19 diagrama p

19

Diagramas de control para fraccióndefectuosa (diagrama p)

UN DIAGRAMA/? muestra variaciones en la fracción defectuosa de la producción^La lineacentral del diagrama es una estimación dé la fracción defectuosa del proceso, y los límitesde control superior e inferior son por lo general límites 3 sigma. Si p' es la fracción defec-tuosa del proceso, en el supuesto de que el proceso está bajo control, entonces a'pes

/ p (l - p ) pnr tanto, los límites de control serán constantes únicamente cuando

n sea constante. En la figura 18.3' aparece una representación de un diagrama/»' parauna n constante. En este capítulo se mostrará cómo se traza un diagrama/?, analizandoa continuación su empleo para lograr control y para detectar las desviaciones subse-cuentes que se produzcan en relación con dicho control.

1. TRAZADO DE UN DIAGRAMA/) CON n CONSTANTE

Estudiemos el trazado de un diagrama/? con referencia a la producción de arma-zones laterales para carros de ferrocarril. Supongamos que estas armazones se en-cuentran en producción continua en una fundición, y que se toman e inspeccionan 50como una muestra aleatoria de 50 de la producción diaria. Digamos que los resultadosde los 28 días de operación anterior son los siguientes:2. (Ver tabla pág. 428).

Nuestra tarea consiste en trazar un diagrama de control que controle la fraccióndefectuosa de las armaduras laterales de carros de ferrocarril.

Debemos comenzar por ver si el proceso ya se encuentra bajo control. Para haceresto trazaremos un diagrama preliminar, basado en los datos dados. Nuestra primera tnreaconsisíe en estimar la fracción defectuosa promedio del proceso estimado existente.

J Véase la pág. 4122 Estos y los datos que siguen han sido adaptados de un diagrama presentado por William M. Arms-

trong en Industrial Quality Control, mayo 1946, pág. 15.

427

428 Control de calidad y estadística industrial

Fecha

Abril 27282930

23456789 . . . .

10 . . . .

Número rechazado

49

10U1330 ^26138

23342518!2

Fecha

1214 ..1516171819212223 . ..2425 .26

N utilero rechaza tío

43

118

; 14212118108

1?1948

Esto se lleva a cabo encontrando el número tptal.de partes defectuosas durante el periodopara el cual e! análisis preliminar se va a realizar, dividiendo entre el número total de las- -inspecciones realizadas. En el caso de los datos anteriores, tenemos/? = 407/1 400 -0.291. 3íerpr0ceso~est¿ bajo control, este 0.291 pasa a convertirse en la estimación dela fracción defectuosa del procesop', y se toma como línea central de nuestro diagra-ma de control. Seguiremos el procedimiento estándar, y situaremos límites^signia,Usando/i = 0.291 como estimación de/?', podemos tomar como estimación de o¡, lacantidad3

(19.1) (Tp(0.291)(0.709)

50 = 0.064

En ese caso 3ap = 0.192. Sumando y restando esto de 0.291 obtenemos 0.483 corno li-mite superior y 0.099 como límite inferior de nuestro diagrama. El diagrama de con-trol, con su línea central y sus límites de control superior e inferior aparece en la figura19.1, junto con los resultados ya obtenidos situados como fracciones defectuosas. Seobservará que hay cinco puntos fuera de los límites en el lado superior y cuatro en el la-do inferior. Evidentemente el proceso no está bajo control.

¿Cuál será nuestro siguiente paso? Nuestro objetivo final es situar a este procesobajo control. Para llevar a cabo esto debemos, a medida que avance el trabajo, investi-garjospuntps que se encuentren fuera de control, de manera que se puedan eliminar oprevenir contra cualesquiera causas dé mala calidad, continuando si es posible, lascausas especiales de una real calidad elevada. En este caso supongamos que la investi-gación revela lo siguienle. En los días 2 y 7 de mayo se agregaron algunos trabajadoresnuevos a la fuerza de trabajo, y el capataz atribuye las fracciones defectuosas elevadascorrespondientes a los días 2, 3, 7 y 8 de mayo, a la capacitación de dichos hombres.Igualmente una comprobación posterior indica que la ci fra correcta para et 12 de mayofue 7 y no 3, atribuyéndose esta última a un error al copiar los informes originales. Nose encontraron causas atribuibles en relación con los demás puntos situados fuera de

3 La colocación de u n " encima de n indica que se trata de un valor eslimado.

iística industria/

'uñero reclut'atlv

1!8

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181948

inte el periodoro total de las407/1 400 =estimación deíestro diagra-iiíes 3 sigma.icíón de o,,' la

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í 2 de mayoBínales. No¡os fuera de

Sec. I.Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

FIGURA 19.1Diagrama p para el análisis de datos anteriores

0.7-

429

UCL preliminar

LCL 1 /preliminar

LCL £ revisado

19 21 26Mayo

los límites de control. Como consecuencia de esta investigación se decidió que todos loshombres de nuevo ingreso recibieran un curso de entrenamiento especial antes de co-menzar a trabajar. Igualmente se decidió que la totalidad de la fuerza de trabajo legra-ría beneficios con un entrenamiento extra, y se creó un programa para iniciarse el 28 demayo.

Entre tanto se analizan de nuevo los datos para obtener una base que nos sirvapara trazar un diagrama de control que gobierne la producción futura. El primer pasoes eliminar todas las causas atribuibles que se hayan encontrado, corrigiendo la cifracorrespondiente al 12 de mayo. Entonces p, UCL y LCL, se calculan con base en losdatos revisados. Los resultados son los siguientes:

_ = 296p 1200

UCL = 0.247

= 0.247

Cuando trazamos los nuevos límites de control observamos que todos los puntosse encuentran dentro de los límites, excepto los correspondientes a! 6 y 18 de mayo. Es-to indica que sigue existiendo alguna falta de control, pero antes de tomar nuevas deci-siones examinemos el nuevo diagrama en relación con las tandas o corridas.

