１９９９年度

基礎数学ワークブック

１

解答

< 1ページ. 省略記号の変更 >

問1の解答

(1)6

5(2)

11

4(3)

17

3(4)

19

2

問2の解答

(1) 33x2y3 (2) 4x3y ¡ 12x2y2

< 2ページ. 通分 >

解答

(1)23

12(2) ¡11

24(3)

43

36(4)

6x+ ay

ax

< 3ページ. 分数の簡単化 >

解答

(1)6

7

(2)36

13

(3)12

5

(4)1

7

(5)3x

2x¡ 3y

(6)ac

bc+ ad

< 4ページ. 文字式の展開1 >

解答

(a+ b + c)2 = (a+ b + c)(a+ b+ c)

= a(a+ b + c) + b(a+ b+ c) + c(a+ b+ c)

= a2 + ab + ac + ba+ b2 + bc+ ca+ cb+ c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

< 5ページ. 文字式の展開2 >

解答

(1) (a+ b)(a¡ b) = a(a¡ b) + b(a¡ b)

= a2 ¡ ab+ ab¡ b2

= a2 ¡ b2

(2) (a¡ b)2 = (a¡ b)(a¡ b)

= a(a¡ b)¡ b(a¡ b)

= a2 ¡ ab¡ ab+ b2

= a2 ¡ 2ab+ b2

(3) (x+ a)(x+ b) = x(x+ b) + a(x+ b)

= x2+xb+ax+ab = x2+(a+b)x+ab

(4) (x¡ a)(x¡ b) = x(x¡ b)¡ a(x¡ b)

= x2¡xb¡ax+ab = x2¡(a+b)x+ab

(5) (x+y)(x2¡xy+y2) = x(x2¡xy+y2)+y(x2¡xy+y2)

= x3¡x2y+xy2+x2y¡xy2+ y3

= x3 + y3

(6) (a¡ b)3 = (a¡ b)(a¡ b)(a¡ b)

= (a¡ b)(a2 ¡ 2ab+ b2)= a3 ¡ 3a2b+ 3ab2 ¡ b3

< 6ページ. ピタゴラスの定理1 >

解答

図のように底辺a、高さ bの直角三角形を

４個用意して置くと、一辺の長さが a+ b

の正方形ができる。この正方形の面積を S

とおくと、

(1) S = (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

　である。

一方 S は４個の直角三角形と中の１個の

正方形の面積の和で表されるから、

(2) S = 4

µ1

2ab

¶+ c2

となる。

(2) = (1) であるから、

4

µ1

2ab

¶+ c2 = a2 + 2ab + b2 より

c2 = a2 + b2

となる。

< 7ページ. ピタゴラスの定理2 >

問1の解答

c2 = 122 + 52

= 144 + 25

= 169

よって c = 13

問2の解答

b2 = 172 ¡ 152

= 289¡ 225

= 64

よって b = 8

問3の解答

a2 = 292 ¡ 212

= 841¡ 441

= 400

よって a = 20

< 8ページ. 平方根 >

解答

< 9ページ. p の計算1 >

解答

(1)p3£ 12 = p36 = 6

(2)

r128

8=p16 = 4

(3)

r3£ 506

=p25 = 5

< 10ページ. p の計算2 >

問1の解答

(1) (p8 +

p6)2 = 8 + 2

p48 + 6 = 14 + 8

p3

(2) (p7¡p2)2 = 7¡ 2p21 + 3 = 10¡ 2p21

(3) (p3 +

p2)(p3¡p2) = 3¡ 2 = 1

(4) (p5 + 2)(

p5¡ 2) = 5¡ 4 = 1

問2の解答

(1)

p2p3=

p2p3

3=

p6

3

(2)1p

5¡p3 =1£ ¡p5 +p3¢

5¡ 3 =

p5 +

p3

2

(3)

p3¡p2p3 +

p2=(p3¡p2)23¡ 2 = 3¡ 2

p6 + 2 = 5¡ 2

p6

< 11ページ. 2次方程式1 >

解答

(1) 8x2 ¡ 14 = 0

x2 =14

8=7

4

x = §p7

2

(2)

