16 compressible flow (gas dynamics aplications)

68
FUNDAMENTALS of Thermodynamics Sixth Edition SONNTAG BORGNAKKE VAN WYLEN

Upload: tbaracu

Post on 12-Nov-2014

93 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications).pdf

TRANSCRIPT

Page 1: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � �����

� ��������������

� ����������� ����

� ����������

� �

FUNDAMENTALS

of Thermodynamics

Sixth Edition

SONNTAG • BORGNAKKE • VAN WYLEN

Page 2: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

�����

� ������������������� ���!���"#��������"�"������

� ������$%� � $��&&������'���(!����

� ��������������������

� �� �������� � � � � ��� ���)�

� ������� ��������� � � � � � �

� ��� ����� ��������� � � � ���������

� ������������������� � � � � ��������� �

� ������������������� ������ � � ��� �!"��� �

� # ����������$����%��� �&��������'����� � � ��!��(��

� )*��������%�+,����,���-�..�� � � ��(��"(�

� -�������,��/� � � � � ��""����

� -�..�0�$�''��0��� �1��'��� � � �����2��

� )*�%�������� � � � � ��2��2!�

� ���������* �%��,��,���0�*��'�������� � ��(!0����

� �����,�������������� � � � ��2(��2�

Page 3: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���!�

������������������������)�������������������*����� ���

-������,��������'��,������������ ���������,�������������0�%,��,�

����� ��,���������0���������0����������'��%�������� ��,��������,��/�

����3�+,������'��������� ����,���������'��������%������/������*���

������0����,��,��� ������� � ��������������������� �4��3��

�,�����'��������'�����,�"�,� �������,����������5�

��������������������%�

� ��+� ,�����)� ��+� ,

�����)� ��+� ,

�����)�

� ��� �� ! � �"� "2� ���

� ��� �� (�� �%� "�� �"��

� �!� �%� (�� �!� " � !��

� �(� !� (�� �(� ��� �%�

� �"� (� (!� ��� ��� !��

� ��� "� ((� �%� ��� !��

� �2� �� ("� �%� �!� !!�

� ��� 2� (�� �%� �(� !(�

� � � �� (2� �2� �"� !2�

� !�� �%� (�� !�� ��� !��

� !�� � ( � ��� �2� !"�

� !�� ��� "�� �"�� ��� (��

� !!� �%� "�� �2�0��� � � ! �

� !(� ��� "�� �2�� 2�� (��

� !"� ��� "!� ���0��� 2�� (��

� !�� �%� "(� ���� 2�� � �

� !2� �!� ""� � � 2!� (!�

� !�� �(� "�� ��� � �

��+� ,���� ��� ��+� ,��� ���

2(� ((�� �� ��� "��� (!�

2"� ("�� �(� ��� "��� (��

2�� (��� �"� �!� "!�� ""�

22� (2�� � � �(� ""�� "!0�"(�

2�� (��� !(� �"� "(�� ���

2 � ( �� !2� ��� "��� �!�

��� "��� (2� �2� "2�� 2��

��

Page 4: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���(�

���#�-�.����!�/�"���� �0�����

��)��

� 6����������������������%���,��,���,���'���������������7�8,�7��

� � 93������/���������������������������*�%�,�*��

� � � ,��:�,

��;�1

��<���=��,

���������

� � 6'�����������%��,���������,������������%����

� � � +��:�+

��;�1

��<����

��)2�

� 8,��,���������� �����,�����������,�������������7�8��� �����

*��� ������/�����������������,��7��

� � ������,������%��,��,��,������������������������������������*�����,�

��*����'��� ����%������������,������������,�������������������3�6'��,���

��,��,������*�����,�'�����������������,��%����������'������,���

����'��>���*�������� ��� ������?�'�����,�������� ����%������������������3�

����*���,��,�������������������������������������/����

����������'����,�''��3��

Page 5: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���"�

��)3�

� +,�@��������,������'��� �'�����,��*��������������������3�8,�����,�

�������'�����������>���������������������'��������,�'��%?7�

� � +,���������������������,�,��,������'��%����,���� ���,�

,�� �����,�'��%��� ��,����'������������,�'��%�� � ������������,�,�'��,�� ����

�,������������� 3�+,�,��,����������,��,�����%��,����������������,����

���'��������,�'��%�� � �����������,�'��%���*�����,����/%�� � ����������

��%���������,�3�+,������ ��������,������������������ ���,����

�,���,�� ���������������,��������4����������,��,���,����,��������

������,��4����'���������,����,����'��,��������3���

� � ������������������������A��,�����������������������������B�%���

cb�

��)4�

� A�%��������'��������������� �������������������,�*��3��/�<�%����'��%�����

�������<7�8,����������� ��,��,�������� 7�

��:� ��V �

�:��)�V :��3�������/���<��:�2���

��3��3��5����*∆��:��3"�V��

�������∆��:��3"�V�<*�:��3"�×�����<��3����

�������������:������������:�255�&���

��

��),�

� C�����/���������3���3�"0����/��,�� ��'���� �'�������� 0�������� 0��� �����3�

� �� ��'���� 5�

∂�

∂ρ �:����

� ��������� ��� ������ ��,���,� �����*������������,����%��,�

����������� ������������������������������+3�8��,��4�����,�

��*���*������*���,��,��,�����%�� �*���������,��������������*�

������,������� ����3�

� #������,��,���������������,�'�������� ��������3��3���%,��,�

��*��� ��*����'����,�� ��'���� 3�

Page 6: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

�����

��)��

� $��� ��'���� �������� ������ �� ��������7��8,�����������������7�

� -�3��������� �������,�� ��'���� �����*�������3��3���

� � � � ��:� �/)+�

� �� ����������'���������'����������+3�

� �������������%� ���������*���,������4���������*��� ��,����

�� �� ��������������������������,� ��������������*��,����������

�����3�

��)6�

� ���������*������ ����������..����� �������������'��%7��

� -�3��������3��3!!��� �����..����� ��D������������� ����,�*� #�=������

���,���=��3�#����*�������..��%����,�*���:�������,�4��0�%,��,����,�

���������3�������%�����/�������,����������,��/���� �������

�,�4�������3�

Page 7: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���2�

��)7�

� �/��,��,�*������������V0�+0��0�� ���'������������'��%�����������*�����

��..��%��,���:�������,�4�������7�

� � � V��:�����:��� /)+�:� ���>+��−�+?�� �����%� ������/��%��,�����*�������,0�%���������*������,��������3�

+0����� �����*�����,�������������������� ����+����#3����� ���*������3��3!(�!�3�#��������� �,��>������3�?� � ��,������������3��

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mach number

VP

ρT

+,����*����

����� ����,�

*������5�

���+�<�+��

����ρ�<�ρ���

������<����

����&�<� ����+��

�� �'���/�:��3(�

Page 8: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

�����

��)8�

� �/��,��,�*������������V0�+0��0�� ���'����������>��:��?�'��%�������� �*�����

��..��%��,���:�������,�4�������7�

� � � V��:�����:��� /)+�:� ���>+��−�+?�� �����%� ������/��%��,�����*�������,0�%���������*������,��������3�

+0����� �����*�����,�������������������� ����+����#3����� ���*������3��3!(�!�3�

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Mach number

VP

ρT

+,����*����

����� ����,�

*������5�

���+�<�+��

����ρ�<�ρ���

������<����

����&�<� ����+��

�� �'���/�:��3(�

Page 9: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ��� �

��)�5�

To maximize the mass flow rate of air through a given nozzle, which properties should I try to change and in which direction, higher or lower?

The mass flow rate is given by Eq.16.41 and if we have M = 1 at the throat

then Eq.16.42 gives the maximum mass flow rate possible. Max flow for: Higher upstream stagnation pressure Lower upstream stagnation temperature ��)���

