R
Nx
My
dA
0, 40, 0 , 3, 0 , 3, 4 ,C:
0, 0 , 1, 0 , 1, 1 , 0, 1C:
y xy xC:
y x2y xC:
Cy2 dx 1 x2 dy
R
Nx
My
dA
15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
θT
N = −n
n
C
Figure 15.34N sin i cos j
sin i cos j
n cos2
i sin2
j
T cos i sin j
CAS
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1100 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral de línea.
11.
frontera de la región comprendida entre las gráficas dey
12.
frontera de la región comprendida entre las gráficas dey
13. 14.
15.
16.
17.
frontera de la región comprendida entre las gráficas de y
18.
frontera de la región comprendida entre las gráficas del círculo y la elipse
19.
frontera de la región comprendida entre las gráficas dey
20.
frontera de la región comprendida entre los cuadrados cuyosvértices son y y
y
Trabajo En los ejercicios 21 a 24, utilizar el teorema de Greenpara calcular el trabajo realizado por la fuerza F sobre unapartícula que se mueve, en sentido contrario a las manecillas delreloj, por la trayectoria cerrada C.
21.
22.
23.
contorno del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (5, 0) y (0, 5)
24.
frontera de la región comprendida entre las gráficas dey 5 0 y x 5 9
Área En los ejercicios 25 a 28, utilizar una integral de líneapara hallar el área de la región R.
25. región acotada por la gráfica de
26. triángulo acotado por las gráficas de y
27. región acotada por las gráficas de y
28. región interior al lazo de la hoja o folio de Descartes acotadapor la gráfica de
En los ejercicios 31 y 32, utilizar el teorema de Green para veri-ficar las fórmulas de las integrales de línea.
31. El centroide de una región de área A acotada por una trayectoriasimple cerrada C es
32. El área de una región plana acotada por la trayectoria simplecerrada C dada en coordenadas polares es
Centroide En los ejercicios 33 a 36, utilizar un sistema alge-braico por computadora y los resultados del ejercicio 31 para hallar el centroide de la región.
33. región acotada por las gráficas de y
34. región acotada por las gráficas de y
35. región acotada por las gráficas de y
36. triángulo cuyos vértices son y donde
Área En los ejercicios 37 a 40, utilizar un sistema algebraicopor computadora y los resultados del ejercicio 32 para hallar elárea de la región acotada por la gráfica de la ecuación polar.
37. 38.
39. (lazo interior) 40.
41. a) Evaluar donde C1 es el círculo uni-
tario dado por
b) Encontrar el valor máximo de
donde C es cualquier curva cerrada en el plano xy, orientadaen sentido contrario al de las manecillas del reloj.
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100
r 53
2 2 cos ur 5 1 1 2 cos u
r 5 a cos 3ur 5 as1 2 cos ud
2a ≤ b ≤ asb, cd,sa, 0d,s2a, 0d,R:
0 ≤ x ≤ 1y 5 x,y 5 x3R:
y 5 0y 5 !a2 2 x2R:
y 5 4 2 x2y 5 0R:
A 512E
C r 2 du.
y 5 21
2A E
C
y 2 dx.x 51
2A E
C
x2 dy,
y 53t 2
t 3 1 1x 5
3tt3 1 1
,
R:
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100
R:
x 1 2y 5 83x 2 2y 5 0,x 5 0,R:
x2 1 y 2 5 a2R:
y 5 !x,C:
Fsx, yd 5 s3x2 1 ydi 1 4xy 2 j
C:
Fsx, yd 5 sx3y2 2 3ydi 1 s6x 1 5!y djr 5 2 cos uC:
Fsx, yd 5 sex 2 3ydi 1 sey 1 6xdjx2 1 y2 5 4C:
Fsx, yd 5 xyi 1 sx 1 ydj
s2, 22ds22, 22d,s22, 2d,s2, 2d,s1, 21d,s21, 21d,s21, 1d,s1, 1d,
C:
EC
3x2ey dx 1 ey dy
x2 1 y 2 5 9x2 1 y 2 5 1C:
y 5 2 sin ux 5 3 cos u,y 5 6 sin ux 5 6 cos u,
C:
EC
se2x2y2 2 yd dx 1 se2y 2y2 1 xd dy
y 5 !xy 5 xC:
x 5 4 1 2 cos u, y 5 4 1 sin uC:
EC
2 arctan yx dx 1 lnsx2 1 y 2d dy
x2 1 y 2 5 a2C:
EC
ex cos 2y dx 2 2ex sin 2y dy
r 5 1 1 cos uC:x2 1 y 2 5 a2C:
EC
sx2 2 y 2d dx 1 2xy dyEC
sx2 2 y 2d dx 1 2xy dy
x 5 9y 5 !x,y 5 0,C:
EC
y 2 dx 1 xy dy
y 5 4 2 x2y 5 0C:
EC
2xy dx 1 sx 1 yd dy
Desarrollo de conceptos29. Enunciar el teorema de Green.
30. Dar la integral de línea para el área de una región R acotadapor una curva simple suave a trozos C.
sen
sen
sensen
1
16
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
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CAS
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In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
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29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
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1
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
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29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
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CAS
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In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100
In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the lineintegral.
11.
boundary of the region lying between the graphs of and
12.
boundary of the region lying between the graphs of and
13. 14.
15.
16.
17.
boundary of the region lying between the graphs of and
18.
boundary of the region lying between the graphs of thecircle and the ellipse
19.
boundary of the region lying between the graphs ofand
20.
boundary of the region lying between the squares withvertices and and
and
Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculatethe work done by the force F on a particle that is moving coun-terclockwise around the closed path
21.
22.
23.
boundary of the triangle with vertices and
24.
boundary of the region lying between the graphs of and
Area In Exercises 25–28, use a line integral to find the area ofthe region
25. region bounded by the graph of
26. triangle bounded by the graphs of and
27. region bounded by the graphs of and
28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded bythe graph of
In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the lineintegral formulas.
31. The centroid of the region having area bounded by the simple closed path is
32. The area of a plane region bounded by the simple closed path
given in polar coordinates is
Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra systemand the results of Exercise 31 to find the centroid of the region.
33. region bounded by the graphs of and
34. region bounded by the graphs of and
35. region bounded by the graphs of and
36. triangle with vertices and where
Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system andthe results of Exercise 32 to find the area of the region boundedby the graph of the polar equation.
37.
38.
39. (inner loop)
40.
41. (a) Evaluate where is the unit
circle given by
(b) Find the maximum value of
where is any closed curve in the plane, oriented counterclockwise.
xy-CC
y3 dx 27x x3 dy,
r t cos t i sen t j, 0 t 2 .
C1C1
y3 dx 27x x3 dy,
r3
2 cos
r 1 2 cos
r a cos 3
r a 1 cos
a b ab, c ,a, 0 ,a, 0 ,R:
0 x 1y x,y x3R:
y 0y a2 x2R:
y 4 x2y 0R:
A 12 C
r 2 d .
C
y1
2A C
y 2 dx.x1
2A C
x2 dy,
CA
y3t 2
t 3 1x
3tt3 1
,
R:
y x2 1y 5x 3R:
x 2y 83x 2y 0,x 0,R:
x2 y 2 a2R:
R.
x 9y 0,y x,C:
F x, y 3x2 y i 4xy 2 j
0, 55, 0 ,0, 0 ,C:
F x, y x3 2 3y i 6x 5 y j
r 2 cos C:
F x, y ex 3y i ey 6x j
x2 y2 1C:
F x, y xyi x y j
C.
2, 22, 2 ,2, 2 ,2, 2 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,
C:C
3x2ey dx ey dy
x2 y 2 9x2 y 2 1C:
C
x 3y dx x y dy
y 2 sen x 3 cos ,y 6 sen x 6 cos ,
C:C
e x2 2 y dx e y 2 2 x dy
y xy xC:
C
cos y dx xy x sen y dy
x 4 2 cos , y 4 senC:C
2 arctan yx
dx ln x2 y 2 dy
x2 y 2 a2C:C
ex cos 2y dx 2ex sen 2y dy
r 1 cosC:x2 y 2 16C:C
x2 y 2 dx 2xy dyC
x2 y 2 dx 2xy dy
x 9y x,y 0,C:
C
y 2 dx xy dy
y 1 x2y 0C:
C
2xy dx x y dy
1100 Chapter 15 Vector Analysis
29. State Green’s Theorem.
30. Give the line integral for the area of a region bounded bya piecewise smooth simple curve C.
R
WRITING ABOUT CONCEPTS
CAS
CAS
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Funciones hiperbólicas y trigonométricas
PROYECTO DE TRABAJO
SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1101
43. Para pensar Sea
donde C es una circunferencia orientada en sentido contrario alde las manecillas del reloj. Mostrar que si C no contieneel origen. ¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen?
44. a) Sea C el segmento de recta que une y Mostrarque
b) Sean los vértices de un polí-gono. Demostrar que el área encerrada es
Área En los ejercicios 45 y 46, utilizar el resultado del ejercicio44b para hallar el área encerrada por el polígono cuyos vérticesse dan.
45. Pentágono:
46. Hexágono:
En los ejercicios 47 y 48, demostrar la identidad, donde R es unaregión simplemente conexa con frontera C. Suponer que lasderivadas parciales requeridas de las funciones escalares ƒ y gson continuas. Las expresiones y son las derivadas endirección del vector normal exterior de y se definen por
y
47. Primera identidad de Green:
[Sugerencia: Utilizar la segunda forma alternativa del teoremade Green y la propiedad
48. Segunda identidad de Green:
(Sugerencia: Utilizar la primera identidad de Green, dada en elejercicio 47, dos veces.)
49. Utilizar el teorema de Green para demostrar que
si ƒ y g son funciones derivables y C es una trayectoria cerradasimple suave a trozos.
50. Sea donde y tienen primeras derivadas par-ciales continuas en una región simplemente conexa Demostrarque si C es cerrada, simple y suave, y entonces
EC
F ? dr 5 0.
Nx 5 My,R.
NMF 5 Mi 1 Nj,
EC
f sxd dx 1 gsyd dy 5 0
ERE s f =2g 2 g=2f d dA 5 E
C
s f DNg 2 g DN f d ds
div s f Gd 5 f div G 1 =f ? G.g
ERE s f = 2g 1 =f ? =gd dA 5 E
C
f DNg ds
DN g 5 =g ? N.DN f 5 =f ? N,C,N
DNgDN f
s0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s2, 4d, s0, 3d, s21, 1ds0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s1, 4d, s21, 1d
sxn21 yn 2 xn yn21d 1 sxn y1 2 x1 yndg. 12fsx1y2 2 x2 y1d 1 sx2 y3 2 x3 y2d 1 . . . 1
sxn, yndsx2, y2d, . . . ,sx1, y1d,
EC
2y dx 1 x dy 5 x1 y2 2 x2 y1.
sx2, y2d.sx1, y1d
I 5 0
I 5 EC
y dx 2 x dy
x2 1 y 2
a) Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r(t)5 cosh t i 1 senh t j en el intervalo Mostrar que la ecuación rectangular que corresponde a r(t) es la hipérbola
Verificar el dibujo utilizando una herramienta degraficación para representar la hipérbola.
b) Sea P 5 (cosh f, senh f) el punto de la hipérbola correspon-diente a r(f) para Utilizar la fórmula para el área
para verificar que el área de la región mostrada en la figura es
c) Mostrar que el área de la región indicada está también dada porla integral
Confirmar la respuesta del inciso b) aproximando esta integralnuméricamente para 2, 4 y 10.
d) Considerar la circunferencia unitaria dada por Seaq el ángulo formado por el eje x y el radio a (x, y). El área del sec-tor correspondiente es Es decir, las funciones trigonométricas
y podrían haber sido definidas comolas coordenadas del punto en el círculo unitario quedetermina un sector de área Escribir un párrafo breve expli-cando cómo definir las funciones hiperbólicas de una manerasimilar, utilizando la “hipérbola unitaria”
x
(cosh , senh )φ φ
(0, 0) (1, 0)
y
x2 2 y 2 5 1.
12u.
scos u, sin udgsud 5 sin uf sud 5 cos u
12u.
x2 1 y2 5 1.
f 5 1,
A 5 Esinh f
0 f!1 1 y 2 2 scoth fdyg dy.
12f.
A 512
EC
x dy 2 y dx
f > 0.
x2 2 y 2 5 1.
0 ≤ t ≤ 5.
senh f
sensen
Para discusión42. Para cada trayectoria dada, verificar el teorema de Green al
demostrar que
Para cada trayectoria, ¿cuál de las integrales es más fácil eva-luar? Explicar.
a) C: triángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 4)
b) C: círculo dado por x2 + y2 = 1
43. Think About It Let
where is a circle oriented counterclockwise. Show that if does not contain the origin. What is if does contain the origin?
44. (a) Let be the line segment joining and Showthat
(b) Let be the vertices of apolygon. Prove that the area enclosed is
Area In Exercises 45 and 46, use the result of Exercise 44(b) tofind the area enclosed by the polygon with the given vertices.
45. Pentagon:
46. Hexagon:
In Exercises 47 and 48, prove the identity where is a simplyconnected region with boundary Assume that the requiredpartial derivatives of the scalar functions and are continuous.The expressions and are the derivatives in the direction of the outward normal vector of and are definedby and
47. Green’s first identity:
[Hint: Use the second alternative form of Green’s Theorem andthe property
48. Green’s second identity:
(Hint: Use Green’s first identity, given in Exercise 47, twice.)
49. Use Green’s Theorem to prove that
if and are differentiable functions and is a piecewisesmooth simple closed path.
50. Let where and have continuous first partialderivatives in a simply connected region Prove that if issimple, smooth, and closed, and then
�C
F dr � 0.
Nx � My,CR.
NMF � Mi � Nj,
Cgf
�C
f �x� dx � g�y� dy � 0
�R� � f �2g � g�2f � dA � �
C
� f DNg � g DN f � ds
div � f G� � f div G � �f G.�
�R� � f � 2g � �f �g� dA � �
C
f DNg ds
DNg � �g N.DN f � �f N,C,N
DN gDN fgf
C.R
�0, 0�, �2, 0�, �3, 2�, �2, 4�, �0, 3�, ��1, 1��0, 0�, �2, 0�, �3, 2�, �1, 4�, ��1, 1�
�xn�1 yn � xn yn�1� � �xn y1 � x1 yn��.
12��x1y2 � x2 y1� � �x2 y3 � x3 y2� � . . . �
�xn, yn��x2, y2�, . . . ,�x1, y1�,�C �y dx � x dy � x1 y2 � x2 y1.
�x2, y2�.�x1, y1�C
CICI � 0C
I � �C
y dx � x dyx2 � y 2
15.4 Green’s Theorem 1101
42. For each given path, verify Green’s Theorem by showingthat
For each path, which integral is easier to evaluate? Explain.
(a) triangle with vertices
(b) circle given by x2 � y2 � 1C:
�0, 0�, �4, 0�, �4, 4�C:
�C
y2 dx � x2 dy � �R��N
�x�
�M�y � dA.
CAPSTONE
(a) Sketch the plane curve represented by the vector-valuedfunction on the interval Show that the rectangular equation corresponding to is thehyperbola Verify your sketch by using a graphingutility to graph the hyperbola.
(b) Let be the point on the hyperbolacorresponding to for Use the formula for area
to verify that the area of the region shown in the figure is
(c) Show that the area of the indicated region is also given by theintegral
Confirm your answer in part (b) by numerically approximatingthis integral for 2, 4, and 10.
(d) Consider the unit circle given by Let be theangle formed by the axis and the radius to The area ofthe corresponding sector is That is, the trigonometric functions and could have beendefined as the coordinates of that point on the unitcircle that determines a sector of area Write a short para-graph explaining how you could define the hyperbolic functionsin a similar manner, using the “unit hyperbola”
x
(cosh , sinh )φ φ
(0, 0) (1, 0)
y
x2 � y 2 � 1.
12.
�cos , sin �g�� � sin f �� � cos
12.
�x, y�.x-x2 � y2 � 1.
� � 1,
A � �sinh �
0��1 � y 2 � �coth ��y� dy.
12�.
A �12 �C
x dy � y dx
� > 0.r���P � �cosh �, sinh ��
x2 � y 2 � 1.r�t�
0 � t � 5.r�t� � cosh t i � sinh tj
Hyperbolic and Trigonometric Functions
S E C T I O N P R O J E C T
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1102 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Superficies paramétricas15.5
n Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica.n Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie.n Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica.n Hallar el área de una superficie paramétrica.
Superficies paramétricas
Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecua-ciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial.
Curva en el plano.
Curva en el espacio.
En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un con-junto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en elcaso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso delas superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v.
Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es traza-da por el vector posición r(u, v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D,como se indica en la figura 15.35.
rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdkrstd 5 xstdi 1 ystdj
u
D( , )u v
v
r(u, v)
yx
S
z
Figura 15.35
DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA
Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al con-junto de puntos (x, y, z) dado por
Superficie paramétrica.
se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones
y Ecuaciones paramétricas.
son las ecuaciones paramétricas para la superficie.
z 5 zsu, vdy 5 ysu, vd,x 5 xsu, vd,
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficiesparamétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráfi-camente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1102
SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1103
EJEMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica
Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por
donde y
Solución Como y se sabe que en cada punto de lasuperficie, x y y están relacionados mediante la ecuación En otras palabras,cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, cen-trado en el eje z. Como donde se ve que la superficie es un cilindrocircular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, comose muestra en la figura 15.36.
Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representacionesparamétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuacionesparamétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.
EJEMPLO 2 Trazado de una superficie paramétrica
Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por
donde y
Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigono-métricas para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que
Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en elorigen, como se muestra en la figura 15.37. Para traza circunferencias delatitud
paralelos al plano xy, y para traza semicírculos de longitud (o meri-
dianos).
Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria oesfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas
y
donde y describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadasrectangulares, como se vio en la sección 11.7. n
0 ≤ f ≤ p,0 ≤ u ≤ 2p
z 5 r cos fy 5 r sin f sin u,x 5 r sin f cos u,
NOTA
rsu, vdv 5 ci,
0 ≤ di ≤ px2 1 y2 5 sin2 di,
rsu, vdu 5 di,
5 1.
5 sin2 u 1 cos2 u
5 sin2 uscos2 v 1 sin2 vd 1 cos2 u
5 sin2 u cos2 v 1 sin2 u sin2 v 1 cos2 u
x2 1 y2 1 z2 5 ssin u cos vd2 1 ssin u sin vd2 1 scos ud2
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p
rsu, vd 5 sin u cos vi 1 sin u sin vj 1 cos uk
0 ≤ v ≤ 4,z 5 v,
x2 1 y2 5 32.sx, y, zdy 5 3 sin u,x 5 3 cos u
0 ≤ v ≤ 4.0 ≤ u ≤ 2p
rsu, vd 5 3 cos ui 1 3 sin uj 1 vk
Figura 15.37
x y
z
c1
c2c3
c4
d1
d2
d3
d4
xy
3
4
z
Figura 15.36
sen
sen
sen sensen
sen sen sen
sen sen sen
sen
sensen
sen2 di,
sen sen sen
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1103
1104 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Ecuaciones paramétricas para superficies
En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado deecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuacionesparamétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo desuperficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por Tal superficie se puede parametrizar como
EJEMPLO 3 Representar una superficie paramétricamente
Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por
como el que se muestra en la figura 15.38.
Solución Como esta superficie está dada en la forma se pueden tomar x y ycomo parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial
donde (x, y) varía sobre todo el plano xy.
Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de re-volución. Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfi-ca de en torno al eje x, se utiliza
y
donde y
EJEMPLO 4 Representación de una superficie de revoluciónparamétricamente
Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida alhacer girar
en torno al eje x.