µx¡ 5

4

¶2¡ 2716= 0

x¡ 54= §

r27

16= §3

p3

4

x =5§ 3p3

4

< 12ページ. 2次方程式2 >

解答

(1) x = 2§p3

(2) x =¡5§p29

2

< 13ページ. 2次方程式3 >

解答

ax2 + bx+ c = 0

x2 +b

ax = ¡c

a

µx+

b

2a

¶2= ¡c

a+

µb

2a

¶2µx+

b

2a

¶2= ¡4ac

4a2+b2

4a2

x+b

2a= §

rb2 ¡ 4ac4a2

x = ¡ b

2a§rb2 ¡ 4ac4a2

=¡b§pb2 ¡ 4ac

2a

< 14ページ. 2次方程式4 >

解答

(1) ① BF= x¡ 1

② EH= x¡ 1

③ FH= 2¡ x

④ FG= 2¡ x

(2) x : 1 = x¡ 1 : 2¡ x

x¡ 1 = x(2¡ x)

x2 ¡ x¡ 1 = 0

x =1§p52

x > 0より (答) x =1 +

p5

2

< 15ページ. プロットによるグラフの作図 >

解答

(1) y = x2 + 4x+ 3

(2) y = ¡x3 + 3x2 ¡ 2

< 16ページ. 累乗根 >

解答

(1) 12

(2) 0:2

(3)2

3

(4) 5

r224 + 19

32=3

2

< 17ページ. 整数指数 >

解答

(1) 1

(2)1

34=1

81

(3) 35 £ 1

92=243

81= 3

(4)1

(23)2=1

82=1

64

< 18ページ. 分数指数 >

解答

(1) 11

(2)¡

3p125

¢2= 52 = 25

(3)¡

5p32¢6= 26 = 64

(4)

Ã3

r8

1000

!4=

µ2

10

¶4=

16

10000= 0:0016

< 19ページ. 指数法則 >

問1の解答

1± : ap £ aq = a p+ q 2± : ap £ aq = a p¡ q

3± : (ap)q = a p£ q

問2の解答

(1) 6413£ 12 =

¡26¢ 16 = 21 = 2

(2) (243 £ 523 )£ (223 £ 543 ) = 243+23 £ 523+43 = 22£ 52 = 100

(3)¡2£ 33¢ 14 £ ¡23 £ 3¢ 14 = ©¡2£ 33¢£ ¡23 £ 3¢ª 1

4

=¡21+3 £ 33+1¢14

=¡24 £ 34¢14

= 2£ 3 = 6

(4)¡2£ 32¢ 13 £ ¡22 £ 3¢ 13 = 213+23 £ 323+13 = 2£ 3 = 6

< 20ページ. 指数関数 >

解答

(1) y = 2x

(2) y = 4x

(3) y =

µ1

2

¶x

< 21ページ. 常用対数1 >

解答

(1) log10¡103¢= 3

(2) log10

µ1

10

¶= log10

¡10¡1

¢= ¡1

(3) log10

³p10´= log10

³10

12

´=1

2

(4) log10

µ1

1012

¶= log10

³10

¡ 12´= ¡ 1

2

< 22ページ. 常用対数2 >

問1の解答

log10(230) = 30£ log102 = 30£ 0:301 = 9:03

230 = 109:03より答 10桁

問2の解答

(1) log10

µM

N

¶= log10M ¡ log10N

(2) log10 (Mn) = n£ log10 (M) = n log10M

< 23ページ. 一般の対数 >

問1の解答

(1)1

2= log3

p3

(2) ¡1 = log10 0:1

(3) 32 = 25

(4) 4 = 823

問2の解答

(1) log2 64 = 6

(2) log3 27 = 3

(3) log2 0:5 = ¡1

(4) log4 2 =1

2

< 24ページ. 対数の性質 >

問1の解答

(1) loga

µM

N

¶= loga (M)¡ loga (N)

(2) loga (Mn) = n£ logaM = n logaM

問2の解答

(1) log6(18£ 2)

= log636

= 2

(2) log10

µ500£ 400

20

¶= log10(500£ 20)

