1. Funciones numéricas.

“Los músculos de las matemáticas se conectan con el esqueleto de las cienciasexperimentales mediante los tendones de la modelación matemática.”

Glenn Ledder

Este módulo pretende desarrollar la capacidad de interpretar y usar información presentadaen una variedad de formas familiares, matemáticas y no matemáticas. Como hemos mencionadoanteriormente, el cálculo diferencial e integral estudia los procesos en los que hay cantidadesnuméricas que cambian a medida que otras cantidades también lo hacen. La herramientafundamental para ello serán las funciones numéricas.

El aprendizaje de las funciones numéricas requiere:Conocer las distintas formas de representación de las funciones numéricas.Leer e interpretar la información que tiene cada una de ellas.Traducir la información de una forma de representación en otra.Identificar las fortalezas y las debilidades de cada forma de representación.

Funciones numéricas

Representaciónverbal

Representacióngráfica

Representaciónen tabla.

Representaciónalgebraica

Figura 1.1: Las 4 formas usadasusualmente para representar a lasfunciones numéricas.

En este módulo formalizaremos la definición de función numérica en la matemáticadetallando sus elementos más fundamentales: variable independiente, variable dependiente,regla de asignación, dominio, codominio e imagen. También algunas de sus propiedadesprincipales como crecimiento, decrecimiento, valores máximos y valores mínimos.

1.1 Determinación ambiental del sexo en las tortugas.Los estudios de campo muestran, aunque aún no hay gran comprensión sobre el tema, que

el sexo de algunos reptiles depende del ambiente en el que se incuban sus huevos. El factormás importante en este aspecto es la temperatura. En el gráfico de la Figura 1.2 se presentanalgunos datos obtenidos sobre una especie de tortugas de agua dulce.

Más información en:https://drive.google.com/open?id=1kD9vifv_WqATk-L2qZVjTL3nBjosjySF

22 24 26 28 30 32

0

20

40

60

80

100

Temperatura de incubación - ◦C

Porcentajede

críash

embras.

Figura 1.2: Porcentaje de crías hembras en la incubación de huevos de Chrysemys picta avarias temperaturas.

4 Capítulo 1. Funciones numéricas.

Actividad 1.1 Examinen la gráfica de la Figura 1.2 y luego realicen las siguientes actividades.a) Si quisiéramos elaborar una tabla de valores representativos de la gráfica: ¿cuántas

columnas tendría? ¿Cuántas filas? ¿Qué encabezados correspondería poner en cadacolumna?

b) Elaboren una tabla de valores según lo detallado en el item anterior.c) Escriban una descripción verbal de la dependencia entre el porcentaje de tortugas

hembras y la temperatura de incubación de los nidos de huevos de Chrysemys picta.d) ¿Es posible establecer una representación algebraica que modele la situación? ¿Cuál

podría ser una representación funcional en forma algebraica sencilla?�

El item d) puede que haya sido el más difícil de resolver o de ponerse de acuerdo en elgrupo: para temperaturas inferiores a 28◦C, casi todas las crías son macho. En cambio paratemperaturas mayores a 29◦C casi todas las crías son hembra. Para temperaturas intermediasentre los 28 y los 29 grados centígrados la disposición de los datos no permite avanzar muchoen la tarea.

Esbozamos lo anterior de la siguiente manera:

Si la temperatura es menor a 28◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 0

Si la temperatura es mayor a 29◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 100

Si la temperatura se encuentra entre los 28◦C y los 29◦C entonces el porcentaje de crías hembra es incierto.

Si temperatura < 28◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 0

Si temperatura > 29◦C entonces el porcentaje de crías hembras es 100

Si 28◦C < temperatura < 29◦C entonces el porcentaje de crías hembra es incierto.

Porcentaje de crías hembras =

0 Si temperatura < 28◦C. . . . . . . . . . . . . . . . .

Incierto 28◦C < Si temperatura < 29◦C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Si temperatura > 29◦C

C La estructura anterior resume la información sobre la relación entre la temperatura deincubación y el porcentaje de crías hembras: cada renglón establece el valor asignado alporcentaje de crías hembra según se cumpla la condición de la temperatura de incubacióncorrespondiente.

1.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas.Hemos visto ya algunos ejemplos en donde construimos modelos matemáticos definiendo

funciones que relacionen dos cantidades mensurables.La altura de los niños en función de la edad.La frecuencia de los chirridos de los grillos dependiendo de la temperatura ambiente.El porcentaje de tortugas hembras en un nido de huevos como una función de latemperatura de incubación.