Solución Utilizar los parámetros u y v como se describió arriba para obtener
y
donde y La superficie resultante es una porción de la trompetade Gabriel, como se muestra en la figura 15.39.
La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica deen torno al eje x. Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una
parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolu-ción de la gráfica de en torno al eje z, se puede usar
y y 5 f sud sin v.x 5 f sud cos v,z 5 u,
x 5 f szd
y 5 f sxd
0 ≤ v ≤ 2p.1 ≤ u ≤ 10
z 5 f sud sin v 51u
sin vy 5 f sud cos v 51u
cos v,x 5 u,
1 ≤ x ≤ 10f sxd 51x,
0 ≤ v ≤ 2p.a ≤ u ≤ b
z 5 f sud sin vy 5 f sud cos v,x 5 u,
a ≤ x ≤ b,y 5 f sxd,
rsx, yd 5 x i 1 yj 1 !x2 1 y2 k
z 5 f sx, yd,
z 5 !x2 1 y2
rsx, yd 5 x i 1 yj 1 f sx, ydk.
z 5 f sx, yd.
Figura 15.39
x
y1
10
1
z
x y
3
2
212
−2
1
z
Figura 15.38
sen
sen sen
sen
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1104
SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1105
Vectores normales y planos tangentes
Sea S una superficie paramétrica dada por
sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Lasderivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como
y
Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarsegeométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si se mantieneconstante, entonces es una función vectorial de un solo parámetro y define unacurva que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a en el punto
está dado por
como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si se mantiene constante,entonces r(u0, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C2 quese encuentra en la superficie S. El vector tangente a C2 en el punto (x(u0, v0), y(u0, v0),z(u0, v0)) está dado por
Si el vector normal no es 0 para todo en se dice que la superficie essuave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una super-ficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y para-boloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.
La figura 15.40 muestra el vector normal El vector también es normal a Sy apunta en la dirección opuesta. n
rv 3 ruru 3 rv.NOTA
SD,su, vdru 3 rv
rvsu0, v0d 5xv
su0, v0di 1yv
su0, v0dj 1zv
su0, v0dk.
u 5 u0
rusu0, v0d 5xu
su0, v0di 1yu
su0, v0dj 1zu
su0, v0dk
zsu0, v0ddysu0, v0d,sxsu0, v0d,C1C1
rsu, v0dv 5 v0
rv 5xv
su, vdi 1yv
su, vdj 1zv
su, vdk.
ru 5xu
su, vdi 1yu
su, vdj 1zu
su, vdk
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
Figura 15.40
xy
(x0, y0, z0)
C1C2
rv ru
S
zN
VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE
Sea S una superficie paramétrica suave
definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea un punto en D. Unvector normal en el punto
está dado por
N 5 rusu0, v0d 3 rvsu0, v0d 5 | i
xu
xv
j
yu
yv
k
zu
zv|.
sx0, y0, z0d 5 sxsu0, v0d, ysu0, v0d, zsu0, v0dd
su0, v0d
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1105
1106 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 5 Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica
Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por
en el punto (1, 2, 5).
Solución El punto en el plano uv que es llevado al punto es (u, v) =(1, 2). Las derivadas parciales de r son
y
El vector normal está dado por
lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es Por tanto,una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es
El plano tangente se muestra en la figura 15.41.
Área de una superficie paramétrica
Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar aldado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de que consisteen n rectángulos, donde el área del rectángulo i-ésimo es como se mues-tra en la figura 15.42. En cada sea el punto más cercano al origen. En el punto
de la superficie se construye un plano tangenteEl área de la porción de que corresponde a puede ser aproximada por un para-
lelogramo en el plano tangente. Es decir, Por tanto, la superficie de está dadapor El área del paralelogramo en el plano tangente es
lo cual conduce a la definición siguiente.
iDuiru 3 Dvirv i 5 iru 3 rvi Dui Dvi
o DSi < o DTi.SDTi < DSi.
DTi,Di,STi.S,zsui, viddysui, vid,sxi, yi, zid 5 sxsui, vid,
sui, vidDi
DAi 5 Dui Dvi,Di
D
22x 2 4y 1 z 5 25.
22sx 2 1d 2 4s y 2 2d 1 sz 2 5d 5 0
ru 3 rv 5 22i 2 4j 1 k.
ru 3 rv 5 | i10
j01
k2u2v | 5 22ui 2 2vj 1 k
rv 5 j 1 2vk.ru 5 i 1 2uk
sx, y, zd 5 s1, 2, 5d
rsu, vd 5 ui 1 vj 1 su2 1 v2dk
Figura 15.42
Di
u
∆ui
∆vi
(ui, vi)
v
yx
∆virv
∆uiru
S
z
y
x
22
6
7
−2 −1
(1, 2, 5)
1 33
−3
z
Figura 15.41
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA
Sea S una superficie paramétrica suave
definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie Scorresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superfi-cie S está dada por
Área de la superficie
donde y rv 5xv
i 1yv
j 1zv
k.ru 5xu
i 1yu
j 1zu
k
5 ESE dS 5 E
DE iru 3 rvi dA
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1106
SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1107
Para una superficie S dada por esta fórmula para el área de la superficie corres-ponde a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie uti-lizando la función vectorial
definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando
y
se tiene
y Esto implica que el área de la superficie deS es
EJEMPLO 6 Hallar el área de una superficie
Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por
donde el dominio D está dado por y
Solución Para empezar se calcula y
El producto vectorial de estos dos vectores es
lo cual implica que
sen u > 0 para 0 £ u £ p.
Por último, el área de la superficie de la esfera es
5 4p.
5 E2p
02 dv
A 5 EDE iru 3 rvi dA 5 E2p
0Ep
0sin u du dv
5 sin u.
5 !sin2 u
5 !sin4 u 1 sin2 u cos2 u
iru 3 rvi 5 !ssin2 u cos vd2 1 ssin2 u sin vd2 1 ssin u cos ud2
5 sin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos uk
ru 3 rv 5 | icos u cos v
2sin u sin v
jcos u sin vsin u cos v
k2sin u
0 |rv 5 2sin u sin vi 1 sin u cos vj
ru 5 cos u cos vi 1 cos u sin vj 2 sin uk
rv.ru
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p
rsu, vd 5 sin u cos vi 1 sin u sin vj 1 cos uk
5 ERE!1 1 f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 dA.
Surface area 5 ERE irx 3 ryi dA
irx 3 ryi 5 !f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 1 1.
rx 3 ry 5 | i10
j01
kfxsx, ydfysx, yd | 5 2fxsx, ydi 2 fysx, ydj 1 k
ry 5 j 1 fysx, ydkrx 5 i 1 fxsx, ydk
rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk
z 5 f sx, yd,
La superficie del ejemplo 6no satisface totalmente la hipótesis deque cada punto de la superficie corre-sponde exactamente a un punto de D.En esta superficie,para todo valor fijo de u. Sin embargo,como el traslape consiste sólo en unsemicírculo (que no tiene área), sepuede aplicar la fórmula para el áreade una superficie paramétrica. n
rsu, 0d 5 rsu, 2pd
NOTA
Área de la superficie
sen sen sen
sensen
sensensen
sensensen sen sen
sen sen sen sen
sen2 sen2
sen2
sen2
sen4
sen sen
sen
sen
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1107
1108 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 7 Hallar el área de una superficie
Hallar el área de la superficie del toro dado por
donde el dominio D está dado por y (Ver la figura 15.43.)
Solución Para empezar se calculan y
El producto vectorial de estos dos vectores es
lo cual implica que
Por último, el área de la superficie del toro es
Si la superficie es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula parael área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sec-ción. Por ejemplo, supóngase que sea una función no negativa tal que sea continuasobre el intervalo Sea la superficie de revolución formada por revolución de la grá-fica de donde en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe queel área de la superficie está dada por
Para representar S paramétricamente, sea y dondey Entonces,
Tratar de mostrar que la fórmula
es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).
Surface area 5 EDE iru 3 rvi dA
rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sin vk.
0 ≤ v ≤ 2p.a ≤ u ≤ bz 5 f sud sin v,y 5 f sud cos v,x 5 u,
Surface area 5 2pEb
a
f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx.
a ≤ x ≤ b,f,Sfa, bg.
f9f
S
5 8p2.
5 E2p
04p dv
A 5 EDE iru 3 rvi dA 5 E2p
0E2p
0s2 1 cos ud du dv
5 2 1 cos u.
5 s2 1 cos ud!cos2 u 1 sin2 u
5 s2 1 cos ud!cos2 uscos2 v 1 sin2 vd 1 sin2 u
iru 3 rvi 5 s2 1 cos ud!scos v cos ud2 1 ssin v cos ud2 1 sin2 u
5 2s2 1 cos ud scos v cos ui 1 sin v cos uj 1 sin ukd
ru 3 rv 5 | i2sin u cos v
2s2 1 cos ud sin v
j2sin u sin v
s2 1 cos ud cos v
kcos u
0 |rv 5 2s2 1 cos ud sin vi 1 s2 1 cos ud cos vj
ru 5 2sin u cos vi 2 sin u sin vj 1 cos uk
rv.ru
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2p
rsu, vd 5 s2 1 cos ud cos vi 1 s2 1 cos ud sin vj 1 sin uk
x
y
z
Figura 15.43
E X P L O R A C I Ó N
Para el toro del ejemplo 7, describirla función para u fijo.Después describir la función para v fijo.
rsu, vdrsu, vd
Área de la superficie
Área de la superficie
sen sen
sen sen sen
sen
sen sen sensen
sen sen
sen sen2
sen
sen
sen2sen2
sen2
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page 1108
SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1109
15.5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, relacionar la función vectorial con su grá-fica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).]
a) b)
c) d)
e) f)
En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de lasuperficie por eliminación de los parámetros de la función vec-torial. Identificar la superficie y dibujar su gráfica.
En los ejercicios 11 a 16, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la superficie dada por la fun-ción vectorial.
Para pensar En los ejercicios 17 a 20, determinar cómo la grá-fica de la superficie difiere de la gráfica de
(ver la figura) donde y(No es necesario representar s gráficamente.)
En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya grá-fica sea la superficie indicada.
29. La parte del plano interior al cilindro
30. La parte del paraboloide interior al cilindrox2 1 y2 5 9
z 5 x2 1 y2
x2 1 y2 5 9z 5 4
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sin vj 1 u2k
rxu, vc 5sxu, vcsen
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109
In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
xy22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
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4
−4
z
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2
z
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−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
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xy
2 2
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x
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1
1
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−2
−2
1
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15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
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11
z x2
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x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
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4
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1
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−2
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
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x2
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11
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x y z 6
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
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11
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
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11
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
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x2 y2 25
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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1110 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Superficie de revolución En los ejercicios 31 a 34, dar un con-junto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolu-ción obtenida por revolución de la gráfica de la función en tornoal eje dado.
Plano tangente En los ejercicios 35 a 38, hallar una ecuaciónpara el plano tangente a la superficie dada por la función vecto-rial, en el punto indicado.
35.
Figura para 35 Figura para 36
36.
37.
38.
Área En los ejercicios 39 a 46, hallar el área de la superficiesobre la región dada. Utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y verificar los resultados.
39. La parte del plano r(u, v) = 4ui – vj + vk, donde
40. La parte del paraboloide r(u, v) = 2u cos vi + 2u sen vj + u2k,donde
41. La parte del cilindro dondey
42. La esfera donde y
43. La parte del cono dondey
44. El toro donde y
45. La superficie de revolucióndonde y
46. La superficie de revolución sen udonde y
49. Mostrar que se puede representar el cono del ejemplo 3 de ma-nera paramétrica mediante r(u, v) = u cos vi + u sen vj + uk,donde 0 # u y 0 # v # 2p.
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ prsu, vd 5 sin u cos vi 1 uj 1
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 4uk,rsu, vd 5 !u cos vi 1 !u sin vj 1
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 2p,a > b,b sin vk,rsu, vd 5 sa 1 b cos vdcos ui 1 sa 1 b cos vdsin uj 1
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ brsu, vd 5 au cos vi 1 au sin vj 1 uk,
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ prsu, vd 5 a sin u cos v i 1 a sin u sin vj 1a cos uk,
0 ≤ v ≤ b0 ≤ u ≤ 2p
rsu, vd 5 a cos ui 1 a sin uj 1 vk,
Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
CAPSTONE
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Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
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Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
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x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
rsu, vd 5 ui 1 vj 1 !uv k, s1, 1, 1d
rsu, vd 5 su 1 vdi 1 su 2 vdj 1 vk, s1, 21, 1d
Desarrollo de conceptos47. Definir una superficie paramétrica.
48. Dar la integral doble con las que se obtiene el área de lasuperficie de una superficie paramétrica sobre una regiónabierta D.
Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
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Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
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Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
CAPSTONE
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Surface of Revolution In Exercises 31–34, write a set of parametric equations for the surface of revolution obtained byrevolving the graph of the function about the given axis.
31. eje
32. eje
33. eje
34. eje
Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation of thetangent plane to the surface represented by the vector-valuedfunction at the given point.
35.
Figure for 35 Figure for 36
36.
37.
38.
Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over thegiven region. Use a computer algebra system to verify yourresults.
39. The part of the plane wherey
40. The part of the paraboloid where y
41. The part of the cylinder where and
42. The sphere where and
43. The part of the cone where and
44. The torus where and
45. The surface of revolution where and
46. The surface of revolution where and
49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametri-cally by where and0 v 2 .
0 ur u, v u cos vi u sen vj uk,
0 v 20 usen u sen vk,r u, v sen u cos vi uj
0 v 20 u 4uk,r u, v u cos vi u sen vj
0 v 20 u 2 ,a > b,b sen vk,r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj
0 v 20 u br u, v au cos vi au sen vj uk,
0 v 20 ur u, v a sen u cos v i a sen u sen vj a cos uk,
0 v b0 u 2r u, v a cos ui a sen uj vk,
0 v 20 u 2u2k,r u, v 2u cos v i 2u sen vj
0 v 10 u 2r u, v 4ui vj vk,
x
(−4, 0, 2)2
4
4
246 −2 −4 −6
z
y
r u, v 2u cosh vi 2u senh vj 12 u2k, 4, 0, 2
x
y
(0, 6, 4)
5
6
24
6
24
−6
z
r u, v 2u cos vi 3u sen vj u2k, 0, 6, 4
r u, v ui vj uv k, 1, 1, 1
x
y
(1, 1, 1)
1
1
2
2
2
z
x
y
(1, −1, 1)2
2
2
−2−1
−2
z
r u, v u v i u v j vk, 1, 1, 1
yz y2 1, 0 y 2
zx sen z, 0 z
xy x, 0 x 4
xyx2
, 0 x 6
Eje de revolución Función
1110 Chapter 15 Vector Analysis
47. Define a parametric surface.
48. Give the double integral that yields the surface area of aparametric surface over an open region D.
WRITING ABOUT CONCEPTS
50. The four figures below are graphs of the surface
Match each of the four graphs with the point in space fromwhich the surface is viewed. The four points are ,
and
(a) (b)
(c) (d)
y
zz
yx
z
y
z
10, 10, 10 .0, 10, 0 ,10, 10, 0 ,10, 0, 0
0 v 2 .0 u 2,
r u, v ui sen u cos vj sen u sen vk,
CAPSTONE
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Para discusión50. Las cuatro figuras son gráficas de la superficie
Relacionar cada una de las cuatro gráficas con el punto en elespacio desde el cual se contempla la superficie. Los cuatropuntos son (10, 0, 0), (210,10, 0), (0, 10, 0) y (10, 10, 10).
a) b)
c) d)
y
z
x
z
yx
z
y
z
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤p
2,
rsu, vd 5 ui 1 sin u cos vj 1 sin u sin vk,sensen sen
sen
sen sen sen
sen
sensen
sen
sen
In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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sin u sin vk,sen
Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:03 Page 1110
SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1111
51. Esfera asteroidal Una ecuación de una esfera asteroidal en x,y y z es
Abajo se presenta una gráfica de una esfera asteroidal. Mostrarque esta superficie puede representarse paramétricamente pormedio de
52. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente tres perspectivas de la gráfica de la función vecto-rial
desde los puntos (10, 0, 0), (0, 0, 10) y (10, 10, 10).
53. Investigación Utilizar un sistema algebraico por computadoray representar gráficamente el toro
para cada conjunto de valores de y donde yUtilizar los resultados para describir los efectos de
a y b en la forma del toro.
a) b)
c) d)
54. Investigación Considerar la función del ejercicio 14.
a) Dibujar una gráfica de la función donde u se mantenga cons-tante en Identificar la gráfica.
b) Dibujar una gráfica de la función donde v se mantenga cons-tante en Identificar la gráfica.
c) Suponer que una superficie está representada por la funciónvectorial ¿Qué generalización se puede haceracerca de la gráfica de la función si uno de los parámetros semantiene constante?
55. Área de la superficie La superficie de la cúpula de un museoestá dada por
donde , y r está en metros. Hallar elárea de la superficie de la cúpula.
56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide
y determinar el plano tangente en .
57. Representar gráficamente y hallar el área de una vuelta comple-ta de la rampa en espiral
donde y
58. Sea una función no negativa tal que es continua en el inter-valo Sea la superficie de revolución formada por re-volución de la gráfica de donde en torno al eje x.Sea y donde y
Entonces, S se representa paramétricamente me-diante Mostrar que lasfórmulas siguientes son equivalentes.
Área de la superficie
Área de la superficie
59. Proyecto abierto Las ecuaciones paramétricas
donde y representan la superficiemostrada en la figura. Tratar de crear una superficie paramétri-ca propia utilizando un sistema algebraico por computadora.
60. Banda de Möbius La superficie mostrada en la figura se llamabanda de Möbius y puede representarse mediante las ecuacio-nes paramétricas
donde y Trate de representargráficamente otra banda de Möbius para diferentes valores de autilizando un sistema algebraico por computadora.
a 5 3.0 ≤ v ≤ 2p,21 ≤ u ≤ 1,
z 5 u sin v2
y 5 1a 1 u cos v22 sin v,x 5 1a 1 u cos
v22 cos v,
2p ≤ v ≤ p,2p ≤ u ≤ p
z 5 sins3u 2 2vd 1 2 sins3u 1 vd
y 5 3 1 cos uf7 2 coss3u 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg
x 5 3 1 sin uf7 2 coss3u 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg
5 EDE iru 3 rvi dA
5 2pEb
a
f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx
rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sin vk.0 ≤ v ≤ 2p.
a ≤ u ≤ bz 5 f sudsin v,y 5 f sud cos v,x 5 u,a ≤ x ≤ b,f,
Sfa, bg.f9f
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 3,
rsu, vd 5 u cos vi 1 u sin vj 1 2vk
s1, 0, 0d
x2 1 y2 2 z2 5 1
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ py3
rsu, vd 5 20 sin u cos vi 1 20 sin u sin vj 1 20 cos uk
r 5 rsu, vd.
v 5 2py3.
u 5 1.
a 5 8, b 5 3a 5 8, b 5 1
a 5 4, b 5 2a 5 4, b 5 1
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2pb,a
sa 1 b cos vd sin uj 1 b sin vk
rsu, vd 5 sa 1 b cos vd cos ui 1
0 ≤ v ≤ p0 ≤ u ≤ p,rsu, vd 5 u cos vi 1 u sin vj 1 vk,
51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in and is
A graph of an astroidal sphere is shown below. Show that thissurface can be represented parametrically by
donde y
52. Use a computer algebra system to graph three views of thegraph of the vector-valued function
from the points and
53. Investigation Use a computer algebra system to graph thetorus
for each set of values of and where andUse the results to describe the effects of and
on the shape of the torus.