= log10(10000)

= 4

< 25ページ. 対数関数 >

解答

(1) y = log10 x

(2) y = log2 x

(3) y = log 12x

< 26ページ. 直角三角形 >

問1の解答

c =pa2 + b2

問2の解答

AD=p3

問3の解答

BC=1

2

AB=

p3

2

問4の解答

AB=BC=

p2

2

< 27ページ. 平面上の距離と円の方程式 >

問1の解答

r2 = (x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2

問2の解答

r2

問3の解答

(1) 中心 (1 ; 2) 、半径＝ 3

(2) 中心 (¡2 ; 0) 、半径＝ 5

(3) 中心 (0 ; 0) 、半径＝ 4

< 28ページ. 三角法 >

解答

BC

AC=B0C0

A0C0=

1p3= 0:5774

BC = AC £ 0:5774 = 10£ 0:5774 = 5:774木の高さ= BC + 1:5 = 5:774 + 1:5 = 7:274

< 29ページ. 三角比 >

解答

sin 45± =p2

2

cos 45± =p2

2

tan 45± = 1

< 30ページ. 三角関数の定義 >

解答

(1) sin 180± = 0 ; cos 180± = ¡1 ; tan 180± = 0

(2) sin 270± = ¡1 ; cos 270± = 0

< 31ページ. 三角関数の値1 >

問1の解答

(1) cos 30± =p3

2

(2) sin 30± =1

2

(3) tan 30± =1p3=

p3

3

問2の解答

(1) cos 60± =1

2

(2) sin 60± =p3

2

(3) tan 60± =p3

問3の解答

(1) cos 45± =p2

2

(2) sin 45± =p2

2

(3) tan 45± = 1

問4の解答

(1) cos 135± = ¡p2

2; sin 135± =

p2

2; tan 135± = ¡1

(2) cos 225± = ¡p2

2; sin 225± = ¡

p2

2; tan 255± = 1

(3) cos 315± =p2

2; sin 315± = ¡

p2

2; tan 315± = ¡1

< 32ページ. 三角関数の値2 >

問1の解答

(1) cos 150± = ¡p3

2; sin 150± =

1

2; tan 150± = ¡

p3

3

(2) cos 210± = ¡p3

2; sin 210± = ¡1

2; tan 210± =

p3

3

(3) cos 330± =p3

2; sin 330± = ¡1

2; tan 330± = ¡

p3

3

問2の解答

(1) cos 120± = ¡12; sin 120± =

p3

2; tan 120± = ¡p3

(2) cos 240± = ¡12; sin 240± = ¡

p3

2; tan 240± =

p3

(3) cos 300± =1

2; sin 300± = ¡

p3

2; tan 300± = ¡p3

問3の解答

< 33ページ. 一般角 >

解答

(1) sin 500± = sin 140±

(2) cos (¡120±) = cos 240±

(3) tan 900± = tan 180±

< 34ページ. 三角関数の性質1 >

問1の解答

(1) sin (µ + 180±) = ¡ sin µ(2) cos (µ + 180±) = ¡ cos µ(3) tan (µ + 180±) = tan µ

問2の解答

(1) sin (¡µ) = ¡ sin µ(2) cos (¡µ) = cos µ(3) tan (¡µ) = ¡ tan µ

< 35ページ. 三角関数の性質2 >

問1の解答

(1) sin (90± ¡ µ) = y0 = x = cos µ(2) cos (90± ¡ µ) = x0 = y = sin µ

問2の解答

(1) sin 200± = sin(180± + 20±) = ¡ sin 20± = ¡0:342cos 200± = ¡ cos 20± = ¡0:9397tan 200± = tan 20± = 0:364

(2) sin(¡20±) = ¡ sin 20± = ¡0:342cos(¡20±) = cos 20± = 0:9397tan(¡20±) = ¡ tan 20± = ¡0:364