En total hay 24 puntos; 14 por debajo y 10 por encima de la línea central. Hay 5tandas por debajo de la línea y 4 por encima, o sea un total de 9 tandas por encima o pordebajo de la línea central. Parar = lOys = 14, el límite 0.05 con el número detandas

^


es 8 y el límite 0.005 es de 6 (véanse las tablas NI y N2 del apéndice II). De aquí se dedu-ce que el número total de tandas por arriba y por abajo del promedio se encuentra cla-ramente dentro de los límites de posibilidad. Por otra parte, hay 11 tandas arriba y aba-jo.Parar = 9ys = 13, estose encuentra aún mejor dentro de los límites esperados porlas posibilidades (véanse las tablas NI y N2).

La mediana de los 24 casos es 0.22, habiendo dos casos que tienen este valor. Seasigna el primero de éstos al g"rupo de casos situados sobre la mediana y el segundo algrupo situado por debajo. Un examen muestra que no hay tandas largas por encima opor debajo de la mediana. De nuevo no hay indicación de fuerzas no aleatorias (véasela tabla P en el apéndice II).

Finalmente, se observa que la tanda más larga arriba o abajo en el total de la seriede 24 puntos es una tanda de 4. Para n = 24, la tabla Q del apéndice II indica que unatanda de 4 no está fuera de los límites de posibilidad. (Para n = 20 la probabilidad deuna tanda arriba o abajo de 4 o más es mayor de 0.0567.)

Cualquiera que sea la forma en que analicemos los 24 puntos en relación con tan-das, no encontramos evidencia de influencias no aleatorias.

Con sólo dos puntos más allá de los nuevos límites de control y sin la evidencia deinfluencias no aleatorias dentro de los límites, es innecesario llevar a cabo mayor refi-namiento. Tomemos entonces la línea central y los límites de control superior e inferiordel diagrama revisado como estándar para controlar la producción en el mes siguiente.Para que el diagrama/? controle la producción actual tendremos en esta forma los si-guientes valores estándar:?

p" = 0.247UCL = 0.430LCL = 0.064

Lo anterior constituye una solución de un problema particular, en el cual lascausas atribuibles encontradas como causantes de los puntos situados fuera délos lí-mites de control afectaban únicamente a dichos puntos. Sin embargo, es posible quelas causas atribuibles, descubiertas mediante la investigación, pudieran haber afecta-do razonablemente otros puntos no situados fuera de los límites de control. Porejemplo, un trabajador sustituto pudiera haber sido empleado durante una semana en-tera. Durante esta semana sólo la producción de un día se encontró fuera de los límitesde control; pero como aquel trabajador estuvo empleado en los otros días igualmente,la fracción defectuosa del proceso en estos días fue probablemente más elevada delo que hubiera debido ser. En consecuencia, al recalcuIar/J hubiera sido mejor rescatarlos datos correspondientes al total de la semana.

Es posible también que una causa atribuible puede afectar la totalidad de la últi-ma parte de los datos. Por ejemplo, supongamos que se ha utilizado una materia primanueva durante las dos últimas semanas, lo que ha dado lugar a que uno o más de lospuntos durante aquel periodo se sitúen por debajo del límite inferior de control. Si estamisma materia prima es la que se va a utilizar durante el mes siguiente, entonces p, UCLy LCL para el diagrama de control del mes siguiente, deberá basarse en las operaciones

* Un símbolo con dobleprima se refiere a un valor estándar. Por contraste, p' es e] valor reaJ del pro-ceso yp e! valor de lamuestra.

'stica industrial

aquísededu-ncuentra cía-arriba yaba-sperados por

;ste valor. Se;I segundo alx>r encima olorias (véase

tal de la seriedica que unababilidad de

:ióncontan-

svidenciademayor refi-or e inferior;s siguiente,ormalos si-

el cual lasra de los li-üosible queber afecta->ntrol. Porsemana en-víos límitesmalmente,elevada deorrescatar

i de la últi-eria primamás de losrol. SÍ esta:es p, UCLoraciones

real del pro-

Sec.2. 431Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

correspondientes a las dos semanas últimas, en lugar de hacerlo en las operaciones delas semanas precedentes. El objeto al trazar el diagrama para el mes próximo consisteen determinar los límites dentro de los cuales se podrá esperar que caigan los resultadossi el proceso trabaja en forma aleatoria. Esto significa que la línea central se debe situarlo más cerca posible del nivel en el cual operará realmente el proceso si éste no opera demanera aleatoria.5

Al terminar esta sección se deberá tomar nota especial de la figura 19.3, un dispo-sitivo gráfico para calcular los límites 3 sigma, dados p', p", o p. Con ayuda de estediagrama ya no necesitamos calcular mediante fórmula el valor de 3 sigma. Necesita-mos únicamente situar la abscisa de la escala de la figura 19.3 con el valor de n, siguien-do verticalmente hasta que alcanzamos la linea para la cualp' es igual a su valor dado,o al valor estimado de p, leyendo a continuación 3 sigma en la escala de la de-recha.

2. OPERACIÓN Y REVISIÓN DEL DIAGRAMA/;

Para el resto de mayo y la totalidad de junio las operaciones de la fundidora sonlas siguientes:

Fecha

Mayo 28 ...30 ...3) . .

3 ...4 .. .5 ...6 . . .7 ...8 ...9

10 . . .11 '12 ...13 . . . .

Armazones defectuosasen muestras de 50

145889

7. ... 484

10659

•. . .. 742

Fecha

1516181920 :,2122 .. .2325262728293 0 . .

