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EL USO DE LA TRANSFORMADA DE HILBERT PARA EL DIAGNÓSTICO DE VIBRACIONES. ANÁLISIS DE TRANSITORIOS

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THE USE OF HILBERT 'S TRANSFORM TO DIAGNOSTIC VIBRATIONAL PROBLEMS. TRANSIENTS ANALISYS

Recibido: 18/07/07 Aceptado: 25/09/07

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Carlos Julián Gavilán Moreno Dr. Ingeniero de Minas

Jefe de Mantenimiento mecánico e Inspección de Servicios

C.N. de Cofrentes. Iberdrola

RESUMEN Este trabajo es una actualización

de la Transformada de Hilbert, su comparación con la Transformada de Fourier y una visión de las capacida-des de esta desconocida herramienta de tratamiento de señales, no sólo de vibraciones.

Con esta herramienta aparece el concepto de frecuencia instantánea como consecuencia de la suposición de una serie temporal no lineal y no estacionaria, es decir, de una serie en la que la frecuencia no es constante en el tiempo ni la de las componentes en las que se fragmenta.

Se exponen también los princi-pios de uso de la Transformada de Hilbert y el método de descomposi-ción que la hace aplicable desde el punto de vista informático.

Finalmente se puede ver el resul-tado en el análisis de vibraciones a un rodamiento con defecto en la pista exterior.

Palabras clave: Transformada, Fourier, Hilbert, frecuencia, instantá-nea, espectrograma.

ABSTRACT This work is a review of the Hil-

bert transform, its comparison with the Fourier transform and a vision of the capabilities of this unknown tool of treatment of signals and vibra-tions. With this tool the instantane-ous frequency concept appears, as consequence of the supposition of a non-linear and not stationary time se-

ries, that is to say of a series in which the frequency is not constant in the time, neither that of the components in those that it is fragmented

It is also exposed the use of the Hilbert transform and the method of decomposition that makes it could be used in an informatic way.

Finally it shows the result in the analysis of vibrations in a bearing with bug in the external track.

Key words: Transform, Fourier, Hilbert, frecuency, instantaneous, spectrogram.

1.- INTRODUCCIÓN En el mundo del mantenimiento

mecánico y del ámbito aeronáutico, son de sobra conocidos los casos en los que la transformada de Fourier no es capaz de desvelar el proceso del fallo [1]. Esto significa que, a pe-sar de observar vibraciones, fatigas y fallos, esta transformada no consigue determinar un patrón claro del fenó-meno.

Esta inexactitud es una caracterís-tica intrínseca de la propia transfor-mada, es decir, es inevitable.

Así pues, se busca una herra-mienta capaz de determinar la fre-cuencia instantánea, que es la que puede estar afectando a mecanismos y estructuras. Otro caso que se pre-senta, y que es necesario resolver, es cuando un tren de ondas de vibra-ción, se presentan de forma cíclica, en este caso y de forma generalizada la transformada de Fourier da como resultado la frecuencia principal de repetición pero se pierde la informa-ción de las frecuencias de cada tren de ondas.

Por tanto es necesaria una herra-mienta que sea capaz de discriminar la frecuencia instantánea y esa herra-mienta no es otra que la transforma-da de Hilbert.

2.- ANTECEDENTES

X(w) = i'.r(1) . ""`.di

cumpliéndoselas siguientes con-diciones:

• La serie x(t) debe ser completa-mente integrable, es decir :

flx(r)I 2 dl -‹00

• Que tenga un grado finito de os-cilación.

• Que tenga un número máximo de discontinuidades.

Hasta aquí todo hace pensar que la transformada de Fourier es una función continua, pero en la práctica no lo es ya que, para su ejecución, se usa un método discreto, la transfor-mada discreta de Fourier. Esta discre-tización viene dada por dos aspectos:

• La naturaleza discreta de la se-ñal adquirida.

• La naturaleza del método que discretiza la integral mostrada en la ecuación (1).