�� A�%� ���,���������������������� �������,�������������������'��%7�

� � +,���������������������� ��������������������������3�

��)�2�

� ����������%�����,����/����������������������������������'��%7�

� � -�3��1����������/������������� ��������������'��%0�%,��,���

�,�4��������������� ������������3�!3�A�%*�����������%���,����,���

������*�������������'��%�����,���..�0����0�%��,��� ���������������� �

�,���..�3�+,�������*������� ���������������������� ��,�'�������

��������3�

��)�3�

� 6��,��������'����������������..���,�/ 7�

� 93��������,����'��%���������������>��4�*���?����%����������

�� � �������3���3����������*�������������,����/������%��������,�*�����

��'����3�+,���..���,�����*� ��������������'��%�����'���'�

���������� �%��%,��,���*����'���'���'��%������������������,��

��������%,���������������'��%������������3�

Page 10: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)�4�

� +���������,�'��%��,����,����,�/ ���..�0��,�'��%�������,�� <���� ����

����� <4��� �>'��������?��'�������'����,���..�3��4������%,��,�

�'��,���,������������%����,����� �%,��,�%�������3��

��

�� +,����'��%������,����,����,�/ ���..������*�������3��3(�3������/��� �)�

��������������*����%��,��,������������������������������� �+�3��

� � #'�����..�5���#��� �%�������,����,�*��������#��3�

� � C'�����..�5��E�������,������������ �+��,�������'����3�

� � � �3�A������+,����%�����'��%�����>+�������?�

� � � �3���������+,���������'��%�����>+�� ���?�

� � � �3������3��)�������� �+���������''��3�

� � � �����6�������5�������%�:������������ ����+���%�:�+��> ?��/��

/ � �

� � � ���������%�<� +���%�:�> ?��/;�

�/ �F���<� +�G��=��F���<�� +�G�� � � ���������,����'��%�����������

� � � 3��4��� 3���B�%�������� �+���������''��3�#���

� � � ��������������0��,�����'��%����� ���3�

Page 11: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ������

��)�,�

� 8,��,��'��,����������3���3�2�>��,?�,�*������������������� �%,��,� �����7�

� � � �3�+,�������'��%������:��3�

� � � �3���������'��%0��*����0������:��3�

� � � �3�B�����'����������'��%0��*����0������:��3�

� � � 3�+,���������������*�����'��%��������0������:��3�

� � � 3�����������*����������..�����:��0����*��������� 3�

� � � '3������������*����������..�����:��0�������������� 3�

� � � �3��,��/���� ����4�������0����=��������,��/3�

� � � ,3��,��/�������� ���� ���..�0����=��������,��/3�

Page 12: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

� � �

��)���

� #���*�����*�������..����������������,�/ �%��,����������������'��%�

���������'�(���/��0�(���H3�+���������,�'��%0����*������ ��������

����������� ��'����,���..������������,�����������'��%���������

"���/��3�8,���,���������,�'��%����7�

� � ������,���..�����,�/ ��,����'��%���������*�������3��3(�3�+,�

���������,�����,������������������ ���������3�

� � 6�������5�������%�:������������ ����+���%�:�+��> ?��/��

/ � �

� � ��������%�<� +���%�:�> ?��/;�

�/ �F���<� +�G��� � ���,����'��%��������������� �%��,��,�'������

� � � > ?��/;�

�/ �:�

"��

(��

�3(

�3��:��3���

��)�6�

� A�%����,�����������/��'��%�������� �����,�,��/�����4�������3 7��

� � +,��,����������������

� � � � ���:�����4�:�������+�+4

�I�)�������4�

� � � � �������:��3��(�����3!������3��2�����3("�!�

� � � � �������:��3�2�2(�I��3�"��"�:�5)525��&9:&$�;�

� � -������,������� �,�*����������� ����3�

��)�7�

� �����������*����� �*�������..��������� ������,�������3���3�23�8,���

/�� ��'���..������ �,�*��,����4������������%��,����*�����'��%7�

� � #����*�������..�0�,�*�����������'��%�*��%,����������,�

�������������,��,���,����,���������3��

Page 13: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����!�

��)�8�

� A�%� ���,���������������������� �������,����������� ����������..��

'��%�%��,����''��������'����,������J7�

� � +,��������������������������������>������3?�

� � +,���������������� ����>�������� 0���/����������?3�

��)25�

� A�%�,��,����������*�������>���,������?����� ���������������������������

'��%�%��,����J�����7�

� � +,������*����������,�∆��*���/����������0���3��3��0������

� � � �:��

(�

V

��

��:��3������⇒�������:�

V���:� (���3���:�5)273�

Page 14: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

����(�

���$���"���� �-� �"���

��)2��

� �������*�����..��%��,���������'�"���/��0�������������'�!"�°�0��� ���*��������'��"���<3�8,������,��������������������������� ���������7�

� �������������,�����'������������������� �*����'�������������C3�3!�

� � ,��:�,

��;�1

��<��:�!��232�;�

�"��

������:�!� �3(�/K</���

� � ��:�

��:�23�!� �/K</��H�

� 6������������������������� �'�����,������ ��������

� � ���������'�%��5�>,�0�

�?��⇒��+

��:�3�,<�0���

��:�,,��&���

Page 15: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����"�

��)22�

� #����@���'�������������,����,L�����������,�����"�/��0�����H0�%��,���

�����*�*��������'�������<��������3���������,���@��M���'�����������3�

� � ,�����,

��:��1

��<��:������<�����:������/K</���

� � ,���:�,

��;������:�����;������:������/K</�����:=�����+�:��76,�;�

� +,�*����'���,��'����� �����������#32�%������� ������,���%��+�����,�

�����������H3�

Page 16: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)23�

� �������'��%�����������..��%��,���������'�(���/��3�+,����������������

�� ����������������� ����������/����� �!"���0������*��3�8,������

�,�'��%�*��������� ���������7�

� � ���������������+����C3�3!5��,���:�!��"3���/K</�0��

���:�23"(�!�/K</��H�

� � ������5��(���/��0����:�

���:�23"(�!�/K</��H������

� � ������+��:��"��;�>!���I��"�?�

23"(�!���23!2��

23"������23!2���:�284)6����

� � ������,��:�� �(3���;�

23"(�!���23!2��

23"������23!2���>!���32"�I�� �(3��?�:�!�""3 �/K</��

� � ����������������*�

� � ��������V��<��:�,

�����,

��:�!��"3���I�!�""3 �:��� 32��/K</��

� � � V� :� ���>,������,��?�:� ����� 32��������:�4�7),��:��

Page 17: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����2�

��)24�

� +,���� �����'������������'���@���������*��,������%��,���*�������

�����*�����,�������'�(����<0�������������'�(��°�0��� ���������'�2"�/��3�#�������,�����=��3!�0����=��3�"�/K</��H�'����,���� ���0� �������,�

����������������� �����������'��,���� ���������*�����,��������3�

� ��������35� ,�����,

��:��1

��<��:�(���<�����:����/K</���

� � +�����+

��:�>,

�����,

�?<���:���<�3�"�:�� 3��H��

� � +���:�(���;��2!3�"�;�� 3��:�723�;��

� 6����������������������,����������������

� � ����:��

�>+

��<+

�?/<>/��?�:�2">��!<2"!3�"?(3��"�:��57�&���

Page 18: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)2,�

� #�������������� ����������������������'�!����H3�6'����,����������"�/��0�"��

H�,�%�,��,���*�������,��� ����,�*����4��������,�����������7�

� � #���%�,�*�������������+�:�!����H�

� � ,��;�1

��<��:�,

����3� � �

� � E������#320��,����3

�:�!"�"3!��/K</�0�,��:�"��/K</��

� � 1��<��:�!"�"3!��I�"��:�!(2"3(�/K</�����>���������*������K</��:���<�?�

� � 1��:� ���!(2"3(�������:�2�3���:��

Page 19: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���� �

��)2��

� 6� ��*� �%���,�,��,%����������/�<,������ ���%��,��"°�0����3!�/��3�6��������

,�� 0������������������3�����0�'���������,�%�� �%3�8,������,�'����������

,�� ��� �%,������������ ��6�'�7�

� � +,����������������,�,�� ���'���5���� ,��;�1

��<��:�,

����3�

� � E���������,������������

� � +����3

�:�+��;�

1��<�

���:��"�;�

�3"��������>����<!���?�

���(�:�2,)4�,°��

� � #������*������ �����������������

� � �����3

�:����>+

����3<+

�?/<>/��?�:����3!�>� �3��"<� �3�"?!3"�

� � ����������:��5�)7,�&���

Page 20: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)26�

� #�����*��������������������%��,������������������������ �������'�

�"�°�0�!���/��0��� ���*��������'���"��<3�+,�����,���������������������'�

�3�����3�$�������,������������������ �������� ��,����'��%����3�

� ,�����,

��:�1

��<��:���"�<�����:�23���"�/K</���

� +�����+

��:�>,

�����,

�?<�

��:�23���"<�3��(�:�23��H��

� +��:�+

�����∆+�:��"����23��:��42)2�<��=�4�,)4�;��

� ���:��

��>+

�<+

��?/<>/��?�:�!��>(�"3(<(�!3�"?!3"�:�27��&���

� �)�:�ρ#1�:�

#1

*�:�

��#1

)+��:�

���3�>�3��?>��"?

�3��2>(�"3(?�:�,)8�&$:���

Page 21: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ������

��)27�

� #�����������������'�����/��������� �'���������'��%�%,���,��������

����/����� ���°������,��������,�'��%3�8,������,�����������*������7�

� � #������*������ �����������������

� � +���:�+

���>�

��<�

�?>/��?</��:�� !3�"��>

���

���?�3��"2��:�� 3�2�H�

� � 1��<��:�,

�����,

��:��

��>+

�����+

�?�:��3"(!�/K</��

� � 1��:� ����3"(!�������:���4)4��:��

12

cb �

+���,��'�������������0������������������������������������ �����%�

���������%��,�,������������������������3�+���,����,����������������

�����������%���������*�����,�'�������'��%���������3�

Page 22: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)28�

� #�@����������*���'��%��'��"���<��������2"�/��0�"°���������������'��3������

%��,����4���'��%����("���<0�2"�/��0�����H3���� ��,����'��%������� ��,���3�

� � �)�:�ρ#1N������ ���������ρ�:��<)+�

� � �)�:�>�<)+?#1��:� (

2"