Armazones defectuosasen muestras de SO

452355

. 454663675

En la figura 19.2 aparecen situados estos resultados en el diagrama de controlque se trazó al principio del nuevo periodo.6 Lo sorprendente es el nuevo nivel alrede-dor del cual fluctúa ahora evidentemente la fracción defectuosa. Que algo ocurrió pa-ra cambiar el proceso queda en claro por completo el 13 de junio, en cuya fecha uno delos puntos cae debajo del límite inferior de control. Que la fracción defectuosa prome-

s Si la gerencia no está satisfecha con el nivel obtenido mediante el proceso, será probablemente me-jor revisar la totalidad de éste en lugar de situar artificialmente un estándar inferior y tratar a continuaciónde forzar el proceso hacia abajo al nivel de dicho estándar, investigando cada punto situado por encima d.ellimite superior artificialmente determinado. Según la teoría este procedimiento no tiene probabilidades deobtener éxito.

6 Véase inmediatamente abajo.


dio había cambiado a un nivel más bajo fue sugerido antes de ello por la larga tanda depuntos situados por debajo de la línea central del diagrama de control.

Supongamos que la investigación correspondiente al 13 de junio, a continua-ción de la ocurrencia de un punto por fuera del límite inferior de control, indica quesólo apareció, como cambio evidente en el proceso, la actitud y el interés de los ope-radores. Durante varios días posteriores al 28 de mayo todos los operadores habíanrecibido entrenamiento extra, habiéndose explicado el nuevo sistema de control decalidad, a la vez que se colocaron en el taller de fundición unas cartas en las queaparecía la fracción defectuosa correspondiente a cada día. El interés en aumentode los hombres en cuanto a la calidad de producción, además de su conocimientoaumentado en cuanto a la realización del proceso, pareció ser la única causa atri-buible del cambio favorable en la fracción defectuosa del proceso.

FIGURA 19.2Diagrama p en operación mostrando tos límites original y revisado

Fracción defectuosa de lo muestra p

0.5 -

0.4 -

UCL revisado

0.1 -

28 30Mayo

Hacia fines de junio se decidió revisar el diagrama de control La fecha del lo. dejunio parecía ser el punto lógico, para iniciar la revisión, ya que se pensaba que era lafecha en que el nuevo programa de educación y orientación habría producido ya suefecto pleno. Del lo. al 30 de junio la fracción defectuosa promedio fue de 146/1.350 =0.108. Esto se toma en forma tentativa como el nuevo/?" Con base en la figura 19.3, secalcula el 3apt y se determina un límite de control superior con base en la fórmula

- ' ~ - , '

UCL =p + 3ap = 0.108 + 0.132 = 0.240

Ya no hay LCL, ya que aplicación de la fórmula 3ap da un resultado negativo.Se sitúan en el diagrama las nuevas líneas para ver cómo se explican los resulta-

dos del mes de junio (véase la figura 19.2). Se observa que no hay puntos que caiganfuera de los nuevos límites. En total se tomaron 27 muestras en el mes de junio; 11 deellas tenían una fracción defectuosa mayor que el nuevo/?" y 16 una fracción defec-tuosa menor que el nuevo/?". El número total de tandas por encima y por debajo delpromedio es de 12, lo que está por encima del límite de posibilidad 0.05 para r = 11 ys = 16 (véase la tabla NI, apéndice II). La mediana de los 27 puntos es 0.10, y hay 6puntos con este mismo valor. Si estos 6 puntos se asignan en forma conservadora a lasclases de puntos situadas por encima y por debajo de la mediana, no habrá tandas lar-gas por encima o por debajo de la mediana. Tampoco hay tandas largas arriba o abajo.

iísíica industrial

larga tanda de

3, a continua-ol, indica que•es de los ope-adores habíande control de:as en las ques en aumentoconocimiento:a causa atri-

hadel Jo.deba que era laJucido ya su146/1.350 =gura 19.3, se"órmula

tivo.i los resuha-5 que caiganjunio; 11 de:ción defec-r debajo delara r = 11 y.10, y hay 6Dadora a lasi tandas lar-ibaoabajo.

Sec. 2.Cap. 19. Diagromasde control para fracción defectuosa

FIGURA 19.3Nomograma para calcular sigma o 3 sígma dados p' ,p" o p

433

200 300 «o 500 roo ooo 21X0 3000 B.OOO

* La ¡inea de rayas indica el [amaño de ¡a muestra para e! cual el limile inferior será cero. Reproducido con permisode "Aids ForComputingLimits forp-Chans" de John M. Howell, Industrial Quality Control, julio 1949, págs. 20-23. Eldiagrama original de Howell es mayor y liene más lineas de guía que el de la figura 19.3. Esta úllima permite únicamente unainterpolación aproximada entre las marcas de la escala. Deberá utilizar el original cuando se desee una mayor exactitud.

Por tanto, desde todos los puntos de vista el proceso parece estar bajo control en elnuevo nivel. Los valores p" = O.lOSyUCL = 0.240 se adoptan, por tanto, como valo-res estándar para propósitos de control durante julio.

Los resultados correspondientes a julio son los siguientes:

Fecha

Julio ]23 . .4 ...5 . .67

10 . . .111213 . .14 ...17

Número de piezasdefectuosas enmuestras de 50

7878336443422

Fecha

Julio 181920 . . . .21 . . . .23 ' . . .24 ....2526272829 . . . .3031

Número de piezasdefectuosas enmuestras de 50

1347274477056

La figura 19.4 muestra ia forma en que aparecen estos resultados en el diagrama decontrol trazado a principios del mes.


Se observará que ninguno de los puntos de la figura 19.4 cae más arriba del límitesuperior de control. De aquí se puede deducir que no ocurrió nada, durante el periodo,que aumentase la fracción defectuosa. El diagrama no tiene límite inferior, de mane-ra que tenemos que recurrir a otros procedimientos para determinar si algunas causasatribuibles han ocasionado en algún momento unas fracciones defectuosas excep-cionalmente bajas. Por incidencia esta dificultad se pudiera haber evitado al principiodel mes tomando una muéstralo suficientemente grande para que nos diera un límiteinferior en el diagrama.

