150603_uwin-me02-s52

Bachelor in Economics (S.E): Manajemen

Course : Matematika Ekonomi (1506ME02)

online.uwin.ac.id

Session Topic : Jenis-jenis Fungsi Linear

Course: Matematika Ekonomi

By Handri Santoso, Ph.D

UWIN eLearning Program

Powered by HarukaEdu.com - 1506ME02- Hal 3

Content

Part 1 Pengertian & Jenis-jenis Fungsi

Part 2 Pengertian Fungsi Linier

Part 3 Gradient

Part 4 Applications

Part1: Pengertian & Jenis-jenis Fungsi


Fungsi: Definisi

Fungsi

Defn:

Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakanhubungan ketergantungan (hub. fungsional)

.antara suatu variabel dengan variabel lain.

y = b + mx

Dependent

VariableKonstanta

Koefisien

Var. x

Independent

Variable


Fungsi: Jenis

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi

F.PangkatF. Polinom

F. Linier

F. Kuadrat

F. Kubik

F. Bikuadrat

Fungsi rasionalFungsi

irrasional

Fungsi non-aljabar

(transenden)

Fungsi aljabar

F. Eksponensial

F. Logaritmik

F. Trigonometrik

F. Hiperbolik


Fungsi: Jenis (lanjut)

Fungsi,

1. Polinom

Defn: Fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.

y = a0 + a1x + a2x2 + . + anx

n

2. Linear

Defn: Fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkatsatu (fungsi berderajat satu).

y = a0 + a1x a1 0

3. Kuadrat

Defn: Fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.

y = a0 + a1x + a2x2 a2 0



4. Berderajat

Defn: Fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).

y = a0 + a1x + a2x2 + . + an-1x

n-1 + anxn an 0

5. Pangkat

Defn: Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.

y = xn n = bilangan nyata bukan nol

6. Eksponensial

Defn: Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukannol.

y = nx n > 0



7. Logaritmik

Defn: Fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakanbilangan logaritmik.

y = nlog x

8. Trigonometrik dan fungsi hiperbolik

Defn: Fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik.

Persamaan,

a. Trigonometrik y = sin x

b. Hiperbolik y = arc cos x



Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya: Fungsi eksplisitdan implisit

No Fungsi Eksplisit Implisit

1. Umum y = f(x) f(x,y) = 0

2. Linear y = a0+a1x a0+a1x-y = 0

3. Kuadrat y = a0+a1x+a2x2 a0+a1x+a2x

2-y = 0

4. Kubik y = a0+a1x +a2x2+a3x

3 a0+a1x +a2x2+a3x

3-y = 0



x

y

x

yLinear

y = a0 + a1x

a0

Kemiringan = a1

(a) (b)0 0

Kuadratik

y = a0 + a1x + a2x2

a0

(Kasus a2 < 0)



x

y

x

y

(c) (d)

0 0

Kubik

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3

a0

Bujur sangkar

hiperbolik

y = a / x

(a > 0)



x

y

x

y

(e) (f)

0 0

Eksponen

y = bx

(b > 1)

Logaritma

y = logb x


Fungsi: Penyimpangan Eksponen

xn = x x x x..x x

Aturan,

a. I : xm x xn = xm+n

Contoh : x3 x x4 = x7

b. II : xm / xn = xm-n

Contoh : x4 / x3 = x

c. III : x-n = 1/xn (x 0 )

d. IV : x0 = 1 (x 0)

e. V : x1/n =

f. VI : (xm)n = xmn

g. VII : xm x ym = (xy)m

n x

Part2: Pengertian Fungsi Linier


Fungsi Linier: Pengertian

Pengertian Fungsi Linier

Fungsi Linier

Defn: Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat

paling tinggi satu.

Definisi:

y = b + mx

b = konstanta nilai positif, negatif atau nol

m = konstanta nilai positif, negatif atau nol

Contoh:

y = 4 + 2x

b = 4, m = 2


Fungsi Linier: Gradient

Kemiringan (gradient) suatu garis

Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling

tinggi satu.

