1학기 11주.ppt [호환 모드] -...

20
11장. 각운동량 (Angular Momentum) 11.1 벡터곱과 토크 11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량) 11.3 회전하는 강체의 각운동량 11.4 분석 모형: 고립계(각운동량) 11.5 자이로스코프와 팽이의 운동 1

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  • 11장. 각운동량(Angular Momentum)

    11.1 벡터곱과 토크

    11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량)

    11.3 회전하는 강체의 각운동량

    11.4 분석 모형: 고립계(각운동량)

    11.5 자이로스코프와 팽이의 운동

    1

  • 11.1 벡터곱과 토크(The Vector Product and Torque)

    11.1 벡터곱과 토크(The Vector Product and Torque)

    앞에서 배운 토크를 다시 생각해보자. 토크의 크기는

    토크의 방향은 오른나사 법칙을 따르므로, 토크를 벡터 연산으로 표현하면

    이런 연산 규칙을 벡터곱 또는 크로스곱이라고 한다.

    FdrF sin

    Frτ

    BAC C 의 크기는 sinABC 두 벡터가 만드는 평행사변형의 면적에 해당한다.

  • ABBA

    CABAC)BA (

    dtd

    dtd

    dtd BABABA )(

    CBACBA )()(ABBA

    C 의 방향은 두 벡터가 만드는 평면에 수직이며, 오른손 법칙에 의해 결정된다.

    - 분배 법칙 성립

    - 교환법칙, 결합법칙 성립하지 않는다

    - if Θ =0° or 180° ⇒ BA

    //

    0)180or(0sin ABBA

    - if Θ =90° ⇒ BA

    ABABBA 90sin

    (AB평면에 수직방향)

  • (x,y,z)

    k

    j

    z

    x

    y

    0 kkjjiikijji

    jkiik ijkkj

    kji

    ijikjk

    kjikjiBA

    )()()(

    )()(

    xyyxzxxzyzzy

    yzxzzyxyzxyx

    zyxzyx

    BABABABABABA

    BABABABABABA

    BBBAAA

    kjikji

    BAyx

    yx

    zx

    zx

    zy

    zy

    zyx

    zyx BBAA

    BBAA

    BBAA

    BBBAAA

    또는

    kjiBA )()()( xyyxxzzxyzzy BABABABABABA

    cf) 단위 vector : kji ˆ,ˆ,ˆ

    o Vector Production의 성분 분해

  • 토크 벡터예제 11.2

    F=(2.00ti+3.00tj)N의 힘이 z축과 나란한 고정축 주위로 회전하는 물체에 작용한다. 이힘이 r=(4.00ti+5.00tj)m에 위치한 점에 작용할 때, 토크 벡터 τ를 구하라.

    풀이 토크의 정의에 대입하면

    Nm )00.300.2()00.500.4( jijiFrτ

    mN

    ])00.3)(00.5()00.2)(00.5(

    )00.3)(00.4()00.2)(00.4[(

    jjij

    jiiiτ

    mNmN kkk 0.2]00.100.120[

  • - 힘과 운동량 사이의 관계 :dtpd

    dtvdmamF

    선운동량과 유사하게, 회전 운동에 관한 운동량을 생각하자.

    dtdpF dt

    dprτFr

    - Considerdtpdr

    dtpdrp

    dtrdpr

    dtd

    )(

    ∵ vdtrd 0 vvmvmvpv ⇒

    (p=mv이므로 v와 같은방향이고 p x v=0이다)

    dtd

    dtd

    dtd )( prprprτ

    이므로0 prdtd

    prL ,dtdLτ )( dt

    dpF 각 운동량

    11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량)(Analysis Model: Nonisolated System(Angular Momentum))

    11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량)(Analysis Model: Nonisolated System(Angular Momentum))

  • - Define) 각운동량 (Angular Momentum) :

    원점 O에 대한 입자의 순간 각운동량(angular momentum) L은 입자의 순간 위치벡터 r 과 순간 선운동량 p 의 벡터곱으로 정의된다.

    prL

    ◈입자계의 각운동량 (Angular Momentum of a System of Particles)

    i

    ntot iLLLLL 21

    i

    ii

    itot

    dtd

    dtd τLL

    dt

    d totext

    pF

    - Torque는 각운동량의 시간 변화율과 같다

    - 각운동량의 방향은 Torque의 방향과 같다

    각 운동량

    dtd tot

    extLτ

  • Ex) 질량 m 이 속도 v 로 직선 운동시 원점 O 축에 대한 각운동량은?