FIGURA 19.4Un diagrama p en operación: continuación de i;i figura 19.2

7 10 14 17 2123 31Julio

De acuerdo con la regla 77 la tanda larga situada por debajo de la línea central quecomienza el 10 de julio sugiere que ha sucedido probablemente algo, alrededor de aqueltiempo, para hacer bajar la fracción defectuosa. Si seguimos una regla práctica buscare-mos una causa atribuible que se inicieel I9de julio. Sin embargo, al final de la discusión,veamos si hubiéramos podido llegar a la misma conclusión aplicando la teoría aceptadade las tandas.

Al emprender este estudio se deberá observar que la teoría diseñada en el capítulo18 refiere la longitud de las tandas a la mediana, y no a la línea central del diagrama. Estambién lógico en este caso incluir en nuestro análisis no sólo los datos correspondien-tes a julio, sino también los de junio, ya que la hipótesis que estamos comprobando esla de que las operaciones en julio son realmente las mismas que las de junio.

La mediana de las 53 muestras tomadas en junio y julio es de 0.10. Por conve-niencia para el análisis consideremos todas las muestras con fracción defectuosa iguala 0.10 como situadas por encima de la mediana, excepto la del 9 de j unió, que puede serignorada por el momento. (Hay 26 casos por debajo de 0.10 y 27 iguales o superiores a

7 Véase capítulo 18, sección 7.3, para un examen de esta regla.

•tica industrial

iba del límitee el periodo,DF, de mane-;unas causasjosas excep-: al principiosra un límite

3. central quedor de aqueltica buscare-la discusión,ría aceptada

•n el capítulo¡agrama. Esrespondien-probando esio.. Por conve-/tuosa igualue puede sersuperiores a

Sec. 3. 435Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

0.10, en total 53 casos. Una de las muestras de 0.10 se puede tomar como muestra me-diana, y el resto puede ser situada en la clase por encima de la mediana. Aquí tomamosla muestra para el 9 de junio como muestra mediana, ya que su omisión no produciríaninguna tanda larga ni afectaría el número total de tandas.) Con este ajuste se observa-rá que hay una tanda larga de 9 por debajo de la mediana comenzando el 10 de julio.Sin embargo, el límite 0.05 para n - 50, es una tanda de 10, de manera que incluso estatanda farga por debajo de la mediana no es suficiente para indicar una causa atri-buible. Con respecto al número total de tandas por encima y por debajo de la mediana,tendremos lo siguiente: en total hay 27 tandas por encima y por debajo de la mediana.Parar = s = 26, los valores limitadores de 0.005 y 0.05 son 17 y 20 (véase la tabla N3,apéndice II), los cuales son muy inferiores al número obtenido. Por tanto, en general lateoría de las tandas no sugiere laexístencia de causas atribuibles que produzcan una va-riación no aleatoria. En este caso no se comprueba la conclusión obtenida al aplicar laregla de 7.

El lector puede discutir que aunque la teoría de las tandas no da una razón parasospechar la existencia de causas atribuibles, sigue siendo cierto que el nivel de puntosen julio es menor que el de junio. Por supuesto, la pregunta verdadera resulta si es sig-nificativamente menor, esto es, si la diferencia en niveles en los dos meses puede ser ra-zonablemente consecuencia de la posibilidad. Hasta este momento no estamos prepa-rados para dar respuesta a esta pregunta. Sin embargo, se observa más adelante, en elcapítulo 26, que hay una probabilidad razonable de que la diferencia observada puedahaber ocurrido por casualidad.

Aunque la regla 7 y posiblemente la impresión general del lector sugiera que hayalgo que está originando la fracción defectuosa más baja, las pruebas estadísticas es-tándar no dan apoyo a esta conclusión. Si nos atenemos a la última, en este caso no re-visaríamos el diagrama de control al final de julio con base únicamente en las cifrascorrespondientes al propio julio. Si deseamos podemos combinar las cifras de junio yde julio, y determinar el valor de Abasado en las operaciones de los dos meses. Haga-mos esto o no sería aconsejable recomendar, por lo menos para el próximo mes, que eltamaño de la muestra aumente de 50 a 100, de manera que el diagrama/? tenga un límiteinferior (véase la figura 19.2).

3. DIAGRAMAS p CON n VARIABLE

El análisis de las secciones I y 2 se simplificó considerablemente porque toma-mos una muestra constante de 50 armazones. En muchos casos el diagrama de controlpor fracción defectuosa se basa en la inspección al 100% de la producción, y esta últi-ma varía de un día a otro. En este caso podemos proceder de una de las tres maneras si-guientes.

El procedimiento más recto consiste en calcular límites de control separados pa-ra cada resultado de muestra. Con límites 3 sigma, a'p varía inversamente con V«- Porello con un n diferente tendremos límites distintos. Como a'p varía inversamente conV«, cuanto mayor sea n menor será Q'P y más estrechos los límites. Por otra parte cuan-to menor sea n mayor será a'p y más amplios los límites. La figura 19.5 muestra undiagrama/? con límites variables. En este caso no hay límite inferior, de manera que só-lo aparece el límite superior.


FIGURA 19.5

Un diagrama p con muestras de distintos lámanos1

Orden de los embarques

* Esios dalos corresponden a la fracción defeci uosa de los adaptadores de balería ut ¡lízados en !os aparatos de manopara intercomunicación. Véase "Fraction Defective of Battery Adapter Used in Handie-Talkie", de F. A. Palumbo y Ed-ward S. Slrltgala, Industrial Qnality Control, noviembre 1945. págs. 6-8.