(a) (b)
(c) (d)
54. Investigation Consider the function in Exercise 14.
(a) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(b) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(c) Assume that a surface is represented by the vector-valuedfunction What generalization can you makeabout the graph of the function if one of the parameters isheld constant?
55. Surface Area The surface of the dome on a new museum isgiven by
where and is in meters. Find thesurface area of the dome.
56. Find a vector-valued function for the hyperboloid
and determine the tangent plane at .
57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp
donde y
58. Let be a nonnegative function such that is continuous overthe interval Let be the surface of revolution formed byrevolving the graph of where about the axis.Let and where and Then, is represented parametrically by
Show that the following formulas are equivalent.
Surface area
Surface area
59. Open-Ended Project The parametric equations
where and represent the surfaceshown below. Try to create your own parametric surface usinga computer algebra system.
60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called aMöbius strip and can be represented by the parametric equations
where and Try to graphother Möbius strips for different values of using a computeralgebra system.
y
x
z
−1−4
−3
2
−2
3
124
aa 3.0 v 2 ,1 u 1,
z u sen v2
y a u cos v2
sen v,x a u cos v2
cos v,
v ,u
z sen 3u 2v 2 sen 3u v
y 3 cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
D
ru rv dA
2b
a
f x 1 f x 2 dx
r u, v ui f u cos vj f u sen vk.S0 v 2 .
a u bz f u sen v,y f u cos v,x u,x-a x b,f,
Sa, b .ff
0 v 2 .0 u 3
r u, v u cos vi u sen vj 2vk
1, 0, 0
x2 y2 z2 1
r0 v 2 ,0 u 3,
r u, v 20 sen u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk
r r u, v .
v 2 3.v
u 1.u
a 8, b 3a 8, b 1
a 4, b 2a 4, b 1
ba0 v 2 .0 u 2b,a
a b cos v sen uj b sen vk
r u, v a b cos v cos ui
10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,
0 v0 u ,r u, v u cos vi u sen vj vk,
x y
z
0 v 2 .0 u
r u, v a sen3 u cos3 vi a sen3 u sen3 vj a cos3 uk
x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.
zy,x,
15.5 Parametric Surfaces 1111
CAS
CAS
CAS
CAS
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51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in and is
A graph of an astroidal sphere is shown below. Show that thissurface can be represented parametrically by
donde y
52. Use a computer algebra system to graph three views of thegraph of the vector-valued function
from the points and
53. Investigation Use a computer algebra system to graph thetorus
for each set of values of and where andUse the results to describe the effects of and
on the shape of the torus.
(a) (b)
(c) (d)
54. Investigation Consider the function in Exercise 14.
(a) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(b) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(c) Assume that a surface is represented by the vector-valuedfunction What generalization can you makeabout the graph of the function if one of the parameters isheld constant?
55. Surface Area The surface of the dome on a new museum isgiven by
where and is in meters. Find thesurface area of the dome.
56. Find a vector-valued function for the hyperboloid
and determine the tangent plane at .
57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp
donde y
58. Let be a nonnegative function such that is continuous overthe interval Let be the surface of revolution formed byrevolving the graph of where about the axis.Let and where and Then, is represented parametrically by
Show that the following formulas are equivalent.
Surface area
Surface area
59. Open-Ended Project The parametric equations
where and represent the surfaceshown below. Try to create your own parametric surface usinga computer algebra system.
60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called aMöbius strip and can be represented by the parametric equations
where and Try to graphother Möbius strips for different values of using a computeralgebra system.
y
x
z
−1−4
−3
2
−2
3
124
aa 3.0 v 2 ,1 u 1,
z u sen v2
y a u cos v2
sen v,x a u cos v2
cos v,
v ,u
z sen 3u 2v 2 sen 3u v
y 3 cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
D
ru rv dA
2b
a
f x 1 f x 2 dx
r u, v ui f u cos vj f u sen vk.S0 v 2 .
a u bz f u sen v,y f u cos v,x u,x-a x b,f,
Sa, b .ff
0 v 2 .0 u 3
r u, v u cos vi u sen vj 2vk
1, 0, 0
x2 y2 z2 1
r0 v 2 ,0 u 3,
r u, v 20 sen u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk
r r u, v .
v 2 3.v
u 1.u
a 8, b 3a 8, b 1
a 4, b 2a 4, b 1
ba0 v 2 .0 u 2b,a
a b cos v sen uj b sen vk
r u, v a b cos v cos ui
10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,
0 v0 u ,r u, v u cos vi u sen vj vk,
x y
z
0 v 2 .0 u
r u, v a sen3 u cos3 vi a sen3 u sen3 vj a cos3 uk
x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.
zy,x,
15.5 Parametric Surfaces 1111
CAS
CAS
CAS
CAS
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109
In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
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15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with itsgraph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).]
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surfaceby eliminating the parameters from the vector-valued function.Identify the surface and sketch its graph.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph thesurface represented by the vector-valued function.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Think About It In Exercises 17–20, determine how the graphof the surface differs from the graph of
(see figure), where and(It is not necessary to graph s.)
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–30, find a vector-valued function whose graphis the indicated surface.
21. El plano
22. El plano
23. El cono
24. El cono
25. El cilindro
26. El cilindro
27. El cilindro
28. El elipsoide
29. The part of the plane that lies inside the cylinder
30. The part of the paraboloid that lies inside thecylinder x2 y2 9
z x2 y2
x2 y2 9z 4
x2
9y2
4z2
11
z x2
4x2 y2 16
x2 y2 25
x 16y2 z2
y 4x2 9z2
x y z 6
z y
0 v 20 u 2,
s u, v 4u cos vi 4u sen vj u2k
0 v 20 u 3,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u2j u sen vk
0 v 20 u 2,
s u, v u cos vi u sen vj u2k
yx 2
−2 −2
2
4
r(u, v)
z
0 v 2 .0 u 2u cos vi 1 u sen vj 1 u2k
r u, v s u, v
0 v 20 u2
,
r u, v cos3 u cos vi sen3 u sen vj uk
0 v 20 u ,
r u, v u sen u cos vi 1 cos u sen vj uk
0 v 30 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj vk
0 v 20 u 2,
r u, v 2 senh u cos vi senh u sen vj cosh uk
0 v 20 u 2 ,
r u, v 2 cos v cos ui 4 cos v sen uj sen vk
0 v 20 u 1,
r u, v 2u cos vi 2u sen vj u4k
r u, v 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk
r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk
r u, v 2u cos vi 2u sen vj 12 u2k
r u, v ui vjv2
k
r u, v 4 cos ui 4 sen uj vk
r u, v 2 cos v cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk
r u, v ui 14v3j vk
r u, v ui 12 u v j vk
r u, v u cos vi u sen vj uk
r u, v ui vj uvk
y
2 2
2
z
x
y4 4
4
−4
z
y22
2
z
xy
4 4
2
z
2
x
y2
2
−2 −1
1
1
z
x
y
2
2
2
−2
−2
1
z
15.5 Parametric Surfaces 1109
15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in and is
A graph of an astroidal sphere is shown below. Show that thissurface can be represented parametrically by
donde y
52. Use a computer algebra system to graph three views of thegraph of the vector-valued function
from the points and
53. Investigation Use a computer algebra system to graph thetorus
for each set of values of and where andUse the results to describe the effects of and
on the shape of the torus.
(a) (b)
(c) (d)
54. Investigation Consider the function in Exercise 14.
(a) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(b) Sketch a graph of the function where is held constant atIdentify the graph.
(c) Assume that a surface is represented by the vector-valuedfunction What generalization can you makeabout the graph of the function if one of the parameters isheld constant?
55. Surface Area The surface of the dome on a new museum isgiven by
where and is in meters. Find thesurface area of the dome.
56. Find a vector-valued function for the hyperboloid
and determine the tangent plane at .
57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp
donde y
58. Let be a nonnegative function such that is continuous overthe interval Let be the surface of revolution formed byrevolving the graph of where about the axis.Let and where and Then, is represented parametrically by
Show that the following formulas are equivalent.
Surface area
Surface area
59. Open-Ended Project The parametric equations
where and represent the surfaceshown below. Try to create your own parametric surface usinga computer algebra system.
60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called aMöbius strip and can be represented by the parametric equations
where and Try to graphother Möbius strips for different values of using a computeralgebra system.
y
x
z
−1−4
−3
2
−2
3
124
aa 3.0 v 2 ,1 u 1,
z u sen v2
y a u cos v2
sen v,x a u cos v2
cos v,
v ,u
z sen 3u 2v 2 sen 3u v
y 3 cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v
D
ru rv dA
2b
a
f x 1 f x 2 dx
r u, v ui f u cos vj f u sen vk.S0 v 2 .
a u bz f u sen v,y f u cos v,x u,x-a x b,f,
Sa, b .ff
0 v 2 .0 u 3
r u, v u cos vi u sen vj 2vk
1, 0, 0
x2 y2 z2 1
r0 v 2 ,0 u 3,
r u, v 20 sen u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk
r r u, v .
v 2 3.v
u 1.u
a 8, b 3a 8, b 1
a 4, b 2a 4, b 1
ba0 v 2 .0 u 2b,a
a b cos v sen uj b sen vk
r u, v a b cos v cos ui
10, 10, 10 .0, 0, 10 ,10, 0, 0 ,
0 v0 u ,r u, v u cos vi u sen vj vk,
x y
z
0 v 2 .0 u
r u, v a sen3 u cos3 vi a sen3 u sen3 vj a cos3 uk
x2 3 y2 3 z2 3 a2 3.
zy,x,
15.5 Parametric Surfaces 1111
CAS
CAS
CAS
CAS
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sen
sen
sen sen
sen sen
sen
sen sen
sen
sen
sen
sen
sen
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1112 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Integrales de superficie15.6
n Evaluar una integral de superficie como una integral doble.n Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas.n Determinar la orientación de una superficie.n Comprender el concepto de integral de flujo.
Integrales de superficie
El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero seconsiderarán superficies dadas por Más adelante, en esta sección, se conside-rarán superficies más generales dadas en forma paramétrica.
Sea S una superficie dada por y sea R su proyección sobre el plano xy,como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, gx y gy son continuas en todos lospuntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar elárea de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (xi, yi, zi) y se forma la suma
donde Siempre que el límite de la suma
anterior cuando tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se definecomo
Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble.
Para superficies descritas por funciones de y (o de y ), al teorema 15.10 se lepueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y R es su proyecciónsobre el plano xz, entonces,
Si S es la gráfica de y R es su proyección sobre el plano yz, entonces
Si la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejem-plo, supóngase que la superficie S es el plano dado por donde y
El área de la superficie de S es unidades cuadradas. Trátese de verificarque eSe f sx, y, zd dS 5 !2.
!20 ≤ y ≤ 1.0 ≤ x ≤ 1z 5 x,
fsx, y, zd 5 1,
ESE fsx, y, zd dS 5 E
RE fsgs y, zd, y, zd!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 dA.
x 5 gs y, zd
ESE fsx, y, zd dS 5 E
RE fsx, gsx, zd, zd!1 1 fgxsx, zdg2 1 fgzsx, zdg2 dA.
y 5 gsx, zdzyzx
ESE fsx, y, zd dS 5 lim
i Di→0 on
i51fsxi, yi, zid DSi.
iD iDSi < !1 1 fgxsxi, yidg2 1 fgysxi, yidg2 DAi.
on
i51fsxi, yi, zid DSi
z 5 gsx, yd
z 5 gsx, yd.
La función escalar asigna un número acada punto de SFigura 15.44
f
x
y
(xi, yi, zi)
(xi, yi)R
S: z = g(x, y)
z
TEOREMA 15.10 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE
Sea S una superficie cuya ecuación es y sea R su proyección sobre elplano xy. Si g, gx y gy son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integralde superficie de ƒ sobre S es
ESE fsx, y, zd dS 5 E
RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA.
z 5 gsx, yd
lím
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1112
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1113
EJEMPLO 1 Evaluación de una integral de superficie
Evaluar la integral de superficie
donde S es la porción del plano que se encuentra en el primer octante.
Solución Para empezar se escribe S como
Usando las derivadas parciales y se puede escribir
Utilizando la figura 15.45 y el teorema 15.10, se obtiene
Una solución alternativa para el ejemplo 1 sería proyectar S sobre el plano yz, comose muestra en la figura 15.46. Entonces, y
Por tanto, la integral de superficie es
Trátese de resolver el ejemplo 1 proyectando S sobre el plano xz.
52432
.
538 E
6
0s36y 2 y3d dy
5 E6
0Es62ydy2
0sy2 1 2yzd13
22 dz dy
ESE sy2 1 2yzd dS 5 E
RE fsgs y, zd, y, zd!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 dA
!1 1 fgysy, zdg2 1 fgzsy, zdg2 5!1 114
1 1 532
.
x 512s6 2 y 2 2zd,
52432
.
5 232
s3 2 xd443
0
5 6E3
0s3 2 xd3 dx
5 3E3
0E2s32xd
0ys3 2 xd dy dx
5 ERE 3y2 1 2y11
22s6 2 2x 2 yd41322 dA
ESE sy2 1 2yzd dS 5 E
RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA
!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 5!1 1 1 114
532
.
gysx, yd 5 212,gxsx, yd 5 21
gsx, yd 512
s6 2 2x 2 yd.
z 512
s6 2 2x 2 yd
2x 1 y 1 2z 5 6.
ESE s y2 1 2yzd dS
x y
S
y = 2(3 − x)
z = 12
(6 − 2x − y)
(3, 0, 0)
(0, 0, 3)
(0, 6, 0)
z
Figura 15.45
x y
S
x = 12
(6 − y − 2z)
(3, 0, 0)
(0, 0, 3)
(0, 6, 0)
z =6 − y
2
z
Figura 15.46
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1113
1114 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En el ejemplo 1 se podría haber proyectado la superficie S en cualquiera de los tresplanos de coordenadas. En el ejemplo 2, S es una porción de un cilindro centrado en el ejex, y puede ser proyectado en el plano xz o en el plano xy.
EJEMPLO 2 Evaluación de una integral de superficie
Evaluar la integral de superficie
donde S es la porción del cilindro que se encuentra en el primer octante, entrey como se muestra en la figura 15.47.
Solución Se proyecta S sobre el plano xy, de manera que y seobtiene
El teorema 15.10 no se puede aplicar directamente porque no es continua en Sinembargo, se puede aplicar el teorema para y después tomar el límite cuando bse aproxima a 3, como sigue.
5 36 1 12p
5 36 1 241p
22
5 limb→32
314b 1 8 arcsin b32
5 limb→32
334y 1 8 arcsin y34
b
0
5 limb→32
3Eb
01 8!9 2 y2
1 42 dy
5 limb→32
3Eb
0
x2
2!9 2 y21 x4
4
0dy
5 limb→32
3Eb
0E4
01 x!9 2 y2
1 12 dx dy
ESE sx 1 zd dS 5 lim
b→32 Eb
0E4
0sx 1 !9 2 y2 d 3
!9 2 y2dx dy
0 ≤ b < 3y 5 3.gy
53
!9 2 y2.
!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 5!1 1 1 2y!9 2 y22
2
z 5 gsx, yd 5 !9 2 y2,
x 5 4,x 5 0y2 1 z2 5 9
ESE sx 1 zd dS
x
y1
23 3
3
4
S: y2 + z2 = 9
R: 0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
z
Figura 15.47
TECNOLOGÍA Algunos sistemas algebraicos por computadora evalúan integralesimpropias. Si se tiene acceso a uno de estos programas, utilícese para evaluar la inte-gral impropia
¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejemplo 2?
E3
0E4
0sx 1 !9 2 y2 d 3
!9 2 y2dx dy.
lím
lím
lím
lím
lím
lím arcsen
arcsen
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1114
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1115
Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplementela integral de superficie da el área de la superficie S.
Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y es la densidad en el puntoentonces la masa de la lámina está dada por
EJEMPLO 3 Hallar la masa de una lámina bidimensional
Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por
como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a ladistancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina.
Solución Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene
con densidad Usando una integral de superficie, se halla que es
Coordenadas polares.
58!5k
3 3u42p
05
16!5kp
3.
58!5k
3 E2p
0du
5!5k
3 E2p
0r34
2
0du
5 kE2p
0E2
0s!5rdr dr du
5 kERE!5!x2 1 y2 dA
5 kERE!x2 1 y2!1 1
4x2
x2 1 y2 14y2
x2 1 y2 dA
5 ERE k!x2 1 y2!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA
m 5 ESE rsx, y, zd dS
rsx, y, zd 5 k!x2 1 y2.
R: x2 1 y2 ≤ 4
0 ≤ z ≤ 4S: z 5 4 2 2!x2 1 y2 5 gsx, yd,
0 ≤ z ≤ 4z 5 4 2 2!x2 1 y2,
Mass of lamina 5 ESE rsx, y, zd dS.
sx, y, zd,rsx, y, zd
Area of surface 5 ESE 1 dS
fsx, y, zd 5 1,
yx
4
3
2
1
21
12
z = 4 − 2 x2 + y2Cono:
R: x2 + y2 = 4
z
Figura 15.48
TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resul-tado del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integralasí:
Área de la superficie
Masa de la lámina
kE2
22E!42y2
2!42y2
!5!x2 1 y2 dx dy 5 kE2p
0E2
0s!5rdr dr du 5
16!5kp
3
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1115
1116 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Superficies paramétricas e integrales de superficie
Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial
Superficie paramétrica.
definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de sobre Sestá dada por
Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio.
Integral de línea.
Véase que ds y dS pueden escribirse como y n
EJEMPLO 4 Evaluación de una integral de superficie
En el ejemplo 2 se mostró una evaluación de la integral de superficie
donde S es la porción, en el primer octante, del cilindro entre y (ver la figura 15.49). Evaluar esta misma integral, ahora en forma paramétrica.
Solución En forma paramétrica, la superficie está dada por
donde y Para evaluar la integral de superficie en formaparamétrica, se empieza por calcular lo siguiente.
Por tanto, la integral de superficie puede ser evaluada como sigue.
5 12p 1 36
5 33p
4x2 1 9x4
4
0
5 E4
013p
2x 1 92 dx
5 E4
033xu 2 9 cos u4
py2
0dx
EDE sx 1 3 sin ud3 dA 5 E4
0Epy2
0s3x 1 9 sin ud du dx
irx 3 ru i 5 !9 cos2 u 1 9 sin2 u 5 3
rx 3 ru 5 | i10
j0
23 sin u
k0
3 cos u | 5 23 cos u j 2 3 sin uk
ru 5 23 sin u j 1 3 cos uk
rx 5 i
0 ≤ u ≤ py2.0 ≤ x ≤ 4
rsx, ud 5 xi 1 3 cos uj 1 3 sin uk
x 5 4x 5 0y2 1 z2 5 9
ESE sx 1 zd dS
irusu, vd 3 rvsu, vd i dA.dS 5ds 5 ir9std i dtNOTA
EC
fsx, y, zd ds 5 Eb
a
f sxstd, ystd, zstdd ir9stdi dt
ESE f sx, y, zd dS 5 E
DE fsxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd irusu, vd 3 rvsu, vdi dA.
fsx, y, zd
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
y
x
3
3
43
21
z
Generada con Mathematica
Figura 15.49
sen
sen
sen
sen
sen sen
sen
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1116
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1117
Orientación de una superficie
Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitariosnormales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea unpunto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera tal que los vectoresnormales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superfi-cie orientada.
Una superficie orientable S tiene dos caras. Así, cuando se orienta una superficie, seelige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada,como por ejemplo una esfera, se acostumbra escoger como vector unitario normal N, elque apunta hacia fuera de la esfera.
Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orien-tables. (Ver en el ejercicio 43 un ejemplo de una superficie que no es orientable.) En unasuperficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar unvector unitario normal. Es decir, en una superficie orientable S dada por
Superficie orientable.
se hace
Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal
Unitario normal hacia arriba.
o por el vector unitario normal
Unitario normal hacia abajo.
como se muestra en la figura 15.50. Si la superficie suave orientable S está dada en formaparamétrica por
Superficie paramétrica.
los vectores unitarios normales están dados por
y
Supóngase que la superficie orientable está dada por o Entoncesse puede usar el vector gradiente
.
o
.
para orientar la superficie. n
Gsx, y, zd 5 x 2 gsy, zd=Gsx, y, zd 5 i 2 gysy, zdj 2 gzs y, zdk
Gsx, y, zd 5 y 2 gsx, zd=Gsx, y, zd 5 2gxsx, zdi 1 j 2 gzsx, zdk
x 5 gsy, zd.y 5 gsx, zdNOTA
N 5rv 3 ru
irv 3 ru i.
N 5ru 3 rv
iru 3 rvi
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
5gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 k
!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2
N 52=Gsx, y, zdi=Gsx, y, zdi
52gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 k
!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2
N 5=Gsx, y, zd
i=Gsx, y, zdi
Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd.
z 5 gsx, yd
x
y
N = ∇G∇ G
Dirección hacia arriba
S
z
S: z = g(x, y)
está orientada hacia arribaS
y
N = −∇G∇ G
Dirección hacia abajo
S
x
z
S: z = g(x, y)
está orientada hacia abajoFigura 15.50S
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1117
1118 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Integrales de flujo
Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral desuperficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Supóngase que unasuperficie orientada S se sumerge en un fluido que tiene un campo de velocidad continuaF. Sea el área de una pequeña porción de la superficie S sobre la cual F es casi cons-tante. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo seaproxima mediante el volumen de la columna de altura que se muestra en la figura15.51. Es decir,
DV 5 (altura)(área de la base) 5 (F · N)DS.
Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo(llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la defini-ción siguiente.
Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la com-ponente normal de F. Si es la densidad del fluido en la integral de flujo
representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por se hace
Entonces, puede escribirse como sigue.
5 =Gsx, y, zd dA
5=Gsx, y, zd
!sgxd2 1 sgyd2 1 1!sgxd2 1 sgyd2 1 1 dA
N dS 5=Gsx, y, zd
i=Gsx, y, zdidS
N dS
Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd.
z 5 gsx, yd,
ESE r F ? N dS
sx, y, zd,rsx, y, zd
F ? N,
DS
x
y
z
∆S
N F
F · N
El campo de velocidad indica la direcciónde flujo del fluidoFigura 15.51
F
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO
Sea donde y tienen primeras derivadas parcialescontinuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal Laintegral de flujo de F a través de S está dada por
ESE F ? N dS.
N.PN,M,Fsx, y, zd 5 M i 1 Nj 1 Pk,
TEOREMA 15.11 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE FLUJO
Sea S una superficie orientada dada por y sea R su proyección sobre elplano xy.
Orientada hacia arriba.
Orientada hacia abajo.
En la primera integral, la superficie está orientada hacia arriba, y en la segunda inte-gral, la superficie está orientada hacia abajo.
ESE F ? N dS 5 E
RE F ? fgxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 kg dA
ESE F ? N dS 5 E
RE F ? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA
z 5 gsx, yd
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1118
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1119
EJEMPLO 5 Usar una integral de flujo para hallar la tasao ritmo del flujo de masa
Sea S la porción del paraboloide
que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normaldirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante
fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial
Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.
Solución Se empieza por calcular las derivadas parciales de
y
La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es
Coordenadas polares.
Para una superficie orientada S dada por la función vectorial
Superficie paramétrica.
definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a travésde S como
Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea
En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y desuperficie.
EC
F ? dr 5 EC
F ? T ds.
5 EDE F ? sru 3 rvd dA.
ESE F ? N dS 5 E
DE F ? 1 ru 3 rv
iru 3 rv i2 iru 3 rv i dA
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
5 24pr.
5 rE2p
012 du
5 rE2p
0E2
0s4 1 r2dr dr du
5 rERE s4 1 x2 1 y2d dA
5 rERE f2x2 1 2y2 1 s4 2 x2 2 y2dg dA
5 rERE fx i 1 yj 1 s4 2 x2 2 y2dkg ? s2x i 1 2yj 1 kd dA
ESE rF ? N dS 5 rE
RE F ? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA
gysx, yd 5 22y
gxsx, yd 5 22x
g.
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk.
r
z 5 gsx, yd 5 4 2 x2 2 y2
x
y44
6
8
−4
z
Figura 15.52
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1119
1120 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 6 Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso
Hallar el flujo sobre la esfera S dada por
Esfera .
donde F es un campo cuadrático inverso dado por
Campo cuadrático inverso F.
y Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en lafigura 15.53.
Solución La esfera está dada por
donde y Las derivadas parciales de r son
y
lo cual implica que el vector normal es
Ahora, usando
se sigue que
Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por
5 4pkq.
5 E2p
0Ep
0kq sin u du dv
ESE F ? N dS 5 E
DE skq sin ud dA
5 kq sin u.
5 kqssin3 u cos2 v 1 sin3 u sin2 v 1 sin u cos2 uda2ssin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos ukdg
F ? sru 3 rvd 5kqa3 fsa sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos ukd ?
5kqa3 sa sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos ukd
5 kqxi 1 yj 1 zk
ixi 1 yj 1 zk i3
Fsx, y, zd 5kqrir i3
5 a2ssin2 u cos vi 1 sin2 u sin vj 1 sin u cos ukd.
ru 3 rv 5 | ia cos u cos v
2a sin u sin v
ja cos u sin va sin u cos v
k2a sin u
0 |ru 3 rv
rvsu, vd 5 2a sin u sin vi 1 a sin u cos vj
rusu, vd 5 a cos u cos v i 1 a cos u sin vj 2 a sin uk
0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ p
5 a sin u cos vi 1 a sin u sin vj 1 a cos uk
rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk
r 5 x i 1 y j 1 zk.
Fsx, y, zd 5kq
ir i2
rir i
5kqrir i3
Sx2 1 y2 1 z2 5 a2
xy
z
S: x2 + y2 + z2 = a2
R: x2 + y2 ≤ a2
N
N
N
N
aa
a
Figura 15.53
sen
sen2
sen2
sen3
sen
sen sen
sen sen sen
sen sen sensen sen
sen sensen2
sen sen sen
sen sen sen
sensensen2
sen3 sensen2
sen
sen
sen
sen
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1120
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1121
El resultado del ejemplo 6 muestra que el flujo a través de una esfera S en un campocuadrático inverso es independiente del radio de S. En particular, si E es un campo eléctrico,el resultado obtenido en el ejemplo 6, junto con la ley de Coulomb, proporciona una de lasleyes básicas de electrostática, conocida como la ley de Gauss:
Ley de Gauss.
donde q es un carga puntual localizada en el centro de la esfera y k es la constante deCoulomb. La ley de Gauss es válida para superficies cerradas más generales que contenganel origen, y relaciona el flujo que sale de la superficie con la carga total q dentro de lasuperficie.
Esta sección concluye con un resumen de fórmulas de integrales de línea y de inte-grales de superficie.
ESE E ? N dS 5 4pkq
Resumen de integrales de línea y de superficie
Forma escalar.
Forma vectorial.
Forma escalar.
Vector form (upward normal)
Forma escalar.
Forma vectorial.ESE F ? N dS 5 E
DE F ? sru 3 rvd dA
ESE fsx, y, zd dS 5 E
DE fsxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd dS
dS 5 irusu, vd 3 rvsu, vdi dA
Surface Integrals s parametric formd
ESE F ? N dS 5 E
RE F ? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA
ESE fsx, y, zd dS 5 E
RE fsx, y, gsx, ydd!1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA
dS 5 !1 1 fgxsx, ydg2 1 fgysx, ydg2 dA
Surface Integrals fz 5 gsx, ydg
5 Eb
a
Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt
EC
F ? dr 5 EC
F ? T ds
EC
fsx, y, zd ds 5 Eb
a
fsxstd, ystd, zstdd ds
5 !fx9stdg2 1 f y9stdg2 1 fz9stdg2 dt
ds 5 ir9stdi dt
Line Integrals Integrales de línea
Integrales de superficie [z 5 g(x, y)]
Integrales de superficie (forma paramétrica)
Forma vectorial (normalhacia arriba).
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1121
1122 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En los ejercicios 1 a 4, evaluar
En los ejercicios 5 y 6, evaluar
5. primer octante
6.
En los ejercicios 7 y 8, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar
7.
8.
En los ejercicios 9 y 10, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar
9.
10.
Masa En los ejercicios 11 y 12, hallar la masa de la lámina bidi-mensional S de densidad
11. primer octante,
12.
En los ejercicios 13 a 16, evaluar
En los ejercicios 17 a 22, evaluar
17.
18.
19.
20.
21.
22.
En los ejercicios 23 a 28, hallar el flujo de F a través de
donde N es el vector unitario normal a S dirigido hacia arriba.
23.
primer octante
24.
primer octante
25.
26.
primer octante
27.
28.
En los ejercicios 29 y 30, hallar el flujo de F sobre la superficiecerrada. (Sea N el vector unitario normal a la superficie dirigidohacia afuera.)
29.
30.
cubo unitario limitado o acotado por
31. Carga eléctrica Sea un campo elec-trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hayen el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio
y su base circular en el plano xy.z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 yz i 1 xz j 1 xyk
z 5 1z 5 0,y 5 1,y 5 0,x 5 1,x 5 0,S:
Fsx, y, zd 5 4xy i 1 z2j 1 yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
Fsx, y, zd 5 sx 1 yd i 1 yj 1 zk
z 5 !a2 2 x2 2 y2S:
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 2 2zk
x2 1 y 2 ≤ 4z 5 x2 1 y 2,S:
Fsx, y, zd 5 4 i 2 3j 1 5k
x2 1 y 2 1 z 2 5 36,S:
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk
cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
Fsx, y, zd 5 3z i 2 4j 1 yk
ESE F ? N dS
S,
0 ≤ z ≤ x0 ≤ x ≤ 3,x2 1 y 2 5 9,S:
f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2
0 ≤ z ≤ 90 ≤ y ≤ 3,0 ≤ x ≤ 3,x2 1 y 2 5 9,S:
f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2
sx 2 1d2 1 y 2 ≤ 1z 5 !x2 1 y 2,S:
f sx, y, zd 5 !x2 1 y2 1 z2
x2 1 y 2 ≤ 4z 5 !x2 1 y 2,S:
f sx, y, zd 5 !x2 1 y2 1 z2
4 ≤ x 2 1 y 2 ≤ 16z 5 x2 1 y 2,S:
f sx, y, zd 5xyz
f sx, y, zd 5 x2 1 y 2 1 z2
ESE f xx, y, zc dS.
ESE f xx, yc dS.
rsx, y, zd 5 kzz 5 !a2 2 x2 2 y 2,S:
rsx, y, zd 5 x2 1 y 22x 1 3y 1 6z 5 12,S:
r.
0 ≤ y ≤12
x0 ≤ x ≤p
2,z 5 cos x,S:
0 ≤ y ≤ 20 ≤ x ≤ 2,z 5 10 2 x2 2 y 2,S:
ESE xx2 2 2xyc dS.
0 ≤ y ≤ 40 ≤ x ≤ 4,z 512xy,S:
0 ≤ y ≤ x 0 ≤ x ≤ 2,z 5 9 2 x2, S:
ESE xy dS.
0 ≤ y ≤ !4 2 x20 ≤ x ≤ 2,z 5 h,S:
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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ESE xy dS.
ESE xx 2 2y 1 zc dS.
15.6 Ejercicios
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
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In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
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Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1122
SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1123
32. Carga eléctrica Sea un campo elec-trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hayen el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio
y su base circular en el plano xy.
Momento de inercia En los ejercicios 33 y 34, utilizar las fórmu-las siguientes para los momentos de inercia con respecto a losejes coordenados de una lámina bidimensional de densidad
33. Verificar que el momento de inercia de una capa cónica de den-sidad uniforme, con respecto a su eje, es donde m es lamasa y a es el radio y altura.
34. Verificar que el momento de inercia de una capa esférica de den-sidad uniforme, con respecto a su diámetro, es donde mes la masa y a es el radio.
Momento de inercia En los ejercicios 35 y 36, calcular Iz para lalámina especificada con densidad uniforme igual a 1. Utilizar unsistema algebraico por computadora y verificar los resultados.
35.
36.
Ritmo o tasa de flujo En los ejercicios 37 y 38, utilizar un sis-tema algebraico por computadora y hallar el ritmo o tasa de flu-jo de masa de un fluido de densidad a través de la superficie Sorientada hacia arriba, si el campo de velocidad está dado por
37.
38.
43. Investigación
a) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la función vectorial
A esta superficie se le llama banda de Möbius.
b) Explicar por qué esta superficie no es orientable.
c) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la curva en el espacio dada por Iden-tificar la curva.
d) Construir una banda de Möbius cortando una tira de papel,dándole un solo giro, y pegando los extremos.
e) Cortar la banda de Möbius a lo largo de la curva en el espa-cio del inciso c), y describir el resultado.
rsu, 0d.
21 ≤ v ≤ 1.0 ≤ u ≤ p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z ≥ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.
r
0 ≤ z ≤ hz 5 x2 1 y 2,
0 ≤ z ≤ hx2 1 y 2 5 a2,
23ma2,
12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
Desarrollo de conceptos39. Definir la integral de superficie de la función escalar f sobre
una superficie Explicar cómo se calculan las in-tegrales de superficie.
40. Describir una superficie orientable.
41. Definir una integral de flujo y explicar cómo se evalúa.
42. ¿Es orientable la superficie de la figura adjunta? Explicar.
Doble giro
z 5 gsx, yd.
sensen sen
Para discusión44. Considerar el campo vectorial
y la superficie orientable S dada por la forma paramétrica
a) Encontrar e interpretar
b) Encontrar como una función de u y v.
c) Encontrar u y v en el punto P(3, 1, 4).
d) Explicar cómo encontrar la componente normal de F a lasuperficie en P. Encontrar después su valor.
e) Evaluar la integral de flujo
32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
S E C T I O N P R O J E C T
CAS
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32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
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32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
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32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
S E C T I O N P R O J E C T
CAS
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32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
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32. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.
Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the followingformulas for the moments of inertia about the coordinate axesof a surface lamina of density
33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniformdensity about its axis is where is the mass and is theradius and height.
34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniformdensity about its diameter is where is the mass and isthe radius.
Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the givenlamina with uniform density of 1. Use a computer algebrasystem to verify your results.
35.
36.
Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebrasystem to find the rate of mass flow of a fluid of density through the surface oriented upward if the velocity field isgiven by
37.
38.
43. Investigation
(a) Use a computer algebra system to graph the vector-valuedfunction
This surface is called a Möbius strip.
(b) Explain why this surface is not orientable.
(c) Use a computer algebra system to graph the space curverepresented by Identify the curve.
(d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper,making a single twist, and pasting the ends together.
(e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in part(c), and describe the result.
rsu, 0d.
21 # v # 1.0 # u # p,v cos uk,
rsu, vd 5 s4 2 v sin ud coss2udi 1 s4 2 v sin ud sins2udj 1
z 5 !16 2 x2 2 y 2S:
z $ 0z 5 16 2 x2 2 y 2,S:
Fxx, y, zc 5 0.5zk.S
r
0 # z # hz 5 x2 1 y 2,
0 # z # hx2 1 y 2 5 a2,
Iz
am23ma2,
am12ma2,
Iz 5 ESE xx2 1 y2crxx, y, zc dS
Iy 5 ESE xx2 1 z2crxx, y, zc dS
Ix 5 ESE x y2 1 z2crxx, y, zc dS
r.
xy-z 5 !1 2 x2 2 y 2
E 5 x i 1 y j 1 2zk
15.6 Surface Integrals 1123
CAS
39. Define a surface integral of the scalar function over asurface Explain how to evaluate the surfaceintegral.
40. Describe an orientable surface.
41. Define a flux integral and explain how it is evaluated.
42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain.
Double twist
z 5 gsx, yd.f
WRITING ABOUT CONCEPTS
44. Consider the vector field
and the orientable surface given in parametric form by
(a) Find and interpret
(b) Find as a function of and
(c) Find and at the point
(d) Explain how to find the normal component of to the surface at Then find this value.
(e) Evaluate the flux integral ESEF ? N dS.
P.F
Ps3, 1, 4d.vu
v.uF ? sru 3 rvdru 3 rv.
0 # u # 2, 21 # v # 1.
rsu, vd 5 su 1 v2di 1 su 2 vdj 1 u2k,
S
Fsx, y, zd 5 zi 1 xj 1 yk
CAPSTONE
Consider the parametric surface given by the function
(a) Use a graphing utility to graph for various values of theconstants and Describe the effect of the constants on theshape of the surface.
(b) Show that the surface is a hyperboloid of one sheet given by
(c) For fixed values describe the curves given by
(d) For fixed values describe the curves given by
(e) Find a normal vector to the surface at su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
b.ar
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.
Hyperboloid of One Sheet
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Hiperboloide de una hoja
PROYECTO DE TRABAJO
Considerar la superficie paramétrica dada por la función
a) Usar una herramienta de graficación para representar r para va-rios valores de las constantes a y b. Describir el efecto de lasconstantes sobre la forma de la superficie.
b) Mostrar que la superficie es un hiperboloide de una hoja dado por
c) Para valores fijos describir las curvas dadas por
d) Para valores fijos describir las curvas dadas por
e) Hallar un vector normal a la superficie en su, vd 5 s0, 0d.
b sinh uk.rsu, v0d 5 a cosh u cos v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1
v 5 v0,
b sinh u0k.rsu0, vd 5 a cosh u0 cos vi 1 a cosh u0 sin vj 1
u 5 u0,
x2
a2 1y 2
a2 2z2
b2 5 1.
rsu, vd 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.sen senh
sen
sen
senh
senh
In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
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In Exercises 1–4, evaluate
1.
2.
3.
4.
In Exercises 5 and 6, evaluate
5. first octant
6.
In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate
7.
8.
In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate
9.
10.
Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surfacelamina of density
11. first octant,
12.
In Exercises 13–16, evaluate
13.
14.
15.
16.
In Exercises 17–22, evaluate
17.
18.
19.
20.
21.
22.
In Exercises 23–28, find the flux of F through
where N is the upward unit normal vector to
23.
first octant
24.
first octant
25.
26.
first octant
27.
28.
In Exercises 29 and 30, find the flux of F over the closed surface.(Let N be the outward unit normal vector of the surface.)
29.
30.
unit cube bounded by
31. Electrical Charge Let be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total chargeenclosed by the closed surface consisting of the hemisphere
and its circular base in the plane.xy-z 1 x2 y 2
E yz i xz j xyk
z 1z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,S:
F x, y, z 4xy i z2j yzk
z 0z 16 x2 y 2,S:
F x, y, z x y i yj zk
z a2 x2 y2S:
F x, y, z x i yj 2zk
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
F x, y, z 4 i 3j 5k
x2 y 2 z 2 36,S:
F x, y, z x i yj zk
z 0z 1 x2 y 2,S:
F x, y, z x i yj zk
z 6 3x 2y,S:
F x, y, z x i yj
z 1 x y,S:
F x, y, z 3z i 4j yk
S.
S F N dS
S,
0 z x0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
0 z 90 y 3,0 x 3,x2 y 2 9,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
x 1 2 y 2 1z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
x2 y 2 4z x2 y 2,S:
f x, y, z x2 y2 z2
4 x 2 y 2 16z x2 y 2,S:
f x, y, zxyz
x2 y 2 1z x y,S:
f x, y, z x2 y 2 z2
S f x, y, z dS.