(3) sin 70± = cos 20± = 0:9397

cos 70± = sin 20± = 0:342

< 36ページ. 三角関数の性質3 >

問1の解答

tan µ =sin µ

cos µ

問2の解答

問3の解答

sin2 µ = 1¡ cos2 µ = 1¡µ3

5

¶2= 1¡ 9

25=25¡ 925

=16

25

sin µ = §r16

25= §4

5

< 37ページ. 極座標表示 >

解答

(1) (1 ; 1) =¡p2 cos 45± ;

p2 sin 45±

¢(2)

¡¡1 ; p3¢ = (2 cos 120± ; 2 sin 120±)

< 38ページ. 余弦定理1 >

解答

(1) P( a ; 0 )

Q( b cos µ ; b sin µ )

(2) PQ2 = (b cos µ ¡ a)2 + (b sin µ)2

(3) PQ2 = b2 cos2 µ ¡ 2ab cos µ + a2 + b2 sin2 µ= a2 + b2 ¡ 2ab cos µ

(4) c2 = a2 + b2 ¡ 2ab cos µ

< 39ページ. 余弦定理2 >

問1の解答

c2 = a2 + b2 ¡ 2ab cos µ

問2の解答

(1) c2 = 32 + 42 ¡ 2£ 3£ 4£ cos 60±

= 25¡ 12 = 13 ; c =p13

(2) c2 = 32 + (2p2)2 ¡ 2£ 3£ 2p2£ cos 135±

= 9 + 8 + 12

= 29 ; c =p29

< 40ページ. 加法定理1 >

解答

(1) Q( cos¯ ; sin¯ )

(2) P( cos® ; ¡ sin® )

(3) PQ2 = (cos¯ ¡ cos®)2 + (sin¯ + sin®)2

(4) PQ2 = cos2 ¯¡2 cos® cos¯+cos2®+sin2 ¯+2 sin® sin¯+sin2 ®= 2¡ 2 cos® cos¯ + 2 sin® sin ¯

(5) PQ2 = 12 + 12 ¡ 2 cos(®+ ¯)= 2¡ 2 cos(®+ ¯)

(6) cos(®+ ¯) = cos® cos¯ ¡ sin® sin¯

< 41ページ. 加法定理2 >

解答

cos 105± = cos(60± + 45±) = cos 60± cos 45± ¡ sin 60± sin 45±

=1

2£p2

2¡p3

2£p2

2=

p2¡p64

sin 105± = sin(60± + 45±) = sin 60± cos 45± + cos 60± sin 45±

=

p3

2£p2

2+1

2£p2

2=

p6 +

p2

4

< 42ページ. 加法定理3 >

問1の解答

sin(®+ ¯) = sin® cos¯ + cos® sin ¯

問2の解答

(1) cos 165± = cos(120± + 45±)

= cos 120± cos 45± ¡ sin 120± sin 45±

=¡p2¡p6

4

(2) sin 165± = sin(120± + 45±)

= sin 120± cos 45± + cos 120± sin 45±

=

p6¡p24

問3の解答

(1) cos(®¡ ¯) = cos® cos¯ + sin® sin¯

(2) sin(®¡ ¯) = sin® cos¯ ¡ cos® sin ¯

< 43ページ. 加法定理4 >

問1の解答

tan 105± = tan(60± + 45±)

=tan 60± + tan 45±

1¡ tan 60± tan 45± =p3 + 1

1¡p3 = ¡(2 +p3)

問2の解答

tan(®+ ¯) =tan®+ tan¯

1¡ tan® tan¯

< 44ページ. 弧度法1 >

解答

< 45ページ. 弧度法2 >

問1の解答

問2の解答

(1) L = µr

(2) S =1

2µr2

< 46ページ.三角関数のグラフ>

解答

(1) y = sinx

(2) y = cosx

(3) y = tanx

< 47ページ.正弦波1>

解答

< 48ページ.正弦波2 >

解答 振幅は 3

< 49ページ.正弦波3>

解答 周期2

3¼

< 50ページ.正弦波4 >

問1の解答 振幅 2 ; 周期¼

2

問2の解答 振幅 A ; 周期2¼

B

問3の解答

x0 = y0 = 1 ; A =p2 ;

B = 1 ; C = 45± =¼

4

sin x+ cosx =p2 sin

³x+

¼

4

´