FIGURA 19.6

Ilustración de una hoja de trabajo para un diagrama p cuando n varía* (p" = 0.042 y 3 V P "(1 - P") =0.6015; para el resto de los datos véase la figura 19.5)

en julio

2021232425 —26272830

la muestra

. . . . . 90105105-155155155

. ... 210155155

de rechazos

0o482o475

de la muestra

0o

0 0380 0520 013

o0 0200 0450 032

3Vp"(I - P")

^0 0630 0*^90 0590 0480 048

0 048

UCLt

0 1050 1010 1010 0900 090

0 090

* Esios datos corresponden a l a fracción defectuosa de los adaptadores de batería. Véase "Fraciion Defective ofBattery Adapter Used in Handie-Talkie", de F. A. Palumbo y Edward S. Stntgala, Industrial Qua/ity Comrol, noviembre1945, pág. 8.

t UCL = p" + 3Vp"0 -~pT/ñ = 0.042 + 0.60Í5A/ÍÍ.

Fechaen julio

20 .

23242526272830

Un segundo procedimiento consiste en expresar nuestra variable en unidades dedesviación estándar. En otras palabras, en lugar de situar la fracción defectuosa de la

P-P" .. P-P'muestra en cada caso, calculamos '"(1 -p"} -. Esto' 'estabiliza'' o bien

la variable y el diagrama resultante se llama diagrama/) estabilizado. Por supuesto,en este diagrama los límites son constantes y ocurren en -3 y +3. La figura 19.7muestra la figura 19.5 en forma estabilizada.

El tercer procedimiento consiste en basar nuestros límites en una producciónpromedio. Esto dará límites constantes, lo que en la mayor parte de los casos se acercarárazonablemente a los límites exactos para cada muestra. Si la variación en el tamaño dela muestra es especialmente grande en un caso dado, o si una muestra cae muy próxima

lísíica industrial Sec. 3..Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

FIGURA 19.7Diagrama p estabilizado (datos iguales a los de la figura 19.5)

437

-

.

- • 1• '

os aparatos demano. A. Palumbo y Ed-

• . •

"FTUCLf

0.1050.1010.1010.0900.0900.0900.0840.0900.090

action Defective ofControl, noviembre

ti unidades defectuosadela

.biliza" o bien

*or supuesto,a figura 19.7

a producciónos se acercaráel tamaño denuy próxima

p

2

0-1-2

UCL

j vy v v7* ^ LCL

Orden de los embarques

FKil'RA 19.8Ilustración de una hoja de trabajo para un diagramap estabilizado* (p " =•-- 0.042;UCL = 3.0; LCL = -3.0.)

Fechaen julio

202123 .2425 : ; ; : : : : : : ; :26272S_30

* liasaiioohró habí miad b inun

a los limites a]determinar silar límites examiento. Cormse aplica en fe

FIGI

(misi

P

0.10

0.05

0

. .-r .,- , f / P U ~ P

¡a muesira de rechazos de la muestran c p = c/n = a¡l

90 0 0 0.021105 0 0 0.020105 4 0.038 0.020155 8 0.052 0.016155 2 O.OÍ3 0.016155 0 0 0.016210 4 0.020 0.014155: 7 0.045 0.016155" 5 0.032 0.016

Vp "(!-/> 0=0.2005;

P -P"-" O "p — p P

-0.042 -2.0-0.042 -2.1-0.004 -0.2+ 0.010 +-0.6-0.029 -1.8-0.042 -2.6-0.022 -í.6+ 0.003 +0.2-0.010 -0.6

i la t l u L i r u 19.6. Véase también e| capítulo 23. sección 4, para un examen acerca cié cómo usare! pape! deia! al ira/ar un diagrama /) e^abüixaclo.

>roximados, de manera que necesitemos conocer los límites precisos parael punto está o no bajo control, podemos tomarnos la molestia de calcu-ctos para aquel caso particular. La figura 1 9.9 ¡lustra este tercer procedi-) este ú l t i m o procedimiento es el que supone menos trabajo, éste es el querma más habi tua l .

RA 19.9

rama p con 1 ( 1 basado en un tamaño promedio de muestra

nos dalos que en la figura 19.5)

- S f\- UCL

, / \y^ v vOrden de les embarques

'ística industrial

rticular acercana/?; ya que siectuosa de la" = 0.10, unaos puntos poresultado de lamestra consta:rá4vecesma-tción estándari. En tanto ennda muestra,• y 16 de las fi-bilizado unasi la probabili-as mejor estu-•a varía.8

ONTROLAR


5. LA CURVA ARL PARA UN DIAGRAMA p DE UN SOLO LÍMITEEMPLEADO PARA CONTROLAR LA PRODUCCIÓN EN CURSO

En la sección 7.4 del capítulo 18 se demostró que si un diagrama p tiene sola-mente un UCL y si los resultados de la muestra indicados en el diagrama son inde-pendientes entre sí, el número de muestras en promedio que han de tomarse antesde qu_e dicho diagrama detecte un promedio mayor está dado por 1/(1 — Pa), don-de Pg es la probabilidad de que un solo resultado de la muestra sea menor que oigual al UCL. La gráfica de estas ARL en función de los promedios aumentados co-rrespondientes daría una curva ARL para el diagrama.