Definisi:

y = b + mx

b = konstanta nilai positif, negatif atau nol

m = konstanta nilai positif, negatif atau nol

Contoh:

y = 4 + 2x

b = 4, m = 2


Fungsi Linier: Gradient (lanjut)

Kemiringan (gradient) suatu

garis

Kemiringan atau gradient darisuatu garis lurus

biasanya dinyatakandengan m.

y = mx + b

Slope y-Intercept



Kemiringan suatu garis (non-vertikal)

Defn:

Suatu unit bilangan yang naik (atau turun) vertikal untuk setiapbagian perubahan dari kiri ke kanan

seperti pada gambar dibawah:

Negative slope, line falls.Positive slope, line rises.



Persamaan linier,

ditulis dalam bentuk y = mx + b , yang ditulis sebagai slope-intercept form.

Begitu kita telah menentukan kemiringan dan y-intercept darisuatu garis, maka

akan mudah untuk membuat grafik dari persamaan tersebut



Contoh berikut adalah

persamaan garis vertical.

Garis vertikal mempunyai bentuk persamaan

x = a. Vertical line

Persamaan garis vertical,

tidak dapat dituliskan dalam bentuk y=mx+b

sebab

gradien dari garis lurus tidak didefinisikan

seperti pada gambar

Slope is undefined.


Fungsi Linier: Penggambaran

Penggambaran Fungsi Linier

Untuk menggambarkan fungsi linier bisa dilakukan dengan 2 cara, yaitu,

1. membuat tabel dan

2. dengan menentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y

Contoh untuk fungsi y= 2x + 4

Dengan menentukan titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y

Pertama jika y = 0, didapat x=-2, maka didapat koordinat (-2,0).

Kedua jika x=0, didapat y= 4, maka didapat koordinat (0, 4)

x -2 -1 0 1 2 3

y 0 2 4 6 8 10


Fungsi Linier: Menggambarkan Fungsi

Fungsi y = 2x + 4


Fungsi Linier: Menggambarkan Fungsi (lanjut)

Latihan

Buatlah grafik dari fungsi berikut dengan metode diatas

1. y = 2x 4

2. y = x 5

3. y = 8 3x

4. y = 5x 7

Part3: Gradient


Gradient: Finding the Slope of a Line

Mencari Kemiringan Garis (Gradient)

Given an equation of a line,

you can find its slope by writing the equation in slope-intercept form. If you are not given an equation, you can still find the slope of a line.

For instance,

suppose you want to find the slope of the line passing through the points (x1, y1) and (x2, y2), as shown in Figure


Gradient: Finding the Slope of a Line (cont.)

As you move from left to right along this line,

a change of (y2 y1) units in the vertical direction corresponds

to a change of (x2 x1) units in the horizontal direction.

y2 y1 = the change in y = rise

and

x2 x1 = the change in x = run

The ratio of (y2 y1) to (x2 x1) represents the slope of the line..

that passes through the points (x1, y1) and (x2, y2).



When this formula is used for slope,

the order of subtraction is important.

Given two points on a line, you are free to label either one of them as (x1, y1) and the other as (x2, y2).

However,

once you have done this, you must form the numerator and

denominator using the same order of subtraction.

IncorrectCorrectCorrect



For instance,

the slope of the line passing through

the points (3, 4) and (5, 7) can be calculated as

or, reversing the subtraction order in both the numerator and denominator, as


Example 2: Finding the Slope of a Line Through 2 Points

Find the slope of the line passing through each pair of

points.

a. (2, 0) and (3, 1)

b. (1, 2) and (2, 2)

c. (0, 4) and (1, 1)

d. (3, 4) and (3, 1)


Example 2: Solution (a)

Letting (x1, y1) = (2, 0) and (x2, y2) = (3, 1), you obtain a slope

of

See Figure


Example 2: Solution (b)

The slope of the line passing through (1, 2) and (2, 2) is

See Figure


Example 2: Solution (c)


See Figure


Example 2: Solution (d)


See Figure

Because division by 0 is undefined,

the slope is undefined and

the line is vertical.


Dua Garis Lurus: Bentuk Hubungan

Hubungan 2 Garis Lurus

Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai 4 macam kemungkinan

bentuk hubungan:

1. Berimpit,

2. Sejajar,

3. Berpotongan ,

4. dan Tegak Lurus.