0 v0 u 4,
r u, v 4u cos v i 4u sen v j 3ukS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y x y
0 v 10 u2
,
r u, v 2 cos u i 2 sen u j vkS:
f x, y xy
0 v 20 u 1,r u, v u i vj 2vk,S:f x, y y 5
S f x, y dS.
x, y, z kzz a2 x2 y 2,S:
x, y, z x2 y 22x 3y 6z 12,S:
.S
0 y12
x0 x2
,z cos x,S:
0 y 20 x 2,z 10 x2 y 2,S:
S x2 2xy dS.
0 y 40 x 4,z 12xy,S:
0 y x 0 x 2,z 9 x2, S:
S xy dS.
0 y 4 x20 x 2,z h,S:
z 3 x y,S:
S xy dS.
0 y x0 x 1,z 23x3 2, S:
x2 y2 1z 2,S:
0 y 40 x 2,z 15 2x 3y,S:
0 y 30 x 4,z 4 x,S:
S x 2y 1 z dS.
1122 Chapter 15 Vector Analysis
15.6 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
CAS
1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122
Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1123
1124 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Teorema de la divergencia15.7
n Comprender y utilizar el teorema de la divergencia.n Utilizar el teorema de la divergencia para calcular flujo.
Teorema de la divergencia
Recordar que en la sección 15.4 se vio que una forma alternativa del teorema de Green es
De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triplesobre una región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el enun-ciado del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la fronteracompleta del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las regiones limitadaso acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o combinaciones de estas superficies.Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que lasuperficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia elexterior, como se muestra en la figura 15.54. Con estas restricciones sobre S y Q, el teo-rema de la divergencia es como sigue.
Como se indica arriba, al teorema de la divergencia a veces se le llama teorema de Gauss.También se le llama teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Michel Ostrogradsky(1801-1861). n
NOTA
5 ERE div F dA.
EC
F ? N ds 5 ERE 1M
x1
Ny 2 dA
x
y
S1
S2
N
N
S1: Orientada por unvector unitario normal dirigido hacia arriba
S2: Orientada por unvector unitario normal dirigido hacia abajo
z
Figura 15.54
TEOREMA 15.12 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada porun vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorialcuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces
ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV.
CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
Al teorema de la divergencia también se lellama teorema de Gauss, en honor alfamoso matemático alemán Carl FriedrichGauss. Gauss es reconocido, junto conNewton y Arquímedes, como uno de los tresmás grandes matemáticos de la historia.Una de sus muchas contribuciones a lasmatemáticas la hizo a los 22 años, cuando,como parte de su tesis doctoral, demostró elteorema fundamental del álgebra.
Mar
yE
vans
Pict
ure
Col
lect
ion
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1124
SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1125
Si se hace el teorema toma la forma
Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.
Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. Lademostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior
Superficie superior.
y superficie inferior
Superficie inferior.
cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una super-ficie lateral como en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cualimplica que Por consiguiente, se tiene
Sobre la superficie superior el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arri-ba, mientras que en la superficie inferior el vector normal dirigido hacia el exteriorapunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.
Sumando estos resultados, se obtiene
5 EEQ
E Pz
dV.
5 ERE 3Eg
2sx, yd
g1sx, yd
Pz
dz4 dA
ESE Pk ? N dS 5 E
RE fPsx, y, g2sx, ydd 2 Psx, y, g1sx, yddg dA
5 ERE Psx, y, g2sx, ydd dA
ES2
E Pk ? N dS 5 ERE Psx, y, g2sx, yddk ? 12
g2
xi 2
g2
yj 1 k2 dA
5 2ERE Psx, y, g1sx, ydd dA
ES1
E Pk ? N dS 5 ERE Psx, y, g1sx, yddk ? 1g1
xi 1
g1
yj 2 k2 dA
S1,S2,
ESE Pk ? N dS 5 E
S1
E Pk ? N dS 1 ES2
E Pk ? N dS 1 0.
Pk ? N 5 0.S3
z 5 g1sx, yd
z 5 g2sx, yd
ESE Pk ? N dS 5 EE
Q
E Pz
dV
ESE Nj ? N dS 5 EE
Q
E Ny
dV
ESE Mi ? N dS 5 EE
Q
E Mx
dV
5 EEQ
E 1Mx
1Ny
1Pz 2 dV.
ESE F ? N dS 5 E
SE sMi ? N 1 Nj ? N 1 Pk ? Nd dS
Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk,DEMOSTRACIÓN
xy
S1: z = g1(x, y)
S1
S2
S3
N (hacia arriba)
N (horizontal)
N (hacia abajo)
R
z
S2: z = g2(x, y)
Figura 15.55
Esta prueba se restringe auna región sólida simple. Es mejordejar la prueba general para un cursode cálculo avanzado. n
NOTA
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1125
1126 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de la divergencia
Sea Q la región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano y sea Hallar
donde S es la superficie de Q.
Solución En la figura 15.56 se ve que Q está limitada o acotada por cuatro superficies.Por tanto, se necesitarán cuatro integrales de superficie para evaluarla
Sin embargo, por el teorema de la divergencia, sólo se necesita una integral triple. Como
se tiene
5632
.
5 318y 1 3y2 210y3
31
y4
2 43
0
5 E3
0s18 1 6y 2 10y2 1 2y3d dy
5 E3
0312x 2 2x2 1 8xy 2 2x2y 2 4xy24
32y
0dy
5 E3
0E32y
0s12 2 4x 1 8y 2 4xy 2 4y2d dx dy
5 E3
0E32y
0s2z 1 2yzd4
622x22y
0dx dy
5 E3
0E32y
0E622x22y
0s2 1 2yd dz dx dy
ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV
5 2 1 2y
5 1 1 2y 1 1
div F 5Mx
1Ny
1Pz
ESE F ? N dS.
ESE F ? N dS
F 5 x i 1 y2j 1 zk.z 5 6,2x 1 2y 1
x
y
4 3
34
6
S1: plano xz
S2: plano yz
S3: plano xyS4: 2x + 2y + z = 6
S4
z
Figura 15.56
TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computadora quepueda evaluar integrales iteradas triples, utilícese para verificar el resultado del ejemplo 1.Al usar este sistema algebraico por computadora obsérvese que el primer paso es con-vertir la integral triple en una integral iterada; este paso debe hacerse a mano. Paraadquirir práctica para realizar este paso importante, hallar los límites de integración delas integrales iteradas siguientes. Después usar una computadora para verificar que elvalor es el mismo que el obtenido en el ejemplo 1.
E?
?E?
?E?
?s2 1 2yd dx dy dzE?
?E?
?E?
?s2 1 2yd dy dz dx,
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1126
SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1127
EJEMPLO 2 Verificación del teorema de la divergencia
Sea Q la región sólida entre el paraboloide
y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para
Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie que apunta haciaafuera es mientras que el vector normal a la superficie que apunta ha-cia afuera es
Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene
Por otro lado, como
se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente
5 EEQ
E 0 dV 5 0.
ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV
div F 5
xf2zg 1
yfxg 1
zfy2g 5 0 1 0 1 0 5 0
5 0.
5 E2
220 dy
5 E2
2238x2 2 x4 2 2x2y2 1 x2y4!42y2
2!42y2dy
5 E2
22E!42y2
2!42y2
s16x 2 4x3 2 4xy2 1 2xyd dx dy
5 E2
22E!42y2
2!42y2
f4xs4 2 x2 2 y2d 1 2xyg dx dy
5 E2
22E!42y2
2!42y2
s4xz 1 2xyd dx dy
5 2E2
22E!42y2
2!42y2y2 dx dy 1 E2
22E!42y2
2!42y2
s4xz 1 2xy 1 y2d dx dy
5 ERE 2y2 dA 1 E
RE s4xz 1 2xy 1 y2d dA
5 ES1
E F ? N1 dS 1 ES2
E F ? N2 dS
ESE F ? N dS
N2 52x i 1 2yj 1 k!4x2 1 4y2 1 1
.
S2N1 5 2k,S1
Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y2k.
z 5 4 2 x2 2 y2
yx
22
4
R: x2 + y2 ≤ 4
N1 = −k
N2
S2: z = 4 − x2 − y2
S1: z = 0
z
Figura 15.57
5 ES1
E F ? s2kd dS 1 ES2
E F ?s2xi 1 2yj 1 kd!4x2 1 4y2 1 1
dS
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1127
1128 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
c
EJEMPLO 3 Aplicación del teorema de la divergencia
Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro el plano y elplano xy, como se muestra en la figura 15.58. Hallar
donde S es la superficie de Q y
Solución La evaluación directa de esta integral de superficie sería difícil. Sin embargo,por el teorema de la divergencia, se puede evaluar la integral como sigue.
Nótese que para evaluar la integral triple se emplearon coordenadas cilíndricas con x = rcos q y .
Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región sólida simple Q limi-tada o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones queson uniones finitas de regiones sólidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o aco-tado por las superficies cerradas y como se muestra en la figura 15.59. Para aplicarel teorema de la divergencia a este sólido, sea El vector normal N a S estádado por en y por en Por tanto, se puede escribir
5 2ES1
E F ? N1 dS 1 ES2
E F ? N2 dS.
5 ES1
EF ? s2N1d dS 1 ES2
E F ? N2 dS
EEQ
E div F dV 5 ESE F ? N dS
S2.N2S12N1
S 5 S1 < S2.S2,S1
dV 5 r dz dr du
5 212p
5 348 sin u 2 61u 112
sin 2u242p
0
5 E2p
0s48 cos u 2 12 cos2 uddu
5 E2p
0E2
0s18r2 cos u 2 3r3 cos2 ud dr du
5 E2p
0E2
0E62r cosu
0s3r cos udr dz dr du
5 EEQ
E 3x dV
5 EEQ
E s2x 1 x 1 0d dV
ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV
Fsx, y, zd 5 sx2 1 sin zdi 1 sxy 1 cos zdj 1 eyk.
ESE F ? N dS
x 1 z 5 6,x2 1 y2 5 4,
x
y
6
7
8
9
2 2
Plano:x + z = 6
Cilindro:x2 + y2 = 4
z
Figura 15.58
xy
−N1
N2
S1
S2
z
Figura 15.59
sen
sen sen
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1128
SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1129
Flujo y el teorema de la divergencia
Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miem-bros de la ecuación
De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determinael flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puedeaproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie.La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desdeuna perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) decubos pequeños de volumen El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente
El flujo en el i-ésimo cubo
para algún punto en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q,la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensadapor una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adya-cente. Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se can-cela uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma
aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superfi-cie
Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considéresecomo el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro contenida en
la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia aresulta
donde es el interior de Por consiguiente, se tiene
y, tomando el límite cuando se obtiene la divergencia de F en el punto
En un campo vectorial el punto es clasificado como una fuente, un sumidero oincompresible, como sigue.
1. Fuente, si Ver figura 15.61a.
2. Sumidero, si Ver figura 15.61b.
3. Incompresible, si Ver figura 15.61c.
En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluidoadicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera queescapa fluido. n
NOTA
div F 5 0
div F < 0
div F > 0
sx0, y0, z0d
5 flux per unit volume at sx0, y0, z0d
div Fsx0, y0, z0d 5 lima→0
flux of F across Sa
DVa
sx0, y0, z0d.a → 0,
div Fsx0, y0, z0d <flux of F across Sa
DVa
Sa.Qa
< div Fsx0, y0, z0,d DVa
Flux of F across Sa 5 EEQa
E div F dV
Sa
sx0, y0, z0d,DVa
S.
on
i51div Fsxi, yi, zid DVi
sxi, yi, zid
< div Fsxi, yi, zid DVi
DVi.
ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV.
xy
(x0, y0, z0)
S
Región sólida Q
α
z
Figura 15.60
a) Fuente: div F > 0
b) Sumidero: div F < 0
c) Incompresible:
Figura 15.61
div F 5 0
flujo de F a través de Sa
DVa
flujo de F a través de Sa
DVa
Flujo de F a través de Sa
5 flujo por unidad de volumen en
lím
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1129
1130 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
15.7 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia eva-luando
como una integral de superficie y como una integral triple.
1.
cubo limitado o acotado por los planos
2.
cilindro
Figura para 1 Figura para 2
3.
superficie limitada o acotada por los planos 2x 1 4y 1 2z =12 y los planos coordenados
4.
superficie limitada o acotada por el plano y y los planos coordenados
Figura para 3 Figura para 4
yx4
4
4
z
y
x
3
6
6
z
z 5 4 2 xy 5 4S:
Fsx, y, zd 5 xyi 1 zj 1 sx 1 ydk
S:
Fsx, y, zd 5 s2x 2 ydi 2 s2y 2 zdj 1 zk
yx
2
h
2
z
x
yaa
a
z
0 ≤ z ≤ hx2 1 y 2 5 4,S:
Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k
z 5 az 5 0,y 5 a,y 5 0,x 5 a,x 5 0,S:
Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k
ESE F ? N dS
EJEMPLO 4 Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia
Sea Q la región limitada o acotada por la esfera Hallar el flujo dirigi-do hacia afuera del campo vectorial a través de la esfera.
Solución Por el teorema de la divergencia, se tiene
Coordenadas esféricas.
5768p
5.
5 24p 1325 2
5 12pE2
02r4 dr
5 6E2
0Ep
02pr4 sin f df dr
5 6E2
0Ep
0E2p
0r4 sin f du df dr
5 EEQ
E 6sx2 1 y2 1 z2d dV
Flux across S 5 ESE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV
Fsx, y, zd 5 2x3i 1 2y3j 1 2z3kx2 1 y2 1 z2 5 4.
Flujo a través de S
sen
sen
5.
superficie acotada por y
6.
superficie acotada por y z 4z x2 y2S:
F x, y, z xy2i yx2j ek
z 0z 1 x2 y2S:
F x, y, z xzi zyj 2z2k
Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1130
SECCIÓN 15.7 Teorema de la divergencia 1131
En los ejercicios 7 a 18, utilizar el teorema de la divergencia paraevaluar
y hallar el flujo de F dirigido hacia el exterior a través de lasuperficie del sólido limitado o acotado por las gráficas de lasecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora yverificar los resultados.
En los ejercicios 19 y 20, evaluar
donde es la superficie cerrada del sólido limitado o acotado porlas gráficas de y y los planos coordenados.
19.
20.
23. a) Utilizar el teorema de la divergencia para verificar que elvolumen del sólido limitado o acotado por una superficie S es
b) Verificar el resultado del inciso a) para el cubo limitado oacotado por y
25. Verificar que
para toda superficie cerrada
26. Para el campo vectorial constante dado por
verificar que
donde es el volumen del sólido limitado o acotado por lasuperficie cerrada
27. Dado el campo vectorial , verificar que
donde es el volumen del sólido limitado o acotado por lasuperficie cerrada
28. Dado el campo vectorial , verificar que
En los ejercicios 29 y 30, demostrar la identidad, suponiendo queQ, S y N satisfacen las condiciones del teorema de la divergenciay que las derivadas parciales necesarias de las funciones es-calares f y g son continuas. Las expresiones y son lasderivadas en la dirección del vector N y se definen por
29.
[Sugerencia: Utilizar ]
30.
(Sugerencia: Utilizar el ejercicio 29 dos veces.)
EEQ
E s f =2g 2 g=2f d dV 5 ESE s f DNg 2 g DN f d dS
div s fGd 5 f div G 1 =f ? G.
EEQ
E s f =2g 1 =f ? =gddV 5 ESE f DNg dS
DNg 5 =g ? N.DN f 5 =f ? N,
DN gDN f
1iFi ES
E F ? N dS 53
iFi EEQ
E dV.
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk
S.V
ESE F ? N dS 5 3V
Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk
S.V
ESE F ? N dS 5 0
a2 j a3k,
F x, y, z a1i
S.
ESE curl F ? N dS 5 0
z 5 a.z 5 0,y 5 a,y 5 0,x 5 a,x 5 0,
ESE x dy dz 5 E
SE y dz dx 5 E
SE z dx dy.
Fsx, y, zd 5 xy cos z i 1 yz sin xj 1 xyzk
Fsx, y, zd 5 s4xy 1 z2di 1 s2x2 1 6yzdj 1 2xzk
z 5 9 2 y2,x 5 4,S
ESE curl F ? N dS
ESE F ? N dS
Desarrollo de conceptos21. Enunciar el teorema de la divergencia.
22. ¿Cómo se determina si un punto de un campovectorial es una fuente, un sumidero o incompresible?
sx0, y0, z0d
rot F · N dS 5 0
sen
rot F · N dS
Para discusión24. Sea y sea S el cubo acotado por
los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 y z = 1. Verificarel teorema de la divergencia evaluando
como una integral de superficie y como una integral triple.
In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate
and find the outward flux of F through the surface of the solidbounded by the graphs of the equations. Use a computeralgebra system to verify your results.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
In Exercises 19 and 20, evaluate
where is the closed surface of the solid bounded by the graphsof and and the coordinate planes.
19.
20.
23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume ofthe solid bounded by a surface is
(b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by and
25. Verify that
for any closed surface
26. For the constant vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
27. Given the vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
28. Given the vector field verify that
In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that and N meet the conditions of the Divergence Theorem and thatthe required partial derivatives of the scalar functions and are continuous. The expressions and are the deriva-tives in the direction of the vector N and are defined by
29.
[Hint: Use ]
30.
(Hint: Use Exercise 29 twice.)Q
f 2g g 2f dVS
f DNg g DN f dS
div fG f div G f G.Q
f 2g f g dVS
f DNg dS
DNg g N.DN f f N,
DN gDN fgf
S,Q,
1F
S
F N dS3F
Q
dV.
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 3V
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 0
F x, y, z a1i a2 j a3k,
S.
S
curl F N dS 0
z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,
S
x dy dzS
y dz dxS
z dx dy.
S
F x, y, z xy cos z i yz sen xj xyzk
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xzk
z 9 y2,x 4S
S curl F N dS
z 4 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z 2 x i yj zk
x2 y 2 z2 16S:
F x, y, z xyi 4yj xzk
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z xez i yez j ez k
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z x3i x2yj x2ey k
z 12 x2 y 2, z 8S:
F x, y, z xy 2 cos z i x2y sen z j e z k
x2 y2 25, z 0, z 7S:
F x, y, z x i y 2j zk
x2 y 2 4, z 0, z 5S:
F x, y, z xyz j
x2 y 2 z 2 9S:
F x, y, z x i yj zk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z xy i yz j yzk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z x2i 2xyj xyz 2k
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2z2i 2yj 3xyzk
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2i y 2j z 2k
S F N dS
15.7 Divergence Theorem 1131
24. Let and let be the cube boundedby the planes and
Verify the Divergence Theorem by evaluating
as a surface integral and as a triple integral.S
F N dS
z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,
SF x, y, z xi yj zk
CAPSTONE
21. State the Divergence Theorem.
22. How do you determine if a point in a vector fieldis a source, a sink, or incompressible?
x0, y0, z0
WRITING ABOUT CONCEPTS
1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1131
In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate
and find the outward flux of F through the surface of the solidbounded by the graphs of the equations. Use a computeralgebra system to verify your results.
7.
8.
9.
10.
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18.
In Exercises 19 and 20, evaluate
where is the closed surface of the solid bounded by the graphsof and and the coordinate planes.
19.
20.
23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume ofthe solid bounded by a surface is
(b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by and
25. Verify that
for any closed surface
26. For the constant vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
27. Given the vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
28. Given the vector field verify that
In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that and N meet the conditions of the Divergence Theorem and thatthe required partial derivatives of the scalar functions and are continuous. The expressions and are the deriva-tives in the direction of the vector N and are defined by
29.