    풀이 mvdrpprL sin

    방향 : -z 축 방향

    kmvdL ˆ

    cf) O' 축에 대한 각운동량은?

    - 이 경우 pr // → 00sin rpprL

    - 원운동시 :풀이 pr

    kmvrrpprL ˆ90sin

    - 방향 : 반시계 방향 : "+" sign, +z축 방향

    cf) v =rω → ImrL 2

    원운동을 하는 입자의 각운동량예제 11.3

  • 끈으로 연결된 두 물체예제 11.4

    질량이 m1인 구와 질량이 m2인 상자가 도르래를 통해 가벼운 끈으로 연결되어 있다. 도르래의 반지름은 R 이고 테의 질량은 M 이며, 도르래 살의 무게는 무시할 수 있다. 상자가 마찰이 없는 수평면에서 미끄러진다고 할 때, 각운동량과 토크의 개념을 이용하여 두물체의 선가속도를 구하라.

    풀이 도르래 회전축에 대한 각운동량을 살펴보면

    321 LLLL

    )ˆ(

    )ˆ(

    )ˆ(

    2

    222

    111

    zMRvMRIL

    zvRmprL

    zvRmprL

    R

    RvMmmRMvvRmvRmL

    )()1(

    21

    21

    dtdvRMmm

    RvMmmdtd

    dtdL

    gRmgRmFr

    )(

    )(

    )()2(

    21

    21

    11

    ∵ v1 =v2 =v=RωIR=MR

    2,

    Mmmgm

    dtdvat

    21

    1

  • 11.3 회전하는 강체의 각운동량(Angular Momentum of a Rotating Rigid Object)

    11.3 회전하는 강체의 각운동량(Angular Momentum of a Rotating Rigid Object)

    z축과 일치하는 고정축 주위로 회전하는 강체의 각운동량을 결정하자. 강체의 각 입자들은 xy 평면 내에서 z축 주위를 각속력 ω로 회전한다. 질량이 mi 인 입자의 z-축에 대한 각운동량의 크기는 miviri 이다

    강체 전체의 각운동량은

    2iii rmL )( rv

    iii

    iii

    iiz rmrmLL

    22

    IL z

    , IdtdI

    dtdL z Iext

    )( mvp

    )( maF

  • 시소예제 11.6

    질량 mf 인 아버지와 질량 md인 딸이 중심에서 같은 거리만큼 떨어져 시소의 양끝에 앉아 있다. 시소를 길이 ℓ 이고 질량 M인 마찰이 없이 회전하는 강체로 생각한다. 시소, 아버지, 딸로 구성된 계가 어느 순간 각속력 ω로 회전한다.(A) 계의 각운동량 크기를 구하라.

    풀이 점 O를 지나는 회전축에 대한 계의 관성모멘트는

    dfdf mm

    MmmMI342212

    1 2222

    df mm

    MIL34

    2

    (B) 시소가 수평면과 각 θ를 이룰 때 계의 각가속도의 크기를 구하라.

    cos2gmff (그림의 면에서 나오는 방향)

  • cos)(21

    gmm dfdfext

    cos2gmdd (그림의 면으로 들어가는 방향)

    계에 작용하는 알짜 토크는

    ])3/[(cos)(2

    df

    dfext

    mmMlgmm

    I

    (C) 아버지가 안쪽으로 이동하여 회전축에서 d 만큼 떨어진 곳에 위치한다. 임의의 각도θ에서 시소가 움직일 때 계의 각가속도는 얼마인가?

    22

    222

    34

    2121

    dmmM

    mdmMI

    fd

    df

  • cos21cos gmgdm dfdfext

    0])3/)[4/(

    cos21cos

    22

    dmmM

    gmgdm

    fd

    df

    22 ])3/)[4/(

    cos21cos

    dmmM

    gmgdm

    I fd

    dfext

    0cos21cos gmgdm df

    α =0으로 놓고 아버지의 위치를 구하면

    21

    f

    d

    mmd

  • 11.4 분석 모형: 고립계(각운동량)(Analysis Model: Isolated System(Angular Momentum))

    11.4 분석 모형: 고립계(각운동량)(Analysis Model: Isolated System(Angular Momentum))

    계에 작용하는 알짜 외부 토크가 영(0)일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은크기와 방향 모두 일정하다.