1.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 5

Definición 1.2.1 — Definición de función.Una función es una ley de asignación que a cada elemento x de un conjunto A le hace

corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.

Se escribe: f : A→ B

A B

x y

f

f

y = f (x)

x

f

f (x)

Materiaprima

Aquí se realizala operación

Resultado

Figura 1.3: Representación de unafunción como una máquina que re-cibe materia prima, opera y luegodevuelve un resultado.

En este caso, f es el nombre de la función.El conjunto A se denomina dominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable independiente.

A = Dominio de f = Dom( f )

El conjunto B se denomina codominio de la función. Corresponde a los valores de lavariable dependiente.Así, x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente.En nuestro curso, los conjuntos A y B siempre se referirán a conjuntos numéricos.

C Cuando escribimos y = f (x) decimos que y es el valor de la función f cuando laevaluamos en x.

y = f (x)

y es f evaluada en x

y es f de x

y es la imagen de x mediante la función f

Que f sea una función significa que no puede existir un elemento de A sin su correspondienteelemento en B, y que a cada elemento de A no le puede corresponder más de un elemento deB como resultado.

Una de las dificultades en la simboli-zación matemática es que muchasveces se usan los mismos símbolospero para cosas distintas. El uso delos paréntesis es un ejemplo.

Uso de paréntesisEl uso de paréntesis en la notación de función es muy especial para las funciones. Hay que

tener especial cuidado y no confundirlo con una multiplicación. Cuando escribimos

f (x)

no debe entenderse como si fuera

f .(x) ni f × (x)

.El símbolo dentro de los paréntesis es siempre la variable independiente, un miembro del

dominio, y f (x) es un valor de la variable dependiente, un miembro del codominio.

6 Capítulo 1. Funciones numéricas.

� Ejemplo 1.1 Para representar el área de un círculo como función de su radio utilizamosla fórmula algebraica

S(r) = πr2

La variable independiente es r . Corresponde a la medida del radio del círculo. Debeser un número positivo porque corresponde a una longitud (no puede ser cero ni unnúmero negativo). Queda entonces determinado el dominio como Dom(S) = (0,+∞)

Y la variable dependiente es S. Corresponde a la medida del área del círculo.Simbolizamos

S : (0,∞) → R

Por ejemplo, para calcular el área de un círculo de radio r = 2 cm escribimos

S(2 cm)︸ ︷︷ ︸*

= π (2 cm)︸ ︷︷ ︸**

2 = π 4 cm2

* y ** son dos usos distintos del paréntesis en una expresión matemática.�

Algunos ejemplos:

Conjunto ∅Conjunto vacío. Sin elementos.

Conjunto (a, b){x ∈ R : a < x < b }

Conjunto [a, b]{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }

Conjunto (a, b]{x ∈ R : a < x ≤ b }

Conjunto (a,+∞){x ∈ R : a < x }

Conjunto (−∞, b]{x ∈ R : x ≤ b }

Conjunto (−∞,+∞)Todos los números reales. R.

Tabla 1.1: Repaso de algunos ejem-plos de notación de intervalos paralos conjuntos numéricos.

� Ejemplo 1.2 Cuando estudiamos el crecimiento de la colonia de moho utilizamos la notaciónAt para indicar el área de la colonia al comienzo del día t. La Figura 1.4 presenta latabla de valores y la gráfica asociada.

Construimos un modelo matemático definiendo la función

At = A(t) = π(R0 + K .t)2

La variable independiente es t. Corresponde a los días transcurridos desde la primeraobservación. Debe ser un número natural del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

La variable dependiente es A. Corresponde al área de la colonia.Simbolizamos

A : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → R

�

Día Área (en mm2)

0 41 82 –3 504 785 1266 –7 2488 3269 420

0 2 4 6 8

0

100

200

300

400

Tiempo - Días

Áreade

lacolonia-m

m2

Figura 1.4: Tabla y gráfica asociadas al crecimiento del área de la colonia de moho en los días sucesivos.

1.2 Definición y elementos fundamentales de las funciones numéricas. 7

� Ejemplo 1.3 La Figura 1.5 muestra el gráfico de un electrocardiograma (EGG). El EGGmide el potencial eléctrico V (medido en milivolts) en una cierta dirección (hacia elelectrodo positivo de un cable) correspondiente a una parte particular del corazóncomo una función del tiempo (en segundos). Para un valor del tiempo t dado, el gráficonos proporciona un valor correspondiente de V .