[Hint: Use ]
30.
(Hint: Use Exercise 29 twice.)Q
f 2g g 2f dVS
f DNg g DN f dS
div fG f div G f G.Q
f 2g f g dVS
f DNg dS
DNg g N.DN f f N,
DN gDN fgf
S,Q,
1F
S
F N dS3F
Q
dV.
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 3V
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 0
F x, y, z a1i a2 j a3k,
S.
S
curl F N dS 0
z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,
S
x dy dzS
y dz dxS
z dx dy.
S
F x, y, z xy cos z i yz sen xj xyzk
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xzk
z 9 y2,x 4S
S curl F N dS
z 4 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z 2 x i yj zk
x2 y 2 z2 16S:
F x, y, z xyi 4yj xzk
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z xez i yez j ez k
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z x3i x2yj x2ey k
z 12 x2 y 2, z 8S:
F x, y, z xy 2 cos z i x2y sen z j e z k
x2 y2 25, z 0, z 7S:
F x, y, z x i y 2j zk
x2 y 2 4, z 0, z 5S:
F x, y, z xyz j
x2 y 2 z 2 9S:
F x, y, z x i yj zk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z xy i yz j yzk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z x2i 2xyj xyz 2k
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2z2i 2yj 3xyzk
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2i y 2j z 2k
S F N dS
15.7 Divergence Theorem 1131
24. Let and let be the cube boundedby the planes and
Verify the Divergence Theorem by evaluating
as a surface integral and as a triple integral.S
F N dS
z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,
SF x, y, z xi yj zk
CAPSTONE
21. State the Divergence Theorem.
22. How do you determine if a point in a vector fieldis a source, a sink, or incompressible?
x0, y0, z0
WRITING ABOUT CONCEPTS
1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1131
In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate
and find the outward flux of F through the surface of the solidbounded by the graphs of the equations. Use a computeralgebra system to verify your results.
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In Exercises 19 and 20, evaluate
where is the closed surface of the solid bounded by the graphsof and and the coordinate planes.
19.
20.
23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume ofthe solid bounded by a surface is
(b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by and
25. Verify that
for any closed surface
26. For the constant vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
27. Given the vector field verify that
where is the volume of the solid bounded by the closedsurface
28. Given the vector field verify that
In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that and N meet the conditions of the Divergence Theorem and thatthe required partial derivatives of the scalar functions and are continuous. The expressions and are the deriva-tives in the direction of the vector N and are defined by
29.
[Hint: Use ]
30.
(Hint: Use Exercise 29 twice.)Q
f 2g g 2f dVS
f DNg g DN f dS
div fG f div G f G.Q
f 2g f g dVS
f DNg dS
DNg g N.DN f f N,
DN gDN fgf
S,Q,
1F
S
F N dS3F
Q
dV.
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 3V
F x, y, z x i yj zk,
S.V
S
F N dS 0
F x, y, z a1i a2 j a3k,
S.
S
curl F N dS 0
z a.z 0,y a,y 0,x a,x 0,
S
x dy dzS
y dz dxS
z dx dy.
S
F x, y, z xy cos z i yz sen xj xyzk
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xzk
z 9 y2,x 4S
S curl F N dS
z 4 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z 2 x i yj zk
x2 y 2 z2 16S:
F x, y, z xyi 4yj xzk
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z xez i yez j ez k
z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0S:
F x, y, z x3i x2yj x2ey k
z 12 x2 y 2, z 8S:
F x, y, z xy 2 cos z i x2y sen z j e z k
x2 y2 25, z 0, z 7S:
F x, y, z x i y 2j zk
x2 y 2 4, z 0, z 5S:
F x, y, z xyz j
x2 y 2 z 2 9S:
F x, y, z x i yj zk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z xy i yz j yzk
z a2 x2 y 2, z 0S:
F x, y, z x2i 2xyj xyz 2k
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2z2i 2yj 3xyzk
x 0, x a, y 0, y a, z 0, z aS:
F x, y, z x2i y 2j z 2k
S F N dS
15.7 Divergence Theorem 1131
24. Let and let be the cube boundedby the planes and
Verify the Divergence Theorem by evaluating
as a surface integral and as a triple integral.S
F N dS
z 1.z 0,y 1,y 0,x 1,x 0,
SF x, y, z xi yj zk
CAPSTONE
21. State the Divergence Theorem.
22. How do you determine if a point in a vector fieldis a source, a sink, or incompressible?
x0, y0, z0
WRITING ABOUT CONCEPTS
1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1131Larson-15-07.qxd 3/12/09 20:15 Page 1131
1132 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Teorema de Stokes15.8
n Comprender y utilizar el teorema de Stokes.n Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.
Teorema de Stokes Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el teo-rema de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel Stokes.Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como la Escuelade Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin) y JamesClerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con seriesinfinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integración que sepresentan en esta sección.
El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre unasuperficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacioque forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La dirección posi-tiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respectoal vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la manoderecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en ladirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63.
La integral de línea puede escribirse en forma diferencial o enforma vectorial neC F ? T ds.
eC M dx 1 N dy 1 P dzNOTA
y
x
C
R
N
Superficie S
z
N
S
CFigura 15.62
La dirección a lo largo de C es en sentidocontrario a las manecillas del reloj conrespecto a NFigura 15.63
TEOREMA 15.13 TEOREMA DE STOKES
Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curvacerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorialcuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una regiónabierta que contiene a S y a C, entonces
EC
F ? dr 5 ESE scurl Fd ? N dS.
GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)
Stokes se convirtió en profesor Lucasiano dematemáticas en Cambridge en 1849. Cincoaños después, publicó el teorema que llevasu nombre como examen para optar a unpremio de investigación.
Bet
tman
n/C
orbi
s
srot Fd
Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1132
SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1133
EJEMPLO 1 Aplicación del teorema de Stokes
Sea C el triángulo orientado situado en el plano como se muestra en lafigura 15.64. Evaluar
donde
Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de
Considerando se puede usar el teorema 15.11 para un vectornormal dirigido hacia arriba para obtener
Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teoremade Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C2 y C3, comosigue.
El valor de la integral de la línea es
5 29.
5 9 2 9 2 9
5 E3
0t2 dt 1 E6
3s22t 1 6d dt 1 E9
6s22t 1 12d dt
EC
F ? dr 5 EC1
F ? r19std dt 1 EC2
F ? r29std dt 1 EC3
F ? r39std dt
6 ≤ t ≤ 9C3: r3std 5 st 2 6d i 1 s18 2 2tdk,
3 ≤ t ≤ 6C2: r2std 5 s6 2 tdj 1 s2t 2 6dk,
0 ≤ t ≤ 3C1: r1std 5 s3 2 td i 1 t j,
5 29.
5 322y3
31 5y2 2 12y4
3
0
5 E3
0s22y2 1 10y 2 12d dy
5 E3
0E32y
0s2y 2 4d dx dy
5 ERE s2i 2 j 1 2ykd ? s2 i 1 2 j 1 kd dA
5 ERE s2i 2 j 1 2ykd ? f2gxsx, yd i 2 gysx, ydj 1 kg dA
EC
F ? dr 5 ESEscurl Fd ? N dS
z 5 6 2 2x 2 2y 5 gsx, yd,
curl F 5 | i
x
2y2
j
y
z
k
z
x | 5 2i 2 j 1 2yk
F.
Fsx, y, zd 5 2y2 i 1 z j 1 xk.
EC
F ? dr
2x 1 2y 1 z 5 6,
y
x
C1
C2C3
3 3
6
N (hacia arriba)
S: 2x + 2y + z = 6
x + y = 3
R
z
Figura 15.64
rot F 55
srot Fd
Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1133
1134 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
EJEMPLO 2 Verificación del teorema de Stokes
Sea S la parte del paraboloide z = 4 – x2 – y2 que permanece sobre el plano xy, orientadohacia arriba (ver la figura 15.65). Sea C su curva frontera en el plano xy orientada en elsentido contrario al de las manecillas del reloj. Verificar el teorema de Stokes para
evaluando la integral de superficie y la integral de línea equivalente.
Solución Como integral de superficie, se tiene z = g(x, y) = 4 – x2 – y2, gx = –2x, gy =–2y, y
De acuerdo con el teorema 15.11, se obtiene
Como integral de línea, se puede parametrizar C como
Para se obtieneFsx, y, zd 5 2z i 1 x j 1 y2k,
y
x
z
3
−33
4
R
N (hacia arriba)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figura 15.65
EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem
Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for
by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.
Solution As a surface integral, you have and
By Theorem 15.11, you obtain
As a line integral, you can parametrize as
For you obtain
4 .
2 t12
sen 2t2
0
2 2
0 1 cos 2t dt
2
0 4 cos2 t dt
2
0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt
C
2z dx x dy y2 dz
C
F drC
M dx N dy P dz
F x, y, z 2z i x j y2k,
0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,
C
Área del círculo de radio 2 4 .
2
2 2 4 x2 dx
2
2 2xy2 2y2 y
4 x2
4 x2 dx
2
2
4 x2
4 x2
4xy 4y 1 dy dx
S
rot F N dSR
2yi 2 j k 2x i 2yj k dA
rot F
i
x
2z
j
y
x
k
z
y2
2y i 2j k.
gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,
F x, y, z 2zi xj y2k
xyCxyz 4 x2 y2S
1134 Chapter 15 Vector Analysis
y
x
z
3
−33
4
R
N (upward)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figure 15.65
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134
EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem
Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for
by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.
Solution As a surface integral, you have and
By Theorem 15.11, you obtain
As a line integral, you can parametrize as
For you obtain
4 .
2 t12
sen 2t2
0
2 2
0 1 cos 2t dt
2
0 4 cos2 t dt
2
0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt
C
2z dx x dy y2 dz
C
F drC
M dx N dy P dz
F x, y, z 2z i x j y2k,
0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,
C
Área del círculo de radio 2 4 .
2
2 2 4 x2 dx
2
2 2xy2 2y2 y
4 x2
4 x2 dx
2
2
4 x2
4 x2
4xy 4y 1 dy dx
S
rot F N dSR
2yi 2 j k 2x i 2yj k dA
rot F
i
x
2z
j
y
x
k
z
y2
2y i 2j k.
gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,
F x, y, z 2zi xj y2k
xyCxyz 4 x2 y2S
1134 Chapter 15 Vector Analysis
y
x
z
3
−33
4
R
N (upward)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figure 15.65
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134
EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem
Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for
by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.
Solution As a surface integral, you have and
By Theorem 15.11, you obtain
As a line integral, you can parametrize as
For you obtain
4 .
2 t12
sen 2t2
0
2 2
0 1 cos 2t dt
2
0 4 cos2 t dt
2
0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt
C
2z dx x dy y2 dz
C
F drC
M dx N dy P dz
F x, y, z 2z i x j y2k,
0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,
C
Área del círculo de radio 2 4 .
2
2 2 4 x2 dx
2
2 2xy2 2y2 y
4 x2
4 x2 dx
2
2
4 x2
4 x2
4xy 4y 1 dy dx
S
rot F N dSR
2yi 2 j k 2x i 2yj k dA
rot F
i
x
2z
j
y
x
k
z
y2
2y i 2j k.
gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,
F x, y, z 2zi xj y2k
xyCxyz 4 x2 y2S
1134 Chapter 15 Vector Analysis
y
x
z
3
−33
4
R
N (upward)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figure 15.65
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134
EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem
Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for
by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.
Solution As a surface integral, you have and
By Theorem 15.11, you obtain
As a line integral, you can parametrize as
For you obtain
4 .
2 t12
sen 2t2
0
2 2
0 1 cos 2t dt
2
0 4 cos2 t dt
2
0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt
C
2z dx x dy y2 dz
C
F drC
M dx N dy P dz
F x, y, z 2z i x j y2k,
0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,
C
Área del círculo de radio 2 4 .
2
2 2 4 x2 dx
2
2 2xy2 2y2 y
4 x2
4 x2 dx
2
2
4 x2
4 x2
4xy 4y 1 dy dx
S
rot F N dSR
2yi 2 j k 2x i 2yj k dA
rot F
i
x
2z
j
y
x
k
z
y2
2y i 2j k.
gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,
F x, y, z 2zi xj y2k
xyCxyz 4 x2 y2S
1134 Chapter 15 Vector Analysis
y
x
z
3
−33
4
R
N (upward)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figure 15.65
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134
EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem
Let be the portion of the paraboloid lying above the -plane,oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane,oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for
by evaluating the surface integral and the equivalent line integral.
Solution As a surface integral, you have and
By Theorem 15.11, you obtain
As a line integral, you can parametrize as
For you obtain
4 .
2 t12
sen 2t2
0
2 2
0 1 cos 2t dt
2
0 4 cos2 t dt
2
0 0 2 cos t 2 cos t 0 dt
C
2z dx x dy y2 dz
C
F drC
M dx N dy P dz
F x, y, z 2z i x j y2k,
0 t 2 .r t 2 cos t i 2 sen tj 0k,
C
Área del círculo de radio 2 4 .
2
2 2 4 x2 dx
2
2 2xy2 2y2 y
4 x2
4 x2 dx
2
2
4 x2
4 x2
4xy 4y 1 dy dx
S
rot F N dSR
2yi 2 j k 2x i 2yj k dA
rot F
i
x
2z
j
y
x
k
z
y2
2y i 2j k.
gy 2y,gx 2x,z g x, y 4 x2 y2,
F x, y, z 2zi xj y2k
xyCxyz 4 x2 y2S
1134 Chapter 15 Vector Analysis
y
x
z
3
−33
4
R
N (upward)
S
S: z = 4 − x2 − y2
R: x2 + y2 ≤ 4
C
Figure 15.65
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134
Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1134
SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1135
Interpretación física del rotacional
El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. Enun campo vectorial sea un pequeño disco circular de radio centrado en ycon frontera como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia
tiene un componente normal y un componente tangencial Cuanto másalineados están y mayor es el valor de Así, un fluido tiende a moverse a lo largodel círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de líneaalrededor de mide la circulación alrededor de Es decir,
Ahora considérese un pequeño disco centrado en algún punto de la super-ficie como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constan-te, porque varía poco con respecto a su valor en Es más rot es casi constanteen porque todos los vectores unitarios normales en son prácticamente iguales. Porconsiguiente, del teorema de Stokes se sigue que
Por tanto,
Suponiendo que las condiciones son tales que la aproximación mejora con discos cada vezmás pequeños se sigue que
a lo que se le conoce como rotación de F respecto de N. Esto es,
En este caso, la rotación de F es máxima cuando rot F y N tienen la misma dirección.Normalmente, esta tendencia a rotar variará de punto a punto de la superficie S, y el teo-rema de Stokes
Integral de superficie Integral de línea
afirma que la medida colectiva de esta tendencia rotacional considerada sobre toda lasuperficie S (la integral de superficie) es igual a la tendencia de un fluido a circular alrede-dor de la frontera C (integral de línea).
EC
F ? drESE scurl Fd ? N dS 5
scurl Fd ? N 5 lima→0
1
pa2 ECa
F ? T ds
sa → 0d,
5 rate of circulation.
5circulation of F around Ca
area of disk Sa
scurl Fd ? N <E
Ca
F ? T ds
pa2
< scurl Fd ? Nspa2d.
< scurl Fd ? N ESa
E dS
ECa
F ? T ds 5 ESa
E scurl Fd ? N dS
SaSa,F ? Nsx, y, zd.
S,sx, y, zdSa
ECa
F ? T ds 5 circulation of F around Ca.
Ca.Ca
F ? T.TFF ? T.F ? NFCa ,
Ca ,sx, y, zda,SaF,
α
α
α
( , , )x y z
Disco S
T
F
N
F T
F NC
Figura 15.66
( , , )x y z
N
Sα
S
rot F
Figura 15.67
circulación de F alrededor de Ca
srot Fd
srot Fd
srot Fd
srot Fd
circulación de F alrededor de Ca
área de disco Sa
tasa o ritmo de circulación.
srot Fd
rot Fsx, y, zd · N 5 rotación de F respecto de N en sx, y, zd.
srot Fd
lím
.
Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1135
1136 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
conve-n sión
n
a0,
EJEMPLO 3 Una aplicación del rotacional
Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimien-to se describe por el campo de velocidad
como se muestra en la figura 15.68. Hallar
donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.
Solución El rotacional de F está dado por
Haciendo se tiene
5 16p.
5 E2p
0 8 du
5 E2p
0 r
342
0 du
5 E2p
0E2
0 s3rdr dr du
ESE scurl Fd ? N dS 5 E
RE 3!x2 1 y2 dA
N 5 k,
curl F 5 | i
x
2y!x2 1 y2
j
y
x!x2 1 y2
k
z
0 | 5 3!x2 1 y2 k.
ESE scurl Fd ? N dS
Fsx, y, zd 5 2y!x2 1 y2 i 1 x!x2 1 y2 j
Resumen de fórmulas de integración
EC
F ? dr 5 ESE scurl Fd ? N dSE
SE F ? N dS 5 EE
Q
E div F dV
Stokes's Theorem: Divergence Theorem:
EC
F ? N ds 5 ERE div F dA
EC
M dx 1 N dy 5 ERE1N
x2
My 2 dA 5 E
C
F ? T ds 5 EC
F ? dr 5 ERE scurl Fd ? kdA
Green's Theorem:
EC
F ? dr 5 EC
= f ? dr 5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, ysaddEb
a
F9sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad
Fundamental Theorem of Line Integrals: Fundamental Theorem of Calculus:
y
x2
2
z
Figura 15.68
Si rot F 5 0 en toda la región Q, la rotación de F con respecto a cada vector unitario nor-mal N es 0. Es decir, F es irrotacional. Por lo visto con anterioridad, se sabe que ésta es una carac-terística de los campos vectoriales conservativos. n
NOTA
srot Fd
srot Fd
Teorema fundamental del cálculo: Teorema fundamental de las integrales de línea:
Teorema de Green:
Teorema de divergencia: Teorema de Stokes:
(rot F) · N dS
rot F
srot Fd
Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1136
SECCIÓN 15.8 Teorema de Stokes 1137
15.8 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 6, hallar el rotacional del campo vectorial F.
En los ejercicios 7 a 10, verificar el teorema de Stokes evaluando
como integral de línea e integral doble.
En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Stokes para eva-luar Utilizar un sistema algebraico por computadora yverificar los resultados. En cada uno de los casos, C está orien-tada en sentido contrario a las manecillas del reloj como se vioanteriormente.
16.
17.
sobre de un pétalo de en elprimer octante
18.
la porción en el primer octante de sobre
19.
es el vector unitario normal a la superficie, dirigido hacia abajo.
20.
la porción en el primer octante de sobre x2 1 y2 5 a2
Movimiento de un líquido En los ejercicios 21 y 22, el mo-vimiento de un líquido en un recipiente cilíndrico de radio 1 sedescribe mediante el campo de velocidad Hallar
donde S es la superficie superior del reci-piente cilíndrico.
21. 22.
25. Sean f y g funciones escalares con derivadas parciales conti-nuas, y supóngase que C y S satisfacen las condiciones del teo-rema de Stokes. Verificar cada una de las identidades siguientes.