    각운동량 보존(conservation of angular momentum)

    fi

    fi

    fi EE

    LLPP

    고립계에서

    (에너지 전달이 없는 경우)

    (알짜 외력이 0인 경우)

    (알짜 외부 토크가 0인 경우)

    fi LL 0 dt

    d totext

    L totL 일정,,dtdLτ

    )0( dtdpF 선운동량 보존

    15

  • 질량 m, 속도 v0 인 탄환이 질량 M, 반경 R 인 속이 찬 원통에 발사되었다.

    수직거리 d < R 이라면, 탄환이 원통에 박힌 후 원통의 회전 각속도 ω ?

    풀이 - 각운동량 보존 :

    - 충돌전 : 탄환의 각운동량만 고려

    - 충돌후

    - 강체에서 각속도 ω 는 모두 같다

    prL

    mvddmvvmdL 90sin00

    22

    21 MRmdIILLL CylBCylB

    2

    21 MRICyl

    2mdIB

    22

    0

    21 mdMR

    dmv

    - 충돌에의한 Energy 손실 : 20

    2

    21

    21 mvIKEKEKE BCylif

    Angular Momentum Conservation예제

  • 회전 목마예제 11.7

    원반 모양의 수평판이 마찰이 없는 수직축을 중심으로 자유롭게 회전하고 있다. 수평판의 질량은 M=100kg 이고 반지름은 R=2.0m 이다. 질량이 m=60kg 인 학생이 원반의 가장 자리로부터 중심을 향하여 천천히 걸어가고 있다. 만약 학생이 원반의 가장자리에 있을 때 계의 각속력이 2.0rad/s이었다면, 학생이 중심으로부터 r =0.50m 떨어진 지점에도달했을 때 계의 각속력을 구하라.

    풀이 점 O를 지나는 회전축에 대한 계의 관성모멘트는

    이므로

    22

    21 mRMRIII sipii

    22

    21 mrMRIII sfpff

    ffii II

    fi mrMRmRMR )()(22

    2122

    21

    if mrMRmRMR

    2221

    2221

    - 각운동량 보존 :

    - 가장자리 : r =R

    - r = 0.5m :

  • sec/1.422154402

    15200240200

    sec/2)5.0(60)2(100

    21

    )2(60)2(10021

    2121

    22

    22

    22

    22

    rad

    radmKgmKg

    mKgmKg

    mrMR

    mRMRif

    cf) 계의 에너지 JIKE iii 880244021

    21 22

    JIKE fff 18001.421521

    21 22

    o 계의 (회전)운동에너지가 증가된다

    → 원판의 회전에 의한 구심력 발생으로 생각

    학생이 회전의 중심방향(구심력방향)으로 걸어감

    → 구심력증가 → 에너지 증가로 생각!!

  • 11.5 자이로스코프와 팽이의 운동(The Motion of Gyroscopes and Tops)

    11.5 자이로스코프와 팽이의 운동(The Motion of Gyroscopes and Tops)

    팽이에 작용하는 중력이 O점에 대해 작용하는

    토크 때문에 회전축의 방향이 바뀌게 된다.

    따라서 팽이의 중심축이 z-축을 회전축으로

    회전하게 된다.

    dtdm Lgrτ

    그림에서 r의 방향과 L의 방향과 일치하므로 토크

    의 방향은 각운동량과 수직한 방향이 된다. 따라서

    각운동량의 크기는 변하지 않고 방향만 바뀐다.

    19

    ◎ 세차운동 (Precessional Motion)

  • 벡터 그림으로부터 시간 간격 dt 동안 각운동량 벡터는 축이 회전한

    각도인 dφ만큼 회전함을 알 수 있다.

    LdtMgh

    Ldt

    LdLdd )()sin(

    IMgh

    dtd

    p (세차 진동수)

    ◎ 자이로스코프 (Gyroscope)