Istituzioni di Economia Matematica

La teoria microeconomica del consumo

Il problema del consumatore1a parte.

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Mario SportelliDipartimento di MatematicaUniversità degli Studi di BariVia E. Orabona, 4I‐70125 Bari (Italy)(Tel.: +39 (0)99 7720 626; fax: +39 (0)99 7763 295)E‐mail: msportelli@dm.uniba.itURL: http://www.dm.uniba.it/~msportelli

La teoria delle preferenzeDefinizione: Il paniere di 

consumo denota l’insieme delle quantità di beni e servizi che un agente può consumare ad un dato tempo t. _________________

Il generico paniere di consumo si denota con un vettore.

• L’insieme dei panieri di consumo disponibili ad un dato tempo t nel sistema economico si denota con

e, pertanto,

{ }1 2, , ... , kx x x=x

k+⊆X R

∈x X2

Le relazioni di preferenza

• Convenzionalmente, per denotare le relazioni di preferenza si utilizzano i seguenti simboli:

• Preferenza debole 

• Preferenza stretta

• Indifferenza

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∼

Relazioni di preferenza: AssiomiCompletezza:

Riflessività: 

Transitività: 

, : .∀ ∈ ∨x y X x y y x

: .∀ ∈x X x x

, , : .∀ ∈ ∧ ⇒x y z X x y y z x z

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Relazioni di preferenza:ulteriori ipotesi

Monotonicità (debole): Se

Monotonicità (forte): Se

Non sazietà locale: Se x ∈ X, nell’intorno di x di raggio ε > 0:

, e : .∈ ≥x y X x y x y

, e ; : .∈ ≥ ≠x y X x y x y x y

.y X y x′∃ ∈ ∋

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Gli insiemi d’indifferenza.Sia x∈X:• Definizione: Si definisce insieme d’indifferenza di x l’insieme                        .

Osservazioni: Un insieme d’indifferenza non è mai vuoto, ma contiene almeno un elemento, x stesso (le preferenze sono riflessive).Gli insiemi d’indifferenza sono disgiunti.Un insieme d’indifferenza non può essere denso. Se lo fosse, il principio di non sazietà locale sarebbe violato.

{ }:∈y X y x∼

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Gli insiemi d’indifferenzaPrincipio di non sazietà violato.

L’insieme d’indifferenza non ha spessore.

Quando si considerano panieri che includono solo due beni, gli insiemi d’indifferenza sono rappresentabili con una curva (convessa decrescente) denominata “CURVA di INDIFFERENZA”. 7

Relazioni di preferenza:  ulteriori ipotesi

Continuità: Dato un insieme d’indifferenza è possibile definire il contorno superiore 

e il contorno inferiore

Questi due insiemi sono chiusi (includono la frontiera). 

Mentre,                          e 

sono insiemi aperti.

{ }:∈y X y x

{ }:∈y X x y

{ }:∈y X y x{ }:∈y X x y

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Relazioni di preferenza:  ulteriori ipotesi

Convessità: Se y, z ∈ X taliche y ∼ x e z ∼ x, una qualunque media ponderata degli elementi di y e z genera un paniere che appartiene al contorno superiore dell’insieme d’indifferenza di x.

Convessità debole:

Convessità forte:[0, 1] : (1 )α α α∀ ∈ + −y z x

[0, 1] : (1 )α α α∀ ∈ + −y z x

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Insiemi di indifferenza in R2+. ÷..

Osservazione: Poiché gli insiemi d’indifferenza sono disgiunti, due curve d’indifferenza non possono intersecarsi.

Se, per assurdo, ciò accadesse, risulterebbe:

ma              per il principio di monotonicità . Per l’assioma di transitività, deve essere, invece:

ex y x z∼ ∼y z

e ⇒x y x z y z∼ ∼ ∼10

Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R2+ . ÷.:....

Area A: panieri peggiori di x°. Aree B e D: eventuali panieri indifferenti a x°.Area C: panieri migliori di x°.

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Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R2 .

Assumiamo che esistano panieri indifferenti a x°.In tal caso, l’insieme di indifferenza di x° è rappresentato dalla curva (convessa e decrescente) in azzurro.

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Proprietà delle preferenze: una visualizzazione in R2

+ .

Se scegliamo altri panieri nelle aree A e C e individuiamo i loro insiemi di indifferenza, otterremo una mappa di curve di indifferenza. Per il principio di monotonicità delle preferenze, al crescere della distanza dall’origine, a ciascuna curva d’indifferenza si associa un livello di benessere più elevato.

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Il paniere di sazietà.In R2

+ è banalmente individuabile il paniere di sazietà s. Per tale paniere vale la seguente: 

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2, ( ) :+∀ ∈ ⊆x X X s xR

La funzione di utilità

Sia               un insieme di indici.

Definizione: Per funzione di utilità s’intende ogni applicazione, regola o criterio che consente di associare a ciascun             un indice           , ossia,

tale che

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U +⊆ R

∈x X u U∈

:u U→X

, , se : ( ) ( ); se : ( ) ( )u u u u∀ ∈ ≥ =x y X x y x y x y x y∼

La funzione di utilitàLa funzione di utilità trasforma la relazione di preferenza definita su X nella relazione d’ordine definita su R + .

Osservazione: Quando le preferenze sono complete, riflessive, transitive e continue, una funzione di utilità esiste sempre.

Per il suo carattere ordinale la funzione di utilità non è unica. Qualunque trasformazione monotonica della iniziale u(x) denota sempre le stesse preferenze:

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( ( )) ( ( )) ( ) ( )f u f u u u≥ ⇔ ≥x y x y