26. Demostrar los resultados del ejercicio 25 para las funcio-nes y Sea S el hemisferio
27. Sea C un vector constante. Sea S una superficie orientada convector unitario normal N, limitada o acotada por una curva suaveC. Demostrar que
ESE C ? N dS 5
12EC
sC 3 rd ? dr.
z 5 !4 2 x2 2 y2.gsx, y, zd 5 z.f sx, y, zd 5 xyz
Fsx, y, zd 5 2z i 1 ykFsx, y, zd 5 i 1 j 2 2k
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
Fxx, y, zc.
z 5 x2S:
x2 1 y2 ≤ a2Fsx, y, zd 5 xyz i 1 y j 1 zk,
N
0 ≤ y ≤ a0 ≤ x ≤ a,S: z 5 x2,
Fsx, y, zd 5 xyz i 1 y j 1 zk
x2 1 y2 5 16x2 1 z2 5 16S:
x2 1 y2 ≤ 16Fsx, y, zd 5 yz i 1 s2 2 3yd j 1 sx2 1 y2dk,
r 5 2 sin 2uz 5 9 2 2x 2 3yS:
Fsx, y, zd 5 2ln!x2 1 y2 i 1 arctan xy j 1 k
S: z 5 !4 2 x2 2 y2
Fsx, y, zd 5 x2 i 1 z2 j 2 xyzk
eC F ? dr.
EC F ? T ds 5 E
C F ? dr
Desarrollo de conceptos23. Enunciar el teorema de Stokes.
24. Dar una interpretación física del rotacional.
sen
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
Preparación del examen Putman
29. Sea
Demostrar o refutar que hay una función vectorial Fsx, y, zd5 sMsx, y, zd, con las propiedades si-guientes.
i) tienen derivadas parciales continuas en todo
ii) Rot para todo
iii)
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
Fsx, y, 0d 5 Gsx, yd.sx, y, zd Þ s0, 0, 0d;F 5 0
sx, y, zd Þ s0, 0, 0d;PN,M,
Psx, y, zddNsx, y, zd,
Gsx, yd 5 1 2yx2 1 4y2,
xx2 1 4y2, 02.
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
Para discusión28. Verificar el teorema de Stokes para cada campo vectorial
dado y superficie orientada hacia arriba. ¿Es más fácilestablecer la integral de línea o la integral doble?, ¿de eva-luar? Explicar.
a)
C: cuadrado con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0)
b)
S: la porción del paraboloide z = x2 + y2 que yace abajo delplano z = 4.
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137
In Exercises 1–6, find the curl of the vector field F.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
In Exercises 7–10, verify Stokes’s Theorem by evaluating
as a line integral and as a double integral.
7.
8.
9.
10.
In Exercises 11–20, use Stokes’s Theorem to evaluate Use a computer algebra system to verify your results. In eachcase, is oriented counterclockwise as viewed from above.
11.
triángulo cuyos vértices son
12.
triángulo cuyos vértices son
13.
14.
15.
16.
17.
over in the first octant
18.
the first-octant portion of over
19.
is the downward unit normal to the surface.
20.
the first-octant portion of over
Motion of a Liquid In Exercises 21 and 22, the motion of aliquid in a cylindrical container of radius 1 is described by thevelocity field Find where is theupper surface of the cylindrical container.
21. 22.
25. Let and be scalar functions with continuous partial deriva-tives, and let and satisfy the conditions of Stokes’sTheorem. Verify each identity.
a)
b) c)
26. Demonstrate the results of Exercise 25 for the functionsand Let be the hemisphere
27. Let be a constant vector. Let be an oriented surface with aunit normal vector bounded by a smooth curve Prove that
S
C N dS12 C
C r dr.
C.N,SC
z 4 x2 y2.Sg x, y, z z.f x, y, z xyz
C f g g f dr 0C f f dr 0C f g dr S f g N dS
SCgf
F x, y, z z i ykF x, y, z i j 2k
SS rot F N dS,F x, y, z .
x2 y2 a2z x2S:
x2 y2 a2F x, y, z xyz i y j zk,
N
0 y a0 x a,S: z x2,
F x, y, z xyz i y j zk
x2 y2 16x2 z2 16S:
x2 y2 16F x, y, z yz i 2 3y j x2 y2 k,
r 2 sen 2z 9 2x 3yS:
F x, y, z ln x2 y2 i arctan xy j k
S: z 4 x2 y2
F x, y, z x2 i z2 j xyzk
S: z 4 x2 y2
F x, y, z z2 i y j zk
z ≥ 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z 4xz i y j 4xyk
z ≥ 0S: z 1 x2 y2,
F x, y, z z2 i 2x j y2 k
0, 0, 21, 1, 1 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z arctan xy i ln x2 y2 j k
0, 0, 20, 2, 0 ,2, 0, 0 ,C:
F x, y, z 2y i 3z j xk
C
C F dr.
0 y a0 x a,S: z y2,
F x, y, z z2 i x2 j y2 k
S: 6x 6y z 12, primer octante
F x, y, z xyz i y j zk
S: z 1 x2 y2
F x, y, z y z i x z j x y k
z 0S: z 9 x2 y2,
F x, y, z y z i x z j x y k
C F T ds
C F dr
F x, y, z arcsen y i 1 x2 j y2 k
F x, y, z ex2 y2 i ey2 z2j xyzk
F x, y, z x sen y i y cos x j yz2 k
F x, y, z 2z i 4x2j arctan xk
F x, y, z x2 i y2 j x2 k
F x, y, z 2y z i ezj xyzk
15.8 Stokes’s Theorem 1137
15.8 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
23. State Stokes’s Theorem.
24. Give a physical interpretation of curl.
WRITING ABOUT CONCEPTS
28. Verify Stokes’s Theorem for each given vector field andupward oriented surface. Is the line integral or the doubleintegral easier to set up? to evaluate? Explain.
(a)
square with vertices
(b)
the portion of the paraboloid that liesbelow the plane z 4
z x2 y2S:
F x, y, z z2i x2j y2k
0, 1, 01, 1, 0 ,1, 0, 0 ,0, 0, 0 ,C:
F x, y, z ey zi
CAPSTONE
29. Let
Prove or disprove that there is a vector-valued functionwith the
following properties.
(i) have continuous partial derivatives for all
(ii) Curl for all
(iii)
This problem was composed by the Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. All rights reserved.
F x, y, 0 G x, y .
x, y, z 0, 0, 0 ;F 0
x, y, z 0, 0, 0 ;PN,M,
P x, y, zN x, y, z ,F x, y, z M x, y, z ,
G x, yy
x2 4y2, x
x2 4y2, 0 .
PUTNAM EXAM CHALLENGE
1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1137Larson-15-08.qxd 3/12/09 20:21 Page 1137
15 Ejercicios de repaso
1138 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
En los ejercicios 1 y 2, calcular iiFii y dibujar varios vectores re-presentativos en el campo vectorial. Utilizar un sistema alge-braico por computadora y verificar los resultados.
1. 2.
En los ejercicios 3 y 4, hallar el campo vectorial gradiente de lafunción escalar.
En los ejercicios 5 a 12, determinar si el campo vectorial es con-servativo. Si es conservativo, hallar una función potencial para elcampo vectorial.
En los ejercicios 13 a 20, hallar a) la divergencia del campo vec-torial F y b) el rotacional del campo vectorial F.
En los ejercicios 21 a 26, calcular la integral de línea a lo largode la(s) trayectoria(s) dada(s).
21.
a) segmento de recta desde (0, 0) hasta (3, 4)
b) una revolución en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, empezando en (1, 0)
22.
a) segmento de recta desde hasta
b) en sentido contrario a las manecillas del reloj, a lo largodel triángulo de vértices
24.
25.
a) segmento de recta desde hasta (3, –3)
b) en sentido contrario a las manecillas del reloj a lo largodel círculo
26.
En los ejercicios 27 y 28, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y calcular la integral de línea sobre la trayectoria dada.
27. 28.
Área de una superficie lateral En los ejercicios 29 y 30, hallar elárea de la superficie lateral sobre la curva C en el plano xy y bajola superficie
En los ejercicios 31 a 36, evaluar
32.
33.
34.
curva en la intersección de y desde hasta
35.
curva en la intersección de y y = x desde (0, 0, 0)hasta (2, 2, 8)
36.
la curva en la intersección de y desdehasta s0, 2, 0ds0, 22, 0d
x2 1 y2 5 4z 5 x2C:
Fsx, y, zd 5 sx2 2 zd i 1 sy2 1 zd j 1 x k
z 5 x2 1 y2C:
In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
1138 Chapter 15 Vector Analysis
15 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1138
s0, 0, 2ds2, 2, 0dy2 1 z2 5 4x2 1 z2 5 4C:
Fsx, y, zd 5 s2y 2 zd i 1 sz 2 xd j 1 sx 2 ydk
0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 2 cos t i 1 2 sin t j 1 tk,
Fsx, y, zd 5 x i 1 y j 1 zk
0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 4 cos t i 1 3 sin t j,
Fsx, yd 5 sx 2 yd i 1 sx 1 yd j
EC F ? dr.
z 5 f xx, yc.
0 ≤ t ≤ 40 ≤ t ≤ py2
rstd 5 t i 1 t2 j 1 t 3y2k,rstd 5 a cos3 t i 1 a sin3 t j,
EC
sx2 1 y2 1 z2d dsEC
s2x 1 yd ds
0 ≤ t ≤ py2C: r std 5 scos t 1 t sin td i 1 ssin t 2 t sin td j,
EC
s2x 2 yd dx 1 sx 1 3yd dy
y 5 3 sin tx 5 3 cos t,C:
s0, 0dC:
In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
1138 Chapter 15 Vector Analysis
15 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1138
0 ≤ t ≤ 2pC: rstd 5 scos t 1 t sin td i 1 ssin t 2 t cos tdj,
EC
sx2 1 y2d ds
s0, 2ds4, 0d,s0, 0d,C:
s5, 4ds0, 0dC:
EC
xy ds
In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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C:
C:
EC
sx2 1 y2d ds
Fsx, yd 5 i 2 2y jFsx, y, zd 5 x i 1 j 1 2k
sensen
sen
sen
sen sen
sen3
sen
sen
In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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Larson-15-09-R.qxd 3/12/09 20:23 Page 1138
Ejercicios de repaso 1139
En los ejercicios 37 y 38, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y evaluar la integral de línea.
37.
desde hasta y desde hastaC:
38.
39. Trabajo Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzasa lo largo de la trayectoria desde
hasta
40. Trabajo Un avión de 20 toneladas sube 2 000 pies haciendoun giro de 90° en un arco circular de 10 millas de radio. Hallarel trabajo realizado por los motores.
En los ejercicios 41 y 42, usar el teorema fundamental de las inte-grales de línea para evaluar la integral.
41.
curva suave desde hasta (1, 3, 2)
42.
curva suave desde hasta
43. Evaluar la integral de línea
a)
b)
c) Usar el teorema fundamental de las integrales de línea,donde C es una curva suave desde hasta
44. Área y centroide Considerar la región limitada o acotada porel eje x y un arco de la cicloide con ecuaciones paramétricas
y Usar integrales de líneapara hallar a) el área de la región y b) el centroide de la región.
En los ejercicios 45 a 50, utilizar el teorema de Green para eva-luar la integral de línea.
45.
contorno del cuadrado con vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1)
46.
contorno del cuadrado con vértices
47.
y = 4 sen t
48.
49.
contorno de la región entre las gráficas de y y = 1
50.
En los ejercicios 51 y 52, utilizar un sistema algebraico por compu-tadora y representar gráficamente la superficie dada por la fun-ción vectorial.
51.
52.
53. Investigación Considerar la superficie representada por la fun-ción vectorial
Utilizar un sistema algebraico por computadora y efectuar losiguiente.
a) Representar gráficamente la superficie para y
b) Representar gráficamente la superficie para y
c) Representar gráficamente la superficie para y
d) Representar gráficamente e identificar la curva en el espacio
para y
e) Aproximar el área de la superficie representada gráficamenteen el inciso b).
f) Aproximar el área de la superficie representada gráficamenteen el inciso c).
54. Evaluar la integral de superficie sobre la superficie
donde y
55. Utilizar un sistema algebraico por computadora y representargráficamente la superficie S y aproximar la integral de superficie
donde S es la superficie
sobre y 0 ≤ v ≤ 2p.0 ≤ u ≤ 2
S: rsu, vd 5 u cos v i 1 u sin v j 1 su 2 1ds2 2 udk
ESEsx 1 yd dS
0 ≤ v ≤ p.0 ≤ u ≤ 2
rsu, vd 5 su 1 vd i 1 su 2 vd j 1 sin v k
S:ESE z dS
v 5p
4.0 ≤ u ≤ 2p
0 ≤ v ≤p
2.
0 ≤ u ≤p
4
p
4≤ v ≤
p
2.
0 ≤ u ≤ 2p
2p
2≤ v ≤
p
2.
0 ≤ u ≤ 2p
rsu, vd 5 3 cos v cos u i 1 3 cos v sin u j 1 sin v k.
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤ 4,
rsu, vd 5 e2uy4 cos v i 1 e2uy4 sin v j 1u6
k
0 ≤ v ≤ 2p0 ≤ u ≤p
3,
r su, vd 5 sec u cos v i 1 s1 1 2 tan ud sin v j 1 2u k
x2y3 1 y2y3 5 1C:
EC
y2 dx 1 x4y3 dy
y 5 x2C:
EC
xy dx 1 x2 dy
x2 1 y2 5 a2C:
EC
sx2 2 y2d dx 1 2xy dy
x 5 4 cos t,C:
EC
xy2 dx 1 x2y dy
s2, 2ds2, 0d,s0, 2d,s0, 0d,C:
EC
xy dx 1 sx2 1 y2d dy
C:
EC
y dx 1 2x dy
y 5 as1 2 cos ud.x 5 asu 2 sin ud
s4, 2d.s1, 1d
1 ≤ t ≤ 4C: rstd 5 t i 1 !t j,
0 ≤ t ≤ 1C: rstd 5 s1 1 3td i 1 s1 1 td j,
EC
y2 dx 1 2xy dy.
s4, 4, 4ds0, 0, 1dC:
EC
y dx 1 x dy 11z dz
s0, 0, 0dC:
EC
2xyz dx 1 x2z dy 1 x2y dz
s4, 8d.s0, 0dy 5 x3y2F 5 x i 2 !y j
0 ≤ t ≤ prstd 5 s2 cos t 1 2t sin td i 1 s2 sin t 2 2t cos td j,C:
Fsx, yd 5 s2x 2 yd i 1 s2y 2 xd j
EC
F ? dr
s0, 0ds2, 4dy 5 2xs2, 4ds0, 0dC: y 5 x2
EC
xy dx 1 sx2 1 y2d dy
sensen
sen
sen
sen sen
sen
sen
sen
In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
1138 Chapter 15 Vector Analysis
15 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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15 REVIEW EXERCISES See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.
CAS
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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In Exercises 1 and 2, compute and sketch several represen-tative vectors in the vector field. Use a computer algebra systemto verify your results.
1. 2.
In Exercises 3 and 4, find the gradient vector field for the scalarfunction.
3. 4.
In Exercises 5–12, determine whether the vector field is conser-vative. If it is, find a potential function for the vector field.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
In Exercises 13–20, find (a) the divergence of the vector field Fand (b) the curl of the vector field F.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
In Exercises 21–26, evaluate the line integral along the givenpath(s).
21.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise, startingat
22.
(a) line segment from to
(b) counterclockwise around the triangle with vertices
23.
24.
25.
(a) line segment from to
(b) one revolution counterclockwise around the circle
26.
In Exercises 27 and 28, use a computer algebra system toevaluate the line integral over the given path.
27. 28.
Lateral Surface Area In Exercises 29 and 30, find the lateralsurface area over the curve in the -plane and under thesurface
29.
desde hasta
30.
desde hasta
In Exercises 31–36, evaluate
31.
32.
33.
34.
curve of intersection of and fromto
35.
curve of intersection of and fromto
36.
curve of intersection of and fromto 0, 2, 00, 2, 0
x2 y2 4z x2C:
F x, y, z x2 z i y2 z j x k
2, 2, 80, 0, 0y xz x2 y2C:
F x, y, z y z i x z j x y k
0, 0, 22, 2, 0y2 z2 4x2 z2 4C:
F x, y, z 2y z i z x j x y k
0 t 2C: r t 2 cos t i 2 sen t j tk,
F x, y, z x i y j zk
0 t 2C: r t 4 cos t i 3 sen t j,
F x, y x y i x y j
0 t 1C: r t t2 i t2j,
F x, y xy i 2xy jC F dr.
2, 40, 0C: y x2
f x, y 12 x y
2, 40, 0C: y 2x
f x, y 3 sen x y
z f x, y .xyC
0 t 40 t 2
r t t i t2 j t 3 2k,r t a cos3 t i a sen3 t j,C
x2 y2 z2 dsC
2x y ds
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t sen t j,C
2x y dx x 3y dy
y 3 sen tx 3 cos t,C:
3, 30, 0C:C
2x y dx x 2y dy
0 t 2C: r t cos t t sen t i sen t t cos t j,C
x2 y2 ds
0 t 2C: r t 1 sen t i 1 cos t j,C
x2 y2 ds
0, 24, 0 ,0, 0 ,C:
5, 40, 0C:C
xy ds
1, 0x2 y2 1,C:
3, 40, 0)C:C
x2 y2 ds
F x, y, zzx i
zy j z2 k
F x, y, z ln x2 y2 i ln x2 y2 j zk
F x, y, z x2 y i x sen2y j
F x, y, z arcsen x i xy2 j yz2 k
F x, y, z 3x y i y 2z j z 3x k
F x, y, z cos y y cos x i sen x x sen y j xyzk
F x, y, z y2 j z2 k
F x, y, z x2 i xy2 j x2zk
F x, y, z sen z y i x j k
F x, y, zyz i xz j xyk
y2z2
F x, y, z 4xy z2 i 2x2 6yz j 2xz k
F x, y, z 4xy2i 2x2 j 2z k
F x, y 2y3 sen 2x i 3y2 1 cos 2x j
F x, y xy2 x2 i x2y y2 j
F x, y1y i
yx2 j
F x, yyx2 i
1x j
f x, y, z x2eyzf x, y, z 2x2 xy z2
F x, y i 2y jF x, y, z x i j 2k
F
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Larson-15-09-R.qxd 3/12/09 20:23 Page 1139
1140 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
56. Masa Una lámina bidimensional cónica S está dada por
En cada punto en S, la densidad es proporcional a la distanciaentre el punto y el eje z.
a) Dibujar la superficie cónica.
b) Calcular la masa m de la lámina.
En los ejercicios 57 y 58, verificar el teorema de divergenciaevaluando
como integral de superficie y como integral triple.
57.
región sólida limitada o acotada por los planos coordenadosy por el plano
58.
región sólida limitada o acotada por los planos coordenadosy el plano
En los ejercicios 59 y 60, verificar el teorema de Stokes evaluando
como integral de línea y como integral doble.
59.
porción de sobre el cuadrado en el plano xy con vér-tices
es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia arri-ba.
60.
porción en el primer octante del plano
61. Demostrar que no es posible que un campo vectorial con com-ponentes dos veces diferenciables tenga un rotacional de xi � yj�zk.
3x � y � 2z � 12S:
F�x, y, z� � �x � z� i � �y � z� j � x2 k
N
�0, a��a, a�,�a, 0�,�0, 0�,z � y2S:
F�x, y, z� � �cos y � y cos x� i � �sin x � x sin y� j � xyzk
�C F � dr
2x � 3y � 4z � 12Q:
F�x, y, z� � x i � y j � zk
2x � 3y � 4z � 12Q:
F�x, y, z� � x2 i � xy j � zk
�S �F � N dS
0 ≤ z ≤ a2.z � a�a � �x2 � y2�,
Se han estudiado muchas técnicas de cálculo para hallar el área deuna región plana. Los ingenieros usan un dispositivo mecánico lla-mado planímetro para medir áreas planas, el cual se basa en la fórmula para el área del teorema 15.9 (página 1096). Como puedeverse en la figura, el planímetro se fija a un punto O (pero pue-de moverse libremente) y tiene un gozne en A. El extremo del brazotrazador se mueve en sentido contrario a las manecillas del relojpor el contorno de la región R. En B hay una rueda pequeña perpen-dicular a que está marcada con una escala para medir cuántorueda mientras B recorre el contorno de la región R. En este proyec-to se pide demostrar que el área de R está dada por la longitud L delbrazo trazador multiplicada por la distancia D recorrida por larueda.