�3��2���2�3�"?���3����"��:��3 ! "���3����"��

� � ����:�74),,,�&$:��

� � ����:��

)�>1

4��1

��?��:��(3"""��>("�����"�?�:�2,�3�6���

� � ��6���������������������A��,�����������������������������B�%���4���

cb�

��������������������������←�������

� � +,�,�'������,�*��4������� ��������������������,�������������'�3�

Page 23: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����!�

��)35�

� #�(��������� ����������,����������'��%��'����/�<�%�����������0�����/��3�

#'����� �� ����� ���,�%��������3����3!�0��,�4���'��%����������0�� ��/��3�

-��������*����������''����� �'�� ��,����,������'�����4��� ���3�

� � $�:��3�(������⇒ Α = π(�$��:��3����"2������

� � V�*�

�:��)

ρ#�:����×��3������

�3����"2�:�23 2���<�

� � -�%�%����� ���,�4��� ��� ������������������������'����� ��'��%�

�� ��,����������� ��'��,�*������0����� �''���� ��������

� � O� ��5� � ��:��)�V

�*����;��

4�I��

)�× ��;�>�

��I��

�?�#�

� � 9� ��5� � ��:��)�× ��;��

��I��

)�× (−V

�*���?�;�>�

��I��

�?�#�

� � ��������4�:�I��

)�V

�*����I�>�

��I��

�?�#��

� � � :�I���× 23 2�I�����× �3����"2�× �����:�I25,���� � ��������

��:�I��

)�V

�*����I�>�

��I��

�?�#��

� � � :�I����× 23 2�I� ��× �3����"2�× �����:�I�83����

x

y

FFx

y

Page 24: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

����(�

��)3��

� #�%������������������/�<������ �%���������*��������'������<�,���.��������

����'��������..�3�6���� ��*�������������,������*��,�%����'���������/����

�"°�0�����/��3�-�������*������ �''������ ��,�/������������'��,�%����'��%�����,�������� �,������,���..�3���� ��,���..��4������0��,������ �

����������'��,�������� ��,�,���.������'����� ����,�� ��,�������3�

����� �)�:�ρ#V�:�#V<*��⇒��#�:��

)*<V�:��

�3������

����:��)5 × �5.,��2��

� 8)

��:��

)%��:��

)*>�

4����

��?�:��

) V4� <����

� �4�:��

���;��V

4� <�*�:�����;�����<� × ���� × �3����:��,5�&����

� ��:��) V

4�:��������:��55�����

Page 25: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����"�

��)32�

� #��������������������/�%����'��������/��� � ��,��������,����,�����..����

,�%��������3����3!�3�#���,������4����,��������2���/��0��� ��,�

�������������°�3�+,���..��������� ���������*��,�������� ��,�

�����,���������������/��3�#�������*�����'��%��,����,��,�����

�������,�*��������'��,�%������*�����,���..�3�

� #���%�����������/���������������,���������� ������'��,�����3�

6����������'��%���C�������P���������������>1��≅�1

��≅�1

!�≅��?�

� � � *>�!����

�?;�>1

!����1

��?<��;��>Q

!���Q

�?�:����

� � �!�:��

�����>Q

!���Q

�?

*�:�2�����

3��2>��?

����>�3������?�:�����/����

� � 1(�<���:�*>�

!����

(?���

� � ⇒��1(�:� �*>�

!����

(?��:� ����3��������"��3���������� :�3�)62��:���

Page 26: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)33�

� #�@������������/�''�,�������������0�����/��������������"��<��,����,��,��3��

�� ����������3�+,�4���'��%�����������H0�����/��0��,����,��,�4�����..���'�

�3(��� �����3�-������,�'���'��%������� �'�� ��,����'����>�,���?�����,�

����3�

� � Α� =

π(�$��:��32�"(���N� Α

� =

π(�$��:��3��"2����

� � *��:�

)+

��:�

�3��2��� !3�"���

�:��3�(� ��!</�N���*��:�!3(((��!</��

� � �)�:�#V<*�:�Α

�V�<*

��:�

�32�"(���"�3�(�

�:�(�3��/�<�

� � V��:�

�)*�#�

�:�(�3���!3(((

�3��"2�:��!�"��<�

� -�%�%����� ���,�4� ������������������������'����� ��'��%��� ��,����

���'��%���������� �����

� � O� ��5� � ��:��)�V

��;��

4�;�>�

��I��

�?�#

��I��

)�V

��I�>�

��I��

�?�#

��

� � ��������4�:�I��

)�V

��I�>�

��I��

�?�#

��;��

)�V

��;�>�

��I��

�?�#

��

� � � :��)�>V

��I�V

�?�I���;���:�(��>�!�"�I��"?�:����825���

Page 27: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����2�

��)34�

� #�%������������������..��������� �����,���������'�A��*��$����2"���

���%��,���'����'�B�/��� 3�+,�%���������,���..�����������������

������������ ��������,���������'�%�������*�����������J� �������3�

+,�������������"°���� ��,�%������*������� �� ������,��������3�6'�

�,�'��%��,����,��,���..�����*������� �� �������0� �������,�*��������� �

/��������������/���������'�%������*�����,���..�3�

� � ∆��:�ρ�∆Q�:��∆Q*

�:� 3��2���2"

�3�������������:��2�(3"�/�����

� � ∆����:��3��∆��:��!2�3��/�����

� � *∆��:�14� <���⇒��1

4�:� �*∆����

� � 14�:� ����3���������������!2�3��:��2)4��:���

� � 14� <��:�*∆��:��)363�&9:&$���

Page 28: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)3,�

� #�%������%�������'����,�� ����!������ �%���������°�0�����/�����������/���������'���"����������%�3�#������� �����,������ ��*��%��,��������,��������������3"�

��� ������,��3�-�����'���������� �������0��� ��������,��������%����

��/����������,����/�'���%���3�

� � 6����������'��%���%�������C����������������3�

� � � � ��:���N���V��:��N���Q

�:��N���Q

��:�A�

� � V�<��:��Q

�����⇒ �����V�:� ��Q��:� ��×� 3��2�×�"��:� 3 ��<�

� � �)�:�ρ#V�:�#V<*�:�∆�<∆��

� � ∆��:�&<*N���#�:�π$�<(�:�π�× �3��"��<�(�:��322�× ���(�����

� � ��⇒������∆��:�∆�*<#V�:�&<#V�

� � ∆��:���

�322�× ���(�×� 3 ��:�,6�)����#�:��8),3��"��

Page 29: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���� �

��)3��

� ��� ��,�4������'����,����,������'����)4�'�����������������'��%���/����

��������3�3��,�%��,������������%��������

� � � )4�:��V��I�V

V��;�V�F>���I���?#��;�>��I���?#G�

� #������,�O� �������������������'������� ��'��%�

� � � ��:�)4�;�>���I���?#����>��I���?#�;��) V

��I��

) V�

� C����������������'����,�'��%���

� � �3">�V��

�I�V��

� ?�;�*�>��I���?�:������ ⇒� V�I�V��:��*�>������?

V��;�V�

� ���������������������*�

� � � ���)�:�#�V��<*�:�#V�<*�

� ���*�'���)4�'�����,�����������������

� � � )4�:��)�>V�I�V�?�;�>��I���?#�I�>���I���?#��

� � � �����:�#�V�

*��*�>������?

V��;�V�;�>��I���?#�I�>���I���?#��

� �������������� ����������������������'������ �����

� � )4�:��

V��;�V�F��#�V��I��#V�G�;�>��I���?#�I�>���I���?#��

� � �����:��

V��;�V�F��#�V��I��#V�;�

�>��I���?#V�I��

�>���I���?#�V��

� � � � ;��

�>��I���?#V��I��

�>���I���?#�VG�

� -�%������,�'����'������������,��

� � )4�:��

V��;�V�F���>���I���?#�V��I�

�>��I���?#V�

� � � � � ;��

�>��I���?#V��I��

�>���I���?#�VG�

� � �����:��

V��;�V�F���>���I���?#�>V��I�V?�;�

�>��I���?#>V��I�V?G�

� � �����:�V��I�V

V��;�V�F�>���I���?#��;�>��I���?#G�

Page 30: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���!��

��)36�

� ��� ��,�� ��'���� �'��������������/�������,��%������������°���� �!�°�3�)�����,���%��'���������� ��4� ��� ���������3��

� � ������3���3���%�,�*�

� � � ���:� /)+�:� �3(���3��2���2!3�"�������:�33���:��

� � � �!��:�� �3(���3��2��!�!3�"�������:�348��:��

� � �����������$��4� 5�)�:��3��� �/K</��H0��/�:��3�� �

� � � ���:�� �3�� ���3��� ���2!3�"�������:�2,6)8��:��

� � � �!��:� �3�� ���3��� ��!�!3�"�������:�26�)6��:��

� � ����#����5��)�:��3�����/K</��H0��/�:��3��2�

� � � ���:�� �3��2���3�������2!3�"�������:�356)7��:��

� � � �!��:� �3��2���3������!�!3�"�������:�324)3��:��

Page 31: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���!��

��)37�

� 6'��,���� ��'��,�� ����,�� �"���� ��'����,����,������������ ��,�

%��,������°�3�A�%�'����%������,����,��������/��������7�

� � +,���� ����*��%��,��,�� ��'���� ��������>� �����?3�E��,�

'������������3��3���

� � B�:���× ��:� /)+�× ���:� �3(�×��3��2�×�� !3�"�×������×�"�:��6�����

� �

����*���!�

��� ��'����,�

���,�������,�

��� ����*��

��������/�3�

Page 32: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���!��

��)38�

� ��������,�� ��'���� �'������� �������'������3���3�"��� ��,�����

�����'����������'������0�(��°�3�E������*�������"��� �2���������,����

����������,�%��� ����3���3���3�"����,�� ������'����� �''���3���� �����

�,���%��'����,�� ��'���� ������������������ �����3�

� � ��3��3�"5� ���:�>δ�δρ?�:�>

∆�∆ρ?�

� � ����������0�(��°��⇒ �����:��3"(�2�/K</��H�

� � ���������2����0����⇒ ���*�:��3�(��"��!</�N���ρ�:��<*�:��!3222�/�<�!�

� � ���������"����0����⇒����*�:��3�"(�2��!</�N���ρ�:��<*�:���3� � �/�<�!�

� � ���:�2������"���

�!3222�����3� � �:�!�(3"��×����������⇒ ��:��53)7��:��

� � �����+����#3�5������:��!!�3"������!"3!

