18. rlc回路...18. rlc回路 18. rlc circuit 講義内容 1. rlc回路の微分方程式 2....
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18. RLC回路18. RLC Circuit
講義内容
1. RLC回路の微分方程式2. 過減衰，臨界減衰，不足減衰3. 非減衰，発振
RLC 回路の微分方程式 2
V
S
( )i t
C
L
R R ( )v t
L ( )v t
C ( )v t
L R C( ) ( ) ( )v t v t v t V+ + =KVL より，
微積分方程式に変形すると， 0
( ) 1( ) ( )
tdi tL Ri t i t dt V
dt C+ + =
両辺を微分して，
vC(t) = 0
t = 0 で S = ON
条件
2
2
( ) ( ) 1( ) 0
d i t di tL R i t
dt dt C+ + =
１）定常解（ 直流解 ）i(t) = Is
十分時間が経過したときの電流 … 一定値（時間的変化（傾き）が存在しない）
右辺がゼロなので， s( ) 0i t I= =
過渡解の特性方程式 3
２）過渡解 i(t) = it (t)
過渡時にのみ存在する電流 … 時間変化回路方程式 の【 左辺 = 0 】として解が得られる（ 線形 斉次 微分方程式 の 一般解 ）
2
2
( ) ( ) 1( ) 0
d i t di tL R i t
dt dt C+ + = 2 1
0L RC
+ + = 特性 方程式
解の公式を用いて，
222
1 2
44 1
,2 2 2 2
LR R
b b ac R RC
a L L L LC
− −− −
= = = − − =
根号（ルート）内の符号により，3つ のパターンが存在する
21
2
R
L LC
[3]
21
2
R
L LC
[1]
21
2
R
L LC
=
[2]
減衰係数と共振周波数を用いた表現 4
2L
RC
= 12
R C
L=
2
R C
L=
ここで，[2]の式を変形すると， とおくと， 1=
ζ：減衰係数減衰係数 をもちいて各パターンを同様に表現すると，
[3][1] [2] 1=1 1
LC共振 回路における共振 周波数 ωn を用いると，
n
1
LC =
( )2
2 2
n n n 1 2
1,
2 2
R R
L L LC
= − − = − − = − =
1
2
n
2 2
n
= − +
= − −
=
= −
非常に見通しの良い式となった
特性方程式による解の分類 5
[1] 1 ：異なる実数解
[2] 1= ：2重解
[3] 1 ：虚数解
1 2, = −
( )2 2
n n n n= − − = −
2 2
1 2 n, j j= − − = −
1 2
1 2( )t t
i t A e A e= +
( )n
1 2( )t
i t e A A t−
= +
( )1 2( ) cos sinti t e A t A t−= + 2 2
n= −
各条件によって解が 異なる ことに注意
書籍によっては
2
R
L− = −
[1] ζ > 1：過減衰 6
1 1 ( ) ( )
1 2 1 2 1 2( ) ( )t t t t t t ti t A e A e Ae A e e Ae A e− + − − − −= + = + = +
[1] 1 ：異なる実数解 2) 過渡 解及び
3) 一般 解
4) 積分定数 A1, A2 ：初期条件（i(0) = 0）から求める
0 0 0
1 2 1 2(0) ( ) 0i e Ae A e A A− −= + = + = 1 2A A = − 式不足！
回路の 過渡 時の 状態 を考える
0
( ) 1( ) ( )
tdi tL Ri t i t dt V
dt C+ + =
初期条件よりゼロ
積分範囲が無いためゼロ
0
( )
t
di tL V
dt =
=
( ) ( )
1 20
( ) ( )t t
tL Ae A e V− + − −
=− + + − − =
1 2( ) ( )L A A V− + + − − =
インダクタは過渡時には開放 状態と 等価
[1] ζ > 1：過減衰 7
1 2( ) ( )L A A V− + + − − = 1 1( ) ( )V
A AL
− + + + = 1 22
VA A
L= = −
以上より，電圧印加時に流れる電流 i(t) は（微分方程式の 特殊解 ）
( )( )2 2 2
t t t t t tV V Vi t e e e e e e
L L L
− − − − = − = −
さらに，双曲線 関数 sinh βt を用いて表すと， ( ) sinhtVi t e t
L
−=
となる
双曲線 関数 (hyperbolic function)
sinh2
ax axe eax
−−= , cosh
2
ax axe eax
−+=
L
( )( )
di tv t L
dt=
R ( ) ( )v t Ri t=
C0
1( ) ( )
