Bài tập giải tích 2

Chương 1. Hàm nhiều biến số

Bài 1. Tính các giới hạn (nếu có):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) k)

l) m)

Bài 2. Tìm các điểm gián đoạn của hàm

a) b)

c)

Bài 3. Khảo sát sự liên tục của hàm số

a) tại

b) tại

c) tại

d) tại

Bài 4. Tìm các đạo hàm riêng cấp một của các hàm sau đây:

a) b)

c) d)

Bài 5. Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

a) b)

c) d)

Bài 6. Tính đạo hàm của hàm ẩn xác định từ phương trình saua) tính b) tính c) , tính

Bài 7. Cho . Tính biết z là hàm ẩn của x, y xác định bởi phương trình

Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ

Bài 9. Phương trình xác định hàm số ẩn z= z(x, y). Chứng minh

rằng

Bài 10. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

a) b)

c) d)

Bài 11. Hãy tìm cực trị của các hàm sau đây:a) b) c) d) e) Bài 12. Haỹ tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đâya) với điều kiện

b) với điều kiện

c) Trong các hình chữ nhật có chu vi ,(p cho trước), hãy tìm hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất.

d) trong miền

Chương 2. Tích phân bội

1. Tích phân kép (bội 2)

Có hai phương pháp cơ bản để tính tích phân kép:i) Phương pháp tích phân lặp (đưa trực tiếp tích phân về tích phân xác định)

Tính các tích phân sau:Ví dụ 1. Miền lấy tích phân là miền hình chữ nhật

a)

b)

Ví dụ 2. Miền lấy tích phân là miền hình thang cong

thì

a) với D là miền giới hạn bởi

b) với D là miền giới hạn bởi

Ví dụ 3. Miền lấy tích phân là miền hình thang cong

thì

a) với D là miền giới hạn bởi

b) với D là miền giới hạn bởi

Bài tập Tính các tích phân kép sau:

1) với D là chu vi tam giác có các đỉnh A(1,1), B(4,1), C(4,4).

2) với D là miền giới hạn bởi

3) với D là miền giới hạn bởi

4) với D là miền giới hạn bởi .

ii) Phương pháp đổi biến số

Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxy sang tọa độ cong

O’uv theo công thức biến đổi (*) thỏa mãn ba điều kiện sau

a) Các hàm x(u,v) và y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền ảnh D’

(trong tọa độ O’uv)b) Jacôbiên của phép biến đổi không triệt tiêu trong D’:

c) Phép biến đổi (*) đơn trị một – một (nghĩa là các điểm khác nhau của D ’

tương ứng với các điểm khác nhau của D )Trong trường hợp này tích phân hai lớp được tính theo công thức

Trường hợp riêng, đổi biến sang tọa độ cực: trong toàn

không gian có

thì |J|= r và

+) Nếu miền lấy tích phân là miền thì

+) Nếu D là miền chứa gốc tọa độ thì

Trong đó là phương trình đường cực của đường cong giới hạn miền D.

*) Đổi biến sang tọa độ cực suy rộng đối với miền D là hình elíp

trong toàn không gian có

Khi đó |J|= |ab|r và

(chú ý: Đường tròn là một trường hợp riêng của hình elíp)Chú ý: Thực chất, có thể coi đổi biến sang tọa độ cực suy rộng là 2 lần đổi

biến và

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

Bài tậpBài 1. Tính các tích phân sau đây:

a) với D là miền hình tròn tâm (a/2,0) bán kính a.

b)

c)

d) trong góc phần tư thứ nhất.

Bài 2. Tính diện tích hoặc thể tích các hình được cho dưới đây: a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường thẳng và đường cong

.b*) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong c) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 x = 4, y = 4 và

d) Tính diện tích phân mặt được cắt bởi hình trụ e) Tính diện tích của phần mặt cầu được cắt bởi hình trụ

. 2. Tích phân bội bai) Trong tọa độ Đề cácGiả sử miền lấy tích phân V, phiá dưới giới hạn bởi mặt có phương trình

phía trên giới hạn bởi mặt có pt . Gọi D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy. Giả sử là những hàm liên tục, đơn trị và tại mọi điểm . Hàm số xác định và khả tích trên V.

Ta có công thức tính tích phân

Sau khi tính xong tp ta thu được tích phân kép và tính tích phân kép

đó như đã biết.Chú ý: Ngoài ra ta có thể tính tích phân bội ba theo công thức sau:

Trong đó S(x) là thiết diện của miền V với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, ( ).

j) Đổi biến số

Có thể đổi biến sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu*) Tọa độ trụ ( ): Giả xử các biến mới liên hệ với các biến cũ x, y, z bởi các hệ thức

trong toàn không gian ta có

Khi đó và

Trong đó V’ là miền biến thiên của tọa độ trụ tương ứng với V.