"��:��3��"��/K</��H�����

� � �*�:������)�:��3��"��I��3(��"�:��3��!2�/K</��H�

� � /�:���<�*�:��3���N����)�:��3(��"�/K</��H�>'����#3"?�

� � -�%� ���,��� ��'���� �'������3��3���

� � ��:� /)+�:� �3������3(��"���2!3�"�������:���32)���:��

Page 33: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���!!�

��)45�

� +,�� ��'���� ��������� �%��������"������������"����<3���� ��,�����������

������� ����������'�������:��3��'��%�����"��0�����/��3�6����������������

������'���������,�������'��%��'������ �%���7�

� � � V :�����:��3����"���:��"���<�

� � � ,��:�,��;�V��<���

� � C����������35����∆��:�V��<�*�:�

�"��

��×��3����:���3�"�× �������:���3�"�����

� � � ���:����;�∆��:�����;�����"��:����3,5�&���

� � � +��:�+��;�V���<�����:��"�;�

�"��

���(����:�26)6���

� �

� )���/5�-������,�*���,��,�����3�+�������,��,��*������������ ���,��,��

�����������������,�'��� 0��,���������'�����'������������'��%����3�

Page 34: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���!(�

��)4��

� #����*�������..��,������������������'��3������� ����*���������2"�/��0�

�����H�'��%����%��,������<3�8,������,����/�������,���%������� ����,�

��4�����'��%������� �'�� ��,���'��%����7�

� ��R

���:�>

/;�?/

/���:��3"����� ��������������)�����

� � ��� ���5��

� � ,��:�,��;�V��<��:���(�3���;�����<�����:���"�3���/K</��

� � +��:�+��;�(3(�:����(3(�H���'���������#32�

� � ���:����>+�<+�?/<>/��?�:��2"����>���(3(<����?!3"�:��2232��/���

� +,����'��%���������'�����,��,�������������

� � �R�:��3"������:��3"�����2232��:�83)73�&���

� � +R�:��3�!!!�+��:��!�3 2�H�

� � ρR�:��R

)+R�:� !3�!

�3��2���!�3 2�:��3! ���/�<�!�

� � 1�:���:� /)+R��:� �3(���������3��2���!�3 2�:�,68)8��:��

� � �)�:�ρ#1�:��3! ���×��3��×�"2 3 �:�22)�,�&$:��

Page 35: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���!"�

��)42�

� #����*����� �*�������..��,�����,����������'����������� ����4��������'�

�2"����3�+,������'��%���,��������������������������'������0�����������

����������'�!2"�H3�8,������,����/�������,���%������*��������� ���������

�,��,����0������������*��%,���7�

� �����,��'��%�%�,�*�,�����%��,�/A�:��3��20���%�����������,������'������3�

� 8�� ��,�������������,����*����� ���������3���3�!3��������������'��%�����,�

�,�����%�,�*�'����+������3�������������

� � � �R�:��3(��2����:�(��32�/���

� -�%�%�� ����'�� ��,���� ������%,���,�������������

� � � #�<#R�:��2"<����:��32"�

� �,�������*�'����������3���3(!���*���,����������3�+,���������������%�,�*����

�����������3�A��>/;�?<�>/��?�:��������/�����������3���3���'����,�������,��3�

� � ��:��3(��⇒���#<#R�:�>�<�3(?�F��32">��;��3!!!!R�3(�?�G��:��3"����

� � ��:��3!��⇒���#<#R�:�>�<�3!?�F��32">��;��3!!!!R�3!�?�G��:��3 � ��

� � ��:��3!"��⇒���#<#R�:�>�<�3!"?�F��32">��;��3!!!!R�3!"�?�G��:��32(���

� � ��:��3!(��⇒���#<#R�:�>�<�3!(?�F��32">��;��3!!!!R�3!(�?�G��:��32�((�

� -�%� �����������������������'����,����������������:��3!(��N���

� � ��3���3!"����������<���:�F��;��3!!!!R�3!(�

��G��3"�:���3 �"���

� � � � ���:��3 �"� × �����:�85��&�����

Page 36: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���!��

��)43�

� #�@����������*���,����,��,�����%��,���� ��'������/�<,������������� ��'���

/�0�%,���,��������(��/����� ��,������������−��°�3����� ���,������ �''����'��,������%,��������*�%��,���*��������'������<3�$�������,�

������� ������������*�����,� �''��0��� ��,��������'���������4��������'�

�,� �''��0���������,�'��%�������*������� �� �������3�

� �� 1�:������/�<,�:��223���<0����*��:�)+<��:��3��2 × ���3�"<(��:��3�2(��!</��

�� � ,��:����3(��/K</�0����

� �� ,���:����3(��;��223��<�����:�!��3�2�/K</��

� � � � ⇒��+���:�� 32�H0���

� � ����:��

��>+

��<+

�?/<>/��?�:�(���>� 32<���3�"?!3"�:��(32���/���

�� � �

� �� ,��:�!��3�2�������<�����:�� "3�2�/K</�� ⇒����+

��:�284)6�;0���

�� � ���:��

���>+

�<+

��?/<>/��?�:��(32����>� (32<� 32?!3"�:����&����

�� � *��:��3��2 × � (32<���:��3!����!</��

� �� #�<#

��:�>*

�<*

�?>&

�<&

�?�:�>�3�2(<�3!��?>���<�223�?�:�5)476��

Page 37: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���!2�

��)44�

� #�����4��� ��������..��'���������������������'������0�����H������

���/������'��3 ����3�6'��,�4����������������������3��!���0�'�� ��,�

���'��%����3�

� +,��������� ����������� ������*�����'��%3�

��� � ��<�

�4�:��3 <�3��:��3 "��� ⇒��+����#3��5� �

��:��3������

�� � +��:�>+<+

�?��+

��:��3 �"(������:�" �3��H���

�� � ���:� /)+

��:� �3(���������3��2��" �3��:�(�23(��<��

�� � V��:��

����:��3��� × (�23(�:��!�3���<��

� � *���:�)+<��:��3��2 × " �3�<� ���:��3�� !��!</���

�� � �)�:�#

�1�<*

��:��3���(!" × �!�3�<�3�� !�:�3),���&$:���

Page 38: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���!��

��)4,�

� #���'��%�����������*����� �*�������..��%��,����4��������'��3" ������,�

�,����������'��3��"���3�+,���������������������������0�����H3���� ��,�

���/������,���%���������������'��%��,����,�����,��������..��%��,���:�

������,��,����3�8,������,����'��%����7�

� +,��������� ����������� ������*�����'��%3�

� � � #�<#R�:��3" ���� B��/�����������+����#3���>��D��?�

� � � ���:��3(����� ����

�<�

��:��3� "��

� � � ���:��3� "���

��:��3� "��������:�78��&���

� +��'�� ��,����'��%�����%�� ��,��,�������� �����0��+������3�0�

� � � +R�:�+��

/;���:�������3�!!!�:�"���H�

� � � *R�:�)+R<�R�:��3��2��"���<�"��3!�:��3�2����!</��

� � � �R�:� /)+R�:� �3(���3��2��"���������:�((�3����<�

� � � �)�:�#R�R<*R�:�

�3��"��((�3���3�2��

�:�7)2,��&$:��

Page 39: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���! �

��)4��

� #���'��%�����������*����� �*�������..��%��,����4��������'��3�������,�

�,����������'��3��"���3�+,���������������������������0�����H3���� ��,�

���/������,���%�����������*�������������4���'��%�%��,���:�������,�

�,����3�8,������,����'��%����7�

� +,��'��%������ �������3��3�2��,�������*�������������'��%3�

� � � #�<#R�:������+����#3�����>��=��?�

� � ��⇒��������:��3����� ����

�<�

��:��3� ! �

� � � ���:��3� ! �������:�84�&���

� +��'�� ��,����'��%�����%�� ��,��,�������� �����0��+������3�0�

� � � +R�:�+��

/;���:�������3�!!!�:�"���H�

� � � �R�:����

/;�

/

/���:������>�3�!!!!!?!3"�:�"��3!�/���

� � � ρR�:��R

)+R�:�

"��3!