2.2.- La transformada discreta de Fourier

La implementación de la transfor-mada de Fourier se realiza mediante la transformada discreta de Fourier (DFT ó FFT) en donde se procesa de forma discreta una señal que también lo es y cuya expresión es: (3)

rt = .,.,.e k=0,... N-1

Así pues. Xk representa la amplitud y la fase de una componente sinusoidal de la señal de entrada.

Esta definición de transformada de Fourier, de forma discreta, produ-ce un efecto de aliasing. Este efecto hace desaparecer las altas frecuen-

2.1.-La transformada de Fourier Esta transformada es una particu-

larización de la transformada de La-place y se define como:

(1)

(2)

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Figura 2. Señal ideal del defecto en la pista exterior.

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=x,-

i ,n iá.o iae zo.o l7D Y]o YA.O 4P7u) Gi i 7e.0 Ni (*.ara,

De esta forma el comportamiento no responde a la predicción que se pueda hacer apoyándose en la trans-formada de Fourier.

0.12-

0.11-

0.10 -

C,C9-

O.C6-

aO.C6-

0.C6

0.04 -

0.03,

0,02-

0.01 -

bull-, 7000 EC00 0(0) 15ác0 106c0 11000

R•e.yuerry

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cias y las enmascara, sustituyéndolas por otras de bajas frecuencias. Este efecto es tanto más acusado cuanto mayor es el espacio entre muestras, digitalización de la señal de entrada (muestreo) y cuanto mayor es el nú-mero de puntos de la ventana de muestreo (N-1). De esta forma se ob-serva que se pierde información y en ocasiones esas frecuencias perdidas son las responsables de un acopla-miento por resonancia, ya que son iguales que las frecuencias naturales de los equipos y, por lo tanto, provo-cando daños, a los cuales habitual-mente no se encuentra explicación.

Otro de los inconvenientes de la transformada de Fourier es el trata-miento de series temporales no linea-les y no estacionarias, es decir, la mayoría de los casos en los periodos transitorios. Esto se debe a que, si la señal es una señal no es estacionaria, el espectro de frecuencias no tendrá sentido alguno ya que la serie no ten-drá las frecuencias fijas en el tiempo, condición imprescindible para un co-rrecto análisis de Fourier. El requeri-miento matemático para que una se-rie temporal sea estacionaria es:

F, x(r)! 2 09 (4)

Elx-(01= Nl

C(x(t i ), x(t , )) = C(11,12) No obstante, una condición me-

nos matemática y más física es: que la frecuencia no varíe con el tiempo, es decir que, sean cuales sean la ven-tana y el tiempo de muestreo, las fre-cuencias serán iguales. Esto se ex-presa como: (5)

—=' vi

En la Naturaleza estas condicio-nes son difícilmente cumplibles por lo que todo es un transitorio, es de-cir, un proceso no estacionario.

Por otro lado, se tiene la lineali-dad, que viene intrínsecamente dada por el proceso de la transformada de Fourier que no es más que hallar los coeficientes de la serie de Fourier pa-ra aproximar la función en estudio en una serie de senos y cosenos. Para esto es necesario que tengan dentro de la serie original periodos comple-tos, situación muy difícil de asegurar tras una toma de datos.

Caso práctico Tomemos como caso práctico el

bien conocido de vibraciones en un rodamiento con un defecto en la pista exterior.

La frecuencia viene dada por la ecuación: (6)

11 , N( 1— 1'1

cos/3).ipin

donde: • Bd es el diámetro de bola o rodi-

llo. • 1 es el ángulo de contacto de la

bola o el rodillo. • Pd, el diámetro del rodamiento. • N, el número de bolas o rodillos. • Rpm, la velocidad de giro en re-

voluciones por minuto.

Figura 1. Rodamiento y su defecto en la pista exterior.