En el caso del diagrama p de la figura 19.4, cuya línea central cae en 0.108 yel UCL en 0.240, los puntos seleccionados de la curva ARL se calculan en la figura19.14. La curva se muestra en la figura 19.15. Esto indica que si el promedio delproceso persiste en el nivel de la línea central del diagrama, habrá tandas largas, porejemplo, de 600 a 700 muestras en promedio, sin ningunas falsas alarmas. Para uncorrimiento hacia arriba relativamente pequeño, digamos de 0.15, la ARL será apro-ximadamente de 27 muestras. Si la fracción defectuosa promedio sube a 0.24 o más,el diagrama captará el cambio, por lo común en la primera o segunda muestras to-

FIGURA 19.11xión en curso; límites cuan-

urva CO parai diagrama deCO para un

•va CO se ob-; curvas CO se

•

e simple (UCL =:ríbución normal)

-obabitidad de:ión defectuosaTines ira < 0.240

1.0000.998560.96250.76120.50000.2643OJ76?0.05150.0104

íeson J. Duncan,

-di

Ilustración de una hoja de trabajo para deducir la curva CO para un diagrama p con doble limite (UCL =0.430; LCL = 0.064; n = 50)

Para/?' < 0. 10 uülícese'la distr ibución de Poisson.

p' p'n Prob. (c < 0.43n) - Prob. (c < 0.064n)

— o " o0 01 * 0.50 02 ! .00.03 1.50.04 2.00.05 2.50.06 3.00 08 4.00.10 5.0

00.0020.020.070.140.240.350.570.73

Parap' > 0.10 utilícese la disiribución normal.

P'

0.150.250.300.350.400.430.500.550.60

Vp'u - P')

0.3570.4330.4580.4770.490

0.5000;4980.490 *

P (I - P )n

0.05050.06120.06480.0675 •0.0693

0.07070.07040.0693

0.430 - p'

aP

5.542.942.011.190.430

-0.99-1.70-2.45

0.064 — p'

°P

-1.70-3.04-3.64

Prob.\4 - p'

L °P0.430 - p']

.- -; J0,950.9970.980.880.670.500.160.040.01

"-

FIGURA 19.12Curva característica de operación para un diagrama/; con límite simple: UCL = 0.240, n = 50(véase la figura 19.4)

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2-

0.) -

O

p' = Fracción defectuosa del proceso

p = Probabilidad de que las resultados dela muestra caigan dentro de loslímites de control

O 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 PJ

FIGURA 19.13Curva característica de operación para un diagrama p con límite doble: LCL = 0.064, f/Q, = 0.430,n = 50 (véase la figura 19.2)fts

0.60

n = 50 Sec. 6.Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuosa

FIGURA 19.14I lu s t r ac ión de una hoja de trabajo para deducir la curva ARL de undiagrama p (los datos corresponden a la figura 19.4 para p = 0.108,UCL = 0.240 y n = 50)

441

p'0

0.100.150.200.240.280.300.350.40

(Probabilidad (Pa) deuna fracción

defectuosa £ 0.240

1.0000.998560.96250.76120.50000.26430.17620.05150.0104

/ - P

00.001440.03750.23880.50000.73570.82380.94850.9896

ARL = l/(¡ -PB)

—694.4426.674.192.001.361.211.051.01

De la f igura 19.10

madas después de que ocurrió este último. Si la gerencia estima que es mejor detec-tar más rápidamente cambios menores, el tamaño n de la muestra debe aumentarse,lo cual reducirá el UCL. El diseño económico general de un diagrama p se describeen la' siguiente sección.

UCL = 0.430,

3.60 p'

6. TAMAÑO DE LA MUESTRA Y FRECUENCIA DEL MUESTREOPARA CONTROL EN CURSO

Como se indica en el capítulo anterior muchos diagramas de control por fraccionesdefectuosas se basan en la inspección al 100% de la producción, y la fracción defectuosapara la producción de cada hora, día o semana se anota en el diagrama. En este caso noson necesarias decisiones separadas en relación con la frecuencia del muestreo, ya queéste se basará lo más probablemente en conveniencias administrativas y en el ritmo ge-neral de la producción.

Cuando el diagrama/? está basado en una muestra de la producción total duranteun periodo dado, el ingeniero de control de calidad tendrá que decidir tanto el tamañode la muestra y la frecuencia del muestreo, como los mejores límites a utilizar. Los es-tudios teóricos que sugieren algunas de las mejores respuestas se examinan más ade-lante. Sin embargo, en primer lugar consideremos ciertos aspectos prácticos. Sip' espequeño, n deberá ser lo suficientemente grande para que tenga una buena posibilidadde alcanzar algunos elementos defectuosos en nuestra muestra. De otra manera nos en-contraríamos en una situación en la cual la ocurrencia de sólo un elemento defectuosoindicaría falta de control. Un autor9 ha sugerido que n sea lo bastan te grande para ob-tener uno o más elementos defectuosos por muestra, por lo menos 90 de cada 100 ve-

9 Control Charts in Factory Management de William B. Rice (Nueva Yorkí John Wiley & Sons, Inc.,1947),pág.82.

——


FIGURA 19.15Curva ARL para el diagrama p de un soloh'mite mostrado en la figura 19.14 (dalos de lafigura 19.14).

ees. Por ejemplo, sip' = 0.01, en tal caso si la posibilidad de c > 1 ha de ser igual 0.90[es decir, P(c< 1) = 0.10], habríamos detenerp'/j = 2.3,íoquesignificaque«habríade ser igual a 230.