Supóngase que el punto B recorre el contorno de R paraEl punto A se moverá hacia atrás y hacia adelante a lo
largo de un arco circular centrado en el origen O. Sea el ánguloque se indica en la figura y sean las coordenadas de
a) Mostrar que el vector está dado por la función vectorial
b) Mostrar que las dos integrales siguientes son iguales a cero.
c) Utilizar la integral para de-
mostrar que las dos integrales siguientes son iguales.
d) Sea Explicar por qué la distancia D re-corrida por la rueda está dada por
e) Mostrar que el área de la región R está dada por
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre eluso del cálculo para hallar áreas irregulares, ver “The AmateurScientist” de C. L. Strong en la edición de agosto de 1958 publi-cación de Scientific American.
O
r( )t
θA x y( , )
R
L Rueda
B
I4 � DL.I1 � I2 � I3 �
D � �C
N � Tds.
N � �sin � i � cos � j.
I4 � �b
a
12
L ��sin � dxdt
� cos � dydt� dt
I3 � �b
a
12
L �y sin � d�
dt� x cos �
d�
dt� dt
�b
a
�x�t� sin ��t� � y�t� cos ��t��dt
I2 � �b
a
12
�x dydt
� y dxdt� dt
I1 � �b
a
12
L2 d�
dt dt
r�t� � �x�t� � L cos ��t� i � �y�t� � L sin ��t� j.
OB\
A.�x�t�, y�t����t�
a ≤ t ≤ b.
AB
AB
AB
sen
sen
sensen
sen
sen
sen
El planímetro
PROYECTO DE TRABAJO
Larson-15-09-R.qxd 26/2/10 14:30 Página 1140
Solución de problemas 1141
SP Solución de problemas
1. El calor fluye de áreas de mayor temperatura a áreas de menortemperatura en dirección de la mayor variación. Como resultado,en la medición del flujo de calor juega un papel relevante el gra-diente de temperatura. El flujo depende del área de la superficie.Lo importante es la dirección normal a la superficie, porque elcalor que fluye en dirección tangencial a la superficie no ocasionapérdida de calor. Así, supóngase que el flujo de calor a través deuna porción del área de la superficie está dado por
donde T es la temperatura, N es el vectorunitario normal a la superficie en la dirección del flujo de calor, yk es la difusividad térmica del material. El flujo de calor a travésde la superficie S está dado por
Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen contemperatura
a) Calcular el flujo de calor a través de la superficie
como se muestra en la figura.
b) Repetir el cálculo del inciso a) usando la parametrización
2. Considerar una sola fuente de calor localizada en el origen contemperatura
a) Calcular el flujo de calor a través de la superficie
como se muestra en la figura.
b) Repetir el cálculo del inciso a) usando la parametrización
Figura para 2
3. Considerar un cable de densidad dado por la curva en elespacio
Los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z estándados por
Hallar los momentos de inercia de un cable de densidad uniformeen forma de hélice
4. Hallar los momentos de inercia del cable de densidad dado por la curva
(ver la figura).
5. El laplaciano es el operador diferencial
y la ecuación de Laplace es
Cualquier función que satisface esta ecuación se llama armónica.Demostrar que la función w = 1/f es armónica.
0 ≤ t ≤ 1rstd 5t2
2i 1 tj 1
2!2 t 3y2
3k,C:
r 51
1 1 t
r 5 1
Iz 5 EC
sx2 1 y2drsx, y, zd ds.
Iy 5 EC
sx2 1 z2drsx, y, zd ds
Ix 5 EC
sy2 1 z2drsx, y, zd ds
a ≤ t ≤ b.rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk,C:
rsx, y, zd
1
11
z
yx
SN
0 ≤ v ≤ 2p.
0 ≤ u ≤p
2,z 5 cos u,y 5 sin u sin v,x 5 sin u cos v,
S 5 Hsx, y, zd: z 5 !1 2 x2 2 y2, x2 1 y2 ≤ 1J
Tsx, y, zd 525
!x2 1 y2 1 z2.
0 ≤ v ≤ 1.p
3≤ u ≤
2p
3,z 5 sin u,y 5 v,x 5 cos u,
1
2
11
z
yx
S
N
S 5 5sx, y, zd: z 5 !1 2 x2, 212
≤ x ≤12
, 0 ≤ y ≤ 16
Tsx, y, zd 525
!x2 1 y2 1 z2.
H 5 ESE 2 k=T ? N dS.
DH < 2k=T ? N dS,DS
sen
sen sen sen
1. Heat flows from areas of higher temperature to areas of lowertemperature in the direction of greatest change. As a result,measuring heat flux involves the gradient of the temperature.The flux depends on the area of the surface. It is the normaldirection to the surface that is important, because heat that flowsin directions tangential to the surface will produce no heat loss.So, assume that the heat flux across a portion of the surface ofarea is given by where is the temper-ature, is the unit normal vector to the surface in the directionof the heat flow, and is the thermal diffusivity of the material.The heat flux across the surface is given by
Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
2. Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
Figure for 2
3. Consider a wire of density given by the space curve
The moments of inertia about the and axes are given by
Find the moments of inertia for a wire of uniform density in the shape of the helix
(ver la figura).
Figura para 3 Figura para 4
4. Find the moments of inertia for the wire of density given by the curve
(see figure).
5. The Laplacian is the differential operator
and Laplace’s equation is
Any function that satisfies this equation is called harmonic.Show that the function is harmonic.w 1 f
2w2wx2
2wy 2
2wz2 0.
22
x2
2
y 2
2
z2
0 t 1r tt2
2i tj
2 2 t 3 2
3k,C:
11 t
z
x y12
1
1
2
t2i + t j +r(t) = k
22 2t3/2
3z
xy2
2
2
4
6
8
10
12
r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2tk
0 t 2r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk,
1
Iz C x2 y2 x, y, z ds.
Iy C x2 z2 x, y, z ds
Ix C y2 z2 x, y, z ds
z-y-,x-,
a t b.r t x t i y t j z t k,C:
x, y, z
1
1 1
z
yx
SN
0 v 2 .
0 u2
,z cos u,y sin u sin v,x sin u cos v,
S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
0 v 1.3
u23
,z sin u,y v,x cos u,
1
2
1 1
z
yx
S
N
S x, y, z : z 1 x2, 12
x12
, 0 y 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
HS
k T N dS.
Sk
NTH k T N dS,S
P.S. Problem Solving 1141
P.S. PROBLEM SOLVING
1053714_150R.qxp 10/27/08 1:49 PM Page 1141
1. Heat flows from areas of higher temperature to areas of lowertemperature in the direction of greatest change. As a result,measuring heat flux involves the gradient of the temperature.The flux depends on the area of the surface. It is the normaldirection to the surface that is important, because heat that flowsin directions tangential to the surface will produce no heat loss.So, assume that the heat flux across a portion of the surface ofarea is given by where is the temper-ature, is the unit normal vector to the surface in the directionof the heat flow, and is the thermal diffusivity of the material.The heat flux across the surface is given by
Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
2. Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
Figure for 2
3. Consider a wire of density given by the space curve
The moments of inertia about the and axes are given by
Find the moments of inertia for a wire of uniform density in the shape of the helix
(ver la figura).
Figura para 3 Figura para 4
4. Find the moments of inertia for the wire of density given by the curve
(see figure).
5. The Laplacian is the differential operator
and Laplace’s equation is
Any function that satisfies this equation is called harmonic.Show that the function is harmonic.w 1 f
2w2wx2
2wy 2
2wz2 0.
22
x2
2
y 2
2
z2
0 t 1r tt2
2i tj
2 2 t 3 2
3k,C:
11 t
z
y12
1
1
2
t2i + t j +r(t) = k
22 2t3/2
3z
y22
2
4
6
8
10
12
r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2tk
0 t 2r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk,
1
Iz C x2 y2 x, y, z ds.
Iy C x2 z2 x, y, z ds
Ix C y2 z2 x, y, z ds
z-y-,x-,
a t b.r t x t i y t j z t k,C:
x, y, z
1
1 1
z
yx
SN
0 v 2 .
0 u2
,z cos u,y sin u sin v,x sin u cos v,
S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
0 v 1.3
u23
,z sin u,y v,x cos u,
1
2
1 1
z
yx
S
N
S x, y, z : z 1 x2, 12
x12
, 0 y 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
HS
k T N dS.
Sk
NTH k T N dS,S
P.S. Problem Solving 1141
P.S. PROBLEM SOLVING
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1. Heat flows from areas of higher temperature to areas of lowertemperature in the direction of greatest change. As a result,measuring heat flux involves the gradient of the temperature.The flux depends on the area of the surface. It is the normaldirection to the surface that is important, because heat that flowsin directions tangential to the surface will produce no heat loss.So, assume that the heat flux across a portion of the surface ofarea is given by where is the temper-ature, is the unit normal vector to the surface in the directionof the heat flow, and is the thermal diffusivity of the material.The heat flux across the surface is given by
Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
2. Consider a single heat source located at the origin withtemperature
(a) Calculate the heat flux across the surface
as shown in the figure.
(b) Repeat the calculation in part (a) using the parametrization
Figure for 2
3. Consider a wire of density given by the space curve
The moments of inertia about the and axes are given by
Find the moments of inertia for a wire of uniform density in the shape of the helix
(ver la figura).
Figura para 3 Figura para 4
4. Find the moments of inertia for the wire of density given by the curve
(see figure).
5. The Laplacian is the differential operator
and Laplace’s equation is
Any function that satisfies this equation is called harmonic.Show that the function is harmonic.w 1 f
2w2wx2
2wy 2
2wz2 0.
22
x2
2
y 2
2
z2
0 t 1r tt2
2i tj
2 2 t 3 2
3k,C:
11 t
z
y12
1
1
2
t2i + t j +r(t) = k
22 2t3/2
3z
y22
2
4
6
8
10
12
r(t) = 3 cos t i + 3 sen t j + 2tk
0 t 2r t 3 cos ti 3 sen tj 2tk,
1
Iz C x2 y2 x, y, z ds.
Iy C x2 z2 x, y, z ds
Ix C y2 z2 x, y, z ds
z-y-,x-,
a t b.r t x t i y t j z t k,C:
x, y, z
1
1 1
z
yx
SN
0 v 2 .
0 u2
,z cos u,y sin u sin v,x sin u cos v,
S x, y, z : z 1 x2 y2, x2 y2 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
0 v 1.3
u23
,z sin u,y v,x cos u,
1
2
1 1
z
yx
S
N
S x, y, z : z 1 x2, 12
x12
, 0 y 1
T x, y, z25
x2 y2 z2.
HS
k T N dS.
Sk
NTH k T N dS,S
P.S. Problem Solving 1141
P.S. PROBLEM SOLVING
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1142 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
6. Considerar la integral de línea
donde C es la frontera de la región que yace entre las gráficas de
a) Usar un sistema algebraico por computadora para verificar elteorema de Green para n, un entero impar de 1 a 7.
b) Usar un sistema algebraico por computadora para verificar elteorema de Green para n, un entero par de 2 a 8.
c) Para un entero impar n, conjeturar acerca del valor de la inte-gral.
7. Utilizar una integral de línea para calcular el área limitada o aco-tada por un arco de la cicloide
como se muestra en la figura.
Figura para 7 Figura para 8
8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acota-da por los dos lazos de la curva ocho
que se muestra en la figura.
9. El campo de fuerzas actúa sobreun objeto que se mueve del punto al punto como semuestra en la figura.
a) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria
b) Hallar el trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria
c) Supóngase que el objeto sigue la trayectoria Hallar el valor de la constante c que mini-
miza el trabajo.
10. El campo de fuerzas se muestraen la figura. Tres partículas se mueven del punto al punto
a lo largo de trayectorias diferentes. Explicar por qué eltrabajo realizado es el mismo con las tres partículas, y hallar el valor del trabajo.
11. Sea S una superficie suave orientada, con vector normal N, aco-tada por una curva suave simple cerrada C. Sea v un vector constante. Demostrar que
12. Comparar el área de la elipse con la magnitud del
trabajo realizado por el campo de fuerzas
sobre una partícula que da una vuelta alrededor de la elipse (verla figura).
13. Una sección transversal del campo magnético de la Tierra puederepresentarse como un campo vectorial en el cual el centro de laTierra se localiza en el origen y el eje y positivo apunta en direc-ción del polo norte magnético. La ecuación para este campo es
donde m es el momento magnético de la Tierra. Demostrar queeste campo vectorial es conservativo.
5m
sx2 1 y2d5y2 f3xyi 1 s2y2 2 x2djg
Fsx, yd 5 Msx, ydi 1 Nsx, ydj
y
x1
1
−1
−1
Fsx, yd 5 212
yi 112
xj
x2
a2 1y2
b2 5 1
ESEs2v ? Nd dS 5 E
C
sv 3 rd ? dr.
y
x
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
s2, 4ds1, 1d
Fsx, yd 5 s3x2 y2di 1 s2x3ydj
c > 0.0 ≤ y ≤ 1,x 5 csy 2 y2d,
0 ≤ y ≤ 1.x 5 y 2 y2,
0 ≤ y ≤ 1.x 5 0,
y
x
1
1
s0, 1d,s0, 0dFsx, yd 5 sx 1 ydi 1 sx2 1 1dj
0 ≤ t ≤ 2pystd 5 sin t,xstd 512
sin 2t,
x
y
1−1
−1
1
x2 a
2a
π
y
0 ≤ u ≤ 2pysud 5 as1 2 cos ud,xsud 5 asu 2 sin ud,
6. Consider the line integral
where is the boundary of the region lying between the graphsof y
(a) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an odd integer from 1 through 7.
(b) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an even integer from 2 through 8.
(c) For an odd integer, make a conjecture about the value ofthe integral.
7. Use a line integral to find the area bounded by one arch of thecycloid as shown in the figure.
Figure for 7 Figure for 8
8. Use a line integral to find the area bounded by the two loops ofthe eight curve
as shown in the figure.
9. The force field acts on an objectmoving from the point to the point as shown inthe figure.
(a) Find the work done if the object moves along the path
(b) Find the work done if the object moves along the path
(c) Suppose the object moves along the path Find the value of the constant that
minimizes the work.
10. The force field is shown in thefigure below. Three particles move from the point to thepoint along different paths. Explain why the work done isthe same for each particle, and find the value of the work.
11. Let be a smooth oriented surface with normal vector bounded by a smooth simple closed curve Let be aconstant vector, and prove that
12. How does the area of the ellipse compare with the
magnitude of the work done by the force field
on a particle that moves once around the ellipse (see figure)?
13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented asa vector field in which the center of Earth is located at theorigin and the positive axis points in the direction of themagnetic north pole. The equation for this field is
where is the magnetic moment of Earth. Show that thisvector field is conservative.
m
m
x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j
F x, y M x, y i N x, y j
y-
y
1
1
−1
−1
F x, y12
yi12
xj
x2
a2
y2
b2 1
S
2v N dSC
v r dr.
vC.N,S
y
x
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
2, 41, 1
F x, y 3x2 y2 i 2x3y j
cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,
0 y 1.x y y2,
0 y 1.x 0,
y
x
1
1
0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j
0 t 2y t sin t,x t12
sin 2t,
x1−1
−1
1
y
x2 a
2a
π
y
0 2 ,y a 1 cos ,x a sin ,
n
n,
n,
y 0.y a2 x2 a > 0C
C
yn dx xn dy
1142 Chapter 15 Vector Analysis
CAS
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sen
6. Consider the line integral
where is the boundary of the region lying between the graphsof y
(a) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an odd integer from 1 through 7.
(b) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an even integer from 2 through 8.
(c) For an odd integer, make a conjecture about the value ofthe integral.
7. Use a line integral to find the area bounded by one arch of thecycloid as shown in the figure.
Figure for 7 Figure for 8
8. Use a line integral to find the area bounded by the two loops ofthe eight curve
as shown in the figure.
9. The force field acts on an objectmoving from the point to the point as shown inthe figure.
(a) Find the work done if the object moves along the path
(b) Find the work done if the object moves along the path
(c) Suppose the object moves along the path Find the value of the constant that
minimizes the work.
10. The force field is shown in thefigure below. Three particles move from the point to thepoint along different paths. Explain why the work done isthe same for each particle, and find the value of the work.
11. Let be a smooth oriented surface with normal vector bounded by a smooth simple closed curve Let be aconstant vector, and prove that
12. How does the area of the ellipse compare with the
magnitude of the work done by the force field
on a particle that moves once around the ellipse (see figure)?
13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented asa vector field in which the center of Earth is located at theorigin and the positive axis points in the direction of themagnetic north pole. The equation for this field is
where is the magnetic moment of Earth. Show that thisvector field is conservative.
m
m
x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j
F x, y M x, y i N x, y j
y-
y
1
1
−1
−1
F x, y12
yi12
xj
x2
a2
y2
b2 1
S
2v N dSC
v r dr.
vC.N,S
y
x
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
2, 41, 1
F x, y 3x2 y2 i 2x3y j
cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,
0 y 1.x y y2,
0 y 1.x 0,
y
x
1
1
0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j
0 t 2y t sin t,x t12
sin 2t,
x1−1
−1
1
y
x2 a
2a
π
y
0 2 ,y a 1 cos ,x a sin ,
n
n,
n,
y 0.y a2 x2 a > 0C
C
yn dx xn dy
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CAS
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6. Consider the line integral
where is the boundary of the region lying between the graphsof y
(a) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an odd integer from 1 through 7.
(b) Use a computer algebra system to verify Green’s Theoremfor an even integer from 2 through 8.
(c) For an odd integer, make a conjecture about the value ofthe integral.
7. Use a line integral to find the area bounded by one arch of thecycloid as shown in the figure.
Figure for 7 Figure for 8
8. Use a line integral to find the area bounded by the two loops ofthe eight curve
as shown in the figure.
9. The force field acts on an objectmoving from the point to the point as shown inthe figure.
(a) Find the work done if the object moves along the path
(b) Find the work done if the object moves along the path
(c) Suppose the object moves along the path Find the value of the constant that
minimizes the work.
10. The force field is shown in thefigure below. Three particles move from the point to thepoint along different paths. Explain why the work done isthe same for each particle, and find the value of the work.
11. Let be a smooth oriented surface with normal vector bounded by a smooth simple closed curve Let be aconstant vector, and prove that
12. How does the area of the ellipse compare with the
magnitude of the work done by the force field
on a particle that moves once around the ellipse (see figure)?
13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented asa vector field in which the center of Earth is located at theorigin and the positive axis points in the direction of themagnetic north pole. The equation for this field is
where is the magnetic moment of Earth. Show that thisvector field is conservative.
m
m
x2 y2 5 2 3xyi 2y2 x2 j
F x, y M x, y i N x, y j
y-
y
1
1
−1
−1
F x, y12
yi12
xj
x2
a2
y2
b2 1
S
2v N dSC
v r dr.
vC.N,S
y
x
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
2, 41, 1
F x, y 3x2 y2 i 2x3y j
cc > 0.0 y 1,x c y y2 ,
0 y 1.x y y2,
0 y 1.x 0,
y
x
1
1
0, 1 ,0, 0F x, y x y i x2 1 j
0 t 2y t sin t,x t12
sin 2t,
x1−1
−1
1
y
x2 a
2a
π
y
0 2 ,y a 1 cos ,x a sin ,
n
n,
n,
y 0.y a2 x2 a > 0C
C
yn dx xn dy
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