Aplicando esta fórmula a un roda-miento dado se establece que la fre-cuencia de daño es 125 Hz, pero su-cede que el equipo sobre el que se monta este rodamiento entra en reso-nancia de forma periódica provocan-do estados de fatiga que conducen a una rotura catastrófica. Analizando este hecho, el tipo de rotura y el daño producido es muy superior al que se produce cuando se tiene un defecto en un rodamiento donde, como mu-cho, se degrada el rodamiento y algo la cajera o el motor si hay roce de es-tator o rotor, pero nunca una destruc-ción total de la máquina.

Figura 3. Transformada de Fourier.

Figura 4. Transformada de Fourier local en cada tren de ondas.

Este análisis lleva a tener que decidir cambiar de análisis para la correcta predicción de la degradación. Este nuevo método no es más que la transformada de Hilbert, en su aplicación como la transformada de Hilbert-Huam. Antes de ver los resultados de esta nueva herramienta, se procederá a una exposición de la transformada de Hilbert y el posterior calculo de la transformada de Hilbert-Huam.

2.3.- La transformada de Hilbert Sea una serie de valores X(t), cu-

ya transformada de Hilbert se puede

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expresar como

y(1) Li ^^(^)cIT (r —T)

(7)

Si ahora combinamos la señal de origen con la hallada por la ecuación anterior, se obtiene una señal z(t) de la forma:

z(t) = x(t) + r y(t) = a(t)•ei0co

donde:

a(t) = V(r(r)' + y(t)' ) (8)

A0)= carrg .v(t ) x(r) (9)

que son respectivamente la ampli-tud y la fase. La frecuencia instantá-nea viene dada por

I do (i) t — 27r cl!

Las ventajas de esta transformada son, respecto a la tradicional trans-formada de Fourier, las siguientes:

• Puede tratar series cortas y no necesariamente periódicas.

• El proceso o señal no tiene que ser lineal [2]

• La señal no tiene que ser esta-cionaria.

La aplicación práctica de la trans-formada de Hilbert no es inmediata y, por lo tanto, requiere un método nu-mérico. El primer intento puede ser tratar de hacer lineal la integral y transformarla en un sumatorio, lo que obligaría a adoptar una plantea-miento lineal al proceso, por lo que se perdería una de las ventajas. El proceso más exacto es el desarrolla-do por Huam o su método de des-composición, tras lo que se denomi-nó a este método Transformada de Hilbert-Huam (HHT).

Esta transformada [3] es un mé-todo de descomposición de la señal original y las condiciones están basa-das en los siguientes supuestos:

• La señal debe tener, al menos, dos puntos extremos, es decir, un máximo y un mínimo.

• El tiempo de referencia es el de-finido por el transcurrido entre estos dos extremos.

• Si la señal sólo posee puntos de inflexión, se puede diferenciar las ve-ces que haga falta para tener los cita-

dos máximos y mínimos. El resultado final se obtendrá recorriendo el cami-no inverso, es decir, integrando las componentes.

El concepto de este método es identificar los principales modos de vibración.

El método propuesto funciona de la forma siguiente:

Una vez que los extremos se han identificado, se unen los máximos con spline cúbica y lo mismo se hace con los mínimos. De esta forma se en-vuelve la serie original entre ambas funciones llamadas máxima y mínima.

La siguiente operación es hallar la serie media entre las llamadas máxi-ma y mínima y se denominará m,.