Otro procedimiento para determinar el tamaño de la muestra consiste en razonarcomo sigue: Por ejemplo, supongamos que decidimos que el diagrama de control debaser tal que dé una posibilidad de 0.50 o más de alcanzar en una muestra simple un au-mento en la fracción defectuosa del proceso de por ejemplo 0.05. Por ejemplo, si/>" =0.07, desearemos tener una posibilidad de 0.50 o más de alcanzar en una muestrasimple un cambio a un proceso de fracción defectuosa de/?' = 0.12omás.Si/7'n > 5,

ística industrial

ser igual 0.90i que «habría

' e en razonarControl deba

¡imple un au-npío,sij9" =una muestra

Sec. 6. 443Cap. 19. Diagramas de control para fracción defectuoso

como se da frecuentemente, podemos utilizar la curva normal para calcular las proba-bilidades. Esto significa que n deberá ser tal que el límite superior de control sea igual ap" más el aumento en el promedio del proceso en que deseamos una posibilidad de 0.50de detectar en una muestra simple (porque cuandop' = UCL habrá una posibilidad de0.50 de que un punto se encuentre sobre el UCL si la distribución de p es normal). Por

ello e_n este caso podemos deducir n de la relación 3 - P") = d, en donde rf es

el aumento en p' que deseamos con una posibilidad de 0.50 de alcanzar en una muestra

simple. Así en el ejemplo anterior tendríamos 3 ^J — '• - '• — = 0.05, lo que da n =

234. Si/?'« resulta ser menor de 5, podremos hacer algunos ajustes con ayuda de ladistribución de Poisson o la propia distribución binomial (véase el capítulo 21, Sec. 8).Si se desea que el diagrama tenga una probabilidad de 0.90 de captar en una solamuestra un incremento d en p entonces n estaría dado por la relación (1.282 + 3)

i"(l -p")— = d puesto que la probabilidad es justo 0.90 de una variable normal

nestandarizada que caiga arriba de -1.282. En el ejemplo se tendría (1.282 + 3)

= 0.05, de donde n = 478,

Los estudios teóricos mencionados antes se basan en e! trazado de un diagrama,tal que minjmice los costos y las pérdidas implícitas en e! funcionamiento del diagra-ma. Si los costos pertirienies pueden ser estimados, un procedimiento relativamentesimple se puede obtener probablemente diseñando un diagrama específico que seaaproximadamente el óptimo."1 Los estudios realizados por el autor sugieren algunasconclusiones de tipo general. A menos que el costo de actuar con base en falsas alarmassea muy elevado en relación con el costo unitario de inspección, digamos por ejemplo500 veces o más, los límites de control deberán ser tales que dos o más elementos defec-tuosos en una muestra indiquen una falta de control. Incluso cuando este costo es ele-vado los números de aceptación son por lo general bajos, digamos 3-5. Los tamañosde las muestras vienen en general determinados por el grado de desplazamiento que seespera en el proceso. El autor encontró que para un diagrama trazado para sorprenderun cambio en el promedio del proceso de 0.01 a 0.06, los tamaños demuestras de apro-ximadamente 30 a 70 resultaron los óptimos, produciéndose los tamaños mayorescuando el número de aceptación era 2 ó 3 contra 1 . Para sorprender un cambio de 0.01a 0.02, los tamaños de muestras con un número de aceptación de 1 pasan a ser aproxi-madamente de 80 a 120. Para un número de aceptación de 5, los tamaños de lasmuestras estaban en las cercanías de 300. Con un nivel inicial superior aO. 05 y un cam-bio a 0.07 los tamaños óptimos de muestras pueden ser aproximadamente de 30 a 50,con un número de aceptación de 1. Con «determinado en buena medida por el tamañodel cambio a detectar, los ajustes en variación en el ritmo de pérdidasy en los costos deinspección vienen en buena medida determinados por la variación en la frecuencia del

1(1 Compárese con el méiodo desarrollado por W.K. Chiu y G.B. Wetherill para diagramas Xen "A Simplified Scheme for the Economic Design of A'-charts", Journal of Quality Technology,Vol. 6, abril 1974, págs. 63-69.

. . -


FIGURA 19.16Curvas características de operación para diagramas p correspondientes a datos anteriores* (el diagramada la probabilidad de fallar en la delección de un so\o cambio a partir de un estado de control al nivel/», ' , alnivelpí:g = 20, n = 50)

Probabilidad de aceptarta hipótesis de control

= 0.05

* Véase Olds (B '56) en la Lista General de Obras de Consulta.

muestreo. Con un alto nivel de pérdida, consecuencia de operar en un estado fuera decontrol, el intervalo entre muestras deberá ser pequeño; con costos de inspección ele-vados este intervalo deberá ser grande.

.20

-10

7. LA FUNCIÓN CO PARA UN DIAGRAMA p UTILIZADOPARA ANALIZAR DATOS ANTERIORES

El profesor Edwin G. Olds'1 ha realizado un amplio estudio del valor de undiagrama/? utilizado para estudiar datos anteriores. Se ha preocupado en particularcon la situación siguiente. Supone que para g — 1 ocasiones, en las cuales el proceso hasido muestreado, se ha encontrado en control al nivel /?,', pero en una ocasión estabaoperando a un nivel más elevado p2'.

En el caso que acabamos de examinar Olds ha determinado la probabilidad deque la muestra tomada en la ocasión en que/?' = p2' dé una fracción defectuosa p quecaiga por encima del límite de control 3 sigma calculado para todos los subgrupos g.Para 20 subgrupos de 50 piezas cada uno, por ejemplo para g = 20 y n = 50, la proba-bilidad de dejar de detectar tal desplazamiento simple (que es igual a uno menos la pro-babilidad de detectarlo) aparece en la figura 19.14 para valores de/?,' = 0.01, 0.03 y0.05. El propio diagrama expresa la probabilidad de aceptación como función de/?2 '.Se observará que las curvas dependen de valores específicos de/?,' yp,', y no simpíe-

11 Véase Olds (B '56) en la Lista Genera! de Obras de Consull a.

•tica industrial

••'•' U-1 diagrama>l al nivel/r,' , al

• -

ido fuera depección ele-

/alor de uni particularproceso hasión estaba

abilidad de:uosapquebgrupos¿?.), la proba-mos la pro-i.Ol, 0.03 y:;ón de/?2'.•¡o simple-


FIGURA 19.17Limites superior e inferior correspondientes al riesgo de que un solo punto caipa más alta del limite de con-trol superior ? sigma en un diagrama p, cuando el proceso se encontraba bajo control al nivel p' en cadamues(reo:,íf = 20. n = 5(1*

Límites superior einferior para a.