�3��2��"���:�!3����/�<�!�

� � � �)�:�ρ#V�:�ρR#R�R�:�ρR#R� /)+R�

� � � ����:�!3������3��"� �3(���3��2��"���������

� � � ����:�7)2,2�&$:��

Page 40: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���(��

��)46�

� #�����4��� ��������..��'���������������������'������0�����H0������������

������'�����/��3�+,����'��%�������,����,��,���..����"�/�<3�#����,�

'��%����*������� �� ���������� � �������,��,������� �4�������'����,�

��..�3�

&������

$����#��

���,�S

�3����� �3������ �

�R�:����

/;�

/

/���

�����:�����3"��!�:��3�"�������

+R�:�+� ×

/;��:�������3�!!!�:�"���H��

*R�:�)+R<�R�:��3��2 × "��<��"�������:��3�!" ��!</����

� � �

� � �R�:� /)+R�:� �3(���������3��2��"���:�((�3���<��

��� � #R�:��)*R<�R�:�"���3�!" <((�3��:�5)55�,2��2��

��� � ��<�

��:����<�����:��3���� ⇒��� �R

��:��32���:�1

�<�R�

� � �������%��,����,���3��� �����,������ ��'���� 3�

���� � 1��:��32�� × ((�3��:�2��3(��<�

� � +��:�+

��>+

�<+

�?�:���� × �3"�2��:�!��3"��H��

�� � *��:�)+

�<�

��:��3��2��!��3"�<����:��3(("���!</���

�� � #��:��

)*�<1

��:�"���3(("��<�2��3(�:�5)55282��2��

Page 41: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���(��

��)47�

� #�������"��/��0�� ��H�4��� �����,������,���������/����,����,������*�����

��..��%��,�4��������'��3�����3�#������� �����..�3�8,������,�������

�����������'��%������'��,�'��%������ �����������7�

� � +�:�+��>���?/��

/ �:��"�3���H�

� � 1�<��:�,����,�:����>+����+?�:��3��(�>� �����"�3��?�:�!�3�!�/K</��

� � 1�:��"�3!��<N����*�:�)+

��:�

�3��2���"�3�����

�:��32(����!</��

� � �)�:�#1�<�*�:�

�3�����"�3!�32(�!

�:�!3(�/�<�

� � 6�������������%5��*��:�)+<��:��3��2��� �<�"��:��3""(�2��!</��

� � 1�<��:�*�∆��:�*

��>������?�:��3""(�2�>�"�������?�:��232(�/K</��

� � :=���1�:��!"��<����:=�����)�:�#1�:�*��:��3�����!"�<��3""(�2�:�(3�!�/�<�

� ��)�����������

�)��������

�:�(3�!

!3(�:��3�"� � ������2,>��'� ���"���"��)�

Page 42: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���(��

��)48�

� #����*����� �*�������..��,�����,����� �������'��3�"����� ����4���

�������'��3���3�+,����������������������"���/��0�"���H3���� ��,����/�

������,���%������ �����,���4�����������'��%������� ��,����'��%�����

'����,�� �''��������5����N�,� ��������������� ��4� 3�

� � +,��������4�����������'��%�%,����:�������,��,����0�

��� � +R�:��

/;��+

�N����R�:��

��>

/;�?/

/��N���ρR�:�ρ��>

/;�?�

/�����

�� � �)�:�ρR#R&�:�ρR#R��:��R#R /<)+R���

��� � #R�:�π$�<(�:��3��� �!������

� � � /� +R� �R� �� ρR� �)���

� � �?� �3(��� (��32� ��(3�� ((�3��� �3�� �� �3 ((���

� � �?� �3(� � (�"3�� ��!3(� �2�(3"� �3�"(� �3"�"����

� � �?� �3�� � (!�3 � �2!3 � !(�3 �� !3!��� �3�2!����

� � #�<#R�:�>$

�<$R

?��:�(3�+,���������������������������� �������������

� ���� � �������3���3�!��� ����3���3�23������,�%�,�*�

� � � ������������������� � �����������������

� � ������������ �������������

�<�

�� �����������

�� �������������

�<�

����

� � �?� �3�(���� �3 �"� � �3 (�� � �3�� ����

� � �?� �3�(�(�� �3 �"� � �3 "�� � �3�� !���

� � �?� �3�(�!�� �3 ��� � �32"2� � �3�!�2����

��

��� � �C�:��

��≅��3 �"�×�"���:�( �3"�/�������������������

��� � �?�� �C�:��

��:���3�� ���"���:��(3 �/��0�������� ���� �

� � �?�� �C�:��

��:���3�� !��"���:��(3�"�/��0�������� ���� �

� � �?�� �C�:��

��:���3�!�2��"���:����3!"�/��0�������� ��

Page 43: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���(!�

��),5�

� #���..���� ��� ���������*������ ��������'��%�%��,����4������,�

�������'��3��%,���'��%��������%��,�������������������� �����������'���

������ ��"�°�0������*��3�+,����'��%�������"�/�<0��� ������������ �

������3(���� ��������3�$�������,�4�������0���������0�4������0��� �

�,��,��������3�

� � �����+����#3��5�� ���:��3��

� � ���:��3� × �3�"����:��3���������

� �����������������'����+������3��

� � +R�:�(�!3�" × �3�!!!�:�3,2)6�;�

� � �R�:��3� × �3"��!�:��)5,6�����

�� � �R�:� �3(���������3��2��!"�32�:�!2�3"��<��

�� � *R�:�)+R<�R�:��3��2 × !"�32<��"2�:��3� "���!</���

�� � #R�:��)�*R�<��R�:�" × �3� "��<�!2�3"�:��)262�×��5.3�2��

� � #��:�#R�>#

�<#R?�:��3�2� × ���! × �3� ��:�3)�7 × �5.3�2��

�� � +��:�+

��>+

��<�+

�?�:�(�!3�" × �3(�"�2�:��2 3 �H��

Page 44: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���((�

��),��

� #����!������� ����/���������������������0�"���H3�+,����/�����%� ��,��� �

�,����,�����������*�������..������,������,���������/��3�+,���..��,��

���4��������'���×���−"���3�

� � �3������ ��,������������'��%����������'��,����/3�

� � �3������ ��,����'��%�����%,��,��'��,����,����� ��,��� 3�

�3� +,����/�����������5�

� � �C<�

���:����<�����:��3��D�>�R<�

�?�����:��3"��!�

� ���,���������'��%����,�/ �%��,��,���4�����������'��%����3�

� � ���:���N���

��:��3"��! × �����:�"��3!�/����

��� � +��:�+R�:��3�!!! × "���:�(��32�H��

��� � 1��:���:� /)+R�:� �3(���������3��2��(��32�:�(!!��<��

�� � *��:�)+R<�

��:��3��2��(��32<"��3!�:��3�"!"��!</���

� �� �)��:�#&

�<*

��:�� × ��−" × (!!<�3�"!"�:��3�!(��/�<��

�3� +,��������������

� � ���:��

�&<)+

��:����� × �<>�3��2 × "��?�:��3����/��

� %��,��������������������:��

�<��:�!3����/�3�

#������� ���������*�����4��������'��,�����,�������������,����/3�

�� � ���:��

�>*

�<*

�?/�:���� × �3"�3(�:�!2�3 �/����

�� � +��:�+

�>*

�<*

�?/���:�"�� × �3"�3(�:�(�(�H��

� +,����������������������,�������������� ��,�'��%��,���,�/ 3�

�� � �C<�

���:����<!2�3 �:��3��(�D��>�R<�

�?�������

� ��� ���:���N���

��:��3"��! × !2�3 �:����3��/����

��� � +��:�+R�:��3�!!! × (�(�:�!"!32�H��

� ��� 1��:���:� /)+R�:� �3(���������3��2��!"!32�:�!22��<��

�� � �)��:�#1

���<)+

��:�

����">!22?>���3�?�3��2>!"!32?

�:�5)5�48�&$:���

Page 45: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���("�

��),2�

� #����,�������/��� ���� ��������������������3"�3�#'������'��%�����

�,���..��'��%��,������������������3���� ��,��������,����/��� ��,�

���'��%�������������,���������3�

+,��������������

� � ���:��

�&<)+

��:����� × �<>�3��2 × "��?�:��3����/��

+,�'��%��,��������������%,���,���������������,���������3�

�� � �C<�

�!�:��3"��!��⇒���

�!�:��� 3!�/����

� �� *�<*

!�:�>�

�!<�

�?�</�:�>�� 3!<����?�32�(!�:��3!�(���

�� � �!�:��

�*�<*

!�:��3��� × �3!�(��:��)78,�&$��

� �� +!�:�+

�>*

�<*

!?/���:�"�� × �3!�(��3(�:�!(��H��

�� � ���:��

C�:�����/���N����

��:����

� �� +��:��3�!!! × !(��:�� ��H��N���1

��:� /)+

��:�!(�3(��<��

�� � �)!�:�#1

���<)+

��:�

����">!(�3(?>���?�3��2>� �?