Se genera entonces la serie h, que se determina de la forma:

x(r)—n,,(t)=h,(t) (11)

Tomando ahora la serie h,(t), se repite el proceso de máximos y míni-mos, y del valor medio, que será aho-ra m„(t). Con este valor se determina una nueva serie llamada h„(t) con la expresión:

1 1 1(1) — 111 11 ( t ) = 1111(1 ) (12)

De forma genérica la expresión se determinará:

h„,_, ) (1)— (t) = Q) (13)

Como se puede observar, este proceso es iterativo. La pregunta ahora es: ¿Cuándo parar? ¿Cuál será el máximo valor de k? Bien, el criterio de parar, el proceso iterativo, está es-tablecido sobre el valor del parámetro SD y se producirá cuando el valor de éste sea menor o igual que 0,3. La determinación del valor de SD se muestra en la ecuación

,

II7uk-1 ) ( 1 ) — h,^. (1)I -

%7 1(k'- 1 ) (t)

Una vez alcanzado el valor límite de SD, se idéntica la última serie h, k (t) como c,(t) y con ésta ultima se obtiene una nueva serie de la forma:

r, (r) = x(r) — c, (t) (16)

A la serie r,(t) se le repite todo el proceso hasta que, al final, se obtiene

otra serie c 2 (t) y se obtiene otra nue-va serie de la forma

r.,(1)= lí(1)—c,(f) (17)

Este proceso se repite hasta que c;(t) sea una función monótona.

Tras este proceso, la serie original x(t) se puede reconstruir de la forma

11

+r,; (18)

Una vez descompuesta la señal original en otras series ortogonales, se puede hacer la transformada de Hilbert de cada una de las series uni-tarias, determinando para cada una de ellas la amplitud y la frecuencia instantáneas. Si ahora volvemos a re-construir la serie en función de los resultados unitarios de las series c;(t), la situación viene marcada por la ecuación:

.r(t) = (r)e'f,'(`)`i` (19)

Si la comparamos con la hallada con la transformada de Fourier

x(1) = ^ a •e r ” (20)

se puede observar que los valores de la amplitud y de la frecuencia en la transformada de Fourier son constan-tes, no así en la de Hilbert. Así pues, se puede concluir que la transforma-da de Fourier es la particularización de la transformada de Hilbert.

La ventaja de la transformada de Hilbert en la forma de la ecuación 19 es que puede ser representada en un gráfico 3D y se representa la ampli-tud en función del tiempo y de la fre-cuencia instantánea. A esta represen-tación gráfica es a la que se denomina Espectro de Hilbert y se denomina como H(w,t).

Una vez definido el espectro de Hilbert, se define el espectro marginal de Hilbert como

7'

h(^1) = fH (iv .t)clr o

que es la representación más pa-recida a la clásica transformada de Fourier.

También se puede definir otro pa-rámetro que se conoce como energía

(10)

SI) _ (14)

(21)

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Figura 5. Descomposición de la señal original.

F Ciw4 EWEinJm Smchco•r n i 3igm7i_r_;5iti.0fi

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Z. 3 0E-r4

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1. 0E-r4

010E+0

El uso de la transformada de Hilbert para el diagnóstico de vibraciones... Carlos Julián Gavilán Moreno NI ^ z o r /o

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instantánea (IE) y tiene como expre-sión

IE(t) = f H ?(tv,t)d ► v (22)

Y finalmente el grado de estacio-nareidad, DS viene definido por la ex-presión (23)

DS'(w) = 1 f / 1 H(w,t) )(Ir I p ` li(w)

donde

„(w) = 7'

{7OY) (24)

Las interpretaciones físicas de los parámetros anteriores DS y El son las que se muestran a continuación:

• El coeficiente de estacionareidad muestra si el proceso es o no esta-cionario. En caso de serlo, DS(w) se-rá constante e igual a cero. En estas condiciones, la transformada de Fou-rier será igual al espectro marginal de Hilbert. Puede, por el contrario que el proceso sea no estacionario para algunas frecuencias. Entonces, el gráfico de DS(w) presentará picos en las frecuencias donde reside la no estacionareidad.

• El parámetro de energía instan-tánea, IE(t), nos muestra la energía instantánea que el proceso posee en cada momento y se puede relacionar, a través del espectro de Hilbert, con el patrón de frecuencias que los sus-tentan. Este parámetro es muy útil ya que permite establecer la potenciali-dad de degradar al equipo.