0=20n=50

i i i i i i i

• * Véase Olds (B '56) en la Lisia General de Obras de Consulta.

mente de su diferencia. El estudio realizado por Olds muestra que para un número de-terminado g de subgrupos, la probabilidad de dejar de detectar el desplazamiento dis-minuye directamente con el aumento en el tamaño n de la muestra. Indica también quepara un n dado disminuye con un aumento en g.

El riesgo de encontrar un punto por encima del límite de control superior 3 sigmay resolver equivocadamente que hay una falta de control, cuando en realidad el proce-so se encuentra bajo control al nivel/?' ~ p{ para todas las muestras g, se puede llamarun riesgo o- asociado con un diagrama/? particular y un nivel específicop{. Los límitessuperior e inferior para este riesgo, cuando g = 20, n - 50, aparecen en la figura 19.15como función de/?'. Para un g dado este riesgo disminuye a medida que n aumenta, pe-ro para un n dado aumenta cuando g aumenta. Olds indica que para un total de 200 ele-mentos de muestra un g de 10 y un n de 20 es mejor que ung de 20 y un n de 10, por razónde que en el segundo caso el riesgo a es más bajo, en tanto que la fuerza del diagramapara detectar las diferencias es mayor. Sin embargo, para que la comparación sea váli-da los intervalos de producción habrán de ser iguales para los dos diagramas.

8. DIAGRAMAS p Y PRUEB AS x1

Al analizar un conjunto de muestras anteriores en busca de falta de control es po-sible, como alternativa al diagrama/7, situar los datos en la forma de una tabla de con-tingencias 2 x n, y llevar a cabo una prueba x2 de homogeneidad. Este procedimientoalternativo se examina en el capitulo 28.

La diferencia entre un análisis de datos anteriores mediante diagrama p y me-diante prueba x2 , radica principalmente en el tipo de desviación que lleve al rechazo dela hipótesis del control o la homogeneidad. En el primero una simple desviación mar-cada llevará al rechazo, en tanto que en el último el rechazo se basa fundamentalmenteen las separaciones promedio de las expectaciones hipotéticas. Las curvas CO para losdos análisis ponen de relieve esta diferencia. El análisis de Olds en la sección 6 expresóla probabilidad de aceptación como función de la diferencia entre un nivel de controlgeneral p{ y un simple desplazamiento a/?2'. La curva CO para una prueba x2 actúa,en

.- .. . .-,TVi .^.-,-..-..--,. ..


función de las diferencias al cuadrado entre unp' común hipotético y una alternativap¡, que puede ser diferente para cada muestra. En la industria estamos en general másinteresados en un desplazamiento simple marcado que en una diferencia promedio ge-neral.

9. PROBLEMAS0

19.1. Utilizando los datos siguientes, trácese un diagrama/; para el control de la pro-ducción durante el próximo mes. Supóngase que las causas atribuibles han sidoencontradas en el caso de todos los puntos situados fuera de los límites deldiagrama de control. Trácese la curva CO para este diagrama;?. Deduzca lacurva ARL que indicará la efectividad del diagrama a usar el siguiente mes paraun incremento en el promedio.

Díadel mes

Númeroinspeccionado

Númerodefectuoso

1 200 62 200 64 200 65 200 56 200 O

7 200 O8 200 6"

10 200 1411 200 412 200 O

13 200 114 200 815 200 - 217 : 200 418 200 7

19 200 120 200 321 200 I22 200 424 200 ' O

25 200 426 200 1527 200 428 .. 200 1

See.9.Cap. 19,

cc

19.3. 1eb

19.4. Ld

19.2. Supóngase que las fracciones defectuosas del problema 3.3£7(iii) están todasbasadas en una muestra de 180. Considérese que las primeras 24 de estas cifrasrepresentan la producción durante el mes anterior, y pásese a determinar loslímites de control para controlar la producción del mes siguiente. (Supongamosque se han encontrado las causas atribuibles en el caso de cada uno de los pun-tos situados fuera de ios límites del diagrama inicial.) Consideremos los datosrestantes como la producción para el próximo mes, y situémoslos en el diagra-ma trazado para dicho mes. ¿Se encuentra la producción del segundo mes bajo George V. I


0.50 de ser advertido en la primera muestra después del cambio. ¿Qué tamañodeberá tener su muestra diaria para los fines del diagrama de control?

19.11. El promedio del proceso ha resultado ser de 0.07. Usted desea un cambio a unpromedio del proceso de 0.10, que tenga aproximadamente una posibilidad de0.50 de ser advertido en la primera muestra después del cambio. ¿Qué tamañodeberá tener su muestra diaria para los propósitos del diagrama de control?

20

10. REFERENCIAS SELECCIONADAS*

American Society for Quality Control (B: ANSI/ASQC Stds, Zl. 1, Zl .2 y Zl .3 1985 yP '46-), American Society for Testing Materials (B '76), Armstrong (P '46), Burr(B '76), Cowden (B '57), Duncan (P '78), Gibra (P '78 y P '81), Grant y Leaven-worth (B '80), Kennedy (B '48), Knowler (P *46), Nelson (P '83), Olds (B '56),Palumbo y Strugala (P '45), Peach (B '47), Reynolds (P '71), Rice (B '47), Schrock(B '50), Simón (B '41), Smith, E. S. (B '47), U.S. War Production Board, Office ofProduction Research and Development (OPRD), Quality ControlReporís, 1945-,y Williams, Looney y Peters (P '85).

* Las letras "B" y "P". se refieren a las secciones de Libros (Books) y Publicaciones (Periodicals)respectivamente, de la Lista General de Obras de Consulta del apéndice V.

19 diagrama p

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