Hoặc đổi sang tọa độ trụ suy rộng ( là các hằng số)

trong toàn không gian ta có

Khi đó và

Chú ý: Thực chất, có thể coi đổi sang tọa độ trụ suy rộng là 2 lần đổi biến

và

*) Tọa độ cầu ( ): Giả sử các biến mới liên hệ với các biến cũ x, y, z bởi các hệ thức

trong toàn không gian ta có

Khi đó ta có và

Hoặc đổi sang tọa độ cầu suy rộng ( ): Giả sử các biến mới liên hệ với các biến cũ x, y, z bởi các hệ thức ( là các hằng số)

trong toàn không gian ta có

Khi đó ta có và

Chú ý: Có thể coi đổi sang tọa độ cầu suy rộng là đổi biến 2 lần và

Bài tập: Bài 1. Tính các tích phân sau

a) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0,

z = 0, x + y + z = 1.

b) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x =

0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

c) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x =

0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

d) nếu V giới hạn bởi các mặt z = 0,

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a) nếu V giới hạn bởi các mặt y = 0, z = 0, z = 2

b) , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt

c) , trong đó V là nửa trên của elipxôit

d) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặt

Bài 3. Tính diện tích hoặc vật thể sau:a) Tính thể tích Hình cầu tâm O(0,0,0) bán kính R.b) Tính thể tích Hình bị giới hạn bởi các mặt ,

c) Tính thể tích hình bị giới hạn bởi

d) Tính diện tích phần mặt bị cắt bởi hình trụ .e) Tính diện tích phần mặt cầu bị cắt bởi mặt trụ

Chương 3. Tích phân đường 3.1 Tích phân đường loại 1.

a) Đường cong trong mặt phẳng

Cần tính tích phân đường loại 1:

*) Đường cong cho bởi phương trình tham số ứng với hai đầu mút A và B của đường cong thì vi phân cung

Khi đó

*) Đường cong cho bởi phương trình ta có

*) Đường cong cho bởi phương trình trong tọa độ cực ứng với hai đầu mút A và B của đường cong thì vi phân cung

Khi đó

b) Đường cong trong không gian Đường cong cho bởi phương trình tham số

ứng với hai đầu mút A và B của đường cong thì vi phân cung

Khi đó

Bài tập Bài 1. Tính các tích phân đường sau

a) trong đó là chu vi tam giác có các đỉnh O(0,0); A(1,0); B(0,1).

b) trong đó là đường tròn .

c) trong đó là đường thẳng nối O(0,0,0) và A(1,2,3).

d) trong đó là phần bé của đường tròn giới

hạn bởi các điểm A(0,0,R) và .

3.2 Tích phân đường loại 2. a) Đường cong trong mặt phẳng

Cần tính tích phân đường loại 2

*) Đường cong cho bởi phương trình tham số ứng với hai đầu mút A và B của đường cong .

Khi đó

*) Đường cong cho bởi phương trình ta có

Hoặc ngược lại thì

b) Đường cong trong không gian

Đường cong cho bởi phương trình tham số ứng với hai đầu mút A và B của đường cong thì

Bài tập:

Bài 1. Tính các tích phân

a) theo các đường nối từ A(0,0) đến B(1,1) như sau:

i) theo đường thẳng y = x.

ii) Theo cung Parabôn iii) Theo đường gấp khúc ACB biết C(1,0).

b) theo đường nối từ A(0,0) đến B(1,1)

c) , là nửa trên của elip và có hướng cùng chiều kim

đồng hồ.

d)

e)

Bài 2. Tính diện tích miền kín D, có biên là đường cong đóng, đơn theo công thức

trong cá trường hợp sau:

a) D là elip

b) Tam giác ABC: A(0,0); B(0,2), C(2,2).Bài 3. Áp dụng công thức Green để tính các tích phân đường sau:

a) , là elip .

b) , là đường tròn

c) ) , là đường tròn

Bài 4. Tính trong đó L là chu tuyến đóng trơn từng khúc không di qua

gốc tọa độ và chạy theo hướng dương.

