15.8 integrais triplas em coordenadas cilíndricas
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Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
15 Integrais Mltiplas
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15.8 Integrais Triplas em
Coordenadas Cilndricas
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Integrais Triplas em
Coordenadas Cilndricas
Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares
usado para dar uma descrio conveniente de certas
curvas e regies. A Figura 1 nos permite relembrar a
ligao entre coordenadas polares e cartesianas.
Figura 1
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Integrais Triplas em
Coordenadas Cilndricas
Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas (x, y) e
coordenadas polares (r, ), ento, da figura,
x = r cos y = r sen
r2 = x2 + y2 tg =
Em trs dimenses, h um sistema de coordenadas,
chamado coordenadas cilndricas, que anlogo s
coordenadas polares e d descries convenientes de
algumas superfcies e slidos que ocorrem usualmente.
Como veremos, algumas integrais triplas so muito mais
fceis de calcular em coordenadas cilndricas.
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Coordenadas Cilndricas
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Coordenadas Cilndricas
No sistema de coordenadas cilndricas, um ponto P no
espao tridimensional representado pela triplo ordenada
(r, , z) onde r e so as coordenadas polares da projeo de P no plano xy e z a distncia orientada do plano xy a
P. (Veja a Figura 2.)
Figura 2
As coordenadas cilndricas de um ponto P
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Coordenadas Cilndricas
Para convertermos de coordenadas cilndricas para
retangulares, usamos as equaes
enquanto que para converter de coordenadas retangulares
para cilndricas, usamos
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Exemplo 1
(a) Marque o ponto com coordenadas cilndricas
(2, 2 /3, 1) e encontre suas coordenadas retangulares.
(b) Encontre as coordenadas cilndricas do ponto com
coordenadas retangulares (3, 3, 7).
SOLUO:
(a) O ponto com coordenadas cilndricas (2, 2 /3, 1) est marcado na Figura 3.
Figura 3
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Exemplo 1 Soluo
Das Equaes 1, suas coordenadas retangulares so
Logo, o ponto (1, , 1), 1) em coordenadas retangulares.
continuao
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Exemplo 1 Soluo
(b) Das Equaes 2 temos
Portanto, um conjunto de coordenadas cilndricas ( ,
7 /4, 7). Outro ( , /4, 7). Como no caso das coordenadas polares, existem infinitas escolhas.
continuao
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Clculo de Integrais Triplas com
Coordenadas Cilndricas
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Clculo de Integrais Triplas com
Coordenadas Cilndricas
Suponha que E seja uma regio do tipo 1, cuja projeo D
no plano xy tenha uma representao conveniente em
coordenadas polares (veja a Figura 6).
Figura 6
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Clculo de Integrais Triplas com
Coordenadas Cilndricas
Em particular, suponha que f seja contnua e
E = {(x, y, z) | (x, y) D, u1(x, y) z u2(x, y)}
Sabemos da equao que
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Clculo de Integrais Triplas com
Coordenadas Cilndricas
Mas tambm sabemos como calcular integrais duplas em
coordenadas polares. De fato, obtemos
A Frmula 4 a frmula para a integrao tripla em
coordenadas cilndricas. Ela nos diz que convertemos
uma integral tripla em coordenadas retangulares para
coordenadas cilndricas escrevendo x = r cos , y = r sen , deixando z como est, utilizando os limites apropriados de
integrao para z, r e , e trocando dV por r dz dr d.
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Clculo de Integrais Triplas com
Coordenadas Cilndricas
(A Figura 7 mostra como lembrar disto).
recomendvel a utilizao dessa frmula quando E for
uma regio slida cuja descrio mais simples em
coordenadas cilndricas e, especialmente, quando a funo
f (x, y, z) envolver a expresso x2 + y2.
Figura 7
Elemento de volume em coordenadas
cilndricas: dV = r dz dr d
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Exemplo 3
Um slido E est contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do
plano z = 4, e acima do paraboloide z = 1 x2 y2. (Veja a Figura 8.) A densidade em qualquer ponto proporcional
distncia do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa
de E.
Figura 8
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Exemplo 3 Soluo
Em coordenadas cilndricas, o cilindro r = 1 e o
paraboloide z = 1 r2 e podemos escrever
E = {(r, , z) | 0 2, 0 r 1, 1 r2 z 4}
Com a densidade em (x, y, z) proporcional distncia do
eixo z, a funo densidade
onde K a constante de proporcionalidade.
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Exemplo 3 Soluo
Portanto, a massa de E
continuao