Figura 1.5: Electrocardiograma

�

1.2.1 Dominio natural de una función numérica.El dominio de una función está determinado por motivos que pueden clasificarse en 3

categorías:

Motivos relacionados con el contexto.El sistema real en estudio impone restricciones sobre las variables.Si l representa una longitud, el área o el volumen de un objeto entonces no puede sercero ni tomar valores negativos.Si P representa la población de la Argentina entonces debe ser un número natural; laparte decimal no puede ser distinta de cero.Hay una temperatura teórica que es la más baja posible. Dependiendo del sistemade medición utilizado corresponde a 0 grados Kelvin, −273.15 grados centígrados o−459.67 grados Farenheit. De modo que, si T es la temperatura de un sistema en gradoscentígrados entonces debe cumplirse que

−273.15 < T

Motivos relacionados con limitaciones matemáticas.Momentáneamente tomaremos como restricciones matemáticas dos operaciones que no

se pueden realizar en los números reales.No está permitida la división por cero. Expresiones como

10

x + x0

300

no están definidas ni se aceptan como válidas.No está permitido calcular raíces cuadradas o raíces de orden par a números negativos.Por ejemplo, las siguientes expresiones no son válidas

√−1 4√

−33 +√−2

8

Motivos arbitrarios que decide cada persona.Cada persona puede imponer una restricción sobre el dominio de una función por algún

motivo que considere importante o por puro antojo. La decisión de estudiar la altura de niños y

8 Capítulo 1. Funciones numéricas.

niñas para edades entre 4 y 16 años es una decisión del investigador. O sin motivo alguno, sepuede decidir estudiar la función

S(r) = π r2

en el intervalo (2, 5].

Dominio natural de una función numérica.En el caso de funciones numéricas se define:

Definición 1.2.2 — Dominio natural de una función numérica.Dada una función f representada por medio de una expresión matemática, llamamos

dominio natural de f al mayor conjunto de números reales tales que la fórmula permitacalcular un resultado real. Si el codominio no está indicado, asumimos que es R.

� Ejemplo 1.4 El dominio natural de f (x) = x3 son todos los reales ya que no hay dificultadesen calcular x3. Algunos de sus valores son:

f (0) = 0 f (−2) = (−2)3 = −8 f(12

)=

(12

)3=

18

�

� Ejemplo 1.5 El dominio natural de g(x) =√

x es el intervalo [0,+∞). Algunos de susvalores son:

g(0) = 0 g(9) =√

9 = 3

�

1.3 Imagen de una función numérica.La variable dependiente de una función no siempre toma todos los valores del codominio

declarado. Por ejemplo, la función f : [0,+∞) → R dada por f (x) =√

x no toma nuncavalores negativos.

Definición 1.3.1 — Imagen de una función numérica. Se llama imagen de una función alconjunto de todos los valores efectivamente alcanzados por la función. Dada una funciónf : A→ B, se llama imagen de f al conjunto de elementos de B que son el resultado def (x) para algún elemento x de A. Se suele notar Im( f ) o f (A). En notación de conjuntos,se define

Im( f ) = { f (x) : x ∈ A}

C Calcular la imagen de una función no es una tarea trivial. Por ejemplo, para f (x) = x2

tenemos que Im( f ) = [0,+∞) porque los resultados de x2 pueden ser arbitrariamentegrandes pero no pueden ser negativos. Sin embargo, calcular la imagen de la funcióng(x) = x4 − 3x2 + x ya no es una tarea tan sencilla (más adelante, aprenderemosherramientas que nos permitirán hallarla).

1.4 Gráfica de una función numérica.Si f es una función con Dom( f ) = A entonces la gráfica de f está compuesta por puntos

del plano coordenado de la forma(x, f (x)) .

1.5 Prueba de la recta vertical. 9

Los pares ordenados son pares de entrada-salida. En otras palabras, la gráfica de f estáformada por todos los puntos (x, y) del plano coordenado tales que y = f (x) para x ∈ Dom( f ).

Por ejemplo, si consideramos la función f : R→ R dada por f (x) = 2x − 1 entonces elpunto (3, 5) pertenece a la gráfica porque x = 3 pertenece al dominio de la función y f (3) = 5.Sin embargo, el punto (2, 5) no lo está porque f (2) , 5.