t
v t i t dtC
=
vL(t) 及び vC(t) の式は非常に複雑に
なるので除外
過渡時の波形：[1] ζ > 1：過減衰 8
V = 10[V]，R = 4[Ω]，L = 10[mH]，C = 10[mF]，赤：vR(t)，青：vL(t)，緑：vC(t)
10[V]
0[V]
[2] ζ = 1：臨界減衰 9
[2] 1= ：2重解
( )n
1 2( )t
i t e A A t−
= +
4) 積分定数 A1, A2 ：初期条件（i(0) = 0）から求める
2) 過渡 解 及び 3) 一般 解
( )n 0
1 2(0) 0 0i e A A−
= + =
1 0A =
0
( )
t
di tL V
dt =
= ( ) ( )n n
1 2 1 2
0
t t
t
d dL e A A t e A A t V
dt dt
− −
=
+ + + =
( ) n n
n 1 2 20
t t
tL e A A t e A V
− −
=− + + =
n 1 2
VA A
L− + =
2
VA
L=
以上より，電圧印加時に流れる電流 i(t) は（微分方程式の 特殊解 ）
n( )tV
i t teL
−=
vL(t) 及び vC(t) の式は複雑になるので除外
過渡時の波形：[2] ζ = 1：臨界減衰 10
V = 10[V]，R = 2[Ω]，L = 10[mH]，C = 10[mF]，赤：vR(t)，青：vL(t)，緑：vC(t)
10[V]
0[V]
[3] ζ < 1：不足減衰 11
[3] 1 ：虚数解
( )1 2( ) cos sinti t e A t A t−= +
2 2
1 2 n, j j= − − = −
2 2
n= −
4) 積分定数 A1, A2 ：初期条件（i(0) = 0）から求める
( )0
1 2(0) cos 0 sin 0 0i e A A−= + = 1 0A =
回路の 過渡 時の 状態 を考える
0
( )
t
di tL V
dt =
=インダクタは過渡時には開放 状態と 等価
2) 過渡 解3) 一般 解
0
( ) 1( ) ( )
tdi tL Ri t i t dt V
dt C+ + =
初期条件よりゼロ
積分範囲が無いためゼロ
[3] ζ < 1：不足減衰 12
0
( )
t
di tL V
dt =
= ( ) ( )1 2 1 2
0
cos sin cos sint t
t
d dL e A t A t e A t A t V
dt dt
− −
=
+ + + =
( ) ( ) 1 2 1 20
cos sin sin cost t
tL e A t A t e A t A t V− −
=− + + − + =
1 2
VA A
L− + = 2
VA
L=
以上より，電圧印加時に流れる電流 i(t) は（微分方程式の 特殊解 ）
( ) sintVi t e t
L
−=
n
2 2
n
=
= −ここで，
L
( )( )
di tv t L
dt=
R ( ) ( )v t Ri t=
C0
1( ) ( )
t
v t i t dtC
=
vL(t) 及び vC(t) の式は非常に複雑に
なるので除外
[3] ζ < 1：不足減衰 13
V = 10[V]，R = 0.5[Ω]，L = 10[mH]，C = 10[mF]，赤：vR(t)，青：vL(t)，緑：vC(t)
10[V]
0[V]
[ex-1] ζ = 0：非減衰振動 14
[ex-1] 0= になる条件を考える2
R C
L= より，R = 0（無損失回路）
( ) sintVi t e t
L
−=
ここで，n= 0=
2 2
n= − n=
n n n n
n
( ) sin sin sin sinV V C V
i t t LC t V t tL L L L C
= = = =
L
C
サージインピーダンス
減衰（ 収束 ）要素である が消えたため，共振周波数の 正弦波 振動が現れ続ける
te− 非減衰 振動（ 持続 振動）：エネルギー保存則 の限界点
[ex-2] ζ < 0：発振 15
[ex-2] 0 になる条件を考える2
R C
L= より，R < 0（負性抵抗を使用）
( ) sintVi t e t
L
−=
ここで， n= 0 となる
( ) sintVi t e t
L=
ここで， te−減衰（ 収束 ）要素である の符号が変化し，発振（ 発散 ）要素である となっているte
発振により，回路上でエネルギーが新たに生じてしまう
発振：エネルギー保存則 を満たしていない（素子が新たに生み出すことは無い）
特性としては存在する例：エサキ ダイオード，
ラムダ ダイオード
[ex-1] ζ = 0：非減衰振動, [ex-2] ζ < 0：発振 16
V = 10[V]，R = −1[Ω]，L = 10[mH]，C = 10[mF]，赤：vR(t)，青：vL(t)，緑：vC(t)
V = 10[V]，R = 0[Ω]，L = 10[mH]，C = 10[mF]，赤：vR(t)，青：vL(t)，緑：vC(t)