�:�5)5572�&$:���

#6)

��

��

Page 46: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���(��

��),3�

� #����!��������� ����/���������������������0�"���H3�+,����/�����%�

��,��� ��,����,�����������*�������..������,������,���������/���%,���

,�������'��'������������/���,������������������,����/����"���H3�+,�

��..��,�����4��������'���×���−"���3�

� � �3������ ��,������������'��%����������'��,����/3�

� � �3������ ��,����'��%�����%,��,��'��,����,����� ��,��� 3�

� ������3� �������������������3"���?�

� ������3� ���������������3"���?�%�,�*����:��

�<��:�!3����/��

� �� ���:��

�<��:�"���/���N��+

��:�+

��N� �

C<�

��:����<"���:��3��D�>�R<�

�?�������

� � +,�'��%����,�/ ��� ��,�*��������5�

��� � +��:�+R�:��3�!!! × "���:�(��32�H��

��� � 1��:���:� /)+R�:� �3(���������3��2��(��32�:�(!!��<��

�� � ���:��3"��!��"���:���(3��/���N����

��:����

� �� �)��:�#1

���<)+

��:�

����">(!!?>��(3�?�3��2>(��32?

�:�5)5�657�&$:���

#6)

�� ��

Page 47: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���(2�

��),4�

� #����,�������/��� ���� ��������������������3"!3�#'������'��%�����

�,���..��'��%��,������������������3���� ��,��������,����/��� ��,�

���'��%�������������,���������3�

+,��������������

� � ���:��

�&<)+

��:����� × �<>�3��2 × "��?�:��3����/��

� ���������%��,��������������%,���,���������������,���������3�

� �� �C<�

��:��3"��!�N����

!�:��

��:��

C<�3"��!�:����<�3"��!�:��� 3!�/����

�� � �!�:��

��!<�

��:��)�67�&$�N���

� � �+!�:�+

�������

��� �+��:�+R�:��3�!!! × "���:�(��32�H��

��� 1��:���:� /)+R�:� �3(���������3��2��(��32�:�(!!��<��

� �� �)!�:�#1

���<)+

��:�

����">(!!?>�� 3!?�3��2>(��32?

�:�5)5�224�&$:���

Page 48: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���(��

�� �������#&��

��),,�

� +,���� �����'��������������������*�������..���'���@������������������

������'���"�/��0��� �������������������'��"�°�3�+,������,���������

��("�/����� ��,�'��%���� �������0�%��,��������'��"�/�<3�$�������,�4�������

�'��,���..�3�

� � +,��������������5���������:����:���" × �3"��!�:��� /���=��������

� � +,�'��%����,���,�/ 3� +��:� �!3�" × �3�!!!�:�2� 3!�H��

� �� V��:����:� �3(���������3��2��2� 3!�:�""���<��

�� � *��:��3��2 × 2� 3!<���:�!3!("!��!</���

� �� #��:��)*��<�1��:��" × !3!("!<""��:�5)�,54��2��

Page 49: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���( �

��),��

� ���� ���,���..���'����������3(2��� � ������%,������/������%����

�������������,��/������� �����,�4���������'��,���..�3�+,���������������3�

��3�23�8,������,����'��%������� ���,���� �����7�

� �

� 8������*�����'��%��������,�,��/� �

��� � +����#3��5����������<�

��:����<�����:��3��N���

��:��3�" ��:��

4��

��� � �,��/�'��������+����#3�!5� ������:��3""� �N������

�<�

4�:�"3�2"���

�� � �C�:��

��:�"3�2" × �

4�:�"3�2" × ����:��5,,�&����

�� � �)�:�,�&$:�����������������������3(2�������:�������,����3��

Page 50: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���"��

��),6�

� #��%,������,�������%�����,��������,��/�����������,���..���'��������

��3( �'��%����%��,������'��,����/��������,��'%�����%���,�����������

�� ���������3���3�27�

� ��������������'�� ��,��%��������,���%������*�4���������� � 3����������������3���?�

��� � #�<#R�:�>$

�<$R?

��:�(�������⇒�����������

��:�( �3"�/���>�?�����������(3 �/���> ?��

�� � ���:�>( �3"�;��(3 ?<��:��"!32�/����

�� � #�����4�:��3(��⇒���������:��3"�!��N��������

��<�

�4�:��3"(��"��

� �� #4<#R

4�:��3(�!��N������#

4<#R

��:��3� ����

� �� #�<#R

��:�>#

�<#R

4?�>#

4<#R

�?�<�>#

4<#R

4?�:�(���3� �<�3(�!��:��3���"��

�� � ⇒��������:��3���2�N������

�<�

���:��3 (�2"��

�� � ���: >��<���?�>���<��4?���4 : �3 (�2" × �3"(��" × "���:��""32 /����

� ��� �

� � )�����'���4�:��3"������⇒����������:��!!3��/�����

��� � 6����������������,��,� �� ��������:=�����4�:�2)4����

Page 51: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���"��

��),7�

� +,���..��������������3"��%����,�*����,����������'��3����2������� ����4���

�����3� ������������3��������,����/����������� �����3(������� ��,���

�,�'��%����������������4����'������������,��/�%�*3�&��'���,����,�,��/�

���,�������>�4?�������������� �'�� ��,�4������,������0��,����������

�� ��,����'��%������,����,��,���..�3��

� � >�?� �����+����#3��5�� ���:��3��

� � ���:��3� × �3�"����:��3���������

� � +R�:�(�!3�" × �3�!!!�:�3,2)6�;�

� � �R�:��3� × �3"��!�:��)5,6�����

�� � �R�:� �3(���������3��2��!"�32�:�!2�3"��<��

�� � *R�:��3��2 × !"�32<��"2�:��3� "���!</���

�� � #R�:�" × �3� "�<!2�3"�:��)262�×��5.3�2��

� � #��:��3�2� × ���! × �3� ��:�3)�7 × �5.3�2��

�� � +��:�(�!3�" × �3(�"�2�:��2 3 �H��

� � #����4�:����,��

�� � ���:��3"22!"0����

��<�

�4�:��32����0���#

�<#

4R�:��3� ���

�� � #4<#

4R�:��3��2"0��#

4<#

�R�:��3���"0���

� � #�<#

�R�:��3� ����3���"<�3��2"�:��3� ���

��� � ⇒������:�5)2830���

�<�

���:��3 (�2����

� �� ���:��3 (�2� × �32���� × �3��:��3!"2����0��1H��

�� � +��:��3 �� � × (�!3�"�:�4���;0�����

)�:�,�&$:���

Page 52: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���"��

��),8�

� ���� ���,� �''����'�����������������'��'�����������=��3(������,���������� ��,����,������������−��°�0��� ��,������,�����������"��/��3����� ��

�%��������%������%,��,��,� �''������,�������0��� �'�����,�������������

�,��,�������������� �'�����'��%��'�"��/�<3�

� �3���+,� �''������������*������ ��������%��,��������4���*������3�

� �3���#��������,��/���� �����,������������,� �''��3��4����'����,��������

,��/��,�'��%����*������� �� �������0��� ��,�4���*���������������3�

+,����,�%��������3����3" 3��

� � �����

� �3� #��������*����� �*����� �''���%��,���=�������,��,����3�� � )�����,��������������,����������

� �� ��<���:��3!�(�(�N���R<����:��3"��!���

�� � �R�:��3"��!

�3!�(�(�"��:��(�/���N��+R�:�

�3�!!!

�32��! N��"!3��:�� !32�H��

�� � �R�:� /)+R�:� �3(���������3��2��� !32�:�!(!3"��<���

� �� *R�:�)+R<�R�:��3��2 × � !32<�(�:��3��!"���!</��

�� � #R�:��)*R<�R�:�"� × �3��!"<!(!3"�:�5)�4����2��

� ������3� #�����,�,��/�%�,�*�

��� � ���:��32! 2�N����

��:�"����3���:�����/���N���

����� � +��:��"!3� × �3�"(2�:�!�232�H��

�� � �R�:��3"��!

�3� "�������:���3��/�����

� �� +R�:��3�!!!

�3 �����!�232�:�� !32�H0����R�:�!(!3"��<���

�� � *R�:��3��2 × � !32<��3��:��3�("���!</��

��� � #R�:�"� × �3�("�<!(!3"�:�5)�,22��2��

Page 53: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���"!�

��)�5�

� ���� ���,���..��������������3(��'��%�������3�8,���,��� ��,����/�����

��'������������,��/������� �����,�4�������7�+,���������������3��3�23�8,���

���,�4���*��������'����,�,��/7�

� )*�����'��%��������,�,��/�%��,���:�������,��,����3�

� � �4���:��

�0���+

4���:�+

�0�������#

�<#R�:��2"�<�����:��32"�

� � +����#3��5����������:��

4�:��3�(�0�����

4<�

4���:��3��0��+

4<�+

4���:��3"("(�

� -�%�%����� ���,��������,��/�'����+����#3�!�

� � �4�:��3�(����⇒�����

��:��3"2�(0����

�<�

4�:�(3� �(0���+

�<+

4�:��32�� �

� � +��:��32�� �+

4�:��32�� ��3"("(�+

4���:��32�� ���3"("(��!2"�:�!"�3��H�

� � ���:�(3� �(��

4�:�(3� �(���3����

4���:�(3� �(���3���������:�"�!3��/���

� � V��:�������:���� /)+��:��3"2�(� �3(���3��2��!"�3���������

:��3"2�(��!2�3��:�2�4)���:��

� � �

A *

M M x y

A E �

Page 54: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���"(�

��??���%�*"����� �%������ "�"#���

��)���

� #�����4��� ��������..��'����2���/��0����°�0�����"��/����������..��,�*�������''��������'� �J3�+,����'��%�������(�/�<3�$�������,�4��������'��,�

��..�0��,�4���*������0��� ��,��������'�����������/���������'����3��������

�,������%��,��,���'����*������ ����������..�3�

��� � +��:�+

�>�

�<�

�?>/��?</�:�(2!3��>�"�<2��?�3����:�!�(3��H��

� �� 1���:�� × ���� × �3��(>(2!3����!�(3�?�:�!!�(����K</��

�� � 1���:��3 × !!�(����⇒��1

��:�,,2��:����

� �� ,��;�1

��<��:�,

���⇒��+

��:�+

����1

��<��

���

�� � +��:�(2!3����""��<>��×����� × �3��(?�:�!��3(�H�N���

� ���� *��:��3��2��!��3(<�"��:��3��( ���!</��

�� � #��:�( × �3��( <""��:��3��((�����:�44�5���2��

� �� � �

��:��3��!"���

!��3(

(2!3�����3��2���

�"�

2���:�5)5,38�&9:&$�;���

Page 55: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���""�

��)�2�

� )�������������3(!���������� �''���''��������'���J3�

� �������������������3(!0�4����

η$�:��3��3�8��,��,�*�'������3(!�

�������,!���,

,�����,

�:�,!������3(�

!��3�2������3(��:��3��

��������������⇒��,!�:�� �3!"�/K</�0��+

!�:�� �3 �H�

������������:��

!�:��

� (Τ

!/Τ

�)/<>/��?��

��������������:�(��>� �3 <���3�"?!3"��:�" 3���/����

h

0102

3

1

2

s �

� � +���:�+

���:�� 32�H���

�� � ,��:�!��3�2�������<�����:�� "3�2�/K</��������⇒��+��:�284)6�;0����

�� � ���:�����>+�<+��?/<>/��?�:�" 3�� × >� (32<� 32?!3"�:�,,)�7�&����

�� � *��:��3��2 × � (32<""3���:��3"� ��!</��

�� � #�<#��:�>*�<*�?>&�<&

�?�:�>�3�2(<�3"� ?�>���<�223�?�:�5)444��

Page 56: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���"��

��)�3�

� #��������� �''���%��,���*��������'������<0���������������'�2��/��0��� ���

����������'�−�°�3�+,�*���������*�����,� �''���������<��� ��,�������

���������,� �''���4��������/��3�$�������,��������������������,�

�''���4����� ��,� �''���''������3���������,��������������������,�

������� ��,�4��3�

�� � +���:�+

��;�1

��<��

��:���23�"�;�����<>���� × �3��(?�:���23��H��

� �� +���:�+

���⇒�+

��:�+

�����1

��<��

���:���23�������<>���� × �3��(?�:���"3!�H��

� � �+�����+

+�

�:�/��

/��������

��

���� ��⇒�����������

��:���3�"��⇒���

���:���3!�/����

�� �+�����+

+�

�:�/����

/��������

��

��� ��⇒�����������

��:��322��⇒���

���:���3��/����

� �� +4

�:�+��>�

��<�

�?/��</�:���23�" × �3�("(�:�268)3�;��

���� ������������η$�:�

+4

���+�

+�����+

�:��2 3!�����23�"

��23������23�"�:�5)�57��

Page 57: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���"2�

��)�4�

� ����������������'��������� �����������'�(��°��4��� ��������..�������������'�����/��3�+,���..��''��������� �J��� ��,����'��%����������

/�<3�$�������,���..��4��������� ��,�4���*������3�

����� ���,�� ����*������ ����������..��

�� �:�

�:�23(�"��/K</��H0���,

�:�!��!3 �/K</��

� ��⇒���+��:�� �3(T��N���,

��:���"��/K</��

-�%��,����������..���������������� �

�� ,����,

����:�η

$>,

����,

�?�:��3 >!��!3 �����"�?�:�!2�3��/K</��

�� ,���

�:��� �3!�/K</�0���+��:����3 T�0���*

��:��3������!</��

�� 1��:� ����>!��!3 ����� �3!?�:�7�2��:���

�� #��:��

)*�<1

��:��� × �3����<����:�5)5�273��2���

Page 58: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

���"��

��)�,�

� #�,���� � ����'������ ����������,�'��%��'�������������3�+,�����

����������������� ��,� �������'��,����'������"���3�E�������'��,�

���'��0��,����������������"��/����� ��,������������!"°�3�+,������ ����������,����'������"�/��0��� ��,���''�������'� ��,�������3��3�

$�������,����'��%���������,�������3�

�� ∆+�:�+�

/��

/

∆���

�:�!��3�"���3(

�3( ×

�"

�"��:��3��H�

�� *��:�)+

�<�

��:��3"� ���!</���

�� ��:��!"�/��0��+

�:�� 3!"�H0��*

�:��3�!�(��!</��

�� �)��:��

)��⇒�����V

��<�V

��:��>$

<$

�?��*

�<*

�:��3�"2 ��

�� ,����,

�:�V

�>�����3�"2 �?<��:��

�>+

����+

?���

�� V��:� ����������3��(���3�<>�����3�"2 ?��:��!!3���<��

�� �)�:��$�#V<*�:��3���>π<(?�>�3��"?���!!3��<��3�!�(�:�5)5�3�,�&$:���

Page 59: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ���" �

��)���

� #������������..����� �'����,������������������'��,�'��%������'����3�

�4,����'����������������� ���� �%��,���������������������"�°�������������������'�����/��3�6��'��%��,����,��,���..��%��,��,����������'�2����������

�������'���������%�3���� ��,�� ��������������,���%������ �������������

'��%�����,���..���� ��,����'��%����3�

�� �R�:��3"��!����:�,2)73�&��0��+R�:��3�!!!�+

��:��� 3!�H��

�� *R�:�)+R<�R�:��3��2���� 3!<"�3�!�:��3(�!��!</��

�� �R�:� /)+R�:� �3(���������3��2���� 3!�:�!��3 ��<��

�� �)�:�#�R<*R�:�2�� × ���� × !��3 <�3(�!�:�5)�,6�&$:���

Page 60: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)�6�

� ������������/��0�!"�°��'��%��,����,������*����� �*�������..���,���,�����,����������'�!"�����3�+,����������,�4�����������"��/����� ��,�4���

*��������������<3�+,�'��%�'�����,���..�������������,��,��������*�����

�� �� �������3�$�������,�4��������'��,���..�0��,��*�������..��''������0�

�� ��,���������������������,�����3�

�� ,���:�!���32�/K</�0��

���:�23(�� ��/K</��H�

�� �R<����:�>�<>/;�??/<>/��?�:��3"(� �⇒���R�:�(!�32�/����

�� #��R5��>�R0R�:���?��⇒��,R�:�� 3!�/K</�0�*R�:��3"��2��!</��

�� ∆�,�:�1�<���⇒��1R�:� ����>!���32�� 3!?�:�"� 3 ��<��

�� �)�:�#1R<*R�:�!"��×����� × "� 3 <�3"��2�:��3!"�2�/�<��

�� ,�:�,

�����1

�<��:�!���32�������<� × �����:���(�32�/K</��

�� �4��5���0�,

5���*

�:��3! "��!</�0���

�:�23"2��/K</��H��

�� #�:��

)*<1

�:��3!"�2���3! "<����:��)��,���5.4��2��

�� ��

�:����

���:�23"2����23(�� �:�5)��6�&9:&$�;��

Page 61: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ������

��)�7�

� ������������/��0�!��°����' ���������'����*�������..�����������������3�

+,���������..��4����������3��"������ ��,��,�*��� ��,������''�������'�

�3 (3�+,����'��%�����,��� �������� �'�����,����������'��,�

����� ����������,���..�0�%,��,������� ����������/��3�$�������,�

���'��%����3�

�� 6����C3�3!�����,��:�!���3��/K</�0��

��:�23!2�(�/K</��H��

� �4��5�>�0�

0?������

�:��

��I�����:�(���/��0���

0�:�

��:�23!2�(�/K</��H��

� � ⇒��,0�:�� ���/K</������ ���*

0�:��3" !���!</�0����

�� ��10�:� �������>!���3����� ��?�:�((�3""��<��

�� ���)�:�#1

0<*

0�:��3��" × ((�3""<�3" !��:�!32���/�<��

� ��)��:��

$�)�:��3 (��!32���:�3),,4�&$:����

Page 62: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)�8�

� #����*�������..����� ����������,�'��%��'���������������3�+,�

�����,�����������/��0��"°�3�+,���..��� �,�����������������'������

������ ��,���''�������'� ��,�������3 "3�#������ �''����������,�

��..�������� �����3"�/��3���� ��,����'��%�����������������������

'��%3�#���'�� ��,����'��%���������������������� ��������'��%3�

� #���1��≅��0����*

��:�)+

�<�

��:��3��2 × � �3�"<����:��3�""2��!</��

�� 10

�<��:�,����,

0�:�*

�>�

�����

?�:��3�! !�/K</���

�� 10�:� ����������3�! !�:��"3(���<���

�� �)�:�#1

0<*

��:����� × ���� × �"3(�<�3�""2�:��3�"!�/�<��

�� �)��:��

$�)�:��3�("(�/�<���

�� +0�:�+

��>�

<�

�?>/��?</�:�� �3�"> 23"<���?�3��"2�:�� ��H��

�� ∆,�:���∆+�:��3��!" × �3�"�:��3�"2"�:�1

0�<����

�� 10�:� ����������3�"2"�:��"3� ��<���

�� *0�:��3��2 × � �< 23"�:��3�2�!��!</��

�� �)�:�#1

0<*

0�:����� × ���� × �"3� <�3�2�!�:�5)�,57�&$:���

�� �)��:��

$�)�:�5)�433�&$:����

Page 63: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����!�

��)65�

� +,���''�������'� ��,�����'���,���� � ����'����� ����� ����������'�

��� ������������'���������������������� �������3�+,����'���,����

�������'��������� ��,����� ��������"����3�+,���������������

�����������/����� ��,������ ����������,����'������������'�������3�

+,�����������'��,�������������,����'������"°���� ��,����'��%�����

���� �%��,��,�����������3(�/�<���3�8,������,���''�������'� ��,����

�'��,����'�������,���� �����7�

�� ∆��:��� × ���3!�"<2���:���3 !�/�����

�� ∆+�:�+��

/��

/�∆�<�

��:�� �3�" ×

�3(

�3( × ��3 !<����:�(3����

�� *��:�)+

�<�

��:��3(�2���!</�0���*

�:�)+

<�

�:��3((""��!</���

�� 1��:�1

#*�<#

�*�:��3�"!��1

���

�� >1����1

��?<��:�1

�>�����3�"!��?<��:�,

����,

�:��

�∆+���

�� 1�:� ����������3��(��(3��<>�����3�"!��?�:� 23 ��<��

�� �)�:�#

1<*

�:�

π(

× �3��� × 23 <�3((""�:��3�� �/�<��

�� �$�:��3(<�� × �3�� �:�5),7��

Page 64: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

����(�

��)6��

� #����*�������..��%��,�4��� �������'������,��������������'��%��'���°�0�����/���>������������� �����?3�+,���..��,��������������''��������'� "J��� ��,�

����� ���������� ����"�����%����������3���� ��,����'��%�����

����������������� ��������'��%3�)����������������'��������������'��%3�

� � ���*���∆�����/��5�

� � ∆��:�"�����A�1�:��3"�×� 3���(�:�(3 �!�/���

� � +��:���°��:�� !3�"�H�� �

��:�����/���

� � #��������&��:��� � �

�:��

����∆��:�������(3 �!�:� �3� 2�/���

� � +�:�+

��>�

��

?/��

/ �:�� !3�"�×> �3� 2

���?�3��"2�:��� 3���

� � 1�<��:�,

����,

�:��

��>+

����+

?�:��3��(��>� !3�"����� 3��?��

� � ��������:�(3�"("�/K</��:�(�"(3"�K</�� � � :=���1�:� �3�"��<�

� � 1���� <��:�η�1

�� <��:��3 "�×�(�"(3"�:�! (�32������� ⇒���1

����:���3�"��<�

� � +���

�:�+����&���� <�

��

�:�� !3�"���!3 (��

�3��!"�:��� 3��H�

� � �

�:��

)+�

�:� �3� 2

�3��2���� 3��:��3�"��/�<�!�

� � �)�:�ρ#1�:��3�"��×�

π(�×��3����×���3�"�:�5)5323�&$:��

Page 65: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����"�

��'"�+�� �0�����

��)62�

� #��%,������,�������%�����,��������,��/�����������,���..���'��������

��3(2��'��,����/���������3(����7�>�������� ����������4?�

� � )�����,�������� �4������ ����������,�,��/���� ������%��,��*������

� '��%��'����� ��'����,�,��/3�6��������������� �����3�

�� � #����4�:��3���⇒�����

��:��3���"�N�����

��<�

�4�:��3���2���

�� � #�<#R

4�:�#

�<#R�:��3���(!"<�3���"���:��3������

�� � #4<#R

4�:��3(! �N���#

4<#R

��:��3�� (���

�� � #�<#R

��:�>#

�<#R

4?>#

4<#R

�?<>#

4<#R

4?�:�

�3����>�3�� (?

�3(! �:��3!�"!��

��� � ⇒�����:��3"�� �N���

�<�

���:��3�!�!��

�� � ���:�>�

�<�

��?>�

��<�

�4?�

�4�:��3�!�! × �3���2 × �����:��!"!�/����D��3(�����

� ��������,����,�����������������

�� � �4�:��32��⇒���

��:��3�(�""�N����

��<�

�4�:��3�""2!��

�� � #4<#R

4�:��3!!2��N�#

4<#R

��:��3�((����

� #�<#R

��:�>#

�<#R

4?>#

4<#R

�?<>#

4<#R

4?�:�

�3����>�3�((�?

�3!!2��:��3!2((��

�� � ⇒�����:��3(���N���

�<�

���:��3�"!��

�� � ���: >�

�<�

��?>�

��<�

�4?�

�4 : �3�"! × �3�""2! × �����:��(" 3 /����

� -�%�������������%���,��%��

�� � �4�:��32"���⇒���

��:��3�����N����

��<�

�4�:��3�!���

�� � #4<#R

4�:��3! ���N��#

4<#R

��:��3�"�����

�� � #�<#R

��:��3�������3�"��<�3! ���:��3!!�!��

�� � ⇒�����:��3"�N���

�<�

���:��3�(!��

�� � ���:��3�(! × �3�!� × �����:��(��32�/������;�

Page 66: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)63�

� #����,���������������°�0�����/���%��,�.���*������3�#��� ���������*���������������/������,������������,����,�������%��,������������������'�

�3���������������'���/�<3�6��������� ������������� �����������������'�

"���/����� ���*��,����,�������%��,������������������'��3�����3�8,������

�,������ ���������%��/��� ��,�����*������0�����������0��� �

�������������,�4���������7�

� �3&3������������������� ���������� �4���������������������3�

� �)�,

���;�8

)7���:��

)>,�;�1�<�?

4�:��

),�04

���

� �)���:��

)�04

��⇒����0�04

�:���0��

� >��04

<���?�:��3���>"��<���?�:�"3�(���

� � ⇒��+�04

�:�(�!�H0����,�04

�:�(�"3!��/K</�0���,���:��� 3("��/K</��

� 8)

��:��

)>,

�04���,

��?�:��>(�"3!������ 3("?�:�2,,)8�&(�

� �4�:��

�04>+

4<+

�04?/<>/��?��������+

4�:�+

�04���1 �

4<��

����

� �)�:���/�<�:�>ρ#1?

4�:��

4#&

4<)+

4���

-�%���������/��%����������40�+

40�&

4��� �%�����,�������������3��

)�

�� ���*��,�����������������3����0���+4��,��

���� � 14�:� ��

�>+

�04���+

4?���

� � �)�:���/�<�:��

�04>+

4<+

�04?/</��# ��

�>+

�04���+

4?<)+

4���

� ��*�'���+4<+

�04�>��������?�

��� � +4�:�4�2)��;���⇒���1

4:�27)3��:�0����

4�:�487)��&����

Page 67: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

� � � ����2�

�����"�����"�$������ �� �' ����#�"�����

��)43�

� #�@����������*���,����,��,�����%��,���� ��'������/�<,������������� ��'���

/�0�%,���,��������(��/����� ��,������������−��°�3����� ���,������ �''����'��,������%,��������*�%��,���*��������'������<3�$�������,�

������� ������������*�����,� �''��0��� ��,��������'���������4��������'�

�,� �''��0���������,�'��%�������*������� �� �������3�

� �� 1�:������/�<,�:��223���<0���*��:�

)+

��:�

�3��2 × ���3�"(�

�:��3�2(��!</��

�� � ,��:����3(��/K</�0���

���:��3������

� �� ,���:����3(��;��223��<�����:�!��3�2�/K</��

� � ⇒��+���:�� 32�H0����

����:��3���2��

� +,��������'��,������������,��������'��,����'��������%,���:���������

�� � ����:����

���<��

���:�(� × �3���2<�3�����:��(32(�/����

� �� ,��:�!��3�2�������<�����:�� "3�2�� ⇒����+

��:�284)6�;0����

���:��3�(����

�� � ���:��(32( × �3�(��<�3���2�:����&����

�� � *��:��3��2 × � (32<���:��3!����!</��

� �� #�<#

��:�>*

�<*

�?>&

�<&

�?�:�>�3�2(<�3!��?>���<�223�?�:�5)476��

Page 68: 16 Compressible Flow (Gas Dynamics Aplications)

������

��)�2�

� )�������������3(!���������� �''���''��������'���J3�

� �������������������3(!0�4����

η$�:��3��3�8��,��,�*�'������3(!�

�������,!���,

,�����,

�:�,!������3(�

!��3�2������3(��:��3��

��������������⇒��,!�:�� �3!"�/K</�0���

�!�:��3��� �

������������:��

!�:�(� × �3��� <�3�����:�" 3�(�/����

h

0102

3

1

2

s �

� � �����:������:��3���2���

�� � ,��:�!��3�2�������<�����:�� "3�2�/K</����⇒��+��:�284)6�;0��������:��3�(����

�� � ���:���������<������:�" 3�( × �3�(��<�3���2�:�,,)��&����

�� � *��:��3��2 × � (32<""3��:��3"����!</��

�� � #�<#��:�>�3�2(<�3"��?�>���<�223�?�:�5)444��