• Finalmente, el espectro marginal de Hilbert, muestra la energía total para cada valor de frecuencia, luego también es útil para el cálculo del da-ño a equipos y estructuras.

Caso práctico Para poner en práctica el método

mostrado, se pasará a analizar el mis-mo caso presentado en el correspon-diente a la trasformada de Fourier. Se toma, entonces, una serie tomada con captador de vibraciones y se pro-cede a la descomposición en subse-ries o componentes de la misma for-ma que se describió en párrafos anteriores. Para este caso se han ob-tenido 12 componentes ya que la de-cimotercera era una función constan-

te e igual a cero. Los resultados son los que se pueden ver en la figura 5

en la que se aprecian dos componen-tes que describen por sí solas el fe-nómeno en estudio: la componente número 4, que representa los trenes de ondas con una frecuencia de repe-tición de 125 Hz y la número 12, que representa una sinusoide de frecuen-cia 125 Hz.

Figura 6. Espectro de Hilbert.

Realizando ahora la transformada de Hilbert de cada una de las compo-

nentes y componiendo la transforma-da de Hilbert tal y como se expresa

en la ecuación 19, se puede graficar en 3D, obteniendo el espectro de Hil-bert. En esta representación se puede observar una perturbación de fre-cuencia 125 Hz, en abscisas, pero con una frecuencia instantánea cada uno de estos eventos de 10.000 Hz en ordenadas.

Así pues, se concluye que, ante este defecto, existen dos frecuencias:

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i

neal y ni hecha de un tratamiento dis-creto, pone de manifiesto frecuencias que, de otra manera, se diluirían en el espectro de frecuencias de la trans-formada de Fourier.

Esta técnica es una herramienta para analizar casos extremos ya que su implementación no es tan automá-tica como la que tiene la transforma-da de Fourier, pero es muy útil para el análisis de sucesos que usando la tradicional herramienta de manteni-miento predictivo, ya que los defec-tos y la degradación no responden a lo que se esperaría a la vista del es-pectro de frecuencias clásico. Asimis-mo es especialmente indicado el mé-todo de Hilbert-Huam para el análisis de transitorios de una forma continua y directa. En los casos normales los transitorios se analizan mediante la realización de la transformada de Fourier a pedazos de serie y asumien-do que en ese tiempo todos los pará-metros permanecen constantes. Esta suposición no es cierta y, si se trata como estacionaria una serie que no lo es, presenta un espectro que pue-de no tener significado físico. Así pues, la transformada de Hilbert no necesita ninguna suposición y trata la serie tal y como se presenta, encon-trando las frecuencias instantáneas que están afectando a los componen-tes de equipos y/o estructuras.

4.- BIBLIOGRAFÍA 1- GAVILÁN MORENO, C. J. El

flujo biestable en lazos de recircula-ción de una central BWR. Análisis y caracterización. XXXIII Reunión de la Sociedad Nuclear Española. (2007) Segovia.

2- SMALL, M. Applied nonlinear time series analysis. Applications in Physics, physiology and finance. 2005. Ed. World Scientific.

3- HUANG, N. E. et al. The empiri-cal mode decomposition and the Hil-bert spectrum for nonlinear and non- stationary time series analysis (1998). Proc. R. Soc. London. Pp 903-995. •

una de 125 Hz y otra de 10.000 Hz. Si ésta última coincide con alguna fre-cuencia natural del sistema, éste ten-drá una degradación por fatiga y no por rotura de rodamientos, como idea general.

3.- CONCLUSIONES Esta nueva herramienta,es un pa-

so adelante en el análisis de vibracio-

nes y supera en capacidades a la transformada de Fourier. Con esta herramienta se solventa el fenómeno de aliasing que presenta la transfor-mada de Fourier ya que la transfor-mada de Hilbert no pierde informa-ción por ser una técnica que ni linealiza y puede tratar series no esta-cionarias. La gran ventaja de esta téc-nica es que, al no ser una técnica li-

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