La gráfica de una función también nos permite tener información del dominio (sobre el ejehorizontal) y la imagen (sobre el eje vertical) como indica la Figura 1.6.

(a) El punto (x, f (x)) ubicado en la gráfica de lafunción.

(b) Dominio e imagen de una función representadosen los ejes cartesianos.

Figura 1.6: Gráfica de la función, dominio e imagen

Actividad 1.2 En la Figura 1.7 se muestra la gráfica de una función g.1. Determinen los valores de g(1) y g(5).2. Determinen el dominio y la imagen de g.

�

Figura 1.7: Gráfica de la función g.

Ya vieron anteriormente como hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntospor donde pasa, un punto y la pendiente ó la pendiente y la ordenada al origen, llegando arepresentar sus gráficas o reconocerlas por su aspecto. En base a lo que saben sobre gráficas derectas, realicen las siguientes actividades.

Actividad 1.3 Tracen una gráfica y encuentren el dominio e imagen de cada función

a) f (x) = 5x + 1 b) g(t) = x − 1 con x ≥ 2�

Actividad 1.4 Determinen el dominio natural de las siguientes funciones. Escríbanlo enpalabras y con la notación de intervalos.

a) f (x) =√

2x − 1 b) g(t) =1

x2 + x�

1.5 Prueba de la recta vertical.Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical

se interseca con las curva más de una vez.

En la Figura 1.8 se puede ver que si cada recta vertical x = a interseca a la curva sólo unavez, en el punto (a, b), entonces se tiene que f (a) = b. Pero si una recta x = a se interseca conla curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar la gráfica de unafunción, porque no puede asignar dos valores diferentes a a.

10 Capítulo 1. Funciones numéricas.

Figura 1.8: Dos ejemplos que representan la regla de la recta vertical.

� Ejemplo 1.6 La curva de ecuación x = y2 − 2 que aparece en la Figura 1.9, no es la gráficade una función de x porque como podemos ver, existen muchas rectas verticales queintersecan dos veces a esa curva. Sin embargo, sí contiene las gráficas de dos funcionesde x, f (x) = +

√x + 2 y g(x) = −

√x + 2 (parte superior e inferior de la curva) como

se representa en las Figuras ?? y ??. �

(a) x = y2 − 2 (b) y =√

x + 2 (c) y = −√

x + 2

Figura 1.9: Gráficas de la curva x = y2 − 2 y las dos funciones f (x) = +√

x + 2 y g(x) = −√

x + 2

1.6 Funciones definidas por partes.Hay funciones que se definen empleando distintas fórmulas en diferentes partes de sus

dominios; como por ejemplo la función que relacionaba el porcentaje de tortugas hembras enun nido con la temperatura de incubación.

Actividad 1.5 Calculen f (0), f (1) y f (3) y realicen la gráfica de f para

f (x) =

2 − x si x ≤ 1

x + 3 si x > 1

�

0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1.10: Gráfica de la función f .

Actividad 1.6 Encuentren una fórmula para la función f cuya gráfica se da en la Figura1.10. Indiquen su dominio e imagen. �

1.7 Funciones crecientes y decrecientes. 11

Actividad 1.7 Decididan cual de las siguientes ecuaciones define a y como función de x

a) x + y = 1 b) x2 + y2 = 4 c) y4 + x = 2�

Figura 1.11: Cuatro gráficas para de-cidir si son funciones.

Actividad 1.8 Determinen, en cada caso de la Figura 1.11, si la curva es la gráfica de unafunción de la variable x. Si lo es, establezcan su dominio e imagen.

�

1.7 Funciones crecientes y decrecientes.En la Figura 1.12 se muestra el gráfico de una función f que se eleva y luego comienza a

descender. Expresaremos en forma algebraica el comportamiento creciente o decreciente dela función considerando el sentido u orientación que tienen los ejes cartesianos.

El eje x tiene una orientación de izquierda a derecha. La relación x1 < x2 equivale a quex1 está ubicado a la izquierda de x2 sobre el eje x.El eje y tiene una orientación de abajo hacia arriba. La relación y1 < y2 equivale a quey1 está ubicado debajo de y2.

Definición 1.7.1 — Funciones crecientes y decrecientes.Una función f es creciente en un intervalo I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) < f (x2)

Y se dice que es decreciente en I si

para cualquier x1 y x2 en I que cumplen x1 < x2 entonces f (x1) > f (x2)

Figura 1.12: Gráfica de una función con sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Figura 1.13: Gráfica de la funciónf (x) = x2.