4) Tích phân mặt 4.1. Tích phân mặt loại 1Giả sử mặt S, xác định bởi phương trình với D là hình chiếu của S lên mặt

phẳng Oxy, D đóng hữu hạn. Giả sử là hàm liên tục xác định trên S. Ta có công thức tính tích phân (chuyển từ tích phân mặt loại 1 sang tích phân kép)

Bài tậpBài 1. Tính các tích phân sau:

a) trong đó S là mặt lập phương .

b) trong đó S là phần mặt Parabolit hypecbolic nằm trong mặt

trụ .

c) , trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm trong góc

phần tám thứ nhất.

d) ) trong đó S là nửa mặt cầu .

e) trong đó S là phần mặt nón nằm trong mặt trụ

.

4.2. Tích phân mặt loại 2a) Định nghĩa và cách tínhGiả sử S là một mặt hai phía trong không gian. Trên đó xác định các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Tích phân mặt loại 2:

(*)

Hay còn viết dưới dạng

(**)

Có 2 cách tính:Cách 1: Đưa về tích phân mặt loại 1 bởi công thức (*) ở đó nếu S là mặt có phương trình z = z(x, y) thì tọa độ của véctơ pháp tuyến đơn vị là

, ,

Nếu ( , ) < thì là dấu “+”, nếu ( , ) > thì là dấu “- ’’

Cách 2: Ta có thể chia thành việc tính 3 tích phân sau

Sau đó tính .

*) Chẳng hạn tính

Khi đó trong đó dấu “+” khi véc

tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oz ( chú ý tích phân tính theo hai biến dx, và dy “khuyết dz”) một góc nhọn, và dấu “-” nếu nó là góc tù.

*) Chẳng hạn tính

Khi đó trong đó dấu “+” khi véc

tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Ox ( chú ý tích phân tính theo hai biến dy, và dz “khuyết dx”) một góc nhọn và dấu “-” nếu góc đó là góc tù.

*) Chẳng hạn tính

Khi đó trong đó dấu “+” khi véc

tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oy (chú ý tích phân tính theo hai biến dx, và dz “khuyết dy”) một góc nhọn và dấu “-” nếu góc đó là góc tù. b) Công thức Stoke: Công thức này thiết lập mối quan hệ giữa tích phân đường lấy theo một phía xác định của mảnh mặt (S) giới hạn bởi chu tuyến đóng L với tích phân đường lấy theo chu tuyến đó.Hướng dương của chu tuyến L được quy ước như sau: nếu một người quan trắc đứng trên phía được chọn của mặt (tức là hướng từ chân lên đầu trùng với hướng của véc tơ pháp tuyến ) thì khi người quan tắc di chuyển trên L theo hướng dương thì mặt luôn nằm phía bên trái đường đi.

Hình vẽ

Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), và R = R(x,y,z) là những hàm khả vi liên tục, còn L là chu tuyến đóng giới hạn bởi mặt hai phía (S) thì ta có công thức Stoke:

c) Công thức Ostrogradski: liên hệ giữa tích phân mặt loại hai va tích phân bội ba.Giả sử V là miền đóng, giới nội trong không gian có biên là mặt kín, trơn từng mảnh S. Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x,y,z) và các đạo hàm

riêng liên tục trong miền đóng V. Ta có công thức Ostrogradski sau:

Bài tậpBài 1. Tính các tích phân sau:

a) , S là phía trên của phần mặt phẳng x + z – 1 = 0

nằm giữa hai mặt phẳng y = 0, y = 4 và thuộc phần tám thứ nhất.

b) trong đó S là phía ngoài mặt nón

c) , S là phía dưới hình tròn

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a) trong đó L là đường tròn và S là nửa trên của

mặt cầu

b) trong đó S là phía ngoài mặt cầu

c) trong đó tích phân tính theo phía ngoài của

mặt trụ giới hạn bởi .Chương 4. phương trình vi phân

4.1 Phương trình vi phân cấp 1.

Bài 1. Tích phân phương trình vi phân với biến phân li

a) b) c)

d) e) f) Bài 2. Tìm nghiệm bài toán Cauchy của các phương trình vi phân sau1) 2) 3) 4) Bài 3. Tìm tích phân tổng quát của các phương trình thuần nhất (đẳng cấp)

1) 2)

3) 4)

5) 6) Bài 4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính và Bernoullia) b) c) d)

e) f)

Bài 5. Tìm nghiệm các bài toán Cauchy saua) b)

c) d)

4.2. Phương trình vi phân cấp cao

Bài 1. Giải các phương trình vi phân sau

1) 2)

3) 4)

5) 6) 7) Bài 3. Phương trình có một nghiệm riêng

. Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện .Bài 5. Giải phương trình a) b) c) d) Bài 6. Giải các phương trình:

a) b)

c) d)

Bài 7. Giải phương trình biết rằng nó có một nghiệm riêng có dạng đa thức

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:

1) 2)

3)