Dua Garis Lurus: Hubungan (lanjut)

Berimpit:

y1 = ny2

a1 = na2

b1 = nb2

Sejajar:

a1 a2

b1 = b2


Dua Garis Lurus: Hubungan (lanjut)

Berpotongan:

b1 b2

Tegak Lurus:

b1 = - 1/b2


Persamaan Linear: Pencarian Akar-akar

Pencarian Akar-akar Persamaan Linear

Pencarian besarnya variable bilangan dari beberapa

persamaan linear,

dengan kata lain penyelesaian persamaan- persamaanlinear secara serempak (simultaneously),

dapat dilakukan melalui 3 macam cara,1. Substitusi

2. Eliminasi

3. Determinan


Persamaan Linear: Pencarian Akar-akar (lanjut)

1. Cara Substitusi

Contoh:

Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan

berikut:

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y

2x + 3y = 21

2(23 4y) + 3y = 21

46 8y + 3y = 21

46 5y = 21

25 = 5y, y = 5 x = ?



2. Cara Eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu,

dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada,

sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

5y 25,5y-

468y2x

213y2x

2

1

234yx

213y2x



3. Cara Determinan

Bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnyabanyak.

Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi

afhdbigecchdbfgaei

ihg

fed

cba

db-ae ed

ba

3 derajad determinan

2 derajad determinan



Ada 2 persamaan:

ax + by = c

dx + ey = f

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan:

dbae

dcaf

e d

b a

f d

c a

D

Dyy

dbae

fbce

e d

b a

e f

b c

D

Dxx

Determinan



Contoh

2x + 3y = 21

x + 4y = 23

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan:

55

3

21

25

4 1

3 2

23 1

21 2

D

Dyy

5

15

4 1

3 2

4 23

3

D

Dxx

Part4: Applications


Applications

Didalam kehidupan sehari-hari, kemiringan dari garis dapat di

artikan sebagai,

rasio atau rate (laju perubahan)

Jika sumbu-x dan sumbu-y mempunyai,

a. unit pengukuran yang sama maka gradient (m) tidak

mempunyai satuan sehingga disebut rasio.

b. satuan pengukuran yang berbeda maka gradient (m) disebut

rate atau laju perubahan

Applications: Rasio & Rate


Example 1 Using Slope as a Ratio

The maximum recommended slope of a wheelchair ramp is

A business is,

installing a wheelchair ramp that rises 22 inches over a horizontal length of 24 feet.

Is the ramp steeper than recommended?(Source: Americans with Disabilities Act Handbook)

Applications: Contoh 1


The horizontal length of the ramp is 24 feet or 12(24) = 288 inches, as

shown in Figure

So, the slope of the ramp is

Because 0.083, the slope of the ramp is not steeper than recommended.

Applications: Solution 1


Example 2 Predicting Sales

The sales for Best Buy were approximately $35.9 billion in 2006

and $40.0 billion in 2007. Using only this information, write a

linear equation that gives the sales (in billions of dollars) in terms

of the year. Then predict the sales for 2010. (Source: Best Buy

Company, Inc.)

Applications: Contoh 2


Applications: Solution 2

Let t = 6 represent 2006. Then the two given values are represented by the data points (6, 35.9)

and (7, 40.0).

The slope of the line through these points is

Using the point-slope form, you can find the equation that relates the

sales y and the year t to be

y 35.9 = 4.1(t 6) Write in point-slope form.


Applications: Solution 2 (lanjut)

y = 4.1t + 11.3

According to this equation, the sales for 2010 will be

y = 4.1(10) + 11.3

= 41 + 11.3

= $52.3 billion. (See Figure)

Write in slope-intercept form.


online.uwin.ac.id

Associate Partners :

Powered by HarukaEdu.com

Course : Matematika Ekonomi (1506ME02)

150603_uwin-me02-s52

Documents

a0 a1x a2x2 a0 a1x a2x2

arc cos xpowered by

a xa 0powered by harukaedu

nx n 0powered by harukaedu

logb xpowered by harukaedu

a0 a1x a0 a1x

bachelor in economics

jenis lanjutxyxyc d0