� Ejemplo 1.7 La gráfica de la función f (x) = x2 que se encuentra en la Figura 1.13. Podemosver que es decreciente en el intervalo (−∞, 0] y creciente en intervalo [0,+∞). �

12 Capítulo 1. Funciones numéricas.

Actividad 1.9 Observen las gráficas de las funciones f y g que se encuentran en la Figura1.14.

a) Indiquen el dominio y la imagen para f y para g.b) Calculen f (−4) y g(3).c) ¿Para qué valores de x resulta f (x) = g(x)?d) Estimen el/los valores de x tales que f (x) = 1.e) Indiquen el intervalo donde la función f es creciente.

�

Figura 1.14: Gráficas de las funcio-nes f y g.

1.8 Valores máximos y valores mínimos.Los valoresmáximos ymínimos de una función son de interés porque marcan situaciones

extremas en el evento que se estudia. Por ejemplo, en la Figura 1.15 se tomó una porción delritmo cardíaco según un EGG y se observa que el potencial eléctrico aumenta y disminuyereiteradas veces, en el punto R se encuentra el punto más alto de la gráfica y en el punto S elpunto más bajo.

El punto R tiene coordenadas (0.22, 1) y el punto S tiene coordenadas (0.25,−0.11). Demodo que

P(0.22 s) = 1 minivolts y P(0.25 s) = −0.11 minivolts

El valor más grande que se registra es 1 minivolts a los 0.22 segundos. El valor más bajoque se registra es −0.11 minivolts a los 0.25 segundos.

Figura 1.15: Porción del ritmo cardíaco determinado por un EGG.

Definición 1.8.1 — Valores máximos y mínimos absolutos.Sean c y d dos números en el dominio de la función f .Entonces f (c) es el

valor máximo absoluto de f si f (c) ≥ f (x) para todo x en el dominio de f .

Y f (d) es elvalor mínimo absoluto de f si f (d) ≤ f (x) para todo x en el dominio de f .

El valor máximo o mínimo absoluto es llamado también valor máximo o mínimoglobal; o, en forma genérica, valores extremos globales.

En la misma porción del ritmo cardíaco se observa que hay otros picos y valles en lagráfica que no son tan altos como R ni tan bajos como S pero que el cardiólogo toma como

1.8 Valores máximos y valores mínimos. 13

interés. En la Figura 1.16 quedan marcados los puntos R, P y T como ejemplos de picos y lospuntos S y Q como ejemplos de valles. Hay otros más pero por simplicidad no los marcamos.

Figura 1.16: Valles y picos en la gráfica correspondiente al EEG.

Definición 1.8.2 El número f (c) es unvalor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cercano a c.valor mínimo local de f si f (c) ≤ f (x) cuando x está cercano a c.

Los valores máximos y mínimos locales también suelen llamarse valores máximoso mínimos relativos; o, en forma genérica, valores extremos locales.

Figura 1.17: Gráfica de f (x) = x2.

Actividad 1.10 Consideren que la separación de la grilla de la Figura 1.16 correspondehorizontalmente a 0.05 segundos y verticalmente a 0.24 minivolts.

Determinen los valores extremos locales. Indiquen también el tiempo (en segundos)para los cuales se alcanzan esos valores extremos locales.

�

� Ejemplo 1.8 En las Figuras 1.17 y 1.18 se encuentran las gráficas de las funciones f (x) = x2

y g(x) = x3, respectivamente. Observen que f (0) = 0 es el mínimo absoluto (y local)de f porque f (x) ≥ f (0) para todo x en el dominio de f . Sin embargo, no existeningún punto que sea el más alto de la parábola, por lo que f no tiene máximo absoluto.En el caso de la función cúbica g vemos que no tiene ni máximo ni mínimo absoluto.Y tampoco tiene valores extremos locales. �

Figura 1.18: Gráfica de g(x) = x3.

14 Capítulo 1. Funciones numéricas.

1.9 Ejercitación.

Figura 1.19: Temperatura promedio globalen función del tiempo

Ejercicio 1.1 En la Figura 1.19 se muestra el gráfico de la temperatura global promedio Tdurante el siglo XX.

a) ¿Cuál fue la temperatura global promedio en el año 1950?b) ¿En qué año la temperatura promedio fue de 14, 2◦C?c) ¿En qué año se produjo la temperatura más baja? ¿Y la más alta?d) Estimen la imagen de T .

�

Ejercicio 1.2 En los años cálidos los árboles crecen más rápido y forman anillos más anchos,pero en los años más fríos, crecen más lentamente y los anillos se estrechan. La gráfica de laFigura 1.20 muestra los anchos del anillo de un Pino de Siberia desde el año 1500 al año2000.

a) ¿Cuál es la imagen de la función que representa el ancho del anillo del pino?b) ¿Qué dice el gráfico sobre la temperatura de la tierra? ¿Refleja el gráfico las erupciones

volcánicas de mediados del siglo XIX?�

Figura 1.20: Ancho del anillo del árbol.

Ejercicio 1.3 Un esófago saludable tiene un pH aproximado de 7.0. Cuando ocurre un reflujoácido, el ácido del estómago (que tiene un pH que va desde 1.0 a 3.0) fluye hacia atrásdesde el estómago hacia el esófago. Cuando el pH del esófago es menor que 4.0, el episodiorecibe el nombre de reflujo ácido clínico y puede causar úlceras y dañar el revestimientodel esófago. El gráfico de la Figura 1.21 muestra el pH del esófago para un paciente conreflujo ácido que se encuentra dormido. ¿Durante qué intervalo de tiempo se considera queel paciente tiene un episodio de reflujo ácido clínico? �

Figura 1.21: pH del esófago para un pa-ciente con reflujo ácido.

Ejercicio 1.4 La Figura 1.22 muestra los pesos corporales promedios de renacuajos criadosen diferentes densidades. La función f muestra el peso corporal cuando la densidad es de10 renacuajos/L. Para las funciones g y h, las densidades son de 80 y 160 renacuajos/L,respectivamente. ¿Qué información le brindan estos gráfico sobre el efecto de hacinamiento?�

Figura 1.22: Peso corporal promedio derenacuajos en diferentes densidades.

Ejercicio 1.5 Las regiones tropicales se caracterizan por tener muchas precipitaciones eintensa luz solar y tienen temporadas de crecimiento más largas que las regiones másalejadas del ecuador. Como resultado de esto, las regiones tropicales poseen una mayorriqueza de especies, es decir, un mayor número de especies. El gráfico 1.23 muestra cómovaría el número de hormigas con respecto a la latitud.

a) ¿Cuántas especies esperarían encontrar a los 30◦S? ¿Y a los 20◦N?b) Si en un lugar determinado encuentran unas 100 especies de hormigas, ¿en qué latitud

aproximada estarían?�

Figura 1.23: Número de especies de hor-migas según la latitud.

Ejercicio 1.6 Den tres ejemplos de funciones que aparezcan en la vida diaria que puedan serdescriptos verbalmente. Los ejemplos deben contemplar la descripción del dominio y de laimagen de las funciones. Acompañar las descripciones con un gráfico para cada función. �

Ejercicio 1.7 En la gráfica de la Figura 1.24 se muestra el peso de cierta persona en funciónde su edad. Describan en palabras cómo varía con el tiempo el peso de esta persona. ¿Quécrees que sucedió con esta persona cuando tenía 30 años? �

1.9 Ejercitación. 15

Figura 1.24: Peso de una person en funciónde su edad.

Ejercicio 1.8 El gráfico de la Figura 1.25 muestra la fuerza horizontal ejercida por el suelosobre una persona al caminar. Los valores positivos indican fuerzas en la dirección deavance y los valores negativos indican fuerzas en la dirección reversa (hacia atrás). Den unaexplicación de la forma que tiene la gráfica de la función, incluidos los puntos donde cruzael eje. �

Ejercicio 1.9 Determinen el dominio natural de cada función:

a) f (x) =2x + 1

x2 − x + 1b) g(x) =

3√xx2 + 1

c) h(x) =√

4 − x�

Ejercicio 1.10 Consideren la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x.a) ¿Cuál es su dominio natural?b) Calculen f (0), f (1), f (−1).c) ¿Para qué valores de x se cumple que f (x) = 0?

�

Figura 1.25: Fuerza horizontal ejercida porel suelo sobre una persona al caminar.

Ejercicio 1.11 Hallen, en forma analítica, la intersección entre las gráficas de los siguientespares de funciones.

a)

f (x) = 2x2

g(x) = 3x + 9b)

f (x) =

32

x2 − x

g(x) =32

x2 − x + 2

c)

f (x) = x2 + 6x + 9

g(x) = −12

x2 − 1d)

f (x) = x2 + 2x − 2

g(x) = 2x − x2 − 2